Angulos. Unidad 2.

7/25/2019 Angulos. Unidad 2.

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GEOMETRIA I

Unidad 2: Estudio de la geometra clasica

ANGULOS

Lic:Cristian Martinez

Universidad Gerardo Barrios

Facultad de Ciencias y Humanidades

Unidad de Formacion Docente

Febrero de 2015

Lic:Cristian Martinez (Universidad Gerardo Barrios Facultad de Ciencias y Humanidades Unidad de Formacion Docente)

GEOMETRIA I Febrero de 2015 1 / 23
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CONTENIDOS

1 Angulos.

2 Clasificacion de los angulos.Segun su medidaSegun su caracterstica.

3 Angulos formados por dos rectas intersectadas por una transversal

4 Angulos formados por dos rectas paralelas intersectadas por una transversal

5 Propiedades especiales

6 Angulos de lados paralelos

7 Angulos de lados perpendiculares


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Angulos.

Angulo.

Definimos como angulo a la figura geometrica formada por dos rayos (o semirrectas)

distintas que tienen el mismo origen.Ese origen se llama vertice del angulo.

Al angulo de vertice O y rayosOA y

OB se le denota AOB.

Cuando no hay lugar a confusion los angulos se denotan por letras

minusculas, numeros o letras del alfabeto griego.Para denotar la medida de un angulo AOB se usara el smbolo: mAOB.

Dos angulos son congruentes si y solo si sus medidas son iguales:

AOB = COD mAOB =mCOD


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Angulos.

Interior y exterior de un angulo

Considerando un angulo AOB.

El interior es la interseccion de dos semiplanos, el semiplano de la rectaOB

que contiene a A y el semiplano de la rectaOA que contiene a B.

El exterior del angulo AOB es el conjunto de todos los puntos del plano

del angulo que no estan en el angulo ni en su interior.

Lic:Cristian Martinez (Universidad Gerardo Barrios Facultad de Ciencias y Humanidades Unidad de Formacion Docente)GEOMETRIA I Febrero de 2015 4 / 23
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Angulos.

Bisectriz de un angulo

Es un rayo que partiendo del origen comun divide al angulo en dos angulos

iguales.OB es la bisectriz de AOC

Construccion de la bisectriz de un angulo con regla y compas:

Para construir la bisectriz de un angulo dado AOB se procede de la siguientemanera.

1 Haciendo centro en O y con abertura conveniente del compas se traza el arcoDE.

2 Con la misma abertura del compas y haciendo centro en D y Ese trazan dosarcos que se cortan en P.

3

Se traza el rayo

OP

y se obtiene elAOP= POB


Cl ifi i d l l S did
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Clasificacion de los angulos. Segun su medida


1 Angulo nulo: Es aquel que mide 0o

2 Angulo convexo:Es aquel cuya medida es mayor que 0o pero menor que180o. Puede ser:

1 Agudo: mayor que 0o y menor que 9o.

2 Recto: igual a 90o.

3 Obtuso: mayor que 90o y menor que 180o.


Cl ifi i d l l S did


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1 Angulo Llano: Es aquel que mide 180o

.

2 Angulo concavo:Es aquel cuya medida es mayor que 180o y menor que

360

o

.

3 Angulo de una vuelta: Es aquel que mide 360o


Clasificacion de los angulos Segun su caracterstica


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Clasificacion de los angulos. Segun su caracterstica.

Angulos adyacentes

Los angulos AOB y BOCson adyacentes si y solo si, tienen un lado en comunOB y los lados no comunes

OA y

OCestan en distintos semiplanos determinados

por el lado comun.

Las relaciones son validas.

Adicion:AOC = AOB + BOC

Sustraccion:

AOB = AOC BOCBOC = AOC AOB


Clasificacion de los angulos Segun su caracterstica


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Angulos adyacentes suplementarios

Son dos angulos adyacentes tales como los angulos AOB y BOCen donde dosde los lados de estos angulos se ubican sobre una misma recta, verificando que susmedidas son tales que suman 180

AOB + BOC= 180

NOTA:

En esta clase de angulos adyacentes los lados no comunesOA y

OC son

rayos opuestos.


