Ángulos en una Circunferencia.docx

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CircunferenciaDe Wikipedia, la enciclopedia libre

La circunferenciaes una lneacurva, plana y cerrada.

Una circunferencia es el lugar geomtrico de los puntos de un plano queequidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro en una cantidadconstante llamada radio.

La circunferencia slo posee longitud. Se distingue del crculoen que ste es el lugargeomtrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada es decir, la

circunferencia es elpermetrodel crculo cuya superficie contiene.

!uede ser considerada como una elipse de e"centricidadnula, o una elipse cuyos semie#esson iguales. $ambin se puede describir como la seccin, perpendicular al e#e, de unasuperficie cnica o cilndrica, o como un polgono de infinitos lados, cuya apotemacoincide con su radio.

La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio % se denominacircunferencia unidadocircunferencia goniomtrica.%&'()

Contenido

% *lementos de la circunferencia
http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Plano_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Plano_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Equidistantehttp://es.wikipedia.org/wiki/Centro_(Geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Radio_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculohttp://es.wikipedia.org/wiki/Per%C3%ADmetrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Excentricidad_(ciencias_exactas)http://es.wikipedia.org/wiki/Cono_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Cono_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Cilindrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgonohttp://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgonohttp://es.wikipedia.org/wiki/Apotemahttp://es.wikipedia.org/wiki/Radio_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia_unidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia_goniom%C3%A9tricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia_goniom%C3%A9tricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia#Elementos_de_la_circunferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Plano_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Equidistantehttp://es.wikipedia.org/wiki/Centro_(Geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Radio_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculohttp://es.wikipedia.org/wiki/Per%C3%ADmetrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Excentricidad_(ciencias_exactas)http://es.wikipedia.org/wiki/Cono_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Cilindrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgonohttp://es.wikipedia.org/wiki/Apotemahttp://es.wikipedia.org/wiki/Radio_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia_unidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia_goniom%C3%A9tricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia#Elementos_de_la_circunferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)


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& !osiciones relativas

o &.% La circunferencia y un punto

o &.& La circunferencia y la recta

o &.' Dos circunferencias

' +ngulos en una circunferencia

( Longitud de la circunferencia

o (.% +rea del crculo delimitado por una circunferencia

) *cuaciones de la circunferencia

o ).% *cuacin en coordenadas cartesianas

o ).& *cuacin vectorial de la circunferencia

o ).' *cuacin en coordenadas polares

o ).( *cuacin en coordenadas paramtricas

-ircunferencia en topologa

-ircunferencia en un plano de e#es de referencia no ortogonales

/ 0tras propiedades

1 2ase tambin

%3 4eferencias

%% *nlaces e"ternos

Elementos de la circunferencia
http://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia#Posiciones_relativashttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia#La_circunferencia_y_un_puntohttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia#La_circunferencia_y_la_rectahttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia#Dos_circunferenciashttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia#.C3.81ngulos_en_una_circunferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia#Longitud_de_la_circunferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia#.C3.81rea_del_c.C3.ADrculo_delimitado_por_una_circunferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia#Ecuaciones_de_la_circunferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia#Ecuaci.C3.B3n_en_coordenadas_cartesianashttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia#Ecuaci.C3.B3n_vectorial_de_la_circunferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia#Ecuaci.C3.B3n_en_coordenadas_polareshttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia#Ecuaci.C3.B3n_en_coordenadas_param.C3.A9tricashttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia#Circunferencia_en_topolog.C3.ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia#Circunferencia_en_un_plano_de_ejes_de_referencia_no_ortogonaleshttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia#Otras_propiedadeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia#V.C3.A9ase_tambi.C3.A9nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia#Referenciashttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia#Enlaces_externoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia#Posiciones_relativashttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia#La_circunferencia_y_un_puntohttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia#La_circunferencia_y_la_rectahttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia#Dos_circunferenciashttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia#.C3.81ngulos_en_una_circunferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia#Longitud_de_la_circunferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia#.C3.81rea_del_c.C3.ADrculo_delimitado_por_una_circunferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia#Ecuaciones_de_la_circunferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia#Ecuaci.C3.B3n_en_coordenadas_cartesianashttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia#Ecuaci.C3.B3n_vectorial_de_la_circunferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia#Ecuaci.C3.B3n_en_coordenadas_polareshttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia#Ecuaci.C3.B3n_en_coordenadas_param.C3.A9tricashttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia#Circunferencia_en_topolog.C3.ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia#Circunferencia_en_un_plano_de_ejes_de_referencia_no_ortogonaleshttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia#Otras_propiedadeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia#V.C3.A9ase_tambi.C3.A9nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia#Referenciashttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia#Enlaces_externos


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Secantes, cuerdas y tangentes.

