APLICACIONES DE SIMULACION

METODO DE MOTECARLOS

- CALCULO DE AREAS.-

1.- FUNCION EXPLICITA:

A=(b−a)n

∗∑i=1

n

f (x)

X i=a+(b−a )∗r i

n→∞ ,esmas preciso

Problema Nro.1

Hallar el área f ( x )= xx2

√ x ; (1≤x ≤3)

Datos: Modelo:

a=1 A=(b−a)n

∗∑i=1

n

f (x) x i=a+ (b−a )∗ri

b=3 A=(3−1)

10∗∑i=1

10

f (x) x i=1+(3−1 )∗ri

n=10 A= 210

∗∑i=1

10

f (x ) x i=1+2∗ri

i ri x f(x)

a 1 0,459302688 1,91860538 7,94676846

1 2 0,068673503 1,13734701 1,10752705

b 3 0,177629384 1,35525877 1,50133492

3 4 0,720699804 2,44139961 130,820472

n 5 0,537261278 2,07452256 16,048846

10 6 0,103707965 1,20741593 1,1978623

7 0,84532877 2,69065754 789,023939

8 0,327569167 1,65513833 3,09083392

9 0,458376259 1,91675252 7,88583574

10 0,852368966 2,70473793 881,445777

∑i=1

n

f (x )1840,0692

*Cálculo del Área.-

Area=(b−a)n

∗∑i=1

n

f (x)=(3−1)

10∗1840,0692(u2)

Area=368.01384(u2)

- CALCUL DE AREA.-

1.- Función Implícita o Empírica.-

Problema:Hallar área: (x−a)2+( y−2)2=25

Rango:−4≤x ≤6 x U (−4 ;6)−3≤ y≤7 y U (−3 ;7)Para:

x i=a+ (b−a )∗ri=(−4 )+(6−(−4 ) )∗ri=−4+10∗ri

y i=a+(b−a )∗ri=(−3 )+ (7− (−3 ) )∗ri=−3+10∗ri

Modelo:

A=mn∗Area(cuadrado)

i ri X ri Y f(x) ≤25X 1 0,44089298 0,40892979 0,78277327 4,82773272 8,345436303 CUMPLEa 2 0,71209606 3,12096062 0,42527885 1,25278855 5,056798884 CUMPLE

-4 3 0,24427036 -1,55729643 0,56146577 2,61465765 6,917569071 CUMPLEb 4 0,44743969 0,47439687 0,09898124 -2,01018761 16,35786334 CUMPLE

6 5 0,1174156 -2,82584399 0,07098111 -2,29018894 33,04280335 NO CUMPLEY 6 0,60216733 2,02167332 0,00152318 -2,98476818 25,89173013 NO CUMPLEa 7 0,13806644 -2,61933563 0,79443277 4,94432767 21,76865585 CUMPLE

-3 8 0,72942058 3,29420583 0,30277442 0,02774418 9,153173415 CUMPLEb 9 0,66388979 2,6388979 0,31521851 0,15218507 6,100406345 CUMPLE

7 10 0,78326087 3,8326087 0,59278884 2,9278884 8,884648928 CUMPLE

Reemplazando:

A=mn∗Area(cuadrado)

Ya que los que cumplen la ecuación son 8 entonces m=8.

También sabemos que la área conocida es decir el área que está dentro del circulo es de a=10 y b=10 es decir tiene un área de 100(u2)

A= 810

∗100(u2)

A=80(u2)

Problema calcular el área del lago de la figura.-

Rango:

0≤ x≤7 x U (0 ;7); (a,b)

0≤ y≤4 y U (0 ;4 ); (a;b)

Para:

x i=a+ (b−a )∗ri=(0 )+(7−(0 ) )∗r i=7∗ri

y i=a+(b−a )∗ri=(0 )+ (4−(0 ) )∗ri=4∗ri

i ri Xi ri Yi Obs.X 1 0,3925150

52,7476053

80,0998945

90,3995783

8 CUMPLE

a 2 0,52914564

3,70401948

0,3579336 1,43173441

CUMPLE

0 3 0,83343103

5,83401719

0,40887809

1,63551237

CUMPLE

b 4 0,39445527

2,76118691

0,60806334

2,43225338

CUMPLE

7 5 0,17977192

1,25840345

0,80560473

3,22241891

NO CUMPLE

Y 6 0,55524208

3,88669454

0,7671678 3,06867119

CUMPLE

a 7 0,77627045

5,43389312

0,64945654

2,59782614

CUMPLE

0 8 0,91674779

6,41723455

0,27233892

1,08935569

CUMPLE

b 9 0,77322984

5,41260889

0,3811676 1,52467041

CUMPLE

4 10 0,73715792

5,16010545

0,01697949

0,06791795

NO CUMPLE

Reemplazando:

A=mn∗Area(cuadrado)

Ya que los que cumplen la ecuación son 8 entonces m=8.

