Modelación y Control de Máquinas Eléctricas Parte...
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Modelación y Control de Máquinas Eléctricas Parte III Dr. José Manuel Aller Castro Escuela Superior Politécnica de Chimborazo Riobamba, Mayo 2015
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Modelación y Control de MáquinasEléctricasParte III
Dr. José Manuel Aller Castro
Escuela Superior Politécnica de Chimborazo
Riobamba, Mayo 2015
Control Directo de Par y Flujo I
I Durante la década de los ochenta, Takahashi introduce unatécnica avanzada de control escalar denominada controldirecto de par y flujo (DTC) o direct self-control (DSC),la cual suministra la consigna de disparo para lascomponentes de un inversor en tensión.
I Esta técnica permite obtener una característica dinámicadel accionamiento comparable con la de otrosaccionamientos por control vectorial.
I Recientemente, este esquema de control ha sidointroducido comercialmente en diferentes convertidores dedistintas industrias despertando un alto interés a nivelindustrial.
Control Directo de Par y Flujo II
I Este esquema, como su nombre lo indica, se basa en elcontrol del par eléctrico de la máquina y del flujo en elestator, a través de la selección del vector espacial detensión más apropiado de una tabla, para seguir lareferencia de estas señales. La información de disparo delas componentes del inversor para cada vector espacial detensión está contenida en la tabla de control.
I Expresión vectorial de par eléctrico y del enlace de flujo enel estator
Control Directo de Par y Flujo III
I La expresión del par eléctrico puede ser representada deforma más sencilla, a través del producto vectorial de lacorriente del rotor y del estator como:
Te = Ler(iqeidr − ideiqr
)= Ler
(−→ier ×−→ie)
(1)
Control Directo de Par y Flujo IVI El enlace de flujo del estator se puede obtener, a partir de
la integración directa de la fuerza electromotriz en losdevanados del estator.
~λe =
ˆ (~ve−Re~ie
)dt = Le~ie + Ler~ier (2)
donde:
−→xe =√
23
[1 ej 2π
3 ej 4π
3
][xae(t) xbe(t) xce(t)
]t∀x ∈ {v , i ,λ}
(3)−→xe =
√2
3 e−j π
6
[1 ej 2π
3 ej 4π
3
][xabe(t) xbce(t) xcae(t)
]t∀x ∈ {v}
(4)
Control Directo de Par y Flujo V
I Para calcular el enlace de flujo del estator a partir de laintegral de la expresión (2) es necesario realizar lamedición directa de la tensión y corriente en los terminalesdel estator.
I Despejando el vector especial de la corriente del rotor de laexpresión (2) y sustituyendo el resultado en la expresión(1), se obtiene el par eléctrico de la máquina de inducciónen función del vector espacial del flujo y la corriente delestator.
Te =−→λe×
−→ie (5)
Control Directo de Par y Flujo VI
I El único parámetro del modelo de la máquina de induccióninvolucrado en la estimación del par eléctrico instantáneo ydel enlace de flujo del estator, es la resistencia del estator(Re).
I El error introducido en la estimación por la variación deeste parámetro con la temperatura es despreciable y puedeser reducido utilizando métodos de estimación paramétricaen tiempo real.
I El puente inversor trifásico genera ocho diferentes salidasde tensión, dependiendo la tensión en la barra de corrientecontinua y la conectividad de los seis interruptoresestáticos que conforman.
Control Directo de Par y Flujo VIII Utilizando la expresión (4) para cada una de estas posibles
salidas, se puede encontrar el vector espacial de tensiónaplicado sobre los terminales del convertidorelectromecánico.
−→ve =√
23
[1 ej 2π
3 ej 4π
3
]SwVDC (6)
I Donde, Sw es un vector que representa el estado de losinterruptores del puente de dimensión 3x1.
I En este vector, el elemento "1" corresponde al encendidodel interruptor superior, mientras que "0" indica elencendido del interruptor inferior de la misma rama.
I Seis de los vectores espaciales de tensión poseen magnituduniforme y se encuentran desfasados entre ellos. Los otrosdos estados están asociados al vector espacial nulo.
Estrategia de control directo de par II En la figura, se presenta el diagrama en bloques del
controlador directo de par.
Figura: Diagrama en bloques del controlador directo de par.
Estrategia de control directo de par III La magnitud del enlace de flujo y el par eléctrico de
referencia son comparados con los estimados de lamáquina de inducción, que se calculan a partir, de lacorriente del estator, el vector de interrupciones delinversor y la tensión de la barra de continua.
I Los errores de par y flujo son procesados en doscomparadores de histéresis de tres y dos nivelesrespectivamente, a partir de estos resultados y de laposición angular del enlace de flujo del estator sedetermina el vector de interrupciones del inversor.
I El algoritmo del controlador directo de par se fundamentaen escoger el vector espacial de tensión que maximice elcambio necesario en el enlace de flujo del estator, paraajustar el par eléctrico a partir de la expresión 5.
