http://www.construir.com/Econsult/Construr/Nro69/apuntalamiento_edificios/apuntalamientook.htm

Apuntalamiento de edificiosEL DESPLAZAMIENTO DE CARGAS O de los apoyos, que originalmente actuaban sobre una determinada construcción, pueden alterar sus condiciones originales de estabilidad. Para contener los efectos que podrían causar estos desequilibrios en las estructuras, muchas veces es necesario apelar a los apuntalamientos. Téngase presente que esta tarea no corrige la perturbación, sólo proporciona tiempo para que pueda estudiarse cuidadosamente la mejor forma de restablecer el equilibrio en forma definitiva. Cualquiera sea la circunstancia que se presente, el apuntalamiento deberá reunir todas las características de una obra resistente, para que pueda reemplazar con suficiencia la parte afectada del edificio, y, una vez reparada la obra lesionada, se desmonte con facilidad. Con frecuencia, se presentan situaciones de riesgo por una inminente inestabilidad de la construcción. En estos casos, se privilegia la rapidez de ejecución por sobre toda otra consideración. Ello lleva a evitar trabajos que, aún atendiendo a las reglas del arte, puedan causar demoras (abulonamientos, cortes, perforaciones, etc.). Como nuestra tarea es apuntalar con piezas de madera, es indefectible que estas se encuentren en óptimas condiciones, carentes de fisuras y sin excesivos nudos. En términos generales, decimos que un apuntalamiento es bueno cuando cumple las siguientes condiciones: 1. Sostener 2. Retener 3. Unir

1. Sostener. Es el caso que hay que corregir (o suprimir) una columna, dado que son los puntales las que deberán soportar una carga que ella recibiría (figura 1), o tomar (figura 2), mediante tirantería inclinada, el empuje generado por un muro elevado, o bien, en un edificio lesionado en el que un descenso de entrepiso agrietó un muro de cierre.

 

Se deberán colocar puntales verticales e inclinados para absorber las solicitaciones, mientras se procede a la construcción de un nuevo muro (figura 3).

2. Retener. Esto lo vemos tipificado cuando uno de los dos muros enfrentados tiende a inclinarse (figura 4); el puntal, en este caso representado por una viga celosía, actúa como resistente a los empujes.

3. Unir. Se presenta, por ejemplo (figura 5), en la circunstancia de una viga agrietada, donde el apuntalamiento evita la propagación de la fisura.

Elementos fundamentales de los aputalamientos son las 'cuñas'. Estas se emplazan entre el puntal y su asiento, y pueden desarrollar fuerzas de gran magnitud. Se colocan clavando la cuña, llamada 'inicial' y con otra se hace presión por deslizamiento (figura 6). Nunca deberán ser de madera blanda. Se llama solera al plano de asiento de los apuntalamientos. Su objetivo consiste en aumentar las superficies de apoyo (figura 7). Las soleras más comunes están constituidas por tablones, encargados de distribuir las solicitaciones.

 

En el caso de encontrarnos con cargas importantes, con frecuencia se emplean los puntales dobles, 'sunchados' mediante flejes (figuras 8 y 9), los convergentes (figura 10), y los divergentes (figura 11, 12 y 13).

 

En la figura 14 se nos muestra el procedimiento utilizado comúnmente en las demoliciones de las partes inferiores de tabiques, para sustentar con parantes de madera el volumen superior hasta colocar una viga metálica en forma definitiva.

http://www.carreteros.org/normativa/tuneles/ios98/indice.htm

 

ORDEN MINISTERIAL

TÍTULO I CONSIDERACIONES GENERALES o I.1 Objeto o I.2 Requisitos esenciales y ámbito de aplicación o I.3 Clasificación de las obras subterráneas

TÍTULO II OBLIGACIONES FUNCIONALES o II.1 El titular de la obra subterránea o II.2 Obligaciones del titular o II.3 Situaciones de emergencia o II.4 De la aprobación de los proyectos e inspección de

las obras subterráneas TÍTULO III CRITERIOS BASICOS EN LA FASE DE PROYECTO

o III.1 Condiciones generales de seguridad y estabilidad III.1.1 Generalidades- III.1.2 Acciones a considerar-

o III.2 Trazado III.2.1 Túneles urbanos o en zonas industriales- III.2.2 Túneles de carretera.- III.2.3 Túneles de ferrocarril.-

o III.3 Estudios geológicos y geotécnicos III.3.1 Generalidades- III.3.2 Estudios hidrogeológícos.-

o III.4 Sección transversal o III.5 Métodos constructivos o III.6 Sostenimiento y revestimiento o III.7 Auscultación y reconocimientos durante la

construcción o III.8 Instalaciones definitivas o III.9 Escombreras o III.10 Prevención de riesgos laborales o III.11 Impacto medioambiental

o III.12 Documentos del proyecto TÍTULO IV CRITERIOS BASICOS EN LA FASE DE CONSTRUCCION

o IV. 1 Del terreno y los materiales de construcción o IV. 2 Memoria de construcción o IV.3 Instalaciones para la construcción o IV.4 Instrumentación o IV. 5 Maquinaria o IV.6 Explosivos o IV.7 Proceso constructivo

IV.7.1 Saneo.- IV.7.2 Perforación.- IV.7.3 Excavación.- IV.7.4 Carga. transporte, vertido y acopio.- IV.7.5 Sostenimiento.- IV.7.6 Revestimiento.- IV.7.7 Construcción con máquinas integrales.-

o IV.8 Prevención de riesgos laborales IV.8.1 Accesos y transporte (exterior e interior de

la obra subterránea).- IV.8.2 Transporte de personal.-

TÍTULO V CRITERIOS BASICOS PARA LAS INSTALACIONES DEFINITIVAS Y LA EXPLOTACION

o V. 1 Consideraciones generales o V.2 Túneles de carretera

V.2.1 Sistemas de explotación. Criterios de clasificación.-

V.2.2 Instalaciones fijas.- V.2.2.1 Suministro de energía.- V.2.2.2 Sistema de control.- V.2.2.3 Ventilación.- V.2.2.4 Alumbrado.- V.2.2.5 Salidas de emergencia. Refugios.- V.2.2.6 Incendio. Detección y extinción.- V.2.2.7 Control del tráfico y circulación.- V.2.2.8 Comunicaciones.- V.2.2.9 Señalización y balizamiento.- V.2.2.10 Obra civil y auscultación.-

V.2.3 Manual de Explotación.- o V. 3 Túneles ferroviarios

V.3.1 Sistemas de explotación. Criterios de selección.-

V.3.2 Instalaciones fijas.- V.3.2.1 Suministro de energía- V.3.2.2 Sistema de control.- V.3.2.3 Ventilación.- V.3.2.4 Alumbrado.- V.3.2.5 Salidas de emergencia y refugios.- V.3.2.6 Incendio.- V.3.2.7 Calentamiento.- V.3.2.8 Equipamientos.-

V.3.2.9 Seguridad. Medidas preventivas.- V.3.2.10 Obra civil.- V.3.2.11 Manual de Explotación-

FUERZAS APLICADAS A UN CUERPO.

 Se distinguen dos tipos de fuerzas: las externas y las internas. Dentro de las externas tenemos las actuantes o aplicadas exteriormente y las reacciones o resistentes que impiden el movimiento. Las actuantes son aquellas cargas a las que se ve sometida la estructura por su propio peso, por la función que cumple y por efectos ambientales. En primera instancia se pueden subdividir en cargas gravitacionales, debidas al peso propio y a las cargas de uso, se denominan gravitacionales porque corresponden a pesos, fuerzas hidrostáticas y fuerzas ambientales. Entre las gravitacionales tenemos las cargas muertas y las cargas vivas: Cargas muertas: Corresponde al peso propio y al peso de los materiales que soporta la estructura tales como acabados, divisiones, fachadas, techos, etc. Dentro de las cargas muertas también se pueden clasificar aquellos equipos permanentes en la estructura. En general las cargas muertas se pueden determinar con cierto grado de exactitud conociendo las densidades de los materiales.Consulte las densidades de los principales materiales de construcción: acero, hormigón, madera, vidrio, mampostería de ladrillo hueco, mampostería de ladrillo macizo, mortero, tierra, plástico; como también las cargas mínimas de diseño en edificaciones para particiones y divisiones y acabados. (consultar en la NSR-98 o en www.asosismica.org encuentran la NSR-98)Como ejercicios se recomienda el documento de conceptos fundamentales de la asignatura Física III (http//estructuras.eia.edu.co) Cargas vivas: Corresponden a cargas gravitacionales debidas a la ocupación normal de la estructura y que no son permanentes en ella. Debido a la característica de movilidad y no permanencia de esta carga el grado de incertidumbre en su determinación es mayor. La determinación de la posible carga de diseño de una edificación ha sido objeto de estudio durante muchos años y gracias a esto, por medio de estadísticas, se cuenta en la actualidad con una buena aproximación de las cargas vivas de diseño según el uso de la estructura. Las cargas vivas no incluyen las cargas ambientales como sismo o viento.Para efectos de diseño es el calculista quien debe responder por la seguridad de la estructura en su vida útil, para esto cuenta con las ayudas de las normas y códigos de diseño donde se especifican las cargas vivas mínimas a considerar. Consultar en la NSR-98 (Normas Colombianas de Diseño y Construcción Sismo Resistente, www.asosismica.org) las cargas vivas de diseño para edificios de vivienda, universidades, almacenes, etc. Compare estos valores. Cargas vivas en puentesLos tipos de cargas vivas considerados en el diseño de puentes se resumen en: carga de camión y carga de vía, carga de impacto y carga de frenado.Se conoce que la carga de un camión es mucho mas grande que la de un carro normal por esto se especifica una carga de vía que representa el peso de los carros normales y entre estos puede estar un camión que causa unas cargas puntuales grandes.El esquema general de la carga de vía mas camión es el siguiente. (lane load, truck load)  

         Para la carga de impacto se considera un factor de multiplicación de la carga viva de camión y vía y para la de frenado una carga horizontal proporcional a la carga de vía o camión.Se recomienda consultar el código de la AASHTO o en el Código Colombiano de Puentes. Fuerzas ambientales:Cargas de vientoEl viento produce una presión sobre las superficies expuestas.La fuerza depende de:-densidad y velocidad del viento-ángulo de incidencia-forma y rigidez de la estructura-rugosidad de la superficie-altura de la edificación. A mayor altura mayor velocidad del viento    

 

 

                 Para convertir el efecto del viento en presión se cuenta con dos procedimientos aceptados por las normas: el simplificado o estático y el dinámico.

