anualidadesii-120201202403-phpapp01

Enrique Centeno Arizala / QUINTO “B” ADMINISTRACIÓN

ANUALIDADES CIERTAS ORDINARIAS (Pago periódico, Plazo, Tasa de interés)

Fórmulas: S=R .

(1+i)n−1i

A=R .1−(1+i)−n

i

TEMA: ANUALIDADES CIERTAS ORDINARIAS (Pago periódico, Plazo, Tasa de interés)

8).- Cuanto debe invertir M al final de cada 3 meses, durante los próximos 4 años, en un fondo que paga el 4% convertible trimestralmente con el objeto de acumular $2500?.

S = 2500i = 0.04 ÷ 4 = 0.01n = 4 años × 4 = 16R = ?

S=R .(1+i)n−1

i

R=S . i

(1+i)n−1=2500× 0.01

(1+0.01)16−1=2500× 0.01

1.172578645=144.86

9).- Una ciudad emite $100000 en bonos a 20 años y constituye un fondo para rendimirlos a su vencimiento. ¿Cuánto debe tomarse anualmente de los impuestos para que este propósito si el fondo produce el 2,5?

R = ?i = 2.5% 0.025 n = 20 añosS = 100000

R=S× i(1+i)n−1

=100000×(0.025)

(1+0.025)20−1= 25000.638616

=3914.71

10).- María compra un piano que cuesta $1250. Paga $350 iniciales y acuerda hacer pagos mensuales de “X” dólares cada uno por los próximos 2 años venciendo el primero en un mes. Hallar “X” con intereses al 8% convertible mensualmente.

Datos:R = ?i = 0.08 ÷ 12 = 0.0066n = 2 años × 12 = 24A = 1250 – 350 = 900

Entonces de la fórmula de “A” despejamos R y tenemos:

R=A× i1−(1+i)−n

=900×(0.0067)

1−(1+0.0067)−24= 60.14740363

=40.71

11).- Reemplazar una serie de pagos de $2000 al final de cada año por el equivalente en pagos mensuales al final de cada mes suponiendo un interés del 6% convertible mensualmente.

1



Datos:R = ?i = 0.06 ÷ 12 = 0.005n = 1 año × 12 = 12S = 2000

R=S× i

(1+i)n−1=2000× 0.005

(1+0.005)12−1= 100.061677811

=162.13

12).- Con el objeto de tener disponibles $8000 el 1º. De junio de 1970, se tendrán que hacer desde el 1º. de junio 1963 depósitos iguales cada 6 meses en un fondo que paga el 5% convertible semestralmente. Determinar el importe del depósito requerido. Resp: $484.30

S = 8000N = 7 años × 2 = 14i = 0.05 ÷ 2 = 0.025

R=S× i

(1+i)n−1=8000× 0.025

(1+0.025)14−1= 2000.41297

=484.30

13).- Sustituir una serie de pagos de $3000 al principio de cada año por el equivalente en pagos al final de cada 3 meses suponiendo intereses de 4% convertible trimestralmente.

R = ?i = 0.04 ÷ 4 = 0.01n = 1 año × 4 = 4A = 3000

R=A× i(1+i)n−1

=3000×(0.01)

1−(1+0.01)−4=3000× 0.01

0.039019655=768.84

14).- Para liquidar una deuda de $10000 con intereses al 4% convertible semestralmente, José acuerda hacer una serie de pagos de “X” cada uno, el primero con vencimiento al término de 6 meses y el último con vencimiento en 5 años y un año después un pago de $2500.

R = ?i = 0.04 ÷ 2 = 0.02n = 5 años × 2 = 10n´ = 6 años × 2 = 12A = 10000

A=R×1−(1+i)−n

i+2500(1+i)−n´

R=[ A−2500(1+i)−n ]×i

1−(1+ i)−n=

[10000−2500(1+0.02)−12 ]×0.021−(1+0.02)−10

R=[10000−2500(0.7884931)]×0.02

1−0.8203482=

[10000−1971.23 ]×0.020.1796517

2



R=[8028.77 ]×0.020.1796517

= 160.580.1796517

=893.82

15).- Al 1º. de mayo de 1970, M tiene $2475.60 en un fondo que paga el 3% convertible trimestralmente. Haciendo depósitos trimestrales iguales en el fondo, el 1º. De agosto de 1970 y el último el 1º. de noviembre de 1976, tendrá en esta última fecha $10000 en el fondo. Hallar el depósito requerido.

