APROXIMACIÓNINTERPOLACIÓN Y REGRESIÓN

INTERPOLACIÓN REGRESIÓN

INTERPOLACIÓN

Encontrar datos intermedios a partir de un

conjunto dado

0

40

80

120

160

0 2 4 6 8

y

x

y = ?

INTERPOLACIÓN

Funciones más conocidas y útiles para mapear conjuntos de datos

Polinomios algebraicos

VentajasFácilmente derivables e

integrables

Sus derivadas e integrales son polinomios

011

1 ...)( axaxaxaxP nn

nnn

12

11' ...)1()( axanxnaxP n

nn

nn

xaxa

nxa

nxa

xPn

nn

nn 0

211

1

2...

1)(

POLINOMIO INTERPOLANTE DE LAGRANGE

)()(...)()()( ,0,0 xLxfxLxfxP nnnn

Donde:

))...()()...()(())...()()...()((

)(1110

1110,

nkkkkkkk

nkkkn xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxL

Tiene en cuenta todos los puntos y correlaciona el comportamiento completo del conjunto usado

POLINOMIO INTERPOLANTE DE LAGRANGE

Año Consumo de energía

(EJ)1994

405

1998

420

2002

450

380

400

420

440

1990 1995 2000 2005Cons

umo

mun

dial

de

ene

rgía

(EJ)

Año

¿Consumo en 1996?

POLINOMIO INTERPOLANTE DE LAGRANGE

Año Consumo de energía

(EJ)1994

405

1996

390.63

1998

420

2002

450

380

400

420

440

1990 1995 2000 2005Cons

umo

mun

dial

de

ene

rgía

(EJ)

Año

Consumo en 1996

POLINOMIO INTERPOLANTE DE LAGRANGE

Funciona bien cuando el número de datos base es pequeño y por tanto el polinomio es de bajo orden

Pero…

Y si son muchos datos…

POLINOMIO INTERPOLANTE DE LAGRANGE

Año Consumo de energía (EJ)

1820 20

1840 23

1860 25

1880 28

1900 50

1920 70

1940 90

1960 150

1980 320

2000 440

2010 550

TRAZADOR CÚBICO (CUBIC SPLINE)

Se divide el intervalo de aproximación en trozos más pequeños

Se usan polinomios cúbicos (que tienen 4 constantes cada uno) entre cada par sucesivo de nodos, que se calculan como:

• En cada subintervalo se debe conocer una pareja x,y de manera que p(x) = y.

• Primera derivada intervalo a = primera derivada intervalo b, si son vecinos.

• Segunda derivada intervalo a = segunda derivada intervalo b, si son vecinos.

Año Consumo de energía (EJ)

1820 20

1840 23

1860 25

1880 28

1900 50

1920 70

1940 90

1960 150

1980 320

2000 440

2010 550

TRAZADOR CÚBICO (CUBIC SPLINE)

REGRESIÓN LINEAL

Encontrar el tipo de función más simple que represente apropiadamente un conjunto de datos dado

Aproximación lineal

Se desea ajustar una función lineal en sus parámetros

y = a + bx

y = a + bx + cx2

Ln y = b + ax

Ln y = b + a Ln x

REGRESIÓN LINEAL

Datos: x, y

Modelo: x,

Se busca minimizar la distancia entre y y

(para todos los puntos)

REGRESIÓN LINEAL

Si el modelo fuese de la forma: �̂�=𝑎1𝑥+𝑎0

El problema: min∑𝑖=1

𝑛

|𝑦 𝑖− 𝑦 𝑖|

Se convierte en: min∑𝑖=1

𝑛

|𝑦 𝑖−(𝑎1𝑥 𝑖+𝑎0)|

Que no es derivable en todos los puntos

MÍNIMOS CUADRADOS LINEALES

E=min∑𝑖=1

𝑛

[𝑦 𝑖− (𝑎1𝑥 𝑖+𝑎0 ) ]2

Para minimizar E se deriva con respecto a los parámetros que se desean estimar:

𝜕𝐸𝜕𝑎1

=0𝜕𝐸𝜕𝑎1

=0

MÍNIMOS CUADRADOS LINEALES

𝜕𝐸𝜕𝑎1

=2∑𝑖=1

𝑛

(𝑦 𝑖−𝑎1 𝑥𝑖−𝑎0 ) ( −𝑥𝑖 )=0

𝜕𝐸𝜕𝑎0

=2∑𝑖=1

𝑛

( 𝑦 𝑖−𝑎1𝑥 𝑖−𝑎0 ) (−1 )=0

MÍNIMOS CUADRADOS LINEALES

𝑎1=𝑛∑

𝑖=1

𝑛

𝑦 𝑖𝑥 𝑖−∑𝑖=1

𝑛

𝑦 𝑖∑𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖

𝑛∑𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖2−(∑

𝑖=1

𝑛

𝑥 𝑖)2

𝑎0=∑𝑖=1

𝑛

𝑦 𝑖∑𝑖=1

𝑛

𝑥 𝑖2−∑

𝑖=1

𝑛

𝑦 𝑖 𝑥 𝑖∑𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖

𝑛∑𝑖=1

𝑛

𝑥 𝑖2−(∑

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖)2

MÍNIMOS CUADRADOS LINEALES

 

𝑎0∑𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖1+𝑎1∑

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖2+𝑎2∑

𝑖=1

𝑛

𝑥 𝑖3+…+𝑎𝑚∑

𝑖=1

𝑛

𝑥 𝑖𝑚+ 1=∑

𝑖=1

𝑛

𝑦 𝑖𝑥 𝑖1

𝑎0∑𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖𝑚+𝑎1∑

𝑖=1

𝑛

𝑥 𝑖𝑚+1+𝑎2∑

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖𝑚+2+…+𝑎𝑚∑

𝑖=1

𝑛

𝑥𝑖2𝑚=∑

𝑖=1

𝑛

𝑦 𝑖𝑥 𝑖𝑚

.

.

.

MÍNIMOS CUADRADOS LINEALES

.

.

.

xi yi0.2 0.0504460.3 0.0984260.6 0.332770.9 0.72661.1 1.09721.3 1.56971.4 1.84871.5 2.5015

y = 1.4548x2 - 0.755x + 0.1877R² = 0.988

00.5

11.5

22.5

3

0 1 2Y

X

Series1

Polinómica(Series1)