Salom on Alarc on AranedaApuntes deC alculo Diferencial v 15.06.10hola

_2PrefacioEsta es la tercera versi on del apuntes que estoy escribiendo para un curso de C alculo Diferen-cial.Esta versi on contiene aportes del Profesor Pablo Gonzalez, de la UNAB, en el t opico de Ordende los n umeros reales y axioma del supremo, y de los Profesores Florentino Baeza y Bernardo Le onde la Barra, ambos de la UTFSM, en algunos t opicos relacionados con valor absoluto y ecuacionesy funciones cuadr aticas.Agradezco desde ya sus comentarios y crticas constructivas para mejorar este texto, el cualseguramentetodavacontienealgunoserrores. Paraello, puedencontactarmeenvi andomeuncorreo e-mail a: salomon.alarcon@usm.cl.Espero que este texto les sea de utilidad.Atte.Salom on Alarc on Araneda.ICAPITULO 0. PREFACIOIIIndice generalPrefacio IIndice general IIIIndice de guras VIII N umeros Reales y Funciones Reales 11. Los N umeros Reales 31.1. El cuerpo de los n umeros reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.1. Otras propiedades algebraicas de los n umeros reales . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2. Ecuaciones de primer grado con una inc ognita. . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2. Orden en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.1. Propiedades de las desigualdades en R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.2. Otras propiedades de las desigualdades en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.3. Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.4. Distancia entre dos n umeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.5. Valor absoluto de un n umero real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.6. Ecuaciones de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.7. Ecuaciones con radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.2.8. Ecuaciones con valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.2.9. Inecuaciones con una inc ognita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.3. Axioma de completitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342. Funciones 412.1. Funciones reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.1.1. Gr aco de una funci on real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.1.2. Traslaci on horizontal de una funci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.1.3. Traslaci on vertical de una funci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.1.4. Reexi on del gr aco de una funci on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48IIIINDICE GENERAL2.2. Funciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.2.1. Funci on afn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.2.2. Funci on lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.2.3. Funci on identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.2.4. Funci on constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.2.5. Funci on cuadr atica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.2.6. Funci on parte entera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.2.7. Funci on racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.2.8. Funci on valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.2.9. Funci on radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.3. Funciones con propiedades especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.3.1. Funciones pares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.3.2. Funciones impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.3.3. Funciones peri odicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.3.4. Funciones crecientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.3.5. Funciones decrecientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.4. Funciones trascendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.4.1. Funci on exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.4.2. Funci on logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.5. Funciones Trigonom etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.5.1. Funci on seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.5.2. Funci on coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.5.3. Funci on tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.6.Algebra de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.6.1. Funci on compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.7. Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.7.1. Funciones inyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.7.2. Funciones sobreyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.7.3. Funciones biyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902.8. Funci on inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912.9. Relaciones y Funciones Trigonom etricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942.9.1. Arcoseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942.9.2. Arcocoseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.9.3. Arcotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99II Lmites y Continuidad 1013. Lmites 103IVINDICE GENERAL3.1. Discusi on informal de los lmites laterales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033.2. Denici on del lmite de una funci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.3.Algebra de lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.4. Teoremas sobre algunos lmites relevantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.5. Algunas t ecnicas para calcular lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.5.1. Simplicaci on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.5.2. Racionalizaci on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.5.3. Sustituci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.5.4. Uso de identidades trigonom etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.5.5. Uso de lmites especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.6. Teorema del Sandwich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.7. Lmites al innito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.8. Lmites en innito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204. Continuidad 1234.1. Continuidad de una funci on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.2. Propiedades de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.3. Teorema del Valor Intermedio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.4. Criterio para m aximos y mnimos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127III La Derivada y sus aplicaciones 1295. La Derivada 1315.1. Denici on de la derivada de una funci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315.2. Interpretaci on geom etrica de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1325.3. Dos teoremas importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.4. La funci on derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1385.5. Derivadas de algunas funciones conocidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.5.1. Derivadas de funciones algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.5.2. Derivadas de funciones trigonom etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.5.3. Derivadas de funciones logartmicas y exponenciales . . . . . . . . . . . . . . 