Revista Colombiana de Fısica,Vol. 40, No.1, Abril 2008

Aplicacion del Propagador de la Funcion de Wigner al Osciladorde Morse

T. Dittrich y Edgar A. Gomez,CeiBa y Departamento de Fısica, Universidad Nacional de Colombia, Bogota D.C., Colombia.

Recibido 22 de Oct.2007; Aceptado 3 de Mar. 2008; Publicado en lınea 15 de Abr. 2008

Resumen

Progresos recientes en aproximaciones semiclasicas para el propagador de Wigner [1] indican que basarseen representaciones en el espacio de fase es una estrategia promisoria para superar los problemas tradi-cionales en el contexto de la propagacion semiclasica. En este trabajo calculamos el propagador de Wignersemiclasico al oscilador de Morse, el cual es un sistema que sirve en particular para medir el rendimientode metodos semiclasicos de propagacion en la presencia de potenciales fuertemente no lineales. Especıfi-camente comparamos el comportamiento cuantico con la aproximacion semiclaica tipo Van Vleck, la cualesta basada en pares de trayectorias. Como medida de la fidelidad, estudiamos como la aproximacion tipovan Vleck puede reproducir la deformacion no lineal de un paquete de onda inicialmente gaussiano.

Palabras Clave: Dinamica cuantica, Funcion de Wigner, Propagacion semiclasica.

Abstract

Recent progress obtained in semiclassical approximations to the propagator of the Wigner function [Phys.Rev. Lett. 96, 070403 (2006)] indicate that the phase space representations of quantum dynamics is apromising strategy to surmount the long-standing problems of semiclassical propagation. In this workwe apply the semiclassical Wigner propagator to the Morse oscillator, a benchmark system for quantum-mechanical propagation in strongly nonlinear potentials. In particular we compare on the van Vleckpropagator to the exact quantum solution, applied to a coherent state as initial condition.

Keywords: Quantum dynamics, Wigner function, Semiclassical propagation.

c©2008 Revista Colombiana de Fısica. Todos los derechos reservados.

1. Introduccion

El poder de las aproximaciones semiclasicas a lapropagacion temporal cuantica se hace cada vez masevidente, tanto en aspectos fundamentales como en apli-caciones. Sin embargo, el acercamiento tradicional enterminos de las representaciones de posicion o de mo-mentum sufre de problemas notorios relacionados alfenomeno de las causticas. Otras aproximaciones semi-clasicas en terminos de valor inicial (IVR) han sido masexitosas ya que desde su formulacion misma presen-tan una ventaja considerable y a su vez evita el proble-

ma conocido como busqueda de raıces del cual sufrenmuchas de estas propuestas de propagacion. En los ulti-mos anos se desarrollaron aproximaciones semiclasicasde valor inicial para la propagacion cuantica en el es-pacio de fase [1] con el objetivo de superar dichas lim-itaciones de la propagacion semiclasica. Este novedosoenfoque de propagacion tiene como base estructural elconcepto de propagacion por de pares de trayectoriasclasicas en el espacio de fase. Para la aproximaciontipo van Vleck consideramos un sistema de relevanciacientıfica como lo es el potencial de Morse. Este es unmodelo teorico de gran importancia para las diferentes

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areas de la quımica teorica y la fısico quımica ya quepresenta una correspondencia teorico experimental su-ficientemente fiel cuando se estudian procesos molec-ulares como lo son la fotodisociacion he interacciondipolar molecular. Adicionalmente su importancia tran-sciende al contexto de la propagacion semiclasica de pa-quetes gaussianos, debido a que es un potencial fuerte-mente no lineal y se considera un reto para cualquiertipo aproximacion semiclasica el reproducir los efectoscuanticos subyacentes quedando ası comprometida tan-to la aproximacion como su rendimiento.

2. Propagador de la funcion de Wigner

El formalismo de Weyl nos permite una repre-sentacion de la mecanica cuantica en el espacio defase. Ası un estado cuantico es representado por la fun-cion de Wigner, la cual esta definida como la trasfor-mada de Weyl del operador de densidad, que en elcaso de un estado puro toma la forma: W (p, q) =1/(2π~)

∫exp (−ip · y)Ψ(q + y/2)Ψ∗(q − y/2)dy .

