Aprendiendo Maple 10

Aprende el uso de Maple 10

Prof. Guillermo Moreno, Prof. Orlan Rodríguez Página 1

APRENDE EL USO DE MAPLE 10 Prof. Guillermo Moreno, Prof. Orlan Rodríguez

Contenido de este material:

INSTRUCCIONES Y COMANDOS BASICOS DE MAPLE 10 1.- LIBRERÍAS 2.- CÓMO REALIZAR LAS ENTRADAS EN MAPLE 3.- COMANDOS - PROGRAMA MAPLE. OPERACIONES BÁSICAS – EJEMPLOS 4.- PROBLEMAS DE CÁLCULO DIFERENCIAL

CÁLCULO DE LÍMITES CÁLCULO DE DERIVADAS DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR OTRA FORMA DE DERIVAR DERIVADA DE FUNCIONES IMPLÍCITAS

5.- GRÁFICAS GRÁFICAS DE FUNCIONES IMPLÍCITAS OTRA FORMA DE GRAFICAR GRÁFICAS EN COORDENADAS POLARES

6. - PROBLEMAS DE CÁLCULO INTEGRAL CÁLCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS CÁLCULO DE INTEGRALES IMPROPIAS INTERPRETACIÓN DE LA CONSTANTE DE INTEGRACIÓN INTEGRACIÓN POR PARTES. APLICACIÓN ADICIONAL

7.- SERIES NUMÉRICAS CÁLCULO DE SUMAS FINITAS CÁLCULO DE SUMAS INFINITAS. SERIES NUMÉRICAS INFINITAS DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE SERIES NUMÉRICAS INFINITAS GRAFICA DE FUNCIONES Y DE SU EQUIVALENTE EN SERIES DE POTENCIAS SERIE DE TAYLOR

8.- INTEGRACIÓN NUMÉRICA APROXIMADA. MÉTODO DE SIMPSON MÉTODO DEL TRAPECIO

9.- SUMA DE RIEMANN 10.- APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

a. CÁLCULO DE VOLUMEN Y ÁREA DE SUPERFICIE DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN CON EJE DE GIRO PARALELO A LOS EJES COORDENADOS. b. CÁLCULO DE VOLUMEN DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN CON ROTACIÓN SOBRE UN EJE OBLICUO.



INSTRUCCIONES Y COMANDOS BASICOS DE MAPLE 10 Un Ambiente de Cálculo Científico – Generalidades

Maple es un poderoso manipulador de expresiones algebraicas que no se

limita sólo al álgebra básica, sino que además es capaz de resolver ecuaciones, derivar, integrar, graficar y mucho más. Generalmente, Maple es usado en forma interactiva, en que el usuario le va indicando a cada paso lo que se quiere desarrollar.

La principal característica es que Maple es capaz de realizar cálculos simbólicos, es decir, operaciones similares a las que se llevan a cabo cuando se intenta realizar una demostración matemática, se despeja una variable de una expresión, se sustituye en otra expresión matemática, se agrupan términos, se simplifica, se deriva y/o integra. Maple es capaz de resolver una amplia gama de problemas.

Una de las herramientas principales que presenta el progama Maple es el manejo de la ayuda. Gracias a ella podemos ver cómo se trabaja con los distintos comandos además de encontrar numerosos ejemplos (que pueden ser copiados en la hoja de trabajo).

Hay distintas formas de acceder a la ayuda, una de las más rápidas consiste en anteponer un signo de interrogación al comando (COMANDO "INT”) sobre el cual queremos información, (luego presionamos ENTER).

Podemos obtener la misma información a través del menú HELP. Situamos el cursor sobre el nombre del comando y vemos que en el menú HEPL aparece, en este caso, Help on int. Además, cabe destacar la existencia de un diccionario en el que encontramos definiciones para más de 5000 términos matemáticos.



La ayuda que presenta el programa es excelente, ya que ofrece ejemplos de cómo deben ser escritas las instrucciones para un comando determinado. Basta con conseguir en la ayuda el comando a utilizar, para luego COPIAR Y PEGAR los ejemplos en nuestra hoja de trabajo.

Un ejemplo:



La secuencia de instrucciones que aparece en ROJO corresponde a lo que

debes COPIAR Y PEGAR en tu hoja de trabajo. Una vez copiado, lo puedes modificar y ver qué sucede. 1.- LIBRERÍAS

Las librerías representan una parte fundamental del programa. Maple dispone de un alto número de comandos, pero no todos se cargan al iniciar el programa, sólo aquellos que son más importantes. El resto de los comandos se encuentran en las diferentes librerías temáticas y si queremos utilizarlos debemos cargarlos previamente. Para ver una lista de las librerías: > ?index,package # Luego presionar Enter

Nota: El símbolo “#” es usado para introducir comentarios.



Para cargar la librería completa usamos el comando “with(librería)”. De esta forma, para utilizar una de las funciones incluidas en dicha librería sólo tenemos que escribir el nombre de la función con sus correspondientes argumentos. Por ejemplo, queremos graficar la función � � � � � (dada en forma implícita), usamos el comando “implicitplot” (en secciones posteriores se explicará en detalle lo referente a cómo graficar en Maple): > restart: # limpia la memoria interna del programa

> implicitplot( y+2=x, x=-5..5, y=-5..5);

La gráfica no aparece ya que el comando “implicitplot” no se encuentra cargado en el programa. Es necesario hacer el llamado de la librería que contiene este comando: > restart:

> with(plots): # Carga la librería "plots"

> implicitplot( y+2=x, x=-5..5, y=-5..5);

2.- CÓMO REALIZAR LAS ENTRADAS EN MAPLE

Hay formas distintas de realizar las entradas: Maple Notation (>), Standard Math, Texto (T). Si elegimos la Maple Notation tendremos que introducir los comandos según la sintaxis empleada por Maple y finalizar las sentencias con " ; " o " : " . Si empleamos el punto y coma al presionar Enter la sentencia se ejecuta y el resultado aparece por pantalla, mientras que si usamos los dos puntos el resultado no aparecerá por pantalla, veamos: Maple Notation > 2+4*sin(x)-ln(x): # Aquí, al presionar Enter no sucede nada

> 2+4*sin(x)-ln(x); # Con punto y coma aparecerá la expresión

señalada

implicitplot ( yC 2 = x, x = K5 ..5, y = K5 ..5 )



Standard Math

Texto y Standart Math – Combinadas

Sea la expresión una función...

3.- COMANDOS - PROGRAMA MAPLE. OPERACIONES BÁSICAS – EJEMPLOS

En esta sección se presentan una serie de ejemplos para que el alumno se

familiarice con la forma de escribir en Maple, además se muestran una serie de comandos de uso frecuente. Se invita al alumno a que complemente esta información con el Menú de Ayuda del programa. Nota: Maple 10 cuenta con barras de ayuda para la escritura de expresiones matemáticas ubicada en la parte izquierda de la hoja.

1.- Queremos escribir

> 3+x-y+2*abs(x)-2/x+sqrt(x)-ln(x)*sin(y);

2.- Queremos asignar a la variable � el polinomio

> f:=x^2-3*x+1;

3.- Queremos resolver la ecuación (se puede hacer de varias

maneras): > solve(x^2-3*x+1 = 0, {x});

2 C 4 sin ( x ) K ln( x )

f (x ) =2 C sin (x ) K x

tan ( xC 23 )

f (x ) =2 C sin (x ) K x

tan ( xC 23 )

3 C xK yC 2 $ |x| K2

xC x K ln(x ) $ sin (y ) :

3 C xK yC 2 |x| K2

xC x K ln( x ) sin ( y )

x2 K 3 $ xC 1 :

f := x2 K 3 xC 1

x2 K 3 $ xC 1 = 0

4 x =3

2C

1

2 5 5 , 4 x =

3

2K

1

2 5 5



> solve(x^2-3*x+1 = 0);

> solve(f=0, {x}); # La variable f tiene asignado el polinomio x^2-3*x+1

> fsolve(f=0, {x});

4.- Queremos evaluar la función en (se puede hacer

de varias maneras): > subs(x=2, f);

��

> eval(f, x=2);

��

5.- Queremos evaluar la expresión :

> evalf(4-3*ln(3)+abs(2-3)+exp(2), 5);

��

Nota: el numero 5 al final indica cuantos dígitos se quieren visualizar.

6.- Queremos factorizar el polinomio

> factor(x^3-2*x^2+x);

7.- Queremos ver el desarrollo del binomio

> expand((x+2)^4);

Maple puede operar con símbolos y hacer simplificaciones como uno las haría

en papel. Todos sabemos que �� :

3

2C

1

2 5 ,

3

2K

1

2 5

4 x =3

2C

1

2 5 5 , 4 x =

3

2K

1

2 5 5

{ x = 0.3819660113 } , { x = 2.618033989 }

f (x ) = x2 K 3 $ xC 1 x = 2

22 K 3 $ ln( 3 ) C |2 K 3| C e2

x3 K 2 $ x2 C x :

x ( xK 1 ) 2

(xC 2 ) 4 :

x4 C 8 x3 C 24 x2 C 32 xC 16



> (x^2 -1)/(x+1);

> simplify(%); # El símbolo "%" hace referencia al último

resultado

... y así podríamos continuar con más ejemplos. En secciones posteriores usaremos algunos otros comandos, pero la idea es que el alumno, con ayuda del Menú Help, amplíe esta información. 4.- PROBLEMAS DE CÁLCULO DIFERENCIAL CÁLCULO DE LÍMITES

Maple tiene la posibilidad de hallar límites de funciones. El comando “limit” tiene 3 argumentos. El primer argumento es una expresión, el segundo es una variable igualada a la tendencia, mientras que el tercero (opcional) es la dirección por la cual me acerco a la tendencia (derecha o izquierda). Si esta última opción no es usada, Maple calcula el límite bilateral. Nota: Maple calcula el valor del límite así este presente una indeterminación.