4,27 m

Barlovento

Sotavento

Barlovento Sotavento

En el estático se toma una velocidad promedio sin tener en cuenta efectos como rugosidad del terreno y topografía y se convierte en presión por métodos energéticos (energía cinética pasa a ser energía potencial).Para determinar la velocidad, V, se cuenta con los mapas de riesgo eólico del país.

4.. SqCpP en kN/m2

donde:P: presión estática

q: velocidad convertida en presión dinámica. 2.000048,0 Vsq

Vs: velocidad del viento en kph (km/hora)donde por energía sabemos que la energía cinética es 1/2mV2 y m es la densidad del aire

S4: variación de la densidad del aire con la altura sobre el nivel del mar Para encontrar la presión ejercida sobre las diferentes partes de la estructura se emplean los coeficientes CP (coeficientes de presión) que modifican el valor de la presión del viento básica para tener en cuenta los efectos de la forma de la edificación y el sentido de la presión que se produce. Por ejemplo en un techo de una bodega encontraremos que los aleros y las esquinas se ven sometidas a presiones mayores que el resto de la cubierta. (consultar la NSR-98, www.asosismica.org.co)             Dependiendo de la forma de la estructura el revestimiento, la relación altura vs ancho y el punto analizado se tendrán diferentes coeficientes CP con su respectivo signo que da si es presión o succión. La NSR-98 permite un análisis simplificado donde se aplican coeficientes Cp promedios. Cargas de sismo:El sismo es una liberación súbita de energía en las capas interiores de la corteza terrestre que produce un movimiento ondulatorio del terreno.Este movimiento ondulatorio se traduce en una aceleración inducida a la estructura que contando esta con su propia masa y conociendo la 2da ley de Newton se convierte en una fuerza inercial sobre la estructura. Es inercial porque depende directamente de la masa de la estructura sometida al sismo.

amF .

 

Puntos con mayores coeficientes Cp

Como mencionamos la magnitud de esta fuerza depende de la masa de la edificación y de la aceleración correspondiente de la estructura. La aceleración de la estructura (es decir la respuesta de esta a una perturbación en la base) depende a su vez de su rigidez (K=F/d) y de la magnitud y frecuencia de la aceleración del terreno. La masa y la rigidez determinan el periodo de vibración de la estructura que para una aceleración del terreno produce una aceleración de vibración en ella. Por medio de un espectro de diseño (grafica de aceleración del terreno vs. Periodo de vibración) determina la aceleración de diseño para la estructura y por F=ma encontramos una fuerza estática equivalente al sismo. A la fuerza total sísmica en la base de la estructura se le conoce como el cortante basal.V = cortante basal ® fuerza total en la baseEste cortante basal se puede determinar por métodos aproximados con la siguiente ecuación:V = W.Sa Donde Sa es un coeficiente sísmico que depende de la estructura analizada y de la zona donde esté localizada. En Medellín podríamos decir en forma generalizada que este coeficiente tiene un valor de 0,5 para una vivienda de un piso. El coeficiente Sa representa la aceleración del terreno como una fracción de la gravedad Cargas debidas a cambio de temperaturaLos cambios de temperatura producen dilataciones o contracciones en la estructura en general y en sus elementos componentes. Estos cambios pueden producir o no fuerzas adicionales dependiendo del grado de restricción de la estructura y de sus elementos.Como ejemplo podemos analizar el efecto sobre un elemento simple articulado en sus dos extremos. Para un ascenso de la temperatura el elemento trata de estirarse pero como sus apoyos restringen el movimiento lateral es imposible su deformación axial. Para contrarrestar el efecto de alargamiento por temperatura se generan unas fuerzas de reacción que causan compresión del elemento y cuya magnitud es tal que produzcan la misma deformación axial que produce el ascenso de temperatura. De esta manera podemos concluir que los efectos de temperatura dependen de las restricciones al alargamiento y acortamiento de la estructura en general y de sus elementos componentes.Deformación unitaria por temperatura: Є = a.DtDeformación por cambios de temperatura en un elemento de longitud L:DL = a.Dt,La : coeficiente de dilatación térmica que depende del material analizado.Para el acero α = 6,5x10-6 Para concreto α = 5,5 – 7,0 x10-6 Elemento simple:      

Δ por cambio de temperatura

F de reacción por temperatura

Igualando las deformaciones por temperatura y las deformaciones por carga axial podemos obtener la magnitud de la fuerza de reacción y por ende los esfuerzos axiales generados por el cambio de temperatura. DL = PL/AE deformaciones por carga axialDL = a.Dt.L deformaciones por temperatura

tEAP D ... a Cargas por presión hidrostática y empuje de tierrasPor la Ley de Pascal sabemos que la presión que ejerce un líquido sobre las paredes que lo contienen es proporcional a la profundidad y al peso específico del líquido contenido. Los suelos ejercen sobre las superficies una presión similar a los líquidos pero de menor magnitud.La presión se representa entonces como una carga triangular          Donde: γ: peso específico del líquido o del líquido equivalente que representa al suelo.γequivalente=ka. γsuelo, donde ka es menor que 1h: altura  COMBINACIÓN DE CARGAS O ESTADOS DE CARGALos estados de carga se definen como las posibles cargas que se presentan durante la vida útil de la estructura. Existen estados de carga del uso normal de la estructura, cargas muertas y vigas; estados de carga temporales como aquellas de viento, sismo, o la misma construcción. El cómo combinar las cargas en un estado de cargas depende de estudios probabilísticas en los cuales se tiene en cuenta la probabilidad de ocurrencia simultanea de estas.Las normas estipulan unas combinaciones de carga básicas a tener en cuenta en el análisis. Ver B.2.3 de la NSR-98DD+LD+L+ED+L+WD+L+TComo ejemplo podemos ver en la siguiente viga que colocando la carga viva en diferentes posiciones y no en toda la luz podemos producir efectos máximos.    

W=h.γ

h.R=h2*γ/2

 MÉTODOS DE DISEÑOSabemos que las cargas en sí son probabilísticas y su ocurrencia con otras también es de naturaleza variable. Esta condición sumada a la condición también probabilística de los materiales, métodos de análisis y de construcción hace que en el diseño existan incertidumbres. Es responsabilidad de los calculistas reducir estas incertidumbres y controlarlas de tal manera que el resultado final cumpla con su cometido (seguridad, funcionalidad y economía).Como protección a los bienes comunes se dio origen a las normas de construcción en las cuales se aceptan varios métodos de diseño: Los métodos de diseño se dividen en determinísticos y probilísticos. Entre los determinísticos esta el método de esfuerzos de trabajo y el método de la rotura, y en probabilísticos tenemos el método de los estados límites. Método esfuerzos de trabajo: reduce esfuerzos Método de resistencia ultima o de la rotura: Se llevan los esfuerzos hasta la falla o rotura y se trabaja con cargas últimas o factoradas. (cargas reales multiplicadas por factores de mayoración)Método de estados limite: este método tiene en cuenta el efecto probabilístico tanto de las cargas como de las propiedades de los materiales, y por lo tanto trabaja factorando las cargas y reduciendo las resistencias. CRITERIOS DE FALLAUna estructura falla cuando deja de cumplir su función. Esto puede ocurrir o por desmoronamiento de ella o una de sus partes o por deformación excesiva.La falla por deformación puede ser por deformación elástica (recupera su forma una vez quitada la carga) o por deformación permanente. Este caso representa aquellas estructuras que producen un sentimiento de inseguridad en el usuario y que por lo tanto dejan de ser funcionales.Las fallas por desmoronamiento parcial o total son aquellas producidas por inestabilidad o por falta de resistencia de los materiales.  ALGUNOS CÓDIGOS DE DISEÑO:-NSR-98 (Colombia)-UBC (California)-ANSI (American National Standard Building Code)-ACI-LRDF-AASHTO-CÓDIGO INTERNACIONAL Consultar para que tipo de estructuras se usa cada uno.  EjerciciosUna vez visto como trabaja un sistema estructural de piso en una dirección en el cual las cargas llegan a los elementos por áreas aferentes, nos podemos preguntar de donde provienen estas cargas y como se calcula su valor. 