1405.6.Algebra de derivadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.7. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.8. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455.9. Derivada de una funci on inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.10. Derivaci on implcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1495.11. Ecuaciones param etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151VINDICE GENERAL6. Aplicaciones de la Derivada 1556.1. Variaciones relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.2. M aximos y mnimos de una funci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.3. Aplicaciones de m ax. y mn. en intervalos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1616.4. Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1626.5. Crecimiento y decrecimiento. M ax. y mn. relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1636.6. Aplicaciones de m ax. y mn. en intervalos reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1696.7. Concavidad. Puntos de inexi on. Trazado de curvas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716.8. Regla de LH opital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174VIIndice de guras1.1. El conjunto de los n umeros reales R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Representaci on gr aca de un intervalo abierto ]a, b[. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3. Representaci on gr aca de un intervalo cerrado [a, b]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4. Representaci on gr aca de un intervalo semi abierto por derecha [a, b[. . . . . . . . . . 181.5. Representaci on gr aca de un intervalo semi abierto por izquierda ]a, b]. . . . . . . . . 181.6. Representaci on gr aca de un intervalo innito abierto por derecha ] , b[. . . . . . 181.7. Representaci on gr aca de un intervalo innito abierto por izquierda ]a, +[. . . . . 191.8. Representaci on gr aca de un intervalo innito cerrado por derecha ] , b]. . . . . 191.9. Representaci on gr aca de un intervalo innito cerrado por izquierda [a, +[. . . . . 191.10. Representaci on gr aca del conjunto soluci on de la inecuaci on 5x + 1 > 3x 3. . . . 292.1. Ejemplo de una funci on en un diagrama sagital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2. Una funci on real es como una m aquina que transforma un n umero realx en otron umero real que llamamos f(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.3. Representaci on en R2de Graf(f) = _(x, y) R2: y = x24x 5_. . . . . . . . . . . 462.4. Representaci on en R2de Graf(f) = _(x, y) R2: y = x_. . . . . . . . . . . . . . . . 462.5. Representaci on en R2del gr aco de g(x) = (x 2)2, que es la traslaci on horizontalen 2 unidades a la derecha de f(x) = x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.6. Representaci on en R2del gr aco de g(x) = x2+ 1, que es la traslaci on vertical en 1unidad hacia arriba de f(x) = x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.7. Reexi on de la gr aca de f(x) = x3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.8. Reexi on de la gr aca de f(x) = x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.9. Representaci on gr aca de la funci on afn f(x) = ax +b, x R, donde a > 0 y b > 0. 502.10. Representaci on gr aca de la funci on afn f(x) = 2x + 1, x R. . . . . . . . . . . . . 512.11. Representaci on gr aca de la funci on lineal f(x) = 2x, x R. . . . . . . . . . . . . . . 522.12. Representaci on gr aca de la funci on lineal f(x) = 3x, x Z. . . . . . . . . . . . . . . 522.13. Representaci on gr aca de la funci on id entica f(x) = x, x R. . . . . . . . . . . . . . 532.14. Representaci on gr aca de la funci on id entica f(x) = x, x Z. . . . . . . . . . . . . . 532.15. Representaci on gr aca de la funci on constante f(x) = 3, x Z. . . . . . . . . . . . . 54VIIINDICE DE FIGURAS2.16. Representaci on gr aca de la funci on constante f(x) = 1, x R. . . . . . . . . . . . . 552.17. Representaci on gr aca de una funci on cuadr atica de la forma f(x) =ax2+ bx + c,x R, con dos ceros distintos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.18. Representaci on gr aca de la funci on cuadr atica f(x) = 4x2+ 2x 1, x R. . . . . . 572.19. Representaci on gr aca de la funci on parte entera f(x) = [[x]], x R. . . . . . . . . . 572.20. Representaci on gr aca de la funci on racional f(x) =x2+ 7x 11x24, x R 2, 2. . 592.21. Representaci on gr aca de la funci on valor absoluto f(x) = [x[, x R. . . . . . . . . . 602.22. Representaci on gr aca de la funci on F(x) = [x + 2[, x R. . . . . . . . . . . . . . . . 602.23. Representaci on gr aca de la funci on f(x) = x, x 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.24. Representaci on gr aca de la funci on g(x) =3x, x R. . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.25. Gr aca de la funci on par f(x) = [x[. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.26. Gr aca de la funci on par f(x) = x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.27. Gr aca de la funci on impar f(x) = x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.28. Gr aca de la funci on impar f(x) = x3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.29. Gr aca de la funci on 2peri odica h(x) = x + 1 si 1 < x < 0, h(x) = 0 si 0 < x < 1,f(x + 2) =f(x). Esta funci on no est a denida en 0 + 2k, 1 + 2k ni en 1 + 2k, conk Z. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.30. La funci on f(x) = x, x R, es una funci on estrictamente creciente en R. . . . . . . . 662.31. La funci on f(x) = x3, x R, es una funci on estrictamente creciente en R. . . . . . . 662.32. La funci on f(x) = x, x R, es una funci on estrictamente decreciente en R. . . . . 672.33. La funci on f(x) =1x, x R+, es una funci on estrictamente decreciente en R+. . . . . 