Por ejemplo: Queremos calcular entonces:

> Limit(x^3+2*x-1, x=2);

> limit(x^3+2*x-1, x=2);

��

Como podemos ver, si usamos el comando “Limit”, aparece la expresión

como tal, sin cálculo alguno. Pero si usamos el comando “limit”, sí aparece el resultado. Entonces podemos escribir un comando seguido del otro:

> Limit(x^3+2*x-1, x=2) = limit(x^3+2*x-1, x=2);

x2 K 1

xC 1

xK 1

limx / 2

x3C 2$ xK 1 ,

limx/2

0 x3 C 2 xK 11



EJEMPLOS

Calcular: a) b) c)

> Limit(x/abs(x), x=0, right) = limit(x/abs(x), x=0, right); #

Límite por la derecha

> Limit(x/abs(x), x=0, left) = limit(x/abs(x), x=0, left); #

Límite por la izquierda

> Limit(x/abs(x), x=0) = limit(x/abs(x), x=0); # Límite bilateral

El no está definido ya que los límites laterales existen pero son

diferentes.

Ejemplo: Calcular

> Limit((x^2-16)/(x-4), x=4) = limit((x^2-16)/(x-4), x=4);

Ejemplo: Calcular

> Limit((sqrt(x+h)-sqrt(x))/h, h=0) = limit((sqrt(x+h)-sqrt(x))/h, h=0);

limx/2

0x3 C 2 xK 11 = 11

limx / 0 C

x

| x | , lim

x / 0 K

x

| x | , lim

x / 0

x

| x | :

limx/0 C

x

|x|

= 1

limx/0 -

x

|x|

= K1

limx / 0

x

| x |

limx / 4

x

2K 16

xK 4 :

limx/4

x2 K 16

xK 4

= 8

limh / 0

xC h K x

h:



Ejemplo: Calcular :

> Limit((abs(x+1)-abs(x-1))/sqrt(3*x^2+1), x=0) = limit((abs(x+1)-abs(x-1))/sqrt(3*x^2+1), x=0);

Una utilidad muy práctica de Maple, a la hora de estudiar, se refiere a la resolución de límites trigonométricos. Siempre es bueno conocer los resultados de los ejercicios que hacemos, a manera de verificación.

Ejemplo: Calcular Nota: En Maple = Pi

> Limit(sin(x)/(x-Pi), x=Pi) = limit(sin(x)/(x-Pi), x=Pi);

Ejemplo: Calcular

> Limit(cos(1/2*Pi*x)/(1-sqrt(x)), x=1) = limit(cos(1/2*Pi*x)/(1-sqrt(x)), x=1);

Ejemplo: Calcular

> Limit((exp(x)-exp(-x))/(exp(x)+exp(-x)), x=-infinity) = limit((exp(x)-exp(-x))/(exp(x)+exp(-x)), x=-infinity);

limh/0

xC h K x

h

=

1

2

1

x

limx / 0

|x C 1| K |x K 1|

3 $ x2 C 1

limx/0

|xC 1| K |xK 1|

3 x2 C 1

= 0

limx / p

sin ( x )

x K p : p

limx/p

sin ( x )

xK p

= K1

limx / 1

cos 0 p2$ x1

1 K x :

limx/1

cos

1

2 p x

1 K x

= p

limx /K N

ex K e K x

ex C e K x :



Ejemplo: Calcular

> Limit((1-2*ln(x))/(1+3*ln(x)), x=0, right) = limit((1-2*ln(x))/(1+3*ln(x)), x=0, right);

CÁLCULO DE DERIVADAS

El comando “diff” ofrece la posibilidad de derivar una expresión respecto una variable dada. El primer argumento de esta función es la expresión que se quiere derivar y el segundo es la variable respecto a la cual se calcula la derivada. Las derivadas se pueden calcular en funciones de la forma � � �� (explícita) o de la forma �� (implícita). También se pueden calcular derivadas de orden superior.

Por ejemplo: Dada la función calcular

> Diff(exp(x)+x^2-sin(x), x);

> diff(exp(x)+x^2-sin(x), x);

Como podemos ver, si usamos el comando “Diff”, aparece la expresión como tal, sin cálculo alguno. Pero si usamos el comando “diff”, sí aparece el resultado de la derivada. Entonces podemos escribir un comando seguido del otro:

> Diff(exp(x)+x^2-sin(x), x)=diff(exp(x)+x^2-sin(x), x);

Nota: Es común, luego de derivar una función, simplificar para obtener un resultado más fácil de trabajar. Maple en muchos casos deriva pero no muestra la forma más

limx/KN

ex K e ( Kx )

ex C e ( Kx )

= K1

limx / 0 C

1 K 2 $ ln( x )

1 C 3 $ ln( x ) :

limx/0 C

1 K 2 ln( x )

1 C 3 ln( x )

=

K2

3

f (x ) = ex C x2K sin (x ) ,d

d x f ( x ) :

d

dx 0exC x2 K sin ( x ) 1

ex C 2 xK cos ( x )

d

dx 0 ex C x2 K sin ( x ) 1 = ex C 2 xK cos ( x )



simple de la función derivada. Existen una serie de comandos que permiten lograr la simplificación que queremos. EJEMPLO

Dada la función calcular

> y1:= diff((x^2*(1-x))^(1/3), x); # Asigna la primera derivada a

la variable y1

Para simplificar esta expresión usamos el comando “simplify”. Este comando es usado para aplicar reglas de simplificación sobre una expresión dada. Otros comandos que se pueden revisar en la ayuda: collect, combine, expand, factor, simplify[trig]

> simplify(y1);

El mismo problema lo podemos hacer en un solo paso: > y1:= simplify(diff((x^2*(1-x))^(1/3), x));

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Ejemplo: Dada la función calcular

> y1:= factor(simplify((diff((1-tan(x))/(1+tan(x)), x)))); # Los diferentes comandos para lograr la simplificación se pueden usar en la misma instrucción. El comando "factor" se usa para factorizar

> y2:= simplify(diff(y1, x));

f (x ) = x2 $ ( 1 K x )3 ,

d

d x f ( x ) = y ' :

y1 :=1

3

2 x ( 1 K x ) K x2

0 x2 ( 1 K x ) 1 ( 2 / 3 )

K1

3

x ( K2 C 3 x )

0Kx2 ( K1 C x ) 1 ( 2 / 3 )

y1 :=K1

3

x ( K2 C 3 x )

0Kx2 ( K1 C x ) 1 ( 2 / 3 )

f (x ) =1 K tan (x )

1 C tan (x ) ,

d3

d x3

f ( x ) = y ''' :

y1 :=K2 01 C tan ( x ) 21

( 1 C tan ( x ) ) 2



> y3:= simplify(diff(y2, x));

El mismo problema lo podemos hacer en un solo paso: > y3:= simplify(diff(diff(diff((1-tan(x))/(1+tan(x)), x), x), x)); # Tercera derivada

También podemos hacer lo siguiente: > y3:= simplify(diff((1-tan(x))/(1+tan(x)), x$3)); # x$3 indica tercera derivada

OTRA FORMA DE DERIVAR

El comando “D” sirve para derivar. Es un comando parecido al “diff”, pero es más general que éste en dos aspectos: puede representar derivadas evaluadas en un punto y puede mostrar procedimientos de derivación. Comparando: D(f)(x) = diff(f(x),x). D(f)(x) representa la derivada de �� con respecto a �.


> y1:= D(sin(x)*exp(x)); # Indica el procedimiento para calcular la primera derivada

> y1:= D(sin*exp)(x); # Calcula la primera derivada

y2 :=K4 ( K1 C tan ( x ) ) 01 C tan ( x ) 21

( 1 C tan ( x ) ) 3

y3 :=K16 01 C tan ( x ) 21 0 tan ( x ) 2 K tan ( x ) C 11

( 1 C tan ( x ) ) 4

y3 :=K16 01 C tan ( x ) 21 01 K tan ( x ) C tan ( x ) 21

( 1 C tan ( x ) ) 4

y3 :=K16 01 C tan ( x ) 21 01 C tan ( x ) 2 K tan ( x ) 1

( 1 C tan ( x ) ) 4

f (x ) = sin (x ) $ ex ,d

d x f ( x ) = y ' :

y1 := D ( sin ( x ) ) ex C sin ( x ) D 0ex1

y1 := cos ( x ) exC sin ( x ) ex



> y1:= D(sin*exp); # Calcula la primera derivada en forma general sin considerar la variable

> y1:= D(sin*exp)(Pi); # Calcula la primera derivada evaluada en

DERIVADA DE FUNCIONES IMPLÍCITAS

El comando “implicitdiff” sirve para derivar funciones dadas en forma implícita. El comando tiene la forma implicitdiff(f, y, x), donde � define a � como

una función de � implícitamente. Este comando permite hallar �� .