Estrategia de control directo de par III
I El controlador por histéresis del enlace de flujo posee dossalidas digitales de acuerdo al valor del error en lamagnitud del enlace de referencia y el estimado y de labanda de histéresis (HB
(−→λe)
) utilizada, de acuerdo a lassiguientes expresiones:
S(−→λe
) = 1 ∀ error∣∣∣−→λe
∣∣∣ > HB(−→λe
)S(−→
λe
) = 0 ∀ error∣∣∣−→λe
∣∣∣ <−HB(−→λe
) (7)
donde: 2HB(−→λe
)corresponde al ancho de banda de
histéresis del controlador.
Estrategia de control directo de par IV
I Este controlador al mantener la magnitud del enlace deflujo del estator limitada a una banda de histéresis originauna trayectoria circular del vector espacial del enlace deflujo del estator.
I Sustituyendo la expresión (6) en la (2), se obtiene el vectorespacial del enlace de flujo del estator en función de lasalida del puente inversor.
−→λe =
√23
[1 ej 2π
3 ej 4π
3
]SwVDC ·t−Re ·
ˆ −→ie dt +
−→λe
∣∣∣t=0
(8)
Estrategia de control directo de par V
I Considerando que las caídas de tensión en los devanadosdel estator son pequeñas, las variaciones en la direccióndel enlace de flujo del estator
−→λe, son ocasionadas por la
dirección del vector espacial de tensión aplicado alconvertidor.
I Es decir, una escogencia adecuada del vector espacial detensión aplicado a la máquina de inducción, determina uncontrol sobre la magnitud y trayectoria del enlace de flujodel estator.
Estrategia de control directo de par VI
I En la figura se puede observar la trayectoria del vectorespacial del enlace de flujo del estator y la variación en elenlace de flujo del estator correspondiente a cada uno delos vectores espaciales de tensión del inversor para uninstante de tiempo ∆t .
Estrategia de control directo de par VII
(a) (b)
Figura: (a) Trayectoria del vector especial del enlace de flujo delestator, (b) variación del enlace de flujo en función del vectorespacial de tensión del inversor.
Estrategia de control directo de par VIII
I El controlador por histéresis del par eléctrico posee tressalidas digitales de acuerdo al valor del error en lamagnitud del par de referencia y el estimado y de la bandade histéresis (HB(Te)) utilizada, de acuerdo a las siguientesexpresiones:
S(Te) = 1 ∀ errorTe > HB(Te)
S(Te) =−1 ∀ errorTe < HB(Te)
S(Te) = 0 ∀ −HB(Te) < errorTe < HB(Te)
(9)
I La estrategia del controlador directo de par, se fundamentaen ajustar el par eléctrico al de referencia, mediante elcontrol de la magnitud y sentido de rotación del vectorespacial del enlace de flujo del estator.
Estrategia de control directo de par IX
I Esta posibilidad de ajuste, define seis zonas de operacióndependiendo de la posición del vector espacial del enlacede flujo del estator. Estas zonas de control coinciden con lalocalización de los vectores espaciales de tensión delinversor.
I Cada uno de estas seis zonas de control tiene un ancho deπ/3 radianes y vienen dados por la expresión (10).
I En la figura anterior en la parte (a) se puede observar lasseis zonas de operación .
(2N−3) · π6≤ Z(n) ≤ (2N−1) · π
6(10)
Estrategia de control directo de par X
I En cada zona de operación, una escogencia adecuada delvector espacial de tensión permite incrementar odecrementar la magnitud del enlace de flujo del estator yalterar su sentido de rotación.
I Manteniendo las magnitudes de corriente y el enlace deflujo constante, se puede controlar el par eléctricoresultante, modificando el ángulo relativo entre el enlacede flujo y la corriente del estator.
Estrategia de control directo de par XI
I Este ángulo relativo se puede variar controlando el sentidode rotación del vector espacial del enlace de flujo en elestator.
I Por ejemplo, si el vector espacial del enlace de flujo seencuentra en la primera zona de operación Z(1), y se deseaaumentar la magnitud del enlace, se debe aplicar sobre losterminales de la máquina el vector espacial de tensión −→v2 siel par de referencia es menor que la referencia o el vectorespacial −→v6 si el par eléctrico es mayor que la referencia.
I En la tabla 1 se presenta la secuencia de disparo delinversor para la estrategia de control directo de par, a partirde la posición del enlace de flujo del estator, y la salida delos comparadores de histéresis del flujo y par eléctrico.
Estrategia de control directo de par XII
I Con la finalidad de incrementar la velocidad de cambio delpar eléctrico y magnitud del enlace de flujo, no se utiliza elvector espacial de tensión que se encuentra dentro de lazona de localización del enlace de flujo, así como tampocoel localizado en la zona opuesta.
Estrategia de control directo de par XIII
Cuadro: Secuencia de disparo del inversor para el controladordirecto de par.
S(−→λe)
S(Te) Z(1) Z(2) Z(3) Z(4) Z(5) Z(6)
1 1 −→v1−→v5
−→v4−→v6
−→v2−→v3
1 0 −→v7−→v0
−→v7−→v0
−→v7−→v0
1 −1 −→v5−→v4
−→v6−→v2
−→v3−→v1
0 1 −→v2−→v3
−→v1−→v5
−→v4−→v6
0 0 −→v0−→v7
−→v0−→v7
−→v0−→v7
0 −1 −→v6−→v2
−→v3−→v1
−→v5−→v4
Estrategia de control directo de par XIV
I Este procedimiento es el utilizado por el control directo depar, para el ajuste del enlace de flujo del estator y del pareléctrico a los valores de referencia.