682.34. Representaci on gr aca de la funci on exponencial de base a, a > 1, f(x) = ax, x R. 682.35. Representaci on gr aca de la funci on exponencial de base a, 0 b, si y s olo si ab es un n umero positivo; es decir:a > b a b R+ii) a es mayor o igual que b, lo que denotamos por ab, si y s olo si a b es un n umero positivo, o a es igual a b; es decir:ab a b R+a = biii) a es menor que b, lo que denotamos por a < b, si y s olo si b a es un n umero positivo; es decir:a < b b a R+iv) a es menor o igual que b, lo que denotamos por ab, si y s olo si b a es un n umero positivo, o a es igual a b; es decir:ab b a R+a = b13CAPITULO1. LOS N UMEROS REALES Salom on Alarc on AranedaNotemos que por denici on de mayor que, tenemos quea R+ a > 0.Por otro lado, por propiedad de tricotoma tenemos que, si a R+, entoncesa /R+a ,= 0 a 0a ,= 0 a < 0.DeestaformasurgenaturalmenteotrosubconjuntoenR,denotadoporR,elcualllamamosconjunto de los n umeros reales negativos. M as a un,a R a < 0.Es claro ahora que R corresponde al conjunto de los inversos aditivos de los elementos en R+, yque la uni on de ambos conjuntos con cero resulta ser todo R. Es decir,a R a R a = 0 a R+En otras palabras,R = R 0 R+ = R R+ = 0 R+ = R 0.1.2.1. Propiedades de las desigualdades en RDe acuerdo a los axiomas y deniciones dados previamente, no es difcil demostrar que en Rla relaci on mayor o igual que constituye una relaci on de orden; es decir, satisface las siguientespropiedades:(O4) Propiedad reexiva(a R)(aa)(O5) Propiedad antisim etrica(a, b R)(abba a = b)(O6) Propiedad transitiva(a, b, c R)(abbc ac)Demostraci on. Sean a, b y c tres n umeros reales cualesquiera. Entonces:(O4) Para la reexividad,a = a aa. 14Salom on Alarc on Araneda 1.2. ORDEN EN R(O5) Para la antisimetra,abba (a b R+a = b)(b a R+b = a)___(a b R+a = b)a b R+(a b R+a = b) b = a___(a b R+b a R+)(a = bb a R+)(a b R+b = a)(a = bb = a) (0 R+)(a = b) a = b. (O6) Para la transitividad,abbc (a b R+a = b)(b c R+b = c)___(a b R+a = b)c b R+(a b R+a = b) b = c___(a b R+b c R+)(a = bb c R+)(a b R+b = c)(a = bb = c) a c R+a = c ac. OBSERVACI ON 1.2.1Cambiando en (O4)(O6) los signospor signos , tenemos que la relaci onmenor o igual quetambi en constituye una relaci on de orden en R. 1.2.2. Otras propiedades de las desigualdades en RA continuaci on probaremos algunas propiedades de las desigualdades enR.i) (a, b, c R)(a > b a +c > b +c).Demostraci on. Sean a, b y c n umeros reales. Entonces:a > b (a b) R+ (a +c c b) R+ [(a +c) (b +c)] R+ a +c > b +c. 15CAPITULO1. LOS N UMEROS REALES Salom on Alarc on Aranedaii) (a, b, c R)(a > bc > 0 ac > bc).Demostraci on. Sean a, b y c n umeros reales. Entonces:a > bc > 0 (a b) R+c R+ (a b)c R+ (ac bc) R+ ac > bc. iii) (a, b, c R)(a > bc < 0 ac < bc).Demostraci on. Sean a, b y c n umeros reales. Entonces:a > bc < 0 (a b) R+c R (a b) R+(c) R+ (a b)(c) R+ (bc ac) R+ ac < bc. iv) (a R)(a ,= 0 a2> 0).Demostraci on. Sea a un n umero real. Entonces:a > 0 a R+ aa = a2 R+ a2> 0, a < 0 a R (a) R+ (a)2= (a)(a) = a2 R+ a2> 0. v) (a R)(a > 0 a1> 0).Demostraci on. Antes de probar la propiedad, notar que 1 = 11 = 12> 0. Ahora probaremosla propiedad por reducci on al absurdo, esto es, supondremos que la negaci on del enunciadoes verdadera y llegaremos a una contradicci on.Sea a un n umero real y supongamos quea > 0a1 0.Entonces por propiedad iii). tenemos que aa1< 0, pues a1,= 0, pero esto es una contra-dicci on con el hecho que aa1= 1 > 0. Esto quiere decir que la negaci on del enunciado esfalsa y luego el enunciado es verdadero. 16Salom on Alarc on Araneda 1.2. ORDEN EN Rvi) (a, b R)(a > b > 0 b1> a1).Demostraci on. Sean a y b n umeros reales. Entonces:a > b > 0 (a b) R+a1 R+b1 R+ (a b) R+a1 b1 R+ (a b)a1 b1 R+ (aa1 b1ba1 b1) R+ (b1a1) R+ b1> a1. vii) (a, b R)(a > b0 a2> b2).Demostraci on. Sean a y b n umeros reales. Entonces:a > b0 (a b) R+(a +b) R+ (a b)(a +b) R+ (a2b2) R+ a2> b2. EJERCICIOS 1.2.11. Sean a, b, c R. Demuestra que a > b b > c a > c2. Sean a, b, c R. Demuestra que a < b c < 0 ac > bc3. Sean a, b R. Si a ,= b, demuestra que a2+b2> 2ab4. Sean a, b, c R. Si a ,= b, b ,= c, a ,= c, demuestra que a2+b2+c2> ab +bc +ac5. Sean a, b, c, d R. Si a2+b2= 1 y c2+d2= 1, demuestra que ac +bd 16. Sean a, b, m, n R. Si a > b y m, n R+, demuestra que b 68. Sean x, y, z R+. Prueba que (x +y +z)_1x + 1y + 1z_ 9.17CAPITULO1. LOS N UMEROS REALES Salom on Alarc on Araneda1.2.3. IntervalosUna forma de escribir y representar ciertos subconjuntos de los n umeros reales que involucrandesigualdades en su denici on son los intervalos.DEFINICI ON 1.2.2Sean a, b dos n umeros reales tales que a < b.i) Llamamos intervalo abierto al conjunto:]a, b[:= x R : a < x < b.Figura 1.2. Representaci on gr aca de un intervalo abierto ]a, b[.ii) Llamamos intervalo cerrado al conjunto:[a, b] := x R : a x b.Figura 1.3. Representaci on gr aca de un intervalo cerrado [a, b].iii) Llamamos intervalo semi abierto por derecha al conjunto:[a, b[:= x R : a x < b.Figura 1.4. Representaci on gr aca de un intervalo semi abierto por derecha [a, b[.iv) Llamamos intervalo semi abierto por izquierda al conjunto:]a, b] := x R : a < x b.Figura 1.5. Representaci on gr aca de un intervalo semi abierto por izquierda ]a, b].v) Llamamos intervalo innito abierto por derecha al conjunto:] , b[:= x R : x < b.Figura 1.6. Representaci on gr aca de un intervalo innito abierto por derecha ] , b[.18Salom on Alarc on Araneda 1.2. ORDEN EN Rvi) Llamamos intervalo innito abierto por izquierda al conjunto:]a, +[:= x R : x > a.Figura 1.7. Representaci on gr aca de un intervalo innito abierto por izquierda ]a, +[.vii) Llamamos intervalo innito cerrado por derecha al conjunto:] , b] := x R : x b.Figura 1.8. Representaci on gr aca de un intervalo innito cerrado por derecha ] , b].viii) Llamamos intervalo innito cerrado por izquierda al conjunto:[a, +[:= x R : x a.Figura 1.9. Representaci on gr aca de un intervalo innito cerrado por izquierda [a, +[.1.2.4. Distancia entre dos n umeros realesDEFINICI ON 1.2.3Sean a y b dos n umeros reales. Denimos la distancia entre a y b,denotada por dist(a, b) a la diferencia no negativa entre a y b, esto es:dist(a, b) :=_a b si a b 0,b a si b a 0.EJERCICIOS 1.2.2ll1. Calcula la distancia entre los pares de n umeros reales dados a continuaci on.Comprueba tus resultados en una recta num erica:a) 3 y 4 b) 7 y 5 c) 3 y 4 d) 5 y 0 e) 0 y 5 f) 1 y 62. De las siguientes armaciones, subraya aquellas que son verdaderasa) dist(13, 2) = dist(2, 13) b) dist(5,2) = dist(5,2)c) dist(2, 5) = dist(5, 2) d) dist(9, 32) = dist(32, 9)e) dist(a, b) = dist(b, a) f) dist(a, b) = dist(b, a)g) dist(5, 0) = 5 h) dist(12, 0)=2119CAPITULO1. LOS N UMEROS REALES Salom on Alarc on AranedaPropiedades relativas al concepto de distancia entre n umeros realesi) (a, b R)[dist(a, b) = dist(b, a)]ii) (a, b R)[dist(a, b) = dist(a, b)]iii) (a, b R)[dist(a, c) dist(a, b) + dist(b, c)]OBSERVACI ON 1.2.2La distancia entre un n umero real dado y el cero es muy sencilla de calcular,pues corresponde al n umero real dado sin su signo, de modo que quede positivo. Este caso par-ticular, de la distancia de un valor real al cero, corresponde al concepto matem atico denominadovalor absoluto. 