> implicitdiff(x^2+y^2=4,y,x);

También podemos escribir:

> y1:= implicitdiff(x^2+y^2=4,y,x); # Donde y1 representa

Ahora bien, si lo que queremos hallar es

> x1:= implicitdiff(x^2+y^2=4,x,y); # Donde x1 representa


> implicitdiff(exp(x)*sin(y)+cos(x) = x,y,x);

y1 := cos exp C sin exp

p

y1 :=Kep

x2 C y2 = 4 ,dy

d x= y ' :

Kx

y

dy

dx

y1 :=Kx

y

dx

d y= x ' :

dx

dy

x1 :=Ky

x

ex $ sin (y ) C cos (x ) = x ,dy

d x= y ' :




> f:= x^3+y^4 = 4*x; # Primero asignamos la función implícita a la variable f.

> implicitdiff(f,y,x); # Esto representa

5.- GRÁFICAS

La visualización de resultados es una de las capacidades más utilizadas del álgebra computacional. Poder ver de manera gráfica los resultados de expresiones de una o dos variables ayuda mucho a entender los resultados. En cuanto a gráficos, Maple dispone de una gran variedad de comandos.

Ejemplo: Graficar

> plot(x^3-2*x+1, x=-5..5, y=-10..10, title="Grafico Nº 1");

Existen diferentes instrucciones para personalizar las gráficas, como por ejemplo: a) color = para fijar el color de las curvas graficadas. b) labels = para fijar la etiqueta de los ejes coordenados. c) title = para dar nombre al gráfico. d) legend = para dar nombre a las diferentes curvas.

Kex sin ( y ) K sin ( x ) K 1

ex cos ( y )

x3 C y4 = 4$x ,dy

d x= y ' :

f := x3 C y4 = 4

dy

dx

K1

4

3 x2 K 4

y3

f (x ) = x3 K 2 $ xC 1 :



Y muchas otras más, que puede revisar en la ayuda y practicar. Para graficar varias funciones a la vez, hay que encerrarlas entre llaves: Ejemplo: Graficar las funciones

> plot({abs(-2*x-2)-4,x^2-4,-x},x=-5..5,y=-10..10,title="Grafico Nº

2", color=[red, blue, brown]);

GRÁFICAS DE FUNCIONES IMPLÍCITAS

Se utiliza la función “implicitplot”. Nos permite dibujar curvas en dos dimensiones, de expresiones dadas de manera implícita. La sintaxis es implicitplot( f(x,y)=0, x=a..b, y=c..d). Es necesario cargar la librería que contiene esta instrucción, con with(plots).

Ejemplo: Graficar

> with(plots): implicitplot(x^2+y^2=4, x=-3..3, y=-3..3);

NOTA: Algunas funciones se visualizan mejor con implicitplot.

Ejemplo: Graficar que en forma implícita es

> plot((x)^(1/3), x=-4..4, y=-5..5); # Gráfica de

x2 C y2 = 4 :

y = x3 y3 = x :

y = x3



> with(plots):

implicitplot(y^3=x, x=-3..3, y=-3..3); # Gráfica de �� . Implícitamente la gráfica se muestra completa

OTRA FORMA DE GRAFICAR

Se utiliza la función “display”. Esta función nos permite visualizar una lista de estructuras plot, la sintaxis es display(L) donde L es la lista de estructuras plot que se quiere visualizar.

Ejemplo: Graficar las funciones

> restart:

> with(plots):

> F:= plot(sin(x), x=-2*Pi..2*Pi, y=-5..5, style=line): # Las

propiedades de la gráfica se asignan a la variable F

> G:= plot(tan(x), x=-2*Pi..2*Pi, y=-5..5, style=line,

discont=false): # "discont" permite ver o no las asíntotas

verticales (false or true)

> display( {F, G} ); # El comando "display" permite visualizar las gráficas

GRÁFICAS EN COORDENADAS POLARES

f (x ) = sin (x ) , g (x ) = tan (x ) :



> plot([2,t,t=0..2*Pi],coords=polar); # Cisrcunferencia

> plot([1+cos(t),t,t=0..2*Pi],coords=polar); # Caracol

> plot([1+2*cos(t),t,t=0..2*Pi],coords=polar); # Caracol

> plot([3*sin(4*t),t,t=0..2*Pi],coords=polar); # Rosa

> plot({[sqrt(9*cos(2*t)),t,t=0..2*Pi],[sqrt(6)*cos(t),t,t=0..2*Pi]},coords=polar, color=[yellow,blue]); # Gráfica combinada

6. - PROBLEMAS DE CÁLCULO INTEGRAL

r = 2

r = 1 C cos ( t )

r = 1 C 2 $cos ( t )

r = 3 $ sin ( 4 $ t )

r2 = 9 $ cos ( 2 $ t ) r = 6 $cos ( t )



Maple realiza la integración definida y la indefinida con el comando “int”. En el caso de la integración indefinida esta función necesita dos argumentos: una expresión y la variable de integración. Si Maple encuentra respuesta, ésta es devuelta sin la constante de integración, con el objeto de facilitar su uso en posteriores cálculos.


> Int(sin(x)+exp(x)-x^3, x);

> int(sin(x)+exp(x)-x^3, x);

Como podemos ver, si usamos el comando “Int”, aparece la expresión como tal, sin cálculo alguno. Pero si usamos el comando “int”, sí aparece el resultado. Entonces podemos escribir un comando seguido del otro: > Int(sin(x)+exp(x)-x^3, x) = int(sin(x)+exp(x)-x^3, x) + K; # La constante K se escribe adicionalmente para una mejor presentación

Ejemplo: Calcular a) b)

> Int((4*x^2+6)/(x^3+3*x), x) = int((4*x^2+6)/(x^3+3*x), x) + K;

> Int(1/(x-(x^4)^(1/3)), x) = combine(simplify(int(1/(x-(x^4)^(1/3)), x)), ln,anything,symbolic) + K;

⌠⌡

sin (x ) C exK x3 dx ,

⌠⌡

sin ( x ) C ex K x3 d

Kcos ( x ) C ex K1

4 x4

⌠⌡

sin ( x ) C ex K x3 dx = Kcos ( x ) C exK1

4 x4 C

⌠⌡

4 $ x2C 6

x3C 3 $ x

d ,

⌠⌡

1

x K x43

d :

⌠⌡

4 x2 C 6

x3 C 3 xdx = ln0 x2 C 31 C 2 ln( x ) C



CÁLCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS


> Int(1/((x+2)*sqrt(x+1)), x=0..3) = int(1/((x+2)*sqrt(x+1)), x=0..3);

> Int(1/(1+sqrt(x)), x=0..4) = evalf(int(1/(1+sqrt(x)), x=0..4), 5);

CÁLCULO DE INTEGRALES IMPROPIAS Maple también permite el cálculo de Integrales Impropias: > Int(ln(x^2)/x^3, x=exp(1)..infinity)=int(ln(x^2)/x^3, x=exp(1)..infinity);

> Int(1/(3*x^2),x=-infinity..-1)=int(1/(3*x^2),x=-infinity..-1);

⌠⌡

1

xK 0 x41 ( 1 / 3 )dx = ln

x4

0KxC 0 x41 ( 1 / 3 )1 3

C

⌠⌡0

31

( x C 2 ) $ x C 1dx ,

⌠⌡0

41

1 C xdx :

⌠⌡0

3

1

( xC 2 ) xC 1dx = K

1

2 pC 2 arctan ( 2 )

⌠⌡0

4

1

1 C xdx = 1.8026

⌠⌡e

N

ln0x21x3

dx =3

2 e ( K2 )



> Int(1/(3*x^2),x=-infinity..infinity)=int(1/(3*x^2),x=-infinity..infinity);

> Int([1/(x+3)-1/(x+5)],x=0..infinity)=int(1/(x+3)-1/(x+5),x=0..infinity);

INTERPRETACIÓN DE LA CONSTANTE DE INTEGRACIÓN

Sabemos que la constante de integración permite generar la familia de curvas que tienen la misma derivada. Con Maple podemos ver gráficamente el significado de esta aseveración. Por ejemplo: Sea �� la integral indefinida, le asignamos cuatro valores arbitrarios distintos a la constante de integración, para luego graficar las diferentes funciones así obtenidas: > f:= x^2+2: Int(f, x)=int(f, x) + K; F1(x):=1/3*x^3+2*x-5; F2(x):=1/3*x^3+2*x; F3(x):=1/3*x^3+2*x+5; F4(x):=1/3*x^3+2*x+10; plot({F1(x),F2(x),F3(x), F4(x)}, x=-4..4, y=-15..15, color=black);

⌠⌡KN

K1

1

3

1

x2dx =

1

3

⌠⌡KN

N

1

3

1

x2dx = N

⌠⌡0

N

1

xC 3K

1

xC 5

dx = ln( 5 ) K ln( 3 )

⌠⌡x2 C 2 dx =

1

3 x3 C 2 xC

F1 ( x ) :=1

3 x3 C 2 xK 5

F2 ( x ) :=1

3 x3 C 2

F3 ( x ) :=1

3 x3 C 2 xC 5



otro ejemplo:

