Antologia Investigacion de Operaciones TEORIA D JUEGOS

Misael Garca Vzquez

Investigacin de Operaciones

UNIVERSIDAD MICHOACANA DE SAN NICOLS DE HIDALGO

FACULTAD DE CONTADURA Y CIENCIAS ADMINISTRATIVAS INVESTIGACIN DE OPERACIONES ANTOLOGA DE LA MATERIA Lic en Cs. Fsico Matemticas Misael Garca Vzquez

MORELIA, MICHOACN; 24 NOVIEMBRE DE 2010.

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Misael Garca Vzquez


ContenidoContenido...........................................................................2 INTRODUCCIN A LA INVESTIGACIN DE OPERACIONES.........3Naturaleza de la Investigacin de Operaciones (IO).....................3 reas en las que ha sido aplicada la IO:......................................3 Efecto de la Investigacin de Operaciones..................................3 Fases usuales de un estudio de IO:.............................................4 FASES DE UN ESTUDIO DE INVESTIGACION DE OPERACIONES.......4 Problemas de modelacin algebraica..........................................6 SISTEMAS DE ECUACIONES.........................................................9 SISTEMAS DE SOLUCIN PARA ECUACIONES LINEALES:................9 MTODO POR IGUALACIN.........................................................9 MTODO POR SUSTITUCIN......................................................10 MTODO POR REDUCCIN........................................................11 MTODO GRFICO...................................................................12 MTODO DE DETERMINANTES...................................................13

PROGRAMACIN LINEAL (PL)..............................................23Elementos de un modelo de optimizacin.................................24 Solucin Grfica......................................................................33 Introduccin y ejemplos de modelamiento................................36

REDES............................................................................... 39 SISTEMA DE CONTROL DE INVENTARIOS..............................42TECNICAS DE CONTROL DE INVENTARIOS..................................42 EL MTODO ABC, EN LOS INVENTARIOS.....................................43 DETERMINACIN DEL PUNTO DE REORDEN................................43 Algunas herramientas de este control de inventarios son:.........44 EXISTENCIAS DE RESERVA O SEGURIDAD DE INVENTARIOS........44 CONTROL DE INVENTARIOS JUSTO A TIEMPO.............................45 ANLISIS INTEGRAL DEL COSTO-BENEFICIO...............................45 Estrategias para reducir inventarios.........................................45

TEORA DE JUEGOS.............................................................511.2.3.4.5.6.7.8.9.INTRODUCCIN...................................................................51 CONCEPTO DE JUEGOS Y ESTRATEGIAS.................................54 JUEGOS ESTABLES...............................................................56 JUEGOS INESTABLES...........................................................56 SOLUCIN CON EL EMPLEO DE LA PROGRAMACIN LINEAL....57 JUEGOS SUMA-CERO PARA DOS OPONENTES.........................58 JUEGOS CON ESTRATEGIAS MIXTAS......................................59 PUNTOS DE SILLA...............................................................59 JUEGOS SUMA DIFERENTE DE CERO O METAJUEGOS..............60

BIBLIOGRAFA....................................................................62

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INTRODUCCIN A LA INVESTIGACIN DE OPERACIONES

Naturaleza de la Investigacin de Operaciones (IO)El Objetivo de esta disciplina es: Investigar sobre las operaciones; es decir la Problemtica relacionada con la conduccin y la coordinacin de actividades en una Organizacin. El principal objetivo de esta rea de conocimientos consiste en formular y resolver diversos problemas orientados a la toma de decisiones. La naturaleza de los problemas abordados puede ser determinstica, como en los Modelos de Programacin Matemtica, donde la teora de probabilidades no es necesaria, o bien de problemas donde la presencia de incertidumbre tiene un rol preponderante, como en los Modelos Probabilsticos. Hoy en da, la toma de decisiones abarca una gran cantidad de problemas reales cada vez ms complejos y especializados, que necesariamente requieren del uso de metodologas para la formulacin matemtica de estos problemas y, conjuntamente, de mtodos y herramientas de resolucin, como los que provee la Investigacin de Operaciones.

reas en las que ha sido aplicada la IO:Manufactura Transporte Construccin Telecomunicaciones Planeacin Financiera Cuidado de la salud Fuerzas Armadas Servicios Pblicos, etc.

Efecto de la Investigacin de OperacionesLa IO ha tenido un efecto impresionante en el mejoramiento de la eficiencia de numerosas organizaciones de todo el mundo. En el proceso, la IO ha contribuido de manera significativa al incremento de la productividad de la economa de varios pases.

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La Investigacin de Operaciones o Investigacin Operativa, es una rama de las Matemticas consistente en el uso de modelos matemticos, estadstica y algoritmos con objeto de realizar un proceso de toma de decisiones. ...

Fases usuales de un estudio de IO:1. Definicin del problema de inters y recoleccin de datos relevantes. 2. Formulacin de un modelo matemtico que represente el problema. 3. Desarrollo de un procedimiento basado en computadora o manual para derivar una solucin para el problema a partir del modelo. 4. Prueba del modelo y mejoramiento de acuerdo con las necesidades. 5. Preparacin para la aplicacin del modelo prescrito por la administracin. 6. Implementacin.

FASES DE UN ESTUDIO DE INVESTIGACION DE OPERACIONESPara llevar a cabo el estudio de Investigacin de Operaciones es necesario cumplir con una serie de etapas o fases. Las principales etapas o fases de las que hablamos son las siguientes: 1. Definicin del problema. Implica definir el alcance del problema que se investiga. Es una funcin que se debe hacer entre todo el equipo de investigacin de operaciones Su resultado final ser identificar tres elementos principales del problema de decisin. 2. Construccin del modelo. Modelos icnicos: Son imgenes a escala del sistema cuyo problema se quiere resolver. Maquetas, Dibujos, Modelos a escala de barcos, automviles, aviones. Modelos analgicos: Se basan en la representacin de las propiedades de un sistema, es decir, contiene apariencia distinta al original, pero con un comportamiento representativo. Modelos simblicos: Son conceptualizaciones abstractas del problema real a base del uso de letras, nmeros, variables y ecuaciones. ste tipo de mtodos son los ms econmicos de construir y operar. 3. Solucin del modelo.

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Resolver un modelo, consiste en encontrar los valores de las variables dependientes, asociadas a los componentes controlables al sistema a fin de optimizar, si es posible o en caso de no serlo, mejorar la eficiencia o efectividad del sistema. El anlisis matemtico clsico se utiliza para obtener las soluciones de un modelo de IO en forma deductiva. Cuando estas no son posibles de obtener en forma deductiva, se utiliza el anlisis numrico a fin de resolver el modelo en forma inductiva. 4. Validacin del modelo. Es necesario probar la validez de todo modelo con cierta aproximacin o exactitud. Los proyectos de investigacin de operaciones, se aplican generalmente en Organizaciones que estn operando y que por lo tanto, ya arrojan resultados. Si los resultados se alejan bastante de los reales del sistema operativo, entonces, hay que tomar en cuenta lo siguiente: A) Que el diseo de sistemas que se aplic, en el estudio no ha omitido ningn componente controlable importante, y que no haya rechazado ninguna interaccin que genere efectos de importancia. B) Una vez que se cerciore la validez del diseo de sistemas que se efecto, hay que corroborar las expresiones matemticas que representan a los objetivos del grupo de toma de decisiones C) Una vez que se cerciore la validez del modelo hay que corroborar ahora las tcnicas que resuelven a este se apliquen de manera correcta y que los resultados del mismo se analicen e interpreten tambin de manera correcta. D) Por ultimo, ahora hay que cerciorarse como se comunican los resultados, al grupo de toma de decisiones, utilizando el lenguaje que ellos entiendan. 5. Implantacin de los resultados finales. 1) Primero, el equipo de Investigacin de Operaciones da una cuidadosa explicacin a la gerencia operativa sobre el nuevo sistema que se va a adoptar y su relacin con la realidad operativa. 2) Estos dos grupos comparten la responsabilidad de desarrollar los procedimientos requeridos para poner este sistema en operacin. 3) La gerencia operativa se encarga despus de dar una capacitacin detallada al personal que participa, y se inicia entonces el nuevo curso de accin.