También sabemos que la área conocida es decir el área que está dentro del circulo es de a=7 y b=4 es decir tiene un área de 28(Km2)

A= 810

∗28(Km2)

A=22.4(Km2)

CALCULOS DE VOLUMENES.-

Problema.-Calcular el volumen de f ( x )=x2+ y2; donde −5≤x ≤2;2≤ y≤4 x U (−5 ;2); (a,b)

y U (2 ;4); (c;d)

Sabiendo que la ecuación de volumen es:

V=(b−a )(d−a)

n∗∑

i=1

n

f ( x ) (u2 )

Para:

x i=a+ (b−a )∗ri=(−5 )+(2−(−5 ) )∗ri=−5+7∗ri

y i=a+(b−a )∗ri=(2 )+( 4−(2 ) )∗ri=2+2∗ri

i ri X ri Y f(x)X 1 0,5552684 -1,11312119 0,6466036

53,2932072

912,084253

1a 2 0,41988576 -2,06079968 0,4360540

52,8721081 12,495900

2-5 3 0,30312547 -2,87812168 0,8285323

23,6570646

321,657706

1b 4 0,9812331 1,86863171 0,4008899

72,8017799

411,341755

32 5 0,01176695 -4,91763136 0,0056398

42,0112796

928,228344

2Y 6 0,24305815 -3,29859293 0,4852878

22,9705756

519,705035

a 7 0,39597526 -2,22817315 0,80378422

3,60756844

17,9793056

2 8 0,78237314 0,47661196 0,31291111

2,62582223

7,12210133

b 9 0,06443353 -4,54896527 0,43122408

2,86244815

28,8866944

4 10 0,86059798 1,02418589 0,68870667

3,37741333

12,4558776

Σf(x) 171,956973

Reemplazando:

V=(b−a )(d−a)

n∗∑

i=1

n

f ( x ) (u2 )= (2−(−5 ) )(4−2)10

∗171,956973 (u2 )

V=240.7397622 (u2)

Ejemplo:

En un campamento fuera de la ciudad, cuenta con un tanque de H20, con una capacidad de 6000 (lt) o (kg). Dicho tanque se abastece cada sábado, con el H20 de la municipalidad, los datos históricos saben que el consumo de H2o es de 250 (lt) por abastecimiento, y desviación estándar 30(lt). Y la cantidad de H2o de abastecimiento tiene el siguiente comportamiento:

Litros de abastecimiento (litros) Frecuencia1 800 0.052 100 0.252 300 0.42 500 0.3

Simular el sistema durante 2 semanas y determinar la cantidad de H20 en el tanque al final del periodo. Sabiendo además que el día de abastecimiento no se trabaja.

Abastecimiento (lt) Frecuencia Frecuencia Relativa1800 0,05 0,052100 0,25 0,32300 0,4 0,72500 0,3 1

{ 1800Si ri∈ [ 0−0.05 ]2100Si ri∈ (0.05−0.3 )2300Si ri∈ (0.3−0.7 )2500Si ri∈ (0.7−1 )

Tomando en cuenta los datos hablamos de una distribución normal. Entonces la formula de consumo es igual a:

X i=[(√−2∗ln (1−ri ))∗cos ( 2∗π∗r j )]∗σ+μ

C=[(√−2∗ln (1−ri ))∗cos (2∗π∗r j )]∗σ+μ

Donde:

X=volumen deconsumo (m3 )σ=250 (¿ )μ=30 (¿ )

Experimento

σ Día ri rj Xi ri A Volumen en Tanque

30 Lunes 0,95190613 0,391945324 192,4819365 3807,518064μ Martes 0,27963346 0,010554077 274,2445622 3533,273501250 Miércoles 0,37549516 0,042136635 278,096411 3255,17709

Jueves 0,54233029 0,171153687 267,8311612 2987,345929Viernes 0,54936921 0,119635942 277,6715913 2709,674338Sábado 0,94816633 2500 5209,674338Domingo 0,90529138 0,703497858 231,2385103 4978,435828Lunes 0,4658262 0,60848588 223,9116275 4754,5242Martes 0,14127655 0,683035557 243,237117 4511,287083Miércoles 0,5901226 0,179269078 267,2262847 4244,060798Jueves 0,64532736 0,358550899 222,7706416 4021,290157Viernes 0,78836752 0,459616812 198,8229 3822,467257

Sábado 0,69228788 2300 6122,467257Domingo 0,96173733 0,550968152 177,2551096 5945,212147

Volumen en Tanque 5945,21215

Queda en el tanque el volumen de 5945,21215 (lt) al final del periodo de 2 semanas.

Problema.- Una empresa petrolera es dueña de 2 refinería “1”, cuesta 20 000 ($u$) por día, en costo de operación y produce 400 (bbl) de petróleo de alto octanaje, 300 (bbl) de medio octanaje y 200 de bajo octanaje, por día. La refinería “2” tiene 25 000 ($u$) de costos operativos por dio, y puede producir 300 (bbl) de alto octanaje, 400 (bbl) de medio octanaje y 500 (bbl) de bajo octanaje por día. La empresa tiene ordenes por 25 000 (bbl) de alto octanaje, 27 000 de medio octanaje y 30 000 de bajo octanaje. Simular y determinar la cantidad de días que la empresa debe mantener la refinería funcionando para minimizar los costos de operación y satisfacer la demanda.

*Solución:Minimizar

C=20 000∗x1+25 000∗x2

{x} rsub {1} =cantidad de dias de operacion de refineria 1

{x} rsub {2} =cantidad de dias de operacion de refineria 2

Alto Octanaje.-

400∗x1+300∗x2≥25 000

Medio Octanaje.-

300∗x1+400∗x2≥27 000

Bajo octanaje.-

200∗x1+500∗x2≥30 000

Tomamos en cuenta que x1; x2>0

Toman en cuenta que x2=0

x1≥83.33 x1≥67.5 x1≥60

Toman en cuenta que x1=0

x2≥62.5 x1≥90 x1≥150

Tomando en cuenta que es para un intervalo tomamos el mayor para tener en cuenta el de mayor rango.

{ 1≤ x1≤831≤ x2≤150

Generador.-

x1=1+194∗rix2=1+82∗ri