Apostila 3 Pontes

Pontes – “Lajes de Pontes”

Prof. Aiello Giuseppe Antonio Neto

1

LLAAJJEESS DDEE PPOONNTTEESS Bibliografia: ♦ Kalmanok – “Manual para Cálculo de Lajes” ♦ Olsen Reintznuber – “Cálculo de Lajes de Pontes” ♦ Rusch – “Fahrbahnplatten von Strassenbrucken” ♦ Telemaco von Langendonk – “Lajes de Pontes” Observações: Olsen: apresenta superfícies de influência – é o mais completo;

Rusch: - apresenta as tabelas mais práticas para o cálculo de lajes de pontes; - apresenta coeficientes para o cálculo de momentos fletores em

tabelas a partir de superfícies de influência de outros autores; - é muito mais prático para o cálculo de lajes de pontes rodoviárias; - leva-se em conta a posição mais desfavorável da carga acidental; - considera o Coeficiente de Poisson (ν= 1/6); - aplicam-se as tabelas aos trens-tipo da NBR 7188, pois são

semelhantes aos da norma alemã, para os quais as tabelas foram elaboradas.

1. Quanto à forma As lajes podem ser retangulares (mais comuns) e triangulares. Em pontes são usadas as seguintes representações: Engaste Apoio Livre (sem apoio)



2

2. Quanto às cargas

As cargas a serem consideradas são: carga permanente e carga acidental. ♦ Carga Permanente: (KN/m2 ou tf/m2)

- peso próprio - pavimento

Para avaliação inicial do peso próprio adota-se a espessura das lajes: Pontes rodoviárias ............................................. L/20 ≥ 12 cm Pontes ferroviárias ............................................ L/10 ≥ 20 cm

Peso específico do concreto ............................. γ = 2,5 tf/m3

Peso específico do concreto asfáltico ............ γ = 2,0 tf/m3

Peso específico do concreto comum ................ γ = 2,2 tf/m3 Observações:

- L é o menor vão da laje; - para a avaliação da carga de pavimentação devemos conhecer a

espessura e o peso específico do material a ser utilizado.

♦ Carga Acidental: Para efeito de confecção das tabelas, Rusch fez uma simplificação

substituindo as cargas concentradas dos veículos-tipo correspondentes à retângulos, por quadrados equivalentes.

Exemplos: 50 cm b’= 31,6 cm

T.T. 45 tf 20 cm A = 1000 cm2 ................. b’= 31,6 cm

45 cm b’= 30 cm

T.T. 36 tf 20 cm A = 900 cm2 .................. b’= 30 cm

Admite-se ainda a seguinte distribuição das cargas concentradas: p = carga atrás e na frente do veículo p’ = carga lateral ao veículo



3

b’ t = b’+ 2ρ+ h ρ pavimento h/2 45 45 laje h/2 eixo da laje t

3. Cálculo dos Momentos Fletores Analisa-se para carregamento permanente e acidental. ♦ Carga Permanente:

Os momentos fletores devidos à carga permanente são dados pela fórmula: M = k. g. Lx2

onde: k = coeficientes das tabelas; g = carga uniforme;

Lx= comprimento do lado paralelo ao eixo x que está indicado nas tabelas. ♦ Carga Acidental:

Os momentos fletores devidos à carga acidental são dados pela fórmula: M = ϕ.P.ML + ϕ.p.Mp + ϕ.p’.Mp’

onde: ϕ = coeficiente de impacto da laje (usar o menor vão); ML, Mp e Mp’ = coeficientes das tabelas. Apresentação das Tabelas:

• são 104 tabelas; • parte A → explica o funcionamento, como consultar; • parte B → encontram as tabelas com os coeficientes.



4

PARTE B TRÁFEGO

TABELA NO.