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4) Supervisa la experiencia inicial con la accin tomada para identificar cualquier modificacin que tenga que hacerse en el futuro. Por su naturaleza, a la IO le concierne el bienestar de toda la organizacin, no slo de algunos componentes. Un estudio de IO trata de encontrar soluciones ptimas globales y no soluciones subptimas aunque sea lo mejor para uno de los componentes de la Organizacin. Cuando se trata de Organizaciones lucrativas, un enfoque posible para no caer en un problema de suboptimizacin es utilizar la maximizacin de la ganancia a largo plazo, considerando el valor del dinero en el tiempo como un objetivo nico. Sin embargo, en la prctica, muchas de estas Organizaciones adoptan la meta de ganancias satisfactorias combinada con otros objetivos, como puede ser la conservacin de la estabilidad de las ganancias, aumentar o conservar la participacin de mercado con que se cuenta, mantener precios estables, mejorar las condiciones y el nimo de los trabajadores, etc. Una vez que se define el problema, la siguiente etapa consiste en reformularlo de manera conveniente para su anlisis. La forma convencional en que la IO logra este objetivo es mediante la construccin de un modelo matemtico que represente la esencia del problema. Los modelos matemticos tambin son representaciones idealizadas, pero estn expresados en trminos de smbolos y expresiones matemticas. Por ejemplo: x1, x2, ..., xn ; P = 3x1 + 2x2 + ... + 5xn ; x1 + 3x1x2 + 2x 2= 10

Problemas de modelacin algebraica1.- Encuntrense tres nmeros enteros consecutivos cuya suma sea 60. Sean los nmeros x , y, z enteros consecutivos tales que : x + y + z = 60 Ecuacin 1

Si establecemos 2 ecuaciones ms en donde: y=x+1 z=x+2 Ecuacin 2 Ecuacin 3

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Sustituimos los valores de y, z de las ecuaciones 2 y 3, en la ecuacin 1: x+ y + z = 60 Ecuacin 1 x + ( x + 1 ) + ( x + 2 ) = 60 x + x + 1 + x + 2 = 60 3x + 3 = 60 3x = 60 3 3x = 57 3 3 x = 19 Ahora bien, sustituimos el valor de x en la ecuacin 2 para determinar el valor de y: y= x +1 y = 19 + 1 y = 20 Y sustituimos el valor de x en la ecuacin 3 para determinar el valor de z: z = x +2 z = 19 + 2 z = 21 Sustituyendo los valores de x, y, z en la ecuacin 1: x + y + z = 60 19 + 20 + 21 = 60 60 = 60 2.- Dos hermanos ganaron $1300 durante sus vacaciones de verano el mayor gan 1 veces ms que el otro. Determnese la ganancia de cada uno. Determinando variables: G = ganancia del hermano mayor g = ganancia del hermano menor El enunciado se plantea as: G + g = 1300 ..... Ecuacin A G = 1.5 g ..... Ecuacin B Solucin: Sustituyendo la ecuacin B en ecuacin A G + g = 1300 1.5 g + g = 1300 2.5 g = 1300 2.5 2.5 g = $520

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Sustituyendo el valor de g en ecuacin B G = 1.5g G = 1.5 ( $520) G = $ 780 Comprobando los valores de G y g en ecuacin A G + g = 1300 780 + 520 = 1300 1300 = 1300 3.- En un grupo de 35 estudiantes haba 10 hombres menos que el doble de mujeres. Determnese cuantos haba de cada sexo. Determinando variables: M es el # de estudiantes del sexo masculino F es el # de estudiantes del sexo femenino Se debe cumplir que: M + F = 35 M = 2 F 10 Solucin: Sustituyendo ecuacin B en ecuacin A M + F = 35 (2 F 10) + F = 35 3F 10 = 35 3F = 35 + 10 3F = 45 3 3 F = 15 Sustituyendo el valor de F en ecuacin B M = 2 F - 10 M = 2 (15) 10 M = 30 10 M = 20 Comprobacin de valores de M y F en ecuacin A: M + F = 35 20 + 15 = 35 35 = 35 Ecuacin A Ecuacin B

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SISTEMAS DE ECUACIONESEs un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incgnitas. Solucin de un sistema de ecuaciones es un grupo de valores de las incgnitas que satisface todas las ecuaciones del sistema. La solucin del sistema Es la reunin de dos o ms ecuaciones con dos o ms incgnitas. Ejemplo: 2x + 3y = 13 4x - y = 5 Un sistema de ecuaciones es posible o compatible cuando tiene solucin y es imposible o incompatible cuando no tiene solucin. Un sistema compatible es determinado cuando tiene una sola solucin e indeterminado cuando tiene infinitas soluciones.

SISTEMAS DE SOLUCIN PARA ECUACIONES LINEALES:Para dar solucin a un problema de programacin, utilizamos los siguientes mtodos: Igualdad Sustitucin Reduccin (Suma o Resta) Grfico Determinantes Matrices

MTODO POR IGUALACINResolver el Sistema: 7x + 4y = 13 5x - 2y = 19 EC. 1 EC. 2

Despejemos cualquiera de las incgnitas; por ejemplo x, en ambas ecuaciones: Despejando x en ecuacin 1 : 7 x = 13 4 y x = 13 4y 7 Despejando x en ecuacin 2 : 5 x = 19 + 2 y x = 19 + 2y 5

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Ahora se igualan entre si los dos valores de x que hemos obtenido, tenemos: 13 4y = 19 + 2y 7 5 Y ya tenemos una sola ecuacin con una incgnita; hemos eliminado la x. Resolviendo esta ecuacin tenemos: 5 ( 13 4y) = 7 (19 + 2y) 65 20y = 133 + 14 y - 20y 14y = 133 65 - 34y = 68 y = -2 Sustituyendo este valor de y en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en la ec. 1 (generalmente se sustituye en la ms sencilla), se tiene: 7x + 4 y = 13 7 x + 4 ( - 2) = 13 7 x 8 = 13 7x = 13 + 8 7 x = 21 x=3 Verificacin: sustituyendo x = 3 , y = -2 en las dos ecuaciones dadas, ambas se convierten en la identidad. 7x + 4y = 13 7(3) + 4(-2) = 13 21 8 = 13 13 = 13 EC. 1 5x - 2y = 19 5(3) 2(-2) = 19 15 + 4 = 19 19 = 19 EC. 2

MTODO POR SUSTITUCINResolver el Sistema: 7x + 4y = 13 ..... 5x 2y = 19 ..... EC. 1 EC. 2

Despejamos una de las incgnitas, por ejemplo x en una de las ecuaciones. Vamos a despejarla en la ecuacin 1 y tendremos: 7x = 13 4y x = 13 4y 7 Este valor de x se sustituye en la ecuacin 2: 5x 2y = 19 5 ( 13 4 y ) 2y = 19 7

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Y ya tenemos una ecuacin con una incgnita; hemos eliminado la x, ahora resolvamos esta ecuacin simplificando 5 y 7: 5 ( 13 4 y ) 2y = 19 7 7 65 - 20y - 14y = 133 -34y = 133 65 - 34y = 68 -34y = 68 -34 -34 y = -2 Sustituyendo y = -2 en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en ec. 1, se tiene: 7 x +4 ( -2) = 13 7x 8 = 13 7x = 13 + 8 7x = 21 x = 21 7 x=3 Verificacin: sustituyendo x = 3 , y = -2 en las dos ecuaciones dadas , ambas se convierten en la identidad.

