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Aportes para el fortalecimiento de la enseanza de la matemtica en la EGB

Direccin General deCultura y EducacinGobierno de la Provinciade Buenos Aires

Subsecretara de Educacin

Provincia de Buenos Aires

GobernadorIng. Felipe Sol

Director General de Cultura y EducacinProf. Mario Oporto

Subsecretaria de EducacinProf. Delia Mndez

Director Provincial de Educacin de Gestin PrivadaProf. Juan Odriozola

Directora de Currculum y Capacitacin EducativaProf. Marta Pfeffer

Directora de Educacin General BsicaLic. Mara Cristina Ruiz

diciembre de 2004

Documento de apoyo para la capacitacinDGCyE / Subsecretara de Educacin

ProyectoFortalecimiento de la enseanza de la matemtica en la Educacin General Bsica

Material destinado a equipos docentes, directivos e inspectores

Direccin de Educacin General BsicaDireccin de Currculum y Capacitacin Educativa

Coordinacin Pedaggico-OperativaProf. Mara Eugenia lvarezLic. Sofa Spanarelli

Equipo de EspecialistasProf. Silvina Petersen (Matemtica)Prof. Julio Brisuela (Matemtica)Prof. Mnica Salgado (Matemtica)Prof. Silvina Volpe (Procesamiento didctico)

ColaboradoresProf. Oscar IsnardiProf. Gloria Robalo

Aportes para el fortalecimiento de la enseanza de la matemtica en la EGB

Direccin General de Cultura y EducacinSubsecretara de EducacinCalle 13 entre 56 y 57 (1900) La Plata Provincia de Buenos Aires

[email protected]

Direccin General de Cultura y EducacinSubsecretara de EducacinCalle 13 entre 56 y 57 (1900) La Plata Provincia de Buenos Aires

[email protected]

ndice

Objetivos del material ......................................................................................................

Primera parte .....................................................................................................................La planificacin curricular institucional y el rea de Matemtica ....................

Actividad 1 ....................................................................................................................Por qu ensear matemtica en la EGB? .................................................................Para qu ensear matemtica en la EGB? ...............................................................La relacin entre la cultura y la matemtica que debemos ensear en la escuela ...................................................................................................................................

Actividad 2 .....................................................................................................................Actividad 3 .....................................................................................................................

Segunda parte ...................................................................................................................El abordaje de la matemtica como rea ...................................................................

Actividad 4 .....................................................................................................................Enfoque didctico del rea .............................................................................................Pregunta a: Todo problema es un problema? ....................................................

Tipos de problemas .....................................................................................................Actividad 5 .....................................................................................................................Actividad 6 .....................................................................................................................

Pregunta b: Cules son las condiciones que debe cumplir una situacin para que posibilite a los alumnos aprender cierto concepto o procedimiento?

Actividad 7 .....................................................................................................................Actividad 8 .....................................................................................................................

Tercera parte ......................................................................................................................Pregunta c: Cmo debe actuar el docente? ........................................................

El anlisis de los contextos y de las situaciones ................................................Actividad 9 ....................................................................................................................

Los procedimientos de los alumnos .............................................................................Los errores de los alumnos .............................................................................................Cmo puede el docente ayudar a estos alumnos ...................................................La institucionalizacin .....................................................................................................

Actividad 10 ..................................................................................................................Actividad 11 ..................................................................................................................

Pregunta d: Qu exige la resolucin de problemas a los alumnos? .............Actividad 12 ..................................................................................................................Actividad 13 ..................................................................................................................Actividad 14 ..................................................................................................................Actividad 15 ..................................................................................................................

Cuarta parte .......................................................................................................................La organizacin de los contenidos ...............................................................................

Actividad 16 ..................................................................................................................

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La organizacin en el rea de Matemtica .....................................................Actividad 17 .......................................................................................................Actividad 18 .......................................................................................................Actividad 19 ......................................................................................................Actividad 20 .....................................................................................................Actividad 21 ........................................................................................................a. Los saberes que poseen los alumnos ......................................................Actividad 22 .......................................................................................................b. La complejizacin de los contenidos ......................................................Los sentidos de la suma ..................................................................................Actividad 23 ........................................................................................................Todos los problemas de suma son iguales? .............................................Actividad 24 ........................................................................................................Actividad 25 ........................................................................................................Los sentidos de la multiplicacin .................................................................Actividad 26 ........................................................................................................Actividad 27 ........................................................................................................

La secuenciacin en Matemtica ......................................................................Cmo se presentan los contenidos del rea de Matemtica en el diseo curricular? ..................................................................................................

Quinta parte .............................................................................................................Qu situaciones proponer a nuestros alumnos? .........................................Primer ciclo ...............................................................................................................

Actividad 28 ........................................................................................................Actividad 29 ........................................................................................................

Segundo ciclo ...........................................................................................................Actividad 30 ........................................................................................................Actividad 31 ........................................................................................................Actividad 32 ........................................................................................................Actividad 33 ........................................................................................................

A modo de cierre .....................................................................................................

Anexos ........................................................................................................................I. La proporcionalidad en la medida ..................................................................II. Las operaciones ...................................................................................................III. Guas de lectura .................................................................................................IV. Para comparar con las propias reflexiones acerca de fracciones .... V. El papel de la resolucin de problemas en la construccin de conocimientos matemticos en los tres ciclos de la EGB ...........................VI. La resolucin de problemas en el rea de Matemtica .........................VII. Las fracciones y los decimales .....................................................................VIII. Las dimensiones de los contenidos ...........................................................IX. La trama cuadrangular y la trama triangular ..........................................

Bibliografa ..............................................................................................................

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Objetivos del material

Primera parteQue el docente:

Logre construir criterios para la planificacin institucional Reinterprete los conocimientos informales que poseen los alumnos como lugar de intervencin

en sus prcticas y como punto de partida para aprendizajes significativos

Segunda parteQue el docente:

Planifique teniendo en cuenta el abordaje areal de la matemtica Resignifique la utilizacin de los problemas como instrumentos de construccin de conocimientos Reconozca las caractersticas de situaciones que posibiliten el aprendizaje en matemtica

Tercera parteQue el docente:

Analice didcticamente las situaciones que plantee a sus alumnos, teniendo en cuenta:- El anlisis de contextos- Los propsitos de la clase- Los contenidos a desarrollar- Los agrupamientos en los diversos momentos de la clase (individual, pequeo grupo o grupo

total)- Los posibles procedimientos de los alumnos- Lo que se va a destacar de lo desarrollado por los alumnos, etctera

Logre registrar aspectos importantes durante la puesta en prctica de la previsin didctica elaborada

Reflexione: estableciendo la distancia entre sus previsiones y el producto logrado, analizando sus intervenciones ante situaciones imprevistas, usando la informacin obtenida, como insumo para realizar ajustes y/o planificar prximas clases.

Cuarta parteQue el docente:

Elabore secuencias didcticas teniendo en cuenta:- los saberes que poseen los alumnos,- la complejizacin de las actividades, y tomando ejemplos del anlisis de los sentidos de la

suma y la multiplicacin Articule las secuencias a nivel institucional, estableciendo los acuerdos necesarios con sus colegas

Quinta parteQue el docente:

Ample su caja de herramientas para la organizacin de secuencias didcticas en el primero y segundo ciclos de la EGB

Reconozca en ejemplos la presencia del abordaje areal de la matemtica

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Primera parte

quienes mejor asumieron el desafo de compartir el rol protagnico con sus nios, quienes pusieron la nocin de proceso en el centro mismo de sus prcticas

y asumieron que si bien la maestra es quien ms sabe, los nios tambin tienen saberes provenientes de fuentes diversas,

y todos (incluida la maestra) pueden seguir su proceso de alfabetizacin, a condicin de que acepten utilizar el tiempo escolar para funcionar a su mejor nivel.

Yo he dicho insistentemente que un nuevo mtodo no resuelve los problemas. Pero la reflexin didctica es otra cosa.

Emilia Ferreiro.Mxico, mayo de 20011

El material que presentamos tiene la finalidad de contribuir al proceso de desarrollo curricular del rea de Matemtica en la Educacin General Bsica de la provincia de Buenos Aires, objetivo que se concreta, en cada institucin, a travs de la planificacin institucional y en cada aula, en las propuestas de los docentes.

Es importante sealar que a partir de un texto escrito no se resuelven los problemas de las prcticas docentes; sin embargo, esperamos que este represente una oportunidad para centrar la discusin y la reflexin del equipo docente y directivo alrededor de la enseanza de la matemtica en su escuela con miras a continuar con las prcticas que conduzcan a los nios al conocimiento de la matemtica de tal modo que el aprendizaje resulte funcional2 y si tuviesen la necesidad de cambiarlas, que encuentren una orientacin adecuada. En cada institucin se deber resolver entre la necesidad de continuar con las buenas prcticas de enseanza de la matemtica y modificar las incorrectas.