La primera parte del análisis incluye la modelación y la evaluación de cargas porque dependiendo de la veracidad de estas será la seguridad del diseño final. Para un sistema de piso común tenemos: Cargas muertas :Densidad de los materiales [Kg/m3 ] acero®7800

concreto®2400agua®1000ladrillo®1600mampostería®1300mortero®2100tierra®1800

 -Determinar la carga muerta en una losa de espesor 10 cm con tablero metálico en su base de calibre 22. ( peso/m2=7.63 Kgf/m2).Para este tipo de losas el consumo de concreto se ha calculado en 0,077m3/m2 de losa        -Encuentre la longitud de muros en adobe de arcilla hueco que se permite tener en una vivienda de 200m2 si se usan muros de 10 cm, de 15 cm, considerando la carga mínima de diseño que especifica la NRS-98 de divisiones. -Si su apartamento tiene 2,4 m de altura libre entre pisos cuanta carga por metro cuadrado de losa usaría para tener en cuenta el peso de los muros divisorios? -Para un sistema de piso unidireccional de 4mx5m y espesor 20cm, construido en concreto macizo, determine la fuerza de diseño de la viga lateral si la carga de diseño por m2 es de 1200 Kgf/m2

 

Capítulo 2

EQUILIBRIO, INDETERMINACIÓN Y GRADOS DE LIBERTAD

1. EQUILIBRIO

Decimos que un cuerpo se encuentra en equilibrio estático cuando permanece en estado de reposo ante la acción de unas fuerzas externas.El equilibrio estático se aplica a el cuerpo en sí como a cada una de las partes.

10cm

Lámina calibre 22

Decimos que un cuerpo se encuentra en equilibrio dinámico cuando responde con un movimiento o vibración (aceleración) controlada de sus partes (deformación) mas no de su soportes, ante la acción de las cargas generadas por sismo, viento, motores y en general aquellas excitaciones dinámicas producidas por la carga viva.

1.1 Ecuaciones básicas de equilibrio

Las ecuaciones que describen el equilibrio estático son planteadas en la primera ley de Newton y controlan los movimientos del cuerpo en traslación y rotación.

y

Dos ecuaciones vectoriales que se convierten en seis ecuaciones escalares, tres de traslación y tres de rotación.

, estas tres corresponden a tres posibles formas de desplazamiento, es decir, tres grados de libertad del cuerpo y corresponden a tres grados de libertad de rotación. En total representan seis formas de moverse, seis grados de libertad para todo cuerpo en el espacio. Para estructuras planas basta con plantear tres ecuaciones que representen los tres grados de libertad del cuerpo, dos desplazamientos y una rotación:

 

1.2 Ecuaciones alternas de equilibrio

En el plano se puede verificar el equilibrio por medio de dos ecuaciones de momento y una de fuerzas o por medio de 3 ecuaciones de momento:

a)      Una ecuación de traslación y dos momentos: siempre y cuando se cumpla que los puntos a y b no coincidan ambos con el eje Y o en una línea paralela a Y.

Si colocamos a “a” y “b” sobre Y en ninguna de las ecuaciones estaríamos involucrando las fuerzas paralelas o coincidentes con Y.

b)      Tres ecuaciones de momento: .

Para que estas ecuaciones involucren todas las fuerzas los puntos a, b y c no pueden ser colineales.

Para aplicar las ecuaciones de equilibrio se debe construir un diagrama de cuerpo libre de la estructura, en el cual se representen todas las fuerzas externas aplicadas a ella.

Las reacciones en los soportes crecen o decrecen a medida que las cargas varían, pero para el análisis, consideraremos los apoyos rígidos e infinitamente resistentes. Cabe aclarar que los apoyos pueden ser elásticos, esto es, apoyos que se pueden modelar como resortes, cuyas reacciones son proporcionales a los desplazamientos o rotaciones sufridas.

Cuando definimos el equilibrio mencionamos dos condiciones, una para el cuerpo en general que corresponde al equilibrio externo, y otra para cada una de sus partes que corresponde al equilibrio interno sin tener en cuenta los apoyos (estabilidad interna).

2. ESTABILIDAD Y DETERMINACIÓN EXTERNAS

la estabilidad se logra si el número de reacciones es igual al número de ecuaciones de equilibrio independientes que se puedan plantear, siempre y cuando las reacciones no sean concurrentes ni paralelas.

Las ecuaciones de equilibrio independientes corresponden a las ecuaciones de equilibrio general mas las ecuaciones de condición adicional en las uniones de las partes de la estructura (rótulas o articulaciones internas), por ejemplo:

Caso de reacciones concurrentes

No restringen la rotación generada por fuerzas externas que no pasen el punto de concurrencia de las reacciones.

Caso de reacciones paralelas

No restringen el movimiento perpendicular a ellas.

2.1 Condiciones de equilibrio y determinación en estructuras planas

Si # reacciones = # ecuaciones estáticas más ecuaciones de condición; hay estabilidad.

Si # reacciones < # ecuaciones; es inestable .

Si # reacciones > # ecuaciones; es estáticamente indeterminado o hiperestático y su grado de indeterminación estática externa se determina por:

GI externo = # reacciones - # ecuaciones

2.2 Estabilidad y determinación interna

Una estructura es determinada internamente si después de conocer las reacciones se pueden determinar sus fuerzas internas por medio de las ecuaciones de equilibrio.

Una estructura es estable internamente, si una vez analizada la estabilidad externa, ella mantiene su forma ante la aplicación de cargas.

La estabilidad y determinación interna están condicionadas al cumplimiento de las ecuaciones de equilibrio de cada una de las partes de la estructura.

Para analizar las fuerzas internas se usan dos métodos:

El método de las secciones y el método de los nudos.

En el método de los nudos se aplican las ecuaciones (armaduras planas) a cada nudo en sucesión y en el método de las secciones se aplican las ecuaciones a cada una de las partes de la estructura y se obtienen las fuerzas internas en los elementos interceptados por una línea de corte trazada adecuadamente.

2.3 Armaduras

Este tipo de estructuras está construido por uniones de articulación, donde cada uno de sus elementos sólo trabaja a carga axial.

Por cada nudo se tienen dos ecuaciones estáticas.

Si n es el número de nudos, m es el número de miembros y r es el número de reacciones necesarias para la estabilidad externa tenemos:

Número de ecuaciones disponibles: 2 x n

Número de incógnitas o fuerzas a resolver = m, una fuerza por cada elemento, note que aquí se pueden incluir las reacciones externas necesarias para mantener el equilibrio.

Entonces si:

2.n = m + r la estructura es estáticamente determinada internamente y

m = 2.n–r representaría la ecuación que define el número de barras mínimas para asegurar la estabilidad interna. Esta ecuación es necesaria pero no suficiente, ya que se debe verificar también la formación de la estructura en general, por ejemplo al hacer un corte siempre deben existir barras de tal manera que generen fuerzas perpendiculares entre sí (caso de corte y axial) y posibles pares de momento resistente.

Si m > 2 n – r la armadura es estáticamente indeterminada internamente, r sólo incluye aquellas reacciones necesarias para la estabilidad externa ya que sólo estamos analizando determinación interna.

Ejemplos:

1.

 

Determinación interna: m = 13 m + r = 2n n = 8 13 + 3 = 2 x 8 Cumple r = 3   2.

3.

  

4.

 

Estabilidad y determinación total en armaduras

Simplemente se aplica la ecuación:

m = 2 n – r donde r en este caso se considera el número de reacciones totales consideradas.  

Para el ejemplo anterior tenemos:

m = 6 n = 4 r = 4

6 > 8 – 4

GI total es 6 – 4 = 2

 

 

 

2.4 Marcos y pórticos

Para el análisis de la determinación y estabilidad internas se usa el método de las secciones.

En este caso cada elemento trabaja como elemento tipo viga sometido a tres fuerzas internas: Corte, Axial y Momento.

Se inicia partiendo la estructura en varias partes de tal manera que en cada corte se solucionen las fuerzas internas de cada elemento.

En el caso de pórticos que formen anillos cerrados los cortes deben ser tales que aíslen esos anillos.

 

 

 

 

Estructura estable. Análisis externo:

12 reacciones>3 ecuaciones

GI ext =9

GI int = 0,ya que al cortar por alguno de los elementos se generan 3 incógnitas con tresecuaciones estáticas disponibles para la parte de la estructuraanalizada.

  

 

 

 

 

 

 

  

 

externamente:

5 reacciones>3; GI ext = 2

Estable externamente

Internamente:

# incógnitas = 6, en cada corte, 3 por elemento cortado.

# ecuaciones estáticas= 3

GI int = 3

GIT = 5

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.5 Sistemas estructurales que combinan elementos tipo cercha con elementos tipo viga en uniones articuladas.

Para la determinación interna se recomienda separar la estructura en sus partes, hacer el diagrama de cuerpo libre de cada una y contar incógnitas y ecuaciones disponibles.

Cada parte de la estructura debe estar en equilibrio.

La determinación y estabilidad externa se encuentran por los métodos usados para las otras estructuras.

 

En el análisis externo tenemos:

3 reacciones, 3 ecuaciones estáticas; entonces es estáticamente determinado y estable. Note que la estructura no necesita de sus reacciones para mantener su forma por lo tanto no se cuentan ecuaciones de condición.

Internamente, partiendo en las uniones:

Número de incógnitas: 6. Número de ecuaciones: 9-3 de la estática externa=6.

Estable y estáticamente determinado internamente.

Si una de las barras está sometida solamente a las fuerzas de sus uniones, ésta barra trabaja como cercha y se eliminan dos incógnitas, pero también sus ecuaciones de equilibrio se reducen a una sola en vez de tres.

 

3. GRADOS DE LIBERTAD

Se define como grados de libertad el número mínimo de parámetros necesarios para describir de manera única la figura deformada de la estructura. Estos parámetros corresponden a las rotaciones y traslaciones libres en cada uno de los nudos de la estructura.

Para el análisis de estructuras podemos usar dos métodos que varían de acuerdo con las incógnitas a resolver, en uno se encuentran fuerzas y en el otro se encuentran deformaciones.

