Modelación y Control de MáquinasEléctricasParte II

Dr. José Manuel Aller Castro

Escuela Superior Politécnica de Chimborazo

Riobamba, Mayo 2015

Ecuaciones generales en coordenadas αβdq I

I Las ecuaciones de tensión para la máquina en coordenadastransformadasαβdq son:

vαe

vβe

vdr

vqr

=

Re +Lep 0 Ler p 0

0 Re +Lep 0 Ler pLer p θLer Rr +Lr p θLr

−θLer Ler p −θLr Rr +Lr p

iαe

iβe

idr

iqr

(1)

Ecuaciones generales en coordenadas αβdq II

I La ecuación 1 representa a la máquina eléctrica encoordenadas αβdq.

I El colector permite que las inductancias propias y mutuasvistas desde el estator sean independientes de la posicióndel rotor.

I Las escobillas o carbones que recolectan la corriente,neutralizan el efecto del giro de forma análoga a lo querealiza la transformación

[Aαβ ,dq

].

Ecuaciones generales en coordenadas αβdq III

I Para completar las ecuaciones que definen elcomportamiento de la máquina eléctrica en lascoordenadas αβdq, es necesario calcular el par eléctrico:

Te =12

iαe

iβe

idr

iqr

−1

0 0 0 −Ler0 0 Ler 00 Ler 0 0−Ler 0 0 0

iαe

iβe

idr

iqr

=

= Ler(iβe idr − iαe iqr

)(2)

Ecuaciones generales en coordenadas αβdq IV

Figura: Modelo esquemático de la máquina generalizada

Ecuaciones generales en coordenadas αβdq V

I La ecuación de balance del par mecánico es:

Tm = Ler(iβe idr − iαe iqr

)+ J θ + ρθ (3)

I La condición necesaria para la existencia del par eléctricorequiere que existan al menos dos corrientes, una en elestator y otra en el rotor, y que esas corrientes seencuentren en ejes ortogonales del modelo de la máquinageneralizada.

Máquinas de Corriente Continua I

I Una máquina de conmutador está constituida básicamentepor un estator, un rotor y un colector acopladosólidamente al rotor.

I El colector permite conectar galvánicamente losconductores del circuito rotórico o armadura a la fuente detensión continua, mediante un juego de carbones oescobillas solidarios con el estator de la máquina.

Máquinas de Corriente Continua III En la figura siguiente se presenta el diagrama esquemático

de la máquina de corriente continua y un modeloconstructivo simple para fines demostrativos.

(a) Modelo Constructivo (b) Diagrama esquemático

Figura: Máquina elemental de colector

Máquinas de Corriente Continua III

I El principio de operación de las máquinas de corrientecontinua se fundamenta en la inyección de corrientecontinua, tanto en el circuito rotórico como estatórico.

I Estas corrientes producen las fuerzas magnetomotrices Fren el rotor y Fe en el estator, que intentan alinearse.

I Cuando se alcanza el alineamiento, cesa el par eléctrico.I Si en ese preciso instante se invierte el sentido de la

corriente inyectada en el circuito rotórico, la fuerzamagnetomotriz del rotor cambia de sentido 180º y apareceun nuevo par de alineamiento.

Máquinas de Corriente Continua IV

I En la figura siguiente se representa esta situación.

Figura: Alineamiento de fuerzas electromotrices en la máquina

Máquinas de Corriente Continua V

I Analizando los diagramas de la figura anterior se puedenindicar las siguientes observaciones:

I Las fuerzas magnetomotrices en el semiplano positivo,producen par positivo en el sentido de las agujas del reloj.

I Las corrientes que circulan por el rotor deben producir lafuerza magnetomotriz en el plano positivo, para que el parsiempre resulte positivo.

I Para invertir el sentido de la fuerza magnetomotriz delrotor se utiliza el conmutador.

Máquinas de Corriente Continua VII En la figura siguiente se observa que la corriente tiene

como período de repetición una revolución del rotor de lamáquina de corriente continua.

Figura: Conmutador y forma de la corriente del rotor en unperíodo de revolución

Máquinas de Corriente Continua VII

I Al girar el rotor, la escobilla (1), se conecta con la delga(4) y la escobilla (2) se conecta con la delga (3).

I El procedimiento anterior permite la inversión del sentidode circulación de la corriente por el rotor mediante eldispositivo mecánico descrito.

I La corriente interna en el circuito rotórico es alterna.I La corriente inyectada por la fuente es continua.I En la práctica, es necesario un conmutador por cada

bobina del rotor, pero por simplicidad en el análisis se hasupuesto que la máquina posee una sola bobina.

Máquinas de Corriente Continua VIIII Con la distribución de la corriente de armadura que se

representa en la figura siguiente, la fuerza magnetomotrizproducida en el rotor se encuentra en el semiplano positivoy se produce un par positivo que intenta alinear esta fuerzamagnetomotriz con la fuerza magnetomotriz producida porel enrollado de campo de la máquina.

Figura: Alineamiento de las corrientes por los conductores delrotor para producir par positivo

Máquinas de Corriente Continua IX

I En esta situación, los conductores contribuyen al par en ladirección positiva del movimiento, debido a que losconductores ubicados a la derecha de la figura producenfuerza tangencial hacia abajo, mientras que los de laizquierda producen fuerzas tangenciales hacia arriba.

I En un alineamiento conductivo semejante al ilustrado en lafigura siguiente, existe equilibrio de fuerzas sobre elmismo brazo y el par resultante es nulo.

Máquinas de Corriente Continua X

Figura: Alineamiento de las corrientes de armadura que noproduce par efectivo en el eje

Máquinas de Corriente Continua XI

I Este análisis elemental explica la conveniencia de utilizarla distribución de las corrientes de armadura presentada enla figura anterior, con la finalidad de obtener par eléctricosignificativo en la máquina de corriente continua.

I En las máquinas de conmutador, el plano que contiene eleje mecánico y corta diametralmente al rotor se denominalínea neutra de la máquina.

Máquinas de Corriente Continua XIII La línea neutra divide los puntos del rotor en los que entra

el flujo de aquellos en los cuales el flujo sale.

Figura: Abatimiento lineal de una máquina rotativa de corrientecontinua

Máquinas de Corriente Continua XIII

I Para lograr la inversión en el sentido de la corriente, esnecesario un dispositivo conmutador por cada bobina.

I Esta solución es muy primitiva, el conmutador puede sermejorado mediante una distribución conveniente de losconductores que permita obtener el resultado deseado.

I En la figura anterior se representa un abatimiento lineal dela superficie del estator y de los conductores del rotor.

I Es conveniente realizar una conexión de los conductoresdel rotor, de tal forma que sólo se necesite un par deescobillas y no una por cada espira.

Máquinas de Corriente Continua XIV

I Esta situación se puede obtener conectando las bobinas enserie. La otra condición que debe cumplirse es que alcambiar de posición la espira, en ella debe cambiar elsentido de la corriente, pero no en las otras espiras.

I En la figura siguiente se muestra una forma posible derealizar las conexiones de los conductores del circuito dearmadura.

Máquinas de Corriente Continua XV

Figura: Conexión de los conductores del rotor

Máquinas de Corriente Continua XVI

I Los conductores conectados a los terminales (1) y (2) dela figura anterior se encuentran en una situación diferenteal resto de los conductores del circuito rotórico porque sonlos extremos de la bobina.

I Para resolver este inconveniente se conecta un segundodevanado similar al anterior en las mismas ranuras delrotor y conectados en paralelo.

Máquinas de Corriente Continua XVIII En la figura siguiente se observa el abatimiento lineal de

estas dos bobinas.

Figura: Armadura de la máquina

Máquinas de Corriente Continua XVIII

I Con esta distribución de los conductores del devanado dearmadura, es suficiente inyectar corriente entre dos delgasseparadas 180º eléctricos para que la corriente circule enuna dirección en una mitad de la periferia del rotor y ensentido contrario en la otra.

I Disponiendo de esta forma las bobinas, toda la superficiedel rotor puede ser aprovechada para la producción de par.

I Si las escobillas se colocan alineadas convenientemente, seobtendrá siempre corriente en un sentido en el polo nortede la máquina y en sentido contrario en el polo sur.

I Cuando un conductor atraviesa la línea neutra, se invierteel sentido de su corriente y por esta razón el par producidosobre él mantiene la misma dirección.

Máquinas de Corriente Continua XIXI En la práctica se utilizan dos esquemas básicos para

bobinar el circuito de armadura de las máquinas decorriente continua, el devanado imbricado y el devanadoondulado.

I En la figura siguiente se muestran dos ejemplos de estosbobinados. En el enrollado imbricado, la bobina se devanaregresando por ranuras adyacentes o muy cercanas losretornos.

Figura: Bobinados de armadura imbricados y ondulados

Máquinas de Corriente Continua XX

I En el devanado ondulado el conductor de retorno debobina adelanta poco más o menos un paso polar.

I El análisis de los diferentes tipos de devanados es muycomplejo y excede los alcances de este texto, pero sepuede destacar que en los rotores ondulados se puedeutilizar un par de carbones para conectar todos los pares depolos de la armadura, mientras que los rotores imbricadosrequieren un par de carbones por cada par de polos.

Máquinas de Corriente Continua XXI

I En máquinas pequeñas con múltiples pares de polos elempleo de bobinas onduladas puede representar un ahorroimportante en el proceso de fabricación, porque además seutiliza menor cantidad de cobre en las cabezas de bobina.

I En la figura siguiente se muestran dos etapas del procesode fabricación de la armadura de una máquina de corrientecontinua.

Máquinas de Corriente Continua XXII

(a) Unión de los conductores alas delgas

Máquinas de Corriente Continua XXIII

(b) Proceso de fabricación de una armadura decorriente continua

Figura: Proceso de fabricación de una armadura de corrientecontinua

Máquinas de Corriente Continua XXIV

I En primer lugar la conexión de los mazos de conductorescon las delgas y en la siguiente se muestra el maquinadofinal de las delgas realizado en el torno.

I En la figura siguiente se representa la armadura de lamáquina de corriente continua mediante capas de corriente.

Máquinas de Corriente Continua XXV

Figura: Separatriz de la armadura

Máquinas de Corriente Continua XXVI

I La capa de corriente puede girar mediante la rotación delas escobillas que alimentan a las bobinas.

I La frontera producida por la inversión de las corrientes enla armadura que contiene a las escobillas de la máquina seconoce como separatriz de la armadura.

I Este sistema permite construir físicamente unosconductores que se mueven en un campo magnético, peroque al mismo tiempo producen una fuerza electromotrizconstante y a 90º del campo estatórico.

Máquinas de Corriente Continua XXVIII En la figura siguiente se representa un abatimiento lineal

de la máquina, los conductores se mueven hacia laizquierda y el campo magnético originado por el estator dela máquina está fijo.

Figura: Campo eléctrico en la superficie de los conductores

Máquinas de Corriente Continua XXVIII

I La fuerza electromotriz inducida en los conductores es:

E = v×B (4)

En esta ecuación, E es la intensidad del campo eléctricosobre cada conductor, v es la velocidad tangencial de losconductores y B es la densidad de campo magnéticoproducida por el devanado estatórico.

I Como todos los conductores se mueven con la mismavelocidad tangencial, la fuerza electromotriz en cada espiraes proporcional al campo.