I Las respuestas dinámicas de los accionamientos de lamáquina de inducción que utilizan control directo de par,son comparables a los obtenidos con otros esquemas decontrol vectorial.
I La estimación del enlace de flujo de estator y del pareléctrico instantáneo sólo depende de la resistencia delestator (Re), a diferencia de otros controladores vectorialescomo el de campo orientado en los que los estimadores,dependen de un conjunto mayor de parámetros del modelode la máquina de inducción.
Estrategia de control directo de par XV
I Entre estos parámetros encontramos: las inductancias delestator, rotor y mutua del estator-rotor, la constante detiempo del rotor, estos parámetros son fuertementeafectados durante la operación del convertidorelectromecánico, por las variaciones del grado desaturación magnética y la temperatura.
I El efecto por variaciones de la temperatura sobre laresistencia del estator es despreciable y puede sercorregida en línea con métodos de estimación paramétrica.
Estrategia de control directo de par XVI
I Entre las características del control directo de par tenemos:
I No utiliza realimentación en corriente.I No utiliza el esquema tradicional de control por ancho de
pulso.I Los controladores por histéresis del enlace de flujo del
estator y del par eléctrico generan un rizado sobre estasvariables.
I La frecuencia de conmutación del puente inversor no esconstante y depende de la banda de histéresis de loscontroladores de par eléctrico y del enlace de flujo.
Estrategia de control directo de par XVII
I En la figura se presenta la respuesta del esquema DTC alseguir una consigna de velocidad, para una máquina deinducción de 200HP alimentada con un puente inversor,desde un sistema trifásico de 460V a frecuencia industrialde 60Hz.
I La conversión AC - DC se realiza con un rectificador nocontrolado trifásico.
Estrategia de control directo de par XVIII
Figura: Velocidad mecánica, par y tensión de la barra decontinua para el accionamiento de DTC
Estrategia de control directo de par XIX
(a)
Estrategia de control directo de par XX
(b) Detalle
Figura: Tensión y corriente en la fase “a” del motor de inducciónpara el accionamiento de DTC
Estrategia de control directo de par XXI
(a)
Estrategia de control directo de par XXII
(b) Detalle
Figura: Tensión y corriente en la fase “a” de la fuente alternapara el accionamiento de DT C
Introducción al control de la MS I
I Las máquinas de corriente continua y de inducción tienenun amplio rango de aplicaciones industriales tales comotracción, bombeo, control y otros.
I Sin embargo, la operación del sistema eléctrico de potenciarequiere la conversión de grandes cantidades de energíaprimaria, en energía y potencia eléctrica.
I La energía eléctrica puede ser transportada y convertida enotras formas de energía en forma limpia y económica.
I La máquina sincrónica es hoy por hoy, el convertidorutilizado más ampliamente para realizar esta tarea.
I Dependiendo del sistema mecánico de accionamiento, lasmáquinas sincrónicas pueden construirse de rotor lisocuando deban operar en altas velocidades, o con rotor depolos salientes cuando son accionadas a menor velocidad.
Introducción al control de la MS II
I Aun cuando un gran porcentaje de máquinas sincrónicasson utilizadas como generadores en las plantas deproducción de energía eléctrica, debido a su altorendimiento que es posible alcanzar con estosconvertidores y a la posibilidad de controlar la tensión, ennumerosas ocasiones se emplea industrialmente comoelemento motriz.
I Como otros convertidores electromecánicos, la máquinasincrónica es completamente reversible y se incrementa díaa día el número de aplicaciones donde puede ser utilizadacon grandes ventajas, especialmente cuando se controlamediante fuentes electrónicas de frecuencia y tensiónvariable.
Introducción al control de la MS IIII El principal inconveniente para su uso como motor es que
no desarrolla par de arranque, pero si se incluye en el rotorde la máquina un devanado auxiliar de jaula de ardilla, esposible obtener par de aceleración como motor deinducción hasta una velocidad cercana a la de sincronismo,y excitar en el momento apropiado la bobina del campo,con la finalidad de sincronizar la máquina a la redmediante los pares transitorios adicionales que se obtienendurante este proceso.
I Si la fuente de alimentación puede reducir la frecuenciaangular de las tensiones o corrientes de armadura a valoresmuy bajos, la máquina es capaz de sincronizarse a esa redy posteriormente ser acelerada al mismo tiempo que seincrementa paulatinamente la frecuencia de la fuente.
Introducción al control de la MS IV
I Como la construcción de fuentes de gran potenciacontroladas en frecuencia es hoy día factible mediantepuentes inversores con interruptores estáticos, es posibleque en el futuro esta máquina incremente notablemente suimportancia como accionamiento industrial, e inclusodesplace a las máquinas de corriente continua.
Descripción de la Máquina SincrónicaI La máquina sincrónica es un convertidor electromecánico
de energía con una pieza giratoria denominada rotor ocampo, cuya bobina se excita mediante la inyección de unacorriente continua, y una pieza fija denominada estator oarmadura por cuyas bobinas circula corriente alterna.