> f:= x*ln(x): Int(f, x)=int(f, x)+K;F1(x):=1/2*x^2*ln(x)-1/4*x^2-5; F2(x):=1/2*x^2*ln(x)-1/4*x^2; F3(x):=1/2*x^2*ln(x)-1/4*x^2+5; F4(x):=1/2*x^2*ln(x)-1/4*x^2+10; plot({F1(x),F2(x),F3(x), F4(x)}, x=-1..6, y=-10..20, color=black);

F4 ( x ) :=1

3 x3 C 2 xC 10

⌠⌡x ln( x ) dx =

1

2 x2 ln ( x ) K

1

4 x2 C

F1 ( x ) :=1

2 x2 ln( x ) K

1

4 x2 K 5

F2 ( x ) :=1

2 x2 ln( x ) K

1

4 x2

F3 ( x ) :=1

2 x2 ln( x ) K

1

4 x2 C 5

F4 ( x ) :=1

2 x2 ln( x ) K

1

4 x2 C 10



INTEGRACIÓN POR PARTES. APLICACIÓN ADICIONAL

Maple tiene un uso particular en la integración por partes con la librería “student”. El programa permite ver el desarrollo de una integral resuelta por partes para un cambio de variable dado (sugerido por el usuario):

> with(student): Int(x^2*ln(x), x) = intparts(Int(x^2*ln(x), x), ln(x)); # El ln(x) representa el valor de "u" para la integración por partes

Ejemplo: > Int(x*cos(x), x) = intparts(Int(x*cos(x), x), x); # x representa el valor de "u" para la integración por partes

Ejemplo:

> Int(x^2*exp(x), x) = intparts(Int(x^2*exp(x), x), x^2);

7.- SERIES NUMÉRICAS CÁLCULO DE SUMAS FINITAS

Maple permite calcular sumas finitas y sumas infinitas con el comando “sum”. Como en casos anteriores, si usamos el comando “Sum” aparece la expresión como tal, sin cálculo alguno. Pero si usamos el comando “sum”, sí aparece el resultado.


>

⌠⌡x2 ln( x ) dx =

1

3 ln( x ) x3 K

⌠⌡

1

3 x2 d

⌠⌡x cos ( x ) dx = x sin ( x ) K ⌠

⌡sin ( x ) d

⌠⌡x2 ex dx = x2 exK

⌠⌡

2 x ex d

>i = 1

n

i

Sum0i, i = 1 ..n1= factor0sum0i, i = 1 ..n11 ;




> Sum(i^2, i = 1 .. n) = factor(sum(i^2, i = 1 .. n));

> Sum(i^3, i = 1 .. n) = factor(sum(i^3, i = 1 .. n));


> Sum(5*(i^2+3)^2, i=1..300)= factor(sum(5*(i^2+3)^2, i=1..300));

> Sum((i-1)/(2*i-9)-i/(2*i-7), i=100..300)= factor(sum((i-1)/(2*i-9)-i/(2*i-7), i=100..300));

CÁLCULO DE SUMAS INFINITAS. SERIES NUMÉRICAS INFINITAS

Ejemplo: Calcular a) b) c)

> Sum(x^n/factorial(n), n = 0 .. infinity)=sum(x^n/factorial(n), n = 0 .. infinity);

>i = 1

n

i =1

2 n ( nC 1 )

>i = 1

n

i2 >i = 1

n

i3

>i = 1

n

i2 =1

6 n ( nC 1 ) ( 2 nC 1 )

>i = 1

n

i3 =1

4 n2 ( nC 1 ) 2

>i = 1

300

5 0 i2 C 31 2>

i = 100

300

iK 1

2 iK 9K

i

2 iK 7

>i = 1

300

5 0 i2 C 31 2= 2450566364950

>i = 100

300

iK 1

2 iK 9K

i

2 iK 7

=

1407

113263

>n = 0

Nxn

n! >n = 0

N( K1 )n x ( 2 n C 1 )

( 2 nC 1 ) !

>n = 0

N(K1 )n ( xK 2 )n

3n



> Sum((-1)^n*x^(2*n+1)/factorial(2*n+1), n = 0 .. infinity)=sum((-1)^n*x^(2*n+1)/factorial(2*n+1), n = 0 .. infinity);

> Sum((-1)^n*(x-2)^n/3^n, n=0..infinity)=sum((-1)^n*(x-2)^n/3^n, n=0..infinity);

DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE SERIES NUMÉRICAS INFINITAS

Ejemplo: Calcular

> Diff(Sum((-1)^n*(x-2)^n/3^n, n = 0 .. infinity), x)=diff(Sum((-1)^n*(x-2)^n/3^n, n = 0 .. infinity), x);

Ejemplo: Calcular a)

> Sum(Int((-1)^n*(x-2)^n/3^n,x),n=0..infinity)=Sum(int((-1)^n*(x-2)^n/3^n,x),n=0..infinity);

GRAFICA DE FUNCIONES Y DE SU EQUIVALENTE EN SERIES DE POTENCIAS

>n = 0

Nxn

n!= ex

>n = 0

N(K1 )n x ( 2 n C 1 )

( 2 nC 1 ) != sin ( x )

>n = 0

N(K1 )n ( xK 2 )n

3n=

3

xC 1

d

d x>n = 0

N( K1 )n ( xK 2 )n

3n

v

vx

>n = 0

N( K1 )n ( xK 2 )n

3n

= >n = 0

N(K1 )n ( xK 2 )n n

( xK 2 ) 3n

>n = 0

N

⌠⌡

( K1 )n ( xK 2 )n

3nd

>n = 0

N⌠⌡

(K1 )n ( xK 2 )n

3ndx = >

n = 0

N(K1 )n ( xK 2 ) ( n C 1 )

( nC 1 ) 3n



Una serie de potencias, en su intervalo de convergencia, representa una función. Quiere decir, que si graficamos la función y la serie de potencias, ambas graficas deben ser semejantes.

Ejemplo:

> g:=sum(x^n/(n)!, n=0..4); h:=sum(x^n/(n)!, n=0..5); i:=sum(x^n/(n)!, n=0..6); j:=sum(x^n/(n)!, n=0..7); # Aquí se presentan diferentes expansiones de la suma infinita. Cada una representa un polinomio de aproximación.

> plot ({exp(x), g, h, i, j} , x=-5..2, y=-1..2, color=black, thickness=2 );

NOTA: Al tomar más términos del desarrollo en serie de potencias, el polinomio graficado será mas parecido a la grafica de la función exponencial.

Ejemplo: = =

> f:=Sum((-1)^n*x^n/(3^(n+1)),n = 0 .. infinity)=sum((-1)^n*x^n/(3^(n+1)),n = 0 .. infinity);

>n = 0

Nxn

n!= e x

g := 1 C xC1

2 x2 C

1

6 x3 C

1

24 x4

h := 1 C xC1

2 x2 C

1

6 x3 C

1

24 x4 C

1

120 x5

i := 1 C xC1

2 x2 C

1

6 x3 C

1

24 x4 C

1

120 x5 C

1

720 x6

j := 1 C xC1

2 x2 C

1

6 x3 C

1

24 x4 C

1

120 x5 C

1

720 x6 C

1

5040 x7

f ( x ) 1

3 C x

1

3 1 C

x

3

= >n = 0

N(K1 )n xn

3 ( n C 1 )



> g:=sum((-1)^n*x^n/(3^(n+1)),n = 0 .. 4); h:=sum((-1)^n*x^n/(3^(n+1)),n = 0 .. 5); i:=sum((-1)^n*x^n/(3^(n+1)),n = 0 .. 6); j:=sum((-1)^n*x^n/(3^(n+1)),n = 0 .. 7);

> plot ({1/(3+x), g, h, i, j} , x=-6..6, y=-3..3, color=black, thickness=2 );

SERIE DE TAYLOR

Maple permite generar la serie de Taylor centrada en "c" de una función, mostrando tantos términos del polinomio como se quiera. Ejemplo: Hallar los 5 primeros términos de la serie de Taylor centrada en "c" para la

función :

> taylor( exp(x), x=c, 5 );

f :=>n = 0

N( K1 )n xn

3 ( n C 1 )=

1

3 C x

g :=1

3K

1

9 xC

1

27 x2 K

1

81 x3 C

1

243 x4

h :=1

3K

1

9 xC

1

27 x2 K

1

81 x3 C

1

243 x4 K

1

729 x5

i :=1

3K

1

9 xC

1

27 x2 K

1

81 x3 C

1

243 x4 K

1

729 x5 C

1

2187 x6

j :=1

3K

1

9 xC

1

27 x2 K

1

81 x3 C

1

243 x4 K

1

729 x5

C1

2187 x6 K

1

6561 x7

f (x ) = ex



Ejemplo: Hallar los 4 primeros términos de la serie de Taylor centrada en � � ��

para la función �� : > taylor( sin(x), x=Pi/4, 4 );

Ejemplo: Hallar los 8 primeros términos de la serie de Taylor centrada en � � � para la función �� : > taylor( tan(x), x=Pi, 8 );

8.- INTEGRACIÓN NUMÉRICA APROXIMADA.

MÉTODO DE SIMPSON

Comando, with(Student[Calculus1]): ApproximateInt(f(x), x = a..b, method = simpson, opts) Por defecto la regla de simpson se aplica para ! � ��. "opts" permite especificar características del procedimiento de cálculo.