Máquinas de Corriente Continua XXIX

I Entre las dos escobillas aparece una fuerza electromotrizigual a la suma de las fuerzas electromotrices de todas lasespiras que se encuentran conectadas en serie entre las dosescobillas. En la figura anterior se observa que cada espiracontribuye con:

v = e + e = 2e (5)

I Para invertir el sentido de las fuerzas electromotricesmanteniendo la dirección de la velocidad, es necesarioinvertir el campo.

Máquinas de Corriente Continua XXXI Por esta razón la fuerza electromotriz en las bobinas

cambia de sentido cuando éstas cruzan la línea neutra. Enla figura siguiente se representa esquemáticamente estasituación.

Figura: Fuerzas electromotrices inducidas sobre las bobinas

Máquinas de Corriente Continua XXXI

I En la figura anterior se definen:I E1 es la fuerza electromotriz resultante en el polo norteI E2 es la fuerza electromotriz resultante en el polo sur

I La densidad de campo en el polo norte es prácticamenteigual a la del polo sur, por esta razón las fuerzaselectromotrices del rotor E1 y E2 son iguales en magnitudpero contrarias en sentido.

I Cuando las fuerzas electromotrices E1 y E2 son diferentes,se produce una corriente circulatoria en la armadura quepuede ocasionar un calentamiento excesivo de la máquina.

I Si las escobillas se alinean exactamente con la línea neutra,la fuerza electromotriz inducida sobre las bobinas del rotores máxima.

Máquinas de Corriente Continua XXXIII Cuando la línea neutra y la separatriz no están alineadas,

ocurre una situación semejante a la que se muestra en lafigura.

Figura: Línea neutra y separatriz desalineadas

Máquinas de Corriente Continua XXXIII

I En este caso, la máquina se encuentra girando a lavelocidad angular ω . El par producido en el sentido delmovimiento se denomina motriz.

I Si el par tiene sentido contrario a la referencia de posicióno velocidad, se denomina generatriz.

I En las regiones (2) y (4) de la figura, la máquina decorriente continua posee par motriz y por lo tanto estasregiones de la máquina trabajan como motor inventandoaccionar la carga mecánica en el sentido de las agujas delreloj.

I En las regiones (1) y (3) la fuerza es contraria al sentidodel movimiento, por lo tanto en estas zonas la máquinaactúa como un generador.

Máquinas de Corriente Continua XXXIV

I Las regiones (2) y (4) son más extensas que las zonasmarcadas con (1) y (3), el par promedio está dirigido en elsentido del movimiento y el comportamiento neto de lamáquina es como motor.

I Del análisis anterior se explica que cuando la separatriz yla línea neutra no coinciden, el par resultante se reduce.

I Durante la operación de la máquina, las escobillaspermanecen fijas en la separatriz y es conveniente que estalínea coincida con la línea neutra.

I Con esta disposición, las corrientes que circulan por losconductores del rotor situadas a un lado de la línea neutraposeen todas la misma dirección e intensidad.

Máquinas de Corriente Continua XXXVI En la figura siguiente se puede observar que las corrientes

que circulan por el rotor producen una densidad de campomagnético Br , fijo en el espacio y cuya amplitud seencuentra en cuadratura con el campo magnéticoproducido por el devanado del estator.

Figura: Flujo magnético producido por las corrientes de laarmadura

Máquinas de Corriente Continua XXXVII Esta situación se asemeja a la transformación de los ejes α

y β del rotor, en ejes d y q.I El efecto físico del conmutador consiste en referir las

corrientes del rotor a ejes ficticios que rotan en sentidocontrario con la misma velocidad del rotor.

I Los ejes transformados parecen estar detenidos vistosdesde el estator de la máquina. Fundamentándose en estasideas, la máquina de conmutador puede ser analizadamediante una transformación a coordenadas αβdq.

I El conmutador de estas máquinas es un inversor mecánicode la corriente que circula por los conductores del rotor,sincronizado con el eje de la máquina.

I Las conmutaciones suceden con una frecuencia igual a lade rotación.

Máquinas de Corriente Continua XXXVIII Si el rotor de la máquina está construido con una sola

espira, la fuerza magnetomotriz resultante es perpendicularal plano de la espira.

I Para un conjunto de conductores como los ilustrados en lafigura, la fuerza magnetomotriz se encuentra en ladirección de la separatriz de la máquina.

Figura: Resultante de la fuerza magnetomotriz del rotor

Máquinas de Corriente Continua XXXVIII

I Para que el par eléctrico sea máximo, la fuerzamagnetomotriz del rotor debe ser perpendicular a la fuerzamagnetomotriz del estator.

I Por esta razón, las escobillas se colocan colineales con lalínea neutra para permitir que la fuerza magnetomotriz delrotor se encuentre en cuadratura con la fuerzamagnetomotriz del estator, tal como se demostróanteriormente.

Ecuaciones de las máquinas de conmutador I

I Las ecuaciones dinámicas de las máquinas de conmutadorson:

vαe

vβe

vdr

vqr

=

Re + Lep 0 Ler p 0

0 Re + Lep 0 Ler pLer p θLer Rr + Lr p θLr−θLer Ler p −θLr Rr + Lr p

iαe

iβe

idr

iqr

Tm = −Ler

(iβe idr − iαe iqr

)+ J θ + ρθ

Ecuaciones de las máquinas de conmutador III Las diferentes conexiones de las máquinas de corriente

continua convencionales se pueden analizar considerandola existencia de una bobina en el estator orientada en ladirección del eje β y una bobina en el rotor orientada en ladirección del eje d , accesible mediante un par deescobillas, tal como se ilustra en la figura siguiente.

Figura: Representación básica de la máquina convencional decorriente continua

Ecuaciones de las máquinas de conmutador III

I Con el modelo analítico planteado para la máquina decorriente continua, denominando G al coeficiente degeneración, que representa la inductancia mutua entre elrotor y el estator, se obtiene el siguiente sistema deecuaciones diferenciales:[

vβ

vd

]=

[Re + Lep 0

θG Rr + Lr p

][iβid

]Tm = −Gid iβ + J θ + ρθ (6)

I Las máquinas de corriente continua se clasificannormalmente según la conexión del enrollado deexcitación o campo.

Ecuaciones de las máquinas de conmutador IV

I El devanado de excitación produce un campo magnéticomás o menos uniforme en el cual gira el rotor.

I Generalmente el devanado de excitación de las máquinasde conmutador se encuentra ubicado en el estator. Si lacorriente de excitación se obtiene a partir de la fuente detensión que alimenta la armadura, la máquina se encuentraen conexión paralelo o derivación.

I Si el campo y la armadura se conectan mediante dosfuentes diferentes, la máquina se encuentra en conexiónindependiente.

Ecuaciones de las máquinas de conmutador V

I Cuando la corriente de la armadura circula por el devanadode campo, la conexión se denomina serie.

I Si la máquina tiene dividido el campo en dos partes, unaconectada en serie con la armadura y otra en paralelo, laconexión se conoce como compuesta.

I En la figura siguiente se muestra un diagrama con todasestas conexiones.

Ecuaciones de las máquinas de conmutador VI

Figura: Conexiones de la máquina de conmutador

Características de operación de las diferentesconexiones I

I Si a la armadura de la máquina se le aplica tensiónconstante de valor Va y al devanado de campo una tensiónconstante de magnitud Vf , en régimen permanente lascorrientes Ia e If también son constantes y en el sistema deecuaciones 6 desaparecen los términos de transformación:

Vf = Rf · If (7)

Va = GωmIf + RaIa (8)

Tm =−GIaIf + ρωm (9)

Características de operación de las diferentesconexiones II

I Despejando de la ecuación 6 la corriente If , de la ecuación7 la corriente Ia y reemplazándolas en la expresión 8, seobtiene la ecuación de equilibrio mecánico de la máquinade corriente continua en función de las fuentes forzantes:

Tm =−G

Va−(

GωmVfRf

)Ra

VfRf

+ ρωm (10)

Características de operación de las diferentesconexiones III

I En la figura siguiente se representa en un gráfico el pareléctrico de la máquina en función de la velocidad.

Figura: Par eléctrico versus velocidad con excitaciónindependiente

Características de operación de las diferentesconexiones IV

I En el gráfico de la figura anterior, la velocidad ωs se definecomo la velocidad del rotor donde la tensión aplicada esigual a la fuerza electromotriz inducida en la armadura dela máquina y se denomina velocidad de sincronismo ovelocidad sincrónica.

I La característica del par eléctrico de la máquina decorriente continua en función de la velocidad angularmecánica es igual a la característica de la fuerza eléctricaen función de la velocidad tangencial sobre un conductorelemental que se desplaza en la presencia de un campomagnético uniforme analizado anteriormente1.

Características de operación de las diferentesconexiones V

I Esta semejanza en las características no es coincidencial,los conductores de la armadura se encuentran en unadisposición geométrica similar a la del conductor solitario.

I La curva de par eléctrico-velocidad puede variar con latensión aplicada a la armadura o a la excitación.

Características de operación de las diferentesconexiones VI

Figura: Efecto de la variación de las fuentes

Características de operación de las diferentesconexiones VII

I Al variar la tensión de armadura se obtiene una familia decaracterísticas paralelas tal como se muestra en la figura(a).

I Si se varía la tensión del campo, cambia la pendiente de lacaracterística, tal como se puede observar en el gráfico dela figura (b).

Características de operación de las diferentesconexiones VIII

I Si se conecta la máquina con el campo en derivación, elsistema de ecuaciones 5 representa el comportamiento dela máquina y la única diferencia con la máquina deexcitación independiente es que la tensión de armadura yla tensión del campo son idénticas:

Tm =−GV 2

RaRf

[1− Gωm

Rf

]+ ρωm (11)

Características de operación de las diferentesconexiones IX

Figura: Par eléctrico versus velocidad de la máquina enderivación

Características de operación de las diferentesconexiones X

I En la figura anterior se ha representado el par eléctrico dela máquina de corriente continua con conexión enderivación del circuito de campo; es interesante destacarque en este caso la velocidad sincrónica ωs esindependiente de la tensión, a diferencia de lo que seobtiene para la máquina de excitación independiente.

I La ecuación de tensión para la armadura de la máquina es:

Va = Rr ia + GωmIf (12)

Características de operación de las diferentesconexiones XI

I En la ecuación 12, el término GωmIf es la fuerzaelectromotriz de generación producida por el campo. En lafigura se representa el modelo circuital equivalente de lamáquina de corriente continua en derivación.

Figura: Modelo circuital de la máquina de corriente continua enderivación

Características de operación de las diferentesconexiones XII

I Si la fuerza electromotriz generada es mayor que la tensiónaplicada, la máquina entrega potencia a la fuente y el pareléctrico es negativo.

I En estas condiciones es necesario par mecánico deaccionamiento.

I La velocidad sincrónica depende del coeficiente degeneración G y de la resistencia del campo Rf . Estavelocidad corresponde a la condición de vacío de lamáquina.

I Para controlar la velocidad de vacío se pueden intercalarresistencias en el campo.

Características de operación de las diferentesconexiones XIII

I Los motores de corriente continua se utilizan ampliamentepara el control de velocidad o para la tracción de vehículoseléctricos y trenes laminadores.

