APLICACION DERIVADA1
38
CICLO 2010-II 1er MODULO UNIDAD 4 SEMANA 6 MATEMATICA II ANIVAL TORRE
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derivada
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CICLO 2010-II 1er MODULOUNIDAD 4 SEMANA 6
MATEMATICA IIANIVAL TORRE
Tema 6 APLICACIONES DE LA DERIVADA
ANIVAL TORRE
ORIENTACIONES• Cuando Usted estudie; contraste y
relacione la información recién adquirida con su conocimiento y experiencia anterior. Para ello es útil que revise los resúmenes, esquemas, cuadros comparativos o mapas conceptuales elaborados previamente en su texto.
• Recuerde Matemática se aprende practicando, utilice un block para repetir los ejercicios.
3ANIVAL TORRE
CONTENIDOS TEMÁTICOS• Ecuación de la recta tangente• ¿Cómo encuentro la pendiente?• Derivada de orden superior• Formato de derivadas• Aplicación de la derivada• Aplicación de la 1º derivada• Aplicación de la 2º derivada • Uso de la derivada
4ANIVAL TORRE
Recta tangente y derivada
a x h
La tangente es la recta que toca o corta en un solo punto a la gráfica de la función.
• Recta secante: cualquier recta que pasa por dos
puntos de una recta.
Por un punto de la curva
pasan infinitas secantes.
Recta normal: es la perpendicular a la recta tangente
Pendiente de la recta tg: derivada de
la función
Para definir la pendiente de la recta tangente
(pendiente de la gráfica) en el punto se emplea el
concepto de límite.
x
y
5ANIVAL TORRE
ax
bym
Pendiente: inclinación de una recta tg
El límite de la pendiente de una recta secante se define como la pendiente de una recta tangente
La pendiente se halla al derivar la
función.
bmxyLT
yxfm
6ANIVAL TORRE
Nos sirve para hallar la
constante : b
a b x
y
7ANIVAL TORRE
Ecuación de la recta tangente
HllanoLmiii
eDecrecientOLmii
CrecienteALmi
mxf
T
T
T
0
0
0
Aquí cambia la pendiente de la derivada.
8ANIVAL TORRE
Tipos de limites
0min adordenoax
xfx
by
lim
cmxy
x
xf
xm
lim
Limite vertical
Limite horizontal
Limite oblicuo
mxxfx
b
lim
9ANIVAL TORRE
h
xfhxf
hxf
dx
xdfxf
h
xfhxf
hxf
h
afhaf
haf
h
afhaf
h
ahx
hax
ax
afxf
ax
ax
afxf
axM T
0
lim
0
lim
0
lim
0
lim
0)(
lim
lim
2222
22
3
3
33
3
23
3
2
0
lim
3
0
lim
0
lim
3
:
xxxx
h
xxhxx
h
h
xx
h
hxhxf
ppfxxf
h
xfhxf
hxf
xxf
xx
ejm
10ANIVAL TORRE
Formato de derivadas
x
xx
x
ee
aaa
xx
xctgxx
xtgxx
xxctg
xxtg
xsencox
xxsen
xnx
xx
xx
nn
)13
1)12
0#)11
)10
ln.)9
2
1)8
.csccsc)7
.secsec)6
csc)5
sec)4
)3
cos)2
)1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
)23
.)22
)21
1ln)20
1
1csc)19
1
1sec)18
1
1)17
1
1)16
1
1arccos)15
1
1)14
g
gfgf
g
f
gfgfgf
gfgf
xx
xxxarc
xxarc
xxarcctg
xxarctg
xx
xxarcsen
11ANIVAL TORRE
( )[ ]xnarcsen 32ln
721
hospitalcong
f
g
flim
Derivadas
xsen ln
10110
1010
xx
x
Tiene que ser lineal.
5
3 4 6
1
2 3 4
12ANIVAL TORRE
xn
x
nb
n
x
bb
ln1
ln
1log
0ln
01ln
4
55
52
5
52
11
ln1
1
ln3
ln
xxxx
xarcsen
xarcsen
13ANIVAL TORRE
xxarcsenx
x
x
xarcsen
xxarcsen
xarcsenxxarcsenx
xxarcsen
x
xxarcsen
x
112
1
ln
ln
2
2
2
Ejercicio:
14ANIVAL TORRE
Como encuentro la pendiente?