Ejemplo 1: Aplicar el método de Simpson para aproximar el valor de

, con

> restart: with(Student[Calculus1]):

> ApproximateInt(sin(x), x=0..5, method = simpson, partition = 4,

output=plot, title= GráficoNº1, thickness=2 ); # "output=plot"

permita ver la gráfica

ec C ec ( xK c ) C1

2 ec ( xK c ) 2 C

1

6 ec ( xK c ) 3 C

1

24 ec ( xK c ) 4

C O 0 ( xK c ) 51

xK pC1

3 ( xK p ) 3 C

2

15 ( xK p ) 5 C

17

315 ( xK p ) 7

C O 0 ( xK p ) 81

⌠⌡ 0

5sin (x ) d n = 4



> vi:= ApproximateInt(sin(x), x=0..5, method = simpson, partition = 4, output=value); # "output=value" permite ver el cálculo numérico

> evalf(vi); # Se evalúa la expresión anterior

�"�#"$%�##

Ejemplo 2: Aplicar el método de Simpson para aproximar el valor de

, con


> ApproximateInt(exp(-x^2), x=-1..2, method = simpson, partition = 8, output=plot, title= GráficoNº2, thickness=2 );

> vi:= ApproximateInt(exp(-x^2), x=-1..2, method = simpson, partition = 8, output=value);

vi :=5

6 sin

5

8

C

5

12 sin

5

4

C

5

6 sin

15

8

C

5

12 sin

5

2

C5

6 sin

25

8

C

5

12 sin

15

4

C

5

6 sin

35

8

C

5

24 sin ( 5 )

⌠⌡ K1

2

eKx 2dx n = 8



> evalf(vi);

�#�&��$�

MÉTODO DEL TRAPECIO Ejemplo 1: Aplicar el método del Trapecio para aproximar el valor de

, con


> ApproximateInt(sin(x), x=0..5, method = trapezoid, partition = 5, output=plot, title= GráficoNº4, thickness=2 );

> ApproximateInt(sin(x), x=0..5, method = trapezoid, partition = 5, output=value, title= GráficoNº1, thickness=2 ); evalf(%);

�#%%#��"&"#

9.- SUMA DE RIEMANN

El área de una región R se puede estimar como la suma del área de ! rectángulos: ' ��()�*�)+),� , representando ��()� la altura de dichos rectángulos.

vi :=1

16 e ( K1 ) C

1

4 e

K169

256

C

1

8 e

K25

64

C

1

4 e

K49

256

C

1

8 e

K1

16

C1

4 e

K1

256

C

1

8 e

K1

64

C

1

4 e

K25

256

C

1

8 e

K1

4

C

1

4 e

K121

256

C1

8 e

K49

64

C

1

4 e

K289

256

C

1

8 e

K25

16

C

1

4 e

K529

256

C1

8 e

K169

64

C

1

4 e

K841

256

C

1

16 e ( K4 )

⌠⌡ 0

5sin (x ) d n = 5

sin ( 1 ) C sin ( 2 ) C sin ( 3 ) C sin ( 4 ) C1

2 sin ( 5 )



Esta altura se puede considerar de diferentes formas, generando la llamada Suma Superior y Suma Inferior, entre otras. Comando, with(Student[Calculus1]): RiemannSum(f(x), x = a..b, method, opts) Por defecto se trabaja con ! � ��. "opts" permite especificar características del procedimiento de cálculo. Ejemplo 1: Estimar el valor de la siguiente integral como la suma del área de !

rectángulos:

CASO A: Suma inferior > restart: with(Student[Calculus1]):

> RiemannSum(sin(x), x=0..5, method = lower, output = plot, thickness=2, title= GráficoNº1 ); # lower = inferior

> RiemannSum(sin(x), x=0..5, method = lower, output = value);

��%"##$&#$

CASO B: Suma trabajando con

> RiemannSum(sin(x), x=0..5, method = left, output = plot, thickness=2, title= GráficoNº2 ); # left = izquierdo

> RiemannSum(sin(x), x=0.0..5.0, method = left, output = value);

�$��&�#��

⌠⌡ 0

5sin (x ) d

f (xi K 1

)



CASO C: Suma trabajando con siendo

> RiemannSum(sin(x), x=0..5, method = midpoint, output = plot, thickness=2, title= GráficoNº3 ); # midpoint = punto medio

> RiemannSum(sin(x), x=0..5, method = midpoint, output = value);

> evalf(%);

�"��&%$$�"%

CASO D: Suma trabajando con siendo un valor aleatorio

> RiemannSum(sin(x), x=0..5, method = random, output = plot, thickness=2, title= GráficoNº4 ); # random = aleatorio

> RiemannSum(sin(x), x=0.0..5.0, method = random, output = value);

�#�%%#��

CASO E: Suma trabajando con siendo

f (wi) w

i=xi K 1

C xi

2

1

2 sin

1

4

C

1

2 sin

3

4

C

1

2 sin

5

4

C

1

2 sin

7

4

C

1

2 sin

9

4

C1

2 sin

11

4

C

1

2 sin

13

4

C

1

2 sin

15

4

C

1

2 sin

17

4

C1

2 sin

19

4

f (wi) wi

f (wi) wi = xi



> RiemannSum(sin(x), x=0..5, method = right, output = plot, thickness=2, title= GráficoNº5 ); # right = derecho

> RiemannSum(sin(x), x=0..5, method = right, output = value);

> evalf(%); �$#�#��$&%&

CASO F: Suma superior > RiemannSum(sin(x), x=0.0..5.0, method = upper, output = plot, thickness=2, title= GráficoNº6 ); # upper = superior

> RiemannSum(sin(x), x=0.0..5.0, method = upper, output = value);

�$%��&%%$%

10.- APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA CÁLCULO DE VOLUMEN Y ÁREA DE SUPERFICIE DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN CON EJE DE GIRO PARALELO A LOS EJES COORDENADOS

Maple permite realizar el cálculo de volumen y área de superficie de sólidos de revolución, pero específicamente para sólidos generados al girar una curva (o una

1

2 sin

1

2

C

1

2 sin ( 1 ) C

1

2 sin

3

2

C

1

2 sin ( 2 ) C

1

2 sin

5

2

C1

2 sin ( 3 ) C

1

2 sin

7

2

C

1

2 sin ( 4 ) C

1

2 sin

9

2

C

1

2 sin ( 5 )



región R) en torno a una recta (eje de giro) paralela a uno de los ejes coordenados. El programa permite trabajar de manera: a) Simbólica: Maple genera la integral que permite calcular el volumen o la superficie del sólido. b) Numérica: Maple genera el valor del volumen o la superficie. c) Gráfica: Maple dibuja en 3D el sólido de revolución generado. Para esto es usada la librería Student[Calculus1] Ejemplo 1: Calcular el volumen y el área de la superficie del sólido de revolución que se genera al girar la curva � � �� alrededor del eje � desde � � � hasta � � $. > restart:

> with(Student[Calculus1]): # Carga la librería "Student" necesaria para calcular volumen y área

> VolumeOfRevolution( x^2+1, x=1..4, output= plot, axis= horizontal, title="Ejemplo 1"); # output=plot, dibuja el sólido

> V:= VolumeOfRevolution( x^2+1, x=1..4, output= integral, axis=

horizontal); # output=integral, muestra la integral que permite

calcular el volumen del sólido

> V:= VolumeOfRevolution( x^2+1, x=1..4, output= value, axis=

horizontal); # output=value, muestra la solución que resulta al

resolver la integral

V :=

⌠⌡1

4

p 0x2 C 11 2d

V :=1248

5 p



> S:= SurfaceOfRevolution( x^2+1, x=1..4, output= integral, axis=

horizontal); # output=integral, muestra la integral que permite

calcular el área de la superficie del sólido

> S:= SurfaceOfRevolution( x^2+1, x=1..4, output= value, axis=



> evalf( S, 5);

��#

Ejemplo 2: Calcular el volumen del sólido de revolución que se genera al girar la región limitada por las curvas � � �� , � � �, alrededor del eje � desde � � � hasta � � �. > restart:

> with(Student[Calculus1]):

> VolumeOfRevolution( x^2+2, 1, x=1..2, output= plot, axis=

horizontal, title="Ejemplo 2"); # output=plot, dibuja el sólido

> V:= VolumeOfRevolution( x^2+2, 1, x=1..2, output= integral, axis= horizontal); # output=integral, muestra la integral que permite

calcular el volumen del sólido

S :=⌠⌡1

4

2 p 0x2 C 11 4 x2 C 1 d

S :=K25

16 p 5 K

15

32 p ln0 5 C 21

C145

4 p 5 13 K

15

32 p ln0K8 C 5 13 1

V :=⌠⌡1

2

p :x4 C 4 x2 C 3: d



> V:= VolumeOfRevolution( x^2+2, 1, x=1..2, output= value, axis=



Ejemplo 3: Calcular el volumen y el área de la superficie del sólido de revolución que se genera al girar la curva � � �� alrededor de la recta � � �% desde � � � hasta � � $. > restart:


> VolumeOfRevolution( x^2+1, x=1..4, output= plot, distancefromaxis=-5, axis= horizontal, title="Ejemplo 3"); #

output=plot, dibuja el sólido

> V:= VolumeOfRevolution( x^2+1, x=1..4, output= integral,

distancefromaxis=-5, axis= horizontal); # output=integral, muestra la

integral que permite calcular el volumen del sólido

> V:= VolumeOfRevolution( x^2+1, x=1..4, output= value,

distancefromaxis=-5, axis= horizontal); # output=value, muestra la

solución que resulta al resolver la integral

> S:= SurfaceOfRevolution( x^2+1, x=1..4, output= integral,

distancefromaxis=-5, axis= horizontal); # output=integral, muestra la

integral que permite calcular el área de la superficie del sólido

V :=278

15 p

V :=

⌠⌡1

4

p 0x2 C 61 2d

V :=2823

5 p



> S:= SurfaceOfRevolution( x^2+1, x=1..4, output= value,

distancefromaxis=-5, axis= horizontal); # output=value, muestra la

solución que resulta al resolver la integral

> evalf( S, 5);

��

Ejemplo 4: Calcular el volumen del sólido de revolución que se genera al girar la región limitada por las curvas � � �� $, � � � alrededor de la recta � � �� desde � � �� hasta � � �. > restart:


> VolumeOfRevolution( x^2+4, 2, x=-2..2, output= plot, distancefromaxis=-3, axis= horizontal, title="Ejemplo 4");

> V:= VolumeOfRevolution( x^2+4, 2, x=-2..2, output= integral,

distancefromaxis=-3, axis= horizontal)=VolumeOfRevolution( x^2+4, 2,

x=-2..2, output=value, distancefromaxis=-3, axis= horizontal); ;

CÁLCULO DE VOLUMEN DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN CON ROTACIÓN SOBRE UN EJE OBLICUO ROTACIÓN Y TRASLACIÓN DE EJES

S :=⌠⌡1

4

2 p 0x2 C 61 4 x2 C 1 d

S :=K105

16 p 5 K

95

32 p ln0 5 C 21

C225

4 p 5 13 K

95

32 p ln0K8 C 5 13 1

V :=⌠⌡K2

2

p |x4C 14 x2

C 24| dx =2752

15 p



Mediante la traslación y rotación de ejes, un problema de volumen y/o área de superficie de sólidos de revolución con eje de giro oblicuo, se puede transformar en un problema con eje de giro paralelo a los ejes coordenados. Mediante la traslación y rotación se van obteniendo nuevas ecuaciones de trabajo, donde una etapa fundamental del procedimiento consiste en ir adaptando los límites de integración originales a los nuevos sistemas. i.- Primera fase: Traslación del sistema de ejes coordenados.

Ecuaciones de traslación: � � - � ./�///� � 0 � ( Por medio de la ecuación de traslación se pasa de un sistema coordenado � 1 �, a un sistema coordenado . 1 (. El paso fundamental consiste en determinar el punto de corte del eje oblicuo con el eje �. Este punto será el origen del nuevo sistema coordenado. Los límites de integración deben ser adaptados al nuevo sistema.

Figura Nº 8. Traslación de ejes.

ii.- Segunda fase: Rotación del sistema de ejes coordenados.

Ecuaciones de rotación: � � . 23� 4 � ( �� 4 /�///� � . �� 4 � ( 23� 4 Por medio de la ecuación de rotación se pasa de un sistema coordenado . 1 (, a un sistema coordenado .. 1 ((. El paso fundamental consiste en determinar el ángulo de inclinación del eje oblicuo. Este ángulo representa la medida de la rotación. Los límites de integración deben ser adaptados al nuevo sistema.



Figura Nº 9. Rotación de ejes.

Para la verificación de los procedimientos se usarán las siguientes ecuaciones: Cálculo de áreas de regiones oblicuas:

5 � 66 �78 /9:;�<� �7< � =>:6 �7/;?�<�>/@<

A

B

Cálculo de volumen de sólidos de revolución generados a partir de ejes oblicuos:

C � D�6 �78�E8

9:;�<� �7< � =>8:6 �7/;?�<�>/@<A

B

A continuación se presentan dos ejemplos, uno de traslación simple de ejes y otro de rotación simple de ejes, para familiarizarnos con el procedimiento. Ejemplo 5: Calcular el volumen del sólido de revolución generado al girar la curva � � �� alrededor del eje � desde � � � hasta � � % :

Trabajando con : MÉTODO DE LOS DISCOS

> restart: f:= y=x^2+1;

> solutions:=[solve(%, x)]; i:= solutions[1]; # Se obtiene la forma explícita para la variable x

> plot ( x^2+1, x=0..2, y=0..6, thickness=2);

dy

f := y = x2 C 1

solutions := 2 yK 1 , K yK 1 3

i := yK 1



> Int (Pi*i^2, y=1..5)=int (Pi*i^2, y=1..5); # Se hace el cálculo construyendo manualmente la integral de volumen

Trabajando con : MÉTODO DE LAS CAPAS CILÍNDRICAS


> VolumeOfRevolution( x^2+1, 5, x=0..2, output= integral, axis= vertical)=VolumeOfRevolution( x^2+1, 5, x=0..2, output= value, axis= vertical); # Se hace el cálculo de volumen con el respectivo comando incluido en el programa. Cuando el eje de giro es el eje "y", el programa considera el método de las capas cilíndricas.

> VolumeOfRevolution( x^2+1, 5, x=0..2, output= plot, axis= vertical, title="Ejemplo 5");

Ejemplo 6: Calcular el volumen del sólido de revolución generado al girar la región encerrada entre las curvas � � �� %� � � � alrededor de la recta � � � desde � � � hasta � � % :

⌠⌡1

5p ( yK 1 ) dy = 8 p

dx

⌠⌡0

2

K2 p x (x2K 4 ) dx = 8 p



Trabajando con : MÉTODO DE LOS DISCOS

> restart: f:= y=x^2+1;

> solutions:=[solve(%, x)]; i:= solutions[1];

> Int (Pi*(4-(2-i)^2), y=1..5)=int (Pi*(4-(2-i)^2), y=1..5);

Trabajando con : MÉTODO DE LAS CAPAS CILÍNDRICAS


> VolumeOfRevolution( x^2+1, 5, x=0..2, output= integral, axis= vertical, distancefromaxis= 2)=VolumeOfRevolution( x^2+1, 5, x=0..2, output= value, axis= vertical, distancefromaxis= 2);

> VolumeOfRevolution( x^2+1, 5, x=0..2, output= plot, axis= vertical, distancefromaxis= 2, title="Ejemplo 6");

EJEMPLO 1: Traslación de ejes

Transformar la ecuación trasladando los ejes

de manera que el origen sea

dy

f := y = x2 C 1

solutions := 2 yK 1 , K yK 1 3

i := yK 1

⌠⌡1

5

p 0 4 K 02 K yK 1 1 21 dy =40

3 p

dx

⌠⌡0

2

2 p (xK 2 ) (x2K 4 ) dx =

40

3 p

x2 C 4 $ y2 K 6 $ xC 16 $ yC 21 = 0

Or= ( 3, K2 ) :



> restart:

> f:= x^2+4*y^2-6*x+16*y+21 = 0; a:= 3; b:= -2;

> x:= a+t; y:= b+w;

> eval(f);

> simplify(%); # Solución (el símbolo % permite hacer referencia a la expresión anterior)

EJEMPLO 2: Rotación de ejes

Transformar la ecuación rotando los ejes coordenados un

ángulo de

> restart:

> f:= x^2-2*x*y+y^2-x=0; theta:=Pi/4;

> x:= t*cos(theta)-w*sin(theta); y:=t*sin(theta)+w*cos(theta);

> eval(f); # Evaluamos las ecuaciones de rotación en la función

original f

f := x2 C 4 y2 K 6 xC 16 yC 21 = 0

a := 3

b :=K2

x := 3 C

y :=K2 C

( 3 C t ) 2 C 4 ( K2 C w ) 2 K 29 K 6 tC 16 w = 0

K4 C t2 C 4 w2 = 0

x2 K 2 $ x $ yC y2 K x = 0

q =p

4:

f := x2 K 2 x yC y2 K x = 0

q :=1

4 p

x :=1

2 t 2 K

1

2 w 2

y :=1

2 t 2 C

1

2 w 2



> simplify(%); # Solución

Ahora presentamos un ejemplo de cálculo de volumen con eje de giro horizontal, pero usando traslación de ejes. EJEMPLO 3: Volumen usando traslación de ejes Usando traslación de ejes calcular el volumen del sólido de revolución generado al

girar la curva alrededor de la recta desde hasta :

A.- Forma directa, sin trasladar los ejes, usando la librería Student[Calculus1] > restart:


> VolumeOfRevolution( x^2+1, x=0..1, output= integral, distancefromaxis=5, axis= horizontal);

> VolumeOfRevolution( x^2+1, x=0..1, output= plot, distancefromaxis=5, axis= horizontal, title="Ejemplo 3");

> VolumeOfRevolution( x^2+1, x=0..1, output= value, distancefromaxis=5, axis= horizontal);

1

2 t 2 K

1

2 w 2

2

K 2

1

2 t 2 K

1

2 w 2

1

2 t 2

C1

2 w 2

C

1

2 t 2 C

1

2 w 2

2

K1

2 t 2 C

1

2 w 2 = 0

2 w2 K1

2 t 2 C

1

2 w 2 = 0

y = x2 C 1 y = 5 x = 0 x = 1

⌠⌡0

1

p 0 x2 K 41 2d

203

15 p



B.- Forma indirecta, Transformar la ecuación � � �� trasladando los ejes de manera que el origen sea FG � ��%�. > restart:

> f:= y-x^2-1 = 0; a:= 0; b:= 5;

> x:= a+t; y:= b+w;