La funcin social de la institucin escolar es la de ensear. Cumplirla supone un largo proceso de construccin que requiere necesariamente de una coordinacin de la accin pedaggica y esta consiste, bsicamente, en la creacin de condiciones y situaciones que permitan el desarrollo de la capacidad no slo de los estudiantes sino tambin de los maestros y de todos los miembros de la institucin, para participar en la produccin de saberes y en la interpretacin y transformacin de cdigos culturales histrica y socialmente producidos.3

Cuando nos referimos a la coordinacin de la accin pedaggica, subyace el supuesto de que el proceso educativo es totalizador, o sea, que compromete a toda la institucin y no slo al docente frente al alumno.

1 Fragmento de Lerner, D., Leer y escribir en la escuela: lo real, lo posible y lo necesario, Mxico, Fondo de Cultura Econmica, 2001.

2 Que sepan cundo es oportuno ponerlos en prctica y tambin cmo utilizarlos.3 Fragmento tomado de Chaves, P., Gestin para instituciones educativas: un enfoque estratgico para el desarrollo

de proyectos educativos. Mdulo 2, Repblica Argentina, Buenos Aires, MCyEN, 1995.

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La planificacin curricular institucional y el rea de Matemtica

La planificacin institucional es una produccin propia, particular y especfica de cada institucin, elaborada por sus integrantes. En ella se explicitan y sintetizan propuestas de accin para alcanzar los objetivos que se persiguen. Es orientadora y brinda coherencia a la vida institucional.

En nuestro caso particular, para planificar en el rea de la matemtica, podemos plantearnos los siguientes interrogantes:

Por qu enseamos? Cul es nuestra misin institucional?

Qu concepciones guan nuestra prctica educativa?

Qu enseamos?

Qu aprenden nuestros alumnos?

Cules son nuestros problemas pedaggicos?4

Cules son nuestros recursos pedaggicos?

Se detectaron estudiantes que, en mayor medida, presentan necesidades educativas especiales, en relacin con el resto de los alumnos?

Cules son los lineamientos que acreditan el aprendizaje de los alumnos y de su promocin?

Cules son los saberes previos de nuestros alumnos, ya sean adquiridos en la escuela o informalmente?

Qu nos proponemos ensear?

Cmo?

Cul ser la organizacin de los tiempos y espacios?

Qu tipo de actividades nos proponemos realizar?

Cmo trabajaremos la interdisciplinariedad? 5

En relacin con la interdisciplinariedad, Claudi Alsina6 enuncia objetivos concretos que deberan considerarse en la educacin de la matemtica de los futuros ciudadanos y seala, entre otros conceptos, la necesidad de que se asegure, tambin en matemtica, una actitud positiva y una preparacin adecuada frente a estos temas.7

4 Entre otros, la repeticin de temas sin que se note una complejizacin de las actividades relacionadas con un mismo contenido; diferencias importantes en cuanto al nfasis relativo de los aprendizajes que deben realizar los alumnos en relacin con los diversos temas y con los diferentes componentes de los diversos campos temticos (de conceptos y procedimientos), lo que lleva, muchas veces, a la creencia de que la matemtica se compone de algoritmos solamente.

5 Organizar ciertos contenidos con una mirada matemtica hacia las otras reas, tales como Ciencias Naturales, Ciencias Sociales, Artstica y Lengua.

6 Reconocido educador matemtico espaol que visit la Argentina en varias oportunidades invitado por la OMA (Olimpiada Matemtica Argentina).

7 Algunos objetivos que propone: Conocer las caractersticas mtricas y proporciones del cuerpo humano y su evolucin en el crecimiento alomtrico tanto a nivel esttico como dinmico, conocer las matemticas subyacentes en los problemas nutricionales, ser capaz de planificar estrategias para disminuir la contaminacin, conocer el sistema monetario nacional y sistemas monetarios internacionales, conocer los recursos de empaquetado, envasado, relaciones de tamaos con formas y precios, saber apreciar las informaciones numricas o grficas que concurren en el desarrollo poltico, juzgando su nivel de credibilidad.

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No alcanza con que se traten los problemas relacionados con estos objetos, en los que se aplica la matemtica como herramienta. Suele ocurrir que se trabaja sobre saberes descontextualizados y no se vuelve a analizar, por ejemplo, la validez de las soluciones en la realidad. Claudi Alsina afirma que, entonces, los alumnos podrn resolver problemas de la clase pero no problemas de la vida. Cita un ejemplo concreto cuando se pregunta si saber restar es suficiente para saber dar un cambio, lo que algunos autores denominan la funcionalidad de los aprendizajes. Tal como expresa Davis Perkins: Existe una diferencia entre tener cierta informacin en la propia cabeza y ser capaz de tener acceso a ella cuando hace falta; entre tener una habilidad y saber cmo aplicarla; entre mejorar el propio desempeo en una tarea determinada y darse cuenta de que uno lo ha conseguido.8

Alsina propone no diluir los objetivos concretos en pequeos problemas al servicio de conceptos y procedimientos generales sino incluirlos en investigaciones y proyectos. Por ejemplo, si se decide analizar la cosecha 2004 de la cebolla en el distrito de Villarino, ser importante saber si la luz es ms cara en el zona rural o en la urbana y por qu?

Qu componentes y tipos de planificacin realizaremos? 9

Por qu, para qu, qu, cundo y cmo evaluar? qu funciones cumplir la evaluacin, quines sern los responsables, en qu momento se realizarn? qu instrumentos se utilizarn? cmo se utilizarn los datos obtenidos? cmo se comunicarn los resultados? a quines?

Estos interrogantes se pueden trabajar a nivel institucional en forma gradual, sin perder la visin integral y presentar una propuesta vinculada al rea de campos del conocimiento y, posteriormente, por ciclos, aos y secciones.

Cuando elaboramos la planificacin institucional en nuestra escuela,nos planteamos estos interrogantes?, u otros equivalentes?, cules?, nos hicimos otras preguntas?, nos haramos otras?, establecimos acuerdos?

Es importante destacar que, aunque no est escrita, siempre existe en las escuelas una planificacin institucional; una concepcin acerca de cmo ensear y de cmo se aprende; una idea del lugar que ocupan el alumno, el docente y el conocimiento; uno o ms enfoques en relacin con la enseanza ideas acerca de cules son los problemas y cmo utilizarlos y con qu objetivos; criterios, al menos implcitos, de seleccin y organizacin de contenidos y secuenciacin de actividades, etctera. Todos estos elementos constituyen la planificacin institucional.

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8 Perkins, D., La escuela inteligente. Barcelona, Gedisa, 1997. Sealamos otros conceptos de Perkins, pedagogo ingls: Es en parte el reconocimiento de esas diferencias lo que nos ha llevado a la idea de la metacognicin, o ms especficamente, de un conocimiento, unas experiencias y unas habilidades metacognitivas. El conocimiento metacognitivo es el conocimiento sobre el conocimiento y el saber, e incluye el conocimiento de las capacidades y limitaciones del pensamiento humano, de lo que se puede esperar que sepan los seres humanos en general y de las caractersticas de personas especficas en especial, de uno mismo- en cuanto a individuos conocedores y pensantes. Podemos considerar las habilidades metacognitivas como aquellas habilidades cognitivas que son necesarias, o tiles, para la adquisicin, el empleo y el control del conocimiento, y de las dems habilidades cognitivas.

9 Unidades didcticas, proyectos especficos, secuencias de actividades diferenciadas para la enseanza de algn contenido particular, actividades permanentes que se repiten a lo largo del ao escolar, planificadas en forma anual, bimestral o trimestral.

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Por qu ensear matemtica en la EGB?

Inicialmente podramos afirmar que la matemtica es una exploracin de la complejidad de ciertas estructuras de la realidad (ya sea cuantitativas que llevan a la aritmtica, como espaciales que llevan a la geometra y a la medida), desarrollada de esta manera desde hace siglos.

Algo de historiaSe conocen aportes matemticos de pueblos que precedieron a los griegos como los sumerios, los babilonios, los egipcios, pero todos de carcter prctico, reglas simples y desconectadas entre s. En la cultura griega del siglo VI a.C. se gest la matemtica con caractersticas muy semejantes a las que presenta la que practicamos en la actualidad: el conocimiento por la persuasin, la argumentacin.Para los pitagricos era algo ms: un instrumento para entender cmo todo es armona y nmero en el universo. Rechazaron las doctrinas tradicionales, las fuerzas sobrenaturales, los dogmas y dems trabas para el pensamiento. Fueron los primeros en examinar el aparente caos del universo y llegaron finalmente a la doctrina de que la naturaleza est ordenada y funciona de acuerdo con un vasto plan. Descubrieron algunas leyes de la naturaleza.

Para Platn y los neoplatnicos, para el renacentista Kepler y algunos contemporneos nuestros como Poincar y Hardy la matemtica es una forma de creacin de belleza intelectual. Para ellos la actividad matemtica es una amalgama entre el reconocimiento del orden presente en el universo, la creatividad y la belleza. All se encuentra su valor educativo ms profundo, ms que en el mero dominio de tcnicas matemticas.