I Las características de par-velocidad de estas máquinaspermiten su utilización en un gran número de aplicaciones.

I Antiguamente se utilizaban resistencias para limitar lacorriente en la armadura durante el proceso de arranque.

I Las máquinas se diseñan para permitir entre 1,5 y 2 vecesla corriente nominal por la armadura durante el arranque.

Características de operación de las diferentesconexiones XIV

I En la actualidad el arranque y accionamiento de losmotores de corriente continua se realiza mediante fuentesde corriente continua regulables en tensión, con lo cual laspérdidas en los reóstatos se eliminan.

I Esto es de gran importancia en sistemas con paradas yarranques frecuentes, como ocurre en el caso de un sistemaurbano de transporte público.

I La conexión serie del devanado de campo es una de lasmás utilizadas en los sistemas de tracción eléctrica.

Características de operación de las diferentesconexiones XV

I En este caso, la tensión aplicada se reparte entre laarmadura y el campo, y la corriente de armadura tambiéncircula por el campo.

I En la figura siguiente se muestra el esquema de estaconexión.

Figura: Conexión serie de la máquina de corriente continua

Características de operación de las diferentesconexiones XVI

I Las ecuaciones dinámicas de la conexión serie son:

v = va + vf = (Ra + Rf ) i + (La + Lf )pi + Gωmi =

= (RT + Gωm) i + LT pi (13)

Tm =−Gi2 + Jωm + ρωm (14)

I En régimen permanente se tiene:

V = (RT + Gωm) I (15)

Te = GI2 (16)

Características de operación de las diferentesconexiones XVII

I Sustituyendo la corriente I de la ecuación 15, en laexpresión 16 se obtiene:

Te =GV 2

(RT + Gωm)2 (17)

Características de operación de las diferentesconexiones XVIII

Figura: Característica par-velocidad de una máquina deconmutador serie

Características de operación de las diferentesconexiones XIX

I La característica par-velocidad tiene la forma de unahipérbola cuadrática, como se deduce de la ecuación 17.

I Esta característica permite variar ampliamente el parresistente manteniendo la potencia mecánica prácticamenteconstante

I El motor serie se utiliza frecuentemente en traccióneléctrica porque permite obtener un elevado par dearranque.

Características de operación de las diferentesconexiones XX

I Al igual que en el motor derivación, es necesario limitar lacorriente de arranque.

I La máquina de conmutador con excitación compuestaposee características combinadas de las máquinasderivación y serie.

I La característica de estas máquinas se parecen más a uno uotro tipo, dependiendo del grado de intensidad queproporcione el campo serie y el campo derivación.

Control de velocidad I

I Después de analizar el comportamiento en régimenpermanente de las máquinas de corriente continua, esposible estudiar el comportamiento transitorio mediante sufunción de transferencia.

I La máquina de corriente continua satisface el sistema deecuaciones diferenciales 5 en régimen transitorio.

I De la ecuación de tensión para el eje β se puede obtener lafunción de transferencia operacional de la corriente iβ :

iβ =vβ

Rβ

(1 +

Lβ

Rbetap) =

1Rbeta

vβ

1 + τβ p(18)

Control de velocidad II

I La ecuación del eje d en 5 permite obtener la corriente id :

id =vd −Gωmiβ

Rd

(1 + Ld

Rdp) =

1Rd

(vd −Gωmiβ

)1 + τdp

(19)

I A partir de la ecuación diferencial correspondiente al ejemecánico se obtiene:

ωm =Te + Tm (ωm)

ρ + Jp=

1ρ

(Giβ id + Tm (ωm)

)1 + τMp

(20)

Control de velocidad III

Figura: Diagrama de bloques de la máquina de corrientecontinua

I En la figura anterior se han representado las funciones detransferencia 18, 19 y 20 en diagrama de bloques, con susrespectivas realimentaciones e interconexiones.

Control de velocidad IV

I Este diagrama contiene multiplicadores, debido a las nolinealidades implícitas entre las variables de estado delmodelo.

I Por esta razón no es posible reducir este diagrama a unafunción de transferencia.

I Asumiendo que la tensión vβ es constante, la corriente iβse estabiliza en un valor continuo después de variasconstantes de tiempo.

I En estas condiciones se puede representar el modelodinámico de la máquina de corriente continua mediante unsolo bloque.

Control de velocidad V

I Con la corriente iβ constante, se puede definir comoconstante k al producto de esta corriente por el coeficientede generación G de la máquina.

I En la figura se observa el diagrama de bloques de lamáquina de corriente continua excitada con una corrienteconstante en el campo.

Figura: Diagrama de bloques de la máquina con corriente decampo constante

Control de velocidad VI

I Este último diagrama de bloques se puede reducir a unafunción de transferencia cuando el par mecánico es nulo oconstante.

I Un par mecánico constante no altera la respuestatransitoria del sistema sino los valores en régimenpermanente.

I Definiendo la función de transferencia T′(p) como el

producto de las funciones de transferencia de la figuraanterior:

T′(p) =

kRdρ

· 11 + τdp

· 11 + τMp

(21)

Control de velocidad VII

I La función de transferencia entre la velocidad mecánica dela máquina y la tensión aplicada en el circuito de armaduraes:

ωm(p)

vd (p)=

T′(p)

1 + kT ′(p)=

kRdρ (1 + τdp)(1 + τMp) + k2

(22)I Transformando al dominio de Laplace la función de

transferencia 22 se obtiene:

Ωm(s)

Vd (s)=

kRdρτdτMs2 + Rdρ (τd + τM)s + Rdρ + k2

(23)

Control de velocidad VIIII Como todos los términos del denominador de la función de

transferencia 23 son positivos, los polos del polinomiotienen parte real negativa. Por esta razón, la respuesta delsistema siempre es estable.

I Para reducir los tiempos de respuesta se puede ajustar elvalor de la constante k variando la corriente de campo iβ .La constante de tiempo de la armadura de la máquina τd esgeneralmente mucho menor que la constante de tiempo delsistema mecánico τM y puede ser despreciada en laecuación 23:

Ωm(s)

Vd (s)=

kRdρτMs + Rdρ + k2 (24)

Control de velocidad IX

I El polo de la función de transferencia 24 es:

s =Rdρ + k2

RdρτM(25)

I Al aumentar el valor de la constante k , el valor del polo sehace más negativo y la respuesta de la máquina es másrápida.

I Al aumentar la corriente de campo en una máquina decorriente continua se incrementa considerablemente lavelocidad de respuesta.

Control de velocidad X

I Otra aproximación habitual cuando se analiza la dinámicade la máquina de corriente continua, consiste en despreciarla fricción.

I En estas condiciones el coeficiente de fricción ρ es cero.I En la figura se ilustra el diagrama de bloques

correspondiente al sistema sin pérdidas mecánicas.

Figura: Máquina de corriente continua sin fricción

Control de velocidad XI

I Repitiendo el análisis realizado anteriormente se obtiene lafunción de transferencia:

Ωm(s)

Vd (s)=

k

RdJ(

k2

Rd J + s) (26)

I Cuando se desprecia la fricción es evidente que para moverel polo del sistema a la izquierda es necesario incrementarel valor de la constante k y por lo tanto la corriente decampo.

I Mientras más corriente de campo circula por la máquina,los procesos dinámicos o respuestas transitorias son másrápidos.

Control de velocidad XII

I La variable de control en este sistema es la tensión dearmadura vd , debido a que la constante de tiempo de estecircuito τd es mucho menor que la constante de tiempomecánica τM , fuertemente dependiente de la inercia J .

I Para que la respuesta de una máquina sea rápida esnecesario que la inercia sea pequeña.

I Las máquinas de corriente continua son muy rápidas y seutilizan ampliamente para el control par-velocidad en losprocesos industriales y en los sistemas de traccióneléctrica.

Accionamiento de las Máquinas de CorrienteContinua I

I Los accionamientos de la máquina de corriente continuadeben presentar la característica de par, flujo y fuerzaelectromotriz en función de la velocidad, mostrada en lafigura para cada uno de los cuadrantes de operación delconvertidor electromecánico.

Accionamiento de las Máquinas de CorrienteContinua II

Figura: Característica de accionamiento de la máquina decorriente continua

Accionamiento de las Máquinas de CorrienteContinua III

I En esta característica de accionamiento el par se mantieneconstante mientras la tensión de armadura alcanza su valorrégimen, este proceso se realiza limitando el valor de lacorriente de armadura al nominal, mediante el control de latensión.

Accionamiento de las Máquinas de CorrienteContinua IV

I En la figura se presenta el esquema de accionamiento deuna máquina de corriente continua en lazo cerrado conrealimentación en corriente.

Figura: Accionamiento de la máquina de corriente continua.

Accionamiento de las Máquinas de CorrienteContinua V

I La fuente de alimentación puede ser en corriente alterna ocontinua, el controlador de velocidad combina lasfunciones de un controlador PI con limitación.

I Este accionamiento limita la corriente en el circuito dearmadura de la máquina a 1,5 veces la corriente nominaldel devanado.

Accionamiento de las Máquinas de CorrienteContinua VI

I En las figuras se presenta la respuesta de la maquina decorriente continua controlada con el esquema de la figuraanterior ante una consigna de velocidad constante y tomade carga para una máquina de corriente continua de 5 HP,con un rectificador monofásico controlado comoconvertidor, desde un sistema de 220V a frecuenciaindustrial de 60Hz.

Accionamiento de las Máquinas de CorrienteContinua VII

Figura: Corriente de armadura y velocidad mecánica

Accionamiento de las Máquinas de CorrienteContinua VIII

Figura: Tensión de armadura y ángulo de disparo del rectificador

Accionamiento de las Máquinas de CorrienteContinua IX

I En las figuras siguientes se presenta la respuesta de lamaquina de corriente continua controlada con el esquemade la figura ante una variación de velocidad para unamáquina de corriente continua de 5 HP , con un choppertipo “ A” como convertidor desde un sistema de corrientecontinua de 280V .