En este curso solo analizáremos estructuras reticulares donde un elemento queda totalmente determinado si conocemos las deformaciones y rotaciones de sus extremos ( método de las deformaciones) o las fuerzas y momentos de sus extremos (método de las fuerzas).

Para estructuras estáticamente determinadas el método de las fuerzas resulta mas apropiado ya que las fuerzas como incógnitas quedarían resueltas al aplicar las ecuaciones estáticas. En el caso de tener estructuras con grados de hiperestáticidad altos resulta mas ventajoso usar el método de las deformaciones, debido a que se cuenta con menos grados de libertad libres que número de fuerzas por determinar.

En estos casos el grado de indeterminación se mide por el número de grados de libertad libres (posibles formas de moverse la estructura en sus uniones) y se denomina indeterminación cinemática de la estructura.

Para un elemento tipo viga sin ninguna restricción tendríamos 6 grados de libertad libres, tres en cada extremo:  

Si la viga se le colocan apoyos de tal manera que queda estáticamente determinada y estable ella quedaría con un grado de indeterminación cinemática de 3.  

4. APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO

Determinación de reacciones por proporciones:

Para determinar las reacciones en vigas sometidas a cargas puntuales podemos aplicar la siguiente regla:

Siempre la reacción de un lado será igual a la carga puntual multiplicada por la distancia de la carga al apoyo contrario dividido la longitud del elemento.

Para determinar las reacciones debidas a momentos siempre aplicamos que el momento externo debe ser compensado por un par de fuerzas en los apoyos, cuya magnitud es el momento externo dividido por la separación entre las fuerzas y su dirección es tal que produzca un momento contrario al aplicado externamente. Estas dos reacciones cumplen con la ecuación de sumatoria de fuerzas verticales igual a cero.

 

Estas dos reglitas junto con el principio de superposición nos ayudarán bastante en la determinación de las reacciones en vigas simplemente apoyadas.

Para el análisis de arcos triarticulados con sus apoyos al mismo nivel se recomienda partir el arco por la articulación y tomar momentos de las fuerzas internas de la articulación con respecto a los apoyos. En este caso obtendremos un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas. Si los apoyos están a diferentes niveles se toma el arco como un todo y toma momentos con respecto a uno de los apoyos, por ejemplo el apoyo A, después parte el arco por la articulación y toma momentos de la parte que incluye el apoyo B con respecto a la articulación y queda un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

ANÁLISIS DE ELEMENTOS TIPO VIGA

Objetivo: Determinar la respuesta (fuerzas internas y deformaciones) en elementos tipo viga.

Los modelos estudiados hasta ahora involucraban la estabilidad y equilibrio externo de la estructura. Para completar el análisis se hace necesario el conocimiento de las fuerzas internas en cada uno de los elementos que componen el sistema estructural. En este caso nos referiremos a los elementos tipo viga.

Sabemos que en los elementos tipo viga las fuerzas internas involucran tres incógnitas: una fuerza axial, una fuerza cortante y un momento, por lo tanto conociendo las fuerzas de extremo y aplicando el método de las secciones en cualquier punto de la viga nos daría como resultado un tramo de viga estáticamente determinado con tres ecuaciones estáticas disponibles y tres incógnitas por determinar. Observemos que la clave es conocer las fuerzas de extremo de elemento, es decir, aquellas que se ejercen en las

uniones con otros elementos pertenecientes al sistema estructural y de ahí proceder a determinar las fuerzas internas por la estática. Podemos concluir que el elemento a analizar es estáticamente determinado así pertenezca a un sistema indeterminado.

Esto explica porque la metodología y el objetivo de los métodos de análisis es determinar las fuerzas de unión y de ahí seguir con el análisis independiente de cada elemento.

Teniendo en cuenta estas consideraciones podemos aislar un elemento tipo viga, considerarlo con sus fuerzas extremas como fuerzas de reacción y analizarlo hasta encontrar las fuerzas internas:

  

Notemos que al partir el elemento una sección ejerce sobre la otra fuerzas equivalentes a un apoyo de empotramiento, podemos decir, que las conexiones que se generan a lo largo del elemento son uniones rígidas y las fuerzas en cada sección son iguales y de sentido contrario.

Para el estudio de los elementos tipo viga se utilizará la siguiente convención:

Cortante: Las fuerzas cortantes positivas son aquellas que producen una rotación horaria del elemento

 

Momento: Los momentos positivos son aquellos que producen concavidad hacía arriba en el elemento horizontal o tracciones en la fibra inferior. Para elementos verticales esta convención se puede complicar un poco por lo tanto regirá el criterio de dibujar el diagrama de momentos para la cara traccionada.

 

Fuerza axial: Se considera una fuerza axial positiva cuando ella implica tracción en el elemento.

Las acciones de las fuerzas internas en vigas se ilustran mejor por medio de diagramas de fuerza axial (P), diagramas de fuerza cortante (V) y diagramas de momento flector (M). Los diagramas representan la variación de estas fuerzas a lo largo del elemento, dibujando en las abcisas la longitud del elemento y en las ordenadas el valor de la fuerza interna. Para axial y cortante los valores positivos se dibujan por encima del elemento pero para los momentos se dibujará el diagrama para el lado traccionado del elemento, así, si el elemento es horizontal el lado positivo del diagrama estará para abajo. La convención para momentos rige para cualquier ubicación de este en el espacio y es independiente del origen escogido, ya sea este en el extremo derecho o izquierdo del elemento.

Relación entre momento cortante y carga

En el caso de cargas distribuidas actuando perpendicular al elemento se puede encontrar una relación con las fuerzas internas de cortante y momento por medio del siguiente análisis de una sección infinitesimal del elemento.

 

Aplicando equilibrio a la sección de viga indicada tenemos:

 

integrando a ambos lados, tenemos:

la variación del cortante en un tramo de viga dado es igual al área bajo la curva de carga. (note que el equilibrio se hizo con la carga negativa, por lo tanto no se debe involucrar otra vez su signo en la ecuación).

dividiendo por dL a ambos lados tenemos:

, donde podemos decir que la pendiente a la curva del diagrama de cortante

es igual al negativo de la carga distribuida.

Ahora con la ecuación de momentos tenemos:

considerando una longitud muy pequeña del trozo de viga analizado, el término con dL2 se aproxima a cero, y la ecuación nos queda

 

integrando:

de donde la segunda integral representa el área bajo la curva del diagrama de cortantes en un tramo de viga dado y podemos concluir que la variación del diagrama de momentos en un tramo de vigas es igual al área bajo la curva del diagrama de cortante.

Dividiendo a ambos lados por dL, tenemos:

donde la pendiente del diagrama de momentos en cualquier punto es igual al valor del cortante en ese punto.

 

Ejercicios

Dibujar los diagramas de cortante, momento y curva elástica tentativa:

Para los diagramas de momento se verificará la convención haciendo el ejercicio ubicando el origen en ambos extremos del elemento. Determinar en cada caso el eje coordenado de las ordenadas de la gráfica de momentos.

De que depende la orientación del eje de momentos?. Es esta única para un elemento dado?.

Podría determinar una manera fácil de orientar los ejes en elementos verticales y horizontales de acuerdo con la convención fijada. Cómo sería esa orientación en un marco?.

En las estructuras tipo marco se sugiere trabajar encontrando primero las fuerzas de extremo de los elementos y después aplicar equilibrio a cada uno. Con estos ejercicios se pretende que el estudiante tome conciencia de los momentos de continuidad en los nudos.

Viga simplemente apoyada:

 

Tomaremos el ejemplo de un elemento simple, con fuerzas de extremo equivalentes a uniones de articulación.

Se pide encontrar los diagramas de momento y corte.

Se debe partir por encontrar las fuerzas de extremo del elemento y se recalca que el elemento, así pertenezca a un sistema estructural compuesto, debe estar en equilibrio estático, cumplir con las ecuaciones de equilibrio, considerando tanto las fuerzas de extremo o unión al sistema como las fuerzas externas actuando sobre él.

      Fuerzas de reacción:

      Fuerzas internas: Aplicación del método de las secciones.

Construcción del diagrama de corte:

      Sabemos que el elemento está en equilibrio por lo tanto el diagrama empieza en cero y termina en cero.

      Cuando hay fuerzas puntuales estas implican un brinco igual a su valor en el diagrama de corte (variación brusca de este), el brinco se da en la misma dirección de la carga puntual aplicada.

      Recordemos que el valor –w es la pendiente del diagrama de cortante.

Empezando por el lado izquierdo tenemos:

Notemos que la sección del extremo se convierte en el cortante, así podríamos decir que Va = Ay y Vb = By.

Punto donde el corte es cero:

Si entonces igualando V = 0 y despejando x, tenemos:

el punto de cortante cero se encuentra dividiendo el cortante de extremo por la carga w.

Otra relación interesante es que nosotros podemos obtener el cortante en cualquier punto restando al cortante de extremo lo que llevamos de carga encima del tramo estudiado (w.x).

Construcción del diagrama de momentos:

      El diagrama empieza en cero y termina en cero.

      Cuando hay momentos de extremo o puntuales se interrumpe la continuidad del diagrama presentándose un brinco en éste. Si el momento puntual es positivo, el brinco será negativo y viceversa.

       Recordemos que el valor del cortante es igual a la pendiente del diagrama de momentos.  

Retomando el ejemplo inicial y empezando por el lado izquierdo de la viga tenemos:

 

 

Según la convención fijada los momentos positivos producen tracciones en la parte inferior, por eso se coloca el eje positivo para abajo.

Notemos que con las pendientes se puede trazar fácilmente el diagrama de momentos, inclusive nos muestra la curvatura.