La matemtica forma parte de la cultura10 humana y como tal debe ser accesible a todos. Debe ser una oportunidad de evolucin para las personas y no un obstculo en la vida de las mismas.

Hoy en da no es posible concebir la accin de un arquitecto, de un ingeniero, de un trabajador cualquiera de la construccin, de un economista, de un comerciante, de un industrial, de un fabricante, de un vendedor, de todo el engranaje de la industria y el comercio, sin el auxilio de la matemtica y de las computadoras, que es hablar tambin de la matemtica. Sin embargo, a pesar de que es mucho, no lo es todo; si solamente se atienden las cuestiones de utilidad prctica para las que sirve eficazmente, la formacin integral del hombre se descuida y se realiza de manera incompleta.

Aunque la alta aplicabilidad de la matemtica, el hecho de que sea capaz de explicar satisfactoriamente estructuras complejas de la fsica, la qumica, la biologa, la economa, la sociologa, hace olvidar las limitaciones profundas del pensamiento matemtico, es conveniente recordar que el ser humano es mucho ms profundo que lo que cualquier estructura matemtica puede abarcar. Justamente, lo que le permite dominar algunos aspectos de la realidad, pero nunca la totalidad, consiste en considerar ciertos aspectos y no todos, entre los que pueden quedar afuera algunos que resulten importantes para el hombre como tal.

El pensamiento matemtico llega hasta donde puede y no resulta adecuado que vaya ms lejos; tanto en el tratamiento de las ciencias como en nuestra vida cotidiana, no todo se puede explicar con cifras y formalismos matemticos.

10 Se considera cultura, en un sentido general, a toda produccin humana.

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A pesar de las limitaciones mencionadas, nadie duda de la importancia de la matemtica y de la relacin que tiene con los problemas, acciones, tareas que a diario se deben resolver, y de all la importancia de que forme parte de la currcula de la EGB. Entre las actividades que se realizan a lo largo del da, muchas de ellas se relacionan con contenidos matemticos, tales como: al estacionar un auto se hace uso de las nociones espaciales, al buscar en el diario las variaciones de temperatura se estn leyendo cuadros estadsticos, al analizar el recibo de sueldo o al contar las monedas para el colectivo se realizan clculos aritmticos, al interpretar un mapa de rutas se ponen en movimiento conocimientos relacionados con la medida y con la proporcionalidad, etctera.

Otras ciencias utilizan la matemtica como su lenguaje, tambin usan sus mtodos y sus estructuras. En la actualidad, son los modelos matemticos los que permiten resolver problemas en otros campos cientficos. As, modelizar una situacin consiste en representar los objetos de la misma y sus relaciones mediante el lenguaje matemtico, transformndola en un problema matemtico. Luego se resuelve el problema dentro de la matemtica y, por ltimo, se verifica si los resultados obtenidos tienen sentido en la situacin inicial. De no ser as, se buscar otro modelo matemtico que se adecue mejor a la situacin original.

En sntesis:

Los conocimientos matemticos son construcciones a las que ha llegado el hombre despus de recorrer largos caminos, dado que el entorno dinmico y cambiante le fue planteando diferentes problemas que generaron nuevas respuestas, diferentes formas de resolucin, diferentes habilidades que produjeron nuevos conocimientos.

El avance de la matemtica puede concebirse como una permanente bsqueda de nuevas respuestas ante los diferentes problemas que provienen de s misma, de la realidad y de su interrelacin con otras ciencias o disciplinas como la fsica, la qumica, la ingeniera, a las que se la vincul desde sus orgenes, pero tambin a la economa, la biologa, la medicina, la sociologa, la psicologa y hasta la lingstica.

La matemtica permiti y permite al hombre interpretar, representar, explicar, predecir y resolver los problemas que le plantea su entorno, es lo que suele denominarse el punto de vista instrumental

Hasta el momento hemos hecho referencia a los valores instrumentales y culturales de la matemtica.

La matemtica como parte de un proceso evolutivo no permanece esttica, es una actividad humana especfica orientada a la resolucin de los problemas que le surgen al hombre en su accionar sobre el medio. Por lo tanto, los saberes matemticos no son fijos e inamovibles sino que se transforman al ser utilizados por otros hombres, en otros tiempos, en otros grupos sociales, debido a otras necesidades, en condiciones diferentes aquellas en las que se crearon. Puede afirmarse que la matemtica es una produccin cultural, diferentes sociedades producen diferentes matemticas. Es un objeto cultural inserto en un proceso histrico y social determinado.

Los cambios sociales, histricos, tecnolgicos traen aparejados cambios en las utilidades de la matemtica. Por ejemplo, existiendo un uso bastante generalizado de las calculadoras de bolsillo, es til saber manejar los algoritmos? El concepto de divisin sigue siendo importante, las propiedades, tambin el mtodo, porque se usa despus en la factorizacin de polinomios. En la actualidad, quiz se necesite saber menos matemtica algortmica y, en cambio, alcanzar/desarrollar ms acerca de la comprensin de conceptos e ideas matemticas ms generalizadas.

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Las diferencias culturales deberan tenerse en cuenta en la escuela. En ella, en general, se ignoran los conocimientos, intuiciones, ideas que los nios traen. Todos los grupos socioculturales poseen variadas herramientas para clasificar, ordenar, cuantificar, medir, comparar, etctera, en sntesis, un amplio desarrollo matemtico.

La escuela debera tender puentes entre esos conocimientos informales que los nios adquirieron en el intercambio con sus padres, sus hermanos, sus amigos, sus vecinos y los conocimientos escolares formales. De lo contrario, los nios pueden considerar que la matemtica que aprenden en la escuela les sirve solo para resolver problemas de la escuela, sin reconocerla en la resolucin de problemas que se le puedan plantear en su vida cotidiana.

Mucha informacin se suministra, se comunica, se intercambia y se debe analizar en trminos matemticos, por ejemplo: discutir la relacin entre fumar y la probabilidad de adquirir cncer de pulmn, debatir sobre la proporcin del PBI que destina el estado a la educacin, expresar la diferencia de acceso al uso de bienes tecnolgicos entre los diferentes estratos de la sociedad, entre otros.

Por ello decimos que la matemtica posee un valor social.

Juntamente con otras disciplinas, la matemtica posibilita la construccin del pensamiento lgico necesario para organizar, seleccionar, sistematizar la informacin que se nos suministra y para relacionar, integrar, inferir conceptos, ideas, principios matemticos. Esta es su ms reconocida funcin. Muchos afirman que la matemtica ensea a pensar. Sin embargo, esto sucede siempre? En realidad, siempre que demos a nuestros alumnos la oportunidad de hacerlo.

La matemtica tambin tiene un valor formativo.

Brousseau11 afirma que la matemtica constituye un dominio en el que los nios pueden aprender los rudimentos de la gestin individual y social de la verdad, las reglas sociales del debate, la toma de decisiones, cmo convencer respetando al interlocutor, cmo dejarse convencer contra su deseo o inters, cmo renunciar a la autoridad, a la seduccin, a la retrica, a la forma para compartir lo que ser una verdad comn.

Desde este punto de vista la matemtica puede colaborar en la formacin de actitudes democrticas si desde su enseanza se trabaja para ello.

Es as como en razn de su valor instrumental, formativo, cultural y social las habilidades, competencias y conocimientos matemticos son necesarios para el desenvolvimiento del individuo dentro de la sociedad actual.

11 Especialista francs en didctica de la matemtica, que visit varias veces nuestro pas y que mantiene permanente contacto con grupos de investigacin de la Argentina.

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Para qu ensear matemtica en la EGB?

Algo de historiaEn cuanto a los aspectos curriculares, el currculo tradicional de matemtica fue puesto en prctica respondiendo a las necesidades de la revolucin industrial. En los primeros sistemas escolares, que datan de aproximadamente cien aos, se alfabetizaba en lectura, escritura y aritmtica en el nivel primario. En el siglo XIX, en el territorio que hoy ocupa la Repblica Argentina, hay claros ejemplos que muestran que ya en ese momento haba necesidad de transmitir a los nios ciertos contenidos matemticos. Se les enseaba a leer y escribir y rudimentos del clculo. Esta tradicin ha evolucionado a travs del tiempo. Ya nadie discute la demanda de incluir la enseanza de la matemtica en los niveles bsicos de la escolaridad superando la simple yuxtaposicin de conceptos.

Analizando la situacin actual, en muchas oportunidades no hay coincidencia ni claridad en la opinin de los docentes acerca de para qu sirve la matemtica. Al respecto, Delia Lerner seala que los padres son ms explcitos que los maestros cuando expresan que la matemtica sirve para todo:

para la vida diaria, para hacer clculos, presupuestos y sirve para contar pesos, para resolver problemas, se utiliza en el supermercado, pero adems

en contabilidad, en cualquier trabajo est la matemtica, si domins la matemtica se te facilitan otras materias, como fsica y qumica, se utiliza en el ftbol, en la comida, en la msica... en todo.

