Aplicaciones de La Derivada en Administración y Economia
-
Upload
javier-marcos-huayaney-ale -
Category
Documents
-
view
97 -
download
3
description
Transcript of Aplicaciones de La Derivada en Administración y Economia
-
APLICACIONES de la
DERIVADA
-
En
Administracin y Economa
-
VEAMOS LA SIGUIENTE SITUACIN
-
Un hotel tiene 71 habitaciones, el
gerente ha observado que cuando
la tarifa por habitacin es de 180
bolvares fuertes todas las
habitaciones son alquiladas, y por
cada 20 bolvares de aumento en
la tarifa, se desocupa una
habitacin. Si el mantenimiento
(limpieza, lavado, entre otros) de
cada habitacin es de 40 bolvares
fuertes,
-
El gerente del hotel desea
saber
-
Qu tarifa debe
cobrar para
obtener mxima
ganancia?
-
Cuntas
habitaciones se
deben ocupar con
esa tarifa que de
la mxima
ganancia?
-
Con el uso de las
derivadas, podemos
ayudar al gerente a
responder las
interrogantes
anteriores
-
Pero antes
debemos tener
conocimiento
sobre algunos
conceptos
relacionados con
economa
-
Estos son:
-
Ingreso (I) cantidad de dinero total que recibeuna empresa por la venta de sus productos o porprestar servicios. Se calcula multiplicando el nmerode productos vendidos o de servicios prestados por elprecio (p) del producto o servicio.
Ingreso promedio (Ip) es el ingresototal dividido entre el numero de artculos producidoso de servicios prestados.
-
Costo (C) inversin total que realiza unaempresa en la fabricacin de algn producto o lamanutencin de algn servicio que presta. Se puededividir en fijo o variable (dependiendo de la cantidadde unidades producidas o servicios prestados).
Costo promedio (Cp) es el costo totaldividido entre el numero de artculos producidos o deservicios prestados.
-
Ganancia o beneficio (G)Generalmente es la utilidad obtenida de una actividadeconmica. Se calcula restndole al ingreso total elcosto total de produccin y distribucin.
Ganancia o beneficio promedio(Gp) es la ganancia total dividida entre el numerode artculos producidos o de servicios prestados.
-
Tambin es importante que sepas
sobre
-
EL ANLISIS MARGINAL que estudia la razn de
cambio de las cantidades econmicas
-
As, debes tomar en cuenta las
siguientes definiciones:
-
Ingreso marginalRepresenta las entradas, ganancias o beneficiosde adicionales de una empresa por artculoadicional vendido o por servicio adicionalprestado cuando ocurre un incremento muypequeo en el nmero de artculos vendidos oel nmero de servicios prestados. Esto es la tazacon la que crece el ingreso con respecto alincremento en el volumen del volumen de ventaso del servicio prestado.
-
Costo marginalSe define como el valor lmite del costo promediopor artculo extra cuando este nmero de artculosextra tiende a cero. As se puede pensar el costomarginal como el costo promedio por artculo extracuando se efecta un cambio muy pequeo en lacantidad producida. Es decir, es el costo adicional alproducir un artculo extra por encima de un lmite deproduccin.
-
Ganancia marginalRepresenta la ganancia adicional por artculo, si laproduccin o el servicio prestado sufre un pequeoincremento.
-
Ahora bien, ya en conocimiento de esas definiciones podemos
representarlas matemticamente
-
Si llamamos X a la cantidadde producto que comercia oproduce una empresa , ocantidad de servicios que presta(suponga que es un soloproducto o que presta un soloservicio), sta representaranuestra variable.
-
Entonces
-
I(x) sera la funcin IngresoIp(x) sera la funcin Ingreso promedioC(x) sera la funcin costoCp(x) sera la funcin costo promedioG(x) sera la funcin GananciaGp(x) sera la funcin Ganancia promedio
-
Ya representadas simblicamente las
definiciones de inters, procedemos a
relacionarlas matemticamente
-
INGRESO (I)Es igual a la multiplicacin del nmero
de productos vendidos o servicios prestados por el precio de cada
producto o de cada servicio.
Simblicamente es:
I (x)= xp(x)
-
GANANCIA TOTALGanancia total es igual a la diferencia del ingreso total y el costo total del
producto o servicio prestado , es decir, a l ingreso total se le resta el costo
total y se obtiene el valor de la ganancia.
Simblicamente es:
G(x)= I(x)-C(x)
-
En relacin al anlisis
marginal
-
I(x) representa la funcin Ingreso MarginalC(x) representa la funcin Costo marginalG(x) representa la funcin Gananciamarginal
-
Si le damos a esta funciones marginales
su significado matemtico tendremos:
-
INGRESO MARGINAL I(x)
Si el nmero de artculos vendidos seincrementa de x a (x + x ), entonces, existe unincremento correspondiente en el ingreso dadopor:
I(x) = Nuevo ingreso Ingreso original = I(x + x) -I(x)
-
El incremento promedio en el ingreso por artculo adicional vendido, se obtienedividiendo entre el nmero de artculos adicionales, lo que da
El valor lmite de este promedio cuando da el ingreso marginal. As pues,el ingreso marginal representa las entradas adicionales de una empresa por artculoadicional vendido o servicio adicional prestado cuando ocurre un incremento muypequeo en el nmero de artculos vendidos o servicios prestados. En conclusin elingreso marginal se define como la derivada I(x)
( )I x
x
0
( )( ) lim
x
I xI x
x
( )I x
0x
-
Se define c(x) como el costo total en funcin del nmerode artculos producidos x, el costo marginal se definepor:
Es claro que esta ecuacin no es otra cosa que la derivadade la funcin de costo con respecto a la cantidad producida.