La mediatri5de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia.
http://es.wikipedia.org/wiki/Mediatrizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Mediatriz


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*"isten varios puntos, rectasysegmentos, singulares en la circunferencia6

Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia

Radio, el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia

Dimetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia7necesariamente pasa por el centro8

Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia 7las cuerdas delongitud m9"ima son los di9metros8

Recta Secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos

Recta Tangenteo simplemente Tangente, la que toca a la circunferencia en unslo punto

Punto de tangencia, el de contacto de la recta tangente con la circunferencia

Arco,el segmento curvilneo de puntos pertenecientes a la circunferencia

Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los e"tremos de undi9metro.

Posiciones relativas

La circunferencia y un punto

:n punto en el plano puede ser6

*"terior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es mayor que lalongitud del radio.

!erteneciente a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es igual a lalongitud del radio.
http://es.wikipedia.org/wiki/Rectahttp://es.wikipedia.org/wiki/Segmentohttp://es.wikipedia.org/wiki/Segmentohttp://es.wikipedia.org/wiki/Radio_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Di%C3%A1metrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Cuerda_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Secantehttp://es.wikipedia.org/wiki/Recta_tangentehttp://es.wikipedia.org/wiki/Arco_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Arco_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Rectahttp://es.wikipedia.org/wiki/Segmentohttp://es.wikipedia.org/wiki/Radio_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Di%C3%A1metrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Cuerda_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Secantehttp://es.wikipedia.org/wiki/Recta_tangentehttp://es.wikipedia.org/wiki/Arco_(geometr%C3%ADa)


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;nterior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es menor a la longituddel radio.

La circunferencia y la recta

:na recta, respecto de una circunferencia, puede ser6

*"terior, si no tienen ning


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!nteriores ecntricas, si no tienen ning


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"ngulo inscrito, si su vrtice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen doscuerdas.

La amplitud de un 9ngulo inscrito en una semiAcircunferencia equivale a la mayorparte del 9ngulo e"terior que limita dic=a base. 72ase6 arco capa5.8

"ngulo semi#inscrito, si su vrtice es un punto de la circunferencia y sus lados contienenuna cuerda y una recta tangente a la circunferencia. *l vrtice es el punto de tangencia.

La amplitud de un 9ngulo semiAinscrito es la mitad de la del arco que abarca.

"ngulo interior, si su vrtice est9 en el interior de la circunferencia.

La amplitud de un 9ngulo interior es la mitad de la suma de dos medidas6 la del arcoque abarcan sus lados m9s la del arco que abarcan sus prolongaciones.

"ngulo eterior, si tiene su vrtice en el e"terior de la circunferencia

Longitud de la circunferencia

La longitud de una circunferencia es6

donde es la longitud del radio.

!ues 7n


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+rea del crculo B C 9rea del cuadrado sombreado.

*l 9readel crculodelimitado por la circunferencia es6

Ecuaciones de la circunferencia

Ecuaci$n en coordenadas cartesianas

*n un sistema de coordenadas cartesianasx-y, la circunferencia con centro en el punto 7a,b8 y radiorconsta de todos los puntos 7x,y8 que satisfacen la ecuacin

.

-uando el centro est9 en el origen 73, 38, la ecuacin anterior se simplifica al

.

La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferenciagoniomtrica, circunferencia unidad o circunferencia unitaria.