I Las corrientes alternas que circulan por los enrollados delestator producen un campo magnético rotatorio que gira enel entre hierro de la máquina con la frecuencia angular delas corrientes de armadura.
I El rotor debe girar a la misma velocidad del campomagnético rotatorio producido en el estator para que el pareléctrico medio pueda ser diferente de cero.
I El rotor gira mecánicamente a la misma frecuencia delcampo magnético rotatorio del estator durante la operaciónen régimen permanente.
La Máquina Sincrónica
Figura: Partes de las máquinas sincrónicas
La Máquina Sincrónica
I Durante la operación de la máquina sincrónica en régimenpermanente, la velocidad mecánica del rotor es igual a lavelocidad angular del campo magnético rotatorioproducido por el estator. En estas condiciones, sobre losconductores o bobinas del campo no se induce fuerzaelectromotriz.
I Para producir fuerza magnetomotriz en el rotor esnecesario inyectar corriente en esta bobina mediante unafuente externa. De esta forma se obtienen dos campomagnéticos rotatorios que giran a la misma velocidad, unoproducido por el estator y otro por el rotor.
I Los campos interactúan produciendo par eléctrico medio yse realiza el proceso de conversión electromecánica deenergía.
La Máquina Sincrónica
I La condición necesaria, pero no suficiente, para que el parmedio de la máquina sea diferente de cero es:
ωe = p ·ωm
donde:p es el número de pares de polos de la máquina
sincrónica.
La Máquina Sincrónica
I La bobina del rotor o campo de la máquina sincrónica sealimenta mediante la inyección de corriente continua,como se mencionó anteriormente, con la finalidad deproducir un campo magnético de magnitud constante,semejante al de un imán permanente, pero de unaintensidad mucho mayor.
I Debido a que el rotor de la máquina gira en régimenpermanente a la velocidad sincrónica, el campo magnéticoconstante producido en este sistema se comporta, desde elpunto de vista del estator, como un campo magnéticorotatorio.
La Máquina Sincrónica
Figura: Esquema básico de una máquina sincrónica trifásica de polossalientes
La Máquina SincrónicaI Para evaluar la magnitud del par en una máquina
sincrónica se puede utilizar la expresión:
Te = k ·Fr Fe sinδ
donde:k es una constante de proporcionalidad que depende
de la geometría de la máquina y de la disposiciónfísica de las bobinas.
Fe es la amplitud de la distribución sinusoidal de lafuerza magnetomotriz del estator.
Fr es la amplitud de la distribución sinusoidal de lafuerza magnetomotriz del rotor.
δ es el ángulo entre las amplitudes de las dos fuerzasmagnetomotrices, conocido generalmente comoángulo de carga.
Modelo de la Máquina Sincrónica I
I Analizando el comportamiento de los ejes eléctricos de lamáquina sincrónica en el sistema de coordenadascorrespondiente a las bobinas reales o físicas, se satisfaceel siguiente sistema de ecuaciones:
[vabc,f
]=[Rabc,f
][iabc,f
]+
ddt[λabc,f
]I En los sistemas lineales, la relación entre las corrientes que
circulan por las bobinas y los enlaces de flujo que lasenlazan vienen dados por la relación:[
λabc,f (θ , i)]
=[Labc,f (θ )
][iabc,f
]
Modelo de la Máquina Sincrónica II
I Analizando el comportamiento de los ejes eléctricos de lamáquina sincrónica en el sistema de coordenadascorrespondiente a las bobinas reales o físicas, se satisfaceel siguiente sistema de ecuaciones:
[vabc,f
]=[Rabc,f
][iabc,f
]+
ddt[λabc,f
](11)
I En los sistemas lineales, la relación entre las corrientes quecirculan por las bobinas y los enlaces de flujo que lasenlazan vienen dados por la relación:[
λabc,f (θ , i)]
=[Labc,f (θ )
][iabc,f
](12)
Modelo de la Máquina Sincrónica III
I Sustituyendo esta relación en la expresión 11 se obtiene elresultado siguiente:
[vabc,f
]=
[Rabc,f
][iabc,f
]+[Labc,f
] ddt[iabc,f
]+
dθ
dtddt[Labc,f
][iabc,f
]=
=[Rabc,f
][iabc,f
]+[Labc,f
]p[iabc,f
]+ θ̇ ·
[τabc,f
][iabc,f
](13)
I El sistema de ecuaciones diferenciales 13 representa elcomportamiento dinámico de las bobinas de la máquinasincrónica en coordenadas primitivas.
I Este sistema se expresa en forma canónica como:
p[iabc,f
]=[Labc,f
]−1{[
vabc,f]−[[
Rabc,f]+ θ̇ ·
[τabc,f
]][iabc,f
]}(14)
Modelo de la Máquina Sincrónica IVI La matriz de inductancia
[Labc,f
]depende de la posición
relativa θ del rotor con respecto al estator, por esta razón lamatriz de transición de estado también depende de laposición angular del rotor.
I Si la velocidad de la máquina es constante, la posiciónangular del rotor es:
θ = θ0 + ωmt (15)
I Los computadores personales actuales son capaces deresolver este problema, aun cuando en el pasado estoscálculos representaban grandes dificultades.
