Aplicaciones del rectángulo áureo

Pero… ¿Qué tiene de especial ese número? ¿Por qué no es como los demás?

Del mismo modo que el número Pi (3,141592...) representa el cuerpo geométrico más perfecto, la esfera, 1,618033... Es el número de la belleza.

El monje del siglo XV Luca Pacioli, quizá influido por la idea de que los nuevos conocimientos debían adaptarse a las creencias de la Iglesia, lo llamó La Divina Pro porción e indicó: "Tiene una correspondencia con la Santísima Trinidad, es decir, así como hay una misma sustancia entre tres personas -Padre, Hijo y Espíritu Santo-, de igual modo una misma proporción se encontrará siempre entre tres términos, y nunca de más o de menos". Lo que se esconde tras esta esotérica frase, más propia de alquimistas y ocultistas que de matemáticos, es ese número

La sorprendente belleza de un número irracional.

El número áureo pertenece al conjunto de los números irracionales, esto es, aquellos que no pueden expresarse como cociente de dos número enteros. Por ejemplo, la raíz cuadrada de dos es irracional -un descubrimiento que incomodó de tal modo a los pitagóricos que lo ocultaron al mundo-. En nuestro caso, el número áureo lo podemos computar con una calculadora si seguimos estas sencillas instrucciones: primero, calculamos la raíz cuadrada de 5; luego sumamos 1 al resultado y el total lo dividimos por 2. Si sabemos programar un ordenador, podemos intentar batir el récord del mayor número de decimales calculados: en el año 2000 y con menos de 3 horas de computación, se encontraron los primeros 1.500 millones de cifras decimales.

Aplicaciones

Lo curioso es la de veces que aparece el número áureo en la naturaleza, en la arquitectura, en la pintura, etc.

Muchas de las apariciones del número de oro tienen que ver con valores arquitectónicos y estéticos.Desde la antigüedad se consideró que los elementos que guardaran esta proporción presentan una relación armoniosa. Cito a continuación algunas estructuras que la presentan.

Partenón

El rectángulo mayor ABCD es áureo es decir:

También son áureos:

PirámidesEn la gran pirámide de Keops, el cociente entre la altura de la pirámide y la mitad de cada uno de los lados de la base es   y la relación entre la altura de cada triángulo y la mitad de cada uno de los lados de la base es  

Este es el primer uso conocido del número áureo.

Leonardo Da VinciUnas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron los griegos y romanos, fueron plasmadas en el siguiente dibujo de Leonardo da Vinci. Luego fue utilizado por Luca Pacioli para ilustrar su libro La Divina Proporción editado en 1509.

En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las construcciones artísticas. En particular, Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones áureas. Como tarea puedes dibujar como en la figura, un círculo con centro en el ombligo y luego el cuadrado indicado. Una persona armoniosa (según Luca Pacioli) presentará la relación entre el lado del cuadrado y el radio del círculo igual a  .

A mediados del siglo XIX (1850), el alemán Zeisig dedicó 21 años de su vida para medir la evolución de esta relación en una persona cuyo nombre la historia no registra. Con

el seguimiento de este ombligo observó que esta relación entre la altura total y la distancia entre el ombligo y el pie, se iniciaba en alrededor de 2 (recién nacido) y se estabilizaba en aproximadamente 1.625. ¡menudo trabajo! Sin embargo este cálculo podría ser de interés como aplicación de una clase de estadística en una escuela, aplicado a personas de distintas edades.

Naturaleza: ZoologíaLa espiral logarítmica (ver propiedad matemática en un párrafo anterior) gobierna el crecimiento armónico de muchas especies animales y vegetales, por ejemplo el caracol.

Naturaleza: BotánicaLa parte de la botánica que estudia la disposición de las hojas a lo largo de los tallos de las plantas se denomina Filotaxia.Si tomamos la hoja de un tallo y contamos el número de hojas a la que llamaremos  , hasta encontrar otra hoja con la misma orientación, este número es, por regla general, un término de la sucesión de Fibonacci. Además las hojas se distribuyen en forma de espiral. Si mientras contamos dichas hojas vamos girando el tallo, el numero de vueltas   que debemos dar a dicho tallo para llegar a la siguiente hoja con la misma orientación resulta ser también un término de la sucesión.Se llama característica del tallo a la fracción . En el olmo es 2/1 (dos hojas en un giro), en el álamo 5/2 (cinco hojas en dos giros), en el sauce llorón 8/3 y en el almendro 13/8. Si representamos por   el término que ocupa el lugar   en la sucesión de Fibonacci, en la mayoría de los casos la característica viene dada por el cociente entre valores consecutivos de la sucesión o entre valores alternados en dos. Es decir:   o  . Así, en el caso del sauce llorón es  . Por la conexión entre una sucesión de Fibonacci y el número de oro, podemos decir que la característica tiende al número de oro.Las "hojas" de una piña de pino tienen, por regla general, una característica de 5/3, 8/5 o 13/8 (experiméntalo la próxima vez que te encuentres con una), presentando propiedades similares las hojas de las lechugas, los pétalos de las flores, las ramas de las palmeras, etc.