De la ecuacin general de una circunferencia,
http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea_(Geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculohttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianashttp://es.wikipedia.org/wiki/Radio_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia_goniom%C3%A9tricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia_goniom%C3%A9tricahttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81rea_(Geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculohttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianashttp://es.wikipedia.org/wiki/Radio_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia_goniom%C3%A9tricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia_goniom%C3%A9trica


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se deduce6

resultando6

Si conocemos los puntos e"tremos de un di9metro6 ,

la ecuacin de la circunferencia es6

Ecuaci$n vectorial de la circunferencia

La circunferencia con centro en el origen y radio 4, tiene por ecuacin vectorial6

. Donde es el par9metro de la curva, adem9s cabe destacarque . Se puede deducir f9cilmente desde la ecuacin cartesiana, ya que lacomponente y la componente E, al cuadrado y sumadas deben dar por resultado el radiode la circunferencia al cuadrado. *n el espacio esta misma ecuacin da como resultado uncilindro, de#ando el par9metro F libre.
http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial


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Ecuaci$n en coordenadas polares

-uando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe encoordenadas polarescomo

-uando el centro no est9 en el origen, sino en el punto y el radio es , la ecuacin setransforma en6

Ecuaci$n en coordenadas paramtricas

La circunferencia con centro en 7a, b8 y radio c se parametri5a con funcionestrigonomtricas como6

y confunciones racionalescomo

Circunferencia en topologa

*n topologa,se denomina circunferencia a cualquier curva cerrada que sea =omeomorfaala circunferencia usual de la geometra 7es decir, la esfera %Gdimensional8. Se la puededefinir como elespacio cocientedeterminado al identificar los dos e"tremos de un intervalocerrado.
http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polareshttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_param%C3%A9tricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_racionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_racionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Topolog%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Topolog%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Homeomorfismohttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_cociente_(topolog%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_cociente_(topolog%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polareshttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_param%C3%A9tricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_racionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Topolog%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Homeomorfismohttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_cociente_(topolog%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1tica)


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Los gemetras llaman 'Aesferaa la superficie de la esfera. Los toplogos se refieren a ellacomo &Aesfera y la indican como .

Circunferencia en un plano de e%es de referencia no

ortogonales Wikiversidadalberga proyectos de aprendi5a#e sobreCircunferencia.

!ara construir una circunferencia en el plano oblicuo, no se puede usar la misma ecuacinque se usa en un plano ortogonal, por lo que es necesario introducir algunos conceptos quenos ayudar9n a entender la construccin de tal ecuacin. $ales conceptos son los detrigonometra.

Se debe tener presente que en este plano una ecuacin de circunferencia se llamar9 as si seve como tal. *s por esta ra5n que se descarta la ecuacin anterior, porque en el plano

oblicuo no parecer9 circunferencia, sino una elipse.

&tras propiedades

!otencia de un punto6 si dos cuerdas se intersecan, el producto de los segmentosformados en la una, es igual al producto de los segmentos formados en la otracuerda, .

*l segundo teorema de $alesmuestra que si los tres vrtices de un tri9ngulo est9nsobre una circunferencia dada, siendo uno de sus lados el di9metro de lacircunferencia, entonces, el 9ngulo opuesto a ste lado es un 9ngulo recto 7vasearco capa58.
http://es.wikipedia.org/wiki/3-esferahttp://es.wikipedia.org/wiki/Esferahttp://es.wikipedia.org/wiki/Wikiversidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Wikiversidadhttp://es.wikiversity.org/wiki/Circunferenciahttp://es.wikiversity.org/wiki/Circunferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Potencia_de_un_puntohttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Taleshttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_rectohttp://es.wikipedia.org/wiki/Arco_capazhttp://es.wikipedia.org/wiki/3-esferahttp://es.wikipedia.org/wiki/Esferahttp://es.wikipedia.org/wiki/Wikiversidadhttp://es.wikiversity.org/wiki/Circunferenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Trigonometr%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Potencia_de_un_puntohttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Taleshttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_rectohttp://es.wikipedia.org/wiki/Arco_capaz


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$ri9ngulos rect9ngulos inscritos en una semicircunferencia.

Dados tres puntos cualesquiera no alineados, e"iste una


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%. JK;ntroduccin a la geometraK *ugenio 4oanes acas. @naya editorial. %M ed,%1/3.;SN> /(A&3A%(/A

&. JKOeometra DiferencialK @ntonio Lpe5 de la 4ica, @gustn de la 2illa -uenca.%11.;SN> /(A1&%/(A'A

'. JKOeometra analtica del plano y del espacioK. Pes

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