APÉNDICE

B NÚDleros

cODlplejos Los números complejos se inventaron para permitir la extracción de las raíces cuadradas de los núme­ros negativos. Los números complejos simplifican la resolución de problemas que, si no dispusiéramos de ellos, resultarían muy dificiles. La ecuación x' + 8x + 41 = O, por ejemplo, no tiene solución en ningún sistema de numeración que excluya los números complejos. Estos números, y la capacidad de manipularlos algebraicamente, son sumamente útiles en el análisis de circuitos.

B.1. Notación

Hay dos formas de expresar un número complejo: en forma rectangular o cartesiana, o en forma polar o trigonométrica. En la forma rectangular, el número complejo se escribe en función de sus compo­nentes real e imaginaria, de la forma siguiente:

n = a + jb, (B. 1)

donde a es la componente real, b es la componente imaginaria y j es, por definición, ~ 1

En la forma polar, el número complejo se escribe en función de su módulo (o magnitud) y su ángu­lo ( o argumento):

n = cejO, (B.2)

donde c es el módulo, () es el ángulo, e es la base de los logaritmos naturales y, como antes, j = ~ . En la literatura, se utiliza frecuentemente el símbolo ~ en lugar de eJ°; es decir, el número complejo en forma polar se escribe en ocasiones:

n = cLff:. (B.3)

Aunque la Ecuación B.3 resulta más cómoda a la hora de imprimir libros de texto, la Ecuación B.2 tiene una gran importancia en las operaciones matemáticas, debido a que las reglas de manipulación de magnitudes exponenciales son bien conocidas. Por ejemplo, como (y,)n = y'n, entonces (eJ'0n = eJ°"; como y -X = l/y, entonces e-jO = l/eJ0; y así sucesivamente.

Puesto que hay dos formas de expresar el mismo número complejo, es necesario saber poner en rela­ción cada una de ellas con las demás. La transformación de la forma polar a la forma rectangular hace uso de la identidad de Euler:

I Es posible que el lector esté más familiarizado con la notación i = ~. En ingeniería eléctrica, la letra i se utiliza como sím­bolo de la corriente, por 10 que en la literatura relacionada con la ingeniería eléctrica, se utiliza en su lugar j para referirse a .J-i.

940 Números complejos

e±j 8 = cos O :!:: j sen O.

Un número complejo en forma polar puede expresarse en forma rectangular escribiendo

ce jO = e(cos e + j sen e)

= e cos O + je sen e =a+ jb.

(B.4)

(E .S)

La transformación de la forma rectangular a la polar hace uso de la geometría de los triángulos rec­tángulos: .

a + jb = (../a' + b' )eje

= cejO, (B.6) donde

tan O = bla. (B.7)

No resulta obvio, a partir de la Ecuación B. 7, en qué cuadrante se encuentra el ángulo O. La ambi­gUedad puede resolverse representando gráficamente el número complejo.

B.2. Representación gráfica de un número complejo

Un número complejo se representa gráficamente en el denominado plano de los números complejos, que utiliza el eje horizontal para expresar la componente real y el eje vertical para indicar la compo­nente imaginaria. El ángulo del número complejo se mide en sentido contrario al de las agujas del reloj a partir del eje real positivo. La representación gráfica del número complejo n = a + jb = e ~, si suponemos que tanto a como b son positivas, se muestra en la Figura B.l .

b -- - ---- - e

o a

Figura 8 .1. Representación gráfica de a + jb cuando a y b son positivas.

Esta gráfica expresa muy claramente la relación entre las formas rectangular y polar. Cada punto del plano de los números complejos puede identi ficarse de forma unívoca dando su distancia con respecto a cada eje (es decir, a y b) o su distancia radial a partir del origen (e) y el ángulo Ode la línea que conec­ta el punto con el origen.

De la Figura B.l se sigue que O está en el primer cuadrante cuando a y b son positivas; en el segun­do cuadrante cuando a es negativa y b es positiva; en el tercer cuadrante cuando a y b son negativas; y en el cuarto cuadrante cuando a es positiva y b es negativa. Estas observaciones se ilustran en la Figura 8.2, en la que hemos dibujado los números complejos 4 + j3, -4 + j3, - 4 - j3 y 4 - j3 .

Observe que también podemos especificar O como un ángulo en el sentido de las agujas del reloj a partir del eje real positivo. Así, en la Figura 8.2(c), también podriamos representar - 4 - j3 como

3 9

4

4 +j3 ~ 5/ 36,87°

(a)

- 4

- 3 5/ 216,87°

- 4 - j3 ~ 5/ 216,87"

(e)

- 4

- 4 +j3 ~ 5/1 43, 13°

(b)

- 3

4-j3 ~ 5illlJ3°

(d)

Operaciones aritméticas 941

Figura B,2, Representación gráfica de cuatro números complejos.

5 /- 143,13°. En la Figura B.2(d), podemos observar que 5/ 323,13° = 5 /-36,87°. Resulta bastante común expresar O como un valor negativo cuando O se encuentra en el tercer o cuarto cuadrantes.

La interpretación gráfica de un número complejo también muestra la relación entre el número com­plejo y su conjugado. El conjugado de un número complejo se fonna invirtiendo el signo de su com­ponente imaginaria. Así, el conjugado de a + jb es a - jb Y el conjugado de - a + jb es - a - jb. Cuando escribimos un número complejo en fonna polar, podemos fonnar su conjugado simplemente invirtiendo el signo del ángulo O. Así, el conjugado de e ~ es e 1- 0°. El conjugado de un número complejo se designa con un asterisco. En otras palabras, n* representa el conjugado de n. La Figura B.3 muestra dos números complejos y sus conjugados en el plano de los números complejos.