I Durante los períodos transitorios, la velocidad angular dela máquina cambia y la posición angular del rotor es unanueva variable de estado que debe ser evaluada paradeterminar su dependencia temporal.
Modelo de la Máquina Sincrónica V
I En este caso es necesario incorporar una ecuaciónadicional al sistema 14 para representar el comportamientodinámico del eje mecánico de la máquina:
12[iabc,f
]t [τabc,f
][iabc,f
]−Tm = J θ̈ + αθ̇ (16)
I La ecuación 16 representa el balance del par eléctrico ymecánico en el eje del rotor.
I El par acelerante es igual al par eléctrico del convertidor,menos el par resistente opuesto por la carga y por laspérdidas mecánicas.
Modelo de la Máquina Sincrónica VI
I La ecuación diferencial de segundo orden 16 puedeexpresarse mediante dos ecuaciones diferenciales deprimer orden:{
ω̇m = 1J
(12[iabc,f
]t [τabc,f
][iabc,f
]−Tm−αθ̇
)θ̇ = ωm
(17)Donde:J es el momento de inercia del rotorTm es el par mecánico resistenteα es el coeficiente de fricción dinámica
Modelo de la Máquina Sincrónica VIII La matriz de inductancias de la máquina sincrónica
esquematizada en la figura 7 posee la siguiente estructura:
[Labc,f (θ )
]=
[[Lee(θ )] [Ler (θ )][Lre(θ )] Lf
](18)
[Lee(θ )] =
Laa(θ ) Mab(θ ) Mac(θ )Mba(θ ) Lbb(θ ) Mbc(θ )Mca(θ ) Mcb(θ ) Mcc(θ )
[Lef (θ )] = [Lfe(θ )]t =
Maf (θ )Mbf (θ )Mcf (θ )
Donde:e es el subíndice referido a las bobinas del estatorf es el subíndice referido a las bobinas del campo
Modelo de la Máquina Sincrónica VIIIa,b,c son los subíndices de las tres bobinas físicas delestator
I Estas inductancias se pueden representar aproximadamentemediante las siguientes funciones:
Laa(θ) = L1e +M2e cos2θ + · · · (19)
Lbb(θ) = L1e +M2e cos2(θ − 2π
3)+ · · · (20)
Lcc(θ) = L1e +M2e cos2(θ − 4π
3)+ · · · (21)
Mab(θ) = Mba(θ) =−M1e−M2e cos2(θ +π
6)+ · · · (22)
Mac(θ) = Mca(θ) =−M1e−M2e cos2(θ − π
6)+ · · · (23)
Mbc(θ) = Mcb(θ) =−M1e−M2e cos2(θ − π
2)+ · · · (24)
Modelo de la Máquina Sincrónica IX
Donde:
Ld ≡32
(L1e + M2e) ; Lq ≡32
(L1e−M2e)
Ldf ≡√
32
Mef
L1e =Ld + Lq
3; M2e =
Ld −Lq
3
M1e 'L1e
2
Modelo de la Máquina Sincrónica XI Las inductancias mutuas entre el estator y el rotor pueden
ser aproximadas mediante las siguientes funciones:
Maf (θ ) = Mfa(θ ) = Mef cosθ + · · · (25)
Mbf (θ ) = Mfb(θ ) = Mef cos(θ − 2π
3) + · · · (26)
Mcf (θ ) = Mfc(θ ) = Mef cos(θ − 4π
3) + · · · (27)
I Si el rotor de la máquina sincrónica es liso, todas lasinductancias del estator son independientes de la posicióndel rotor. En esta situación la matriz de inductancias[Labc,f (θ )
]se expresa de la siguiente forma:
[Labc,f (θ)
]=
L1e M1e M1e Mef cosθ
M1e L1e M1e Mef cos(θ − 2π
3 )
M1e M1e L1e Mef cos(θ − 4π
3 )
Mef cosθ Mef cos(θ − 2π
3 ) Mef cos(θ − 4π
3 ) Lf
(28)
Transformación a vectores espaciales I
I Para aplicar la transformación de vectores espaciales a lasecuaciones 13 y 16 que representan el comportamiento dela máquina sincrónica en coordenadas primitivas, esconveniente expresar por separado las ecuaciones delestator y del rotor:
[ve] = [Re] [ie] + p{[Lee] [ie] + [Lef ] if} (29)
vf = Rf if + p{[Lfe] [ie] + Lf if} (30)
Transformación a vectores espaciales III Aplicando esta transformación de vectores espaciales a la
expresión 29, se obtienen el siguiente resultado:
ve = Reie +p
{(L1e +M1e) ie +
32
M2eej2θ i∗e +
√32
Mef ejθ if
}(31)
Donde:
ve =
√23
(va + αvb + α
2vc
)(32)√
23[
1 α α2]
[Re] [ie] = Reie (33)√23[
1 α α2]
[Lee] [ie] =
=
√23[
1 α α2]· · · ·
Transformación a vectores espaciales III
· · · ·
L1e −M1e −M1e−M1e L1e −M1e−M1e −M1e L1e
+M2e
cos2θ −cos2(θ + π