1.2.5. Valor absoluto de un n umero realDEFINICI ON 1.2.4Sea a R. Llamaremos valor absoluto de a a un valor real que denotamos por [a[y que denimos como sigue:[a[ =___a si a > 0,0 si a = 0,a si a < 0.Propiedades relativas al concepto de valor absoluto de un n umero reali) (a, b R)([ab[ = [a[[b[)ii) 2. (a, b R)_b ,= 0 ab = [a[[b[_iii) (a, b R)_[a[[b[[ab[ [a[+[b[_ (Desigualdad triangular)iv) (a R)([a[ = a2)v) (a R)([a[ = dist(a, 0)).EJEMPLO 1.2.1 [3[ = 3 pues 3 0. EJEMPLO 1.2.2 [ 2[ = (2) = 2 pues 2 < 0. EJEMPLO 1.2.3Sea a > 0. Cu al es el valor de [1 a[?Soluci on. Caso 0 < a < 1. Notar que en este caso 1 a > 0, entonces[1 a[ = 1 a. Caso a 1. Notar que en este caso 1 a 0, entonces[1 a[ = (1 a) = 1 +a = a 1. 20Salom on Alarc on Araneda 1.2. ORDEN EN REJERCICIOS 1.2.3De las siguientes armaciones subraya aquellas que son siempre verdaderasa) [3[ +[0[ = [3 + 0[ b) [2[ +[3[ = [2 + 3[ c) [ 3[ +[ 2[ = [ 3 2[d) [a[ +[b[ = [a +b[ e) [ 2 + 3[ [ 2[ [3[ f) [5 2[ [5[ +[ 2[g) [5 + 6[ [5[ +[6[ h) [a +b[ [a[ [b[ i) [a b[ [a[ +[b[.1.2.6. Ecuaciones de segundo gradoDEFINICI ON 1.2.5Sean a, b, c R, a ,= 0. La ecuaci onax2+bx +c = 0se denomina ecuaci on cuadr atica o ecuaci on de segundo grado con una inc ognita.Notemos queax2+bx +c = 0 a ,= 0 x2+bax = ca x2+ 2_b2ax_+_b2a_2=_b2a_2ca_x +b2a_2=b24ac4a2.Dado que en Rel cuadrado de un n umero real es siempre mayor o igual que cero, tiene sentido enR extraer raz cuadrada en ambos lados de la ultima igualdad obtenida siempre que b24ac 0.Luego, el caso b24ac < 0 no tiene sentido en R.De esta forma, asumiendo que b24ac 0 tenemos que:_x +b2a_2=b24ac4a2 x +b2a= b24ac2a x = b b24ac2a.Por lo tanto:i) Si b24ac > 0 , la ecuaci on tiene dos races reales (o soluciones reales) distintas dadas por:x1 = b b24ac2a x2 = b +b24ac2a.ii) Si b24ac = 0, la ecuaci on tiene una raz real unica (con multiplicidad 2) dada por:x = b2a.iii) Si b24ac < 0, la ecuaci on no tiene races reales. Sin embargo, s tiene soluci on en el conjuntode los n umeros complejos C, el cual por ahora no hemos considerando. Sobre este conjuntola ecuaci on posee dos races complejas conjugadas.21CAPITULO1. LOS N UMEROS REALES Salom on Alarc on AranedaTEOREMA 1.2.1[Teorema de Viet e] Sean a, b, c R, a ,= 0. Si x1 y x2 son las races de la ecuaci oncuadr atica ax2+bx +c = 0, entoncesx1 +x2 = bc x1x2 =ac.EJEMPLO 1.2.4Resuelve la ecuaci on: x2=x + 56.Soluci on. x2=x + 56 6x2= x + 5 6x2x 5 = 0 (6x)2(6x) 30 = 0 (6x 6)(6x + 5) = 0 x = 1 x = 56. EJEMPLO 1.2.5Resuelve la ecuaci on:x + 1x + 3 +x + 5x 2=14x + 7x2+x 6.Soluci on. La ecuaci onx + 1x + 3 +x + 5x 2=14x + 7x2+x 6 tiene sentido si x ,= 3 y x ,= 2.x + 1x + 3 +x + 5x 2=14x + 7x2+x 6 x ,= 3 x ,= 2(x + 1)(x 2) + (x + 5)(x + 3)(x + 3)(x 2)=14x + 7(x + 3)(x 2) x ,= 3 x ,= 2 x2x 2 +x2+ 8x + 15 = 14x + 7 x ,= 3 x ,= 2 2x27x + 6 = 0 x ,= 3 x ,= 2 x =7 49 42622=7 14x ,= 3 x ,= 2 x =32. 1.2.7. Ecuaciones con radicalesAntes de denir una ecuaci on con radicales conviene recordar la siguiente denici on:DEFINICI ON 1.2.6Sea a R y sea n N, n 2. La raz n- esima del n umero real a, denotada porna existe en R, si existe un n umero real b tal que:i) Si n es impar:na = b, b vericando bn= a.ii) Si n es par:na = [b[ b vericando bn= a.En este caso a recibe el nombre de cantidad subradical.22Salom on Alarc on Araneda 1.2. ORDEN EN ROBSERVACI ON 1.2.3De acuerdo a la denici on de razn- esima de un n umero real, una raz dendice par est a bien denida en R si la cantidad subradical es positiva o cero y su valor es siempremayor o igual que cero. Es decir,nx con n par es un n umero real si y s olo si x 0; m as a un, si nes par y x 0, entoncesnx 0. Si n es impar, x puede ser cualquier n umero real. Ahora conviene dar una nueva denici on para el valor absoluto de un n umero real.DEFINICI ON 1.2.7Sea a un n umero real. Llamamos valor absoluto de a al n umero [a[ denido por:[a[ := a2.DEFINICI ON 1.2.8Llamamos ecuaci on con radicales de una inc ognita a cualquier ecuaci on con unainc ognita que posea una expresi on algebraica, que involucre a su inc ognita, como una cantidadsubradical en alguno de los lados de la igualdad.Para resolver una ecuaci on con radicales, la reordenamos en otra equivalente de ser necesario.Luego, buscamos las restricciones sobre la inc ognita de manera que las races involucradas en laecuaci on existan enR y elevamos a una potencia apropiada en ambos lados de la igualdad paraeliminar la(s) raz(races). Este proceso se debe realizar cuantas veces sea necesario hasta elimi-nar todas las races que contengan inc ognitas en su cantidad subradical respectiva y entonces seprocede a resolver la ecuaci on como una ecuaci on com un, considerando las restricciones estable-cidas al comienzo, para descartar si corresponde, los valores de las inc ognitas encontrados que nosatisfacen tales restricciones.EJEMPLO 1.2.6Resuelve la siguiente ecuaci on:_1w _25w 2= 0.Soluci on. La ecuaci on_1w _25w 2= 0 tiene sentido si w > 0 y 5w 2 > 0._1w _25w 2= 0 w > 0 w >25 _1w=_25w 2 w >251w=25w 2 w >25 5w 2 = 2w w >25 w =23. EJEMPLO 1.2.7Resuelve la siguiente ecuaci on:x x + 1 = 1.Soluci on. La ecuaci onx x + 1 = 1 tiene soluci on si x 0 y x + 1 0.x x + 1 = 1 x 0 x + 1 0 x = 1 +x + 1 x 0 x = 1 + 2x + 1 +x + 1 x 0x + 1 = 1 x 0.23CAPITULO1. LOS N UMEROS REALES Salom on Alarc on AranedaNotemos que si x 0, entonces x + 1 0, de manera quex + 1 est a bien denida en R. Por otrolado, la raz cuadrada de un n umero real mayor o igual que cero es, por denici on, un n umero realmayor o igual que cero. Asx + 1 0. Por lo tanto, concluimos que la ecuaci on no tiene soluci onen R. EJEMPLO 1.2.8Resuelve la siguiente ecuaci on:y 2 + 2 2y + 3 = 0.Soluci on. La ecuaci on_y 2 + 2 _2y + 3 = 0 tiene sentido si y 2 y 2y + 3 0._y 2 + 2 _2y + 3 = 0 y 2 y 32y 2 + 2 = 2y + 3 y 2 4 + 4y 2 +y 2 = 2y + 3 y 2 4y 2 = y + 1 y 2 16y 32 = y2+ 2y + 1 y 2 y214y + 33 = 0 y 2 (y 11)(y 3) = 0 y 2 y = 11 y = 3. 1.2.8. Ecuaciones con valor absolutoDEFINICI ON 1.2.9Llamamos ecuaci on con valor absoluto de una inc ognita a cualquier ecuaci on conuna inc ognita que posea una expresi on algebraica, que involucre a su inc ognita, en valor absolutoen alguno de los lados de la igualdad.Sean a, b, c, d R, a ,= 0. Consideremos la siguiente ecuaci on con valor absoluto:[ax +b[ = cx +d.(1) Notar quepor denici ondevalor absoluto, paratodoxRseverica [ax+b[ 0;luego, para que la ecuaci on tenga soluci on una condici on necesaria es la siguiente:cx +d 0 cx d.