Observe que la conjugación simplemente consiste en reflejar los números complejos con respecto al eje real.

'" ~ -a+jb~c!!!J, b

'/, ~ a+jb~cl!!.J

a

,,; ~ a-jb~cl- () ,

Figura B,3. Los números complejos n, y " 2 Y sus conjugados ni y n~

B.3. Operaciones aritméticas

Suma (resta)

Para sumar o restar números complejos, debemos expresar dichos números en fonna rectangular. La suma implica sumar las partes reales del número complejo para fonnar la parte real de la suma y las partes imaginarias para formar la parte imaginaria de la suma. Así, si partimos de los números

942 Números complejos

ni = 8 + jl6

y

n, = 12 - j3,

entonces

ni + n, = (8 + 12) + j(16 - 3) = 20 + j13.

La resta sigue las mismas reglas. Por tanto,

n, - ni = (12 - 8) + j(-3 - 16) = 4 - j19.

Si los números que hay que sumar o restar se nos proporcionan en fonna polar, primero es preciso convertirlos a fonna rectangular. Por ejemplo, si

y

entonces

y

n i = lO / 53,13°

n, = 5 /- 135°,

ni + n, = 6 + j8 - 3,535 - j3,535

= (6 - 3,535) + j(8 - 3,535)

= 2,465 + j4,465 = 5,10;01 ,10°,

ni - n, = 6 + j8 - (- 3,535 - j3,535)

= 9,535 + jll ,535

= 14,966 /50,42°.

Multiplicación (división)

La multiplicación o división de números complejos puede realizarse expresando los números en fonna tanto rectangular como polar. Sin embargo, en la mayoría de los casos resulta más cómoda la for­ma polar. Como ejemplo, vamos a bailar el producto nln, cuando ni = 8 + jlO y n, = 5 - j4. Utilizando la fonna rectangular, tendremos

nln, = (8 + jlO)(5 - j4)= 40 - j32 + j50 + 40

= 80 + jl8

= 82 jI 2,68°.

Si utilizamos la fonna polar, el producto nln, será

nln, = (12.81 /51,34°)(6.40 1-38,66°)

= 82 /12,68°

= 80 + j18.

Identidades útiles 943

El primer paso para dividir dos números complejos en forma rectangular consiste en mu ltiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. Esto hace que el denominador se reduzca a un número real. Después, dividimos el nuevo numerador por dicho número real. Como ejem­plo, vamos a hallar el valor de n ¡ln2' donde n ¡ = 6 + j3 Y n2 = 3 - ji:

ni 6+j3 (6+j3)(3+jl) n, = 3 - ji = (3- jl)(3+ ji)

= _18_+"""j,,6 +"Jf-'9_-_3 9+1

IS+ jS . = -10-= I,S+ JI,S

=2,12 ,A5".

En forma polar, la división de ni por n2 es

ni _ 6,71/26.S7' 2,12ÁS' n, - 3,16 / -18,43'

= I,S + jl,S.

8.4. Identidades útiles

A la hora de trabajar con números y magnitudes complejos, resultan muy úti les las siguientes identi­dades:

±j2 = :¡:I,

(-j)(j) = 1,

. I J=-.,

-J

e' j· /

2 = ±j.

Si n = a + jb = cft, entonces tendremos que

nl1· = a2 + b2 = ¿.,

n + n· = 2a,

n - n' = j2b,

n/n' = I~.

(B.8)

(B.9)

(B. 10)

(B.ll )

(B.12)

(B.13)

(B.14)

(B.IS)

(B.16)

944 Números 90mplejos

B.5. Potencias enteras de un número complejo

Para elevar un número complejo a una potencia entera k, lo más fácil es escribir primero el número complejo en fonna polar. Así,

Por ejemplo,

y

n' =(a+ jb)'

= (ce iO)' = c' ei ldJ

=c' (cos k8+ j sen k8).

(2ei12' )' = 2' ei60' = 32ei60'

=16+ j27,71,

(3 + j4)' = (5eiS3•13

· ) ' = 54 ei2 12."·

= 625e i2 12."·

= -527 - j336.

B.6. Raíces de un número complejo

Para hallar la raÍZ k-ésima de un número complejo, debemos tener en cuenta que estaremos resolvien­do la ecuación

xl' - cde = O,

que es una ecuación de grado k y tiene, por tanto, k raíces.

Para hallar las k raíces, observemos primero que

cej9 = ce j(9+21r) = cei(9+41r) = ....

De las Ecuaciones B.l7 y B.18 se sigue que

(B. 17)

(B.l8)

(B.19)

(B.20)

(B.2l)

Podemos continuar el proceso indicado por las Ecuaciones B.19, B.20 y B.2l hasta que las raíces comiencen a repetirse. Esto sucederá cuando el factor que multiplica a 7T sea igual a 2k. Por ejemplo, vamos a hallar las cuatro raíces de 81ei 6O" . En este caso, tendremos

· ó

Rafees de un número complejo 945

Aquí, X5 es igual a X I, por lo que las raíces han comenzado a repetirse. Por tanto, sabemos que las cuatro raíces de Rl ei6O"son los valores dados por X I , X" X3 Y X •.

Conviene resaltar que las raíces de un número complejo están situadas en un círculo dentro del plano de los números complejos. El radio de dicho círculo es igual a e l/k Las raíces están distribuidas uniformemente alrededor del círculo, siendo el ángulo entre raíces adyacentes igual a 27T'ik radianes, o 360/k grados. En la Figura BA se muestran las cuatro raíces de 8Iei60".

I (

31J05' ....--­

" /

, , \

. 3L.!L I

I /

/

Figura 8.4. Las cuatro raices de 8lei60' .