¿Ángulos entre paralelas o paralelas entreángulos?

Actividad 1: Ángulos entre dos rectas

Abran el programa GeoGebra y seleccionen la apariencia Geometría.

a) Dibujen una recta.

b) Dibujen un ángulo de 50◦.

c) Abran el archivo llamado plantilla1.ggb y respondan las siguientes preguntas. ¿Dónde hay queubicar el punto C para que el ángulo marcado sea de 0◦? ¿Y de 180◦? Registren en sus carpetaslas respuestas. Pueden acompañarlas de texto, dibujos, etc.

d) En la Vista gráfica 2 construyan dos rectas que formen algún ángulo de 50◦ de modo que laconstrucción no se desarme, es decir que el ángulo entre las rectas siga siendo de 50◦.

e) Determinen, si es posible y sin medir, la medida de los otros ángulos.

AnálisisLos dos primeros ítems tienen por objetivo que los alumnos se familiaricen con los comandos que

permiten graficar rectas y ángulos. En caso de que estén disponibles, pueden omitirse. Se propone a losestudiantes que dibujen una recta y un ángulo de 50◦, para el ángulo los estudiantes podrían recurrir a laherramienta Ángulo y luego intentar ajustar la medida del mismo hasta obtener la deseada. En este casoel docente puede observar que este ángulo se desarma al mover sus puntos laterales. Si los estudiantesutilizan la herramienta Ángulo dada su amplitud, al seleccionar la medida, ésta queda fija y no se pierdeal arrastrar los puntos que forman el ángulo. Es importante destacar que el programa presenta en lapantalla tres puntos vértice, puntos laterales equidistantes del vértice1, es tarea del docente que estanoción dialogue con la más usual donde se le llama ángulo a la amplitud entre dos líneas de cualquiertipo que concurren en un punto común llamado vértice.

1En el protocolo de construcción se puede ver que el programa para trazar un Ángulo dada su amplitud realiza una rotacióndel ángulo indicado.

Otra cuestión que se puede incorporar es el sentido, horario o antihorario, que se le puede asignaral ángulo en el proceso de construcción. Esto es interesante de destacar porque tiene que ver con ellenguaje de GeoGebra. En lápiz y papel no es un concepto que se utiliza, por lo menos en los primerosaños.

Se propone a los estudiantes en el ítem c que a partir de la interacción con el archivo plantilla1puedan conjeturar que para obtener un ángulo de 180◦ es necesario que C se encuentre sobre la rectab a la izquierda de la recta a. Al desplazar el punto C no se puede hacer exactamente un ángulo de180◦, ajustando queda aproximada la medida de 180◦. La intención es que los estudiantes logren expresarverbalmente donde debe ubicarse el C para lograr un ángulo llano. Una vez que la mayoría de la clasetiene localizada la posición de C , el docente propone que realicen una construcción que les permitaobtener un ángulo de 180◦ exactamente. Pueden surgir dos posibilidades para esta construcción:

Que los estudiantes utilicen el comando ángulo dada su amplitud y le asignen una medida de 180◦.

Que los estudiantes hagan una recta y tomen en orden tres puntos sobre ella y utilizando elcomando ángulo midan el ángulo.

Ambos procedimientos servirán de apoyo para enunciar la propiedad deseada, es decir la equivalenciamatemática. Se pretende que a partir del trabajo anterior se concluya que si se tienen tres puntos sobreuna recta P , Q y R y se considera el ángulo determinado por PQR o RQP los mismos medirán 180◦ yviceversa si se consideran un ángulo de 180◦ y se toman tres puntos sobre él estarán alineados. Estaconclusión puede escribirse en la carpeta de clase. Se puede escribir en el pizarrón:

Con respecto a dos últimos ítems, el docente puede aclarar en el pizarrón que dos rectas formancuatro ángulos y lo que se está pidiendo es que alguno de ellos mida 50◦. Entre los objetivos másgenerales de este ítem podemos mencionar: que la clase incorpore el contrato del arrastre, poner en

contacto a los estudiantes con los ángulos que determinan dos rectas que se cortan, que los alumnosexploren, conjeturen y fundamenten la relación entre dichos ángulos, que los estudiantes reflexionensobre la dependencia e independencia de los objetos que establece el programa.

