1.APROXIMACION WKB Aunquelamecnicaclsicaesellmitedelamecnicacuntica,cuando,estelmitenoes analtico. En efecto, recordemos que en la seccin anterior argimos que las funciones de onda tienen un comportamiento +

en ellmite clsico. Lo queesperamos poder desarrollar, sin embargo es el coeficientedeenellogaritmodelafuncindeonda+.EsteeselmtodoWKB.Consideremosel caso de estados estacionarios, escribiremos como: +

con (1.3.1) Un estado estacionario Desarrollemosen potencias de

(

)

(1.3.2) La cantidadse introduce por conveniencia futura. Posiblemente la cantidad

coincide con la accin clsica, para locual sustituyamos la ecuacin (1.3.1)tenemos:

+

,Como;

(

)

y

(

)

Lacantidad

(

)

(

)

Esdecir:

+

(

(

)

)

(

)

(

(

)

) (1.3.3) La ecuacin de Schrdinger,

+

+ de donde

+

+

(1.3.4) Reemplazandolaecuacin(1.3.3)enlaecuacin(1.3.4)eigualandoordenporordenenpodemos encontrar las

. En una dimensin y para una sola partcula A primer grado de

y

; (1.3.5) De

y para el casola solucin es:

(1.3.6) Por lo tanto a este orden, la solucin ms general es: +

, , (1.3.7) Donde hemos identificado, para .,

, como el impulso clsico. Veamos que este resultado era de esperar. La funcin de onda completa ser, escogiendo por ejemplo, la solucin con

, que corresponde a partculas movindose en el sentido de las x positivas.+

Enlaintegralanteriorsehatomado,comoposicindemodoqueladifencial

cambiando variables en dicha integral se tiene:

, adems se cumple. +

{

} Por otra parte la energa total clsica estdado por:

(1.3.8) Luegofinalmente,comoellagrangianoclsicocalculadosobrelatrayectoriaclsicaesprecisamente como:

,(1.3.9) Reemplazando la ecuacin (1.3.6) en (1.3.7) obtenemos ellagrangiano:

, con lo que la integral+

{

}

(1.3.10) Conloqueladiscusinenlaseccinanteriorquedajustificadacompletamente.Laecuacin(1.3.10) tiene una validez general, no solo para problema en una dimensin Ahora veamos el caso. para ello definimos la cantidad , entonces la solucin general es: +

, (1.3.11) Esta solucin podemos obtener, deformaanlogaaladelaecuacin (1.3.11), con elsiguienteartificio, hacemos continuacin analtica en la variable tiempo, de manera queDe manera que la solucin resulta como sigue: +

, (1.3.12) Donde

y

(1.3.13) Pasemos a tratar al orden siguiente, teniendo en cuenta trminos 0() de la segunda parte de la ecuacin (1.3.5) se tiene

Luego la solucin es

(1.3.14) Para obtener la ecuacin (1.3.14) se ha tomado en cuenta que

. Y por lo tanto, a este orden la nueva funcin de onda es: Cuando la energa, ( ) ( ) ( )(1)A A i i, dy dy( ) ( )cl clcl clx t exp p y exp p yP x P x+ = + ` ` ) )+} }x x Cuandolaenerga ( )( )( )( )( )(1) A A i iexp( dy) exp( dy x p y p yp x p x+ = + +} }x x Elempalmeentrelasdos regiones,yes complicadoy no lo veremos aqu,aunquelas condiciones deempalmeson las que permiten encontrar el espectro de energas en la aproximacin WKB. CundoserunabuenaaproximacindelmtodoWKB?Porlomenoscuando|

||

|,estoes, cuando|

|,

(1.3.13) La aproximacin es buena cuando la longitud de onda de De Broglie es lentamente variable de un punto a otro.Porsupuesto,lacondicin(1.3.13)nosesatisfacepara,donde

y:estosson precisamente los puntos de empalme que corresponden a puntos de retroceso en la trayectoria clsica. Sin embargo, la aproximacin WKB para calcular, por ejemplo, coeficientes de transmisin /reflexin es excelenteinclusocuando(1.3.13)falla.Laraznlaveremosenlaseccinsiguientecuandodemosotra interpretacin de la aproximacin WKB. 2.EFECTO TUNEL EN LA APROXIMACIONWKB. Vamosacalcularelcoeficientedetransmisinatravsdetresbarreras,alordenmsbajoenla aproximacinWKB.Enlostrescasosenlafigura1.4.1.Suponemosquelapartculavienedela izquierda,ydespreciamoslareflexinmltiple.Portanto,tenemosquetomar,escogiendoelorigende coordenadas tal que ,+

(1.4.1) (A)Barrera cuadrada B) Barrera diente de sierra (A)Barrera parablica El coeficiente de transmisin ser: |+

|

|+

|

(1.4.2) En el caso de la Barrera cuadrada se tieney El coeficiente de transmisin es:

{

} (1.4.2) En caso de barrera de diente de sierra , luego

El coeficiente de transmisin es:

{

} (1.4.3) En caso de barrera parablica

, luego

El coeficiente de transmisin es:

{

}(1.4.4) Comparandoelcoeficientedetransmisinparaelcasodelabarreracuadrada,calculadoenlaecuacin (5.8.15). (Referenciatexto Lic. Vctor Romn Salinas)

(

)

, ;

(

)

Donde:

,

y

.

{

} (Eltrmino

sedebeareflexionesmltiples,quenohemostenidoencuentatampocoenel clculo WKB). El exponente es exacto. 3.OPERADORES EN EL LIMITE CLASICO Para acabar este captulo vamos a tratar brevemente del lmite clsico de operadores, en el caso general. Cuando, podemos utilizar como funcin de onda la WKB, ecuacin (1.3.10). +

{

}. Por facilidad trabajaremos en el caso de una dimensin. Por lo tanto, y a orden relativo , los operadores de posicin y de impulso tienen autovalores aproximados como:

+

+ , (1.5.1) ( ) ( ) ( ) ( )0cl( ,)P , i , , P (t) , x t x t x t x tx xc c= ~ =c cclxxA(1.5.2) Para la deduccin de la ecuaciones (1.5.2) se ha utilizado las expresiones de la seccin (1.3)

, con

. Segn el teorema de Von Neumann, cualquier operador autoadjunto puede escribirse como funcin de

y: Es decir Despreciandotrminosdeorden,puedetomarsequeyconmutan:portanto,+

+ ,endefinitiva,ycomoyahabamosindicado,enellmiteclsicolosoperadoresactan simplemente multiplicando la funcin de onda por la cantidad clsica correspondiente, lo que escribimos

+ {

}+ (1.5.3)