MTODO POR REDUCCINResolver el Sistema: 7x + 4y = 13 ..... EC. 1 5x 2y = 19 ..... EC. 2

En este mtodo se hacen iguales los coeficientes de una de las incgnitas. Vamos a igualar los coeficientes de y en ambas ecuaciones, porque es lo ms sencillo. 1 ( 7x + 4y = 13) -2 ( 5x 2y = 19) 7x + 4y = 13 -10x + 4y = -38

Cambiando los signos de la ecuacin 2 segn la regla de la resta algebraica: 7x + 4y = 13 10x 4y = 38 17x = 51 17 x = 51 17 17

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x =3 Sustituyendo x en la ecuacin 2 tenemos: 5 ( 3) 2y = 19 15 2y = 19 - 2y = 19 - 15 - 2y = 4 y=4 -2 y = -2 Verificacin: sustituyendo x = 3 , y = -2 en las dos ecuaciones dadas, ambas se convierten en la identidad.

MTODO GRFICOResolver el Sistema: 7x + 4y = 13 5x 2y = 19 EC. 1 EC. 2

Tomamos la ec. 1 y damos valores de 0 a x para determinar valor de y, luego damos valor de 0 a y para determinar valor de x. 7 x + 4 y = 13 0 + 4y = 13 4 4 y = 3.25 7x + 0 = 13 7x = 13 7 7 x = 1.86 Ecuacin 1 X 0 1.86 B D Y 3.25 0 A C 5 x - 2 y = 19 0 - 2y = 19 -2 -2 y = - 9.5 5x - 0 = 19 5x = 19 5 5 x = 3.8

Ecuacin 2 X 0 3.8 Y -9.5 0

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Graficando en un plano cartesiano los puntos determinados por las ecuaciones, tenemos dos lneas rectas que pueden o no cruzarse entre ellas. En este caso s se cruzan y el punto de interseccin entre ambas rectas es la solucin del sistema de ecuaciones dadas.

Solucin (punto de interseccin)

Verificacin: sustituyendo x = 3 , y = -2 en las dos ecuaciones dadas, ambas se convierten en la identidad.

MTODO DE DETERMINANTESPara resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas por determinantes debemos considerar lo siguiente: 1) El valor de x es una fraccin cuyo denominador es el determinante formado con los coeficientes de x y y (determinante del sistema) y cuyo numerador es el determinante que se obtiene sustituyendo en el determinante del sistema la columna de los coeficientes de x por la columna de los trminos independientes de las ecuaciones dadas. Sea el sistema: a1x+ b1y = c1 a2x+ b2y = c2 ec.1 ec.2

y esta expresin es el desarrollo del determinante:

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Formada con los coeficientes de las incgnitas en las ecuaciones 1 y 2 este es el determinante del sistema: La determinante para el numerador de x es: c1 b2 c2 b1

2) El valor de y es una fraccin cuyo denominador es el determinante del sistema y cuyo numerador es el determinante que se obtiene sustituyendo en el determinante del sistema la columna de los coeficientes de y por la columna de los trminos independientes de las ecuaciones dadas. Formada con los coeficientes de las incgnitas en las ecuaciones 1 y 2 este es el determinante del sistema: La determinante para el numerador de y es: a1 c2 a2 c1

Vase que ambas fracciones tanto para determinar tienen el mismo denominador: a1 b2 a2 b1

valor de x como y,

La determinante para el denominador de ambas fracciones x y y es:

Por tanto, los valores de X y Y, igualdades 3 y 4 pueden escribirse con las siguientes determinantes:

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Resolviendo este sistema por el mtodo de determinantes, se tiene: c1 b2 - c2 b1 x= a1 b2 - a2 b1 Resolver el Sistema: 7X + 4Y = 13 5X - 2Y = 19 3 a1 c2 - a2 c1 y= a1 b2 - a2 b1 EC. 1 EC. 2 4

Sustituyendo en las formas originales tenemos:

La determinante para x es:13 X= 19 7 5 4 -2 4 -2

x= 3

(4) = (13) (-2) (19)= - 102 (7) (-2) (5) (4)

(- 26) (76)

= 3

(- 14) (20)

La determinante para y es:

c

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y= a2 c1

a1 c2 (133) (65) = (- 14) (20)

a1 b2 a2 b1(7) (19) (5) (13) = y 68 = (7) (-2) (5) (4) y34 -2 =

= -2 -

Verificacin: sustituyendo x = 3 , y = -2 en las dos ecuaciones dadas, ambas se convierten en la identidad. MTODO DE MATRICES Matriz: Es un arreglo comn que sirve para resumir y exhibir nmeros o datos. Arreglo de elementos o nmeros dispuestos en (m) renglones o filas y (n) columnas. Representacin: Se acostumbra representar a las matrices por medio de las letras maysculas del abecedario (A, B, C, etc.) y sus elementos se representan con las letras minsculas (a, b, c, ... etc.) Para determinar la posicin de cada elemento, dentro de la matriz se escribe un subndice a cada uno de ellos de la siguiente manera (aij) donde i indica el rengln y j la columna, adems i =1,2,3,4...etc. y j = 1,2,3,4...etc. Por ejemplo: a56 indica que su posicin en la matriz es el rengln 5 y columna 6:

Renglones o filas

columnas Dimensiones u orden de una matriz: Si una matriz a contiene (m) renglones y (n) columnas, su dimensin se expresa como A(m,n) que quiere decir matriz A de dimensin m,n.

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a) Suma de matrices: Para sumar dos matrices es necesario que ambas sean del mismo orden. A (m,n) = aij B (m,n) = bij

A+B= Sean las siguientes matrices: 3 A= -1 2 4 B= 2 1

aij + bij

=

cij

0 3 A+B=

3+2 -1+1

2+0 4+3

C=

5 0

2 7

b) Resta de matrices: Para restar dos matrices es necesario que ambas sean del mismo orden. A- B= Sean las siguientes matrices: 3 A= 2 4 4 -1 5 -5 8 B= -1 -2 4 -3 A-B=2-(-2) 5-(-3) 3-(-1) -1-(4)

aij - bij

=

cij

C=

c) Multiplicacin de matrices: Vector fila por vector columna = Producto Interno b11 Se puede llevar a cabo siempre y cuando los vectores fila y columna tengan el mismo nmero de elementos. b21 B= A = a11 a12 a13 ... a1n b31 . . . bm1

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2 0 B= 1 3

A = 2 -1 3 4

A . B = 2(2) AB = 4

-1(0) 0

3(1) 3

4(3) 12

C=

19

Matriz por vector columna Se multiplica cada fila de la matriz por la columna dada, por lo cual obtenemos como resultado un vector columna. b11 b21 Bmn = b31 . . . bm1

2 0 A= 5 3

1 2 1 1

3 1 4 0

0 3 B= 2 1 2

2 -4 3 5

b1

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2(2) 0(2) A.B = 5(2) 3(2)

1(-4) 2(-4) 1(-4) 1(-4)

3(3) 1(3) 4(3) 0(3)

0(5) 3(5) 2(5) 1(5) C=

9 10 28 12

Vector fila por Matriz La fila dada se multiplica por cada una de las columnas de la matriz, obteniendo como resultado un vector fila. 2 A = 2 -4 3 5 B = A=1x4 8 4 7 5 6 8 3 9 1 3 0 5 4 1 2

B=4x4

2(2) A.B =

-4(1) 3(8) 3(6)

5(4) 5(8)

2(3) 2(1)

-4(0) -4(2)

3(7) 3(3)

5(5) 5(9)

2(5) -4(4)

A.B =

(4 - 4 + 24 + 20)

(6 0 + 21 + 25)

(10 - 16 + 18 + 40)

(2 8 + 9 + 45)

C =

44

52

52

48

Matriz por Matriz 3 A= -1 4 2 B= 1 2 3 2 0

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Donde A = 2 x 2 3(2) A.B = -1(1) 4(3) 2(0)

B=2x2 6 C= -1 12 0

Matriz por Escalar En donde escalar es un nmero real cualquiera. Matriz por Escalar es igual a la multiplicacin de cada elemento por el escalar. 5 A= -2 0 3 1 4 5(8) 3(8) 1(8) 4(8)

.