Sabemos que un momento positivo produce concavidad hacia arriba, por lo tanto la curvatura será hacia arriba.

 

 

Determinemos el valor del momento máximo considerando que este se presenta cuando el cortante es cero (siempre una pendiente igual a cero muestra los puntos máximos y mínimos de una curva).

cuando , reemplazando en la ecuación de momentos tenemos:

para

Otros tipos de vigas:

 

 

CORTEMOMENTO

  

 

PUNTOS CRÍTICOS EN UN DIAGRAMA DE MOMENTOS:

Asumiendo que los elementos estudiados pertenecen a un sistema estructural complejo, analizaremos una viga con momentos en ambos extremos que representan la unión con otros elementos o su continuidad después de un apoyo.

   

L Luz del elemento   W Carga distribuida, w   Ve Cortante estático debido a la carga w. Se denomina

estático porque se calcula como si el elemento no tuviera continuidad

Vh Cortante hiperestático. Debido a los momentos de unión o continuidad. El signo depende de los valores de los momentos pero siempre deben formar un par de fuerzas.

Vtotal   M- Ma Mb Momentos de continuidad, por lo general para

cargas distribuidas hacia abajo producen momentos negativos o lo que es lo mismo, tracciones en la fibra superior. En caso de columnas se debe analizar bien el signo

M+ Momento máximo, si los momentos de continuidad son muy grandes y la carga es pequeña no alcanza a dar valores positivos. Calculando por ambos lados debe dar el mismo valor

PI Puntos de inflexión

 

MARCOS CONFORMADOS CON ELEMENTOS TIPO VIGA

En cada uno de los siguientes marcos determine reacciones externas, fuerzas de extremo de elementos y diagramas de momento, cortante y axial.

Analice en cada uno de los elementos si es posible encontrar elementos donde exista M y no exista V.  Es posible que un elemento tenga momentos si está sometido a carga axial solamente.  Concluya.

 

 

 

EJES LOCALES:

Después de trazar los diagramas de fuerzas internas de varias estructuras con elementos orientados de diferentes maneras podemos concluir que el trabajo se hace mas fácil si trazamos unos ejes coordenados para cada elemento.

Si los elementos a analizar no coinciden con los ejes de coordenadas de todo el sistema, el encontrar sus fuerzas internas se puede complicar, por lo tanto se propone que cada elemento trabaje con unos ejes coordenados propios, donde el eje 1 coincide con el eje axial del elemento, el eje 2 es perpendicular al elemento y el eje 3 se fija por la regla de la mano derecha como el resultado del producto cruz (1 X 2).  Estos ejes se denominan ejes locales.  Notemos que los ejes locales coinciden con las fuerzas internas de axial, corte y momento respectivamente.

Cuando se analiza todo un sistema estructural nos encontramos con unos ejes coordenados generales que rigen todo el sistema de cargas y reacciones, a este sistema de ejes se le conoce como ejes globales de toda la estructura. Como resultado de un análisis general encontraremos las fuerzas en los nudos, que constituyen las fuerzas de extremo de cada elemento. Para encontrar los diagramas de fuerzas internas en cada elemento debemos transformar las fuerzas de extremo en coordenadas globales a fuerzas de extremo en coordenadas locales.

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS:

Para pasar cualquier sistema de fuerzas de ejes globales a locales tenemos:

 

 

Estas ecuaciones cumplen para todos los casos siempre y cuando θ se mida desde el eje positivo de las X y en sentido antihorario.

Transformación de coordenadas para carga distribuida:

Cuando se trabaja con elementos inclinados se debe tener cuidado con el tipo de carga distribuida, ya sea esta dada en la proyección horizontal del elemento o en toda la longitud de este.  Notemos que las resultantes de ambas son diferentes.

 

En ambas condiciones, para encontrar fuerzas internas, se debe transformar la carga a ejes locales del elemento por medio de una descomposición simple de cargas.

 

 

EJERCICIO

El siguiente pórtico de concreto tiene una sección constante de 0,30x0,30.  Sabiendo que está en una zona donde la velocidad del viento básica es de 120km/h  y que soporta un techo de 0,30 kN/m2, analizar el pórtico y encontrar diagramas de momento y cortante en cada uno de los elementos.

ESTRUCTURAS COMPUESTAS POR ELEMENTOS TIPO CERCHA

Este tipo de sistemas tienen la característica de ser muy livianos y con una gran capacidad de soportar cargas. Se utilizan principalmente en construcciones con luces grandes, como techos de bodegas, almacenes, iglesias y en general edificaciones con grandes espacios en su interior. Las cerchas también se usan en puentes, aunque para este tipo de estructuras los puentes atirantados, colgantes (cables), los puentes en vigas de alma llena (ya sea vigas armadas soldadas) y los puentes en concreto presforzado se han desarrollado tanto que resultan ser sistemas mas atractivos para el diseñador.

Existen diferentes tipos de cerchas de acuerdo con la solución estructural que se requiere. Su construcción o ensamble se lleva a cabo uniendo elementos rectos, que primordialmente trabajan a esfuerzos axiales, en unos puntos que llamamos nudos y conformando una geometría tal que el sistema se comporta establemente cuando recibe cargas aplicadas directamente en estos nudos.

De acuerdo con su uso tenemos cerchas para techos, para puentes o simplemente para vigas pertenecientes a un sistema de piso.

En las cerchas utilizadas para techos se busca que su geometría conforme o supla la forma del techo. Por lo general el cordón superior conforma las pendientes del techo y el inferior es un tensor horizontal. En techos con luces grandes esto obligaría a tener una cercha muy alta en el centro, en ese caso se puede también hacer la cuerda inferior inclinada.

 

Para puentes se trata de brindar un apoyo plano al tablero del puente, ya sea en la parte superior de la cercha o en la inferior.

Si el tablero va apoyado en la parte inferior de las cerchas, entonces los elementos verticales trabajan a tensión.

  

Si el tablero está apoyado en la parte superior los elementos verticales trabajan a compresión.

   

En el caso de vigas simples cargadas por la parte superior, donde el sistema trabajará como un todo a flexión, se pueden construir los diagramas de momento y cortante comparándolos con los de una viga de alma llena. Encontramos que los momentos internos que producen esfuerzos de compresión y tracción en la viga, se descomponen en un par de fuerzas en la cercha produciendo esfuerzos de compresión en el cordón superior y esfuerzos de tracción en el cordón inferior; las diagonales resisten esfuerzos cortantes como también parte de los momentos y sirven de unión entre el elemento superior y el inferior.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Note la semejanza de los diagramas entre uno y otro, en la medida en que los nudos sean mas seguidos los brincos en los diagramas son menores y la semejanza es mayor.

La misma semejanza se puede tener con una viga que se carga en la parte inferior. La viga cargada en la parte inferior requiere de elementos internos que soporten esa tracción, es decir, es como si la carga estuviera colgada y por lo tanto se necesitan tirantes internos que transmitan esa carga a la zona superior. 

Tipos de cerchas: Existen muchos tipos de cerchas de acuerdo con su uso, estos tipos tomaron el nombre de la primera persona que las analizó o construyó, una de ellas es la Pratt para puentes y para techos:

 

En esta cercha, las diagonales trabajan a tensión. Este análisis lo podemos hacer comparando los esfuerzos internos en una viga simplemente apoyada, momento positivo y cortante positivo:

 

 

 

 

Podríamos decir que para cerchas simplemente apoyadas, de acuerdo con la orientación de las diagonales ellas trabajarían a tracción o a compresión.

Note la orientación de las diagonales y concluya sobre su forma de trabajo, tracción o compresión.

Se pueden ver los otros tipos en los libros de referencias. 

Clasificación de las cerchas según su conformación:

Según Hibbeler en su libro “Análisis estructural” las cerchas se clasifican, en: cerchas simples, compuestas y complejas

Simples: aquellas construidas a base de la figura mínima estable (triángulo) y a partir de ahí por cada dos barras agregadas se agrega un nudo, de tal manera que:

 

Las cerchas simples siempre se empiezan por un triángulo y se construyen agregando 2 barras unidas a un nudo común pudiendo dar origen a figuras que no son triángulos, por su manera de construirse una cercha simple siempre será estable internamente.

 

 

Compuestas:

Aquellas construidas por la unión de dos cerchas simples usando 1 barra de unión adicional y un nudo común, o tres barras adicionales o sustituyendo elementos de una

estructura principal por cerchas o armaduras secundarias.

 

 

Armaduras complejas: No son simples ni compuestas.

Para determinar su estabilidad se requiere verificar donde:

m: es el número de barras

r: número de reacciones

 

 

 

ANÁLISIS DE CERCHAS

Para identificar si son estables, estáticamente determinadas o indeterminadas se sugiere consultar el capítulo de estabilidad y determinación.

El análisis de las cerchas tiene como objetivo encontrar las fuerzas en cada uno de los elementos y las deformaciones de todo el conjunto. En cerchas estáticamente determinadas se utilizan métodos analíticos y métodos gráficos. Entre los métodos analíticos tenemos: el método de los nudos y el método de las secciones.

Identificación de miembros con fuerza cero.

 

 

Método de los nudos: Se separan los nudos de toda la cercha y se realiza el diagrama de cuerpo libre de cada uno, se aplican dos ecuaciones de equilibrio de traslación por nudo. Se debe empezar la solución por aquel nudo que tenga solo dos incógnitas.

Método de las secciones: cortar la estructura de tal manera que queden tres fuerzas de barras como incógnitas y aplicar equilibrio a cada sección.