Asimismo, es posible encontrar una formulacion en elespacio de fase para la evolucion temporal cuantica enterminos del progador de la funcion de Wigner, Estepropagador se obtiene al realizar una transformada deWeyl a la ecuacion de von Neumann ı~∂ρ

∂t = [H, ρ] yteniendo en cuenta la estrecha relacion entre el operadorcuantico de evolucion temporal U(t) = exp(−iHt/~)y el operador densidad ρ(t), se obtiene una formu-lacion integral para la evolucion temporal de la funcionde Wigner W (r′′, t) =

∫G(r′′, t, r′, 0)W (r′, 0)dr′,

donde G(r′′, t, r′, 0) es el kernel de propagacion y sedefine en terminos del propagador de Weyl U(r, t) =∫

exp (−ip · y) K(q′′, t′′;q′, 0)dy. Notese que r =(p, q) es un vector en el espacio de fase.

G(r′′, t, r′, 0) =∫

δ(r2 − r′′ + r1 − r′) exp

(−2ı/~(r2 ∧ r′′ + r2 ∧ r′))U(r1, t)U∗(r2, t)dr1dr2,(1)

Esta expresion es la mas general del propagador y a par-tir de aquı es posible desarrollar las diferentes aprox-imaciones semiclasicas discutidas en [1], en particularla aproximacion del tipo van Vleck.

3. Propagador Cuantico

Una expresion para el propagador de la funcionWigner en terminos de las funciones de Wigner puedeconseguirse por medio de la conexion entre el propa-gador de Weyl y las funciones de Wigner U(r, t) =

(2π~)∑

n exp (−ıEnt/~)Wnn(r), Usando esta repre-sentacion en (1) y calculando la integral para r1,r2 lleg-amos a expresion exacta para el propagador de Wign-er en terminos de las funciones de Wigner del sistemacuantico.

G(r′′, t, r′, 0) =1

(2π~)Wnm

∑nm

exp (−ı(En − Em)t/~)(r′′)Wmn(r′), (2)

donde Wnm = W ∗mn son los sımbolos de Weyl no diag-

onales de las autofunciones del sistema. Esta expresioninvolucra la contribucion infinita de funciones de Wign-er localizadas en los puntos inicial y final de propa-gacion ademas del conjunto de niveles de energıa En

del sistema cuantico.

4. Aproximacion tipo van Vleck

Para lograr una aproximacion de este tipo en el espa-cio de fase, tomamos el propagador de van Vleck en larepresentacion de coordenadas [5] en donde la contibu-cion proviene de trayectorias clasicas que conectan elpunto inicial y final en el espacio de configuracion, bajouna trasformada de Weyl a este propagador es posibleobtener una expresion para propagador Weyl que unidoa la regla de la cuerda [6] queda dado por: U(r, t) =

2∑

j

exp( i~Sj(r,t)−iµj

π2 )√

|det(Mj(r,t)+I)| , donde Sj(r, t) es la accion y

2|det(Mj(r, t) + I)|−1/2 la amplitud de la trayectoriaj y Mj la matriz de estabilidad asociada a esta. Usandoesta representacion en (1) se encuentra que al aplicarel metodo de fase estacionaria impone la existencia depuntos estacionarios con un acoplamiento entre parejasde trayectorias en el espacio de fase tal que los puntosinicial y final de propagacion debe cumplir con r′ =(r′j− + r′j+)/2, r′′ = (r′′j− + r′′j+)/2. Finalmente laaproximacion para el propagador de van Vleck toma laforma (3) en donde contribucion a la propagacion dadapor pares de trayectorias en el espacio de fase.

G(r′′, t; r′, 0) =4π~

∑

j±

cos(

1~Sj(r′′, t; r′, 0)− π

2

)√|det(Mj+ −Mj−)| ,

(3)Donde se ha definido Mj± = ∂r′′j±/∂r′j± como lasmatrices de estabilidad asociadas a cada trayectoria yla accion total como: Sj(r′′, t; r′, 0) =

∫ t

0ds (rj(s) ∧

Rj(s)−Hj+(rj+) + Hj−(rj−)) , para detalles ver [1].