(2) Tambi en por denici on de valor absoluto tenemos que[ax +b[ =_ ax b si ax +b 0ax +b si ax +b 0Por lo tanto, las soluciones de la ecuaci on [ax +b[ = cx +d, con a ,= 0, corresponden a la uni on delas soluciones obtenidas al resolver las siguientes ecuaciones restringidas:i)ax +b = cx d cx d (aqu: cx d 0 ax +b 0)ii) ax +b = cx +d cx d (aqu: cx +d 0 ax +b 0).24Salom on Alarc on Araneda 1.2. ORDEN EN REn otras palabras,Si a ,= 0, la ecuaci on [ax +b[ = cx +d, tiene por soluci on a todos los valores realesque veriquen(ax +b = cx d ax +b = cx +d) cx d.En particular, la ecuaci on [ax +b[ = d, a ,= 0, tiene por conjunto soluci on a la uni on de las solucio-nes obtenidas al resolver las siguientes ecuaciones restringidas:i)ax +b = d d 0ii) ax +b = d d 0.o equivalentemente, Si a ,= 0 y d < 0, la ecuaci on [ax +b[ = d no tiene soluci on real. Si a ,= 0 y d 0, la ecuaci on [ax +b[ = d tiene por soluci on a todos los valores reales que veriquenax +b = d ax +b = d.OBSERVACI ON 1.2.4Para resolver una ecuaci on de la forma [ax + b[ = [cx + d[, con a ,= 0, proce-demos como sigue: Resolvemos las ecuacionesax +b = cx +d ax +b = cx d.El conjunto soluci on S resultante estar a formado por los valores reales correspondientes a las so-luciones de cada una de las ecuaciones previas. No es necesario realizar m as an alisis. Los siguientes ejemplos corresponden a una aplicaci on de los resultados previos pararesolver ecuaciones de primer grado con valor absoluto.EJEMPLO 1.2.9Resuelve la ecuaci on: [2x 5[ = 12.Soluci on. Notar que [2x 5[=12 0. Luego, las soluciones de la ecuaci on corresponden a lassoluciones de 2x 5 = 12 y 2x 5 = 12. Tenemos,2x 5 = 12 2x = 7 x = 72.y2x 5 = 12 2x = 17 x =172.Por lo tanto, el conjunto soluci on de la ecuaci on esS =_72, 172_. 25CAPITULO1. LOS N UMEROS REALES Salom on Alarc on AranedaEJEMPLO 1.2.10Resuelve la ecuaci on: [x 3[ = 2x + 5.Soluci on. Las soluciones de la ecuaci on deben vericar:2x + 5 0 x 52.Ahora resolvemos, bajo esta condici on, las ecuaciones x 3 = 2x 5 y x 3 = 2x + 5:x 3 = 2x 5 3x = 2 x = 23_con 23 52_yx 3 = 2x + 5 x = 8_con 8 < 52_.Porlotanto, elsegundovalordexencontradosedescartacomosoluci on. Luego, elconjuntosoluci on de la ecuaci on esS =_23_. EJEMPLO 1.2.11Resuelve la ecuaci on: [x 3[ = 2.Soluci on. Tenemos,[x 3[ = 2 x 3 = 2 x + 3 = 2 x = 5 x = 1. EJEMPLO 1.2.12Resuelve la ecuaci on: [x + 3[ [x 2[ = 4.Soluci on. Notar que[x + 3[ = 0 x = 3 [x 2[ = 0 x = 2.Luego, conviene estudiar la ecuaci on en los siguientes tres casos: Caso 1) x< 3, Caso 2) 3 x 2 y Caso 3) x > 2, estudiando el signo de los valores absolutos para cada caso, resolviendo larespectiva ecuaci on y uniendo las soluciones obtenidas.Caso 1) x < 3.Notar quex < 3 x + 3 < 0 x < 3 x 2 < 5 < 0.Por lo tanto, si x < 3, tendremos que[x + 3[ = (x + 3) = x 3 [x 2[ = (x 2) = x + 2,y reemplazando en la ecuaci on original, obtenemos que en este caso debemos resolver:x 3 +x 2 = 4.Esta ecuaci on no tiene soluci on.26Salom on Alarc on Araneda 1.2. ORDEN EN RCaso 2) 3 x 2.Notar que3 x 2 0 x + 3 5 3 x 2 5 x 2 0.Por lo tanto, si 3 x 2, tendremos que[x + 3[ = x + 3 [x 2[ = (x 2) = x + 2,y reemplazando en la ecuaci on original, obtenemos que en este caso debemos resolver:x + 3 +x 2 = 4 2x = 3 x =32.Caso 3) x > 2.Notar quex > 2 x + 3 > 5 0 x > 2 x 2 > 0.Por lo tanto, si 3 x 2, tendremos que[x + 3[ = x + 3 [x 2[ = x 2,y reemplazando en la ecuaci on original, obtenemos que en este caso debemos resolver:x + 3 x + 2 = 4.Esta ecuaci on no tiene soluci on.Por lo tanto, la ecuaci on [x + 3[ [x 2[ = 4 tiene por conjunto soluci on aS =_32_. EJEMPLO 1.2.13Resuelve la ecuaci on: [x 3[2x=x[2x 3[.Soluci on. La ecuaci on [x 3[2x=x[2x 3[ tiene sentido en R si x ,= 0 y x ,=32. Luego,[x 3[2x=x[2x 3[ x ,= 0 x ,=32 [(x 3)(2x 3)[ = 2x2x ,= 0 x ,=32 [2x29x + 9[ = 2x2x ,= 0 x ,=32 (2x29x + 9 = 2x2 2x2+ 9x 9 = 2x2) x ,= 0 x ,=32 (x = 1 4x29x + 9 = 0) x ,= 0 x ,=32.Como 81 449 ,R, la ecuaci on 4x2 9x + 9 = 0 no tiene soluci on real, as que el conjuntosoluci on de la ecuaci on esS = 1. 27CAPITULO1. LOS N UMEROS REALES Salom on Alarc on AranedaEJERCICIOS 1.2.4Resuelve las siguientes ecuaciones con valor absoluto:a) [x 5[ = 16 b) [4x 12[ = 16c) [3x 13[ = [4x + 21[ d) [4x + 3[ = [5 2x[e) [5x 6[ = 3x + 1 f) [x + 8[ = xg) [x + 8[ = x h) [ x 8[ = xi) x +[3x + 2[ = 5x + 3 j) x +[x + 3[ = 2x 5 +[x + 1[.1.2.9. Inecuaciones con una inc ognitaDEFINICI ON 1.2.10Sean p(x) y q(x), dos expresiones algebraicas. Las proposicionesi) p(x) q(x)ii) p(x) q(x)iii) p(x) < q(x)iv) p(x) > q(x)se llaman inecuaciones con una inc ognita. Si al reemplazarx por un valora, la proposici on resultaverdadera, entonces el valora, recibe el nombre de soluci on de la inecuaci on. El conjunto soluci onde la inecuaci on es el conjunto conformado por todos los valoresa tales quea es soluci on de lainecuaci on. Si dos o m as inecuaciones tienen exactamente el mismo conjunto soluci on, entoncesdecimos que las inecuaciones son equivalentes.Inecuaciones de primer grado con una inc ognitaDEFINICI ON 1.2.11Una inecuaci on de primer grado con una inc ognita es una inecuaci on de la forma:ax +b 0 ax +b < 0 ax +b > 0 ax +b 0donde a y b son n umeros reales, a ,= 0, y x es la inc ognita. Una raz o soluci on de una inecuaci oncorresponde a un valor de la inc ognita que permite vericar la desigualdad. La reuni on de lasposibles soluciones de una inecuaci on corresponde a su conjunto soluci on.Para resolver una inecuaci on de primer grado con una inc ognita, despejamos lainc ognita. Para ello operamos con operaciones inversas a ambos lados de la desigualdad, teniendoespecial cuidado con los inversos multiplicativos negativos, pues al multiplicar por un n umeronegativo en una desigualdad, esta cambia de sentido. En muchos casos, la inecuaci on original noes de primer grado, pero podemos reducirla a una inecuaci on equivalente de primer grado.28Salom on Alarc on Araneda 1.2. ORDEN EN REJEMPLO 1.2.14Resuelve la inecuaci on: 5x + 1 > 3x 3.Soluci on. 5x + 1 > 3x 3 5x + 1 (3x 3) > 0 5x + 1 3x + 3 > 0 2x + 4 > 0 2x > 4 x > 2.Luego el conjunto soluci on de la inecuaci on es: S = x R : x > 2. Figura 1.10. Representaci on gr aca del conjunto soluci on de la inecuaci on 5x + 1 > 3x 3.EJERCICIOS 1.2.51. Resuelve las siguientes inecuaciones:a) 6x 2 3x + 10 b) 2 4x 23 6 c) x+ < 4 x + 22. Si x satisface la desigualdad 74< x 92x x + 5Soluci on. Notar que(3x > 9 x > 3) (2x x + 5 x 5) 3 < x 5.Luego, el conjunto soluci on del sistema de inecuaciones es:S =]3, 5]. 29CAPITULO1. LOS N UMEROS REALES Salom on Alarc on AranedaEJERCICIOS 1.2.6Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:a)_x > 3x < 4b)___x > 27 < x 4x 6c)___2x 7 35x 2 < 4x + 1x > 100d)_5x 3x + 2x 1Inecuaciones de primer grado con valor absolutoSean a, b, c, d R, con a ,= 0. Consideremos la siguiente inecuaci on con valor absoluto:[ax +b[ cx +d(1) Notar que por denici on de valor absoluto, para todo xRse verica [ax+b[ 0; luego, paraque la inecuaci on tenga soluci on una condici on necesaria es la siguiente:cx +d 0 cx d.