-
La derivada G(x) se denomina gananciamarginal. Representa a utilidad adicional porartculo, si la produccin sufre un pequeoincremento.
-
Ya casi estamos listos para ayudar al gerente a responder sus interrogantes, pero antes, demos un repaso por lo que
hemos aprendido sobre mximos y mnimo de funciones
y el criterio de la primera y segunda derivada para hallarlos
-
Mximos y mnimos de una funcin
-
Criterio de la primera derivada para hallar mximos y mnimos
-
Criterio de la segunda derivada para hallar mximos y mnimos
-
Al fin estamos listos para comenzar a usas las derivadas para darle
respuesta a las interrogantes de la
situacin inicialRECORDEMOS
-
Un hotel tiene 71 habitaciones, el gerente
ha observado que cuando la tarifa por
habitacin es de 180 bolvares fuertes
todas las habitaciones son alquiladas, y
por cada 20 bolvares de aumento en la
tarifa, se desocupa una habitacin. Si el
mantenimiento (limpieza, lavado, entre
otros) de cada habitacin es de 40
bolvares fuertes.
-
el gerente del hotel desea
saber
-
Qu tarifa debe
cobrar para
obtener mxima
ganancia?
-
Cuntas
habitaciones se
deben ocupar con
esa tarifa que de
la mxima
ganancia?
-
Qu informacin
tenemos de la
situacin inicial
dada?
-
Podemos llamar x al nmero dehabitaciones desocupadas, entonces
(71-x) representa el nmero de
habitaciones ocupadas y x estacomprendida entre 0 y 71 incluyendo
estos valores extremos.
-
G(x) representa la gananciaque el gerente percibe delhotel
-
I(71-x) representa el ingreso que se percibe
multiplicando el nmero de habitaciones
ocupadas por la tarifa por el servicio
prestado. La tarifa del servicio prestado por
habitacin alquilada es de 180 bolvares
fuertes ms 20 bolvares que pueden
incrementarse por habitacin. Entonces, el
ingreso puede expresarse de la siguiente
manera:
I(x)=(71-x)(180+20x)
-
Adems recordemos que: G(x)= I(x)-C(x)
Adaptando esa expresin a la situacin planteada tenemos que :
G(x)=(habitaciones ocupadas)(tarifa porhabitacin)-40(habitaciones ocupadas)
Simblicamente se expresa como:
G(x)=(71-x)(180+20x)-40(71-x)
-
En ese sentido, la primera pregunta: Cuntas
habitaciones se deben ocupar con esa tarifa que
de la mxima ganancia? Puede interpretarse
como el valor mximo de G(x), que luego de
desarrollar los factores y operar nos queda:
Entonces hallamos elmximo de G(x)
2( ) 9940 1280 20G x x x
-
En primer lugar hallamos los puntos
crticos:
G(x)= 1280-40x (funcin ganancia marginal) en el intervalo [0, 71]
Evaluamos cundo G(X)=0, entonces 1280-40x=0
Despejando x tenemos que x= 32 (nico punto crtico y pertenece al intervalo [0, 71]
-
LUEGO, EN SEGUNDO LUGAR EVALUAMOS EN
G(x) los valores:
G(0), G(71) Y G(32)
Ganancia con todas las habitaciones
ocupadas
Ganancia con todas las habitaciones
desocupadas
GANANCIA MXIMA
2(0) 9940 1280.0 20.0 9940G
2
(71) 9940 1280 71 20 71 0G
2
(32) 9940 1280 32 20. 32 30420G
-
Esa ganancia se obtiene cobrando la
tarifa de:
180+20 (32)=660
bolvares fuertes por
habitacin
-
Ya que hemos encontrado
respuesta al primera interrogante,
responder la segunda pregunta
resulta trivial
Con la tarifa de 660
bolvares fuertes se alquilan
71-32=39 habitaciones
-
Ahora vamos a repasar los
pasos que implcitamente
seguimos para hallar la
respuesta a las interrogantes
planteadas y que seguiremos
usando en situaciones similares
prximamente
-
Las herramientas presentadas para esta situacin, permiten resolver un sin
nmero de situaciones relacionadas con la ganancia, el costo y el ingreso total de
cierto producto o servicio, de esta manera ests invitado a resolver los siguientes
problemas:
As, podemos concluir que
-
1.- Hallar la expresin algebraica de la
funcin teniendo en cuenta los datos
del problema.
-
2.-Si la funcin depende de ms de una variable, hay
que buscar relacionesentre ellas hasta poder dejar la funcin dependiendo de
una sola.
-
3.- Calcular los extremos de la
funcin (mximos y mnimos).
-
4.- Interpretar los resultados en el
contexto del problema.
-
Bibliografa Consultada
Senz, J. (2005). Clculo diferencial con funcionestrascendentales tempranas para ciencias eingeniera. Barquisimeto: Hipotenusa.Posada, G. (2008). Clculo, gua didctica ymdulo. Facultad de ciencias administrativaseconmicas y contables. Colombia: FundacinUniversitaria