Para lograr con éxito la construcción creemos que es necesario que los estudiantes establezcan unarelación entre los comandos antes utilizados individualmente, es decir que vinculen los puntos que formanla recta y el ángulo. Sería interesante que los estudiantes puedan determinar de manera autónoma sila construcción que realizaron soporta el arrastre o no, pues al mover los puntos libres y semilibres lamisma no se debe desarmar. Una vez lograda la construcción dinámica se puede utilizar como ejemploconcreto de la propiedad que queremos generalizar posteriormente.

Se podría incorporar una puesta en común en donde se proponga discutir: diferentes maneras dehacer la construcción, cuáles serán las medidas de los otros ángulos que se forman y que lo justifiquen,esperando que utilicen la conclusión de la tarea anterior. La misma se podría verificar con la herramientaque mide ángulos. A partir de esta tarea se puede elaborar una generalización de la propiedad de losángulos opuestos por el vértice.

En la puesta en común se pueden considerar preguntas como las siguientes: ¿cómo harían para hacernuevamente la construcción si el ángulo ahora es de 35◦?, ¿cuánto medirán los otros ángulos?, ¿por quélos ángulos opuestos nos dieron iguales?, ¿siempre va a ocurrir eso? En este momento se podría utilizarel pizarrón haciendo una figura de análisis de dos rectas que se cortan y preguntando: ¿cómo haríanpara calcular los ángulos si el conocido fuera de 57◦ ? Esperando llegar a la siguiente escritura.

En este momento el docente puede preguntar si vale para cualquier α esperando generalizar elrazonamiento anterior. A continuación se puede enunciar que si tenemos dos rectas que se cortan en unpunto se determinan dos parejas de ángulos que llamaremos opuestos por el vértice, por ejemplo α y γ oβ y δ . Por otro lado también quedan determinadas parejas de ángulos que llamaremos adyacentes, porejemplo α y β o γ y δ o β y γ.

Actividad 2: Amplitudes de los ángulos determinados por dos rectas o semi-rrectas

a) Dadas las siguientes figuras:

Determinen, sin medir, las amplitudes de los ángulos indicados.

b) Construyan, si es posible, dos rectas que formen dos ángulos de 70◦. Si no es posible, expliquenpor qué.

c) Construyan, si es posible, dos rectas de modo que tres de los ángulos que determinan sean de 90◦.Si no es posible, expliquen por qué.

d) Construyan, si es posible, dos rectas que formen tres ángulos de 50◦. Si no es posible, expliquenpor qué.

AnálisisEl primer ítem está pensado para ser realizada en la carpeta de clase. Las figuras que se le entregan

a los estudiantes son figuras en un papel, es decir que los estudiantes podrían extender los segmentosque forman los lados y utilizar herramientas como la regla, el transportador. Otra alternativa es que locopien utilizando el software y que midan el ángulo con las herramientas o que retomen la actividadanterior. En ese caso se puede poner en común diferentes medidas para β y discutir acerca del proce-dimiento de medición y los diferentes resultados, poniendo el acento en la coherencia de las medidasy la propiedades trabajadas anteriormente. La pregunta sobre la unicidad de las medidas en las dosprimeras figuras, contribuye a reflexionar acerca de la certeza del valor otorgado gracias al uso de pro-piedades. En contrapartida, se puede discutir acerca de la imprecisión de la medida obtenida con el usode herramientas.

