APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

•DESCOMPOSICION(DECRECIMIENTO) Y CRECIMIENTO

I.MODELOS DEMOGRÁFICOS , POBLACIÓN DINÁMICA (crecimiento)El modelo matemático mas fácil para gobernar la dinámica de la población de cierta especie es el modelo exponencial, es decir, el índice del cambio de la población es proporcional a la población existente, o en otras palabras si P(t) mide la población , tenemos que:

Donde k es constante. Esta ecuación es una ecuación lineal, la cual tiene como solución:

…………………….2

De donde P0 es la población inicial, es decir P (0)=P0 . De esta ecuación concluimos que si k > 0 , la población crece y que continua ampliándose al infinito, es decir :

Ejemplo 1: Si la población de una comunidad aumenta con rapidez proporcional a la cantidad de personas que tiene en cualquier momento t y si la población se duplica en un año, ¿en cuánto tiempo se triplicará?

•Solución:Sea P0 la cantidad inicial de la población .Si la población se duplica en un año entonces:

2P0 = P0ek

Luego, k = l n 2

Y la ecuación 2 se convierte en P(t) = P0 e(ln 2)t

Y la población se triplica cuando P(t) = 3 P0

luego 3 = e(ln 2) t

Y despejando t obtendremos la solución.

• DECAIMIENTO RADIOACTIVO (DESCOMPOSICION)

Muchos materiales se desintegran a una razón proporcional a la cantidad presente. Por ejemplo, si x es el material radiactivo y Q(t) es la cantidad presente en el tiempo t, entonces la rata de cambio Q(t) con respecto al tiempo t es dada por :

Donde r es una constante positiva (r>0) . Llamaremos Q(0) = Q0 la cantidad inicial del material x , tenemos

Para determinar Q(t) necesitamos encontrar la constante r . Esto puede Hacerse usando la vida media del material x o semivida. La semivida del material es el tiempo necesario para desintegrar la mitad del material x. Así, tenemos Q(t) = Q0

lo cual da rT = ln 2 . Por lo tanto, si conocemos T, podemos encontrar r, y viceversa. Muchos textos de la química contienen el periodo de algunos materiales radiactivos importantes. Por ejemplo, el periodo del carbono-14 es 5568 30 años. Por lo tanto, la constante r asociada al carbono -14 es r =1,244x10-4 .

Ejemplo 1: Un isótopo radiactivo tiene un periodo de 16 días. Se desea tener 30 g al final de los 30 días ¿Qué cantidad de radioisótopo se debe tener al inicio? •Solución:Puesto que el periodo se da en días mediremos el tiempo en días. Sea Q(t) la cantidad presente en el tiempo t . Sabemos que :

Donde r es una constante. Utilizaremos la semivida T para determinar r. De hecho, tenemos:

luego

Y asi g

Ley de Newton del Enfriamiento y/o Calentamiento

   Cuando la diferencia de temperaturas

entre un cuerpo y su medio ambiente no es demasiado grande, el calor transferido en la unidad de tiempo hacia el cuerpo o desde el cuerpo por conducción, convección y radiación es aproximadamente proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio externo. 

Donde a  es el coeficiente de intercambio de calor y S es el área del cuerpo.

Si la temperatura T del cuerpo es mayor que la temperatura del medio ambiente Ta, el cuerpo pierde una cantidad de calor dQ en el intervalo de tiempo comprendido entre t y t+dt, disminuyendo su temperatura T en dT.dQ=-m·c·dTdonde m=rV es la masa del cuerpo (r es la densidad y V es el volumen), y c el calor específico.

La ecuación que nos da la variación de la temperatura T del cuerpo en función del tiempo es

o bien,

Integrando esta ecuación con la condición inicial de que en el instante t=0, la temperatura del cuerpo es T0.