(2) Tambi en por denici on de valor absoluto tenemos que[ax +b[ =_ ax b si ax +b 0ax +b si ax +b 0.As[ax +b[ cx +d _ ax b cx +d ax +b 0ax +b cx +d ax +b 0_ cx d ax +b ax bax +b cx +d ax b.Por lo tanto,las soluciones de la inecuaci on [ax +b[cx +dcorresponden a la uni on de lassoluciones obtenidas al resolver los siguientes sistemas de inecuaciones:i) cx d ax +b ax b cx dii) ax +b cx +d ax b cx d,o equivalentemente,Si a ,= 0, las soluciones de la inecuaci on [ax +b[ cx +d corresponden a las solucionesobtenidas al resolver la inecuaci on:cx d ax +b cx +d,que corresponde a la intersecci on entre las soluciones de las inecuaciones:cx d ax +b ax +b cx +d.30Salom on Alarc on Araneda 1.2. ORDEN EN REn particular, la inecuaci on [ax +b[ d, con a ,= 0, tiene por conjunto soluci on a la uni on de lassoluciones obtenidas al resolver los siguientes sistemas de inecuaciones:i) d ax +b ax b d 0ii) ax +b d ax b d 0.o equivalentemente,Si a ,= 0, las soluciones de la inecuaci on [ax +b[ d corresponden a las solucionesobtenidas al resolver la inecuaci on:d ax +b d,que corresponde a la intersecci on entre las soluciones de las inecuaciones:d ax +b ax +b d.Lossiguientesejemploscorrespondenaunaaplicaci ondelosresultadospreviospararesolverinecuaciones de primer grado con valor absoluto.EJEMPLO 1.2.16Resuelve la inecuaci on: [2x 3[ < 5.Soluci on. 5 < 2x 3 < 5 2 < 2x < 81 < x < 4.Por lo tanto, el conjunto soluci on de la inecuaci on esS =] 1, 4[. EJEMPLO 1.2.17Resuelve la inecuaci on: [3x + 5[ > 6.Soluci on. Lo haremos de forma indirecta. Resolvemos la inecuaci on con la desigualdad comple-mentaria; es decir, resolvemos [3x + 5[ 6. Tenemos:6 3x + 5 6 11 3x 1113 x 13.Luego, el conjunto soluci on de la inecuaci on complementaria [3x + 5[ 6 esS =_113, 13_.Por lo tanto, el conjunto soluci on de la inecuaci on [3x + 5[> 6 es el complemento de S en R. Esdecir,S =_, 113_ _13, +_. 31CAPITULO1. LOS N UMEROS REALES Salom on Alarc on AranedaEJEMPLO 1.2.18Resuelve la inecuaci on: [3x + 5[ 2 6x.Soluci on. Lo haremos de forma indirecta. Resolvemos la inecuaci on con la desigualdad comple-mentaria; es decir, resolvemos [3x + 5[ < 2 6x. Tenemos:2 + 6x < 3x + 5 < 2 6x (2 + 6x < 3x + 5 3x + 5 < 2 6x) (3x < 7 9x < 3)_x 6 es el complemento de S en R. Esdecir,S =_13, +_. EJERCICIOS 1.2.71. Resuelve la siguientes inecuaciones:a) [7x 3[ < 6 b) [4x + 5[ 8 c) [3x 4[ > 34d) [16 5x[ 3 e) [2x 4[ < 4x + 3 f) [x 5[ 1 x.2. Si y = 3x + 5, prueba que [x 1[ 0.33CAPITULO1. LOS N UMEROS REALES Salom on Alarc on AranedaAqu los puntos crticos son: x = 3 y x = 2, y construimos la tabla de signos: < x < 2 x = 2 2 < x < 3 x = 3 3 < x < +x 3 0 +x 2 0 + + +(x 3)(x 2) + 0 0 +Observando la ultima lnea de nuestra tabla y los intervalos correspondientes donde se ve-rica que (x 3)(x 2) > 0, concluimos que el conjunto soluci on en este caso es:S2 =]3, 4[.Finalmente, el conjunto soluci on de la inecuaci on [x25x + 5[ < 1 es:S = S1 S2 =]1, 2[]3, 4[. 1.3. Axioma de completitudDEFINICI ON 1.3.1Un conjunto S R, se dice que es acotado superiormente si existe un n umero realM tal que x M para cada x S, es decir:S es acotado superiormente (M R) tal que (x M)(x S).Usualmente el m aximo de S se denota por max(S). Cualquier n umero mayor o igual que max(S)recibe el nombre de cota superior de S.DEFINICI ON 1.3.2Un conjunto S R se dice que es acotado inferiormente si existe un n umero realm tal que x m para cada x S, es decir:S es acotado inferiormente (m R) tal que (x m)(x S).Usualmente el mnimo de S se denota por mn(S). Cualquier n umero menor o igual que m recibeel nombre de cota inferior de S.DEFINICI ON 1.3.3Sea S un conjunto acotado superiormente, llamamos supremo de S a la menor delas cotas superiores de S. Usualmente el supremo de S se denota por sup(S).DEFINICI ON 1.3.4SeaSun conjunto acotado inferiormente, llamamos nmo deSa la mayor delas cotas inferiores de S. Usualmente el nmo de S se denota por nf(S).DEFINICI ON 1.3.5Un conjunto S R se dice que es acotado si lo es superiormente e inferiormentea la vez.34Salom on Alarc on Araneda 1.3. AXIOMA DE COMPLETITUDPropiedad caracterstica del supremoSi b = sup(S), entonces se debe cumplir:i) (s b)(s S)ii) ( > 0)(s

S) tal que (s

> b ).Propiedad caracterstica del nmoSea a =nf(S), entonces se debe cumplir:i) (s a)(s S)ii) ( > 0)(s

S) tal que (s

< a +).AXIOMA 1.3.1[Axioma del supremo] Sea S un subconjunto no vaco deR que es acotado supe-riormente. Entonces S posee supremo.AXIOMA 1.3.2[Axioma del nmo] Sea S un subconjunto no vaco de R que es acotado inferior-mente. Entonces S posee nmo.TEOREMA 1.3.1Los n umeros naturales no son acotados superiormente.TEOREMA 1.3.2[Principio de Arqumides] El conjunto de los n umeros reales es arquimideano. Esdecir,(r R+)(n N) tal que_1r< n_.TEOREMA 1.3.3 Q es denso en R. Es decir,_(r, s R) tal que (r < s)__(q Q) tal que (r < q< s)_.EJEMPLO 1.3.11. Se nala, de existir, el conjunto de todas las cotas superiores, el conjunto de todas las cotasinferiores, el m aximo, el mnimo, el supremo y/o el nmo de los siguientes conjuntos:a) S = 1, 2, 3, 4b) S =] 3, [c) S = [1, 8[35CAPITULO1. LOS N UMEROS REALES Salom on Alarc on AranedaSoluci on.a)El conjunto de las cotas superiores es: [4, [. El conjunto de las cotas inferiores es: ] , 1]. max(S) = 4 = sup(S). mn(S) = 1 =nf(S).b)El conjunto de las cotas superiores es: . El conjunto de las cotas inferiores es: ] , 3]. El conjunto no tiene m aximo ni supremo. El conjunto no tiene mnimo, pero s nmo, a saber nf(S) = 3.c)El conjunto de las cotas superiores es: ] , 1[. El conjunto de las cotas inferiores es: [8, [. El conjunto no tiene m aximo, pero s supremo, a saber sup(S) = 8. mn(S) = 1 =nf(S). 2. Sea S =_x R/x + 3x + 2< 0_a) Prueba que S es un conjunto acotadob) Demuestra quenf(S) = 3Soluci on.a)x + 3x + 2< 0 x ,= 2 [(x + 3) > 0 (x + 2) < 0] [(x + 3) < 0 (x + 2) > 0] (x > 3 x < 2) (x < 3 x > 2) 3 < x < 2El conjunto de las cotas inferiores de S es (, 3]. Por lo tanto S es acotado inferiormente.Por otro lado, el conjunto de las cotas superiores de S es [2, ). Por lo tanto S , es acotadosuperiormente. De esta forma, S es un conjunto acotado.b) Debemos demostrar que a = 3 es el nmo de S=] 3, 2[. Es decir, debemos demostrarque:( > 0)(s

R) tal que (s

< 3 +)(s S).En efecto,Sea > 0 dado. Si 2 (3) = 1, entonces es claro que existe s

= 52 S tal que s

< 3 +. Si 0 < < 1, entonces es claro que existe 3 < s

= 3 +2 S tal que s