> eval(f); # Ecuación de la parábola con los ejes trasladados

> g:= simplify(%); # El símbolo % permite hacer referencia a la expresión anterior

> h:=isolate(g, w); # Despejar de la función g la variable w, y guardar esto en la variable h

> V:= Int (Pi*(rhs(h))^2, t=0..1)=int (Pi*(rhs(h))^2, t=0..1); # Se plantea la integral de volumen, método de los discos

NOTA: El comando “rhs(h)” permite usar la parte derecha de la función asignada en la variable h. Además, no es necesario cambiar los límites de integración, ya que la traslación se hizo sobre el eje "y". Ahora presentamos un ejemplo de cálculo de volumen sobre un eje de giro oblicuo.

f := yK x2 K 1 = 0

a := 0

b := 5

x :=

y := 5 C

4 C wK t2 = 0

g := 4 C wK t2 = 0

h := w = K4 C t2

V :=

⌠⌡0

1

p 0K4 C t21 2dt =

203

15 p



Ejemplo 4: Usando traslación de ejes calcular el volumen del sólido de revolución

generado al girar la curva alrededor de la recta desde

hasta :

A.- Forma directa, sin trasladar los ejes, usando la librería Student[Calculus1] > restart:


> VolumeOfRevolution( x^2+1, x=2..5, output= integral, distancefromaxis=-2, axis= horizontal);

> VolumeOfRevolution( x^2+1, x=2..5, output= plot, distancefromaxis=-2, axis= horizontal, title="Ejemplo 4");

> VolumeOfRevolution( x^2+1, x=2..5, output= value, distancefromaxis=-2, axis= horizontal);

B.- Forma indirecta, Transformar la ecuación trasladando los ejes de manera

que el origen sea

> restart:

> f:= y-x^2-1 = 0; a:= 2; b:= -2; xx1:= 2; xx2:= 5; # 2 y 5 son los límites originales. Luego de la traslación, los límites originales deben ser adaptados a la nueva ecuación.

y = x2 C 1 y = K2

x = 2 x = 5

⌠⌡2

5

p 0 x2 C 31 2d

4398

5 p

yK x2K 1 = 0

Or = (2, KKKK2 ) :

f := yK x2 K 1 = 0



> x:=a+t; y:= b+w;

> eval(f);

> g:= simplify(%);

> h:=isolate(g, w); # Ecuación de la parábola con los ejes trasladados

> limite_x1:= xx1=a+t; limite_x2:= xx2=a+t; # Nuevos límites

> lim_inf:= solve (limite_x1); lim_sup:= solve (limite_x2);

> V:= Int (Pi*(rhs(h))^2, t=lim_inf..lim_sup)=int (Pi*(rhs(h))^2, t=lim_inf..lim_sup);

EJEMPLO 5: Volumen - Eje de giro oblicuo - Usando rotación y traslación Calcular el volumen del sólido de revolución que se genera al girar la curva � � �� alrededor de la recta � � � � � desde el punto H��%� al punto H�$��"�, estos puntos se refieren a la parábola.

a := 2

b :=K2

xx1 := 2

xx2 := 5

x := 2 C

y :=K2 C

K3 C wK ( 2 C t ) 2 = 0

g :=K7 C wK 4 tK t2 = 0

h :=w = 7 C 4 tC t2

limite_x1 := 2 = 2 C

limite_x2 := 5 = 2 C

lim_inf := 0

lim_sup := 3

V :=

⌠⌡0

3

p 07 C 4 tC t21 2dt =

4398

5 p



El planteamiento para la resolución del ejercicio consiste en transformar este problema en un problema donde el eje de giro sea HORIZONTAL, ya que una vez logrado esto, se convierte en un problema tradicional de volumen de sólidos de revolución con eje de giro paralelo a los ejes coordenados. Procedimiento: a. Primero se hace una traslación de ejes, de manera que el origen del nuevo sistema coordenado se ubique en el punto donde el eje oblicuo corta al eje original "y". b. Luego se hace una rotación de ejes de manera que el eje de las abscisas del nuevo sistema rotado, quede sobre la recta que representa el eje oblicuo. c. Paralelamente a todo esto, hay que ir transformando los límites de integración originales, adaptándolos a los nuevos sistemas coordenados. > restart: plot({x^2+1, x-1}, x=-5..20, y=-5..20, thickness=2, color=[red, blue]);

1.- Traslación de los ejes: > restart:

> f:= y=x-1; g:= y=x^2+1; xx1:= 2; xx2:= 4; # Límites originales

> with(student): m:= slope(f); # El comando "slope(f)" calcula la pendiente de la recta (eje oblicuo) guardada en la variable f. Este dato será necesario para la rotación de los ejes.

> a:= 0; b:= rhs(eval(f, x=a)); # Evalúa la parte derecha de la función f para � � �. Esto para hallar el corte con el eje �, lo que completa el punto de referencia para llevar a cabo la traslación de los ejes

f := y = xK 1

g := y = x2C 1

xx1 := 2

xx2 := 4

m := 1

a := 0



Gráficamente:

> x:= a+t; y:= b+w; # P(a,b) representa el punto donde será colocado el origen del nuevo sistema

> eval(g);

> simplify(%);

> h:= isolate(%, w); # Ecuación de la parábola para el nuevo sistema (Ejes trasladados)

> xx3:= solve(xx1=x, t); xx4:= solve(xx2=x, t); yy3:=eval(rhs(h), t=xx3); yy4:=eval(rhs(h), t=xx4); # Nuevos puntos de la función con traslación. Al trasladar los ejes, los valores (límites de integración) de x siguen siendo los mismos. Lo que cambian son los valores de y.

2.- Rotación de los ejes: > theta:= arctan(m); # Ángulo de rotación calculado a partir del eje oblicuo original

b :=K1

x := t

y :=K1 Cw

K1 C w = t2C 1

K1 C w = t2C 1

h :=w = t2C 2

xx3 := 2

xx4 := 4

yy3 := 6

yy4 := 18



> t:= tt*cos(theta)-ww*sin(theta); w:=tt*sin(theta)+ww*cos(theta); # Ecuaciones para la rotación. Este sistema de ecuaciones permitirá el cálculo de los nuevos límites (rotados)

> eval(h): j:= simplify(%); # Ecuación de la parábola original relacionada a los ejes rotados. Ya en este punto tenemos un problema de volumen de sólidos de revolución con eje de giro HORIZONTAL.

Gráficamente:

> solutions:=[solve(%, ww)]: i1:= solutions[1]; i2:= solutions[2]; # Despejo ww, nueva variable. Graficamos para definir cuál será la ecuación de trabajo

q :=1

4 p

t :=1

2 tt 2 K

1

2 ww 2

w :=1

2 tt 2 C

1

2 ww 2

j :=1

2 tt 2 C

1

2 ww 2 =

1

2 tt2

K tt wwC1

2 ww2

C 2

i1 := tt C1

2 2 C

1

2 8 tt 2 K 14

i2 := tt C1

2 2 K

1

2 8 tt 2 K 14



Gráficas para una comprobación previa…

> plot(i1, tt=-10..10, ww=-1..10, color=red, thickness=2);


#AQUI

> with(plots): implicitplot(j, tt=-10..10, ww=-1..10,

color=green, thickness=2);

> with(plottools): p:= implicitplot(j, tt=-10..10, ww=-

10..10, color=green, thickness=2): r:= rotate(p,

Pi/4): display(r);

> solve({xx3=t, yy3=w}, [tt,ww]); # Resuelve el sistema de ec.

(5.10) para hallar los nuevos puntos de la función rotada

> solve({xx4=t, yy4=w}, [tt,ww]);

> lim_inf:= eval(tt,solve({xx3=t, yy3=w})); # devuelve la sol de tt, abscisas del sistema rotado

> lim_sup:= eval(tt,solve({xx4=t, yy4=w}));

> V:= Int (Pi*(i2)^2, tt=lim_inf..lim_sup)=int (Pi*(i2)^2,

tt=lim_inf..lim_sup); # Cálculo con la ecuación tradicional de

volúmen de sólidos de revolución

[ [ tt = 4 2 , ww = 2 2 ] ]

[ [ tt = 11 2 , ww = 7 2 ] ]

lim_inf := 4 2

lim_sup := 11 2



> evalf(rhs(V), 5);

��&�

> with(Student[Calculus1]): # Cálculo con la libreria, comprobación

> VolumeOfRevolution( i2, tt=lim_inf..lim_sup, output= integral,

axis= horizontal)=evalf(VolumeOfRevolution( i2, tt=lim_inf..lim_sup,

output= value, axis= horizontal),5);

ÁREA DE SUPERFICIE > with(Student[Calculus1]): SurfaceOfRevolution( i2, tt=lim_inf..lim_sup, output= integral, axis=

horizontal)=evalf(SurfaceOfRevolution( i2, tt=lim_inf..lim_sup,

output= value, axis= horizontal),5);;

COMPROBACIÓN DE LA ROTACIÓN Y TRASLACIÓN USANDO UNA ECUACIÓN DE REFERENCIA PARA EL CÁLCULO DE ÁREA DE REGIONES OBLICUAS Vamos a calcular el área de la región plana. Calcular el área de la región plana perpendicular entre las curvas � � �� y � � � � � desde el punto H��%� al punto H�$��"�, estos puntos se refieren a la parábola.

.

