Universidad  Simón  Bolívar  Departamento  de  Conversión  y  Transporte  de  Energía  

CT-­‐4311.  Conversión  de  energía  IV  Tarea  2  

Prof.  José  Manuel  Aller  

ANÁLISIS  DE  LA  MÁQUINA  SINCRÓNICA  EN  RÉGIMEN  PERMANENTE  CONSIDERANDO  EL  EFECTO  DE  LA  SATURACIÓN  

(Tarea  N°  2)  

 

 

 

 

                                                                                                                                                                                                                                                 Alumno:  

Freiber  Rojas   09-­‐10752  

Sartenejas,  Febrero  de  2013  

 

Problema:  

Una  máquina  sincrónica  de  rotor  liso  de  100  MVA  de  potencia  nominal,  10  kV,  fp  nominal  0.85,  un  par  de  polos,  60  Hz,  corriente  de  campo  nominal  300  A,  tiene  una  reactancia  de  cortocircuito  de  1,0  pu.  La  reactancia  de  dispersión  es  de  0.2  pu.  La  característica   de   vacío   se   puede   representar   mediante   la   siguiente   función   en  matlab:  % Lm0: Inductancia no saturada (2 pu) % Lmsat: Inductancia saturada (.2 pu) % PsiT: Flujo de transición (.93 pu) % fT: Anchura de la transición (1 pu) function plsaturation(Lm0, Lmsat, PsiT, fT) iT = 1/Lm0*PsiT; Psimax = 4*iT*Lmsat+PsiT Psim = [0:0.002:1]*Psimax; tauT = fT / PsiT * Lm0/Lmsat; Mf = 1/Lmsat; Mi = (1/Lm0 - 1/Lmsat*(.5-atan(tauT*PsiT)/pi))/(.5+atan(tauT*PsiT)/pi); im = (Mf-Mi)/pi*(((Psim-PsiT).*atan(tauT*(Psim-PsiT)) - PsiT*atan(tauT*PsiT))+ .5/tauT*(log(1+(tauT*PsiT)^2) - log(1+tauT^2*(Psim-PsiT).^2)) ) + Psim.*(Mf+Mi)/2; plot(im,Psim); ylabel('\Psi_m'); xlabel('i_m'); grid on;

1. Calcule   la  máxima  potencia   reactiva  que  puede  entregar   la  máquina  como  condensador  sincrónico  

2. La  corriente  de  campo  máxima  3. La  corriente  de  campo  mínima  para  potencia  activa  nominal  4. El  punto  de  operación  a  potencia  nominal  y  factor  de  potencia  unitario  5. El  punto  de  operación  a  potencia  de  30  MW  y  corriente  de  campo  máxima  6. El  punto  de  operación  a  potencia  de  -­‐40  MW  y  corriente  de  campo  nominal  7. La  característica  de  potencia  activa  en  función  del  ángulo  de  carga  8. El   lugar   geométrico   de   la   corriente   de   armadura   que   no   viola   límites   de  

operación.  9. Determine  el  triángulo  de  Potier  de  esta  máquina  10. Determine   las  curvas  en  V  a   tensión  nominal  para  P=[0,  0.2,  0.4,  0.6,  0.8  y  

1.0}  pu  

Rutinas  que  se  emplearon:  

Para  resolver  esta  tarea  se  programó  en  matlab  una  rutina  que  resuelve  el  problema  directo,  es  decir,  dados  los  valores  de  P  y  Q  que  genera  la  máquina  encuentra  el  valor  de  la  corriente  de  campo  así  como  también  los  grados  de  saturación.  La  rutina  es  la  siguiente:  