E(8)

A.8 = -2(8) 0(8)

40 C= -16 0

24 8 32

Inversa de una Matriz o Matriz Inversa Multiplicativa Una cantidad cualquiera, llmese x, por su recproco 1/x es igual a 1. Ejemplo: Matriz por inversa de la misma es igual a 1. A A-1 I . A-1 = I

Denotacin a la inversa multiplicativa de una matriz Identidad/matriz identidad

Condiciones Importantes:

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1. Para que una matriz tenga una inversa multiplicativa ella debe ser cuadrada. 2. La inversa multiplicativa de A tambin ser cuadrada y tendr las mismas. 3. No todas las matrices cuadradas tienen una inversa multiplicativa. Determinacin de la Inversa de una Matriz: Se puede determinar a travs de los siguientes mtodos: a) Por el mtodo de Co factores b) Por el mtodo de Gauss-Jordan Modelo base:

a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

1 0

0 1

0 0

0

0

1

Mtodo de Eliminacin Gaussiana: Para significar el procedimiento se emplea un tipo de notacin abreviado para representar el sistema de ecuaciones. Ejemplo: a1x1 + b1x2 = c1 a2x1 + b2x2 = c1 El mtodo elimina las variables y representa un sistema de ecuaciones empleando solamente los coeficientes de las incgnitas o variables y las constantes del miembro derecho.

a1 a2

b1 b2

c1 c2

La lnea vertical se emplea para separar los miembros de la izquierda con los de la derecha de las ecuaciones. Despus se transforman los coeficientes columna por columna en (1 y 0) de la siguiente manera:

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a1 a2

1 0

b1

0

b2 1 Quedndonos como resultado una diagonal: a1 a2 b1 b2 1 0 0 1

En forma completa se tiene lo siguiente: a1 a2 b1 b2 c1 c2 Por transformacin Gauss Jordan 1 0 0 1 V1 V2

V1 y V2 son los valores del sistema que se trata. En este sistema se habla de 2 ecuaciones con 2 incgnitas. En el caso de 3 ecuaciones: a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 Por transformacin Gauss Jordan 1 0 0 0 0 1 0 0 1 V1 V2 V3

Nota: V1 , V2 y V3 son la solucin del sistema. Procedimiento de Eliminacin Gaussiana: 1) Elimine las variables o incgnitas y elabore un arreglo que contenga los coeficientes de las incgnitas y las constantes del miembro derecho. 2) Transforme los coeficientes hacindolo columna por columna. 3) En cualquier transformacin de columna, primero obtenga la unidad y despus los ceros. 4) Para determinar la unidad y el cero:

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La unidad se obtiene dividiendo todo el rengln por el nmero que se requiere transformar a la unidad. Para obtener el cero, el nmero que se desea transformar en 1 (uno), se multiplica con cambio de signo por el rengln donde se obtuvo la unidad y se le agrega el rengln donde ser requiere el cero. Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones empleando la transformacin GAUSS-JORDAN. 2x + y = 4 3x + 4y = 1 2 3 4 1 2 3 4 1 4 1 R1a R2 1 4 1 Por transformacin Gauss Jordan 1 0 0 1 V1 V2

PROGRAMACIN LINEAL (PL)El desarrollo de la PL ha sido clasificado como uno de los avances cientficos ms importantes de mediados del siglo XX. La PL es una de las herramientas ms utilizadas en la Investigacin Operativa ya que por su naturaleza se facilitan los clculos y en general permite una buena aproximacin de la realidad. La PL utiliza un modelo matemtico para describir el problema. La palabra programacin en esencia es sinnimo de planeacin.

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La PL involucra la planeacin de actividades para obtener el mejor valor posible; esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada de acuerdo con el modelo matemtico, entre todas las alternativas factibles. Se llama PL al conjunto de tcnicas matemticas que pretenden resolver la siguiente situacin: Optimizar (minimizar o maximizar) una funcin lineal, denominada funcin objetivo (F.O.), de tal forma que las variables de dicha funcin estn sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales.

Elementos de un modelo de optimizacin.Supongamos que se dispone de determinadas piezas para la elaboracin de dos productos finales. Se dispone de 8 piezas pequeas y 6 piezas grandes, que son utilizadas para elaborar sillas (usando 2 piezas pequeas y 1 pieza grande) y mesas (usando 2 piezas de cada tipo). Interesa decidir cuntas sillas y mesas fabricar de modo de obtener la mxima utilidad, dado un beneficio neto de U$ 15 por cada silla y de U$20 por cada mesa fabricada. Posibles soluciones factibles a considerar, esto es soluciones que respetan las restricciones del nmero de piezas disponibles, son por ejemplo, fabricar: 4 sillas, que reportan una utilidad de U$60 1 sillas y 2 mesas , utilidad de U$55 3 mesas, utilidad de U$60 1 mesa y tres sillas, utilidad de U$65 2 sillas y 2 mesas, utilidad de U$70 etc.

Un modelo matemtico para hallar la mejor solucin factible a este problema tiene tres componentes bsicas: Las variables de decisin, que consiste en definir cules son las decisiones que se debe tomar. En el ejemplo, x: nmero de sillas elaboradas. y: nmero de mesas elaboradas. La funcin objetivo del problema, que permita tener un criterio para decidir entre todas las soluciones factibles. En el ejemplo, maximizar la utilidad dada por: z = f(x,y) = 15x + 20y Restricciones del problema, que consiste en definir un conjunto de ecuaciones e inecuaciones que restringen los valores de las variables de decisin a aquellos considerados como factibles. En el ejemplo, respetar la disponibilidad de piezas para la fabricacin de sillas y mesas:

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Piezas pequeas: 2x + 2y 8 Piezas grandes : x + 2y 6 Tambin se impone restricciones de no negatividad: x,y 0 En resumen: Max sa: 15x + 20y 2x + 2y 8 x + 2y 6 x,y 0

El ejemplo corresponde a un modelo de Programacin Lineal. Si adems restringimos los valores de x e y a nmeros enteros, tendramos un modelo de Programacin Entera. Por otra parte, si hubiese retornos crecientes a escala, deberamos emplear una funcin objetivo no lineal como f(x,y) = cxa + dyb con a,b >1, y tendramos un modelo de Programacin No Lineal. En un problema de PL intervienen: F.O. que es necesario optimizar. Las restricciones que deben ser Inecuaciones Lineales. Su nmero depende del problema en cuestin. El carcter de desigualdad viene impuesto por las limitaciones o necesidades, que son: inferiores o iguales a... (), mayores o iguales a... (). Tanto si se trata de maximizar como de minimizar, las desigualdades pueden darse en cualquiera de los dos sentidos. Agregar las condiciones de no negatividad para las variables del problema. Regin Factible. Conjunto de valores que verifican todas y cada una de las restricciones. Todo punto (vrtice) de ese conjunto puede ser solucin del problema. Solucin ptima. Ser un par de valores (x,y) del conjunto factible que haga que f(x,y) tome el valor mximo o mnimo.