112
31 2
xxy
xy
yxfm
bmxyLT
La encontramos derivando la función.
15ANIVAL TORRE
Ejemplo: en el pto de abscisa se esta evaluando la pendiente, porque por ahí pasa pendiente.
yxmxy
xyLb
b
bxyL
m
xy
v
xy
T
T
,6
666
126
6
6
12
3,1
31 2
16ANIVAL TORRE
xe
yey
yexey
yxyyee
yxyye
yxyyxe
yxe
xyxe
xyxe
yHallar
yx
yx
yxyx
yxyx
yx
yx
yx
yx
yx
1
1
1.
11.
1.
1
:
yxy
yy
yyxyy
yyyxyy
yyxyxy
xyxy
xyxy
xyxy
yHallar
23
1
123
123
1.2
0
3
3
:
2
3
32
32
33
23
23
23
17ANIVAL TORRE
Ejercicio:
xx
xn ln1
ln
ln.)
.1
1)
2
aaii
arctgi
Pasos:1)Variable2)Logaritmo a ambos lados3)Desarrollo4)Derivarlas (ln y)5)y’ /y
18ANIVAL TORRE
zz
f
xx
e
xsen
dx
cx
b
xx
a
x
f
f
e
e
d
d
c
c
b
b
a
a
z
z
fedcbaz
fe
dcbaz
sol
xx
xarctgxxtgxsenz
23222
59
33
592
313
2
111
25
2
19
21seccos
2
159
ln2
1ln7lnln5ln9lnlnln
7
...
:
21.1cos7
231 19ANIVAL TORRE
Derivada de orden superior
62cos8
62432cos2
22)4
241012
104'''55)3
124)2
4)1
222
33333
2
324
234
34
x
xxsenxx
xxsenxxsen
x
xxxx
xxx
xx
xxsen
sen
2cos2
.cos
xx eex !101010
!nx
nn
Propiedad: n e N
FACTORIAL
20ANIVAL TORRE
1!11
nn
n
hxnhx
1
11
11
2019
2019
16151
19!126
9
261
19
2619
19
7)
123!1
1!123!1
1
2
3
1
1
2
2
1)
3!193
1)
!191
)
!15)
nn
nn
nnn
nnnn
nnn
xn
xx
x
x
xe
xxn
xnxn
xxxxd
xx
c
xx
b
xxa
Propiedad:
Ejemplos:
21ANIVAL TORRE
La derivada existe, porque por este pto
pasa una recta tg
En este intervalo la
función es +
0 xf
xf xf
(+) (-)
xf
xf
0 xf
En este intervalo la func. es -
22ANIVAL TORRE
En los extremos y esquinas y esquinas
pasan infinitas tg.
a b
c
d e f
g
h i
En los extremos y picos no existe la
derivada
Extremos relativo son los ptos. donde la función
alcanza un máximo o un mínimo
23ANIVAL TORRE
PC. ={a, b, c, d, e, f, g, h, i}
Extremo= {a, i}
Esquina={d}
Max={b, f, h}
Min={c, e, g}
{h} Max. Absoluto
{b, f} Max. Relativo
{c} Min. Absoluto
{e ,g} Min. Relativo Ext. Relativo
Intervalos de crecimiento: Intervalos de decrecimiento:
<a, b>
<e, f>
<c,d>
<g,h>
<b, c>
<d, e>
<f, g>
<h, i>
24ANIVAL TORRE
Ejm:
1,3..
013
1
3
0963
00
963
293
2
2
3
CP
xxxf
x
x
xx
f
xxxf
xxxxf
-1 3
++-
intervalo Signo (f ’) crecimiento
,3
3,1
1, +
-
+
C
D
C
Max. (-1, 7)
Min. (3, -25)
25ANIVAL TORRE
Pasos a tener en cuenta en la tabla• A la función fraccionaria aplicar el caso general.• Trabajar por intervalo dando cualquier valor.• En la gráfica se empieza colocando los signos por
la derecha, pero si la función es negativa se empezara con el signo negativo.