TIPO DE LAJE

RELAÇÃO LY/LX

OBSERVAÇÕES

1 Y

X ∝ 1.1 - Mxm

1.2 - Mym Pág, 1

Pág, 2

Parâmetros de entrada nas Tabelas: t e Lx onde a = distância entre eixos = 2 m. a a

A entrada nas tabelas com os parâmetros t/a e Lx/a é feita para a obtenção dos coeficientes ML, Mp e Mp’. 4. Exemplos Numéricos

1. Fazer o dimensionamento da laje da ponte esquematizada abaixo:

1,00 3,00 1,00 SEÇÃO TRANSVERSAL

0,25 0,10 0,85 0,05 0,25 h 9,00 0,45

1,00 1,50 Dados:

- T.T.36 tf - aço CA 50

- altura da laje: h=12 cm 0,25 - espessura do pavimento= 4 cm 0,45 0,45 - fck 180 Kgf/cm2



5

• Cargas concentradas distribuídas num quadrado equivalente: 45 cm 30 cm 20 cm ................................................ b’=30 cm A= 900 cm2

• Tabela No. 1: y Lx = 9,00 m

TRÁFEGO x Ly = 3,00 m

• Parâmetros de entrada: b’=30 cm

t = 0,25 a ρ 4 cm TABELA h/2 45o Lx = 1,50 h/2 12 cm a t = 30+2x4+12=50 cm Observação: Para valores intermediários deve-se fazer a interpolação linear. Vão 1. Carga Permanente:

- peso próprio = 0,12 x 2,5 = 0,300 tf/m2 - pavimento = 0,04 x 2,2 = 0,088 tf/m2

g= 0,388 tf/m2

da tabela no. 1: - para Mxm ---------------- k = 0,125 - para Mym ---------------- k = 0,0208

sendo: M = kxgxLx2 - Mxm = 0,125 x 0,388 x 32 = 0,437 tf.m/m - Mym = 0,0208 x 0,388 x 32 = 0,073 tf.m/m



6

2. Carga Acidental: Sendo t/a = 0,25 e Lx/a = 1,50 (Tabela no. 1), tem-se:

- ML = 0,400 Mxm - Mp = 0,100 - Mp’ = 0,230

- ML = 0,220 Mym - Mp = 0,020 - Mp’ = 0,070

M = ϕ x P x ML + ϕ x p x Mp + ϕ x p’ x Mp’ onde:

P = 6 tf p = 0,500 tf/m2 p’ = 0,300 tf/m2 ϕ = 1,4 – 0,007 x 3,00 = 1,379 substituindo: Mxm = 3,474 tf.m/m Mym = 1,863 tf.m/m

3. Momentos Finais: Mxm = 0,437 + 3,474 = 3,911 tf.m/m Mym = 0,073 + 1,863 = 1,936 tf.m/m

4. Dimensionamento: Com os valores acima, devemos fazer o dimensionamento utilizando-se as tabelas próprias de concreto armado. Assim:

para Mxm= 391,11 tf. cm/m d= h-2 cm = 10 cm

kc=bxd2 = 100 x 102 = 25,57 Tabela muito baixo; fora da tabela. M 391,11 ∴ deveremos modificar a espessura da laje que está muito pequena.

� Observações: - usar as bitolas 10mm, 12,5mm, 16mm e raramente 20mm. - majorar as armaduras levando-se em conta a fadiga do aço.



7

Com Mxm=3,911 tf.m/m não foi possível fazer o dimensionamento. Teríamos duas alternativas: - aumentar o fck; - alterar a altura da laje.

Vamos então refazer o cálculo alterando a altura da laje para h=17cm. 1a. Carga Permanente:


g= 0,513 tf/m2 sendo: M = kxgxLx2

- Mxm = 0,125 x 0,513 x 32 = 0,577 tf.m/m - Mym = 0,0208 x 0,513 x 32 = 0,096 tf.m/m

2a. Carga Acidental: b’=30 cm

t = 0,275 a ρ 4 cm TABELA h/2 45o Lx = 1,50 h/2 17 cm a t = 30+2x4+17=55 cm

- ML = 0,395 Mxm - Mp = 0,100 - Mp’ = 0,230

- ML = 0,214 Mym - Mp = 0,020 - Mp’ = 0,070

M = ϕ x P x ML + ϕ x p x Mp + ϕ x p’ x Mp’ substituindo: Mxm = 6x1,379x0,395 + 0,500x1,379x0,100 + 0,300x1,379x0,230 = 3,423tf.m/m Mym = 6x1,379x0,214 + 0,500x1,379x0,020 + 0,300x1,379x0,070 = 1,813tf.m/m