Para el análisis se pueden combinar el método de los nudos y las secciones haciendo que la rapidez con que se llegue a la solución dependa de la pericia y experiencia del diseñador. (Todo conocimiento nuevo requiere de momentos de asimilación o etapas hasta llegar al dominio llamado el momento de la sistematización, para llegar a esta etapa debemos analizar muchas y diferentes cerchas de tal manera que en nuestra mente se ha creado ya un concepto general del comportamiento y así sabremos por donde cortar y que nudo analizar para que la solución se encuentre de forma fácil). 

Convención: Debido a que las barras solo trabajan a esfuerzos axiales se seguirá la siguiente convención: Barras traccionadas tienen fuerzas positivas (+) y barras comprimidas tienen fuerzas negativas (-).

Sugerencias para los diagramas de cuerpo libre:

       Siempre dibujar fuerzas saliendo del nudo.

       Siempre dibujar fuerzas en los elementos estirando el elemento. 

EJEMPLO:

  

CABLES

Por su simplicidad, versatilidad, resistencia y economía, los cables se han convertido en un elemento imprescindible en muchas obras de ingeniería. Pensemos en los puentes colgantes, no solo los grandes sino también los pequeños construidos para comunicar una vereda con otra en zonas rurales, las garruchas, los sistemas de transporte de productos agrícolas en los cultivos, los sistemas de interconexión eléctrica, los cables para postensado en una obra de hormigón, los tensores o contravientos para luminarias y postes, pagodas o techos, etc.

Por su flexibilidad los cables solo aguantan fuerzas de tracción, se comportan de forma inversa a los arcos, en los cuales, debido a su curvatura, los esfuerzos cortantes y de flexión se pueden hacer nulos y los esfuerzos de compresión se convierten en el soporte de la estructura. En el caso de un cable, la geometría que él adquiere al aplicar las cargas, es tal, que asegura el cumplimiento de las leyes de equilibrio por el solo trabajo a tracción del elemento.

El tipo de geometría que adquiere un cable depende del tipo de cargas actuantes. Por ejemplo, cables sometidos a cargas uniformes en la proyección horizontal adquieren una forma parabólica siguiendo la forma del diagrama de momentos de una viga simple; cables sometidos a cargas puntuales adquieren una forma discontinua en cada punto de aplicación de las cargas y cables sometidos a su propio peso (en este caso no es una carga uniforme) forman una curva llamada catenaria. Un ejemplo de este último caso es el de las redes de energía, en el caso de que la flecha del cable (distancia vertical desde los extremos hasta el punto mas bajo) no sea muy grande esta catenaria se puede aproximar a una parábola.

Para el análisis se consideran totalmente flexibles e inextensibles de tal manera que toda su longitud los esfuerzos solo serán axiales de tracción y siempre tangenciales a la curva del cable.

 

La forma de la catenaria se puede suponer parabólica siempre y cuando sea

pequeña.

Cables sometidos a cargas puntuales

Para cables sometidos a cargas puntuales, en cada punto de aplicación de una carga se forma un cambio de curvatura del cable; y la forma del cable dependerá de P y de su punto de aplicación.

 

 

Por qué se colocan como apoyos articulaciones o empotramientos cuando se trabaja con cables?

Siempre la reacción será contraria a la acción ejercida por el cable, ley de acción y reacción, por lo tanto solo se ejercerán fuerzas, no momentos, en la misma dirección del último tramo de los cables, con la articulación como apoyo se asegura que la reacción tenga dos componentes por hallar, la magnitud de la fuerza y su dirección.

Al aplicar las ecuaciones de equilibrio al cable tendríamos un sistema de tres ecuaciones independientes y cuatro incógnitas, notemos que la dirección de las reacciones dependen de la geometría del cable y que esta a su vez depende de las cargas aplicadas.

Como la dirección de esa fuerza depende de P y L entonces tienen cuatro reacciones y sólo tres ecuaciones

De estas ecuaciones se puede solucionar el análisis vertical, esto es, las componentes verticales de las reacciones o tensiones del cable. Para las componentes horizontales se requiere de otra ecuación que resulta de la geometría del cable, si conocemos al menos una flecha del cable en cualquier tramo podríamos determinar la dirección de una de las reacciones y así la componente horizontal.

Para este caso especial la cuarta ecuación sería:

y en ese caso las componentes de las fuerzas de reacción se expresan

en función de θ.

Comprobamos que la fuerza horizontal es constante en toda la longitud del cable e inversamente proporcional a la flecha.

En el caso de tener varias cargas aplicadas y la flecha conocida es central se aplica el método de los nudos considerando cada punto de aplicación de carga como un nudo de cercha sometido a tracciones y cargas externas.

En cada nudo se plantean dos ecuaciones de equilibrio, por cada tramo de cable resulta una incógnita por averiguar que corresponde a la tracción de este.

 

Se deja al lector efectuar este cálculo por nudos.

Otro método de solución consiste en encontrar las reacciones en función de la distancia vertical entre el cable y la línea que une los dos puntos de apoyo, esta distancia se llama flecha.:

 

 

este valor es constante en toda la longitud del cable ya que no depende de P.

Esta es la ecuación que relaciona la componente horizontal de la tensión, la flecha del cable en un punto determinado y las cargas actuantes y se conoce como el teorema del cable: ·”En un punto cualquiera de un cable sometido a cargas verticales, el producto de la componente horizontal de la tensión por la flecha en ese punto es igual al momento flector que actúa en esa sección si se considera el cable como una viga simplemente apoyada”.

En el caso de que el apoyo en B esté por encima del apoyo A, la ecuación

se conserva. (Realice equilibrio y despeje)

 

EJERCICIO

(Ejercicio 5-9 del libro de Hibbeler). Determine la fuerza P necesaria para mantener el cable en la posición mostrada. Calcule también la flecha YB y la tensión máxima del cable.

  

Debido a que la componente horizontal siempre es constante, las tensiones máximas serán aquellas cuya componente vertical sea máxima, esta se presentará siempre en los apoyos.

Como una de las incógnitas es una carga aplicada, el teorema del cable no nos ayuda a solucionar la componente horizontal.

Aplicando el método de los nudos podemos despejar Ay :

Equilibrio en el nudo B

por equilibrio en A, TBAy=Ay=4kN

si tomamos momentos en C podemos expresar Ax en función de Ay conocida:

Haciendo equilibrio vertical podemos encontrar P:

Conocida P podemos aplicar el teorema del cable para encontrar la componente horizontal:

Semejando una viga simplemente apoyada y partiendo por E:

Aplicando de nuevo la ecuación del cable en el punto B podemos encontrar la flecha en ese punto:

La tensión máxima siempre es en los apoyos, en este caso el apoyo E tendrá mayor reacción que el apoyo A, por qué?

Para cargas uniformemente distribuidas en la proyección horizontal

Se considera que el peso produce una carga uniformemente distribuida en la proyección horizontal, caso de cables cuya relación flecha/longitud es pequeña.

La forma que adquiere el cable es el de una parábola cuyo vértice representa el punto mas bajo de este.

Existen dos maneras: considerar el origen de la parábola en el centro o desde un extremo.

 

1. Desde el centro

 

 

Encontremos la componente horizontal de la tensión en función de las cargas y de un valor de la flecha Y en un punto determinado o viceversa, la forma de la curva del cable Y en función de la componente horizontal. Tomando momentos con respecto a D tenemos:

Esta ecuación define la altura del cable medida desde el punto C en cualquier posición x, note que la ecuación corresponde a una parábola.

Para encontrar el valor de la componente horizontal H debemos conocer el valor de la flecha en un punto. En el caso de conocer la flecha máxima en C y considerando la simetría tenemos:

, en esta ecuación podemos observar que el momento máximo

ejercido por la componente horizontal de la tensión en uno de los apoyos corresponde al momento máximo de una viga simplemente apoyada.

Para encontrar el valor de la tensión en un punto determinado aplicamos equilibrio a la sección indicada:

El ángulo de inclinación del cable en cualquier punto es:

La tensión máxima se ejerce en los apoyos cuando x=L/2:

La tensión mínima se ejerce cuando X=0 y corresponde al valor de la componente horizontal de la tensión, H.

 

Planteando la solución por el teorema de los cables tenemos:

Es válida tanto para cuerdas horizontales como para

cuerdas inclinadas

 

2. Planteando la solución con origen en el extremo izquierdo del cable:

 

Para x=L/2 y y=ym podemos encontrar el valor de cómo: H=ω.L2/8ym

Aplicando de nuevo el teorema de los momentos para cualquier punto X y reemplazando el valor de H, nos da:

Medido desde el extremo y referenciado a la cuerda

Referenciado a la línea horizontal

Estas dos ecuaciones nos dan la forma del cable en cualquier punto.

 

Líneas de influencia

Considerando la forma en que actúan las cargas en una estructura vemos que se pueden clasificar en cargas permanentes (muertas), cargas no permanentes o vivas y/o cargas de construcción. La carga permanente, como su nombre lo dice, siempre estará presente en la vida útil de la estructura y producirá sobre esta efectos constantes; la carga viva o no permanente fluctúa tanto en posición sobre la estructura como en su duración produciendo efectos variables en ella. Podríamos concluir, de una manera apresurada, que colocando la carga viva sobre toda la estructura produciríamos los efectos máximos en ella, esta afirmación no es cierta y requiere de un estudio mas complejo.

Un ejemplo simple de este efecto es el de una viga simplemente apoyada con voladizo a un lado. Si la carga viva actúa sobre toda la viga, producirá un momento positivo en la luz menor que si actúa solo en el tramo apoyado; en este ejemplo sencillo nos percatamos de la importancia de saber colocar la carga para que produzca los efectos máximos y así cuando diseñemos no corramos el peligro de que nuestra estructura falle.