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Angulos opuestos por el vertice

En el grafico adjunto puede observar dos rectasAC y

BD que se interceptan en

un punto comun O desde el cual se determinan cuatro angulos los cuales son:AOB,BOC,COD,AOD.

Llamaremos angulos apuestos por el vertice a las parejas: AOB y COD;AOD y BOC.

Los angulos opuestos por el vertice son iguales.


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g g

Angulos complementarios.

Son dos angulos cuyas medidas suman 90

Si los angulos y son complementarios entonces:

+ = 90

Si dos angulos son complementarios, cada uno de ellos es el complemento delotro.

Asi en la figura el complemento de es el angulo y viceversa.


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g g

Angulos suplementarios.

Son dos angulos cuyas medidas suman 180.

Si los angulos y son suplementarios entonces:

+ = 180

Si dos angulos son suplementarios, uno cualquiera de ellos es el suplemento

del otro.As en la figura adjunta el es el suplemento del y viceversa.


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Observacion:

1 Los angulos adyacentes dos a dos ubicados alrededor de un punto tienen susmedidas tales que su suma es 360.

2 Los angulos adyacentes dos a dos que completan un semiplano tienen susmedidas tales que su suma es 180.

3 Si dos angulos son complementarios entonces ambossonagudos.Lic:Cristian Martinez (Universidad Gerardo Barrios Facultad de Ciencias y Humanidades Unidad de Formacion Docente)GEOMETRIA I Febrero de 2015 13 / 23

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Congruencia de angulos

1 Todo angulo es congruente con sigo mismo.

2 Dos angulos rectos cualesquiera son congruentes.

3 Los suplementos de dos angulos congruentes, son congruentes.

4 Los complementos de dos angulos congruentes son congruentes.

Rectas paralelas

Dos rectas son paralelas si estan en un mismo plano, y su interseccion es vacia.La recta

AB es paralela con la recta

CD, y se denota

AB

CD.

El paralelismo puede referirse a dos rectas, a dos segmentos y a un rayo y unsegmento.


Angulos formados por dos rectas intersectadas por una transversal
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Angulos formados por dos rectas intersectadas por una transversal

Sea 1 y 2 dos rectas intersectadas por la transversal se verificara la formacionde ocho angulos los cuales se denominan.

Angulos internos: ,,, .

Angulos externos: , , ,

Angulos alternos internos: y , y .

Angulos alternos externos: y , y .

Angulos correspondientes: y , y , y , y .

Angulos conjugados internos: y, y .

Angulos conjugados externos: y, y


Angulos formados p or dos rectas paralelas intersectadas p or una transversal
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Angulos formados por dos rectas paralelas intersectadas por una transversal

Sea 1 y 2 dos rectas paralelas intersectadas por la transversal se verificara que:

Angulos alternos son congruentes:

=, =, =, =.Angulos correspondintes sonconguentes: =, =, =, =.

Los angulos conjugados son

suplementarios: + = 180, + = 180, + = 180,+ = 180


Propiedades especiales
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Propiedades especiales:

Si el vertice se situa entre las paralelas ay b, luego su medidaestara expresada por:

.

= +


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Teorema de Sarrus: Para toda poligonal cuyos extremos pertenecen a lasparalelas a y b se verifica la relacion.

.


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Del conjuntos de angulos mostrados en la figura si OAPQse verifica.


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Sean las rectas paralelas L1 y L2 y los angulos mostrados en la figura, secumple que:

Es decir la suma de los angulos cuyos vertices apuntan haca la derecha, esigual a la suma de los angulos cuyos vertices apuntan haca la izquierda.


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Sean las rectas paralelas L1 y L2 y los angulos mostrados en la figura, se

cumple que:


Angulos de lados paralelos
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Angulos de lados paralelos

Dos angulos que tienen sus lados respectivamente paralelos son congruentessi los lados paralelos estan dirigidos en el mismo sentido o en sentidocontrario dos a dos.

Seran suplementarios si dos de sus lados estan dirigidos en el mismo sentido ylos otros dos en sentido contrario.


Angulos de lados perpendiculares
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Angulos de lados perpendiculares

Dos angulos que tienen sus lados respectivamente perpendiculares son

congruentes si:

Ambos son agudos u obtusos.

Suplementarios si uno de ellos es agudo y el otro obtuso.

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