Obtenemos la relación lineal siguiente.

ln(T-Ta)=-k·t +ln(T0-Ta)

Despejamos T :

La ley de enfriamiento y/o calentamiento de Newton en un recinto de tamaño finito:

En las páginas anteriores, hemos aplicado la ley del enfriamiento de Newton a un cuerpo caliente que pierde calor y como consecuencia disminuye su temperatura. La atmósfera que le rodea gana el calor perdido por el cuerpo, pero no incrementa su temperatura ya que consideramos que tiene un tamaño infinito.

En esta página, vamos a estudiar la situación en la que un cuerpo caliente se coloca en un recinto de tamaño finito aislado térmicamente, tal como se muestra en la figura.

DescripciónEl cuerpo caliente tiene una masa m1 y su

calor específico es c1, por tanto, su capacidad calorífica es C1=m1·c1. En el instante t su temperatura es T1

El recinto tiene una masa m2 y su calor específico es c2, por tanto, su capacidad calorífica es C2=m2·c2. En el instante t su temperatura es T2<T1.

El cuerpo caliente en el intervalo de tiempo entre t y t+dt pierde una cantidad de calor  dQ, su temperatura disminuye

dQ=-C1·dT1

Como el recinto está térmicamente aislado, en el mismo intervalo de tiempo gana una cantidad de calor dQ y su temperatura aumenta

dQ=C2·dT2

El calor perdido por el cuerpo es igual al ganado por el recinto, la temperatura del cuerpo disminuye, la temperatura del recinto aumenta

-C1·dT1=C2·dT2

Supondremos que la pérdida de calor del cuerpo caliente obedece a la ley del enfriamiento de Newton

Donde a  es el coeficiente de intercambio de calor y S es el área del cuerpo.

La ecuación que nos da la variación de la temperatura T1 del cuerpo con el tiempo es

Para eliminar la variable T2, derivamos con respecto del tiempo

La solución de la ecuación diferencial es

Las constantes A1 y B1 se determinan a partir de las condiciones iniciales, la temperatura inicial y su derivada. En el instante t=0, la temperatura del cuerpo es T01

A1+B1=T01

Su derivada en el instante t=0 vale

La solución de la ecuación diferencial es

La temperatura T2 del recinto en función del tiempo se calcula del siguiente modo

Las constantes A2 y B2 se determinan a partir de las condiciones iniciales, la temperatura inicial y su derivada. En el instante t=0, la temperatura del cuerpo es T02

A2+B2=T02

Su derivada en el instante t=0 vale

La temperatura del recinto en función del tiempo es

En la figura, se muestra la evolución de temperaturas del cuerpo T1 y del recinto T2 en función del tiempo t.

Cuando t→∞, el cuerpo y el recinto alcanzan la misma temperatura que es la media ponderada.

Las temperaturas T1 del cuerpo y T2 del recinto se expresan en función del tiempo t.

Cuando la capacidad calorífica del recinto C2 es muy grande  (C1/C2) →0

Que es la expresión de la ley del enfriamiento de Newton

AHORA VEAMOS UN EJEMPLO:Al sacar un biscuit del horno, su

temperatura es de 300 ºF. Tres minutos después, su temperatura es de 200 ºF.

¿Cuánto demorará en enfriarse hasta una temperatura ambiente de 70 ºF?

2da. Ley de Newton

Despejamos T

Datos para conocer K=constante=

t=3 minT=100=dif de temperaturaTa=70 ºF=Temp. AmbienteT0=300=Temp. en un tiempo t=0

FÓRMULA

sustituimos k para encontrar t

CAIDA DE UN CUERPO CON RESISTENCIA DEL AIRE, SEGUNDA LEY DE NEWTON

La segunda ley de Newton dice: la suma de las fuerzas que actúan en un cuerpo en cada instante es igual al producto de la masa m por la aceleración

Un cuerpo que pesa 64 lib. Se suelta desde una altura de 100 pies con una velocidad inicial de 10 pies/seg.Suponga que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del cuerpo. Se sabe que la velocidad límite debe ser 128 pies/seg, encontrar:Una expresión para la velocidad del cuerpo en un momento t.