⌠⌡

4 2

11 2

1

4 p 02 tt C 2 K 8 tt 2 K 14 1

2

dtt = 1338.2

A =1

1Cm2$⌠⌡p

q[ f (x ) Km $ xK b ] $ [1Cm $f ' (x ) ] dx



> A:= Int (i2, tt=lim_inf..lim_sup)=int (i2, tt=lim_inf..lim_sup); # Cálculo de área tradicional, en base a los ejes trasladados y rotados

> restart: A:= 1/(1+1^2)*Int((x^2+1-(x-1))*(1+1*Diff(x^2+1,x)),

x=2..4)=1/(1+1^2)*int((x^2+1-(x-1))*(1+1*diff(x^2+1,x)), x=2..4); #

Ecuación de referencia para el cálculo de área. Trabaja con el

problema original, sin necesidad de traslación y rotación de ejes

COMPROBACIÓN DE LA ROTACIÓN Y TRASLACIÓN USANDO UNA ECUACIÓN DE REFERENCIA PARA EL CÁLCULO DE VOLUMEN - EJE OBLICUO

> restart: V:= Pi/(1+1^2)^(3/2)*Int((x^2+1-(x-1))^2*(1+1*Diff(x^2+1,x)), x=2..4)=Pi/(1+1^2)^(3/2)*int((x^2+1-(x-

1))^2*(1+1*diff(x^2+1,x)), x=2..4); # Ecuación de referencia para el

cálculo de volumen de sólidos de revolución (ejes oblicuos). Trabaja

con el problema original, sin necesidad de traslación y rotación de

ejes

> evalf(%,5);

A :=

⌠⌡

4 2

11 2

tt C1

2 2 K

1

2 8 tt 2 K 14 dtt =

185

3

A :=1

2

⌠⌡2

4

(x2C 2 K x ) 0 1 C

d

dx (x2

C 1 )1 dx =185

3

V =p

(1Cm2 )

3

2

$⌠⌡p

q

[ f (x ) Km $ xK b ] 2$ [1Cm $f ' (x ) ] dx .



EJEMPLO 6: Volumen - Eje de giro oblicuo - Usando rotación y traslación Calcular el volumen del sólido de revolución que se genera al girar la curva � � �� $ alrededor de la recta � � �� desde el punto H��$�� al punto H��%�. > restart:

> plot({x^2-4, -x-2}, x=-10..10, y=-10..10, thickness=2);

1.- Traslación de los ejes: > restart:

> f:= y=-x-2; g:= y=x^2-4; xx1:= -4; xx2:= -3; # Límites originales

> with(student): m:= slope(f); # El comando "slope(f)" calcula la

pendiente de la recta (eje oblicuo) guardada en la variable f. Este

dato será necesario para la rotación de los ejes.

> a:= 0; b:= rhs(eval(f, x=0)); # Evalua la parte derecha de la

función f para Esto para hallar el corte con el eje , lo

que completa el punto de referencia para llevar a cabo la traslación

de los ejes

> x:= a+t; y:= b+w; # P(a,b) representa el punto donde será

colocado el origen del nuevo sistema

f := y = KxK 2

g := y = x2 K 4

xx1 :=K4

xx2 :=K3

m :=K1

x = 0. y

a := 0

b :=K2

x :=

y :=K2 C



> eval(g);

> simplify(%);

> h:= isolate(%, w); # Ecuación de la parábola para el nuevo

sistema (Ejes trasladados)

> xx3:= solve(xx1=x, t); xx4:= solve(xx2=x, t); yy3:=eval(rhs(h), t=xx3); yy4:=eval(rhs(h), t=xx4); # Nuevos puntos de la función con

traslación. Al trasladar los ejes, los valores (límites de

integración) de x siguen siendo los mismos. Lo que cambian son los

valores de y.

Gráficamente:

2.- Rotación de los ejes: > theta:= arctan(m); # Ángulo de rotación calculado a partir del eje

oblicuo original

> t:= tt*cos(theta)-ww*sin(theta); w:=tt*sin(theta)+ww*cos(theta); # Ecuaciones para la rotación. Este sistema de ecuaciones permitirá el

cálculo de los nuevos límites (rotados)

K2 C w = t2 K 4

K2 C w = t2 K 4

h := w = t2 K 2

xx3 :=K4

xx4 :=K3

yy3 := 14

yy4 := 7

q :=K1

4 p



> eval(h): j:= simplify(%); # Ecuación de la parábola original

relacionada a los ejes rotados. Ya en este punto tenemos un problema

de volumen de sólidos de revolución con eje de giro HORIZONTAL.

Gráficamente:

> solutions:=[solve(%, ww)]: i1:= solutions[1]; i2:= solutions[2]; # Despejo ww, nueva variable. Graficamos para definir cuál será la

ecuación de trabajo

Gráficas para una comprobación previa…



t :=1

2 tt 2 C

1

2 ww 2

w :=K1

2 tt 2 C

1

2 ww 2

j :=K1

2 tt 2 C

1

2 ww 2 =

1

2 tt2 C tt wwC

1

2 ww2 K 2

i1 := KttC1

2 2 C

1

2 K8 tt 2 C 18

i2 := KttC1

2 2 K

1

2 K8 tt 2 C 18



> with(plots): implicitplot(j, tt=-10..10, ww=-10..10,

color=green, thickness=2);

> with(plottools): p:= implicitplot(j, tt=-10..10, ww=-

10..10, color=green, thickness=2): r:= rotate(p, -

Pi/4): display(r);

> solve({xx3=t, yy3=w}, [tt,ww]); # Resuelve el sistema de ec.(1.10)

para hallar los nuevos puntos de la función rotada

> solve({xx4=t, yy4=w}, [tt,ww]);

> lim_inf:= eval(tt,solve({xx3=t, yy3=w})); # devuelve la sol de tt, abscisas del sistema rotado

> lim_sup:= eval(tt,solve({xx4=t, yy4=w}));

> V:= Int (Pi*(i2)^2, tt=lim_inf..lim_sup)=int (Pi*(i2)^2,

tt=lim_inf..lim_sup); # Cálculo con la ecuación tradicional de

volúmen de sólidos de revolución

> evalf(rhs(V), 5);

$%#%

> with(Student[Calculus1]): # Cálculo con la libreria, comprobación

> VolumeOfRevolution( i2, tt=lim_inf..lim_sup, output= integral,

axis= horizontal)=evalf(VolumeOfRevolution( i2, tt=lim_inf..lim_sup,

output= value, axis= horizontal),5);

2 2 tt = K9 2 , ww = 5 2 3 3

2 2 tt = K5 2 , ww = 2 2 3 3

lim_inf := K9 2

lim_sup := K5 2



ÁREA DE SUPERFICIE > with(Student[Calculus1]): SurfaceOfRevolution( i2, tt=lim_inf..lim_sup, output= integral, axis=

horizontal)=evalf(SurfaceOfRevolution( i2, tt=lim_inf..lim_sup,

output= value, axis= horizontal),5);;

COMPROBACIÓN DE LA ROTACIÓN Y TRASLACIÓN USANDO UNA ECUACIÓN DE REFERENCIA PARA EL CÁLCULO DE ÁREA Vamos a calcular el área de la región plana. Calcular el área de la región plana perpendicular entre las curvas � � �� $ y � � �� desde el punto H��$�� al punto H��%�.

> A:= Int (i2, tt=lim_inf..lim_sup)=int (i2, tt=lim_inf..lim_sup); # Cálculo de área tradicional, en base a los ejes trasladados y rotados

> restart: A:= 1/(1+(-1)^2)*Int((x^2-4-(-x-2))*(1-1*Diff(x^2-4,x)),

x=-4..-3)=1/(1+(-1)^2)*int((x^2-4-(-x-2))*(1-1*diff(x^2-4,x)), x=-

4..-3); # Ecuación de referencia para el cálculo de área. Trabaja con

el problema original, sin necesidad de traslación y rotación de ejes

⌠⌡K9 2

K5 2

1

4 p 02 ttK 2 C K8 tt 2 C 18 1

2

dtt = 456.95

A =1

1Cm2$⌠⌡p

q[ f (x ) Km $ xK b ] $ [1Cm $f ' (x ) ] dx .

A :=

⌠⌡K9 2

K5 2

KttC1

2 2 K

1

2 K8 tt 2 C 18 dtt =

167

6

A :=1

2

⌠⌡K4

K3

0 x2 K 2 C x1 1 K

d

dx 0 x2 K 41 dx =

167

6



COMPROBACIÓN DE LA ROTACIÓN Y TRASLACIÓN USANDO UNA ECUACIÓN DE REFERENCIA PARA EL CÁLCULO DE VOLUMEN - EJE OBLICUO

> restart: V:= Pi/(1+(-1)^2)^(3/2)*Int((x^2-4-(-x-2))^2*(1-

1*Diff(x^2-4,x)), x=-4..-3)=Pi/(1+(-1)^2)^(3/2)*int((x^2-4-(-x-

2))^2*(1-1*diff(x^2-4,x)), x=-4..-3); # Ecuación de referencia para

el cálculo de volumen de sólidos de revolución (ejes oblicuos).

Trabaja con el problema original, sin necesidad de traslación y

rotación de ejes

> evalf(%,5);

V =p

(1Cm2 )

3

2

$⌠⌡p

q

[ f (x ) Km $ xK b ] 2$ [1Cm $f ' (x ) ] dx .

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