Accionamiento de las Máquinas de CorrienteContinua X

Figura: Corriente de armadura y velocidad mecánica

Accionamiento de las Máquinas de CorrienteContinua XI

(a)

Accionamiento de las Máquinas de CorrienteContinua XII

(b) Detalle

Figura: Tensión de armadura y razón de conducción del chopper

Accionamiento de las Máquinas de CorrienteContinua XIII

Máquinas de Inducción I

Figura: Diagrama esquemático de las bobinas de una máquina deinducción trifásica en el rotor y estator

Máquinas de Inducción II

I Las ecuaciones diferenciales que rigen el comportamientode la máquina de inducción en el sistema de coordenadasindicado en la figura anterior son:

[v] = [R] [i] + p [λ ] = [R] [i] + [L(θ )]p [i] + θ [τ(θ )] [i](27)

Te−Tm =12

[i]t [τ] [i]−Tm = J θ + ρθ (28)

Donde:

Máquinas de Inducción III

[v] =

[[ve][vr ]

]=

[ [ve

a veb ve

c]t[

v ra v r

b v rc]t]

[i] =

[[ie][ir ]

]=

[ [iea ieb iec

]t[i ra i rb i rc

]t]

;

[λ ] =

[[λe][λr ]

]=

[ [λ e

a λ eb λ e

c]t[

λ ra λ r

b λ rc]t]

Máquinas de Inducción IV

[R] =

[[Ree] [Rer ][Rre] [Rrr ]

]=

[Re [I] [0]

[0] Rr [I]

]

[L(θ )] =

[[Lee] [Ler (θ )]

[Lre(θ )] [Lrr ]

]=

=

[Lσe [I] + Lme [S] Ler [C(θ )]

Ler [C(θ )]t Lσ r [I] + Lmr [S]

]

Máquinas de Inducción V

[τ(θ )] =

[ ddθ

[Lee] ddθ

[Ler (θ )]d

dθ[Lre(θ )] d

dθ[Lrr ]

]=

=

[[0] Ler

ddθ

[C(θ )]

Lerd

dθ[C(θ )]t [0]

]

[I] =

1 0 00 1 00 0 1

; [S] = 1 −1

2 −12

−12 1 −1

2−1

2 −12 1

; [0] = 0 0 0

0 0 00 0 0

Máquinas de Inducción VI

[C(θ)] =

cosθ cos(θ + 2π

3 ) cos(θ + 4π

3 )

cos(θ + 4π

3 ) cosθ cos(θ + 2π

3 )

cos(θ + 2π

3 ) cos(θ + 4π

3 ) cosθ

ddθ

[C(θ)]=

−senθ −sen(θ + 2π

3 ) −sen(θ + 4π

3 )

−sen(θ + 4π

3 ) −senθ −sen(θ + 2π

3 )

−sen(θ + 2π

3 ) −sen(θ + 4π

3 ) −senθ

Los parámetros que definen el comportamiento del modelo

Máquinas de Inducción VII

de la máquina de inducción en el sistema de coordenadasprimitivas son:

Re es la resistencia de cada una de las bobinas del estatorRr es la resistencia de cada una de las bobinas del rotorLσe es la inductancia de dispersión del estatorLσ r es la inductancia de dispersión del rotorLme es la inductancia de magnetización del estatorLmr es la inductancia de magnetización del rotorLer es la inductancia mutua de acoplamiento estator-rotor

Máquinas de Inducción VIII

x0x+x−

=1√3

1 1 11 ej 2π

3 ej 4π

3

1 ej 4π

3 ej 2π

3

xa

xbxc

=

=1√3

1 1 11 α α2

1 α2 α

xaxbxc

(29)

Máquinas de Inducción IX

xaxbxc

=1√3

1 1 11 ej 4π

3 ej 2π

3

1 ej 2π

3 ej 4π

3

xa

xbxc

=

=1√3

1 1 11 α2 α

1 α α2

xaxbxc

(30)

Máquinas de Inducción XI Al aplicar la transformación 30 a un sistema cíclico se

obtiene el siguiente resultado: yaybyc

=

a b cc a bb c a

xaxbxc

⇒1√3

1 1 11 α2 α

1 α α2

y0y+y−

=

=

a b cc a bb c a

1√3

1 1 11 α2 α

1 α α2

x0x+x−

⇒

Máquinas de Inducción XI

y0y+y−

=1√3

1 1 11 α α2

1 α2 α

a b cc a bb c a

1√3

1 1 11 α2 α

1 α α2

x0x+x−

⇒ y0

y+y−

=

a+b+c 0 00 a+bα +cα2 00 0 a+bα2 +cα

x0x+x−

(31)

Máquinas de Inducción XII

I El desacoplamiento de las matrices simétricas se obtienecomo caso particular de las matrices cíclicas donde b = c: ya

ybyc

=

a b bb a bb b a

xaxbxc

⇒ y0

y+y−

=

a + 2b 0 00 a−b 00 0 a−b

x0x+x−

(32)

Máquinas de Inducción XIII

x(t)=

√23

[1 ej 2π

3 ej 4π

3

]·

xa(t)xb(t)xc(t)

=

=

√23[

1 α α2]·

xa(t)xb(t)xc(t)

(33)

Máquinas de Inducción XIV

Figura: Representación gráfica del vector espacial de un sistematrifásico

Máquinas de Inducción XV

I Transformando las ecuaciones 27 y 28 al dominio de losvectores espaciales se obtiene el siguiente resultado:[

vevr

]=

[Re 00 Rr

][ieir

]+p[[

Le Mer ejθ

Mer e−jθ Lr

][ieir

]](34)

Donde:

Máquinas de Inducción XVI

ve =

√23[

1 α α2]·[

vea ve

b vec]t

vr =

√23[

1 α α2]·[

v ra v r

b v rc]t

ie =

√23[

1 α α2]·[

iea ieb iec]t

ir =

√23[

1 α α2]·[

i ra i rb i rc]t

Le = Lσe +32

Lme ; Lr = Lσ r +32

Lmr , Mer =32

Ler

Máquinas de Inducción XVIII Los términos que aparecen en la expresión 34 se pueden

obtener realizando la transformación a vectores espacialesde la matrices que representan el modelo de la máquina encoordenadas primitivas, tales como:

I La transformación de vectores espaciales aplicada a lamatriz identidad [I]:

√23[

1 α α2] ya

ybyc

=

=

√23[

1 α α2] 1 0 0

0 1 00 0 1

xaxbxc

Máquinas de Inducción XVIII

y =

√23[

1 α α2] xa

xbxc

= x (35)

Máquinas de Inducción XIX

I La transformación aplicada a la matriz simétrica [S]:

√23[

1 α α2] ya

ybyc

=

=

√23[

1 α α2] 1 −1

2 −12

−12 1 −1

2−1

2 −12 1

xaxbxc

Máquinas de Inducción XX

y =

√23[

1 α α2] 3

2xa32xb32xc

=32

x (36)

Máquinas de Inducción XXI

I La misma transformación aplicada a la matriz cíclica[C(θ)], recordando que cosθ = ejθ+e−jθ

2 :

y =

√23[

1 α α2 ] cosθ cos(θ + 2π

3 ) cos(θ + 4π

3 )

cos(θ + 4π

3 ) cosθ cos(θ + 2π

3 )

cos(θ + 2π

3 ) cos(θ + 4π

3 ) cosθ

xa

xbxc

=

=

√23[

1 α α2 ] ejθ

2

1 α α2

α2 1 α

α α2 1

+ e−jθ

2

1 α2 α

α 1 α2

α2 α 1

xa

xbxc

Máquinas de Inducción XXII

y =

√23

12

ejθ [ 3 3α 3α2

]+e−jθ [ 0 0 0

]

=

xaxbxc

=32

ejθ x (37)

Máquinas de Inducción XXIII

I La transformación a vectores espaciales de la expresión delpar eléctrico expresado en el balance de la ecuación 28queda:

Te =12

[i]t [τ] [i] =

12

[[ie][ir ]

][[0] Ler

ddθ

[C(θ )]

Lerd

dθ[C(θ )]t [0]

]t [[ie][ir ]

]=

= Ler [ie]td

dθ[C(θ )] [ir ] =

Máquinas de Inducción XXIV

=Ler [ie]t

e−jθ

2j

1 α2 α

α 1 α2

α2 α 1

− ejθ

2j

1 α α2

α2 1 α

α α2 1

[ir ] =

=

√32

Ler

e−jθ

2jie[

1 α2 α]− ejθ

2ji∗e[

1 α α2]

[ir ] =

=32

Ler

e−jθ

2jiei∗r −

ejθ

2ji∗eir=

Mer ℑm

iei∗r e−jθ= Mer ℑm

ie(

ir ejθ)∗

(38)

Máquinas de Inducción XXV

I El sistema de ecuaciones diferenciales que definen elcomportamiento de la máquina de inducción en el sistemade coordenadas correspondiente a los vectores espacialeses:

[vevr

]=

[Re 00 Rr

][ieir

]+p

[[Le Mer ejθ

Mer e−jθ Lr

][ieir

]]

Mer ℑm

ie(

ir ejθ)∗−Tm(θ) = J θ +ρθ (39)

Máquinas de Inducción XXVII El modelo 39 simplifica notablemente las expresiones 27 y

28, al representar las magnitudes trifásicas mediantevectores espaciales.

I Por una parte el sistema se ha reducido de las sieteecuaciones diferenciales iniciales a tresy la dependencia enla posición angular θ se ha simplificado a su aparición enmatrices cuya dimensión es 2×2.

I Sin embargo, la dependencia en la posición angular θ

puede ser eliminada, si las variables del rotor se refieren alestator utilizando la siguiente transformación:

xer ≡ xr ·ejθ (40)

Máquinas de Inducción XXVII

I Para aplicar la transformación 40 al modelo de la máquinaen vectores espaciales 39, se requiere desarrollar laderivada correspondiente de esta transformación:

pxer = pxr ·ejθ + j θxr ·ejθ = pxr ·ejθ + j θxe

r ⇒

pxr ·ejθ = pxer − j θxe

r (41)

Máquinas de Inducción XXVIII

I Utilizando las expresiones 40 y 41 en el modelo 39, seobtiene el siguiente modelo de la máquina de inducción envectores espaciales referidos al estator:[

veve

r

]=

[Re 00 Rr

][ieier

]

· · ·+[

Le MerMer Lr

]p[

ieier

]− j θ

[0 0

Mer Lr

][ieier

]Mer ℑm

ie(ier)∗−Tm(θ ) = J θ + ρθ (42)

Máquinas de Inducción XXIXI El modelo 42 es independiente de la posición angular θ ,

que es variable en el tiempo aun en el caso particular de laoperación en régimen permanente y esta dependencia esreemplazada por la velocidad angular θ cuyocomportamiento temporal varía más lentamente.

I Este modelo puede ser representado mediante el circuitoequivalente que se muestra en la figura.

Figura: Circuito equivalente de la máquina de inducción envectores espaciales referidos al sistema de referencia estatórico

Máquinas de Inducción XXX

I La corriente de magnetización modificada que determina lareferencia del modelo de campo orientado se define como:

im ≡ ie +Lr

Merier = im(t) ·ejδ (t) (43)

I El término LrMer

refiere al sistema de referencia del estatortodo el campo magnético producido por las corrientes delrotor que atraviesa el entrehierro de la máquina.