n = 6.5 años × 4 = 26i = 0.03 ÷ 4 = 0.0075S = 10000C = 2475.60

S=R(1+i)n−1

i+C(1+i)n

S−C(1+i)n=R(1+i)n−1

i

R=[S−C (1+i )n ] [ i

(1+i )n−1 ]R=[10000−2475.60 (1+0.0075)26 ][ 0.0075

(1+0.0075 )26−1 ]R=[10000−3006.44 ] [ 0.0075

0.21442703 ]=(6993.56 ) (0.034976 )=244.61

16).- M desea acumular $7500 en un fondo que paga el 5% convertible semestralmente, haciendo depósitos semestrales de $250 cada uno. (a). ¿Cuántos depósitos completos tendrá que hacer?. (b). Qué depósito adicional hecho en la fecha del último depósito completará los $7500. (c). ¿Qué depósito hecho 6 meses después del último depósito completo completará los $7500?Resp: (a) 22, (b) $284.28 (c) $103.89

S = 7500i = 0.05 ÷ 2 = 0.025R = 250

S=R(1+i)n−1

i→S . iR

=(1+i)n−1→S .iR

+1=(1+i)n

log [ S .iR +1]=log(1+i)n

log [ S .iR +1]=nLog(1+i)

n=log [ S . iR +1]log(1+i)

3



n=log [ 7500×0.025250

+1]log(1+0.025)

=log [0.75+1 ]log (1.025)

=log(1.75)log(1.025)

=0.2430380.010723

=22.66≃22

S = ?i = 0.05 ÷ 2 = 0.025R = 250n = 22

S=R(1+i)n−1

i=250×

(1+0.025)22−10.025

=250 (28.8628 )=7215.71

Pa=7500−7215.71=284.29

S=R [ (1+i)n+1−1i−1]=250 [(1+0.025)23−10.025

−1]=250 (29.5844 )=7396.11

Pa=7500−7396.11=103.89

17).- Como beneficiaria de una póliza de $10000 de seguro, una viuda recibirá $1000 inmediatamente y posteriormente $500 cada 3 meses. Si la compañía paga intereses al 2% convertible trimestralmente, (a) ¿Cuántos pagos completos de $500 recibirá?, (b) ¿Con qué suma adicional pagada con el último pago completo cesará el beneficio?, (c) ¿Con qué suma pagada 3 meses después del último pago completo cesará el beneficio?Resp: (a) 18 (b) $452.47, (c) $454.73

A = 10000 – 1000 = 9000R = 500i = 0.005

A=R1−(1+i)−n

i→A . iR

=1−(1+i)−n→ A .iR

−1=−(1+i)−n

1− A . iR

=(1+i)−n→ log [1− A . iR ]=−nLog (1+ i )→n=−log [1− A . iR ]log(1+i)

n=−log [1− A .iR ]log(1+i)

=−log [1− (9000 )(0.005)

500 ]log(1+0.005)

=−log(0.91)log (1.005)

=18.90≃18

S=C(1+i)n=9000(1+0.005)18=9000 (1.093928 )=9845.36

S=R(1+i)n−1

i=500×

(1+0.005)18−10.005

=500 (18.785787 )=9392.89

4



Pa=9845.36−9392.89=452.47

S=C(1+i)n=452.47 (1+0.005)1=452.47(1.005)=454.73

18).- B adquiere un auto de $3250 con una cuota inicial de $500. Un mes después empezará una serie de pagos mensuales de $100 cada uno. Si le cargan intereses de 12% convertible mensualmente, (a) ¿Cuántos pagos completos deberá hacer?, (b)¿Qué cantidad pagada un mes después del último pago completo saldará la deuda? Resp: (a) 32, (b) $32.00

A = 3250 – 500 = 2750R = 100i = 0.12 ÷ 12 = 0.01


=−log [1− (2750 )(0.01)

100 ]log(1+0.01)

=−log(0.725)log (1.01)

=32.31≃32

S=C(1+i)n=2750(1+0.01)32=2750 (1.3749406 )=3781.09

S=R(1+i)n−1

i=100×

(1+0.01)32−10.01

=100 (37.494067 )=3749.41

Pa=3781.09−3749.41=31.68

S=C(1+i)n=31.68(1+0.01)1=31.68 (1.01)=32

19).- Al cumplir 45 años, M depositó $1000 en un fondo que paga el 3,5% y continuó haciendo depósitos similares cada año el último al cumplir 64 años. A partir de los 65 M desea hacer retiros anuales de $2000. (a) ¿Cuántos de dichos retiros podrá hacer?, (b) ¿Con qué retiro final, hecho un año después del último retiro completo se agotará el fondo? Resp: (a) 19, (b) $1711.24