Pasos a seguir para resolver un problema de PL: 1. 2. 3. 4. Elegir las incgnitas o variables a utilizar. Determinar la F.O. en funcin de los datos del problema. Determinar las restricciones en forma de sistema de inecuaciones. Agregar las condiciones de no negatividad para las variables del problema. 5. Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando grficamente las restricciones. 6. Calcular las coordenadas de los vrtices del polgono determinado que es nuestra regin factible de soluciones posibles. 7. Calcular el valor de la funcin objetivo en cada uno de los vrtices para ver en cual de ellos presenta el valor mximo o mnimo segn pida el problema.

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Resolucin grfica de problemas de PL. Ejercicio: Bicicletas de Paseo y Montaa: Un herrero quiere fabricar bicicletas de paseo y montaa con 80 Kg. de Acero y 120 Kg. De Aluminio, mismos que quiere vender respectivamente en $2,000 y $1,500 para obtener el mximo beneficio. En la elaboracin de la bicicleta de Paseo emplear 1 Kg. de Acero y 3 Kg. de Aluminio y en la de Montaa 2 Kg. de cada metal. Cuntas bicicletas de Paseo y de Montaa deber vender el herrero para obtener el mximo beneficio? 1) Incgnitas: x = Nm. de bicicletas de Paseo. y = Nm. de bicicletas de Montaa. Tipos De Paseo De Montaa 2) 3) 4) F.O. f(x,y) # bicicletas x y Kg. Acero x 2y 80 Kg. Aluminio 3x 2y 120

Max z = 2000x + 1500y s.a. x + y 80 3x + 2y 120 x , y 0

5) Se tabula y construye la grfica convirtiendo las restricciones en igualdades y determinando las rectas de cada restriccin a travs del mtodo grfico. R1 x + 2y = 80 y = 80/2 y = 40 x + 2y = 80 x = 80 R2 3x + 2y = 120 y = 120/2 y = 60 3x + 2y = 120 x = 120/3 x = 40 X 0 80 Y 4060

y

0y'

B (0,40)

C (20,30)

REGION FACTIBLE

xA (0,0) D (40,0) 80

0

60R2 x'

R1

40

0

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6 y 7) Calcular las coordenadas de los vrtices y la F.O.:

X V E R TICE S A ( 0 B ( 0 C ( 20 D ( 40

, , , ,

F .O . M a x z = 2 0 0 0 x + 1 5 0 0 y Y 0 0)0 0 (0 ) + 1 5 0 0 (0 ) = 0 2 42 0)0 0 (0 ) + 1 5 0 0 (4 0 ) = 0 + 6 0 ,0 0 0 = 6 0 ,0 0 0 0 32 0)0 0 (2 0 ) + 1 5 0 0 (3 0 ) = 4 0 ,0 0 0 + M 5a,0 0 0 = 8 5 ,0 0 0 0 4 xz 0 0)0 0 (4 0 ) + 1 5 0 0 (0 ) = 8 0 ,0 0 0 + 0 = 8 0 ,0 0 0 2

Solucin: Para obtener el mximo beneficio de $85,000 el herrero debe fabricar 20 bicicletas de Paseo y 30 de Montaa. Ejercicio: Ganancia del Artesano de Mantas Un artesano teje mantas de alpaca y algodn mensualmente, puede tejer desde 10 hasta 60 mantas de alpaca y un nmero de 120 mantas de algodn. Alpaca x 10 x 60 Algodn y 120 y

Si la ganancia por cada manta de alpaca es de $134 y por cada manta de algodn $20. Cuntas mantas de cada tipo debe tejer al menos para que maximice su ganancia? Se sabe por experiencia propia que el artesano puede tejer mensualmente a lo ms 160 mantas combinadas. x + y 160 1) Incgnitas: x = Nm. de mantas de alpaca. y = Nm. de mantas de algodn. Mantas Alpaca Algodn 2) 3) F.O. # bicicletas x y Max z = 134x + 20y s.a. x 10 Produccin 10 x 60 x + y 160 y 120

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x 60 y 120 x + y 160 4) x,y 0

5) Se tabula y construye la grfica convirtiendo las restricciones en igualdades y determinando las rectas de cada restriccin a travs del mtodo grfico. X Y R1 x = 10 10 --R2 R3 R4 x = 60 y = 120 x + y = 160 y = 160 x + y = 160 x = 160 60 --0 160 --120 160 0160 B(10, 120) C (40,120) D(60,100)

y R1

R2

R3

REGION

FA CTIB LE

x y'A(10, 0) E(60, 0) 160 R4

x'

VE R T A B C D E

IC EXS ( 10 ( 10 ( 40 ( 60 ( 60

YF . O . M a x , 0 3 )4 ( 1 0 ) + 1 , 1 2103 )4 ( 1 0 ) + , 1 2103 )4 ( 4 0 ) + , 1 0103 )4 ( 6 0 ) + , 01 3 4 (6 0 ) + )

z = 134x + 20y 2 0 (0 ) = 1 3 4 0 + 0 = 1 3 4 0 2 0 (1 2 0 ) = 1 3 4 0 + 2 4 0 0 = 3 7 4 0 2 0 (1 2 0 ) = 5 3 6 0 + 2 4 0 0 = 7 7 6 0 2 0 ( 1 0 0 ) = 8 0 4 0 + 2 0 0M a=x 1z 0 0 4 0 0 2 0 (0 ) = 8 0 4 0 + 0 = 8 0 4 0

Un o s g ra n d e s a l ma ce n e s en ca rga n a un fa b ri ca n te pa n ta l on e s y c h aq u e ta s d e po rti va s.

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El fa b ri can te d i sp o n e p a ra la con fe cci n d e 15 0 0 m d e tej i d o de al g od n y 1 0 00 m d e te ji d o d e p ol i ste r. C a da pa n ta l n p re c i s a 2 m d e a lg o d n y 2 m de p o li ste r. Pa ra ca d a ch aq u e ta s e ne c e si ta n 3 m d e a lg o d n y 1 m d e p ol i ste r. El p re ci o d el pa n ta l n se fi j a e n 5 0 dl l s y el d e l a cha q u e ta e n 40 dl l s. Qu n me ro de pa n ta l on e s y cha q u e ta s de b e su mi ni stra r e l fa b ri c a n te a l o s a lma ce ne s pa ra q u e sto s co n si g a n un a ve n ta m xi m a ? 1 El e c ci n de la s inc gn ita s . x = nm e r o de pa nta lone s y = nm e r o de c ha que ta s 2 Func in obje tiv o f(x ,y )= 5 0x + 4 0y 3 Re s t r icc ione s P a ra escri bi r la s re stri cci on e s va mo s a a yu da rn o s d e u na ta bl a : pa nta lone s c ha que ta s dis ponib le a lg odn poli s te r 2x +3 y 1 5 0 0 2x + y 1 0 00 Co m o el n me ro de p an ta l o ne s y ch aq u e ta s son n me ro s na tu r a l e s, te n d re mo s do s re stri cci on e s m s: x 0 y 0 4 Ha l la r el co n ju n to d e s oluc ione s fa c tible s 2 2 3 1 1 5 00 1 0 00

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Te ne m o s q u e re p re se n ta r g r fi ca me n te l a s re stri ccio n e s. Al s e r x 0 e y 0 , tra b a ja re mo s e n e l p ri me r cu a d ra n te . Re p r e se n ta mo s l a s re cta s, a pa rti r de su s p u n to s d e co rte co n lo s ej e s.