Estas respuestas dan idea de algunos de los contenidos que deben incluirse en los niveles educativos elementales.

Despus de consultar a importantes especialistas argentinos del rea de la matemtica y de su enseanza, se seleccionaron y concertaron en el Consejo Federal de Cultura y Educacin, en el ao 1994, los Contenidos Bsicos Comunes12 correspondientes a cada nivel educativo de la Repblica Argentina. Luego, cada jurisdiccin elabor su diseo curricular. La provincia de Buenos Aires distribuy en todas las escuelas el Marco General y las orientaciones curriculares de inicial y EGB en el ao 2002.

El propsito de la enseanza del rea es asegurar que el alumno aprenda en la escuela un bagaje de conocimientos matemticos junto con el desarrollo de las capacidades para que pueda seguir aprendiendo por s solo. Al mismo tiempo, es necesario que los estudiantes comprendan que el cuerpo de conocimientos matemticos fue elaborado por hombres de todas las pocas y pueblos y que la matemtica seguir crendose mientras exista el hombre. De esta forma, los alumnos podrn valorar la matemtica entendiendo el presente, sirvindose del pasado y pensando en el futuro.

Mas que el conocimiento especfico de determinados conceptos y tcnicas matemticas, lo que les servir para la vida a los futuros ciudadanos son ciertas capacidades bsicas que se desarrollan y consolidan mediante la actividad matemtica13.

12 Los Contenidos Bsicos Comunes constituyen el conjunto de saberes relevantes que integran el proceso de enseanza en todo el pas. Su exposicin tiene fines exclusivamente enunciativos y representan el medio estratgico para poder organizar un sistema educativo descentralizado e integrado. Esto implica que, si bien cada jurisdiccin define la forma para su organizacin, se asegura un nivel de formacin semejante en todo el pas y se garantiza la movilidad de los alumnos entre las distintas jurisdicciones.

13 Muchas de ellas no se desarrollan nicamente a travs del trabajo matemtico, aunque puede considerarse que es un mbito privilegiado para estos logros.

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Como ejemplos de esas capacidades podemos enumerar: explorar, buscar informaciones, clasificar, encontrar semejanzas y diferencias entre situaciones problemticas, analizar, plantear hiptesis, justificar, argumentar, generalizar, particularizar, explicar mediante analogas, expresarse con precisin, comunicar las propias ideas con claridad, intentar resolver situaciones nuevas con confianza en sus propias posibilidades, estar dispuesto a trabajar en conjunto y realizarlo con eficacia.

Como se afirma en un documento del Consejo General de la provincia de Buenos Aires14: ...la educacin matemtica tiene fundamental incidencia en el desarrollo intelectual de los alumnos. El mtodo particular de acceso al conocimiento matemtico favorece el desarrollo de capacidades cognitivas necesarias para utilizar diversos caminos de razonamiento en la resolucin de problemas. En el mismo documento se afirma que el eje de la actividad matemtica lo constituyen las competencias de resolucin de problemas y es en ellas que confluyen y se integran las capacidades cognitivas antes mencionadas. Estas posibilitan la apropiacin del saber matemtico como herramienta y colaboran en la estructuracin del pensamiento mediante el desarrollo del razonamiento lgico.

Aunque al fijar los objetivos generales de la enseanza de la matemtica en los diferentes ciclos y/o niveles se hayan tenido en cuenta sus usos y aplicaciones, nuestros alumnos de la EGB, sern capaces de reconocer y usar en su vida adulta los aprendizajes adquiridos en la escuela? Nuestra responsabilidad es que esto ocurra.

La relacin entre la cultura y la matemtica que debemos ensear en la escuela

Tal como lo expresamos anteriormente, la matemtica es una produccin cultural. Distintos grupos sociales producen diferente matemtica pues la crean para responder a variadas necesidades. Cmo pueden los docentes establecer puentes que relacionen los conocimientos que los nios y jvenes adquirieron de manera informal, con los saberes escolares (universales)?

Antes de continuar con la lectura de este texto, plantense cmo podran establecerse los puentes entre los conocimientos informales y los saberes escolares. Los docentes que ya experimentaron en este tema pueden aportar su experiencia y dar ejemplos.

Sinteticen los productos de las Actividades 1 y 2 y establezcan las relaciones que puedan surgir del anlisis de esta primera parte del documento.

Comparen el producto de la actividad anterior con la expresin de Gelsa Guikjnik15:

Para quin ensear matemtica puede cambiar el para qu.

actividad 2

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14 Resolucin 13.271 del Consejo General de la provincia de Buenos Aires.15 Educadora e investigadora matemtica brasilea.

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Como aporte a la tarea propuesta, diremos que adems, la misma autora reflexiona sobre la relacin existente entre cultura y pedagoga matemtica, entre saber acadmico y saber popular. Su propuesta, que parte de una investigacin en medios rurales de Brasil, consiste en que el aprendizaje de las matemticas sea viabilizado a partir de la interpretacin y codificacin de las matemticas populares pero reconoce, recprocamente, que la apropiacin de las matemticas de los libros es lo que posibilita la comprensin de las prcticas matemticas populares. Cuando se establece una articulacin de los saberes locales (del contexto en el que viven los alumnos) con los ms generales (universales), se constituye un saber-sntesis.

Contextualizar los saberes universales no es tarea fcil, consiste en un delicado trabajo de compromiso docente, pero le da sentido a esos conocimientos y, de este modo, los alumnos sentirn que el docente valora los saberes de su entorno, de su comunidad. Siguiendo a Beyer y Liston, 1993: lo local puede iluminar lo ms general, y lo ms global puede aumentar nuestra sensibilidad hacia lo ms particular.

Un ejemplo de estos saberes est representado por el mtodo que utilizan los albailes para determinar si los ngulos de una ventana son rectos. Miden 60 centmetros sobre un lado y 80 sobre el otro, al unir ambos extremos se obtiene el tercer lado de un tringulo que debe medir 1 metro para que el ngulo que determinan los dos primeros sea recto. No es otra cosa que un ejemplo prctico del conocido teorema de Pitgoras. 16

Reconocer nociones o propiedades matemticas en diferentes contextos sociales no es tarea fcil, pues se debe comprender cmo razonan el nmero, las operaciones o la medicin en esos grupos sociales y para entender esto es necesario comprender su cosmovisin.

Por ejemplo, los kpelle, un pueblo de Liberia, no miden las distancias largas utilizando palos ni objetos ni palmos sino que las describen en trminos del tiempo que lleva recorrerlas.

Si los educadores en matemtica tienen en cuenta las diversas concepciones, las diferentes maneras de comprender el mundo (por las variaciones culturales, encarnadas en diferentes modos de crianza, las variaciones propias de la edad y los matices dados por las variedades de desarrollo, variaciones socio-econmicas, laborales, de gnero, entre otras), seguramente habr menos fracasos en la escuela. De este modo se reconoce al contexto extraescolar, cualquiera sea, como productor de saberes significativos, saberes que los equipos docentes, necesariamente, debern tener en cuenta a la hora de planificar el rea de matemtica en su institucin.

El ida y vuelta entre las matemticas escolares y las informales har que la enseanza de la matemtica pueda contribuir a abrir caminos de reflexin conjunta, de conocimiento recproco, de valoracin de todas las culturas e historias familiares, de diferentes pueblos, de diferentes pases, en sntesis, ciudadanos ms comprensivos y ms tolerantes.

16 En nuestro medio, el mtodo del albail fue investigado por Gema Fioriti, especialista argentina en didctica de la matemtica.

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Segunda parte

El abordaje de la matemtica como rea

En la provincia de Buenos Aires el modelo de organizacin de contenidos se estructura en reas. En este modelo, el rea Curricular es una estructura que integra contenidos, expectativas de logro, estrategias metodolgicas, recursos, actividades y formas de evaluacin. La justificacin de la eleccin de esta organizacin depende de distintos factores: epistemolgicos, pedaggico-didcticos y pragmticos17, aspectos que se explicarn ms adelante.

La relacin entre los ejes propuestos en el Diseo Curricular bonaerense se verifica, por ejemplo, mediante el abordaje de problemas que, aunque de origen aritmtico, para su solucin, admiten el uso de diagramas o figuras (modelos geomtricos). En este caso se relacionan el eje Nmero y Operaciones con el eje Nociones Geomtricas. Mencionamos otros ejemplos: los modelos de rea para representar fracciones -como rectngulos que representan terrenos que se cultivan-, la recta geomtrica para representar conjuntos numricos, los grficos estadsticos, etc. Algunos autores sealan que muchos alumnos piensan en palabras, mientras otros lo hacen en imgenes; entonces, deben utilizarse formas mltiples para comunicar las ideas matemticas, de manera de mantener presente la diversidad de formas de pensamiento.