• Se repite el signo cuando el exponente tiene multiplicidad par.
26ANIVAL TORRE
Uso de la derivada• Se utiliza para maximizar y minimizar
funciones.• otro de los fines consiste en trazar la
grafica en las funciones.
27ANIVAL TORRE
Aplicación de la derivada
Optimizar func.
Grafica func. 1) Aplicación de la primera derivada.
2) Asíntotas.
3) Aplicación de la segunda derivada.
4) Intersecciones con los ejes.
1) Aplic. 1 Derv.
Ptos. Críticos
xf
xf 0
a) Intervalo de crecimiento(+ crece; - decrec.)
b) Signo () el que toma la derivada
c) Crecimiento
d) Extremos relativos. (ptos. Donde la func. alcanza max y min)
28ANIVAL TORRE
3) Aplic. 2 deriv.
2) Asíntota
Asíntota horizontal
Asíntota vertical
Asíntotas oblicua
bmxy
adordenoax
xfx
by
0min
lim
mxxfx
b
lim
x
xf
xc
lim
Posibles puntos de inflexión
xf
xf 0 Ptos de concavidad
Signo (f ´´ )
Concavidad (concavo - convexo)
Ptos. De inflexion.
4) ptos. De intersección X = 0 , y = 0
29ANIVAL TORRE
Ejercicios: aplicación de la 1 derivada
1,2,1..
1
21
1
441
1
43
1
42131
1
21213:
1
2
3
2
3
2
4
23
4
32
4
322
2
3
CP
x
xxxf
x
xxxxf
x
xxxf
x
xxxxxf
x
xxxxxfSol
x
xxf
,2
2,1
1,1
1,
+
-
+
+
C
D
C
C
Intv. Cerc. signo Crecmt.
> Max. (-1,-3/4)
>> M
in. ( 1, )
Extm. relativo
30ANIVAL TORRE
Asíntotas
2
6lim:
12
3lim
1
2lim
lim
..)
2
2
3
x
xhóspital
x
x
xy
x
x
x
xby
HorizontalAa
2:..
21
22
1
12lim
1
2lim
lim
1
1
2lim
:.)
1
:.)
2
33
2
23
2
3
2
3
xyOA
xx
xxx
x
xxx
x
xx
x
x
mxxfx
c
m
xx
x
xm
cmxy
OblicuaAc
ax
VerticalAb
31ANIVAL TORRE
1,2...01
62
1
213132
1
213112221
1
132112122
4
4
6
2
6
2232
IPPx
xxf
x
xxxxxxf
x
xxxxxxxxf
x
xxxxxxxxf
Aplicación de la 2 derivada
32ANIVAL TORRE
21
+- -
Interv. Conc. Signo ( f ´´) concavidad Ptos. Infelx.
-
-
+
-
-
+(2,6)
33ANIVAL TORRE
-1-2
-2
-3/4
2
3
6
1 3 2
4
2C
O
N
C
A
V
o
Grafico: unir inf.
34ANIVAL TORRE
Secciones Próximas
3 5 6 7 9 10 12
4
6
7
10
12
15
-6
Tiene 11 seccione
s
Esas secciones son
: extremos, intersecciones con el eje “x” y al grafica.
Trigo
Espárrago35ANIVAL TORRE
En la grafica anterior se muestra el nivel de ingreso por la exportación de espárrago y trigo (tonelada, millones de dólares).
Exprese matemáticamente ambos modelos:
1210,302
3
109,355
96,10
65,7616
53,2
53
2
13
30,4
xx
xx
x
xx
xx
xx
xt
Ej.
(9, 10) (10,15)
M=5/1=5
Y= 5x+b
10= 5(9)+b
10 = 45+b
-35 = b
Y= 5x-35
36ANIVAL TORRE
CONCLUSIONES Y/O ACTIVIDADES DE INVESTIGACIÓN SUGERIDAS
• Se recomienda:
Revisar el capitulo II de la Guía de la asignatura.
Resolver la autoevaluaciones.
Resolver los ejercicios propuestos
37ANIVAL TORRE
Gracias
38ANIVAL TORRE