Re s o l ve mo s g r fi ca me n te la in e cu a ci n : 2 x +3 y 15 0 0 , pa ra el l o to ma mo s un pu n to d e l pl a n o , p o r e je mp lo el (0 ,0 ). 2 0 + 3 0 1 50 0 Co m o 0 1 50 0 en to n ce s el pu n to (0 ,0 ) se e n cue n tra en e l s e mi p la n o d on d e se cu mp le la d e sig u al d a d . De mo d o a n l o go re so l ve mo s 2x + y 10 0 0 . 2 0 + 0 1 00 La zo n a d e i n te rse cci n de la s so l u ci o ne s de la s i n e cu a cio n e s s e r a la so l u ci n a l si ste ma de in e cua ci o ne s, q ue co n sti tu ye e l c on j un to de la s so l u ci o n e s fa cti bl e s.

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5 C al cu l a r l a s co o rd en a d a s d e lo s v rti ce s d e l re ci n to de la s so l u ci o ne s fa cti bl e s. La s oluc in ptim a , si e s ni ca , se en cu en tra en un v r ti ce de l re cin to . sto s so n l as sol u cio n e s a l o s si ste ma s: 2 x + 3 y = 15 0 0 ; x = 0 (0 , 50 0 ) 2 x + y = 1 00 0 ; y = 0 (5 0 0 , 0 ) 2 x + 3 y =1 5 00 ; 2 x + y = 1 0 00 (3 7 5 , 25 0 )

6 Ca l c ul a r e l v a lor de la func in obje tiv o

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E n la fun ci n ob j e ti vo su sti tui mo s ca d a u no de lo s v rti ce s. f(x, y) = 50 x + 40 y f(0 , 50 0 ) = 50 0 + 40 5 0 0 = 20 ,0 0 0 d ll s f(5 00 , 0 ) = 50 5 0 0 + 4 0 0 = 25 ,0 0 0 d ll s f(3 75 , 2 50 ) = 5 0 37 5 + 40 2 5 0 = 28 ,7 5 0 d ll s M x im o y 250

La s o lu ci n p ti ma e s fa b ri ca r 3 7 5 pa nta lone s c ha que ta s pa ra o b te ne r un be ne fic io de 2 8 ,7 5 0 dlls .

Ejercicio: El granjero Lpez tiene 480 hectreas en la que se puede sembrar ya sea trigo o maz. El calcula que tiene 800 horas de trabajo disponible durante la estacin crucial del verano. Dados mrgenes de utilidad y los requerimientos laborales mostrados a la derecha, Cuntas hectreas de cada uno debe plantar para maximizar su utilidad? Cul es sta utilidad mxima? Maz: Utilidad: $40 por hrs. Trabajo: 2hs por hrs. Trigo: Utilidad: $30 por hrs. Trabajo: 1hs por hrs. Solucin: Como primer paso para la formulacin matemtica de este problema, se tabula la informacin dada (Tabla 1). Si llamamos x a las hectreas de maz e y a las hectreas de trigo. Entonces la ganancia total P, en dlares, est dada por: P=40x+30y Que es la funcin objetivo por maximizar. Maz Horas Hectreas Utilidad por unidad 2 1 $40 Trigo 1 1 $30 Elementos disponibles 800 480

La cantidad total de tiempo par hectreas para sembrar maz y trigo est dada por 2x+y horas que no debe exceder las 800 horas disponibles para el trabajo. As se tiene la desigualdad: 2x+y0 En resumen, el problema en cuestin consiste en maximizar la funcin objetivo P=40x+30y sujeta a las desigualdades 2x+y2, se llama de n personas. Se supone que existe una serie de polticas (reglas de juegos) conocidas por los jugadores. Existe tambin una serie de condiciones que terminan la competitividad (por ejemplo: ganar, perder y empatar). Se conoce una serie de consecuencias asociadas con una decisin i de un jugador y una j, de otro. Estas consecuencias expresan por lo general en valores monetarios y se presentan en la forma de matrices de consecuencias. Precisamente estas suposiciones son las que limitan la utilidad prctica de la teora de juegos. Por lo general un tomador de decisiones puede intuir, mas no necesariamente conocer con certeza lo que otro decisor har bajo ciertas circunstancias. La construccin de una tabla de consecuencias no slo es un proceso muy difcil, sino por lo general, imposible de realizar en la prctica. Un ejemplo de lo anterior, es: La Compaa Telefnica Nacional debe delinear una estrategia para argumentar la revisin del contrato colectivo de trabajo con su sindicato. La empresa supone, por diversas razones histricas que pueden ocurrir cuatro situaciones con el sindicato: E1) Negociacin difcil E2) Demandas exageradas E3) Demandas leves E4) Cambios extremos de posturas del sindicato durante las negociaciones. Por su parte, el sindicato considera, tambin por razones histricas, promover algunas de las siguientes estrategias: S1) Demandas extremadamente exageradas S2) Demandas exageradas S3) Demandas razonables S4) Demandas leves, favorables a la empresa; no al sindicato. A travs de un intermediario que comunica a la empresa y al sindicato, previa la negociacin, se puede (en teora) disear una tabla de consecuencias. Por ejemplo, si la empresa adopta una estrategia E1 y el sindicato promueve una tctica S1, el aumento probable en el salario de un obrero ser de $25/hora; en cambio la combinacin E4-S1 puede generar un incremento de $32/hora. Suponga que a travs de este intermediario, la empresa y el sindicato conocen la matriz de consecuencias, previa la negociacin:

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Construir estas tablas en la realidad son tareas casi imposibles de llevar a cabo, porque se requiere saber qu curso de accin tomar el oponente, como repuesta a una estrategia seleccionada por el otro. En otras palabras, por lo general no existen los intermediarios de informacin. La teora de juegos define estrategias que maximizan o minimizan una funcin objetivo (Por lo general, una funcin de utilidad construida con la tabla de consecuencias para cada jugador). La teora de juego se divide en cuanto a: Jugadores Juegos de dos personas Juegos de n personas Nmero de estrategias disponibles a cada decisor: Juegos finitos Juegos infinitos Objetivos del juego: Juegos suma-cero Juegos suma diferentes de cero Meta-juegos. La teora de juegos se ha desarrollado bsicamente de acuerdo con el juego suma-cero para dos participantes. Existen algunos resultados muy limitados para juegos suma diferente de cero (para dos ms participantes). En cuanto a los mtodos que utiliza la teora de juegos para alcanzar el objetivo propuesto por los jugadores se tienen: Tcnicas de puntos de sillas. Conceptos de dominacin. Mtodos algebraicos o matriciales.

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Mtodos grficos. Programacin lineal.

2.- CONCEPTO DE JUEGOS Y ESTRATEGIASUn juego es una situacin competitiva entre N personas y grupos, denominados jugadores, que se realiza bajo un conjunto de reglas previamente establecidas, con consecuencias conocidas. Las reglas definen las actividades elementales, o movimientos, del juego. Pueden permitirse diferentes movimientos para los distintos jugadores, pero cada jugador conoce los movimientos de que disponen los otros jugadores. Si un jugador gana lo que otro jugador gana lo que otro jugador pierde, al juego se le denomina juego de suma 0. Un juego de dos personas es un juego que tiene solo dos jugadores. Una estrategia pura es un plan previamente determinado que establece la secuencia de movimientos y contramovimientos que un jugador realizar durante un juego completo. En un juego matricial, cada jugador tiene un conjunto finito de estrategias puras, aun cuando el nmero de stas pueda ser enorme. El jugador I(II) conoce el conjunto del jugador II(I), pero no sabe por seguridad qu el elemento del conjunto ha seleccionado II(I) al inicio de un cierto encuentro del juego. As la matriz de consecuencias, tabla 16-1, proporciona caracterizacin completa del juego al que corresponde, en donde g ij es la cantidad ganada por el jugador I al jugador II, cuando I juega su i-sima estrategia pura, A I, y II juega su j-sima estrategia pura, Bj. (La matriz de consecuencias para el jugador II es la negativa de la matriz anterior).