R = 1000i = 0.035n = 19 años

S=R [ (1+i)n+1−1i−1]=1000 [(1+0.035)20−10.035

−1]=1000 (27.27968 )=27279.68

R = 2000i = 0.035A = 27279.68


=−log [1− (27279.68 )(0.035)

2000 ]log(1+0.035)

=−log(0.52260)log(1.035)

=18.86≃19

5



S=C(1+i)n=27279.68(1+0.035)18=27279.68 (1.857489 )=50671.71

S=R(1+i)n−1

i=2000×

(1+0.035)18−10.035

=2000 (24.4996 )=48999.38

C=50671.71−48999.38=1672.33

Rf=1672.33(1+i)n=1672.33(1+0.035)1=1672.33 (1.035 )=1730.86

20).- Una persona obtiene un préstamo de $4000 y acuerda pagarlo con intereses al 4% convertible trimestralmente en pagos trimestrales de $300 cada uno, durante un tiempo necesario. Si el primer pago lo hace 3 meses después de recibido el dinero, (a) determinar el número necesario de pagos completos, (b) hallar el pago final que se hará 3 meses después del último pago completo.

A = 4000i = 0.04 ÷ 4 = 0.01R = 300


=−log [1− (4000 )(0.01)

300 ]log(1+0.01)

=−log(0.866667)log (1.01)

=14.38≃14

S=C(1+i)n=4000 (1+0.01)14=4000 (1.149474 )=4597.90

S=R(1+i)n−1

i=300×

(1+0.01)14−10.01

=300 (14.977421 )=4484.23

C=4597.90−4484.23=113.67

Pf=C (1+1)n=113.67 (1+0.01)1=113.67 (1.01 )=114.81

21).- Una institución de préstamos otorga préstamos de $200 pagaderos con 12 pagos mensuales de $20,15 cada uno. Hallar la tasa convertible mensualmente que carga.

A=R1−(1+i)−n

i→AR

=1−(1+ i)−n

i

1−(1+i)−n

i= AR

= 20020.15

=9.9255

Damos para i el valor de 3.5% o sea 0.035 y reemplazamos:

1−(1+i)−n

i=1−(1+0.035)−12

0.035=0.338216701

0.035=9.6633

Damos para i el valor de 3% o sea 0.03 y reemplazamos:

6



1−(1+i)−n

i=1−(1+0.03)−12

0.03=0.298620119

0.03=9.9540

Es decir que “i” está entre 3% y 3,5%

Para un resultado más preciso debemos interpolar:

0.03 i 0.035 i – 0.03 = x ; 0.035 – 0.03 = 0.005

9.9540 9.9255 9.6633 9.9255 – 9.9540 = -0.0285 ; 9.6633 – 9.9440 = -0.2907

x0.005

=−0.0285−0.2907

x=0.02850.2907

(0.005 )=0.0005

i=x+0.03=0.0005+0.03=0.0305→3.05%

Tasa nominal convertible mensualmente es 3.05% × 12 = 36.60%

22).- M coloca $300 al final de cada 3 meses durante 6 años en un fondo mutuo de inversión. Al final de 6 años el adquiere acciones avaluadas en $9874.60. ¿Qué tasa nominal convertible trimestralmente ganó su inversión?.

S = 9874.60n = 6 años × 4 = 24R = 300

S=R .(1+i)n−1

i→SR

=(1+ i)n−1

i

(1+i)n−1i

= SR

=9874.60300

=32.9153


(1+i)n−1i

=(1+0.025)24−1

0.025=0.808725949

0.025=32.3490


(1+i)n−1i

=(1+0.03)24−1

0.03=1.032794106

0.03=34.4265

Es decir que “i” está entre 2.5% y 3%


7



0.025 i 0.03 i – 0.025 = x ; 0.035 – 0.03 = 0.005

34.4265 32.9153 32.3490 32.9153 – 34.4264 = -1.5112 ; 32.3490 – 34.4264 = -2.0775

x0.005

=−1.5112−2.0775

x= 1.51112.0774

(0.005 )=0.0036

i=x+0.025=0.0036+0.025=0.0286→2.86%

Tasa nominal convertible trimestralmente es 2.86% × 4 = 11.45%

23).- Una aspiradora puede ser adquirida con $125 de contado o mediante una cuota inicial de $20, seguido de 10 pagos mensuales de $11 cada uno. Hallar la tasa nominal convertible mensualmente y la tasa efectiva cargada. Resp: (a) 10.32%, (b) 10.82%.