 

En este capítulo estudiaremos el método de las líneas de influencia para colocar la carga viva o variable de tal manera que produzca efectos máximos de corte, flexión, reacciones y deflexiones tanto para cargas puntuales como para cargas distribuidas.

La línea de influencia es un grafico que define la variación de un esfuerzo (corte, momento flector o torsor), reacción o deflexión en un punto fijo de la estructura a medida que se mueve una carga unitaria sobre ella.

La línea de influencia es diferente al diagrama de momento o cortante o a la elástica de la viga, estos representan la variación de la función a lo largo de la viga para una serie de cargas definidas y el otro define como varía V, M o δ en un punto específico cuando se mueve una carga unitaria sobre la viga no dando el valor de la función en toda posición.

La línea de influencia utiliza una carga unitaria ya que por los conceptos de linealidad, proporcionalidad y superposición se puede determinar la función especifica simplemente multiplicando el valor de la línea de influencia por el valor de la carga real.

Este método se utiliza mucho para cargas vivas sobre puentes, puentes grúas, bandas transportadoras y especialmente en aquellas estructuras con cargas móviles.

Determinación de la línea de influencia:

La línea de influencia es una gráfica en la cual las ordenadas representan una fuerza interna o deflexión y la abscisa representa la posición de una carga unitaria. Para su construcción se define el punto de estudio sobre la estructura, se comienza a variar la posición de la carga puntual y se encuentra el valor del esfuerzo interno a medida que se mueve la carga, se puede construir una tabla del valor de la función vs la posición de la carga y después se grafica. Otro método es encontrando la ecuación de la línea de influencia y graficando.

Construyamos la línea de influencia para la reacción en A de la siguiente viga:

Se empieza a mover la carga P a diferentes distancias x y para cada distancia se calcula RA.

Otro método es encontrando la ecuación de la variación de la reacción en A a medida que se mueve una carga unitaria. Se parte de encontrar esa reacción en función de la posición x de la carga P=1,0. Aplicando ecuaciones de equilibrio o encontrando la reacción por proporciones tenemos:

Notemos que la ecuación tiene pendiente negativa y con una variación lineal para RA.

 

Para obtener el valor de la reacción en A para cualquier carga P, se multiplica la ordenada de la línea de influencia por el valor de la carga.

Si L=8m, P=5 ton localizada a 3m del punto A el valor de la reacción sería:

Línea de influencia para el cortante en A: Se determina la variación del cortante en A por el método de las secciones:

En vista de que siempre es una carga puntual, se parte de encontrar primero las reacciones en función de la posición x y después se aplica el método de las secciones partiendo por el punto al cual se le quiere determinar la línea de influencia:

 

Haciendo equilibrio en la sección y localizando la carga en x>0 tenemos:

En este caso concluimos que la línea de influencia del cortante en A es igual a la de la reacción en A

Note que la línea de influencia se hacer para la convención positiva de los esfuerzos internos.

Línea de influencia para la reacción en B:

Línea de influencia para el momento en A:

Para cualquier posición de la carga unitaria el momento en A será cero.

 

 

Línea de influencia para el cortante y momento en un punto C en L/2

Siempre comenzamos encontrando las reacciones en los apoyos y luego partimos:

 

Para x<L/2 , se puede tomar la sección C-B y los cálculos se facilitan ya que en ella no está actuando la carga unitaria:

, de donde

Para x>L/2 se toma la sección A-C para equilibrio:

 

 

Línea de influencia para el cortante en C:

 

Momento en C:

 

 

USO DE LAS LÍNEAS DE INFLUENCIA:  

1. Caso de cargas puntuales: Para cualquier carga puntual P se multiplica el valor de la ordenada en el punto x y ese es el valor del corte o del momento o la función graficada.

Para encontrar los valores máximos de V o M se debe colocar la carga puntual P en el punto de máxima ordenada.

 

Ejemplo

Construya la línea de influencia para el cortante y momento en el punto B y diga en que puntos debe colocar una carga puntual para producir los máximos efectos de cortante y momento en B.

 

 

Encontremos las reacciones en función de x:

Líneas de influencia para corte y momento en B:

0 < x < 4m

 

 

Para 4<x<8m

Líneas de influencia:

 VB

 

MB

 

Se producen dos puntos donde puede actuar P y obtener el máximo momento en B, estos dos puntos son: x=0 y x=4m. Para el cortante se debe colocar la carga en x=4m para obtener el mayor cortante en B. 

2. Caso de cargas distribuidas: 

En realidad una línea de influencia para una carga distribuida no se podría encontrar como tal, pero la línea de influencia de la carga puntual se puede usar para determinar en que tramos colocar la carga distribuida para que produzca los valores máximos en un punto.

Si sabemos que el valor de la reacción, cortante o momento en un punto esta dado por la por la ordenada “y” de la línea de influencia multiplicada por el valor de la carga actuante P; entonces para una serie de cargas P, o sea una carga distribuida, el valor del cortante, momento o reacción se podría determinar por la suma de todos los cortantes o momentos de cada una de las cargas:

Para cargas distribuidas podemos considerar que cada carga P corresponde al valor de la carga distribuida por una longitud pequeña de viga Δx, dándonos la sumatoria como:

Notemos que el valor de la función conserva el signo de la grafica de la línea de influencia, así, si queremos obtener valores máximos debemos colocar la carga distribuida sobre áreas que sumen, con el signo correspondiente, a un valor existente.

 

 

Ejemplo

Determine donde debe colocar una carga distribuida para producir el mayor cortante negativo y momento en el punto ..C.

 

 

Para producir el máximo cortante negativo debemos cargar la viga en la zona de la línea de influencia con área negativa y para el momento máximo cargamos toda la viga ya que toda el área es positiva.

  

 

Ejercicio

Encontrar el máximo momento y el cortante máximo que se puede desarrollar en el punto C de la viga mostrada cuando está sometida a una carga permanente de 5000N/m. una carga viva distribuida de 1800 N/m y una carga puntual de 5000N.

 

 

   

 

 

 Momento mínimo

 

Como hacer las líneas de influencia de una forma rápida?

Principio de Muller-Breslau

La de la línea de influencia en un punto dado para la cortante o momento esta dada por la deformada de la viga al aplicar ese momento o cortante en el punto determinado, retirando la capacidad de la viga para aguantar esa función.

Línea de influencia para reacción en A

 

Rodillo interno

 

 

 

 

Articulación

 

Las ordenadas de la línea de influencia de un esfuerzo cualquiera de una estructura son proporcionales a las de la curva de deformación que se obtiene al suprimir la restricción correspondiente a ese esfuerzo y aplicando en ese lugar el esfuerzo especificado.

Ejercicios:

Determine la forma de la línea de influencia para:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Lineas de influencia en armaduras y vigas en celosía

 Para armaduras:

Se usa para determinar fuerzas axiales máximas en un miembro determinado.

La forma sería expresando la fuerza en un miembro determinado en función de la carga unitaria en cada uno de los nudos, otra es en función de la posición de x de la carga unitaria.

 

Pasos:

 

1. Expresar reacciones en función de la posición de carga unitaria. 2. Dividir la armadura en regiones antes y después del panel que contiene la barra a

analizar. 3. Expresar la fuerza del miembro en función de las reacciones por el método de

las secciones en las regiones no pertenecientes al panel. 4. Conectar las líneas de influencia en la región de la barra.

 

DEFLEXIONES

Se entiende por deflexión a aquella deformación que sufre un elemento por el efecto de las flexiones internas, aplicando relaciones entre fuerzas y desplazamientos. Existen dos tipos de métodos: los geométricos y los de energía.

       Métodos geométricos: aplicación directa de ecuaciones de equilibrio, ecuaciones de compatibilidad y de leyes constitutivas del material (elástico-lineal)

       Métodos de energía: en estos métodos las ecuaciones de equilibrio o de compatibilidad se reemplazan por un principio de energía.

Aunque en vigas y marcos las deformaciones se presentan principalmente por flexión, no dejan de ser también importantes las deformaciones por cortante, sobre todo en elementos altos o profundos y las deformaciones axiales en elementos de columnas de marcos.

En cerchas y armaduras las deflexiones se presentan por la combinación de las deformaciones por carga axial en cada uno de los elementos que la componen.

 

Trazado tentativo de la curva elástica

Se entiende por curva elástica a la curva que representa la deformada del elemento en su línea centroidal.

En vigas y marcos se puede hacer un trazado tentativo de la curva elástica considerando las curvaturas que se producen por flexión y las restricciones de los apoyos:

Para determinar las curvaturas que se definen por flexión se determina el diagrama de momentos y de acuerdo con la convención positiva se procede a dibujar las concavidades de los elementos.

 

Clases de curvaturas en apoyos y en juntas:

Articulación: Tiene 1 grado de libertad libre, correspondiente a la rotación.

Rodillo: Tiene dos formas de moverse, rotación y desplazamiento paralelo a la superficie.

Las rotaciones tienen la misma convención que los momentos en las ecuaciones estáticas, positivo en el sentido contrario a las manecillas del reloj.

 

Apoyo con rodillos sin giro: un solo grado de libertad de desplazamiento vertical.

 

 

Empotramiento: El desplazamiento y el giro son nulos

 

D = 0 = 0

 

Conexión rígida entre elementos:

Por el equilibrio en la unión, si uno de los elementos termina con momento negativo en ese extremo el otro también tendrá momento negativo en ese extremo. Asociando los momentos con las deflexiones tendríamos que si las tracciones en uno de los elementos son en la cara exterior, en el otro también lo serán por lo tanto las concavidades de ambos deben ser similares, o ambas para afuera o ambas para adentro.