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Ejemplo 16.1 Considrese un juego en el cual dos jugadores muestran simultneamente 1,2 o 3 dedos uno al otro. Si la suma de los dedos mostrados es par, el jugador II paga al jugador I esta suma en dlares. Si la suma es non, el jugador I paga al jugador II esta suma en dlares. Para este sencillo juego de dos personas suma cero, las estrategias puras pueden identificarse con los movimientos individuales. (Esto no podra hacerse para, por ejemplo, el juego de gato (ta,te,ti), en el cual la nica estrategia pura podra ser: Si l mueve primero hacia el centro, yo mover hacia la esquina del lado derecho; si despus el mueve hacia la esquina del lado derecho, yoJ. Adems, ambos jugadores tienen el mismo conjunto de estrategias puras, {1,2,3}. En la tabla 16-2 se da la matriz de consecuencias. El objetivo en la teora de jugados es determinar una estrategia mejor para un jugador dado, bajo la consideracin de que el oponente es racional y realizar movimientos inteligentes en contra. En consecuencia, si un jugador siempre selecciona la misma estrategia pura o selecciona estrategias puras en un orden fijo, su oponente reconocer a tiempo el patrn y tratar de vencerlo, si es posible. Por esto generalmente la estrategia ms efectiva es una estrategia mixta, definida por una distribucin probabilstica sobre el conjunto de estrategias puras. Para el juego de la tabla 16-1, una estrategia mixta para el jugador I estar especificada por un vector probabilstico. X[x1,x2,,xm]T Donde xi(i=,m) en la proporcin de veces (esto es, la frecuencia relativa o probabilidad) que Ai es seleccionada. Similarmente, una estrategia mixta para el jugador II estar designada por: Y[y1,y2,,yn]T Donde yj (j=1,, n) es la probabilidad de que Bj sea seleccionada. Como probabilidades, xj,y,yj, son no negativas, conm n

xj = yj=1i=1 j=1

Ejemplo 16.2 En el juego del ejemplo 16.1, si el jugador I siempre muestra 3 dedos, el jugador II puede vencer esta estrategia pura mostrando siempre 2 dedos. Si el jugador I adopta la secuencia fija de estrategias puras 3,3,2,3,3,2,3,3,2,, el jugador II puede vencerla con la secuencia 2,2,3,2,2,3,2,2,3, Si el jugador I adopta la estrategia mixta X= [1/6, 1/3, 1/2]T, entonces el jugador I planea mostrar un dedo 1/6 de las veces, 2 dedos 1/3 de las veces y 3 dedos la mitad de las veces. Para mejorar la estrategia, el jugador I podra arrojar un dado antes de cada encuentro. Si el dado mostrara 1 (que tiene una probabilidad de 1/6), l mostrara un dedo; si el dado mostrara 2 o 3 (que tiene

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una probabilidad de 2/6= 1/3), l mostrara dos dedos; si el dado mostrara 4, 5 o 6 (que tienen una probabilidad de 3/6= 1/2), l mostrara 3 dedos.

3.- JUEGOS ESTABLESSupngase que los jugadores del juego definido a continuacin estn limitados al uso de estrategias puras. mI= valor mximo de la ganancia mnima del jugador I = mximo (mnimo {gij})i = 1,, m j = 1,., n

mll = valor mnimo de la prdida mxima del jugador II = mnimo (mximo {gij})i = 1,., n j = 1,., m

Si el jugador I juega con la estrategia que rinde el mximo en la estrategia maximn, l est seguro de ganar, en el peor de los casos, una cantidad m I, mientras que juagando con otra estrategia, podra ganar menos de m I , de manera equivalente, bajo la estrategia maximin, el jugador I pierde, en el peor de los casos, mi. En forma anloga, si el jugador II juega la columna que rinde el mnimo en la estrategia minimax su prdida segura, la cual es la ganancia de I, ser en el peor de los casos mn, estas dos estrategias satisfacen el criterio minimax. Ahora por sus definiciones: mI < mn Para cualquier juego matricial. Si mI = mn, entonces el jugador I slo empeorara su situacin al apartarse de la estrategia maximin y el jugador II lo hara al apartarse de la estrategia minimax. Este juego es un juego estable, y las estrategias establecidas por el criterio mximo son estrategias ptimas para los dos jugadores. Adems, ambos jugadores pueden ponerse de acuerdo en lo referente al valor de un encuentro del juego (para el jugador I); esto es, G = mI = mn. El nmero G se denomina valor del juego; es la cantidad pagada por el jugador II al jugador I cuando ambos jugadores han empleado sus estrategias ptimas. En suma cada juego estable tiene un valor nico y una estrategia ptima (pura) para cualquiera de los jugadores (dndose cuenta que las estrategias ptimas no necesitan ser nicas).

4.- JUEGOS INESTABLESCuando se cumple la desigualdad, el juego es inestable y las estrategias puras dictadas por el criterio minimax ya no son optimas. El resultado fundamental e la teora de los juegos matriciales es que cuando se admiten estrategias mixtas, los juegos inestables tambin tienen una solucin esto es estrategias ptimas y un valor, siempre y cuando el pago aleatorio se sustituya por su valor esperado. Bajo estrategias mixtas (definidas por los vectores probabilsticos X para el jugador I y Y para el jugador II , el pago de II a I es una variable aleatoria con valor esperado. E(x, y) En forma similar escrbase: m j=1 n gijXi Yj

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M1= Valor mxima de la ganancia mnima esperada del jugador I = max X (min Y E ( x, y) MII= valor minimo de la perdida mxima esperada del jugador II = min Y (max X E (X,Y)) En las cuales X e Y respectivamente, corren a lo largo de todos los vectores probabilsticos de m dimensiones y todos los de n dimensiones .Entonces, se tienen el TEOREMA MINIMAX: Para cualquier juego matricial, existen estrategias optimas X* e Y * tales que E(X*,Y*)=MI=MII= G* En otras palabras, cualquier juego matricial tiene un valor. Obsrvese que los juegos estables tambin estn cubiertos por el teorema minimax, ya que una estrategia mnima mixta especial que tiene un solo componente directamente de cero.