function [icampo delta sd sq Eq Ed Ef]=problema_directo(P,Q,Ve,Xdisp,Xd,Xq) Ie=conj((P+1i*Q)/Ve); Ee=Ve+1i*Xdisp*Ie; sat_siguiente_q=@(sq)(sq-sat_siguiente_q(sq,Ee,Ve,Ie,Xq,Xdisp)); sq=fsolve(sat_siguiente_q,1); Xqs= (sq-1)/sq*Xdisp+Xq/sq; D=Ve+1i*Xqs*Ie; Eq = abs(Ee)*cos(angle(D)-angle(Ee)); Ed = abs(Ee)*sin(angle(D)-angle(Ee)); sd=plsaturation(Eq)/(Eq/2); Xds= (sd-1)/sd*Xdisp+Xd/sd; Ef=abs(D)+abs(Ie)*(Xds-Xqs)*sin(angle(D)-angle(Ie)); icampo= Ef*sd/2; delta =angle (D); end function s_q_next=sat_siguiente_q (s_q_ini,Ee,Ve,Ie,Xq,Xdisp) Xqs= (s_q_ini-1)/s_q_ini*Xdisp+Xq/s_q_ini; D=Ve+1i*Xqs*Ie; Ed = abs(Ee)*sin(angle(D)-angle(Ee)); s_q_next=plsaturation(Ed)/(Ed/2); end function Ex=fmag(im) Lm0=2; Lmsat=0.2; PsiT=0.93; fT=1; saturacion=@(Psim)(im-plsaturation(Lm0, Lmsat, PsiT, fT,Ex)); Ex=fsolve(saturacion,1); end function im=plsaturation(Psim) Lm0=2;

Lmsat=0.2; PsiT=0.93; fT=1; tauT = fT / PsiT * Lm0/Lmsat; Mf = 1/Lmsat; Mi = (1/Lm0 - 1/Lmsat*(.5-atan(tauT*PsiT)/pi))/(.5+atan(tauT*PsiT)/pi); im = (Mf-Mi)/pi*(((Psim-PsiT).*atan(tauT*(Psim-PsiT)) - PsiT*atan(tauT*PsiT))+ .5/tauT*(log(1+(tauT*PsiT)^2) - log(1+tauT^2*(Psim-PsiT).^2)) ) + Psim.*(Mf+Mi)/2; end

Para  resolver  el  problema  inverso  se  toma  en  cuenta  que  la  rutina  anterior  resuelve  el  método  directo.  Así  pues,  para  resolver  el  problema  inverso  se  utiliza  el  comando  fsolve  de  matlab  para  encontrar,  variando  el  valor  de  la  potencia  reactiva  Q   para   hasta   que   la   corriente   de   campo   que   devuelve   el   método   directo   sea   la  especificada   en   el   problema   inverso.   Con   esta  metodología   se   evidencia   que   las  ecuaciones  que   rigen  el   comportamiento  de   la  máquina   son   las  mismas,   lo  único  que  cambia  entre  el  problema  directo  y  el  problema  inverso  son  las  condiciones  de  contorno.    La  rutina  para  resolver  el  problema  inverso  el  la  siguiente:  

function [Q delta sd sq Eq Ed Ef] = problema_inverso (P,Q0,icampo,Ve,Xdisp,Xd,Xq) fun=@(Q)(icampo-problema_directo(P,Q,Ve,Xdisp,Xd,Xq)); Q=fsolve(fun,Q0); [~, delta sd sq Eq Ed Ef]=problema_directo(P,Q,Ve,Xdisp,Xd,Xq); end

Respuesta  a  las  preguntas:  

2)   Para   hallar   la   corriente   de   campo   máxima   se   resuelve   el   problema   directo  teniendo  en  cuenta  que  esta  ocurre  cuando  la  potencia  aparente  es  y  el   factor  de  potencia  son  nominales.  Luego  el  comando  empleado  es  el  siguiente:  

>>icampo    =  problema_directo(P,Q,Ve,Xdisp,Xd,Xq)  

Con  P=0.85pu,  Q=0.5268pu,  Ve=1pu,  Xdisp=0.2,  Xd=1pu,  Xq=1pu  

Con  lo  que  se  tiene  que  la  corriente  de  campo  máxima  es:  

Icampo  =1.5642pu;  Icampo=469.26ª  

1)  Para  hallar   la  máxima  potencia   reactiva  que  puede  entregar   la  máquina  como  condensador   sincrónico   se   debe   resolver   el   problema   inverso,   dado   que   en   este  caso   la   corriente   de   campo   es   igual   a   la   corriente   máxima   y   la   potencia   activa  generada  es  cero.  El  comando  empleado  es  siguiente:  

>>Q    =problema_inverso  (P,Q0,icampo,Ve,Xdisp,Xd,Xq)  

Con   P=0pu,   Q0=1pu   (estimacion   inicial),   icampo=1.5642pu,   Ve=1pu,   Xdisp=0.2,  Xd=1pu,  Xq=1pu  

Con   lo   que   se   tiene   que    máxima  potencia   reactiva   que   se   puede   entregar   como  condensador  sincrónico  es:  