6 ) −cos2(θ − π
6 )
−cos2(θ + π
6 ) cos2(θ − 2π
3 ) −cos2(θ − π
2 )
−cos2(θ − π
6 ) −cos2(θ − π
2 ) cos2(θ − 4π
3 )
[ie ]=
(L1e + M1e) ie +32
M2eej2θ i∗e =
=12
(Ld + Lq) ie +12
(Ld −Lq)ej2θ i∗e (34)
√23[
1 α α2][Lef ] if =
√32
Mef ejθ if = Ldf ejθ if (35)
I Reemplazando las definiciones de los vectores espacialesen la ecuación 30 se obtiene:
vf = Rf if + p{
Ldf
[ejθ i∗e + e−jθ ie
2
]+ Lf if
}(36)
Transformación a vectores espaciales IVI El par eléctrico es:
Te =12[iabc,f
]t [τabc,f
][iabc,f
]=
12[ie]t [τee] [ie]+ [ie]t [τef ] if =
= jM2e
2[ie ]t
ej2θ
−1 e−j π
3 ej π3
e−j π3 −e−j 4π
3 e−jπ
ej π3 e−jπ −e−j 8π
3
−e−j2θ
−1 ej π
3 e−j π3
ej π3 −ej 4π
3 ejπ
e−j π3 ejπ −ej 8π
3
[ie ]+ · · ·
· · ·+ jMef
2[ie]t
ejθ
1e−j 2π
3
e−j 4π
3
−e−jθ
1ej 2π
3
ej 4π
3
if =
=34j
M2e
{(e−jθ ie)2− (ejθ i∗e)
2}+ j
Mef
2
√32
{ejθ i∗e−e−jθ ie
}if =
=12(Ld −Lq)ℑm
{(e−jθ ie)2
}+Ldf ℑm
{e−jθ ie
}if (37)
Transformación a coordenadas rotóricas I
I Para eliminar la dependencia en θ existente en el modelode la máquina sincrónica en vectores espaciales, es posiblereferir las variables del estator al sistema de referencia delrotor, el cual se encuentra exactamente en la posición θ
con respecto al sistema solidario con el estator.
vdqe = vd + jvq = vee−jθ (38)
idqe = id + jiq = iee−jθ (39)
I Derivando la expresión 39 se obtiene la relación siguiente:
e−jθ pie = pid + jpiq + j θ̇ idqe (40)
Transformación a coordenadas rotóricas III Al multiplicar la ecuación 31 por el término de rotación
e−jθ se obtiene:
e−jθ ve = Reiee−jθ + · · ·
+e−jθ p{
12(Ld +Lq) ie +
12(Ld −Lq)ej2θ i∗e +Ldf ejθ if
}⇒
vdqe = Reidq
e +12(Ld +Lq)
(pidq
e + j θ̇ idqe
)+ · · ·
· · ·+ 12(Ld −Lq)
(pidq∗
e + j θ̇ idq∗e
)+Ldf
(pif + j θ̇ if
)(41)
I Descomponiendo la expresión 41 en parte real y parteimaginaria resulta:
vd = Reid +p (Ld id +Ldf if )− θ̇Lq iq = Reid +pλd − θ̇λq (42)
vq = Reiq +p(Lq iq
)+ θ̇ (Ld id +Ldf if ) = Reiq +pλq + θ̇λd (43)
Transformación a coordenadas rotóricas IIII Realizando transformaciones semejantes en la ecuación 36
se obtiene el resultado siguiente:
vf = Rf if + p{
Ldf2
[idqe +
(idqe
)∗]+ Lf if
}=
vf = Rf if + p (Lf if + Ldf id ) = Rf if + pλf (44)
I Finalmente, transformando las variables espaciales de laexpresión 37 correspondiente al par eléctrico, se obtiene:
Te =12
(Ld −Lq)ℑm{
(idqe )2
}+ Ldf ℑm
{e−jθ ie
}if =
=(Ld −Lq
)id iq +Ldf iq if = λd iq−λq id = λ
dqe × idq
e (45)
La Máquina Sincrónica II El sistema de ecuaciones diferenciales que determina el
comportamiento dinámico de la máquina sincrónica sepuede expresar de la siguiente forma:
vd = Reid + pλd −ωλqvq = Reiq + pλq + ωλdvf = Rf if + pλf
J ω̇ = λdqe × idq
e −Tm(ω)
Te =(Ld −Lq
)id iq + Ldf iq if = λd iq−λq id
donde:λd = Ld id + Ldf if , λq = Lq iq,
λf = Lf if + Ldf id
,λ dqe = λd + jλq .
Transformación de Park
I En la máquina sincrónica, el campo magnético rotatorioproducido por las fuerzas magnetomotrices de losdevanados estatóricos, gira a la velocidad sincrónica ωe.
I El rotor de la máquina también gira a la velocidadsincrónica ωr = ωe.
I Por esta razón es conveniente referir las ecuacionesdiferenciales que definen el comportamiento de la máquinaa un sistema de coordenadas solidario con el rotor.
Transformación de ParkDe acuerdo con estos lineamientos se definen lossiguientes ejes magnéticos:
Eje d : Gira con respecto al estator a lavelocidad del rotor, y en todomomento se encuentra colineal con eleje magnético del campo.
Eje q : Rota con respecto al estator a lavelocidad del rotor, y en todomomento se encuentra en cuadraturacon el eje magnético del campo.