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T. Dittrich et al Aplicacion del Propagador de la Funcion de Wigner al Oscilador de Morse

q

p

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0

0.2

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q

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-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

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-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

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q

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-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

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0.2

0.4

Figura 1. Mancha cuantica del propagador de la funcion de Wigner para el potencial de Morse cuantico (Izquierda), aproximacion vanVleck (Derecha)

q

p

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.6

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q

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q

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q

p

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

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q

p

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

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q

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q

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0.2

0.4

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Figura 2. Mancha cuantica de la propagacion de la funcion de Wigner para un estado inicial gaussiano en q = −0.084, p = 0 el potencialde Morse, cuantico (Izquierda), aproximacion van Vleck (Derecha)

5. Oscilador de Morse

El potencial de Morse U(r) = D(1−eα r)2 fue prop-uesto por con el fin de estudiar estados vibracionalesde moleculas dipolares y transferencia de energıa, perosu acuerdo con la teorıa motivo muchos estudios de es-pectros moleculares y fotodisociacion, en los ultimosanos se han desarrollado tecnicas de espectroscopıa ul-tra rapida que han permitido el entendimiento de pro-

cesos quımicos y evolucion de estados localizados. Ennuestro caso consideramos el oscilador de Morse uni-dimensional ya que es un sistema para el cual es posi-ble obtener soluciones analiticas al problema de val-ores y funciones propias, para esto podemos escribir laecuacion de Schrodinger en representacion de posicionen forma adimensional como:

d2ψ

dx2+ λ2(1− e−x)2ψ = λ2Eψ, (4)

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donde se ha definido el parametro λ =√

2mDα~ ,

a su vez, se definen los parametros como: mes la masa, D la profundidad del pozo de po-tencial y α el rango de alcance del potencial.Las funciones propias de este sistema son dadaspor ψλ

n(x) = N(λ, n)ξ(λ−n−1/2)eξ/2L2λ−2n−1n (ξ)

en donde Lan(x) son los polinomios generalizados

de Laguerre. Se define la variable auxiliar ξ =2λ exp(−x/

√λ) y la constante de normalizacion Nλ

n =√(2λ− 2n− 1)Γ(n + 1)/

√λ Γ(2λ− n).

El conjunto discreto de los niveles de energıa quedandeterminados por Eλ

n = (n + 12 ) − 1

2λ (n + 12 )2 donde

n = 0, 1, 2, . . . ,∣∣λ∣∣ (la notacion

∣∣x∣∣ indica el maximonumero entero no menor que x). El estudio del osciladorde Morse no solo ha quedado limitado en mecanicacuantica a las representaciones usuales como lo son larepresentacion de posicion y de momento, sino que a suvez, ha sido explorado en la representacion en el espa-cio de fase y por lo tanto no ha sido ajeno de una for-mulacion en terminos de las funciones de Wigner [2].Utilizando la expresion de las funciones propias y unidoa la definicion de la funcion de Wigner se obtiene unaexpresion analıtica para las funciones de Wigner mixtasy poder evaluar el propagador cuantico:

Wnm(q, p) =2π~

N(λ, n)N(λ,m)ξ2λ−n−m−1n∑

r=0

m∑s=0

b(λ, n, r)b(λ,m, s)ξr+sKs−r+2ıp~−1(ξ), (5)

Kν(x) es la funcion de Bessel con ν ∈ C, x ∈ Ry b(λ, n, j) = (−1)j

j !

(2λ−n−1

n−j

). En la Fig. 1 se mues-

tra la mancha semiclasica dada por el propagador dela funcion de Wigner para un punto fijo en el espaciode fase. En la Fig. 2 se muestra la propagacion de un

paquete preparado en t = 0 como una gaussiana tantopara el propagador cuantico como para la aproximaciontipo van Vleck, adicionalmente se muestra la trayecto-ria clasica en las graficas para el tiempo de propagaciony se observa como sigue el maximo de la funcion deWigner o el paquete gaussiano respectivamente.

6. Conclusiones

Se muestra la correspondencia entre el propagadorcuantico de Wigner y su aproximacion tipo van Vleckpara el oscilador de Morse. Adicionalmente, se muestracomo la aproximacion utilizando el concepto de paresde trayectorias reproduce en buena medida la deforma-cion del estado inicial gaussiano y como a su vez coin-cide con su correspondiente propagacion cuantica en elespacio de fase. Los autores agradecen a la FundacionVolkswagen por el soporte financiero en el marco delproyecto Semiclassical aspects of nonlinear transport.

Referencias

[1] T. Dittrich, C. Viviescas y L. Sandoval, Phys. Rev. Lett. 96070403(2006).

[2] J. Dahl, M. Springborg, J. Chem. Phys. 88 4535(1988).

[3] F. Grossmann, E. J. Heller, Chem. Phys. Lett. 45 4535(1995).

[4] E. Wigner, Phys. Rev. 40, (1932).

[5] J. van Vleck, Proc. Acad. Nat. Sci., 14, 368(1928).

[6] M. V. Berry, Proc. R. Soc. Lond. A, 231, 423(1989).

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