5.- SOLUCIN CON EL EMPLEO DE LA PROGRAMACIN LINEALLas tcnicas de programacin lineal sirven para resolver un juego de sumacero de dos jugadores oponentes. Las estrategias ptimas garantizadas por el teorema de minimax, as como el valor del juego, pueden calcularse mediante la programacin lineal. La estrategia ptima para el jugador 2 se incorpora al la solucin del siguiente programa lineal: Maximcese: Con las condiciones: z= -yn+1 g11y1+g12y2++g1nyn-yn+1 0 g21y1+g22y2++g2nyn-yn+1 0 gm1y1+gm2y2++gmnyn-yn+1 0 Y1+ Y2+ + Yn =1 y1, y2, yn no negativas

Con:

Aqu G*= y*n+1 y Y*=[y*1, y*2;, y*n]T .incrementando inicialmente cada gij en la misma cantidad positiva ( esto deja sin cambio a la naturaleza del juego ) puede forzarse gij 0. Entonces, la ganancia esperada para el jugador 1 tambin es no negativa. Ya que esta cantidad est representada por yn+1 en el programa por lo que todas las variables pueden restringirse a valores no negativos bajo esas circunstancias. De manera equivalente, yn+1 puede reemplazarse por la diferencia de dos nuevas variables no negativas. La estrategia ptima para el jugador 1 es el vector probabilstico cuyos componentes son la solucin dual. Siempre que el jugador tiene dos estrategias puras, la estrategia ptima para este jugador puede determinarse grficamente. Si ambos jugadores tienen 2 estrategias puras, entonces las estrategias ptimas son:

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X*1= y*1=

g22-g21 g11+g22-g12-g21 g22-g12 g11+g22-g12-g21 G*=

x*2= g11-g12 g11+g22-g12-g21 y*2= g11-g21 g11+g22-g12-g21 g11-g22 - g12-g21 g11+g22-g12-g21

6.- JUEGOS SUMA-CERO PARA DOS OPONENTESDonde juegan dos oponentes los intereses de cada jugador son opuestos, esto quiere decir que la suma de las ganancias de uno es igual a la suma de la prdida del otro. Por ejemplo: Hay 2 competidores X y Y ambos son igual de capaces y conocedores de la matriz de consecuencias que se muestra de la siguiente forma:

Haciendo una suposicin de que el jugador X gane mientras el otro pierde entonces; El jugador X puede utilizar las estrategias 1 y 2 mientras que Y las estrategias 3 y 4 El jugador X utilizara la estrategia 1 que es la mxima sus ganancias como Y conoce la matriz de consecuencias e infiere que X jugar 1 entonces el querr minimizar sus prdidas y por lo tanto elegir la estrategia 3. El valor del juego es 5 porque x gana 5 y Y pierde 5 este juego ilustra la estrategia del juego suma- cero. Valor de ganancias es aquel promedio de ganancias o prdidas a lo largo de las mltiples jugadas. Los juegos anteriores se llaman finitos por para un jugador existen n estrategias y para el otro m pero tanto n como m son enteros finitos. Que aclarar que para cada combinacin existen consecuencias.

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7.- JUEGOS CON ESTRATEGIAS MIXTASCuando el juego no tenga punto silla la teora de juegos aconseja a cada jugador asignar una distribucin de probabilidades sobre un conjunto de estrategias y esto se expresa matemticamente de la siguiente manera: Xi= probabilidad de que el jugador 1 use la estrategia i (i=1, 2,... , m) Y1= probabilidad de que le jugador 2 use la estrategia j( j 0,1, 2..., n) Don m y n son el nmero respectivos de estrategias disponibles, por lo general se hace referencia a estos planes ( x1, x2, . , x m ) y ( y 1, y2, y n) con el nombre de estrategias mixtas, y las estrategias originales se llaman estrategias puras. El producto final de esta lnea de razonamientos de esta lnea de cada jugador es que cada jugador debe jugar de tal manera que minimice su prdida mxima siempre que el resultado de su eleccin no pueda ser aprovechado por su oponente para mejorar su posicin. Esto se conoce como criterio minimax y es un criterio estndar que propone la teora de juegos para elegir una estrategia. En trminos de la matriz de pagos implica que jugador 1 debe elegir aquella estrategia cuyo pago mnimo sea el mayor mientras el jugador 2 debe elegir aquella cuyo pago mximo el jugador 1 sea el menor. Este interesante hecho se debe que tal elemento por un lado, es el mnimo del regln por el otro el mximo. Esta posicin de un elemento se llama punto silla. Entonces esta es una solucin estable (llamada solucin de equilibrio) y cada jugador debe exclusivamente emplear sus respectivas estrategias maximin y minimax.

8.- PUNTOS DE SILLASe define como punto de silla a un elemento alfa i j de la matriz de consecuencias tal que a) alfa i j sea el mnimo de la fila i y b) el mximo de la columna j, Si un juego tiene un punto de silla, por ejemplo la entrada (h, k), entonces el jugador A debe seleccionar la estrategia h y el B, la k. El valor del juego ser alfa h k. Si existen dos o ms puntos de silla, estos deben ser idnticos.

Cmo cada jugador har su seleccin independiente del otro y la matriz es conocida por ambos, estos definirn las estrategias que garanticen mayor seguridad, es decir, maximicen su utilidad.

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Si A selecciona la estrategia: A1 el mnimo que puede obtener es 30 A2 el mnimo que puede obtener es 35 A3 el mnimo que puede obtener es 28 A, que quiere maximizar las mnimas ganancias; en contrapartida, si B selecciona la estrategia B1, el mximo que puede perder es 40 B 2, el mximo que puede perder es 35 B 3, el mximo que puede perder es 37 B 4, el mximo que puede perder es 38 Por lo que B, que quiere minimizar la mxima prdida seleccionar la estrategia B2.

9.- JUEGOS SUMA DIFERENTE DE CERO O METAJUEGOSEn los juegos cuya suma es diferente de cero, la ganancia de un jugador no necesariamente implica prdida para el otro; por el contrario, puede implicar ganancia. Anlogamente se tendra el caso para las perdidas. Estos juegos han sido estudiados matemticamente, bajo el nombre de metajuegos y su solucin generalmente presenta un dilema. Un ejemplo de esto es el dilema del prisionero: El dilema del prisionero es exactamente igual a la situacin que se presenta en el caso de agricultores organizados, comerciantes, e industriales que han pactado mantener un precio elevado de sus productos. Si todos aceptan en principio el pacto, es altamente productivo para cualquiera no respetarlo en la prctica y bajar sus precios.

En esta seccin no se pretende mostrar las tcnicas de solucin de estos problemas. Por un lado, son modelos de poca aplicabilidad prctica (tericamente pueden tener cierta utilidad).

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BIBLIOGRAFA HILLER F. y G. LIEBERMAN. Introduccin a la Investigacin de Operaciones (9a.Ed.), Mxico. Mc Graw Hill. 2002, 4. Edicin, 727-748 pp. 2010. PRAWDA J. Mtodos y Modelos de Investigacin de Operaciones. Vol. II y II .Mxico. Limusa. 1981,1036 pp. 1991, 725-749 pp. SHAMBLIN, J. y G. STEVENS. Investigacin de Operaciones. Mxico. Mc Graw Hill. 1975, 423 pp. TAHA H. Investigacin de operaciones. (4a.ed.), Mxico. Alfa- Omega. 1991, 989 pp. BAZARAA M. y JARVIS. Programacin Lineal y Flujo de Redes. Mxico: Limusa 1980, 189 pp. BRONSON R. Investigacin de operaciones. Mxico. Mc Graw Hill, 1984, 352 pp. 1993, 1a. Edicin, 183-194 pp. BUENO DE A.G. Introduccin a la Programacin lineal y al Anlisis de sensibilidad. Mxico Trillas, 1990, 189 pp. GALLAGHER C. y H. WATSON. Mtodos cuantitativos para la toma de decisiones. Mxico. Mc Graw Hill. 1982. 720 pp. ANDERSON DAVID, SWEENY DENNIS. Introduccin a los modelos cuantitativos para administracin. Mxico. Grupo editorial Iberoamerica,1993,910 pp. OLVARRIETA DE LA TORRE, JORGE. Nociones de control de Produccin, Costos e Inventarios. Editorial Mc Graw Hill, 1999. RENDER, BARRY. Mtodos Cuantitativos para los Negocios. Editorial Mc Graw Hill, 2006. PARRA GUERRERO, FRANCISCO. Gestin de Stocks. Editorial Mc Graw Hill, 2005.

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