Q=0.4699pu;  Q=46.99MVAr  

3)  Para  hallar  la  corriente  de  campo  mínima  para  potencia  activa  nominal  hay  que  tener  en  cuenta  que  este  caso  es  el  mismo  que  corresponde  a  la  corriente  de  campo  máxima,  lo  unico  que  hay  que  tomar  en  cuenta  es  que  ahora  el  factor  de  potencia  es   en   adelanto.   De   igual   manera,   una   vez   aclarado   lo   anterior   se   resuelve   el  problema  directo:  

>>icampo    =  problema_directo(P,Q,Ve,Xdisp,Xd,Xq)  

Con  P=0.85pu,  Q=-­‐0.5268pu,  Ve=1pu,  Xdisp=0.2,  Xd=1pu,  Xq=1pu  

Con  lo  que  se  tiene  que  la  corriente  de  campo  mínima  para  potencia  nominal  es:  

Icampo  =0.5547pu;  Icampo=166.4A  

4)   Para   hallar   el   punto   de   operación   a   potencia   nominal   y   factor   de   potencia  unitario  se  debe  resolver  el  problema  directo.  Asi  se  tiene  que  el  comando  usado  es:  

>>[icampo  delta  sd  sq  Eq  Ed  Ef]    =  problema_directo(P,Q,Ve,Xdisp,Xd,Xq)    Con  P=0.85pu,  Q=0pu,  Ve=1pu,  Xdisp=0.2,  Xd=1pu,  Xq=1pu  

Asi  pues  la  corriente  de  campo  en  este  punto  de  operación  es:  icampo=0.9042pu.    El  angulo  delta:  𝛿 = 37.88∘    Los  grados  de  saturación  el  los  ejes  d  y  q  y  la  fuerza  electromotriz:  Sd=1.5563;  Sq=1.1182;  Ef=1.1619pu.    5)  Para  hallar  el  punto  de  operación  a  potencia  de  P=0.3pu  y  corriente  de  campo  máxima  se  debe  resolver,  una  vez  mas,  el  problema  inverso:    >>  [icampo  delta  sd  sq  Eq  Ed  Ef]    =problema_inverso  (P,Q0,icampo,Ve,Xdisp,Xd,Xq)    Con  P=0.3pu,  Q0=1pu   (estimacion   inicial),   icampo=1.5642pu,  Ve=1pu,  Xdisp=0.2,  Xd=1pu,  Xq=1pu  

Asi  pues  los  valores  de  Q,  la  fuerza  electromotriz,  de  los  grados  de  saturacion  en  d  y  q  y  del  angulo  de  carga  son:  

Q=  0.4830pu;  Q=48.3MVAr;  Ef=1.2585;  Sd=2.4858;  Sq=1.0276;    𝛿 = 37.88∘    

6)  Para  hallar  el  punto  de  operación  a  potencia  de  P=-­‐0.4pu  y  corriente  de  campo  nominal  se  debe  resolver,  una  vez  mas,  el  problema  inverso:    >>  [icampo  delta  sd  sq  Eq  Ed  Ef]    =problema_inverso  (P,Q0,icampo,Ve,Xdisp,Xd,Xq)    Con   P=-­‐0.4pu,   Q0=-­‐0.4pu   (estimacion   inicial),   icampo=1pu,   Ve=1pu,   Xdisp=0.2,  Xd=1pu,  Xq=1pu  

Asi  pues  los  valores  de  Q,  la  fuerza  electromotriz,  de  los  grados  de  saturacion  en  d  y  q  y  del  angulo  de  carga  son:  

Q=  0.0538pu;  Q=5.83MVAr;  Ef=1.0562;  Sd=1.8935;  Sq=1.0533;    𝛿 = 20.05∘    7)Para  hallar  la  característica  de  la  potencia  activa  en  función  del  ángulo  de  carga  se  trabajó  en  función  problema  directo.  Dados  P  y  Q  el  resolver  el  problema  directo  consiste  en  hallar    la  corriente  de  campo  y  el  ángulo  delta,  que  lo  hace  la  rutina  de  matlab   llamada   problema_directo   explicada   al   principio.   Para   hallar   la  característica   de   P   Vs   delta   se   debe   tener   una   rutina   que   haga   precisamente   lo  contrario,  es  decir,  dados  el  ángulo  de  carga  y   la  corriente  de  campo  devuelva  el  valor  de  P  y  de  Q.  Para  eso  se  hace  uso,  de  nuevo,  de  la  función  fsolve  de  matlab.  Dada  la  función  que  calcule  errores  de  la  corriente  de  campo  y  el  ángulo  de  carga  deseados  y  la  corriente  de  campo  y  el  ángulo  de  carga  dados  por  la  resolución  del  problema  directo,  fsolve  simplemente  tendrá  la  tarea  de  encontrar  los  valores  de  P  y  Q  que  hagan   cero  dicha   función  de   errores.  De   esta  manera,   la   grafica   de  P   vs  delta  es  la  siguiente:  