Una expresión para la posición del cuerpo en un momento t.Solución:

De la figura tenemos:

Reemplazando estos valores en la siguiente ecuación:

(a )La solución de esta ecuación diferencial lineal es:

Para t=0, v=10, reemplazando estos valores en (1) tenemos:

 Luego la velocidad en cualquier momento t, es

 (b) Como , donde s es el desplazamiento, (2) puede escribirse como:    

Para t=0, s=0, entonces (3) da:   

CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Se denomina circuito eléctrico a una serie de elementos o componentes eléctricos o electrónicos, tales como resistencias, inductancias, condensadores, fuentes, y/o dispositivos electrónicos semiconductores, conectados eléctricamente entre sí con el propósito de generar, transportar o modificar señales electrónicas o eléctricas.

CIRCUITO ELÉCTRICO RL EN SERIE

Para el circuito simple RL que consiste en una resistencia R, una inductancia L y una fuerza electromotriz E, la ecuación diferencial lineal que rige la cantidad de corriente I está dada por:

CIRCUITO ELÉCTRICO RC EN SERIE

Para un circuito simple RC que consiste en una resistencia R, una capacitancia C, una fuerza electromotriz E y ninguna inductancia, la ecuación diferencial lineal que rige la cantidad de carga eléctrica q del condensador es:

Veamos un ejemplo:Una batería de 12 volts. Se conecta a un circuito simple en serie en el cual la inductancia es ½ henries. Y la resistencia de 10 ohms. Determinar la corriente I. si la intensidad inicial es cero.

Aquí se tiene E=12 voltios, L=1/2 henries. R=10ohms. Por lo tanto se convierte en:

Es una ecuación diferencial lineal en I y el factor integrante es:

Entonces la solución es

De donde

Para t = 0, i = 0 , en se tiene:

Entonces

Por tanto

entonces C =

REACCIONES QUÌMICAS

En cinética de las reacciones, en lo que se está interesado es en la evolución de éstas con el transcurso del tiempo. Como las velocidades son derivadas con respecto al tiempo, no es de extrañar que la cinética de las reacciones se modelen mediante ecuaciones diferenciales. Un ejemplo de tales reacciones son las reacciones bimoleculares.Sea la reacción bimolecular elemental

en la que dos sustancias (reactantes) se unen para formar una tercera (producto). Hallar una expresión para las distintas concentraciones en cualquier unidad de tiempo.

1. Variables.Las incógnitas son las

concentraciones de los reactantes y el producto (son funciones deltiempo): [A]; [B], [P].

2. Leyes empíricas que se pueden aplicar:

La velocidad de reacción depende de las concentración de los reactantes y quizás del producto. La ley de la velocidad de reacción es la formulación de esa dependencia:

Para las reacciones elementales existe un principio básico, la ley de acción de masas: la velocidad de una reacción elemental es proporcional al producto de las concentraciones de los reactantes:

velocidad = k[A][B] La ley de acción de masas está basada en la suposición de

que reacciones elementales ocurren cuando las moléculas de los reactantes están en contacto simultáneamente. Por tanto, a mayor concentración, mayor velocidad.

El coeficiente k es la constante de la reacción y se toma siempre positiva.

Por último la ley de conservación: la suma de las concentraciones de los productos y de cualquiera de los reactantes permanece constante a lo largo de la reacción.

[B] + [P] = B0 + P0 [A] + [P] = A0 + P0;  A0; B0; P0 son las concentraciones iniciales de cada uno de

los componentes.