Es de esperar que los estudiantes crean que en la tercera figura sólo hay una respuesta posible yaque uno de los ángulos se ve recto, ante esta situación el docente puede preguntar ¿Puede ocurrir queα = 143◦ y θ = 91◦? Para los que intenten copiar el esquema con el programa (en el caso de que sehabilite el uso de la computadora) les faltará la medida de los otros ángulos aunque se puede armaruno que luzca visualmente como el dibujo pero en ese caso se puede intervenir modificando levementealgunos de los ángulos y notar que la apariencia es la misma, de este modo se barrerían algunas delas soluciones. Por otro lado los que construyan un esquema inventando la medida de α o θ se puedepreguntar acerca de la arbitrariedad de ese dato agregado y sobre aquellas marcas que conforman undato y aquellas que no. En las diferentes situaciones se puede discutir la existencia de infinitos valores deángulos para esta opción por ejemplo 128◦, 90◦ y 142◦ otros ejemplos serían 128◦,89◦ y 143◦ o 91.5◦,128◦

y 140.5◦. Creemos que el trabajo en lápiz y papel condiciona las respuestas en función de la figura de

análisis.Es probable que los estudiantes reconozcan que θ puede ser recto así como que α debería ser obtuso.

Pero, ¿qué pasa si no les damos la posibilidad de medir, si lo ponemos como condición? Lo que surgees que en los dos primeros casos se puede saber la medida, mientras que en el tercero habrá infinitasposibilidades.

El objetivo de los ítems b), c) y d) es discutir con los estudiantes que si dos rectas se cortan losángulos vienen de a pares y que la única manera de que sean tres iguales es si son de 90circ y enconsecuencia los cuatro ángulos tienen esa amplitud.

A propósito del cuarto ítem, se puede meditar acerca de una construcción imposible, se puede aprove-char esta instancia para discutir en la clase que la argumentación de la imposibilidad de la construcciónes una respuesta a un problema. Aunque los estudiantes, en general, se resisten a este tipo de activida-des, es tarea del docente dedicar espacios para tratar este tipo de cuestiones, nos resulta interesanteincorporar problemas con este tipo de soluciones ya que no suelen convivir en la escuela este tipo derespuestas. Surge así, la posibilidad de contrastar la imposibilidad de una construcción con la imposibili-dad personal para encontrarla. ¿Cómo distinguir entre un caso y otro? Con esto se apunta a la siguienteidea: si una construcción es imposible, es necesario poder explicar por qué lo es.

A partir de la construcción de dos rectas que se cortan en tres ángulos rectos se puede presentar elcomando Rectas perpendiculares. Será interesante reflexionar junto a los estudiantes, que la herramientaes un atajo o camino corto para realizar esta construcción e invitar a los estudiantes a utilizar estaherramienta para que la incorporen.

Actividad 3: Ángulos, rectas y una transversal

a) Abran el archivo llamado plantilla2.ggb. ¿Dónde hay que ubicar el punto C para que los ángulos αy β sean iguales y se encuentren en el mismo color? En la Vista Gráfica 2 realicen una construcciónsimilar a la anterior en la que los ángulos α y β sean exactamente iguales entre sí.

b) Abran el archivo llamado plantilla3.ggb y en la Vista Gráfica 2 copien dinámicamente la plantilla.

c) En una nueva ventana realicen la construcción de un par de rectas paralelas sin usar el comandoRectas paralelas.

AnálisisEsta es la primera tarea donde los estudiantes se enfrentan a la configuración de tres rectas. En la

plantilla dos los puntos C y A son libres, al arrastrarlos por la pantalla modifican la inclinación de lasrectas a y c respectivamente.

El objetivo de esta tarea es que los alumnos logren manifestar coloquialmente que para que los ángulossean iguales el punto A debe ubicarse en una recta paralela a la recta c. Los estudiantes intentarán moverel punto A (aunque también podrían mover C ) hasta lograr ajustar lo más aproximadamente posible paraque ambos ángulos sean iguales. El análisis se centra en la igualdad entre los ángulos y no en la medidade los mismos. De esta manera se espera que puedan conjeturar que: para que α = β es necesario queambas rectas sean paralelas. No se espera que esta conjetura se valide.

Es de esperar que para realizar la construcción solicitada en el ítem dos (construcción similar a ladada), los estudiantes realicen dos rectas que se corten en un punto, marquen algún ángulo que estasdeterminan y luego una recta paralela a algunas de las dos, luego será necesario que identifiquen cuáles el ángulo correspondiente, lo marquen y obtengan la misma medida que el anterior.