< 3 +. 36Salom on Alarc on Araneda 1.3. AXIOMA DE COMPLETITUDEJERCICIOS DE REPASO 1.3.11. Resuelve las siguientes inecuaciones:a) 6x 2 3x + 10 b) 2 4x 23 6 c)2x 2 xx 1 1d) x + 1 >4xx + 1e) x22x 8 < 0 f) [x[2+ 2[x[ 3 0g)3x 2x + 1 > 2 h) [x2[3 + 2x[[ < 4 i) [x[ +[x + 2[ < 4j) [x 1[ [2x + 3[3x 4 0 k)x +[x + 1[[x 2[(x + 2)[x + 1[> 1 l)2x [x + 2[[x + 1[< [x + 4[2. Si x satisface la desigualdad 74< x 0. Adem as,Dom(g) = R = Dom(f) Rec(g) = _1, +_.Figura 2.6. Representaci on en R2del gr aco de g(x) = x2+1, que es la traslaci on vertical en 1 unidad haciaarriba de f(x) = x2.2.1.4. Reexi on del gr aco de una funci onDEFINICI ON 2.1.5Sea f: D R R una funci on. Si y = f(x), entonces el conjunto(f(x), x) R2: x Dom(f)se denomina reexi on de la gr aca de f con respecto a la recta y = x.OBSERVACI ON 2.1.6La representaci on gr aca del conjunto reexi on del gr aco defresulta sersim etrica con respecto a la representaci on gr aca del gr aco defcon respecto a la rectay=x.En otras palabras, el conjunto reexi on de la gr aca de f se determina de la siguiente forma: dadoy Rec(f), buscamos todos los x Dom(f) tales quey = f(x) x = g(y).Aqufes una funci on deD=Dom(f) en Rec(f), mientras queges una relaci on de Rec(f) enDom(f). Entonces:(x, g(x)) R2: x Rec(f) = (f(x), x) R2: x Dom(f). 48Salom on Alarc on Araneda 2.1. FUNCIONES REALESEJEMPLO 2.1.9Sea f(x) = x3. Notar quey = x3 x = y13.Ahora cambiamos x por y, y ponemosg(x) = x13.Luego, el conjunto reexi on de la gr aca de f est a dado por:(x, x13) : x R = Rec(f).Figura 2.7. Reexi on de la gr aca de f(x) = x3.EJEMPLO 2.1.10Sea f(x) = x2. Notar quey = x2 [x[ = y (x = y x = y).Ahora cambiamos x por y, y ponemosg1(x) = x g2(x) = x.Luego el conjunto reexi on de la gr aca de f est a dado por:(x, x) : x [0, +[= Rec(f).Figura 2.8. Reexi on de la gr aca de f(x) = x2.49CAPITULO2. FUNCIONES Salom on Alarc on AranedaEJERCICIOS 2.1.11. Traza la reexi on de f(x) = x22x + 3, con respecto a la recta y = x.2. Traza la reexi on de f(x) = x + 3, x 3, con respecto a la recta y = x.2.2. Funciones algebraicasLas funciones algebraicas son funciones que se obtienen por una aplicaci on nita de adiciones,sutracciones, multiplicaciones, divisiones y/o radicaciones entre constantes y una variable en pri-mer grado. Tambi en pueden ser funciones que a trozos posean esta caracterstica. A continuaci onmostramos algunos ejemplos de funciones algebraicas.2.2.1. Funci on afnDEFINICI ON 2.2.1Sea m, b R dos n umeros jos. La funci onf: R Rx f(x) = mx +bes llamada funci on afn.Figura 2.9. Representaci on gr aca de la funci on afn f(x) = ax +b, x R, donde a > 0 y b > 0.OBSERVACI ON 2.2.1Si f es una funci on afn, entonces si m ,= 0,Rec(f) = R = Dom(f).En cambio, si m = 0,Rec(f) = b.La gr aca corresponde a una recta que corta el eje y en el punto (0, b), y si m ,= 0 corta al ejex en el punto_bm, 0_.50Salom on Alarc on Araneda 2.2. FUNCIONES ALGEBRAICASLa ecuaci on de una recta dene una funci on afn. En efecto, si B ,= 0, entonces tenemos queAx +By +C = 0 y =_AB_x +_CB_ y = mx +b con m =_AB_ b =_CB_. EJEMPLO 2.2.1La funci on f(x) = 2x + 1, x R, es una funci on afn.Figura 2.10. Representaci on gr aca de la funci on afn f(x) = 2x + 1, x R.2.2.2. Funci on linealCorresponde a un caso particular de la funci on afnf(x)=mx + b,x R, cuandom ,=0 yb = 0, denida en D R.DEFINICI ON 2.2.2Sea D R. La funci onf: D R Rx f(x) = mxes llamada funci on lineal.OBSERVACI ON 2.2.2Si f es una funci on lineal, entoncesDom(f) = D = Rec(f).Adem as, Si f es lineal, x1, x2 Dom(f) y R, entonces se verican las siguientes propiedades:i) f(x1 +x2) = f(x1) +f(x2)ii) f(x1) = f(x1). EJEMPLO 2.2.2La funci onf: R Rx f(x) = 2xes una funci on lineal en R.51CAPITULO2. FUNCIONES Salom on Alarc on AranedaFigura 2.11. Representaci on gr aca de la funci on lineal f(x) = 2x, x R.EJEMPLO 2.2.3La funci onf: Z Zx f(x) = 3xes una funci on lineal en Z. Notar que Dom(f) = Z y Rec(f) = x Z : x = 3n : n Z.Figura 2.12. Representaci on gr aca de la funci on lineal f(x) = 3x, x Z.52Salom on Alarc on Araneda 2.2. FUNCIONES ALGEBRAICAS2.2.3. Funci on identidadCorresponde a un caso particular de la funci on afn f(x) = ax+b, x R, cuando a = 1 y b = 0,denida en D R.DEFINICI ON 2.2.3Sea D R. La funci onf: D R Rx f(x) = xes llamada funci on identidad (o id entica).OBSERVACI ON 2.2.3Es claro que si f es una funci on identidad, entoncesDom(f) = D = Rec(f). EJEMPLO 2.2.4La funci onf: R Rx f(x) = xes la funci on id entica en R.Figura 2.13. Representaci on gr aca de la funci on id entica f(x) = x, x R.EJEMPLO 2.2.5La funci onf: Z Z Rz f(z) = zes la funci on id entica en Z. Notar que Dom(f) = Z y Rec(f) = x Z : x = n : n Z.Figura 2.14. Representaci on gr aca de la funci on id entica f(x) = x, x Z.53CAPITULO2. FUNCIONES Salom on Alarc on Araneda2.2.4. Funci on constanteCorresponde a un caso particular de la funci on afnf(x) =ax + b, x R, cuandoa=0,denida en D R.DEFINICI ON 2.2.4Sea b R un valor constante y jo, y sea D R. La funci onf: D R Rx f(x) = bes llamada funci on constante en D.OBSERVACI ON 2.2.4Es claro que si fes una funci on constante, digamos f(x) =x, x Dom(f),entoncesRec(f) = b.Luego, la gr aca de una funci on constante corresponde a un conjunto de puntos contenidos enuna unica recta que es paralela al eje x. EJEMPLO 2.2.6La funci onf: Z Rx f(x) = 3es una funci on constante. Notar que Dom(f) = Z y que Rec(f) = 3.Figura 2.15. Representaci on gr aca de la funci on constante f(x) = 3, x Z.EJEMPLO 2.2.7La funci onf: R Rx f(x) = 1es una funci on constante. Notar que Dom(f) = R y que Rec(f) = 154Salom on Alarc on Araneda 2.2. FUNCIONES ALGEBRAICASFigura 2.16. Representaci on gr aca de la funci on constante f(x) = 1, x R.2.2.5. Funci on cuadr aticaDEFINICI ON 2.2.5Sea a R0, b R y c R. La funci onf: R Rx f(x) = ax2+bx +ces llamada funci on cuadr atica.OBSERVACI ON 2.2.5Notar que si a ,= 0, entoncesf(x) = ax2+bx +c= a_x2+bax +ca_= a__x2+ 2b2ax +_b2a_2__b2a_2+ca_= a__x _b2a_2_ (b24ac)4a_.Luego, la gr aca de la funci on corresponde a una par abola con v ertice en el puntoV_b2a, b24ac4a_y tal que el valorf_b2a_ = b24ac4aes el valor m aximo de la funci on f si a< 0, mientras que si a> 0, se trata del valor mnimo de lafunci on. As, la par abola est a orientada hacia abajo si a < 0, o hacia arriba si a > 0, y se vericaDom(f) = R Rec(f) =____, 4ac b24a_si a < 0_4ac b24a, +,_si a > 055CAPITULO2. FUNCIONES Salom on Alarc on AranedaAhora, paratrazarlagr acadeunafunci oncuadr aticaconvienecalcularelvalor_b2a d_donde d es una constante escogida arbitrariamente. Notar que debe ocurrir quef_b2a +d_ = f_b2a d_.En resumen:Si a > 0, entonces mnxDom(f)f(x) =4ac b24aSi a < 0, entonces maxxDom(f)f(x) =4ac b24aSi f(z1) = f(z2), entonces b2a=z1 +z22. Figura 2.17. Representaci on gr aca de una funci on cuadr atica de la forma f(x) =ax2+ bx + c, x R, condos ceros distintos.EJEMPLO 2.2.8Traza la gr aca de la funci on f(x) = 4x2+ 2x 1.Soluci on. Notar quef(x) = 4_x2+ 2 14x +_14_2_14_2 14_ = 4_x _14__2 54.Como a = 4 > 0, la gr aca de la funci on corresponde a una par abola con v ertice en V_14, 54_orientada hacia arriba. Adem as, el valorf_14_ = 54es el valor mnimo de la funci on y se verica en particular quef(1) = f_14 + 54_ = f_14 54_ = f_32_ = 4 2516 54=204= 5.56DEFINICI ON 2.2.7 Salom on Alarc on Araneda2.2. FUNCIONES ALGEBRAICASCon esta informaci on estamos en condiciones de trazar la gr aca de f.Figura 2.18. Representaci on gr aca de la funci on cuadr atica f(x) = 4x2+ 2x 1, x R.