A = 125 – 20 = 105R = 11n = 10

A=R1−(1+i)−n

i→AR

=1−(1+ i)−n

i

1−(1+i)−n

i= AR

=10511

=9.5455


1−(1+i)−n

i=1−(1+0.01)−10

0.01=0.094713045

0.01=9.4713


1−(1+i)−n

i=1−(1+0.005)−10

0.005=0.048652059

0.005=9.7304



0.005 i 0.01 i – 0.005 = x ; 0.01 – 0.005 = 0.005

8



9.7304 9.5454 9.4713 9.5454 – 9.7304 = -0.185 ; 9.4713 – 9.7304 = -0.2591

x0.005

=−0.1850−0.2591

x=0.18500.2591

(0.005 )=0.00357

i=x+0.005=0.00357+0.005=0.0086→0.86%

Tasa nominal convertible mensualmente es 0.86% × 12 = 10.32%Para la tasa efectiva tenemos:

1+i=(1+ i)n=(1+0.0086)12=1.1078

i=1.1082−1=0.1082→10.82%

24).- Para comprar un televisor con costo de $650, puede obtenerse un préstamo del banco ABC y liquidarlo con 12 pagos mensuales de $60 cada uno. También puede conseguirse el dinero del banco XYZ y pagarlo con una suma de de $750 al termino de un año. Comparar las tasas efectivas de interés cargadas y demostrar que el plan del banco XYZ es más conveniente.

A = 650n = 12R = 60

A=R1−(1+i)−n

i→AR

=1−(1+ i)−n

i

1−(1+i)−n

i= AR

=65060

=10.8333


1−(1+i)−n

i=1−(1+0.02)−12

0.02=0.211506824

0.02=10.5753


1−(1+i)−n

i=1−(1+0.015)−12

0.015=0.163612578

0.015=10.9075



9



0.015 i 0.02 i – 0.015 = x ; 0.02 – 0.015 = 0.005

10.9075 10.8333 10.5753 10.8333 – 10.9075 = -0.0742 ; 10.5753 – 10.9075 = -0.3322

x0.005

=−0.0742−0.3322

x=0.07420.3322

(0.005 )=0.00111

i=x+0.015=0.00111+0.015=0.0161→1.61%

Para la tasa efectiva tenemos:

1+i=(1+ i)n=(1+0.0161)12=1.2112

i=1.2112−1=0.2112→21.12% (Tasacargadabanco ABC )

En el banco XYZ terminaré pagando en un año $750 pero para el banco ABC terminaré pagando:

S=R .(1+i)n−1

i=60×

(1+0.0161)12−10.0161

=60× 0.2112601130.0161

=787.30

Es más conveniente hacer el préstamo en el banco XYZ.

25).- A qué tasa convertible trimestralmente, el monto de 20 depósitos trimestrales de $200 cada uno, será de $5250 justamente después del último depósito?

n = 20R = 200S = 5250

S=R .(1+i)n−1

i→SR

=(1+ i)n−1

i

(1+i)n−1i

= SR

=5250200

=26.25


(1+i)n−1i

=(1+0.025)20−1

0.025=0.63861644

0.025=25.5446


(1+i)n−1i

=(1+0.03)20−1

0.03=0.806111234

0.03=26.8703

10





0.025 i 0.03 i – 0.025 = x ; 0.035 – 0.03 = 0.005

26.8703 26.25 25.5446 26.25 – 26.8704 = -0.6203 ; 25.5447– 26.8704 = -1.3257

x0.005

=−0.6203−1.3257

x=0.62031.3257

(0.005 )=0.00234

i=x+0.025=0.00234+0.025=0.02734→2.73%

Tasa nominal convertible trimestralmente es 2.734% × 4 = 10.94%

26).- M compró una granja con valor de $25000. Pagó $12000 iniciales y acordó pagar el saldo con intereses al 3% mediante pagos anuales de $2000, tanto tiempo como fuera necesario y un pago final menor un año más tarde. Justamente después del tercer pago anual, los documentos firmados por M se vendieron a un inversionista que esperaba ganar el 3,5%. ¿Cuál fue el precio de venta?.

A = 25000 – 12000 = 13000i = 0.03R = 2000


=−log [1− (13000 )(0.03)

2000 ]log(1+0.03)

=−log(0.805)log(1.03)

=7.33≃7

S=C(1+i)n=13000(1+0.03)7=13000 (1.2298738 )=15988.36

S=R .(1+i)n−1

i=2000×

(1+0.03)7−10.03

=2000 (7.662462 )=15324.92

Pf=(15988.36−15324.92 ) (1+i )n=663.44(1.03)1=683.34

A=R1−(1+i)−n

i=2000×

1−(1+0.035)−4

0.035=7346.16

C=S(1+i)−n=683.34 (1+0.035)−5=575.35

11



Pv=7346.16+575.35=7921.51

12

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