3. Planteamiento de la ecuación.Igualando velocidades:

Por último, aplicando la ley de conservación, se pueden eliminar variables para obtener la ecuación de [A]:

De la misma forma se obtienen las ecuaciones que proporcionan las demás concentraciones:

* Condiciones adicionalesEn el proceso de modelado, con bastante

frecuencia, aparecen condiciones adicionales que se deben añadir al problema que se plantea. En el caso de las reacciones del ejemplo anterior, las concentraciones iniciales de los elementos son datos del problema que se consideran en la formulación de éste.

AHORA VEAMOS UN EJEMPLO:Supongamos que una solución que

inicialmente contiene 2 moles / litro de Y y 1 mol / litro de Z se hace reaccionar. Find an expression for the amount of X at time t . Hallar una expresión para la cantidad de X en el tiempo t

Solución Tenemos que resolver el problema de

valor inicial

(Las constantes de 2 y 1 provienen de las concentraciones iniciales.) Separación de variables obtenemos

Usando la técnica descrita anteriormente, que integramos ambos lados con respecto a t.

(Sin Arce, la integral de la izquierda se pueden evaluar usando fracciones parciales.) La integral de la derecha es fácil y el uso de Arce para la integral de la izquierda nos

> int(1/((2-x)*(1-x)),x); > Int (1 / ((2-x) * (1-x)), x);

Así, la solución general, en forma implícita, es

Ahora obtener una solución explícita para el y el uso de la condición inicial para determinar c.

> a1 := solve(ln(2-x)-ln(1-x) = k*t+c,x);

> a2 := solve(subs(t=0,a1)=0,c);

> a3 := simplificar (subs (c = a2, a1));

Así que la solución explícita al problema de valor inicial es

PROBLEMAS DE DISOLUCIONES (TANQUES)

• Consideremos un tanque que contiene inicialmente galones de solución salina

• la cantidad de sal (en libras) en el tanque en un momento t

• b = volumen contenido en el recipiente que es vertido en el tanque

Un tanque contiene inicialmente 100 galones de una solución salina que contiene 20 libras de sal. Para t=0, se vierte agua dulce en el tanque a la rapidez de 5 gal/min mientras que sale del tanque una solución bien mezclada a la misma rapidez. Hallar la cantidad de sal en el tanque para un momento t.

Solución:

Separando variables:

Integrando

De donde

Por tanto: es la solución de la ecuación (1)

Para t = 0, a = Q = 20 (cantidad de sal al inicio y al final) se tiene:

, de modo que la cantidad de sal en el tanque en un momento t esta dado por:       

Encontrar las trayectorias con vértice en el origen y foco sobre el eje x

Matemática 3

 Trayectorias ortogonales

Consideremos una familia de curvas planas.

F(x, y, c)=0 ………(1)

 

Donde cada valor del parámetro C representa una curva.

Los problemas que se presentan en los campos tales como electrostática, hidrodinámicos y termodinámicos son de encontrar una familia de curvas que dependen de un parámetro K.

 G(x, y, k)=0 …………(2)

Con la propiedad que cualquier curva de (1) al interceptar cada una de las familias (2) las rectas tangentes a la curva son perpendiculares.

A las familias de las cuevas (1) y (2) se denominan trayectorias ortogonales.

 

Ejemplo: Encontrar las trayectorias con vértice en el origen y foco sobre el eje x Solución: La ecuación de la familia de parábola es de la forma =4px, p≠0. Diferenciando se tiene:

=0 2x + y =0

Diferenciando se tiene = y la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales son = - de donde 2x + y=0 resolviendo esta ecuación diferencial se obtiene += c, c0 luego las trayectorias ortogonales a la familia de parábola son las elipses de centro en el origen.

 Proceso de memorización

Cuando se toma en cuenta la falta de memorización; la rapidez de memorización de una persona (individual) viene dado por:

A ´ (t)=dA/dt =k1 (M-A) –K2.A

Donde k1 yk2 son constates positivos (k1 >0 y k2>0) A=At es la cantidad pro memorización en le instante t, M es la cantidad total para memorización y (m-a) es la cantidad que resta por memorización.