8

3a. Momentos Finais: Mxm = 0,577 + 3,423 = 4,00 tf.m/m Mym = 0,096 + 1,813 = 1,909 tf.m/m

4a. Dimensionamento:

• para Mxm = 4,00 tf.m/m = 400 tf.cm/m

d= h-2 cm = 15 cm

kc= b x d2 = 100 x 152 = 56,25 Tabela fck 180 Kgf/cm2 ks=0,37 M 400

As = ksxM = 9,87 cm2/m d

fadiga: φ=M1–M2 x fyk M1 σ1 onde: M1 = maior momento fletor; M2 = menor momento fletor; fyk = 5.000 Kgf/cm2 (aço CA50); σ1 = tensão de referência da Norma: σ1 = 3.600/ϕ ϕ = 1 ............... para tráfego preponderante de cargas pesadas ϕ = 0,75 ........ para tráfego com cargas leves

Assim, para ϕ = 1 → φ = 4,00 – 0,577 x 5.000 = 1,19

4,00 (3.600/1)

∴ Asxφ= 9,87x1,19=11,73 cm2/m → adotado φ 16mm ∴ φ 16mm c/ 17 cm n = As = 11,73 e = 100 2 2 n

• para Mym = 1,909 tf.m/m = 190,9 tf.cm/m

d= h-2 cm = 15 cm

kc=bxd2 = 100 x 152 = 115,86 Tabela fck 180 Kgf/cm2 ks=0,35 M 190,9



9

As=ksxM = 4,53 cm2/m d

fadiga: φ=M1–M2 x fyk = 1,297 M1 σ1

∴ As x φ = 5,87 cm2/m → adotado φ 10mm ∴ φ 10mm c/ 13 cm

Balanço 1. Carga Permanente: Momento no eixo da viga:

M= 0,17x2,5x1,00x0,5 + 0,10x1,00x2,5x0,95 + 0,25x2,2x0,85x0,475 + 0,05x0,25x2,2x 2 x0,05 M= 0,672 tf.m/m 2 3 2. Carga Acidental: M = 0,300 x 0,85 x 0,475 = 0,121 tf.m/m 3. Momento Final: Mfinal = 0,672 + 0,121 = 0,793 tf.m/m 4. Dimensionamento e Detalhamento: As = 1,80 cm2/m φ ≤ 1 ∴ Asxφ = 1,80 cm2/m → adotado φ 8mm ∴ φ 8mm c/ 27 cm aço distribuição: φ 8mm c/ 30 cm Detalhamento e Resumo de Aço Tabela: Resumo: (CA 50)

POSIÇÃO φ mm QUANT. COMPRIM. UNITÁRIO

COMPRIM. TOTAL

φ mm COMPR. PESO/M TOTAL (Kgf)

1 8 68 2,05 139,40 8 265,40 0,40 106 2 16 53 3,70 196,40 10 247,00 0,63 156 3 8 14 9,00 126,00 16 196,10 1,60 314 4 10 26 9,50 247,00 Σ 576



10

900

920

15

15

Detalhe da Armação: N1 34 φ 8 mm c/ 27 cm N2 53 φ 16 mm c/ 17 cm

N3 7φ 8 mm c/ 30 cm N4 26 φ 10 mm c/ 13 cm 175 15 15 N1 34 φ 8 mm c = 2,05 m 15 340 15 N2 53 φ 16 mm c = 3,70 m

N3

7 φ 8

mm

c = 9

,00 m

N4 2

6 φ 1

0 mm

c = 9

,50 m



11

h

V1

V2

V3

T3

T2

T1

0,10

Cort

e A-

A

2. Obter a quantidade de aço necessária à execução das lajes da ponte indicada: Dados: T.T. 45 tf fck = 200 Kgf/cm2 aço CA 50 T1 A 0,20 L3 L1 L2 L4 7,50 V3 T2 0,20