La interrelacin se produce, tal como explicamos anteriormente, por las diferentes presentaciones de un mismo concepto dentro de la matemtica, pero tambin puede ocurrir que un mismo concepto, como el de proporcionalidad, se relacione con diferentes ejes temticos de la matemtica. La proporcionalidad directa est directamente vinculada con la semejanza (la construccin de escalas, planos, mapas y maquetas, los cambios de escalas) y los porcentajes utilizados en estadstica. Otras vinculaciones aparecen en las recetas de cocina, en la composicin de los alimentos, en la administracin de los medicamentos y en los repartos proporcionales con algn criterio.

Muchos problemas de medidas conducen a los alumnos a la comprensin de la proporcionalidad, tanto directa como inversa. Cuando se miden diferentes objetos con una misma unidad se obtiene la proporcionalidad directa. En cambio, al medir un mismo objeto con diferentes unidades se obtiene una relacin de proporcionalidad inversa. Las equivalencias de unidades se obtienen mediante relaciones de proporcionalidad inversa. (Vase Anexo I).

La proporcionalidad se relaciona con otras reas del conocimiento, tal como las ciencias sociales y las naturales. Planos, mapas y grficos estadsticos se utilizan en las ciencias sociales; de esta forma, la matemtica proporciona la herramienta para resolver algn problema planteado desde esta disciplina, que a su vez aporta el contexto que le da sentido y significacin al contenido matemtico. Las simetras, el estudio del crecimiento de poblaciones o de individuos de alguna especie, son ejemplos del vnculo entre los conocimientos matemticos y las ciencias naturales.

17 Consejo General de Cultura y Educacin. Documento Curricular N 2 , Buenos Aires, 1996.

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Piensen una situacin que pueda ser resuelta desde diferentes ejes y escriban la consigna correspondiente.Aclaren cules son los contenidos involucrados de cada Eje y el ao de la EGB en que se podra poner en prctica para que represente un problema.

Esta propuesta de relaciones entre ejes temticos y de contenidos de los ejes responde al modelo de organizacin por reas planteado en el diseo curricular provincial, que se diferencia de otras organizaciones en las que se toma la matemtica como materia o como disciplina.

Cuando en los fundamentos del Marco General, en las consideraciones sobre la concepcin de la enseanza, se habla del enfoque globalizador, se plantea una forma de captacin de la realidad en la que se comprende el todo, en la interaccin de las partes que lo conforman, una mirada totalizadora que requiere la construccin de sentido desde el punto de vista del sujeto que aprende, en este caso, el alumno.

Tambin se puede considerar la globalizacin desde el diseo de situaciones que elabora el docente, particularmente en relacin con la organizacin de los contenidos. Esta organizacin debera partir de una situacin prxima a la realidad del alumno, que le resulte interesante y que le plantee cuestiones ante las cuales tienen que encontrar una respuesta, es decir, los problemas. En cualquier unidad de intervencin pedaggica (unidades didcticas, secuencias didcticas, proyectos) es en los problemas en los que aparecen los diferentes aspectos de los contenidos. La diversidad de aspectos que permiten poner en juego los diferentes problemas posiblitan la adquisicin de variadas significaciones de los conceptos. Por ejemplo, el concepto divisin en los nmeros naturales comprende algunos de los siguientes aspectos: la divisin como reparto, que es prcticamente la nica que se ensea en la escuela, como particin en partes iguales, como proporcionalidad, organizaciones rectangulares, combinatoria. Todos los problemas posibles relacionados con estos aspectos se deben proponer a los alumnos.

Ese conjunto de propuestas con una secuencia adecuada y acordadas por el equipo docente, junto a la interaccin social de los alumnos y las diferentes intervenciones del docente, configuran las prcticas con las que cada alumno construir el sentido de ese concepto.

Enfoque didctico del rea

No hay nada ms bsico en una disciplina que su modo de pensar. No hay nada ms importante en su enseanza que proporcionar al nio una temprana oportunidad para aprender ese modo de pensar: las formas de relacionar, las actitudes, anhelos y bromas y decepciones que la acompaan. En una palabra: la mejor introduccin a un tema es el tema en s. Desde el primer momento, el joven estudiante debe tener oportunidad de solucionar problemas, hacer conjeturas, oponerse tal y como todo ello se lleva a cabo en el fondo de la disciplina. Cmo puede lograrse?

Jerome S. Bruner. Hacia una teora de la instruccin

Las prcticas generalizadas en el primero, segundo y tercer ciclo de la EGB ponen en evidencia que los docentes hacen, en general, uso del problema como medio o recurso de aplicacin de los contenidos disciplinares. En muy pocos casos se parte del planteo de situaciones problemticas para la enseanza de nuevos contenidos y ms escasa es an la discusin y la reflexin sobre los problemas y la enseanza de la resolucin de estos.

En la enseanza de la matemtica tradicional el problema se ubica al final de la secuencia de aprendizaje, se considera al docente como el depositario de los saberes que se aprenden por

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repeticin y memorizacin de las nociones matemticas, que el educador inicialmente introduce a travs de los ejercicios de aplicacin. El problema aparece al final de la secuencia didctica. Esto implica para el alumno utilizar lo aprendido y para el docente, controlar el aprendizaje de los alumnos.

En general, dentro de esta concepcin, se entiende por problema a los enunciados verbales en los que la incgnita est especificada, se ofrece la informacin especfica necesaria para calcular la respuesta, sugirindose un procedimiento correcto para hallar la solucin.

En el Diseo Curricular se sostiene que el enfoque central para la enseanza del rea es la resolucin de problemas. Sin embargo, a diferencia de cmo se utilizan los problemas en la enseanza clsica, se busca que la resolucin de problemas favorezca la construccin de conocimientos matemticos, en la medida en que estos conocimientos sean las herramientas para resolver los problemas propuestos. Este enfoque para la enseanza de la matemtica permite darle la oportunidad al alumno, de acuerdo con sus posibilidades, de comenzar a apropiarse del modo de produccin del conocimiento matemtico. A partir de resolver problemas puede utilizar saberes ya adquiridos, ampliar otros, inventar procedimientos, justificar la eleccin de determinadas estrategias, reflexionar sobre los nuevos instrumentos elaborados, buscar formas para representarlos, fundamentar el producto de la actividad realizada.

La resolucin de problemas, adems, debe ser considerada como un contenido a ser enseado, es decir, que se debe reflexionar, entre otros aspectos, acerca de:

la falta o sobreabundancia de datos para resolver el problema,

la pertinencia de las preguntas en relacin con el enunciado,

la formulacin de hiptesis,

la movilizacin de los saberes matemticos necesarios,

la planificacin de estrategias de resolucin,

la estimacin de resultados,

la validez de la solucin hallada,

el anlisis de las diferentes formas de expresin para comunicar tanto las estrategias utilizadas como los resultados.

Resumiendo: La transformacin sustentada para el rea se fundamenta en una concepcin de aprendizaje que busca la construccin de los conocimientos a travs de la resolucin de problemas.

Pero cabe preguntarse:

a. Todo problema es un problema?

b. Cules son las condiciones que debe cumplir una situacin para que posibilite a los alumnos aprender cierto concepto o procedimiento?

c. Cmo debe actuar el docente?

d. Qu exige la resolucin de problemas a los alumnos?

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Las preguntas a y b sern abordadas en esta segunda parte y dejaremos las preguntas c y d para la tercera parte.

Pregunta a: Todo problema es un problema?

Si bien coexisten diferentes definiciones acerca de lo que es un problema, podemos acordar, en principio, que un problema es todo aquello que genere un obstculo a vencer, toda situacin para la cual no se disponga de una respuesta inmediata, cuando un alumno no encuentra inmediatamente un camino que le permita relacionar los datos del problema con la respuesta que finalmente quiere dar, etctera.

Tipos de problemas

Todos los problemas no son iguales; podemos en principio sealar tres grandes tipos:

a. los que permiten construir y dar significado a nuevos recursos matemticos;

b. los que permiten la reinversin de los conocimientos en otros contextos, favoreciendo la resignificacin, incluyendo tambin los que permiten controlar su adquisicin; y finalmente,

c. los que podramos llamar de investigacin, donde la bsqueda es ms libre y no se conoce a priori un procedimiento estndar de resolucin. (Vase Saiz, I., Fuentes para la transformacin curricular. Buenos Aires, MCyEN, 1994).