Eje 0 : Fijo en el estator y se encuentradesacoplado magnéticamente delresto de los ejes de la máquina.
Eje f : Solidario con el sistema rotórico ycolineal con el eje magnético de labobina de campo.
Modelo dq de la Máquina Sincrónica
vdvqv0vf
=
Re +Ldp −ωLq 0 Ldf p
ωLd Re +Lqp 0 ωLdf0 0 R0 +L0p 0
Ldf p 0 0 Rf +Lf p
idiqi0if
Jpω = (Ld −Lq) id iq +Ldf iq if −ρω−Tm
Modelo dq de la MS
Figura: Modelo en coordenadas dq0− f de la máquina sincrónica
Potencia y Par Eléctrico
I Las máquinas sincrónicas tienen rendimientos muy altos,particularmente cuando son de gran potencia. En unamáquina sincrónica típica, la potencia mecánica en el ejees prácticamente igual a la potencia eléctrica en bornes dela máquina.
Pm = Tm ·ωm ≈ Pe = Te ·ωe
I La potencia eléctrica es:
Pe(t) = vaia + vbib + vc ic = vd id + vq iq + v0i0
Potencia Eléctrica en RP
I En régimen permanente equilibrado, las corrientes y lastensiones en coordenadas transformadas sonindependientes del tiempo. La potencia eléctrica se calculacomo:
Pe = 3Ef Ve
Xdsinδ + 3
Xd −Xq
2XdXqV 2
e sin2δ
I El segundo término de la expresión anterior depende de ladiferencia entre las reactancia del eje directo y cuadratura.
I El primer término depende de la fuerza electromotriz Efproducida por la corriente de campo. En una máquina derotor liso, este es el único término de la potencia eléctricaque interviene en el proceso de conversión de energía.
El ángulo de carga δ
I El ángulo δ se denomina ángulo de carga de la máquina yrepresenta la diferencia de fase entre la fuerzaelectromotriz producida por el flujo del campo y la tensiónde armadura.
I El ángulo de carga define el estado o punto de operaciónde la máquina, es análogo a la variable deslizamiento en elcaso de la máquina de inducción.
Figura: Potencia eléctrica de la máquina sincrónica de polos salientes
Potencia Aparente
I La potencia aparente en el estator de la máquina sincrónicase calcula de la siguiente forma:
Se = 3Ve · I∗e = 3(Vd + jVq)(Id − jIq) =
= 3[(Vd Id + VqIq) + j(VqId −Vd Iq)
]= Pe + jQe
I La potencia reactiva expresada en función de las variablesdel diagrama fasorial se obtiene:
Qe = 3Ef Ve
Xdcosδ −3
V 2e
XdXq(Xq cos2
δ + Xd sin2δ )
Punto de OperaciónI El punto de operación de la máquina sincrónica queda
definido al conocer el valor del ángulo de carga δ
Figura: Variación de la potencia eléctrica con el ángulo de carga ypunto de máxima potencia
Ángulo de Carga Máximo
I Para las máquinas sincrónicas de polos salientes:
δmax = arccos
√ X 2q E2
f16(Xd −Xq)2Ve
+12−
XqEf
4(Xd −Xq)Ve
I Para las máquinas sincrónicas de rotor liso:
δmax = arccos(0) =π
2⇒ Pemax =
Ef Ve
Xs
Circuito equivalente de la máquina sincrónica
Figura: Circuitos equivalente de la máquina sincrónica en convenciónmotor
Rango de Inductancias de la MS
Cuadro: Rango típico de los valores de las inductancias de la máquinasincrónica de polos salientes
Inductancia Rango en puLdf = Lmd = Lmf 0,7∼ 1,1
Lmq 0,5∼ 0,7Lσd ≈ Lσq = σd Ldf (0,1∼ 0,2)Ldf
Lσ f = σf Ldf (0,2∼ 0,3)LdfLd = (1 + σd )Ldf (1,1∼ 1,2)LdfLf = (1 + σf )Ldf (1,2∼ 1,3)Ldf
Lq = (1 + σq)Lmq (1,1∼ 1,2)Lmq
L′d = Ld −
L2df
Lf(0,27∼ 0,43)Ldf
L′f = Lf −
L2df
Ld(0,29∼ 0,47)Ldf
Máquinas de Imán PermanenteI Los materiales magnéticos fueron utilizados en la
fabricación de máquinas eléctricas a partir de la década delos cincuenta.
Figura: Característica de magnetización de los imanes permanentes.
Máquinas de Imán Permanente
Figura: Característica de remanencia del imán permanente.
Máquinas de Imán Permanente
Figura: Esquema de montaje de los imanes permanentes en el rotor.
Máquinas de Imán PermanenteI Los esquemas de montaje superficial de los imanes (a) y
(b), originan que la reactancia de eje directo y cuadraturasean similares (Ld ≈ Lq) , mientras que el montaje de losimanes embutido en el rotor origina que la reactancia decuadratura sea mayor que la de eje directo (Lq > Ld ). Porlas facilidades constructivas la mayoría de las máquinassincrónica de imán permanente presentan una disposiciónsuperficial de los imanes.
Figura: Máquina sincrónica de imán permanente.