B B

7,50 T3 0,20 0,85 2,50 2,50 0,85 A Corte B-B 0,10 2% 0,30 1,50

0,10 0,30 V1 V2 V3 0,20

0,10 0,85 2,50 2,50 0,85 0,10



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• Diagrama de M.F. :

h h + 0,133 0,10 eixo da V1 eixo da V2 0,30 0,10 0,30 Lx

M.F. - Mxe +

0,20 Lx 0,25 Lx • Cargas concentradas distribuídas num quadrado equivalente:

50 cm 31,62 cm 20 cm ................................................ b’=31,62 cm

• Tabela No. 14: (Ly/Lx = ∝ ) y Lx = 2,50 m

TRÁFEGO x Ly = 14,80 m • Parâmetros de entrada:

b’=31,62 cm t = 0,333 a ρ 10 cm TABELA 14 h/2 45 Lx = 1,25 h/2 15 cm a t = 66,62 cm



13

Vão 1. Carga Permanente: h ≥ 250/20 ≥ 12,50 cm → adotado h = 15 cm


g= 0,595 tf/m2

coeficientes da tabela: - para Mxm ---------------- k = 0,0625 - para Mym ---------------- k = 0,0104 - para Mxe ---------------- k = - 0,125

sendo: M = kxgxLx2 - Mxm = 0,0625 x 0,595 x 2,52 = 0,232 tf.m/m - Mym = 0,0104 x 0,595 x 2,52 = 0,039 tf.m/m - Mxe = - 0,125 x 0,595 x 2,52 = - 0,465 tf.m/m

2. Carga Acidental: Sendo t/a = 0,333 e Lx/a = 1,25 (Tabela no. 14), tem-se:

- ML = 0,235 Mxm - Mp = 0,050 - Mp’ = 0

- ML = 0,120 Mym - Mp = 0,010 - Mp’ = 0,010

- ML = 0,372 Mxe - Mp = 0,025 - Mp’ = 0,300

ϕ = 1,4 – 0,007 x 2,50 = 1,383 Mxm = 1,383 [7,5x0,235 + 0,500x0,05 + 0,500x0] = 2,472 tf.m/m Mym = 1,383 [7,5x0,120 + 0,500x0,01 + 0,500x0,01] = 1,259 tf.m/m Mxe = - 1,383 [7,5x0,372 + 0,025x0,500 + 0,500x0,300] = - 4,083 tf.m/m



14


Mxe = - 0,465 – 4,083 = - 4,548 tf.m/m

4. Dimensionamento: para Mxm= 2,704 tf.m/m

d= h-2 cm = 13 cm

kc=bxd2 = 100 x 132 = 62,5 Tabela ks=0,361 M 270,4


fadiga: φ = 2,704 – 0,232 x 5.000 = 1,270 2,704 (3.600/1)

∴ As x φ = 9,54 cm2/m → adotado φ 12,5 mm ∴ φ 12,5 mm c/ 13 cm

• para Mym = 1,298 tf.m/m

kc=bxd2 = 100 x 132 = 130 Tabela ks = 0,341 M 129,8



∴ As x φ = 4,59 cm2/m → adotado φ 10mm ∴ φ 10mm c/ 17 cm

• para Mxe = - 4,548 tf.m/m (momento negativo)

0,30 x 2,50 = 0,75 4,548

2,122 0,15 0,10 0,30 0,10/3



15

no apoio: h = 15 + 10 + 10/3 = 28,33 cm

Obs.: mísula não maior que 1:3 (Norma)

b = 100 cm d = 28,33 - 2 = 26,33 cm

kc=bxd2 = 152,4 Tabela ks = 0,339 M



∴ As x φ = 7,30 cm2/m → adotado φ 12,5mm ∴ φ 12,5mm c/ 17 cm

No final da mísula: Mxe = - 2,122 tf.m/m b = 100 cm e d = 13 cm kc= bxd2 = 79,6 Tabela ks = 0,351 M



∴ As x φ = 7,15 cm2/m < 7,30 cm2/m → OK!