Roland Charnay seala una tipologa de problemas que ampla la anterior, caracterizada por los objetivos de aprendizaje que se persiguen:

los problemas destinados a involucrar a los alumnos en la construccin de nuevos conocimientos (a menudo llamadas situaciones-problema);

los problemas destinados a permitir a los alumnos la utilizacin de los conocimientos ya estudiados (a menudo llamados problemas de reinversin);

los problemas destinados a permitir a los alumnos la extensin del campo de utilizacin de una nocin ya estudiada (llamados a veces problemas de transferencia, con toda la ambigedad de esta palabra);

los problemas ms complejos en los cuales los alumnos deben utilizar conjuntamente varias categoras de conocimientos (a veces llamados problemas de integracin o de sntesis);

los problemas cuyo objetivo es permitir al docente y a los alumnos conocer el estado de conocimientos (problemas de evaluacin);

los problemas destinados a poner al alumno en situacin de investigacin y por lo tanto de desarrollar competencias metodolgicas (problemas abiertos).18

El autor seala las limitaciones de esta tipologa; ya que no todos los problemas quedan representados en esta clasificacin, pero adems:

18 Charnay, R., Problme ouvert, problme pour chercher, en Grand N, N 51, Grenoble, IREM, 1993.

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Un mismo problema, segn el momento en que sea presentado puede pertenecer a una u otra de las categoras.Un gran desafo para los docentes es mantener un buen equilibrio en la presentacin de los diferentes tipos de problemas y asegurar a la vez, a lo largo de la escolaridad, el logro de un aprendizaje significativo de la matemtica.

Para esta actividad, vase el Anexo II, en el que se reproduce la Unidad 3 Las Operaciones del Manual Plus 5, rea Matemtica.19 Analicen la secuencia presentada por las autoras y cmo utilizan los problemas. Adems, especifique la categora segn la clasificacin anterior.

Para los Directivos:Analicen los problemas que los docentes de su escuela utilizan y establezcan la clase ms frecuente. Elaboren las orientaciones que pueden brindar a los docentes para que usen otros tipos de problemas con mayor frecuencia.

Pregunta b: Cules son las condiciones que debe cumplir una situacin para que posibilite a los alumnos aprender cierto concepto o procedimiento?

Para asegurar ciertas relaciones del alumno con el conocimiento y llevar a cabo un trabajo como el que se propone, es necesario seleccionar las situaciones problemticas con ciertas condiciones. Regine Douady enuncia algunas de ellas:

a. El enunciado tiene sentido en el campo de conocimientos del alumno.

b. El alumno debe poder considerar lo que puede ser una respuesta al problema. Esto es independiente de su capacidad para concebir una estrategia de respuesta o la validacin de una propuesta.

c. Teniendo en cuenta sus conocimientos, el alumno puede iniciar un procedimiento de resolucin, pero la respuesta no es evidente, esto quiere decir que no puede proveer una respuesta completa sin desarrollar una argumentacin que lo conduce a preguntas que no sabe responder inmediatamente.

d. El problema es rico, esto quiere decir que la red de conceptos involucrados es bastante importante, pero no demasiado para que el alumno pueda abarcar su complejidad, si no solo, por lo menos en equipo o en el seno del equipo o de la clase.

e. El problema es abierto por la diversidad de preguntas que el alumno puede plantearse o por la diversidad de estrategias que puede poner en accin.

f. El conocimiento que se desea lograr con el aprendizaje es el recurso cientfico para responder eficazmente al problema. Dicho de otro modo, es un recurso adaptado a la situacin.20

actividad 5

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19 Cf. Manual Plus 5, Buenos Aires, Plus Ultra, 1995 pp. 491 a 502. Los captulos del rea de Matemtica fueron escritos por Lucrecia Iglesias, Mnica Agrasar de Copello y Norma Sanguinetti de Saggese.

20 Douady, R., Rapport enseignement apprentissage: dialectiques outil-objet, jeux de cadres, en Cahier de didactique des mathmatiques, N3, IREM, Universit Paris VII.

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Las nociones de complejidad y apertura son relativas al alumno. Un problema es rico y abierto para una clase si lo es para la mayora de los alumnos.

Adems, las condiciones c), d) y e) impiden que el problema sea recortado en preguntas demasiado pequeas.21

Damos un ejemplo de cada una de las cualidades.

Enunciar estas cualidades comunes a los buenos problemas tiene dos intenciones: por un lado, orientar la seleccin y el diseo de situaciones problemticas adecuadas; por otro lado, aportar pautas que permitan revisar crticamente y mejorar los problemas que habitualmente se presentan a los alumnos.

a. El enunciado tiene sentido en el campo de conocimientos del alumno. Es decir, los saberes que el alumno posee le permiten comprender de qu se trata (lo cual no significa que se le ocurra inmediatamente una solucin).

Por ejemplo, observemos un problema propuesto por una docente a sus alumnos de 7 ao, cuyo contexto era familiar para los alumnos, debido a que:

- En Ciencias Sociales estaban trabajando las civilizaciones antiguas: Roma, Grecia, Mesopotamia y Egipto. Su organizacin econmica, social, cultura, literatura, arte, etc. As citaron libros como La Ilada, La Odisea y La Eneida. Este ltimo fue el texto ms representativo del gnero pico en Roma. El poema relata las aventuras de su protagonista, Eneas, en su trayecto de Troya a Italia. Su autor, Virgilio, vivi entre los aos 70 y 19 a. C. y fue apadrinado por Mecenas, un noble ministro del emperador Augusto. El texto es un homenaje a este monarca, descendiente del hroe troyano Eneas. Los alumnos realizaron un breve anlisis del contenido de este libro.

El problema era el siguiente.

Actividad para los alumnos

En La Eneida, Virgilio cuenta cmo la reina Dido fund la ciudad de Cartago. Lleg con sus gentes al norte de frica y all compr a los habitantes de la regin un trozo de tierra, el que se pudiese limitar con una piel de toro. Dido hizo cortar la piel formando una gran tira y, extendindola sobre la tierra, determin una porcin de ella nada despreciable. As comenz Cartago. Qu forma le convena a Dido dar a la piel de toro sobre la tierra para obtener una parcela lo ms grande posible?

Antes de continuar con la lectura resuelvan el problema anterior.

En principio, el enunciado del problema sobre la fundacin de Cartago tiene sentido para los alumnos que disponen de la nocin de rea; quienes carecen de ella no pueden comprender qu es lo que el problema demanda.

b. El alumno est en condiciones de imaginar aquello que puede ser una respuesta al problema. O sea: est en condiciones de imaginar bajo qu condiciones el problema quedara resuelto. Carecen de esta cualidad aquellos problemas en que los alumnos se entregan a un activismo descontrolado (dibujan, hacen cuentas, usan los resultados obtenidos para hacer nuevas

21 Saiz, I., Fuentes para la transformacin curricular, Buenos Aires, MCyEN, 1994.

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cuentas), hallan la solucin, pero no la reconocen como tal, se pasan de largo, se sorprenden cuando el docente les seala que ya est; o aquellos problemas en los que, por el contrario, los alumnos hacen un clculo o una figura, y los dan por resueltos, aunque no llegaron a la solucin que se requiere. Imaginar aquello que puede ser una respuesta es condicin necesaria para concebir una estrategia de resolucin, aunque no la garantiza.

En el ejemplo de la fundacin de Cartago, el producto que se espera como solucin al problema es la forma que le deben dar a la piel de toro para que ocupe la mxima superficie; reconocer qu es lo que se busca no equivale a saber cmo encontrarlo.

c. En funcin de sus conocimientos, el alumno puede comprometer un procedimiento, intentar un camino, atinar a hacer algo (aunque la respuesta no es evidente ni inmediata y el alumno no puede alcanzarla sin desarrollar una argumentacin que lo conduzca a ella a partir de los datos disponibles).

En el ejemplo, el alumno puede hacer varios dibujos geomtricos y buscar una unidad para comparar sus reas; tomar un hilo, formar distintas figuras y estimar las reas; realizar figuras geomtricas con permetros constantes, cuadricularlas y calcular el rea.

d. El problema aporta datos considerables. Esto quiere decir que la red de conceptos que incluyen es importante; a la vez, debe ser posible para el alumno abarcar su complejidad, si no lo hace solo, al menos en el seno del equipo o de la clase. En otras palabras: suelen ser poco problemticos los problemas centrados en un nico concepto.

El problema involucra conceptos tales como: figuras geomtricas, permetro mnimo, rea mxima.

e. El problema es abierto, por la diversidad de preguntas que el alumno puede plantear o por la diversidad de estrategias que puede poner en juego y por la falta de certidumbre que de esto resulta. Las situaciones que slo admiten un camino posible, un nico procedimiento de resolucin, una sola pregunta, no merecen llamarse problemas.

En el ejemplo considerado, resultan claves las preguntas que apuntan a detectar qu figuras geomtricas se pueden realizar, cual ser la que tendr mayor rea si utilizamos la misma medida de permetro. Con respecto a los procedimientos que el alumno puede utilizar, ya mencionamos algunos de ellos en el punto c).

f. El conocimiento al que se apunta en el aprendizaje es el medio cientfico de responder eficazmente al problema. Lo que el docente pretende ensear es el recurso o el instrumento ms adecuado para la resolucin, el ms eficiente, el que permite ahorrar tiempo y esfuerzo y, aunque otros recursos menos elaborados tambin sirvan para resolver el problema, justamente, la tarea del docente consiste en hacer progresar a los alumnos desde estos recursos menos sistemticos, menos formalizados, hacia el recurso que mejor se adapte a la situacin.