Para el copiado del ítem dos se configuró una barra de herramientas donde se eliminó la que permiteel trazado de rectas paralelas con el objetivo que los estudiantes tengan que elaborar estrategias para eltrazado de rectas paralelas. Un posible procedimiento es que realicen dos rectas que formen un ángulode 30◦ y luego con una de ellas trazar nuevamente un ángulo de 30◦, en este caso el docente podríapreguntar si las rectas dibujadas son paralelas.

Nos resulta interesante realizar una puesta en común luego de estos dos primeros ítems pues con-sideramos que ambos permiten experimentar con los ángulos correspondientes entre paralelas, es decirque en el primero nos preguntaremos si los ángulos en discusión son iguales y en el segundo nos pre-guntaremos si las rectas resultaron paralelas. Este recorrido de la exploración y experimentación permitea los estudiantes empezar a apropiarse de la propiedad, sin embargo no constituye una demostraciónformal de la propiedad2.

El ítem siguiente, sobre el trazado de paralelas, es una tarea que amplía el alcance de la tareaanterior y permite resignificar que a partir de lo antes hecho se pueden trazar dos rectas paralelas sin lanecesidad de usar el comando Recta paralela. Esto también tiene su correlato en el papel, donde surgeun método para trazar paralelas que no implica un trabajo de coordinación imposible. Podría el docenteaprovechar esta actividad para recordar cómo se trazan rectas paralelas en lápiz y papel.

Luego de estas tareas se puede plantear una pequeña institucionalización: se puede exponer en unpizarrón dos rectas paralelas y una transversal, indicando los ángulos correspondientes:

Otra cuestión que se puede incorporar es realizar con la clase una descripción de los ángulos co-rrespondientes, marcar diferentes pares en un mismo esquema, dibujar correspondiente entre rectas noparalelas.

2 En Los Elementos de Euclides se demuestra que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos delmismo lado menores que dos rectos las rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en que están los (ángulos)menores que dos rectos. A partir de esto se puede pensar en que si las rectas no se encuentran, los ángulos internos de un ladosuman dos rectos, es decir son suplementarios. En esta secuencia se eligió tratar con los ángulos correspondientes queriendoaprovechar el dinamismo del programa y la fácil visualización de la igualdad de estos ángulos, se propone a partir de estos ylas relaciones trabajadas argumentar las relación entre alternos y conjugados entre paralelas.

Actividad 4: Ángulos entre paralelas y una transversal

a) Consideren el siguiente esquema y expliquen por qué los ángulos α y β son iguales, sabiendo quek//n y m//l.

b) Dadas las siguientes figuras determinen, sin medir, las amplitudes de los ángulos indicados.

AnálisisEl objetivo principal del ítem a) es que los estudiantes puedan validar una de las propiedades ex-

ploradas en el anterior problema, más precisamente Los ángulos correspondientes entre paralelas soncongruentes (iguales). Para ello se presenta un esquema similar al anterior con el agregado de unarecta más, la recta l. Se espera que los estudiantes argumenten utilizando propiedades de los ángulosinteriores de los paralelogramos. Una posible validación es:

Considerar el paralelogramo ABCD y llamar γ al ángulo ADC nombrado en sentido horario.

Recurriendo a la propiedad de afirma que los ángulos adyacentes son suplementarios, tenemosque α + γ = 180◦ y por otro lado sabemos que β + γ = 180◦ por tratarse de ángulos internos noopuestos de un paralelogramo.

Por lo tanto se concluye que tanto γ como β son el suplemento de α por lo tanto γ = β.

La otra propiedad explorada en el problema anterior Si los ángulos correspondiente son congruentes(iguales) entonces las rectas son paralelas, no se espera que se argumente aunque sí se espera que los

estudiantes la tengan disponibles para utilizar, por ejemplo para el trazado de rectas paralelas o paraestudiar la posición entre dos rectas, etc.

En el ítem b) se espera que los estudiantes puedan establecer relaciones entre todos los ángulosdeterminados entre dos rectas paralelas y una transversal. El docente puede aprovechar este ítem pa-ra describir los ángulos alternos y conjugados tanto internos como externos. Establecer relaciones yfundamentarlas a partir de lo validado en ítem anterior.