Balanço 1. Carga Permanente:

Mperm= 0,10x 1,5x 2,50x 0,9 + 0,30x 0,85x 2,5x 0,425 + 0,15x 0,85x 0,425 = - 0,744 tf.m/m 2. Carga Acidental: Macid.= 0,300 x 0,85 x 0,425 = - 0,108 tf.m/m 3. Momento final: Mfinal = - 0,744 - 0,108 = 0,852 tf.m/m



16

1480

1495

13

13

4. Dimensionamento e Detalhamento: kc= 198 → ks = 0,336

fadiga: φ= 0,88 < 1,00 → para ϕ = 0,75 ∴ adotado φ = 1

∴ As x φ = 2,20 cm2/m → adotado φ 8mm ∴ φ 8mm c/ 22 Detalhe da Armação: N3 6 φ 8 mm c/ 29 N4 6 φ 8 mm c/ 30 N1 69 φ 8 mm c/ 22 N2 88 φ 12,5 mm c/ 17 o o o o o o o o o o o o

o o o o o o o o o

N5 115 φ 12,5 mm c/ 13 N6 30 φ 10 mm c/ 17

145 150

13 13 13 13 N1 69 φ 8 mm c = 1,71 m N2 88 φ 12,5 mm c = 1,76 m

13 495

N5 115 φ 12,5 mm c = 5,21 m

N3

6 φ 8

mm

c = 1

4,80 m

N6 3

0 φ 1

0 mm

c = 1

5,21 m

(1 em

enda

) N4

6 φ

8 m

m c

= 14,8

0 m



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Resumo de Aço:

Tabela: Resumo: (CA 50)

POSIÇÃO φ mm QUANT. COMPRIM. UNITÁRIO

COMPRIM. TOTAL

φ mm COMPR. PESO/M TOTAL (Kgf)

1 8 138 1,71 236,0 8 502,4 0,40 201 2 12,5 88 1,76 154,9 10 456,3 0,63 288 3 8 12 14,80 177,6 12,5 754,1 1,00 754 4 8 6 14,80 88,8 Σ 1243 5 12,5 115 5,21 599,2 6 10 30 15,21 456,3



18

V1

V2

V3

T3

T2

T1

0,10

Cort

e A-

A

V4

5. Exercícios Propostos

1. Fazer o cálculo e o dimensionamento das lajes da ponte esquematizada: Dados: vão Lmaior = vão Lmenor = capeamento asfáltico r = T.T. ____ tf aço CA 50; concreto fck =

T1 A 0,30 L4 L1 L2 L3 L5 L/2

T2 0,30

B B

L/2 T3 0,30 l /3 l l l l /3 A h = l /20 Corte B-B

guarda corpo em placas de concreto armado 0,30

1,50 capeamento asfáltico r h

0,30 0,30 0,30 0,10 l / 3 l

0,10



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2. A ponte esquematizada deve ser projetada para o T.T. de 30 tf com as seguintes características para os materiais: - concreto de resistência fck = 25 MPa e peso específico = 25 KN/m3 - concreto simples: γ = 22 KN/m3

- concreto asfáltico: γ = 20 KN/m3 Fazer o dimensionamento e o detalhamento das lajes: (aço CA 50) 0,15 passeio (concreto simples) 1,30 0,10 pavimento asfáltico 0,20 0,20 0,26

V1 V2 0,40 2,00 5,00 2,00 pilar (50x50)

V1 2,00

0,20 0,20 5,00

V2 2,00 20,00



20

3. A ponte esquematizada abaixo deve ser projetada para o trem-tipo T.45 com as seguintes características para os materiais:

- concreto de resistência característica fck = 22 MPa; - pavimento asfáltico: γ = 20 KN/m3 - aço CA 50

Determinar o valor dos momentos fletores positivos das lajes da ponte.