Volviendo al ejemplo: la nocin de crculo y la frmula que da el rea de esta figura son los recursos ms ajustados para tratar la situacin. Previamente el alumno comparar reas de distintas figuras.

Dada la siguiente situacin problemtica, diseada para alumnos de 7 ao analicen si se verifican las condiciones que deben cumplir los problemas, tal como las enunci Douady.

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En el dibujo estn representadas la escuela y el casco de la estancia El Guanaco, donde vive Juan. Todos los das, Juan hace el mismo recorrido para ir a la escuela. Hoy descubre que hay otro camino que tambin conduce a la escuela.1. Marc el camino ms corto con color. (Para esto no pods utilizar la regla).2. Cmo te diste cuenta de que es el ms corto? Busc una manera de demostrarlo.3. Con qu instrumento podramos medir el trayecto real que Juan recorre todos los

das? Subray los correctos: termmetro reloj regla graduada soga metro de carpintero pasos cinta mtrica vaso graduado cuentakilmetros del auto de tu pap.

4. Juan escucha varias indicaciones de su familia: Su hermano le dice que conviene seguir el camino en cuyo primer tramo hay que dirigirse hacia el sur.

Su mam le propone mirar el reloj y medir el tiempo que tarda en cada recorrido. De esta manera, sabr cul camino es el ms corto.

Su pap le sugiere ir en camioneta y poner el cuentakilmetros. Ests de acuerdo con la ayuda que le propone su familia? Justifica en cada caso.

5. Mirando el dibujo, si tuvieras que indicarle a un compaero dnde queda el casco de la estancia donde vive Juan con respecto a la escuela, te puede resultar til la siguiente indicacin? Sal de la escuela, dirigite hacia el sur, luego gir al este, y luego desviate hacia el noreste. Te vas a encontrar con una bocacalle donde tens que tomar el camino que va hacia sudeste y luego segu derechito hacia el norte. Cul de los caminos se est indicando? El trayecto A o el trayecto B? Cmo haras para indicarle a tu compaero el otro camino que conduce al casco?

6. Un alumno de 6 ao ide una estrategia para comparar la distancia entre los dos caminos. Utiliz una escala: 1 centmetro en el papel equivaldra a 20 kilmetros reales.Te parece acertada la estrategia que utiliz para saber cal es el camino ms corto?

a. Segn esta escala, cuntos kilmetros hay en cada trayecto? Cmo los calculaste? Este clculo te sirve para saber cules son los kilmetros reales entre la escuela y la casa de Juan?

b. La escala tambin podra ser esta: 1 cm = 150.000 cm? Por qu?7. Juan, con la ayuda de su pap, ya pudo solucionar su problema. El cuentakilmetros

de la camioneta dio los siguientes resultados: A =14,2 km B= 18,5 kmDe esta forma pudo verificar si lo que haba hecho antes estaba bien.

8. Estas son las medidas del trayecto A y B que encontraron los chicos de 8 ao. Las expresaron de la siguiente manera.

Escuela

Estancia La Reforma

Estancia El Guanaco

Trayecto A

Trayecto B

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TRAYECTO A TRAYECTO B

14.200 m - 142 km - 142.000 dm 185 hm - 18 km y 5 hm

142 km - 14 km y 2 hm 1850 dam

1 km y 42 hm- 18 km y 12 hm

Ests de acuerdo con ellas? Marc las correctas.9. Si tuvieras que construir un camino ms corto desde la casa de Juan hacia la

escuela cmo haras?. Marcalo en el dibujo.10. Ahora que ya conocs la cantidad de kilmetros que hay en los dos trayectos que

comunican la casa de Juan con la escuela, constru un plano utilizando una escala adecuada.

11. Marc en el plano anterior el tercer camino, o sea el ms corto. Calcul segn la escala que utilizaste anteriormente la cantidad de kilmetros que hay.

12. Imaginate que este plano est dibujado sobre papel cuadriculado y que el origen de coordenadas est en la estancia La Reforma. Cules seran las coordenadas de la escuela y de la casa de Juan?

No es suficiente plantear a los alumnos resoluciones espordicas de problemas ni presentar una o dos situaciones aisladas para construir condiciones favorables para el aprendizaje.

Es necesario construir progresiones, secuencias de situaciones en la que se involucren la mayor cantidad de contenidos posibles, de manera tal que permitan a los alumnos una construccin progresiva de procedimientos y que puedan reutilizarlos o mejorarlos en otras situaciones.

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Tercera parte

Hasta ahora tratamos todo lo relacionado con los problemas y las condiciones que deben cumplir. En esta parte, analizaremos las acciones del docente y de los alumnos dentro del marco del enfoque de resolucin de problemas.

Pregunta c: Cmo debe actuar el docente?

En lo trabajado hasta este momento22 se ha perfilado el importante rol que debe jugar el docente en el enfoque para la enseanza de la matemtica, en el mbito de la provincia de Buenos Aires.

Es conveniente que el docente:analice los diferentes contextos de uso de los conceptos con los que trabajar; seleccione las situaciones que presentar a los alumnos; analice y prevea las formas de organizacin que establecer en la clase; anticipe las posibles formas de representacin y los procedimientos que utilizarn los alumnos ; considere los errores que puedan cometer y las intervenciones que debera realizar a partir de estos o de los procedimientos que pusieron en juego los alumnos para analizarlos y jerarquizarlos; promueva que los procedimientos ms importantes pasen al dominio de todos; conduzca la clase; aliente a los alumnos; haga circular el saber entre estos, institucionalice23, etctera.

El anlisis de los contextos y de las situaciones En relacin con analizar los diferentes contextos de utilizacin del concepto que se decidi trabajar vamos a realizar un primer nivel de anlisis que exige desplegar, a propsito de un concepto que se desea ensear, un conjunto lo ms exhaustivo posible de problemas diferentes que este permite resolver.

Detengmonos, por ejemplo, en estos problemas para el tercer ciclo:

22 Para profundizar en el Anexo III se adjuntan guas de lectura de textos que, aunque sabemos conocidos, nos interesa focalizar en su lectura: Parra, C., Las poderosas reflexiones de los chicos, en Los CBC en la enseanza de la matemtica, Buenos Aires, A-Z editora, 1997. Charnay, R., Aprender (por medio de) la resolucin de problemas, en Didctica de la Matemtica, Buenos Aires, Paids, 1994.

23 El momento de institucionalizacin es cuando el maestro remarca a sus alumnos el producto que han obtenido.

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Si hoy es mircoles, qu da de la semana ser dentro de 1052 das?

Busc cuentas de dividir en las cuales el cociente sea 150 y el resto 2 Cuntas hay?

Propon una cuenta de dividir en la que el divisor sea 7 y el resto 2 Hay una sola? Cuntas hay? Por qu?

En un galpn de empaque el elevador carga 150 bolsas de cebolla. Si quedaron dos bolsas sin cargar y se realizaron 7 viajes, cuntas bolsas haba? Cuntos viajes se deben hacer para trasladar las bolsas?

Se repartieron en forma equitativa etiquetas de cebolla entre los 7 embaladores y sobraron 2 Cuntas etiquetas tiene cada embalador? Cuntas etiquetas se repartieron?

Los cinco enunciados involucran la relacin entre dividendo, divisor, cociente y resto, es decir, D = C x d + R. Estos problemas involucran la divisin. Sin embargo, se trata de problemas muy diferentes para cuya resolucin resulta insuficiente conocer solamente la definicin de divisin. No pueden pensarse entonces en el momento de la enseanza- como meras aplicaciones de un concepto ya dado, sino como partes constitutivas de la significacin del mismo.

Ante un problema como el segundo, los alumnos buscan por ensayo y error los valores del dividendo y divisor. Solo algunos se dan cuenta de la relacin. En el primer ejemplo, es difcil que los alumnos reconozcan una divisin. Lo ms usual es que resuelvan la situacin analizando calendarios o restando de 7 en 7. Otra opcin sera, (como lo hizo un alumno de 7 ao) imaginarse el mismo problema con nmeros ms pequeos y despus generalizando llegar a realizar el mismo procedimiento en el problema propuesto. Se plantea entonces un desafo didctico: cmo favorecer que los alumnos den un salto desde este procedimiento muy antieconmico hacia el reconocimiento de la divisin involucrada? La divisin entera debe ser un objeto de trabajo en el tercer ciclo. La intencin es que los alumnos enfrenten una nueva variedad de situaciones a travs de las cuales deban volver a analizar la relacin D= C x d + R. En este ciclo, la divisin no solo permitir resolver problemas de reparto e iteracin, sino tambin, analizar y anticipar resultados. Es decir, se intentar que los alumnos puedan centrar el anlisis en las condiciones que cumple cada uno de los nmeros que intervienen en la frmula D = C x d + R (r < d) , haciendo explcitas ciertas caractersticas de la relacin. La pregunta anterior se puede generalizar:

Cmo pasar de las representaciones parciales y fragmentadas que tienen los alumnos del significado de un concepto a representaciones ms abarcativas y completas?Un primer aspecto es: brindar la oportunidad de emplear el concepto en cuestin en la mayor cantidad de situaciones diferentes para las cuales este es un instrumento adaptado. Pero esto no es suficiente; adems, es necesario: propiciar que los alumnos establezcan relaciones entre las distintas clases de problemas, de manera de entender por qu todos se resuelven utilizando el mismo concepto.