Ecuaciones de la MSIP Referidas al Rotor
I Modelo dinámico de la máquina sincrónica de imánpermanente:
vd = Reid + pλd −ωλqvq = Reiq + pλq + ωλd
J ω̇ = λdqe × idq
e −Tm(ω)
donde:
λd = Ld id + λaf ; λq = Lq iq ; λdqe = λd + jλq
Ecuación del Par en una MSIP
I El sistema de ecuaciones es similar al de una MS, donde elenlace de flujo del campo, se sustituye por el producidopor el imán permanente (λaf ).
I El par eléctrico de la ecuación, se obtiene:
Te = λaf iq +(Ld −Lq
)iq id
I Para imanes con montaje superficial esta ecuación sereduce a:
Te = λaf iq
Accionamiento de la máquina sincrónicaControl tensión frecuencia constante
Figura: Esquema del accionamiento v/f = cte para máquinassincrónicas
Accionamiento de la máquina sincrónicaControl tensión frecuencia constante
Figura: Características par velocidad para el accionamiento v/f = ctede la máquina sincrónica
Accionamiento de la máquina sincrónicaControl vectorial
I Para simplificar la ecuación de par de la máquinasincrónica cuando se realiza control vectorial es escogeque la corriente del eje cuadratura de la máquina sea iguala cero (id = 0) , en esta condición el vector espacial decorriente y el par se reduce a:
Te = λf iq
idqe ≡ jiq = iee−jθ
I En el caso de máquinas de imán permanente se sustituye elenlace de flujo del campo ( λf ) por el enlace de flujoequivalente del imán (λaf ).
Accionamiento de la máquina sincrónicaControl vectorial
Figura: Diagrama de control vectorial de la máquina sincrónica
Ejemplo de MSPSI Máquina de sincrónica de polos salientes de 200HP
alimentada con un puente inversor , desde un sistematrifásico de 460V a de 60Hz. La conversión AC-DC serealiza con un rectificador activo trifásico.
Figura: Velocidad mecánica, par eléctrico y flujo del estator para elaccionamiento de la máquina sincrónica de polos salientes
Ejemplo de MSPS
Figura: Tensión y corriente en la fase “a” del motor para elaccionamiento de la máquina sincrónica de polos salientes
Ejemplo de MSPS
Figura: Tensión y corriente en la fase “a” y Tensión en la barra decorriente continua del rectificador de la fuente alterna elaccionamiento de la máquina sincrónica de polos salientes
Ejemplo de MSIPI MSIP con distribución de flujo sinusoidal de 5HP
alimentada con un puente inversor , desde un sistematrifásico de 220V a 60Hz. La conversión AC-DC serealiza con un rectificador no controlado trifásico.
Figura: Velocidad mecánica y par eléctrico para el accionamiento dela máquina sincrónica de imán permanente
Ejemplo de MSIP
Figura: Tensión y corriente en la fase “a” del motor para elaccionamiento de la máquina sincrónica de imán permanente
Ejemplo de MSIP
Figura: Tensión y corriente en la fase “a” de la fuente alterna elaccionamiento de la máquina sincrónica de polos salientes
Control Directo de Par
Figura: Diagrama de control directo de par de la máquina sincrónica
Control Directo de Par
Cuadro: Secuencia de disparo del inversor para el controlador directode par de la máquina sincrónica.
HB(−→λe)
HB(Te) Z(1) Z(2) Z(3) Z(4) Z(5) Z(6)
1 1 −→v5−→v4
−→v6−→v2
−→v3−→v1
1 −1 −→v6−→v2
−→v3−→v1
−→v5−→v4
−1 1 −→v1−→v5
−→v4−→v6
−→v2−→v3
−1 −1 −→v2−→v3
−→v1−→v5
−→v4−→v6
Tarea Parte III I
1. Realice el de simulación dinámica de la máquina deinducción en el entorno Matlab utilizando el método de losvectores espaciales. Este modelo debe tener una bomba enel eje mecánico. Utilice este modelo para representar unarranque controlado mediante la técnica de control directode par (DTC)
2. Los datos de una máquina sincrónica de polos salientesson los siguientes:
VB SB IBf nB ZB
13,2kV 18MVA 0,439 1,54 1,4ZBF ZB−BF VBF IBF TB
1,3864 1,3864 1,2464 1,3864 2,3151s
Cuadro: Valores Base
Tarea Parte III IIRe Ra Rf Ld Lq Lad Laq
0,0211 0,01∼ 0,03 0,439 1,54 1,4 1,54 1,4
Ldf Ldad Lqaq Ladf H ωB
1,3864 1,3864 1,2464 1,3864 2,3151s 377 rad
Cuadro: Parámetros del modelo
La característica par-velocidad de la bomba se puederepresentar mediante el siguiente polinomio:
Tm = 6,01x10−12n6r −1,706x10−8n5
r +1,953x10−5n4r + . . .
· · ·−1,147x10−2n3r +3,808n2
r −569,26x10−12nr +33758 [Nm]
Determine:a) Las corrientes, la velocidad y el par eléctrico si serealiza un arranque directo
Tarea Parte III III
b) Las corrientes y la velocidad utilizando un arranque conuna fuente que mantenga una relación V/f = ctec) Un arranque a par constante utilizando el algoritmoDTC