0,75 0,15 0,10 0,25 h 0,25

0,15 075 0,45 2,00 5,00 0,40 2,00

0,40 0,40 5,00

0,40 5,00

0,40

2,00

10,00 10,00

0,15



21

4. A carga acidental da ponte do exercício anterior foi alterada. O trem-tipo a ser utilizado é de 12 tf. Nessas novas condições, foi refeito o cálculo e obteve-se para a carga permanente Mxe = -18,80 KN.m. Completar o novo cálculo e detalhar as lajes.



22

5. Uma ponte isostática de 20 m de vão tem a seção transversal conforme esquema abaixo. Seção Transversal:

1,0 0,5 3,0 3,0 3,0 0,5 1,0

2 3

V1 V2 V3 V4

Sabendo-se que existe uma única transversina central, fazer o dimensionamento do painel de laje entre a V2 e a V3 e o esquema da ferragem desta laje. Dados: - fck = 200 Kgf/cm2

- aço CA 50 - T.T. 45 tf - espessura do pavimento = 15 cm - peso específico do pavimento: γ = 2,2 tf/m3 - coeficiente de fadiga: φ=M1–M2 x fyk

M1 σ1 - kc= bxd2 → As=ksxM

M d - usar: φ 10 mm → 0,80 cm2

φ 12,5 mm → 1,25 cm2 φ 16 mm → 2,00 cm2

0,30 Lx Mxe 0,10

0,30 0,30

kc ks ≥ 130 0,34 80 0,35 60 0,36 50 0,37



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6. Cálculo de Laje segundo Critério da Norma Brasileira Pode ser usado para lajes contínuas, apoiadas no seu contorno, com deslocamentos angulares baixos (idealização de engaste) com vãos iguais ou em que o menor vão da laje não seja inferior a 70% do maior vão, em cada direção. L lm ≥ 0,7 LM l laje vigas ♦ Critérios:

a-) Dispor em todo o contorno da laje uma armadura uniformemente distribuída de modo a não super armar a peça.

b-) Essa armadura deve ser calculada com o momento fletor de borda designado por Mb (ver limites a seguir). c-) O painel de laje será calculado isoladamente e simplesmente apoiado em todo o contorno. d-) Os momentos fletores calculados no item C devem ser alterados, como

segue:

- 0,6 Mb - Mb Mo + 0,2 l 0,2 l onde: Mo é o momento fletor com laje simplesmente apoiada; Mo pode ser Mxm ou Mym.



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1. Nos trechos em que Mo < Mb, considerar momentos negativos iguais à M = Mo – Mb ;

2. Nos trechos em que Mo>0,6Mb, considerar momentos positivos

iguais à M = Mo – 0,6Mb

• Limites para Obtenção do Momento Fletor de Borda (Mb):

1o.Caso: Mx > My 1 Mx < Mb < 2 Mx se Mx ≤ 9 My 2 3 8 Lx 1 Mx < Mb < 3 My se Mx > 9 My Ly 2 4 8

2o.Caso: My > Mx 1 My < Mb < 2 My se Mx ≥ 8 My 2 3 9 Lx 1 My < Mb < 3 Mx se Mx < 8 My Ly 2 4 9 Ly �Condição de Aplicação: Um dos momentos pode ser no máximo 1,5 vezes o outro.

∴ Mx ≤ 1,5 My ou My ≤ 1,5 Mx



25

• Exemplos de Aplicação: 1-) Pede-se fazer o dimensionamento e detalhamento da laje indicada abaixo: y Dados: - T.T. 45 tf x - espessura do pavimento= 11 cm Tráfego Ly=3,85 - espessura da laje= 16 cm - fck = 280 Kgf/cm2 - aço CA 50 Lx=3,20

3,20 > 0,7 x 3,85 ∴ OK !