Máquinas de Inducción XXXII De acuerdo con la figura siguiente

Figura: Vectores espaciales de las corrientes del modelo de lamáquina de inducción

Máquinas de Inducción XXXII

ide(t) + jiqe(t) = iee−jδ (t) =

(iαe + jiβe) · (cosδ − j senδ )⇒ (44)[ideiqe

]=

[cosδ −senδ

senδ cosδ

][iαeiβe

](45)

[iαeiβe

]=

[cosδ senδ

−senδ cosδ

][ideiqe

](46)

donde:

Máquinas de Inducción XXXIII

ie = iαe + jiβe =

√23

(iae + ej 2π

3 ibe + ej 4π

3 ice)⇒ (47)

[iαeiβe

]=

√32 0

1√2

2√2

[ iaeibe

](48)

[iaeibe

]=

√23 0

− 1√6

1√2

[ iαeiβe

](49)

Máquinas de Inducción XXXIV

iae =

√23

ℜe(ie)

ibe =

√23

ℜe(iee−j 2π

3 )

ice =

√23

ℜe(iee−j 4π

3 ) (50)

Máquinas de Inducción XXXV

I Reemplazando la corriente ier de la definición 43 de lacorriente de magnetización modificada im en el modelo dela máquina de inducción en coordenadas vectorialesreferidas a las corrientes del estator 51, se obtiene:[

veve

r

]=

[Re 00 Rr

][ie

MerLr

(im− ie)

]+ · · ·

[Le Mer

Mer Lr

]p[

ieMerLr

(im− ie)

]+ · · ·

· · ·− j θ[

0 0Mer Lr

][ie

MerLr

(im− ie)

]

Máquinas de Inducción XXXVI

Mer ℑm

ie(

Mer

Lr(im− ie)

)∗−Tm(θ ) = J θ + ρθ

(51)

Máquinas de Inducción XXXVII

I Reagrupando las variables de estado del sistema 51 seobtiene el modelo de la máquina de inducción expresadoen coordenadas de campo orientado:[

ve1

Merve

r

]=

[Re 0− 1

Tr1Tr

][ieim

]+ · · ·

+

[Le− M2

erLr

M2er

Lr0 1

]p[

ieim

]+ · · ·

· · ·− j θ[

0 00 1

][ieim

]

Máquinas de Inducción XXXVIII

M2er

Lrℑmie · i∗m−Tm(θ ) = J θ + ρθ (52)

donde:

Tr =Lr

Rr(53)

Máquinas de Inducción XXXIX

Te =M2

erLr

ℑmie · i∗m=

=M2

erLr

ℑm

ie · ime−jδ

=M2

erLr

im · iqe (54)

Tr pim + im = ide (55)

Tr im(δ − θ ) = iqe (56)

Máquinas de Inducción XL

I El modelo escalar completo en coordenadas de campoorientado es:

pide = (Le− M2er

Lr)−1

vde− (Re +Rr

M2er

L2r)ide

+ωm iqe +

i2qeTr im +Rr

M2er

L2r

im

piqe =−ωm ide−ide iqeTr im − (Le− M2

erLr

)−1(Re +Rr

M2er

L2r)iqe− M2

erLr

ωm im−vqe

pim = ide−im

Tr

pδ = ωm +iqe

Tr im

pωm = 1J

M2

erLr

im · iqe−Tm(ωm)

(57)

Modelo de Régimen Permanente I

I Se puede obtener un modelo de la máquina de inducciónoperando en condiciones de régimen permanente a partirdel modelo transitorio, particularizando las variablescorrespondientes en este estado.

I En régimen permanente equilibrado, las bobinas del estatorde la máquina de inducción se alimentan con un sistemabalanceado de tensiones trifásicas de secuencia positiva ylas bobinas del rotor se encuentran en cortocircuito:

vae(t) =√

2Ve cosωet

vbe(t) =√

2Ve cos(

ωet− 2π

3

)vce(t) =

√2Ve cos

(ωet− 4π

3

)(58)

Modelo de Régimen Permanente II

var (t) = vbr (t) = vcr (t) = 0 (59)

Modelo de Régimen Permanente III

I Las tensiones 58 y 59 expresadas como vectores espacialesson:

ve =

√23[

1 α α2]·

√

2Ve cosωet√2Ve cos

(ωet− 2π

3

)√

2Ve cos(

ωet− 4π

3

)⇒

ve =√

2

√23

Ve[

1 α α2] 1

2

ejωe t +e−jωe t

α2ejωe t +αe−jωe t

αejωe t +α2e−jωe t

=√

3Veejωe t (60)

Modelo de Régimen Permanente IV

vr =

√23[

1 α α2]·

000

= 0 = ver (61)

I Al excitar las bobinas con tensiones trifásicas balanceadas,las corrientes del estator y las del rotor referidas al estatortambién resultarán balanceadas y los correspondientesvectores espaciales serán:

ie =√

3Ieej(ωet+φe) (62)

ier =√

3Ir ej(ωet+φr ) (63)

Modelo de Régimen Permanente V

I Por otra parte, la velocidad del rotor en régimenpermanente será constante θ = ωm = cte. Reemplazandolas condiciones 60, 61, 62 y 63 en el modelo de la máquinade inducción descrito en vectores espaciales se obtiene:[ √

3Veejωet

0

]=

[Re 00 Rr

][ √3Ieej(ωet+φe)√

3Ir ej(ωet+φr )

]+ · · ·

· · ·+[

Le MerMer Lr

]jωe

[ √3Ieej(ωet+φe)√

3Ir ej(ωet+φr )

]+ · · ·

· · ·− jωm

[0 0

Mer Lr

][ √3Ieej(ωet+φe)√

3Ir ej(ωet+φr )

]

Modelo de Régimen Permanente VI

[Ve0

]=

[[Re 00 Rr

]+ jωe

[Le Mer

Mer Lr

]− jωm

[0 0

Mer Lr

]][Ieejφe

Ir ejφr

]⇒

[Ve0

]=

[[Re + jωeLe jωeMer

j(ωe−ωm)Mer Rr + j(ωe−ωm)Lr

]][IeIr

](64)

Modelo de Régimen Permanente VII

I Para determinar un circuito equivalente de la máquina deinducción en régimen permanente a partir del sistema deecuaciones 64, es necesario dividir la segunda ecuaciónpor el deslizamiento:

I

s ≡ ωe−ωm

ωe(65)

[Ve0

]=

[[Re + jωeLe jωeMer

jωeMerRrs + jωeLr

]][IeIr

](66)

Modelo de Régimen Permanente VIII

I En la figura se presenta el circuito equivalente de lamáquina de inducción en régimen permanente.

Figura: Circuito equivalente de la máquina de inducción enrégimen permanente

Modelo de Régimen Permanente IX

I El par eléctrico en régimen permanente se calculasustituyendo en la expresión 13.23 los fasores espacialesobtenidos en 13.29 y 13.30:

Te = Mer ℑm√

3Ieej(ωet+φe)(√

3Ir ej(ωet+φr ))∗

=

= 3Mer IeIr sen(φe−φr ) (67)

Modelo de Régimen Permanente XI La ecuación correspondiente al circuito rotórico en el

sistema 66 relaciona directamente las corrientes del estatory del rotor:

0 = jωeMer Ie +

(Rr

s+ jωeLr

)Ir ⇒

Ie = j

(Rrs + jωeLr

)ωeMer

Ir ⇒ Ieejφe = j

(Rrs + jωeLr

)ωeMer

Ir ejφr

Ieej(φe−φr ) = j

(Rrs + jωeLr

)ωeMer

Ir ⇒

Ie sen(φe−φr ) =Rr

sωeMerIr (68)

Modelo de Régimen Permanente XI

I Al sustituir la expresión 68 en la ecuación del par eléctrico67, se obtiene el par eléctrico en función de la corriente delrotor Ir , el deslizamiento s, la resistencia del rotor Rr y lavelocidad sincrónica ωs:

Te = 3Rr

ωesI2r (69)

I La expresión 69 se puede obtener directamente del circuitoequivalente de la figura anterior, cuando se calcula tresveces la potencia entregada a la resistencia Rr

s y se dividepor la velocidad sincrónica ωe.

Modelo de Régimen Permanente XII

I Dentro de las hipótesis del modelo se han despreciado lapérdidas en el hierro de la máquina.

I Es posible considerar estas pérdidas colocando unaresistencia en paralelo con la fuerza electromotrizproducida por el flujo de magnetización.

I También se puede recordar que las inductancias Le y Lrestán compuestas de dos partes, dispersión ymagnetización.

Modelo de Régimen Permanente XIII

I Por esta razón, haciendo uso de sus respectivasdefiniciones planteadas en el modelo 34, se puedeestablecer lo siguiente:

Le−Mer = Lσe +32

Ler −32

Ler = Lσe

Lr −Mer = Lσ r +32

Ler −32

Ler = Lσ r (70)

Modelo de Régimen Permanente XIV

I Al definir Xσe ≡ ωeLσe, Xσ r ≡ ωeLσ r y Xm = ωeMer ,incluir la resistencia de magnetización en paralelo con lareactancia de magnetización y separar la resistencia Rr

s endos componentes, una Rr que representa las pérdidasóhmicas del circuito rotórico y 1−s

s Rr que representa lapotencia transferida al rotor que no se consume enpérdidas, se puede obtener el modelo clásico de la máquinade inducción en régimen permanente, tal como se muestraen la figura.

Modelo de Régimen Permanente XV

Figura: Modelo clásico de la máquina de inducción

Modelo de Régimen Permanente XVI

I Desde el punto de vista eléctrico, el comportamiento de lamáquina de inducción en régimen permanente depende deldeslizamiento s, de la tensión aplicada en el estator Ve yde los parámetros del circuito equivalente (Re, Rr , Rm,Xσe, Xσ r , Xm).

I Una vez que se conocen los parámetros del modelo, eldeslizamiento del rotor y la fuente de alimentación, sepueden determinar las corrientes que circulan por lamáquina.

I El análisis circuital de la máquina de inducción essemejante al de un transformador con una carga resistivavariable. Esta carga depende exclusivamente deldeslizamiento del rotor.

Modelo de Régimen Permanente XVII

I Aun cuando el modelo clásico de la máquina de inducciónes similar al modelo de un transformador, existen algunasdiferencias importantes:

I La reluctancia del circuito magnético de la máquina deinducción es mucho mayor que la reluctancia demagnetización de un transformador. Esto se debeprincipalmente a la presencia de entrehierro en la máquina.

I La corriente de excitación de una máquina esconsiderablemente mayor que la de un transformador deigual potencia. Esta corriente puede alcanzar entre un 30%y un 50% de la corriente nominal de la máquina,contrastando con el 0,5% a 1,0% en un transformadorconvencional.

Modelo de Régimen Permanente XVIII

I Al ser tan grande la reluctancia de magnetización, seincrementan considerablemente los enlaces de dispersión.

I Por esta razón las reactancias de dispersión de la máquinason mayores que estas reactancias para un transformadorde similar potencia.

I Cada una de las reactancias de dispersión de la máquinapueden superar el 10%, en comparación con untransformador donde se encuentran entre el 1% y el 6%aproximadamente.

Accionamientos de la Máquina de Inducción I

I Algunos accionamientos mecánicos regulados conmáquina de inducción requieren poseer una respuestadinámica ante variaciones de la señal de consigna.

I Al mismo tiempo es necesario reducir el efecto de lasperturbaciones, como variaciones del par mecánico, sobreel funcionamiento del accionamiento.

I En general sistemas de baja inercia presentan este tipo derequerimiento.

Accionamientos de la Máquina de Inducción II

I Un ejemplo claro de la necesidad de una buena respuestadinámica, así como de un control que refleje fielmente elcomportamiento dinámico del sistema, es el de unservomecanismo.

I Con el modelo en régimen permanente de la máquina deinducción, estos objetivos no se pueden alcanzar debido aque las estrategias de control que consideran este modelo,no se tiene en cuenta la respuesta dinámica de la máquina.

I Para mejorar estos esquemas de control es necesarioconsiderar modelos dinámicos de la máquina de inducciónpara realizar las acciones de control sobre las variableseléctricas instantáneas que definen el par eléctrico, con elfin de mejorar las respuestas dinámicas del accionamiento.

Accionamientos de la Máquina de Inducción IIII En la figura, se presenta la característica de tracción y

frenado que debe suministrar el accionamiento de unmotor de inducción.

Figura: Característica de tracción y frenado de un motor deinducción

Accionamientos de la Máquina de Inducción IV

I En esta curva se mantiene el par constante hasta que lamáquina alcanza una determinada velocidad (ωbase) yposteriormente se controla a potencia constante, duranteestas dos etapas se limita la corriente en los devanados delestator a un valor constante.

I Finalmente la máquina se lleva a su punto de operación adeslizamiento constante.

Control Escalar-Arranca Suave I

Figura: Esquema del arranca suave

Control Escalar-Arranca Suave III En la figura, se presenta el diagrama de control de un

arranca suaves para motores de inducción. Esteaccionamiento consiste en regular la tensión efectiva afrecuencia fundamental del estator mediante el uso de uncontrolador AC - AC.

Figura: Esquema de control de un arranca suave

Control Escalar-Arranca Suave III

I Durante el arranque se limita la corriente en el estatorcontrolado la tensión efectiva sobre los devanados de lamáquina.

I Este accionamiento estima la tensión efectiva de referenciadel puente convertidor utilizando una curva de par vs.corriente a frecuencia industrial.

I Las máquinas que más se utilizan con este tipo dearrancador son la NEMA tipo D.

Control Escalar-Arranca Suave IVI En la figura, se presenta en esquema de regulación de par y

corriente al variar la tensión de alimentación de la máquinade inducción con el arranca suave

(a) Par (b) Corriente

Figura: Característica de par y corriente para una máquina deinducción accionada con una arranca suave

Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante II El primer controlador de velocidad de las máquinas de

inducción y tal vez el más utilizado en la práctica hasta elpresente, consiste básicamente en regular la fuente dealimentación, variando la frecuencia de las tensionesaplicadas a las bobinas del estator.

I En la figura siguiente, se presenta el esquema constructivode un controlador v/f = cte.

Figura: Esquema de un cicloconvertidor

Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante II

I La variación de la frecuencia afecta proporcionalmente lasreactancias de magnetización y dispersión en el circuitoequivalente, pero las resistencias se mantienenaproximadamente constantes si el efecto pelicular no esmuy pronunciado.

I Para que la densidad de flujo magnético sea prácticamenteconstante, dentro de los límites de diseño de la máquina, esnecesario variar la amplitud de la tensión de alimentaciónen la misma proporción que se varía la frecuencia.

I Con esta estrategia la magnitud del par eléctrico obtenidoen cada velocidad puede ser cercano, o incluso superior alpar nominal.

Control Escalar-Tensión - Frecuencia ConstanteIII

I En la figura, se presentan las características pareléctrico-velocidad angular del rotor para una máquina deinducción alimentada mediante cuatro frecuenciasdiferentes, manteniendo constante la relación entre laamplitud de la tensión de alimentación y la frecuencia.

Control Escalar-Tensión - Frecuencia ConstanteIV

Figura: Característica par eléctrico velocidad para una máquinade inducción con control de tensión - frecuencia constante

Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante V

I Incrementando paulatinamente la frecuencia, es posibleacelerar una carga mecánica a través de los puntos 1, 2, 3,hasta alcanzar el punto 4.

I Si la variación de la frecuencia es lenta en comparacióncon la inercia del conjunto máquina carga mecánica, lacorriente de la máquina en esta condición se reduce encomparación con un arranque directo a plena tensión.

Control Escalar-Tensión - Frecuencia ConstanteVI

I El control tensión-frecuencia constante, permite mantenercualquier punto de operación intermedio, aumentar oreducir la velocidad mecánica de la máquina.

I Operando a bajas frecuencias, se incrementa el pareléctrico de arranque, pero el par eléctrico máximo de lamáquina es prácticamente constante, siempre y cuando lasreactancias del circuito equivalente de la máquina enrégimen permanente sean mucho mayores que lasrespectivas resistencias.

I Este controlador de velocidad requiere una fuente dealimentación alterna regulable en tensión y frecuencia.

Control Escalar-Tensión - Frecuencia ConstanteVII

I Para esta función, en el pasado se empleaban máquinassincrónicas reguladas en velocidad y corriente de campo.

I Esta solución trasladaba el problema de regulación al ejemecánico del generador sincrónico.

I Mediante los interruptores electrónicos de alta velocidades posible diseñar y construir fuentes de alimentaciónalternas reguladas en tensión y frecuencia.

I Los convertidores electrónicos de inversión fuerondesarrollados durante la década de los treinta utilizandodiversos dispositivos tales como: las válvulas de alto vacíocon cátodos incandescentes, tiratrones o ignitrones.

Control Escalar-Tensión - Frecuencia ConstanteVIII

I Esta tecnología evoluciona considerablemente durante lasdécadas de los setenta y ochenta con el auge de laelectrónica de potencia y la aparición de los tiristores ytransistores de alta potencia.

Control Escalar-Tensión - Frecuencia ConstanteIX

I En la figura 47 se muestra el diagrama de un controladorde velocidad para un motor de inducción que utiliza elmétodo de tensión - frecuencia constante.

Figura: Variador de velocidad por control de tensión - frecuenciaconstante.

Control Escalar-Tensión - Frecuencia Constante X

I El sistema realimenta la velocidad o la posición del ejemecánico.

I Esta velocidad se compara con una referencia determinadapor el usuario o por la aplicación.

I El error obtenido de la comparación entre las medidas y lasreferencias se utiliza para definir la frecuencia deoperación del inversor y con la técnica de modulacióndefinida para el convertidor se determinan las señales deencendido y apagado de las componentes semiconductoresdel puente.

Control Escalar-Tensión - Frecuencia ConstanteXI

I Algunos puentes convertidores regulan la tensión de labarra de continua a fin de no modular la tensión sobre lamáquina con el inversor, esto simplifica el control delinversor a expensas de utilizar un rectificador controlado oun chopper en la barra de corriente continua.

Control Escalar-Tensión - Frecuencia ConstanteXII

I En la figura se presenta la respuesta del esquema de lafigura del variador de velocidad al seguir una consigna develocidad, para una máquina de inducción de 3HPalimentada con un puente inversor de un pulso porsemiciclo, desde un sistema trifásico de 220V afrecuencia industrial de 60Hz.

I La conversión AC - DC se realiza con un rectificador nocontrolado trifásico.

Control Escalar-Tensión - Frecuencia ConstanteXIII

Figura: Velocidad mecánica, par y tensión de la barra decontinua para el accionamiento de tensión frecuencia constante

Control Escalar-Tensión - Frecuencia ConstanteXIV

(a)

Control Escalar-Tensión - Frecuencia ConstanteXV

(b) Detalle

Figura: Tensión y corriente en la fase “a” del motor de inducciónpara el accionamiento de tensión frecuencia constante

Control Escalar-Tensión - Frecuencia ConstanteXVI

(a)

Control Escalar-Tensión - Frecuencia ConstanteXVII

(b) Detalle

Figura: Tensión y corriente en la fase “a” de la fuente alternapara el accionamiento de tensión frecuencia constante

Control Escalar-Tensión - Frecuencia ConstanteXVIII

I En la figura se presenta la respuesta del esquema de lafigura del variador de velocidad al seguir una consigna develocidad, para una máquina de inducción de 3HPalimentada con un puente inversor con control porSPWM , desde un sistema trifásico de 220V a frecuenciaindustrial de 60Hz.

Control Escalar-Tensión - Frecuencia ConstanteXIX

I La conversión AC - DC se realiza con un rectificador nocontrolado trifásico.

Figura: Velocidad mecánica, par y tensión de la barra decontinua para el accionamiento de tensión frecuencia constantecon SPWM

Control Escalar-Tensión - Frecuencia ConstanteXX

(a)

Control Escalar-Tensión - Frecuencia ConstanteXXI

(b) Detalle

Figura: Tensión y corriente en la fase “a” del motor de inducciónpara el accionamiento de tensión frecuencia constante conSPWM

Control Escalar-Tensión - Frecuencia ConstanteXXII

(a)

Control Escalar-Tensión - Frecuencia ConstanteXXIII

(b) Detalle

Figura: Tensión y corriente en la fase “a” de la fuente alternapara el accionamiento de tensión frecuencia constante conSPWM

Control Escalar-Tensión - Frecuencia ConstanteXXIV

Accionamiento a Deslizamiento Constante I

I El proceso de aceleración y frenado de la máquina deinducción se puede realizar controlando el par eléctricomediante la frecuencia de deslizamiento.

I Esto permite acelerar el convertidor con par constante ovariable, controlando la frecuencia de deslizamiento.

Accionamiento a Deslizamiento Constante III Para controlar el par de aceleración de la máquina es

necesario mantener la relación tensión - frecuenciaconstante, esto con la finalidad de obtener una densidad deflujo magnético aproximadamente constante.

Figura: Variador de velocidad a deslizamiento constante

Accionamiento a Deslizamiento Constante III

I La frecuencia de deslizamiento debe estar limitada a unvalor máximo que asegure el funcionamiento de lamáquina de inducción en un punto estable de lacaracterística par eléctrico velocidad mecánica y ademáspermita limitar las corrientes durante el proceso deaceleración a un consumo igual a la capacidad desobrecarga del equipo de potencia.

I En la figura siguiente se presenta el esquema de unaccionamiento que mantiene el deslizamiento constante.

Accionamiento a Deslizamiento Constante IV

I En este esquema la frecuencia de operación del inversor sedetermina a partir de la velocidad mecánica del rotor y deldeslizamiento de referencia, mientras la tensión dereferencia se calcula del error de velocidad.

I El control de la tensión se puede realizar con el inversor através de técnicas de modulación o con un rectificadorcontrolado o un chopper conectado en la barra de corrientecontinua.

Control Vectorial por Campo Orientado I

I Aplicando la teoría de auto valores y auto vectores a lamatriz de inductancia obtenida del modelo de la máquinade inducción en vectores espaciales, se pueden encontrardos transformaciones de variables genéricas.

I Una transformación que refiere las variables del rotor alestator y la otra refiere las variables del estator al rotor.

I Utilizando la transformación que refiere las variables delrotor al estator y escogiendo los coeficientes adecuadospara anular la influencia de la derivada de las corrientes delestator en la ecuación del rotor, se obtiene latransformación a Vectores de Campo Orientado.

~im =~ie +Lr

Ler~ir ejθ (71)

Control Vectorial por Campo Orientado II

I En la figura anterior, se presenta el esquema de unaccionamiento que mantiene el deslizamiento constante.

I En este esquema la frecuencia de operación del inversor sedetermina a partir de la velocidad mecánica del rotor y deldeslizamiento de referencia, mientras la tensión dereferencia se calcula del error de velocidad.

I Proyectando las ecuaciones de la máquina de inducción delsistema en un sistema de dos ejes coordenados ortogonales,uno solidario con la dirección de la variable transformada~im y el otro en cuadratura a esta dirección, se obtiene elmodelo en campo orientado de la máquina de inducción.

Control Vectorial por Campo Orientado III

vde = Reide + Le(pide + δ iqs

)+

L2er

Lrpim (72)

vqe = Reiqe + Le(piqe + δ ids

)+

L2er

Lrpδ im (73)

pim =1

Tm(ide− im) (74)

p (δ −θ ) =1

Tm

iqe

im(75)

donde:

Le = Le−Ler

Lr; Tr =

Lr

Rr

Control Vectorial por Campo Orientado IV

I En el modelo por campo orientado, el par eléctricodepende del producto de la corriente de magnetización yde la componente en cuadratura de la corriente del estator.

I Los sistemas de control por campo orientado sefundamentan en la posibilidad de ajustar el valor de estasdos variables.

Te =L2

erLr

iqeim (76)

I Tal como sucede en las máquinas de corriente continua, enlas máquinas de inducción el circuito de campo tiene unaconstante de tiempo relativamente lenta.

Control Vectorial por Campo Orientado V

I Por esta razón resulta ventajoso mantener la corriente demagnetización en el valor máximo posible, paraincrementar la velocidad de respuesta del sistema. Lacorriente de magnetización se controla mediante el ajustede la componente directa de la corriente del estator.

I En régimen permanente estas dos corrientes tienen elmismo valor.

I El principal problema de los controladores por campoorientado consiste en adecuar el valor de las corrientes otensiones de alimentación a sus valores en variablestransformadas.

Control Vectorial por Campo Orientado VI

I La transformación directa e inversa entre las coordenadasprimitivas y las coordenadas de campo orientado dependende la posición instantánea del vector espacial de lacorriente de magnetización ~im.

I Esto presenta un problema importante al diseñar este tipode controlador, debido a que no resulta simple medir oestimar este ángulo.

I La medición requiere incluir sensores especiales en lamáquina.

Control Vectorial por Campo Orientado VII

I Estimar esta posición requiere la integración en tiemporeal del sistema de ecuaciones diferenciales que modelanla máquina de inducción.

I La primera solución es costosa y difícil de implementar enla practica.

I La segunda alternativa depende de la velocidad delestimador, de la exactitud del modelo y de la variabilidadde los parámetros durante la operación.

I Por esta razón es conveniente la utilización de estimadoresrápidos y precisos de las variables no medibles, entre loscuales encontramos las redes neurales y estimadores deestado.

Control Vectorial por Campo Orientado VIII

I También es indispensable la estimación de los parámetrosde la máquina de inducción en tiempo real.

I Estas dos técnicas permiten una solución rápida y eficientepara la estimación de la posición de la corriente demagnetización.

Control Vectorial por Campo Orientado IXI En la figura se muestra el esquema de un controlador de

velocidad de una máquina de inducción en coordenadas decampo orientado donde se utiliza un inversor controladopor corriente por modulación delta.

Figura: Controlador de velocidad en coordenadas de campoorientado.

Control Vectorial por Campo Orientado X

I El estimador de estado es el subsistema del controladorque permite determinar el valor de las variables nomedibles de la máquina de inducción - par eléctrico y laposición y magnitud del vector espacial de la corriente demagnetización - en cada instante de tiempo a partir de lamedición directa de las tensiones y corrientes de lasbobinas del estator y la velocidad mecánica del rotor.

I El sistema de control utilizado parte de la comparaciónentre la velocidad del rotor de la máquina de inducción conuna referencia determinada para generar un error develocidad.

Control Vectorial por Campo Orientado XI

I Este error, es utilizado por un bloque proporcional integralPI, para producir una consigna de par eléctrico.

I El par eléctrico obtenido por el estimador de la máquina deinducción, se compara con la consigna de par obtenida delPI. Este nuevo error se introduce en otro bloque PI paraproducir la consigna de la componente cuadratura de lacorriente de referencia i ref

qe .I Simultáneamente se determina la corriente de

magnetización de referencia i refm , de acuerdo a la velocidad

mecánica del rotor de la máquina de inducción para evitarla saturación del material magnético y no exceder loslímites térmicos nominales.

Control Vectorial por Campo Orientado XII

I Al comparar la corriente de magnetización de referenciai refm , con la corriente de magnetización que se obtiene delestimador iest

m , se determina un error que se introduce aotro controlador PI, para producir la componente directade la corriente de referencia i ref

de .

I Las corrientes i refde e i ref

qe se transforman a variablesprimitivas y como resultado se obtienen las corrientes dereferencia que el inversor debe seguir. En la figura, sepresenta el diagrama de bloques del sistema de controlpropuesto.

Control Vectorial por Campo Orientado XIII

Figura: Diagrama de bloques del controlador.

I El bloque limitador de par es una protección para evitarque en condiciones transitorias, la máquina pueda excederlos límites térmicos y mecánicos de diseño.

Control Vectorial por Campo Orientado XIV

I Además durante la operación de la máquina, esconveniente que la corriente de magnetización semantenga en el mayor valor posible, para incrementar lavelocidad de respuesta del sistema.

I Cuando la máquina excede la velocidad sincrónica, esrecomendable debilitar la corriente de magnetización parano exceder el límite de potencia nominal.

I Este valor límite viene dado por la corriente demagnetización de la máquina de inducción en vacíocuando se le aplica en bornes, la tensión nominal.

Control Vectorial por Campo Orientado XVI La corriente nominal de magnetización está definida por el

valor de la inductancia mutua estator - rotor.I Por esta razón, se incluye en el sistema de control un

bloque limitador de la corriente de magnetización enfunción de la velocidad mecánica de la máquina deinducción.

I Para deducir la función que describe el bloque limitador dela corriente de magnetización, se deber tener en cuenta lascondiciones de régimen permanente de la máquina deinducción.

i2e = i2de + i2qe = i2m + i2qe ⇒ iqe =

√i2e − i2m (77)

Control Vectorial por Campo Orientado XVII Sustituyendo la expresión de par eléctrico (76) en la

ecuación (77) y multiplicando ambos miembros por lavelocidad mecánica del rotor ωm se obtiene:

ωmTe =L2

erLr

√i2e − i2m imωm = Peje (78)

I Evaluando la expresión (78) en los valores nominales de lamáquina de inducción, se puede encontrar el valor de lavelocidad a partir de la cual es conveniente debilitar lacorriente de magnetización.

ωcritico =PejeLr

L2er imn

√i2e − i2m

=Pejen

Ten

= ωmn (79)

Control Vectorial por Campo Orientado XVII

I A partir de ésta velocidad, se desea debilitar la corriente demagnetización para mantener la potencia constante.Reescribiendo la expresión (78) se obtiene:

ωmim√

i2e − i2m =PejenLr

L2er

= cte. (80)

Control Vectorial por Campo Orientado XVIII

I Desarrollando la expresión (80) se obtiene la corriente demagnetización en función de la velocidad.

i refm =

√2

2

√√√√i2en−

√i4en−

4P2ejen

L2r

L4er ω2

m(81)

Control Vectorial por Campo Orientado XIXI La función que determina la referencia de la corriente de

magnetización en función de la velocidad se ilustra en lafigura.

Figura: Corriente de magnetización de referencia en función dela velocidad mecánica del rotor.

Control Vectorial por Campo Orientado XX

I El principal problema del estimador de estado de lasvariables internas de la máquina es la variabilidad de losparámetros con la temperatura, la frecuencia y lasaturación magnética.

I En particular el estimador por campo orientado, es muysensible a variaciones de la constante de tiempo del rotorTr , debido a que influye directamente en la estimación dela magnitud y dirección instantánea del vector espacial dela corriente de magnetización.

I Los errores en la estimación de la verdadera posiciónangular de la corriente de magnetización, producen erroresen la transformación que permite desacoplar el pareléctrico en dos componentes independientes.

Control Vectorial por Campo Orientado XXI

I Para solventar este problema es necesario la utilización dealgoritmos de estimación paramétrica en tiempo real quepermitan ajustar los parámetros del estimador de estado dela máquina de inducción ante su variación durante laoperación de la misma.

I En la figura se presenta la respuesta del esquema de campoorientado al seguir una consigna de velocidad, para unamáquina de inducción de 200HP alimentada con unpuente inversor, desde un sistema trifásico de 460V afrecuencia industrial de 60Hz.

I La conversión AC - DC se realiza con un rectificador nocontrolado trifásico.

Control Vectorial por Campo Orientado XXII

Figura: Velocidad mecánica, par y tensión de la barra decontinua para el accionamiento de campo orientado

Control Vectorial por Campo Orientado XXIII

(a)

Control Vectorial por Campo Orientado XXIV

(b) Detalle

Figura: Tensión y corriente en la fase “a” del motor de inducciónpara el accionamiento de campo orientado

Control Vectorial por Campo Orientado XXV

(a)

Control Vectorial por Campo Orientado XXVI

(b) Detalle

Figura: Tensión y corriente en la fase “a” de la fuente alternapara el accionamiento de campo orientado

Control Directo de Par y Flujo I

I Durante la década de los ochenta, Takahashi introduce unatécnica avanzada de control escalar denominada controldirecto de par y flujo (DTC) o direct self-control (DSC),la cual suministra la consigna de disparo para lascomponentes de un inversor en tensión.

I Esta técnica permite obtener una característica dinámicadel accionamiento comparable con la de otrosaccionamientos por control vectorial.

I Recientemente, este esquema de control ha sidointroducido comercialmente en diferentes convertidores dedistintas industrias despertando un alto interés a nivelindustrial.

Control Directo de Par y Flujo II

I Este esquema, como su nombre lo indica, se basa en elcontrol del par eléctrico de la máquina y del flujo en elestator, a través de la selección del vector espacial detensión más apropiado de una tabla, para seguir lareferencia de estas señales. La información de disparo delas componentes del inversor para cada vector espacial detensión está contenida en la tabla de control.

I Expresión vectorial de par eléctrico y del enlace de flujo enel estator

Control Directo de Par y Flujo III

I La expresión del par eléctrico puede ser representada deforma más sencilla, a través del producto vectorial de lacorriente del rotor y del estator como:

Te = Ler(iqeidr − ideiqr

)= Ler

(−→ier ×−→ie)

(82)

Control Directo de Par y Flujo IVI El enlace de flujo del estator se puede obtener, a partir de

la integración directa de la fuerza electromotriz en losdevanados del estator.

~λe =

ˆ (~ve−Re~ie

)dt = Le~ie + Ler~ier (83)

donde:

−→xe =√

23

[1 ej 2π

3 ej 4π

3

][xae(t) xbe(t) xce(t)

]t∀x ∈ v , i ,λ

(84)−→xe =

√2

3 e−j π

6

[1 ej 2π

3 ej 4π

3

][xabe(t) xbce(t) xcae(t)

]t∀x ∈ v

(85)

Control Directo de Par y Flujo V

I Para calcular el enlace de flujo del estator a partir de laintegral de la expresión (83) es necesario realizar lamedición directa de la tensión y corriente en los terminalesdel estator.

I Despejando el vector especial de la corriente del rotor de laexpresión (83) y sustituyendo el resultado en la expresión(82), se obtiene el par eléctrico de la máquina de inducciónen función del vector espacial del flujo y la corriente delestator.

Te =−→λe×

−→ie (86)

Control Directo de Par y Flujo VI

I El único parámetro del modelo de la máquina de induccióninvolucrado en la estimación del par eléctrico instantáneo ydel enlace de flujo del estator, es la resistencia del estator(Re).

I El error introducido en la estimación por la variación deeste parámetro con la temperatura es despreciable y puedeser reducido utilizando métodos de estimación paramétricaen tiempo real.

I El puente inversor trifásico genera ocho diferentes salidasde tensión, dependiendo la tensión en la barra de corrientecontinua y la conectividad de los seis interruptoresestáticos que conforman.

Control Directo de Par y Flujo VIII Utilizando la expresión (85) para cada una de estas

posibles salidas, se puede encontrar el vector espacial detensión aplicado sobre los terminales del convertidorelectromecánico.

−→ve =√

23

[1 ej 2π

3 ej 4π

3

]SwVDC (87)

I Donde, Sw es un vector que representa el estado de losinterruptores del puente de dimensión 3x1.

I En este vector, el elemento "1" corresponde al encendidodel interruptor superior, mientras que "0" indica elencendido del interruptor inferior de la misma rama.

I Seis de los vectores espaciales de tensión poseen magnituduniforme y se encuentran desfasados entre ellos. Los otrosdos estados están asociados al vector espacial nulo.

Estrategia de control directo de par II En la figura, se presenta el diagrama en bloques del

controlador directo de par.

Figura: Diagrama en bloques del controlador directo de par.

Estrategia de control directo de par III La magnitud del enlace de flujo y el par eléctrico de

referencia son comparados con los estimados de lamáquina de inducción, que se calculan a partir, de lacorriente del estator, el vector de interrupciones delinversor y la tensión de la barra de continua.

I Los errores de par y flujo son procesados en doscomparadores de histéresis de tres y dos nivelesrespectivamente, a partir de estos resultados y de laposición angular del enlace de flujo del estator sedetermina el vector de interrupciones del inversor.

I El algoritmo del controlador directo de par se fundamentaen escoger el vector espacial de tensión que maximice elcambio necesario en el enlace de flujo del estator, paraajustar el par eléctrico a partir de la expresión 86.

Estrategia de control directo de par III

I El controlador por histéresis del enlace de flujo posee dossalidas digitales de acuerdo al valor del error en lamagnitud del enlace de referencia y el estimado y de labanda de histéresis (HB

(−→λe)

) utilizada, de acuerdo a lassiguientes expresiones:

S(−→λe

) = 1 ∀ error∣∣∣−→λe

∣∣∣ > HB(−→λe

)S(−→

λe

) = 0 ∀ error∣∣∣−→λe

∣∣∣ <−HB(−→λe

) (88)

donde: 2HB(−→λe

)corresponde al ancho de banda de

histéresis del controlador.

Estrategia de control directo de par IV

I Este controlador al mantener la magnitud del enlace deflujo del estator limitada a una banda de histéresis originauna trayectoria circular del vector espacial del enlace deflujo del estator.

I Sustituyendo la expresión (87) en la (83), se obtiene elvector espacial del enlace de flujo del estator en función dela salida del puente inversor.

−→λe =

√23

[1 ej 2π

3 ej 4π

3

]SwVDC ·t−Re ·

ˆ −→ie dt +

−→λe

∣∣∣t=0

(89)

Estrategia de control directo de par V

I Considerando que las caídas de tensión en los devanadosdel estator son pequeñas, las variaciones en la direccióndel enlace de flujo del estator

−→λe, son ocasionadas por la

dirección del vector espacial de tensión aplicado alconvertidor.

I Es decir, una escogencia adecuada del vector espacial detensión aplicado a la máquina de inducción, determina uncontrol sobre la magnitud y trayectoria del enlace de flujodel estator.

Estrategia de control directo de par VI

I En la figura se puede observar la trayectoria del vectorespacial del enlace de flujo del estator y la variación en elenlace de flujo del estator correspondiente a cada uno delos vectores espaciales de tensión del inversor para uninstante de tiempo ∆t .

Estrategia de control directo de par VII

(a) (b)

Figura: (a) Trayectoria del vector especial del enlace de flujo delestator, (b) variación del enlace de flujo en función del vectorespacial de tensión del inversor.

Estrategia de control directo de par VIII

I El controlador por histéresis del par eléctrico posee tressalidas digitales de acuerdo al valor del error en lamagnitud del par de referencia y el estimado y de la bandade histéresis (HB(Te)) utilizada, de acuerdo a las siguientesexpresiones:

S(Te) = 1 ∀ errorTe > HB(Te)

S(Te) =−1 ∀ errorTe < HB(Te)

S(Te) = 0 ∀ −HB(Te) < errorTe < HB(Te)

(90)

I La estrategia del controlador directo de par, se fundamentaen ajustar el par eléctrico al de referencia, mediante elcontrol de la magnitud y sentido de rotación del vectorespacial del enlace de flujo del estator.

Estrategia de control directo de par IX

I Esta posibilidad de ajuste, define seis zonas de operacióndependiendo de la posición del vector espacial del enlacede flujo del estator. Estas zonas de control coinciden con lalocalización de los vectores espaciales de tensión delinversor.

I Cada uno de estas seis zonas de control tiene un ancho deπ/3 radianes y vienen dados por la expresión (91).

I En la figura anterior en la parte (a) se puede observar lasseis zonas de operación .

(2N−3) · π6≤ Z(n) ≤ (2N−1) · π

6(91)

Estrategia de control directo de par X

I En cada zona de operación, una escogencia adecuada delvector espacial de tensión permite incrementar odecrementar la magnitud del enlace de flujo del estator yalterar su sentido de rotación.

I Manteniendo las magnitudes de corriente y el enlace deflujo constante, se puede controlar el par eléctricoresultante, modificando el ángulo relativo entre el enlacede flujo y la corriente del estator.

Estrategia de control directo de par XI

I Este ángulo relativo se puede variar controlando el sentidode rotación del vector espacial del enlace de flujo en elestator.

I Por ejemplo, si el vector espacial del enlace de flujo seencuentra en la primera zona de operación Z(1), y se deseaaumentar la magnitud del enlace, se debe aplicar sobre losterminales de la máquina el vector espacial de tensión −→v2 siel par de referencia es menor que la referencia o el vectorespacial −→v6 si el par eléctrico es mayor que la referencia.

I En la tabla 1 se presenta la secuencia de disparo delinversor para la estrategia de control directo de par, a partirde la posición del enlace de flujo del estator, y la salida delos comparadores de histéresis del flujo y par eléctrico.

Estrategia de control directo de par XII

I Con la finalidad de incrementar la velocidad de cambio delpar eléctrico y magnitud del enlace de flujo, no se utiliza elvector espacial de tensión que se encuentra dentro de lazona de localización del enlace de flujo, así como tampocoel localizado en la zona opuesta.

Estrategia de control directo de par XIII

Cuadro: Secuencia de disparo del inversor para el controladordirecto de par.

S(−→λe)

S(Te) Z(1) Z(2) Z(3) Z(4) Z(5) Z(6)

1 1 −→v1−→v5

−→v4−→v6

−→v2−→v3

1 0 −→v7−→v0

−→v7−→v0

−→v7−→v0

1 −1 −→v5−→v4

−→v6−→v2

−→v3−→v1

0 1 −→v2−→v3

−→v1−→v5

−→v4−→v6

0 0 −→v0−→v7

−→v0−→v7

−→v0−→v7

0 −1 −→v6−→v2

−→v3−→v1

−→v5−→v4

Estrategia de control directo de par XIV

I Este procedimiento es el utilizado por el control directo depar, para el ajuste del enlace de flujo del estator y del pareléctrico a los valores de referencia.

I Las respuestas dinámicas de los accionamientos de lamáquina de inducción que utilizan control directo de par,son comparables a los obtenidos con otros esquemas decontrol vectorial.

I La estimación del enlace de flujo de estator y del pareléctrico instantáneo sólo depende de la resistencia delestator (Re), a diferencia de otros controladores vectorialescomo el de campo orientado en los que los estimadores,dependen de un conjunto mayor de parámetros del modelode la máquina de inducción.

Estrategia de control directo de par XV

I Entre estos parámetros encontramos: las inductancias delestator, rotor y mutua del estator-rotor, la constante detiempo del rotor, estos parámetros son fuertementeafectados durante la operación del convertidorelectromecánico, por las variaciones del grado desaturación magnética y la temperatura.

I El efecto por variaciones de la temperatura sobre laresistencia del estator es despreciable y puede sercorregida en línea con métodos de estimación paramétrica.

Estrategia de control directo de par XVI

I Entre las características del control directo de par tenemos:

I No utiliza realimentación en corriente.I No utiliza el esquema tradicional de control por ancho de

pulso.I Los controladores por histéresis del enlace de flujo del

estator y del par eléctrico generan un rizado sobre estasvariables.

I La frecuencia de conmutación del puente inversor no esconstante y depende de la banda de histéresis de loscontroladores de par eléctrico y del enlace de flujo.

Estrategia de control directo de par XVII

I En la figura se presenta la respuesta del esquema DTC alseguir una consigna de velocidad, para una máquina deinducción de 200HP alimentada con un puente inversor,desde un sistema trifásico de 460V a frecuencia industrialde 60Hz.

I La conversión AC - DC se realiza con un rectificador nocontrolado trifásico.

Estrategia de control directo de par XVIII

Figura: Velocidad mecánica, par y tensión de la barra decontinua para el accionamiento de DTC

Estrategia de control directo de par XIX

(a)

Estrategia de control directo de par XX

(b) Detalle

Figura: Tensión y corriente en la fase “a” del motor de inducciónpara el accionamiento de DTC

Estrategia de control directo de par XXI

(a)

Estrategia de control directo de par XXII

(b) Detalle

Figura: Tensión y corriente en la fase “a” de la fuente alternapara el accionamiento de DT C

Tarea Parte II I

1. Dos máquinas de corriente continua, una con excitaciónserie y la otra con excitación en paralelo, se encuentranconectadas a la tensión nominal y sus ejes mecánicos estánacoplados. Los datos de placa de ambas máquinas son lossiguientes:

Tarea Parte II II

Máquina Vn In Pn nn InfSerie 220V 23A 4kW 1.750 rpm 23A

Paralelo 220V 21A 5kW 1.750 rpm 1,73A

Tarea Parte II III

Las resistencias de campo y de armadura de la máquinaserie son de 0,8Ω. La resistencia de armadura de lamáquina derivación es de 0,95Ω. Las pérdidas deventilación de ambas máquinas dependen del cubo de lavelocidad. En estas condiciones determine:

Tarea Parte II IV

1.1 Los parámetros de ambas máquinas.1.2 Las características par-velocidad de ambas máquinas.1.3 La velocidad nominal y el par nominal del conjunto de las

dos máquinas.1.4 La velocidad si con la carga nominal del conjunto acoplada

al eje se debilita el campo serie un 15%.

Tarea Parte II V

2. Modele dinámicamente una máquina de corriente continuamediante Matlab y su controlador de velocidad,incluyendo el lazo de armadura y el de debilitamiento decampo. La carga puede ser una bomba y los datos de lasmáquinas cualquiera de los dados en el primer problemade esta tarea.

Tarea Parte II VI

3. Realice un modelo de simulación dinámica de la máquinade inducción en el entorno Matlab utilizando el método delos vectores espaciales. Este modelo debe tener una bombaen el eje mecánico. Utilice este modelo para representar:

3.1 Un arranque suave mediante una fuente controlada detensión alterna de tensión variable y frecuencia constante

3.2 El arranque mediante una fuente de tensión y frecuenciavariable que mantengan entre ellas una relación constante

3.3 Un arranque controlado mediante campo orientado3.4 Un arranque controlado mediante la técnica de control

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