Tributo de San Pedro (Masaccio).

En los frescos de Masaccio(1401-1428), de tan honda religiosidad, el personaje principal ocupa el lugar de honor que marca la cesura. Así, en El Tributo de San Pedro se sitúa en los 4/9 del ancho total. Nótese que Masaccio utilizaba estas proporciones para guiar sus cuadros treinta años antes de que Alberti escribiera su tratado

Venus y el Organista ( Tiziano).

De Tiziano destacamos, además de las obras ya señaladas anteriormente, Venus y el organista construida sobre la relación 4/6/9, una de las más comunes en este artista. Esta Venus derivan todas de las de Giorgione y siguen la misma composición: el semicírculo sobre el que se apoya Venus está en el centro de la división 4 partiendo de la derecha.

Pintura Barroca española

La figura de Velázquez (1599-1660), de las más grandes de toda la pintura española, es en la que nos detendremos en este apartado. Desde sus primeras obras supo representar la realidad tal como la veía y tuvo la virtud de saber comunicar al espectador la noción de espacio, mediante un genial uso de luces y sombras y una pincelada segurísima. Se ha dicho a veces que el realismo de Velázquez es

"espiritualizado" de tal manera que, siendo barroco, parece un clásico de la época de Pericles; y su pintura se ha mantenido -como el arte griego en un plano elevado de armonía, elegancia y profundidad que solo son reflejo de la autentica belleza. Dos de sus grandes obras: Las Hilanderas y Las Meninas, que el autor pintó al término de su carrera, son ejemplo del sentido espacial que poseía este español y podemos pensar que detrás de estos trazos geniales se esconde la proporción áurea. En la trama de Las Meninas se esconde una espiral áurea de aquellas de Fibonacci como vemos en el detalle de la figura:

La Parada(Seurat).

Movimientos Impresionistas: En este periodo lo que más preocupa es la unión entre arte y ciencia, destacaremos a dos artistas cuyo pensamiento está en sintonía con la búsqueda de las leyes de la naturaleza que rigen el arte y son las mismas del espíritu humano. Georges Seurat (1859-1891), neo impresionista y admirador de Piero della Francesca, Ingres, Poussin, etc. Para Seurat el arte es armonía, y podemos ver esta en cuadros como La Parada cuya característica es un corte ortogonal entre la línea superior de la rampa y el bastidor vertical de la derecha; la horizontal está muy próxima a la sección áurea. Otras relaciones áureas que se han encontrado en el cuadro se muestran en la figura:

En nuestra vida diariaEl hombre ha utilizado los rectángulos áureos para diseñar las tarjetas de crédito, el carnet de identidad, los paquetes de cigarrillos, etc. Si su escéptico mide alguno de estos rectángulos y halla sus proporciones.

También se usan para diseñar dimensiones de libros, cuadros, tarjetas postales, estampillas, ventanas, camas, ubicación del título en el lomo de un libro, etc.Existen muchísimas otras propiedades y aplicaciones referentes al número de oro  , en.la música , la pintura, la naturaleza, etc. La idea de esta nota es presentártelo y luego tu curiosidad hará el resto. Si buscas, vas a encontrar muchas propiedades o aplicaciones interesantes. Cuando las encuentres, sería muy bueno que las compartieras con todos nosotros.

La proporción áurea en la Música

Esta mágica razón intrigó a muchos compositores, como Sebastián Bach, Mozart, Beethoven, Debussy y Bartok. En la música, la razón áurea influye en el lugar en el que aparecen las culminaciones. La forma de los ritmos, intervalos y armonías a la manera de un código secreto para iniciados.

Instrumentos musicales tales como violines, violas, violonchelos y contrabajo fueron diseñados siguiente las directrices de la proporción dorada.

Casi todas las obras de Bach siguen la sucesión de Fibonacci. Asimismo muchas obras renacentistas. Bàrtok, en su construcción formal, está estrechamente ligado a las leyes del Número Áureo. A este respecto cabe citar su obra “Música para percusiones y celesta”. También en las Sinfonías de Mahler subyace la misma influencia.

La influencia del número áureo en el mundo que nos rodea

La sucesión de Fibonacci, la proporción áurea y sus derivados (como la espiral de Fibonacci) están presentes en la naturaleza y son considerados estándares de belleza, singularidad e inteligencia. Se puede ver, por ejemplo, en:

Las galaxias y los agujeros negros.

Los edificios.

Flores como las rosas o los girasoles.

En animales como los moluscos.

En los huracanes.

En el arte y en los seres humanos.

En logotipos.