• Laje simplesmente apoiada: Lx Ly = 1,20 → Tabela 5 Ly Lx

1. Carga Permanente: - peso próprio = 0,16 x 2,5 = 0,400 tf/m2 - pavimento = 0,11 x 2,2 = 0,242 tf/m2

g= 0,642 tf/m2

sendo: M = kxgxLx2 - Mxm = 0,059 x 0,642 x 3,22 = 0,388 tf.m/m - Mym = 0,043 x 0,642 x 3,22 = 0,283 tf.m/m

2. Carga Acidental: b’=31,62 cm

t = 0,35 a ρ 11 cm TABELA 5 h/2 45 Lx = 1,60 h/2 16 cm a t=31,6+2x11+16=69,6cm



26

- ML = 0,262 Mxm - Mp = 0 - Mp’ = 0,062

- ML = 0,192 Mym - Mp = 0 - Mp’ = 0,068

ϕ = 1,4 – 0,007 x 3,20 = 1,378 Mxm = 1,378 [7,5x0,262 + 0,500x0 + 0,500x0,062] = 2,750 tf.m/m Mym = 1,378 [7,5x0,192 + 0,500x0 + 0,500x0,068] = 2,081 tf.m/m


∴ MM < 1,5 Mm ∴ OK !

Momento de Borda Mb: Mx > My Mx > 9 My = 2,66 tf.m/m 8 ∴ 1 Mx < Mb < 3 My → 1,569 < Mb < 1,773 2 4 adotado: Mb= 1,671 tf.m/m

4. Dimensionamento e Detalhamento:

• para Mxm= 2,138 tf.m/m kc = 91,6 → ks = 0,341 φ = 1,22

∴ As x φ = 6,35 cm2/m → φ 12,5mm c/ 19 cm

• para Mym= 1,364 tf.m/m kc = 11,99 → ks = 0,336 φ = 1,22

∴ As x φ = 4,00 cm2/m → φ 10 mm c/ 20 cm



27

• para Mb = - 1,671 tf.m/m kc = 10,83 → ks = 0,338 φ = 1,22

∴ As x φ = 4,92 cm2/m → φ 10 mm c/ 16 cm

Detalhamento:

y + + x

φ 10 c/ 16 φ 10 c/ 16

0,34

φ 10

c/ 16

φ 1

0 c/

16

φ 12,5 c/ 19

φ 10 c

/ 20

M.F.

(y)

1,671

1,364

2,364

1,671

1,671

1,6

71

0,77

0,54

0,6xMb

= 1,0

0

1,671 1,671 +

3,138 0,6xMb = 1,00

0,77

0,64 0,64

M.F. (x)

2,138

1,671 1,671 +



28

2-) Fazer o detalhamento da armação a ser usada na execução de uma laje central de um pontilhão em concreto armado utilizando a simplificação da Norma Brasileira. Dados: - T.T. 45 tf

- fck = 200 Kgf/cm2 - aço CA 50 - γconc.= 2,5 tf/m3 - γpavim.= 2,2 tf/m3

- Kc = bxd2 ; As= KsxM → (M= tfxcm) M d - fadiga φ = M1 - M2 x fyk

.

M1 3,600

- As (φ 10 mm)= 0,8 cm2 ; As (φ 12,5 mm)= 1,25 cm2 ; As (φ 16 mm)= 2 cm2

- Kc = 36 → Ks = 0,40 - Kc = 49 → Ks = 0,37

- Kc = 64 → Ks = 0,36 - Kc ≥ 70 → Ks = 0,35

Quando Mx > My 1 Mx < Mb< 2 Mx → se Mx ≤ 9 My 2 3 8

1 Mx < Mb< 3 My → se Mx ≤ 9 My 2 4 8

Quando My > Mx 1 My < Mb< 2 My → se Mx ≥ 8 My 2 3 9

1 My < Mb< 3 Mx → se Mx < 8 My 2 4 9 0,12 V3 V4 4,00 4,80 V3 V4 4,00

T2

T3



29

EXEMPLOS DE TABELAS DE

RUSCH PARA LAJES

RETANGULARES

Extraídas da publicação: Berechnungstafeln fur rechtwinklige Fahrbahnplatten von Strassenbrucken

- RUSCH, H.



30

DIAGRAMAS DE

MOMENTOS FLETORES

DAS LAJES

Apostila 3 Pontes

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