 

Marcos: En estas estructuras se cumple que la concavidad en los elementos que se conectan en un nudo debe ser la misma:

 

 

Vigas

Debido a la continuidad de la viga en los apoyos, la rotación por ambos lados debe ser la misma:

 

Articulación interna: En este caso las pendientes a la salida de la articulación pueden ser diferentes ya que no hay rigidez en la unión y un elemento puede rotar con respecto al otro.

 

 

TEORÍA DE LA FLEXIÓN EN VIGAS

Se fundamenta en los conceptos de equilibrio, compatibilidad y leyes constitutivas.

       Equilibrio:

       Compatibilidad: D1 = D2 En puntos de contacto

1 = n uniones rígidas

En empotramientos

       Leyes constitutivas: Donde K: rigidez lineal

K: rigidez a flexión

La teoría hace ciertas suposiciones acerca de cómo se deforma una viga en su interior.

Suposiciones validas para vigas de poca altura:

No funciona en muros

Suposiciones:

1. Una sección plana permanece plana después de la deflexión. (Euler - Bernoulli)

 

 

 

2. La sección plana deformada permanece perpendicular a las fibras de deformación nula (eje neutro)

 

 

Con estas dos suposiciones y aplicando los tres tipos de ecuaciones definidos podemos encontrar los desplazamientos del eje neutro en función de los momentos internos M.

 

         Ecuaciones de equilibrio interno

Pero:

         Compatibilidad interna

Triángulo pequeño

pero:

Triángulo grande:

Longitud de arco:

Triángulo pequño con triángulo grande:

Relación de curvatura con deformación de las

fibras internas.

         Ley de elesticidad

Reemplazando en compatibilidad interna:

Reemplazando en equilibrio:

Relación de curvatura con fuerzas internas:

Relación tangente de la curva de deformación con

fuerzas internas

falta relacionar Y con las fuerzas internas

Deformación en cada punto.

Relación de curvatura

Considerando que las deformaciones son pequeñas, el término elevado al cuadrado en el denominador se aproxima a cero:

Integrar dos veces la ecuación de momento de la deflexión

Ecuación que relaciona deflexión con fuerzas internas

Pendiente de la curva de corte

Pendiente de la curva de momento

Ecuación deferencial de la flexión

Si EI = constante entonces:

Cuatro condiciones de frontera

 

CÁLCULO DE DEFLEXIONES:

Método de la doble integración: Este método consiste en encontrar la ecuación de la curva elástica integrando dos veces la ecuación de flexión.

En cada integración se requiere introducir una constante.

Estas constantes se resuelven por las condiciones de frontera.

Ejemplo:

Encontrar la ecuación de la curva elástica de la siguiente viga:

Condiciones de Fontera:

El método exige encontrar las ecuación de momentos internos. En el caso de encontrar discontinuidades en la ecuación de momentos, ya sea, por la presencia de cargas puntuales o reacciones entonces se puede trabajar con origen en cada punto de quiebre del diagrama de momentos.

 

Ejemplo 2

Encontrar la deflexión en D de la siguiente viga:

 

 

 

Por doble integración:

 

 

 

 

Diagrama de momentos:

 

 

 

Sabemos que la curva elástica se obtiene al integrar dos veces el momento dividido por EI.

 

Todos los valores son por EI

Condiciones de frontera:

Se deja para terminar al lector.

RELACIONES DE CURVATURA ENTRE EL MOMENTO Y LA TEMPERATURA

 

Pero:

Siendo Dt la diferencia de temperaturas de las fibras superiores e

inferiores.

Si ambos lados sufren un cambio de temperaturas pero diferentes entonces, el cambio Dt que produce curvatura es la diferencia entre el de arriba y el de abajo.

 

 

 

Momento que produce un cambio de temperatura diferencial entre las caras:

 

momento interno por diferencial de temperaturas entre las caras

Ejercicios de estabilidad y determinación.

Clasifique las siguientes estructuras como

      Inestables , estables; si es inestable explique el mecanismo de colapso y cambie apoyos o agregue elementos hasta volverlo estable.

      Hiperestática o isoestática. (interna y externamente); si es hiperestática señale cuales apoyos quitaría manteniendo la estabilidad.

 

 

 

Para las cerchas 8 y 9 dibuje el modelo de viga que representa sus soportes y condiciones externas.

 

 

 

 

 

 

 

Modele dos nervios o viguetas del siguiente sistema de piso:

 

Modele las vigas principales del siguiente puente.

 

Aplicación de las ecuaciones de equilibrio

Objetivo: modelado bidimensional, cargas y reacciones estáticas

Ejercicios 

1. Para la siguiente piscina:

a)       Determine el modelo de líneas a analizar

b)       Determine las cargas actuantes. La carga viva de diseño para la pasarela es de 3kN/m2

c)       Encuentre reacciones en los apoyos de la sección ABC considerando el apoyo en C como una articulación y en A como un rodillo perpendicular a la superficie.

Sugerencia: haga el análisis considerando 1m de ancho de piscina.

 

 

Una piscina constituye una estructura de contención donde su función es contener el agua interior y a la vez contener el suelo exterior en el caso de que la piscina esté vacía. Cuando analizamos una estructura debemos pensar en todos los posibles casos de carga que se pueden presentar durante la vida útil de la estructura y durante su construcción, aquí es claro que el empuje del agua actuará en la mayor parte de la vida útil de la piscina, ¿pero esta carga se encuentra actuando sola?. O podemos

decir que el suelo exterior ejerce un empuje contrario y se compensaría en algo el efecto de empuje lateral?. Tal vez lo correcto es diseñar para estos dos empujes actuando no simultáneamente; pensemos que cuando se construye la piscina y se llena de agua el relleno de suelo externo puede no estar construido, es mas, esto puede ser una etapa constructiva si se quiere verificar la estanquidad de la piscina. Por otro lado en algún momento la piscina puede estar vacía y sometida al empuje del suelo exterior, por lo tanto la recomendación es diseñarla para ambos estados de carga.

En cuanto a las fuerzas reactivas ejercidas por el contacto de suelo con estructura estas se ejercen en forma distribuida, no necesariamente uniforme, por lo tanto se sugiere encontrar un sistema fuerza par único actuante y este igualarlo al sistema fuerza par resultante de la reacción del suelo.

Para el modelo estructural se debe pensar si se quiere una estructura continua para todos los elementos de la piscina o si se dejaran juntas especiales por ejemplo entre fondo y paredes laterales. El separar las partes de una estructura, en algunas circunstancias puede ser ventajoso, por ejemplo en este tipo de estructuras el darle continuidad a la losa de fondo con las paredes representa una estabilidad para estas pero aumenta los efectos de flexión en la losa de fondo los cuales crecen con la distancia entre muros.

En este caso se puede considerar una junta de cortante entre paredes y fondo.

Con estas recomendaciones podemos proceder a determinar el modelo de análisis. 

2. A continuación se presenta un esquema bidimensional de unas escaleras. Determine las cargas de diseño y las reacciones en sus apoyos. Asuma que el piso no ejerce empotramiento sobre la estructura.

Debido a que la estructura se puede modelar en dos dimensiones se tomará 1m de ancho de esta.

Cargas según norma NSR-98:

Carga viva = 3kN/m2

c = 24kN/m3

Asuma una carga de acabado de 2kN/m2

Sugerencia: Para la zona inclinada encuentre una carga distribuida en la proyección horizontal de la escalera.

  3. Muro de contención: Encuentre las fuerzas actuantes y las fuerzas de reacción

de la siguiente estructura.

Debe tener en cuenta que las fuerzas de reacción son distribuidas sobre el suelo de contacto con la pata del muro. Haga un análisis de estabilidad considerando que el suelo no proporciona reacciones de tensión.

  

 

 

4. pórtico con cargas sísmica: Encuentre la carga sísmica de diseño para uno de los pórticos transversales considerando que la estructura es simétrica. Determine las reacciones estáticas.

Peso del piso. 5kN/m2

Coeficiente de aceleración sísmica: Sa=0,50, expresado en función de la gravedad

 

 

5. Encuentre las reacciones de las siguientes estructuras:

 

 

La siguiente estructura pertenece al modelo de una viga de un puente. Identifique los tipos de carga que componen la fuerza distribuida y las fuerzas puntuales.

  6. Modelo de un arco triarticulado. Encuentre la carga por peso propio si el arco es

de madera con una sección rectángular de 0,30x0,10 de altura. γm=7kN/m3.

Sugerencia: En este caso es mejor determinar el peso propio como carga distribuida en la longitud del arco y no en la proyección horizontal. Note que si se hace como

proyección horizontal la carga sería variable con un máximo en los extremos y un mínimo en el centro. Por qué?.

 

 

  7. Modelo de un pórtico arriostrado para una edificación. Las riostras pueden estar

representando un muro. Determine las reacción considerando las uniones como articuladas

 

  8. Modelo de un techo pórtico para una cubierta de una bodega o hangar. El techo

se ve sometido a una presión del viento de: Cara de sotavento: 50N/m2. Cara de barlovento: 30N/m2. El peso propio del techo es de 120N/m2. Consultar la carga viga de diseño para este tipo de estructuras en la NSR-98 y determinar las reacciones en uno de los pórticos extremos. Considere las correas igualmente espaciadas y simplemente apoyadas en los pórticos extremos.

 

http://estructuras.eia.edu.co/estructurasI/ejercicios/portada.htm

EJERCICIOS

Equilibrio Estático

Indeterminación, estabilidad y modelos

Aplicación de ecuaciones de equilibrio  

Ejercicios de repaso final

Examen final