En otras palabras, los alumnos deben poder comenzar a responderse la siguiente pregunta: qu es lo que tienen en comn estos distintos problemas, dado que todos admiten una misma representacin matemtica?

Para ello ser necesario organizar actividades en las que el estudiante, a propsito de un conjunto de problemas:

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decida en qu casos el concepto sobre el que se est trabajando resulta adecuado para resolver el problema y en qu casos no,

proponga otros problemas parecidos a los que ya se analizaron,

clasifique los enunciados que aportan sus compaeros.24

Para el primero y segundo ciclo podran utilizarse propuestas del tipo de las que siguen.

Actividades para entregar a los alumnos

1. Laura tiene 18 pesos. Esto es 3 veces la cantidad de dinero que tiene Rosa. Cunto dinero tiene Rosa?

2. En la feria venden 3 manzanas por 1 peso. Irma compr 18 manzanas. Cuntos pesos gast?

3. Pablo tiene 3 pesos. Juan tiene 18 pesos. Cuntas veces la cantidad de dinero de Pablo es la cantidad de dinero de Juan?

4. Luis compr 18 pauelos y le costaron 3 pesos. En esa tienda, cuntos pauelos dan por 1 peso?

5. En una fiesta le regalaron 3 bolsitas de dulces a cada nio. Se regalaron 18 bolsitas. Cuntos nios haba?

6. Combinando sus pantalones y camisas Juan puede vestirse de 18 formas diferentes. Si tiene 3 pantalones, cuntas camisas tiene?

Aunque no son problemas de reparto, todos se resuelven mediante la operacin 18: 3. Desde la perspectiva de los problemas como aplicaciones de conceptos ya elaborados por los alumnos, son idnticos y se resuelven con la misma herramienta: la divisin. En cambio, desde el punto de vista de la comprensin de la situacin y de las posibles estrategias, tanto para el planteo como para su resolucin, los problemas de la lista anterior son diferentes entre s.

Si proponemos problemas diversos como los que anteceden, los alumnos establecen relaciones diferentes en cada caso. Esto permite mejorar y profundizar la comprensin del concepto divisin, lo que no sera posible solamente con la definicin o el algoritmo.

En primer lugar, en la redaccin de los enunciados no aparecen pistas, palabras que remitan a la operacin divisin; por otra parte, estos problemas presentan distintos universos a los que se refieren las cantidades y distintas relaciones entre ellos. Esto conducir a estrategias de solucin muy variadas:

En el primer problema, se necesita partir una cantidad (18 pesos) en tres conjuntos de igual cantidad de elementos y se desconoce la cantidad de elementos de cada conjunto.

En el problema nmero 3, aunque parece similar al anterior, se desconoce la cantidad de conjuntos pero se sabe cuntos elementos corresponden a cada uno. A diferencia del anterior, este problema se puede resolver tambin por restas reiteradas.

24 Parra, C., Saiz, I. y Sadovsky, P., La matemtica y su enseanza. Buenos Aires. PTFD, MCyEN, 1994.

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El problema nmero 5 es anlogo al 3 en cuanto a este anlisis, pero involucra ms de un universo.

Los problemas 2 y 4 presentan dos universos relacionados. La presencia de la unidad en ambos enunciados seguramente sugerir planteos y estrategias de solucin muy diferentes a los casos anteriores.

El problema nmero 6 presenta varios universos y es un caso de combinacin. En cuanto a las estrategias, lleva a trabajar con diagramas con flechas as como tambin con tablas de doble entrada.

Los diferentes procedimientos resolucin empleados por los alumnos, acompaados por la intervencin del docente, conducirn al reconocimiento de todos estos problemas como problemas de divisin.

Como suele suceder, para que un maestro pueda realizar este tipo de trabajo con sus alumnos, necesita disponer de las herramientas adecuadas:

haber investigado algunos contenidos y realizado un anlisis exhaustivo de los tipos de problemas en los que el contenido es reconocido como el medio de solucin;

haber tomado conciencia del papel que este anlisis juega en el proceso de reorganizacin del conocimiento;

acceder a este anlisis de manera autnoma por ejemplo, a travs de la lectura de producciones de la didctica de la matemtica para otros contenidos que no ha tenido la oportunidad de abordar en el momento de su formacin.

Construyan un listado, lo ms exhaustivo posible, de contextos en los que se utiliza el concepto de fraccin e indiquen cul es el significado de las fracciones en cada uno de ellos. Luego de elaborarlo, consulten y comparen sus propias respuestas con el documento de Malet, O., Ejemplos orientadores. rea de Matemtica, en Orientaciones para interpretar resultados y tomar decisiones institucionales La Plata, Programa de Evaluacin de la Calidad de la Provincia de Buenos Aires, Segunda Serie de documentos, DGCyE, 2001. (Vase Anexo IV).Otros textos que pueden consultar: Pujadas, M. y Eguiluz, L., Fracciones un quebradero de cabeza? Sugerencias para el aula. Buenos Aires, Ediciones Novedades Educativas, 2000.AAVV, La enseanza de las fracciones en la Educacin General Bsica. UNESCO, Buenos Aires, www.utenet.com.ar/planestrat/default1.htm, Publicaciones, Red de escuelas, Mdulos/informes, Fracciones).Revista En el aula Nro. 2, editada por el MCyEN, www.mcyen.gov.ar, Publicaciones.

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Los procedimientos de los alumnos

Es importante que el maestro anticipe los procedimientos25 de resolucin que utilizarn sus alumnos frente a una situacin dada, es importante destacar que este es uno de los controles de los cuales dispone el docente para asegurarse de que esa situacin es un problema, considerando que un problema es una situacin para la cual no se dispone inmediatamente del procedimiento convencional, a la hora de resolverlo.

Al plantear las primeras situaciones, con el objetivo de que el alumno se apropie de un conocimiento nuevo, aparecern procedimientos centrados en los conocimientos previos que ese alumno posee, ya que el mismo an desconoce la herramienta matemtica que el maestro le ensear en la fase de institucionalizacin.

En el proceso de resolucin, las estrategias que el alumno utiliza habitualmente debern aparecer como insuficientes de manera evidente, ya sea porque son muy costosas, porque conducen a errores o porque al confrontarlas con otras estrategias, desarrolladas por sus compaeros, aparecen como menos eficientes.

Al considerar la resolucin de cinco problemas de divisin para el tercer ciclo (p. 30) que se enunciaron precedentemente como ejemplo, se podra encontrar algunos alumnos que, en un primer momento, para el tercer ejemplo, intentaran resolverlo reproduciendo la situacin con nmeros ms pequeos; probando por ensayo y error; buscando valores para el dividendo, realizando la cuenta e intentando corregir, mediante ensayo y error, el valor del dividendo de manera de aproximarse a la solucin; o que atribuyan arbitrariamente un valor al cociente, lo multipliquen por el divisor y sumen el resto a este resultado para obtener el dividendo. Sin embargo, no puede esperarse que la mayora realice de entrada este procedimiento. Esta situacin muestra algo muy particular: la posibilidad que tienen los alumnos de aceptar que ellos pueden atribuir valores arbitrarios al cociente y analizar que estos valores son independientes del resto y del divisor. Este problema contribuye a una reconceptualizacin de la divisin entera, en la medida en que aparece la nocin de variable, es decir, se modifica el valor del cociente y por lo tanto el valor del dividendo. En el caso del primer problema, buscando un calendario, escribiendo todos los das de la semana, haciendo restas sucesivas, etc. Estos procedimientos, que pueden ser exitosos para resolver situaciones que involucran cantidades pequeas, se revelaran como insuficientes al ser generalizados a cantidades mayores; justamente es esta evidencia lo que promover el avance en los procedimientos y el acercamiento progresivo a las relaciones entre dividendo, divisor, cociente y resto.

Este aspecto remarca la diferencia entre el enfoque que propone comenzar enseando la relacin D = C x d + R para luego dar los problemas de aplicacin de eso que ya se sabe y el enfoque jurisdiccional de la didctica de la matemtica. Los problemas que se proponen en el enfoque tradicional admiten, en general, un solo procedimiento de resolucin.

Recordemos otro ejemplo, extrado de la bibliografa sugerida, en el que los nios de segundo han estado trabajando con problemas de suma y resta y la maestra les plantea un problema que dice:

25 Llamaremos procedimiento a la forma que el alumno utiliza para interpretar y tratar los datos del problema, segn Vergnaud, G. y Ricco, G., investigadores franceses en didctica de la matemtica.

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