     8)  Para  determinar  el   lugar  geométrico  de   la  corriente  de  armadura  que  no  viola  los   limites   operacionales   se   deben   trazar   dos   características.   La   primera  

corresponde  al  circulo  unitario  de  la  corriente  de  armadura  debido  a  limitaciones  de  los  devanados  estatóricos.  La  segunda  tiene  que  ver  con  la  corriente  de  campo  máxima,   para   lo   cual   se   varía   la   potencia   activa   desde   -­‐1pu   (condición   motor)  hasta  1pu   (condición  generador)  y   se   resuelve  el  problema   inverso  en  cada  caso  con  la  corriente  de  campo  máxima  para  hallar  la  potencia  reactiva  de  la  máquina.  Estas  dos  características  forman  un  lugar  geométrico  que  toma  en  cuenta  tanto  las  limitaciones   de   corrientes   de   armadura   como   las   de   campo.   Dicho   lugar  geométrico  es  el  siguiente:    

   9)   Para   hallar   el   triangulo   de   Potier   se   debe   hallar   la   característica   como  condensador   sincrónico.  Esta   consiste   variar   la   tensión  de   armadura  y   ajustar   la  corriente  de  campo  para  tener  la  corriente  nominal  en  la  armadura.  Cabe  destacar  que  este  caso  se  hace  con  la  máquina  como  condensador  sincrónico,  por  lo  tanto  la  potencia   activa   de   la   máquina   es   cero.   Finalmente,   el   problema   se   resuelve  mediante  el  método  directo,  dado  que  se  tiene  P  (siempre  es  cero)  y  Q  (siempre  es  igual  a  la  tensión  de  armadura  para  que  la  corriente  siempre  sea  1pu)  variando  la  tensión   del   estator   y   hallando   la   corriente   de   campo   en   cada   caso.   Luego,   la  característica   como  condensador   sincrónico  en   función  de   la   corriente  de   campo  manteniendo   corriente   nominal   en   la   armadura   y   la   características   lineal   y   de  vacío  para  determinar  el  triangulo  de  Potier  se  muestran  en  la  siguiente  gráfica:    

   10)  Para  determinar  las  curvas  en  V  a  tensión  nominal  para  los  valores  de  potencia  P=[0,   0.2,   0.4,   0.6,   0.8   1.0]   se   resolvió   el   problema   inverso   haciendo   un   barrido  tanto  en  los  valores  de  P  pedidos  como  en  la  corriente  de  campo,  desde  0.4  hasta  1.6   en   por   unidad.   El   bucle   empleado   en   matlab   para   hallar   la   corriente   de  armadura  en  cada  caso  es  el  siguiente:    P=[0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 1.0]; icampo=0.4:0.01:1.6; Ia=zeros(length(P),length(icampo)); for n=1:length(P) for m=1:length(icampo) Q=problema_inverso (P(n),1,icampo(m),1,.2,1,1); Ia(n,m)=abs(P(n)-1i*Q); end end  Con  ello  se  realizó  la  gráfica  de  curvas  en  V:

 O  aún  mejor,  en  3D:  

   11)  Otras  gráficas  interesantes:    

Se  me  ocurrió  que  una  característica  que  puede  ser  útil  es  la  de  cómo  varían  los   grados   de   saturación   tanto   en   el   eje   directo   como   en   el   eje   cuadratura   para  valores  distintos  del  factor  de  potencia  que  tenga  la  máquina,  manteniendo  fija  la  potencia  aparente.    Así   ,  para  obtener  estas  gráficas  se  debe  resolver  el  problema  directo  para  valores  de  S  fijos  pero  variando  el  factor  de  potencia.  Los  resultados  de  estos  ensayos  se  muestran  en  las  siguientes  gráficas: