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GEORGE BOOLE y LAS LEYES DEL PENSAMIENTO

En este trabajo se elucida en primer lugarsentido que George Boole le da a los trmi-"leyes del pensamiento" y "lgica"; una vezdo ese objetivo se expone sucintamente labooleana resaltando algunos de sus aspectosinteresantes, a cuyo fin se toma comocia fundamental el libro de Boole tituladoLeyes del Pensamiento ", publicado por, New York en el idioma ingls, y se consul-algunos textos sobre Boole que se citan en laafa.

ciencia del pensamiento y del

Boole entiende por lgica un meta-lenguajeobjeto es el juicio y el razonamientoivo, para descubrir a modo de las ciencias cas, ss leyes y principios ms generales.En otras palabras la lgica descubre las leyeses y necesarias para llevar a cabo todacia vlida, pero no limita el mbito de su

al proceso deductivo sino que examinael juicio en general: aquellos "actos dein o de imaginacin que son preliminaresde deduccin lgica, y que dan a los

Rev. Fil. Univ. Costa Rica, XIX (49,50),69-75,1981

Joyce Z urcher de Carrillo

evidencia de las leyes actuales, refirindola a unaciencia" (2). "Como todas las otras ciencias,aquella de las operaciones intelectuales; debeprimero descansar sobre la observacin, siendo elobjeto de tales observaciones, las mismas ope-raciones y procesos de los cuales queremos deter-minar las leyes ... Pero aunque la necesidad de sufundamento en la experiencia es una condicincomn a todas las ciencias, hay algunas diferenciasespeciales entre los modos en que se alcanzan losprincipios cuando el objeto de estudio es la mente,y cuando el objeto es la naturaleza externa" (3).Las leyes de la naturaleza "son en todos los casos yen el sentido ms estricto del trmino, conclu-siones probables que se acercan en efecto ms yms a la certeza, en tanto reciben mayor confir-macin de la experiencia ... El conocimiento delas leyes de la mente no requiere en su base, ningu-na coleccin extensa de observaciones. Su verdadgeneral se aprehende en su caso particular, y no seconfirma mediante la repeticin de ejemplos" (4).Pareciera que Boole se contradice al afirmarpor un lado que la lgica es la ciencia fctica delpensamiento y por el otro que sus leyes y princi-pios son universales y necesarios con absolutacerteza. La contradiccin se resuelve de lasiguiente manera: es asunto de la Ciencia, inves-

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lenguaje que se rige por la forma de la razn. Estu-diar el lenguaje en su aspecto formal es estudiar lasleyes del pensamiento ejemplificadas en todo jui-cio sobre el mundo y en todo razonamiento.El programa de Boole propone el estudio dellenguaje como medio del pensamiento, de la con-cepcin y de la inferencia. La obtencin de "lasleyes de aquellas operaciones que tienen que vercon los procesos de Concepcin e Imaginacin, ylas correspondientes leyes de los smbolos querepresentan las relaciones, y los resultados prc-ticos que pueden obtenerse de tal simbolismo" (8)."Primero en la expresin de trminos complejos enlas proposiciones, segundo en la expresin deproposiciones y finalmente en la constitucin deun mtodo general de anlisis deductivo" (9).

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investiguen las leyes de los signos a posteriori, elobjeto inmediato de examen es el lenguaje con lasleyes que gobiernan su uso, mientras que al hacerde los procesos internos del pensamiento el objetodirecto de examen, apelamos de una manera msinmediata a nuestra conciencia personal; se encon-trar en ambos casos que los resultados obtenidosson formalmente equivalentes. No podramos fcil-mente concebir que las innumerables lenguas ydialectos de la tierra hubieran preservado a travsde las largas sucesiones de edades lo que es comny universal a ellos, si no tuviramos la seguridad dela existencia de algn fundamento profundo de talcoincidencia en las leyes de la razn misma" (5).De suerte que se descubre a-posteriori en losjuicios que se enuncian sobre la naturaleza, quehay leyes que la razn aporta universal y necesaria-mente en todo acto de concepcin y razonamientodeductivo; la prueba de ello reside en el grado decerteza que tenemos de su necesidad. La investi-gacin llevada a cabo por Boole, toma como puntode partida el lenguaje, ya "que el lenguaje es uninstrumento de la razn y no slo un medio de laexpresin del pensamiento" (6). Existe, sin em-bargo, una disputa sobre la precisa naturaleza deloficio representativo de las palabras o smbolosusados en el proceso de razonamiento.La cuestin no es de gran importancia aqu,pues su decisin no puede afectar las leyes segnlas cuales los signos son empleados. "Yo aprehendo,sin embargo, que la respuesta general a esta y otrascuestiones parecidas, es que en el proceso derazonamiento los signos estn en el lugar ycumplen el oficio de las concepciones y ope-raciones de la mente; pero que como esas concep-ciones y operaciones representan cosas y cone-xiones y relaciones de las cosas, los signos repre-sentan cosas con sus conexiones y relaciones; yfinalmente, que como los signos estn en el lugarde las concepciones y operaciones de la mente,estn sujetos a las leyes de tales concepciones yoperaciones" (7). Podra decirse en otros trminosque para Boole las leyes formales de la concepcin

2. La lgica: principios y leyes del pensamiento"Todo juicio que hacemos se refiere a una uotra de las siguientes clases: o bien expresa unarelacin entre cosas, o expresa, (es equivalente) ala expresin de una relacin entre proposiciones.Una afirmacin respecto a las propiedades de cosaso fenmenos que ellas manifiestan, o circuns-tancias en que tienen lugar, es propiamentehablando una afirmacin de relacin entrecosas ... Una afirmacin respecto a hechos o even-tos, su mutua conexin y dependencia, es para losmismos fines, generalmente equivalente a la afir-

macin de que tales proposiciones, acerca de esoseventos, tienen relacin entre s respecto a sumutua verdad o falsedad. A la primera clase deproposiciones que relacionan cosas las llamoprimarias; a las ltimas secundarias" (IO).El lenguaje primario de Boole equivale en unsentido laxo debido a que las relaciones existen-cales entre las proposiciones universales y lasparticulares varan, al cuadro tradicional de lasproposiciones AEfO. El lenguaje de las propo-siciones secundarias equivale a un clculo pro po-sicional tratado aritmticamente.

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tivos que expresan un nombre de una cosa oalguna cualidad o circunstancia que le perte-ne ce" (11). "Signos de aquellas operacionesmentales mediante las cuales unimos partes en untodo, o separamos un todo en sus partes" (12)."Signos mediante los cuales se expresan relacionescon los que formamos proposiciones" (13). Losprimeros signos mencionan objetos y sus propie-dades. "El smbolo que menciona objetos, expresala existencia sustantiva de las cosas individuales alas que se refiere. El que menciona propiedadesimplica tal existencia" (14). No obstante, la dis-tincin entre sustantivo y adjetivo es puramentepamatical. "Por sujeto entendemos el primertrmino de cualquier proposicin afirmativa, estoes. el trmino que precede a la cpula "es" oest"; y por predicado convengamos enmencionar al segundo trmino, es decir aquel quesigue a la cpula" (15).Las proposiciones primarias son proposicionessobre clases "y por clase se entiende usualmente_ coleccin de individuos, a cada uno de losaales puede aplicarse un nombre o descripcin;pro en este trabajo el significado del trmino seatender para incluir el caso en que slo existe un-viduo que corresponda al nombre o descrip-cin requerida, as como el caso denotado por lostinninos "nada" y "universo" que como "clases"n entenderse como "ningn ser" o "todos los-.es" "(I 6).

El lenguaje de proposiciones primarias esnsional y el significado de los trminos apela-o s y descriptivos es la clase de elementosotadas por ellos. De manera que cada trmino- stco menciona una extensin. Si intervieneno sujeto o predicado frases descriptivas, el- icado de ellas es el conjunto o clase de indi-o uos a los cuales los varios significados son~lliltamente aplicables.El orden de la aplicabilidad de los trminos no- ica la extensin, de manera que los signos

buenas, son todas las cosas buenas. Si se convieneen sirribolizar los signos apelativos y descriptivosmediante smbolos literales tales como x, y, z,podemos escribir "hombres blancos" mediante xy,donde x es "hombre" y y es "blanco". Peromencionamos la misma clase si escribimos yx.La segunda clase de signos menciona las opera-ciones de agregar o recolectar clases en un todo ode separar las clases. Tales operaciones puedensimbolizarse mediante los signos+y - y obedecena la ley de conmutatividad y distributividad, a lade transportacin y a la de la suma de la siguientemanera: Si x = y entonces podemos obtenerxz = yz; es decir si dos clases de cosas x y y sonidnticas, esto es si todos los miembros de una sonmiembros de la otra, entonces aquellos miembrosde una clase que poseen una propiedad z sernidnticos a aquellos de la otra que poseen la mismapropiedad. Pero la analoga con el lgebra pareceromperse si no se restringe la aplicabilidad del lge-bra a los valores O y 1, porque en un clculo declases si los miembros de una clase x que poseencierta propiedad z son idnticos a aquellos miem-bros de una clase que posee la misma propiedad z,no se sigue que los miembros de la clase x sonidnticos a los de la clase y (I7).La tercera clase de signos "expresa cualidad ocircunstancia de cualquier clase; pueden emplearsepara expresar la relacin activa o pasiva del sujetodel verbo, considerada con referencia al pasado, alpresente o al futuro:' (I8)."Esto depender evidentemente de la natura-leza de la relacin y ms particularmente sobre lacuestin de si en la relacin los trminos han decomprenderse como universales o particulares, esdecir si hablamos de la coleccin entera de objetosa los que el trmino refiere, o indefinidamente dela totalidad o parte de ella, con el significado usualdel prefijo "algunos" (19). Para cuya denotacinBoole introduce un signo especfico.Mediante el simbolismo apuntado puede

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podemos decir que Boole parte del examen dellenguaje para obtener sus leyes formales queguardan identidad de forma con el lgebra num-rica restringida al 1 y al O , de la cual toma susdems leyes para desarrollar las premisas en unclculo carente de contenido, que se interpretarposteriormente en lenguaje lgico con contenidomaterial.

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ciente para obtener un clculo que permita hacerevidentes todas las implicaciones afirmadas en laspremisas. Para alcanzar dicho clculo Boole debeenriquecer el simbolismo desprendindolo de sucontenido de clases y tratndolo como un lgebranumrica, para aplicarle las leyes algebraicas quedan lugar a proposiciones no interpretables en eltranscurso de la deduccin. El proceso "no nosconducir a ningn resultado inteligible, a menosde que las ecuaciones finales estn en una formaque permita su interpretacin despus de haberreintegrado a los smbolos su significacinlgica" (20).Al proceso que hace evidente todas las rela-ciones implcitas en las premisas lo denominaproceso de desarrollo o expansin, y lo describecomo el procedimiento en que se "considerancualesquiera clases de cosas con referencia a larelacin que sus miembros guardan respecto acierta propiedad x" (21). Cualquier smbolo declase puede dividir al universo en dos subconjuntosmutuamente excluyentes; de manera que si tene-mos la propiedad x, podemos decir que el universoest completo si contiene los elementos que ejern-plifican la propiedad y los que no la ejemplifican.En otras palabras, no es posible que un mismoelemento tenga y no tenga al mismo tiempo unamisma propiedad: x (1 - x) O .Si la ecuacin comprende dos smbolos declase, el universo ser mencionado totalmente porla suma de las posibles combinaciones de talessignos. Si mencionamos la primera propiedad me-diante x y la segunda mediante y, el universoestar completo con la suma de xy, x (1 - x),y (1 - x), (1 - x) (1 - y). "De manera que losconstituyentes de la clase considerada, representantodas las cuatro clases de objetos que pueden serdescritos mediante la afirmacin y negacin de laspropiedades expresadas por x y por y" (22).

Esto permite trabajar las expansiones de Boolecomo ecuaciones algebraicas sin contenido alguno,que sern interpretadas lgicamente al final delclculo.

Proposiciones secundariasUna vez cumplida la primera etapa del pro-grama, pasa Boole a examinar el lenguaje deproposiciones secundarias: "Proposiciones acercade, o relacionadas con otras proposiciones tomadas

como verdaderas o falsas" (23). El anlisis de lasproposiciones primarias difiere del de las secun-darias, "respecto a los objetos del pensamiento queambos reconocen, no respecto a las leyes cient-ficas y formales que revelan o respecto a losmtodos o procesos fundados sobre talesleyes (24).La investigacin en este campo es cientficaaunque de antemano se puede prever la identidadformal del lenguaje de proposiciones primarias conel de proposiciones secundarias, y con el lgebrabinaria. Las relaciones que rigen entre propo-siciones son "relaciones de coexistencia de laverdad o la falsedad, y no relaciones de equiva-lencia inmediata o sustantiva" (25). Tomemospor ejemplo la proposicin condicional "Si laproposicin x es verdadera, la proposicin y esverdadera". Un significado indubitable de estaproposicin es que el tiempo en que la proposicinx es verdadera es el mismo tiempo en que la propo-sicin y lo es tambin. Esta es una relacin decoexistencia y puede o no agotar el significado dela proposicin, pero es una relacin realmenteimplcita en el enunciado de la proposicin y essuficiente para todos los propsitos de la infe-rencia lgica. "Ciertamente en el razonamientoordinario somos inconscientes de esta nocin de

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mentos ulteriores sobre los cuales tales formas sehan establecido" (26).Si se emplean las letras finales del alfabetopara simbolizar la porcin de tiempo en que unaproposicin es verdadera, y empleamos los signospara denotar agregados de aquellas porciones detiempo en que las proposiciones as relacionadasson respectivamente verdaderas, estando aquellostiempos enteramente separados entre s; paradenotar lo que queda del tiempo cuando se lelUStraedel tiempo en que la primera proposicines verdadera el tiempo en que lo es la segundax - y); y para denotar el tiempo en que lasproposiciones as relacionadas son ambas verda-deras, tenemos la posibilidad de simbolizar todaslis proposiciones secundarias mediante el mismosimbolismo obtenido a partir de las proposicionespimarias.Para no entrar en redundanciasmnecesarias,sedir que Boole demuestra empricamente que estelenguaje de proposiciones secundarias tiene laslllismas leyes formales que el de proposicionespimarias y concluye que la nica diferencia entreambos lenguajes es la diferencia de contenido oillterpretacin.El programa queda con esto completo: Booleparte del anlisis de proposiciones primarias paraobtener sus leyes de formacin y transformacin;t:yes que simboliza algebraicamente. Examina ellgebra numrica, (tal examen sugerido por larepresentacin algebraica obtenida del lenguaje deproposiciones primarias) y advierte que entre elsimbolismo lgico y el lgebra hay analogas quepmniten interpretar el simbolismo como un lge-bra numrica restringica al O y l. Enriquece lasleyes de transformacin de la lgicaintroduciendotodas aquellas vlidas dentro del lgebra numrica,ara el O y el 1, tal como la divisin, lo que dalugar a proposiciones no interpretables en lenguajepimario, que llegarnen el desarrollo final del cl-eulo, a ser nuevamente interpretables. Finalmentetrata tal simbolismo como un clculo cuyos signos

es la forma y no el nmero lo propiamente ma-temtico.3. Lgica y filosofa

Boole establece claramente la diferencia entreciencia positiva y filosofa. Como se dijo anterior-mente, para Boole toda ciencia parte de la expe-riencia; la fctica para alcanzar mediante generali-zaciones e inducciones (en sentido dbil) verdadesgenerales sobre-el mundo, o para contrastar en laexperiencia hiptesis explicativas adelantadascomo verdaderas y que permiten el aumento decerteza mediante sus repetidas verificaciones. Laformal para alcanzar la certeza de la universalidady necesidad de sus leyes en un solo ejemplo, cuales el caso de la lgica que hemos estudiado. Lafilosofa en cambio no alcanza verdades generalesni prueba hiptesis fcticas, sino que se dedica a laespeculacin sin tomar en cuenta el fundamentoemprico del cual se debe partir. No obstante, par-tiendo del carcter inductivo de la ciencia, puedela filosofa descubrir en la naturaleza una obe-diencia ciega a un orden en todos sus campos,obediencia que el hombre no puede conocerinmediatamente pero que intenta alcanzarmediante generalizaciones. An hechos tales como"las perturbaciones del sistema planetario, la inte-rrupcin del proceso de cristalizacin mediante laintrusin de una fuerza extraa y otros de natu-raleza semejante, o bien dan lugar a una con-cepcin de algn esquema de orden superior, o auna mirada ms atenta y acuciosa del aspectoanormal. Slo una explicacin puede darse a taleshechos: que la distincin entre verdad y falsedad,entre correcto e incorrecto, exista en el procesodel intelecto pero no en la regin de la necesidadfsica" (27). Todo parece indicar que la naturalezaest sujeta a leyes inquebrantables que el hombrepretende conocer en sus casosparticulares.Tambin puede observarse a partir de la cien-

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versales y necesarios en todo razonamiento, tenensu asiento en la Razn que imprime su forma atodo contenido. las leyes del pensamiento, de lasproposiciones primarias, de las inferencia s inme-diatas a partir de ellas y de las relaciones entreproposiciones secundarias o clculo proposicional,son eternas y vlidas para el hombre genrico. Noes que tengan carcter mandatorio porque es evi-dente que se transgreden cotidianamente, sino queson mandatorias en cuanto toda concepcin ha dellevarse a cabo mediante especificaciones, sumas,restas e igualdades, ya que todo razonamiento validoen general debe cumplirlas para llevarse a cabo. Elconocimiento de una sola instancia produce la cer-teza absoluta de su necesidad y universalidad. Entrminos kantianos, las leyes y principios de laconcepcin, del juicio y del razonamiento son paraBoole juicios sintticos a-priori. En trminosgenerales estamos de acuerdo con Boole respectoal carcter necesario y universal que exhiben lasleyes de la concepcin, de la inferencia y de laded uccin, pero no justificamos tal certezafincando los principios en la razn, sino ms bienexplicndolos como proposiciones tautolgicas alas que convencionalmente se les ha dado un signi-ficado. Como apoyo a esta posicin puedo citar losaxiomas de otras lgicas y de otros clculos mate-mticos cuyas leyes de formacin y transfor-macin se fijan convencionalmente en funcin dela simplicidad, de la coherencia, de la consistencia,o de criterios ms pragmticos.

No puede ser Boole acusado de olvidar elcarcter histrico de la verdad. la forma del juiciono es histrica como tampoco lo es el elementoformal del razonamiento y de la deduccin engeneral, pero respecto a la ciencia fctica sostienecasi en trminos de Hegella existencia de sntesiscada vez ms comprensivas del conocimiento deuna naturaleza siempre cambiante y diversa.Es interesante notar que Boole no estableceuna diferencia tajante entre la forma del razona-miento del sentido comn y la del razonamiento

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caso lmite ideal que ni siquiera puede ser conce-bido con absoluta claridad y precisin. Esto mismopuede observarse en las nociones ideales de lageometra que dan lugar a procesos vlidos de infe-rencia. Pero "mientras que la observacin de lanaturaleza externa testifica con mayor evidencia elhecho de la universalidad y uniformidad de la ope-racin, la menor atencin que se ponga a losprocesos del intelecto nos revela otro estado decosas. las leyes matemticas de la razn, sonhablando propiamente, las leyes del razonamientocorrecto y su transgresin es un fenmeno perpe-tuamente recurrente. El error que no tiene lugar enel sistema material, ocupa uno grande aqu.Debemos aceptar sto como uno de aquelloshechos cuyo origen reside ms all de la provinciade la ciencia. Debemos admitir que hay leyes queno pueden dejar de ser violadas a pesar del rigor desu forma matemtica" (29). Todo esto podra ejer-cer alguna influencia para que se tienda a "reco-nocer una Unidad Central en la naturaleza. Talunidad podra guardar en su seno aquella unidadimplcita en los principios generales de divisin yreunin, de fuentes bajo la Suprema Voluntad dela variedad relacionada de la Naturaleza" (30).la naturaleza humana es independiente de laley absoluta, aunque en todos sus intentos deconocimiento tiende a la verdad. Parece que elhombre sin estar sujeto a leyes que lo obliguen,busca la verdad, la bondad, la belleza y persiguetales ideales en todos los mbitos de su quehacer,tratando de unificarlos en un telos. Esto a su vez,podra sugerir la existencia de un ser Absoluto,pero no corresponde segn Boole a la naturalezadel tema propuesto hablar de Dios. Es preciso re-cordar que la Filosofa debe ser sensata y no extre-madamente especulativa.

4. Comentarios sobre la obra de 800leEl propsito de Boole en las Leyes del Pensa-

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BIBLlOGRAFIA

sistematizacin. En el grado de certeza o en landole de la evidencia. Todos estos criterioseden ser objetados aisladamente, para demostrarque la distincin es cuantitativa y no cualitativa. Elornbre ordinario enuncia proposiciones un-~les, que recogen generalidades; a veces hastaexperimenta grados mayores de certeza que losexperimentados por el cientfico. Deduce perma-.mtemente conclusiones vlidas o invlidas de susJIrelllisas. El razonamiento deductivo no necesitapremisa s cientficas para llevarse a cabo; sloeesita premisas que tengan cierto grado de gene-aJidad y ste aparece en la mayora de las pro po-- - nes fcticas. En su forma el razonamiento delxotido comn y el cientfico son idnticos. Podrajetarse lo anterior aduciendo que las proposi-ciones de una ciencia madura se distinguen de las1 sentido comn por la coherencia y consistenciaguardan con las otras proposiciones tericas, a.xlo de sistema; no obstante esto no constituye~in a la posicin respecto a la identidadfOrmal del razonamiento.la obra lgica de Boole constituye ms unaporte en el campo de las operaciones que en elampo de la axiomtica. Del tratamiento que da aproposiciones primarias simbolizadas como

The laws 01 thought, George Boole, Dover, New York1978. .El desarrollo de 1 0 lgica, Kneale, Martha y William,&l. Tecnos, Madrid, 1968.The encyclopedia of philosophy, Paul Edwards, EdscMillan & Free Press, 1968.

frases del lgebra de dos valores restringida al O yal 1, obtiene los medios algebraicos para alcanzardesarrollos y expansiones lgicas no interpretablesque habra sido imposible obtener por mediosconvencionales. Hoy en da se aplica el nombre delgica o lgebra Booleana a un conjunto de axio-mticas que parten de postulados semejantes a losusados por Boole y utilizan su mtodo de expan-sin y desarrollo.Su obra es cientfica pero est perrneada entoda su extensin por conceptos epistemolgicos ymetafsicos. Sin llegar a constituir un sistemametafsico terminado, nos habla de la necesidadque exhibe el hombre de pasar del conocimientoinmediato al universal mediante la generalizacin;de la necesidad de hacer inferencias y de latendencia a abstraer a partir de la experiencia lasnociones que interesan para constituir con loscasos lmites, entes ideales. Boole nos dice que elcarcter inductivo y deductivo del conocimientoevidencian una capacidad o ms bien una ten-dencia de la Razn hacia la Verdad, el Bien, y laBelleza. la respuesta a la pregunta sobre el origende ese fin o meta la enuncia tmidamente, diciendoque no es de la incumbencia de su trabajo hablarde Dios.

Desde un punto de vista lgico, W. O. Quine, Ariel1952.Introduccin Moderna a la Lgica, Susan Stelbing,UNAM 1965,Introduccin a la Lgica Simblica, P. Suppes, Ed.Continental, Mxico 1969.