2.2.6. Funci on parte enteraDEFINICI ON 2.2.6La funci onf: R Rx f(x) = [[x]]es llamada funci on parte entera (o mayor entero), donde [[x]] denota al mayor entero que es menoro igual que x.OBSERVACI ON 2.2.6Si f es la funci on parte entera, entoncesDom(f) = R Rec(f) = Z.Por otra parte, es claro que[[x]] x < [[x]] + 1. Figura 2.19. Representaci on gr aca de la funci on parte entera f(x) = [[x]], x R.57CAPITULO2. FUNCIONES Salom on Alarc on Araneda2.2.7. Funci on racionalSean p y q dos polinomios. Entoncesf: D R Rx f(x) =p(x)q(x)recibe el nombre de funci on racional. Aqu D = Dom(f) = x R : q(x) ,= 0.OBSERVACI ON 2.2.7Sea f(x)=p(x)q(x)una funci on racional. Los ceros de q(x) dan origen a rectasllamadas asntotas verticales a la gr aca de f, y corresponden a rectas perpendiculares al eje x queno forman parte de la gr aca de f, pero son tales que ayudan a trazar mejor su gr aca. Por otrolado, los ceros de p(x) dan los ceros de f.EJEMPLO 2.2.9Traza una gr aca aproximada de la funci on racional: f(x) =x2+ 7x 11x24.Soluci on. Notar queDom(f) = x R : x24 ,= 0 = x R : x = 2 = R 2, 2.Rec(f) =_y R : x R 2, 2y =x2+ 7x 11x24_.Ahora notemos quex ,= 2 y =x2+ 7x 11x24yx24y = x2+ 7x 11(y 1)x27x + (11 4y) = 0_x =7 _49 4(11 4y)(y 1)2(y 1)si y ,=1__7x = 7 si y = 1__x =7 _16y260y + 932(y 1)si y ,=1__x = 1 si y = 1_y R1 (pues 16y260y + 93 0 y R) y = 1 . Rec(f) = R.Por otra parte,q(x) = x24 = 0 x = 2.Luego, las rectas x = 2x = 2 son asntotas verticales a la gr aca de f. Adem as,f(x) = 0p(x) = 0x2+ 7x 11 = 0x = 7 932.58Salom on Alarc on Araneda 2.2. FUNCIONES ALGEBRAICASAs que los ceros de f sonx1 = x = 7 932 8,3218 x2 = x = 7 +932 1,3218.Tambi en tenemos quex = 0f(0) =114.Construimos una tabla de valores para trazar una gr aca, que por ahora es m as bien intuitiva. Sinembargo, cuando estudiemos derivadas, podremos efectuar una gr aca m as precisa.x f(x)8,3218 04 1,916 (2)3 4,6 (1)1 5,6 (7)0 2,75 (5)1 1 (3)3 3,8 (6)6 2,09375 (4)Figura 2.20. Representaci on gr aca de la funci on racional f(x) =x2+ 7x 11x24, x R 2, 2.2.2.8. Funci on valor absolutoDEFINICI ON 2.2.8La funci onf: R Rx f(x) = [x[es llamada funci on valor absoluto.59CAPITULO2. FUNCIONES Salom on Alarc on AranedaOBSERVACI ON 2.2.8Es claro queRec(f) = R+0= [0, +[ y Dom(f) = R. Figura 2.21. Representaci on gr aca de la funci on valor absoluto f(x) = [x[, x R.EJEMPLO 2.2.10Sea f(x) = [x[ y g(x) =x + 2. Determina la funci on F(x) denida por f_g(x)_ ygraca F.Soluci on. Notar que f_g(x)_ = g(x) = [x + 2[.F(x) = [x + 2[Por otro lado,F(x) = 0x = 2 F(0) = 2.Figura 2.22. Representaci on gr aca de la funci on F(x) = [x + 2[, x R.2.2.9. Funci on radicalDEFINICI ON 2.2.9Sea n N, n 2. La funci onf: D R Rx f(x) =nx60Salom on Alarc on Araneda 2.2. FUNCIONES ALGEBRAICASes llamada funci on radical de ndice n. AquD = Dom(f) =_[0, +[ si n es par,R si n es impar.OBSERVACI ON 2.2.9Es claro que si n es par,Rec(f) = [0, +[.Mientras que si n es impar, entoncesRec(f) = R. EJEMPLO 2.2.11Sea f(x) = x. Notar queDom(f) = [0, +[ Rec(f) = [0, +[. Figura 2.23. Representaci on gr aca de la funci on f(x) = x, x 0.EJEMPLO 2.2.12Sea g(x) =3x. Notar queDom(f) = R Rec(f) = R. Figura 2.24. Representaci on gr aca de la funci on g(x) =3x, x R.61CAPITULO2. FUNCIONES Salom on Alarc on Araneda2.3. Funciones con propiedades especialesAhora estamos interesados en estudiar funciones que veriquen ciertas propiedades especiales.2.3.1. Funciones paresDEFINICI ON 2.3.1Sea f: D R R una funci on. Diremos que f es una funci on par sif(x) = f(x) x D = Dom(f).OBSERVACI ON 2.3.1Las funciones pares tienen gr acos sim etricos con respecto al ejey(o bienrectax=0). El ejeyhace el papel de un espejo. Adem as, por denici on, sifes par, entoncesD = Dom(f) es un conjunto sim etrico respecto al 0 en R; es decir,a D a D. EJEMPLO 2.3.1Consideremos la funci on:f: R Rx f(x) = [x[.Como Dom(f) = R es un conjunto sim etrico respecto al 0 en R, yf(x) = [x[ = [x[ = f(x) x R,concluimos que f es una funci on par. Figura 2.25. Gr aca de la funci on par f(x) = [x[.EJEMPLO 2.3.2Consideremos la funci on:f: R Rx f(x) = x2.62Salom on Alarc on Araneda 2.3. FUNCIONES CON PROPIEDADES ESPECIALESComo Dom(f) = R es un conjunto sim etrico respecto al 0 en R, yf(x) = x2= (x)2= f(x) x R,concluimos que f es una funci on par. Figura 2.26. Gr aca de la funci on par f(x) = x2.2.3.2. Funciones imparesDEFINICI ON 2.3.2Sea f: D R R una funci on. Diremos que f es una funci on impar sif(x) = f(x) x D = Dom(f).OBSERVACI ON 2.3.2Las funciones impares tienen gr acos sim etricos con respecto al origen (0, 0).A partir del origen, la gr aca hacia la derecha del eje x se repite, en sentido de inverso aditivo delvalor dey=f(x), hacia la izquierda del ejex. Adem as, por denici on, sifes impar, entoncesD = Dom(f) es un conjunto sim etrico respecto al 0 en R; es decir,a D a D. EJEMPLO 2.3.3Consideremos la funci on:f: R Rx f(x) = x.Como Dom(f) = R, que es un conjunto sim etrico respecto al 0 en R, yf(x) = x = (x) = f(x) x R,concluimos que f es una funci on impar.63CAPITULO2. FUNCIONES Salom on Alarc on AranedaFigura 2.27. Gr aca de la funci on impar f(x) = x.EJEMPLO 2.3.4Consideremos la funci on:g : R Rx g(x) = x3.Como Dom(f) = R, que es un conjunto sim etrico respecto al 0 en R, yg(x) = x3= (x)3= g(x) x R,concluimos que g es una funci on impar.Figura 2.28. Gr aca de la funci on impar f(x) = x3.2.3.3. Funciones peri odicasDEFINICI ON 2.3.3Sea f: R R R una funci on. Diremos que fes peri odica si se conoce f(x)para cada x [a, b], con [a, b] un intervalo minimal yf_x + (b a)_ = f(x) x R[a, b].En este caso decimos que f tiene perodo igual a b a.64Salom on Alarc on Araneda 2.3. FUNCIONES CON PROPIEDADES ESPECIALESOBSERVACI ON 2.3.3[a, b] es minimal en el siguiente sentido: conocida la gr aca de la funci on sobreeste intervalo, es posible construir la gr aca de toda la funci on copiando y pegando esa gr acamediante el uso reiterado de traslaciones horizontales hacia la izquierda y hacia la derecha. OBSERVACI ON 2.3.4La denici on de funci on peri odica se puede adaptar a dominios que no seantodoR. Por ejemplo, poniendo en la denici on si se conocef(x) para cadax ]a, b[, con ]a, b[ unintervalo minimal yf_x + (b a)_ = f(x) x R[a, b]

,entonces en este caso la funci on f no estara denida en a ni en b, y por lo tanto tampoco lo estaraen f(a +k(b a)) ni en f(b +k(b a)), para todo k Z. EJEMPLO 2.3.5Consideremos la funci on:h : D R Rx h(x) =___x + 1 1 < x < 00 0 < x < 1f(x + 2) = f(x).Basta conocer la parte coloreada de la gr aca para conocer el resto de la gr aca de la funci on.Luego, f es peri odica de perodo 2.Figura2.29. Gr acadelafunci on2peri odicah(x) =x + 1si 1 1, f(x) = ax, x R.68Salom on Alarc on Araneda 2.4. FUNCIONES TRASCENDENTESFigura 2.35. Representaci on gr aca de la funci on exponencial de base a, 0 < a < 1, f(x) = ax, x R.TEOREMA 2.4.1 (Propiedades de los exponentes) Sean a, b R+y sean x, y R. Entonces se ve-rica quei) ax+y= ax ayii) axy=axayiii) axy= (ax)yiv) a0= 1v) a1= avi) a1=1a_a1_1= avii) ay= _1a_yviii) (ab)y= ay by.NOTACI ON 2.4.1La funci on exponencial f(x) =ex, con e el n umero exponencial, es usual deno-tarla por exp(x). Es decir,exp(x) = ex. 2.4.2. Funci on logaritmoPartimos deniendo el signicado del logaritmo de un n umero.DEFINICI ON 2.4.2Seaa R+ 1 y seab R+. Se dene el logaritmo en basea del n umero realpositivo b como el valor real denotado por logab el cual est a determinado por la relaci onlogab = x ax= b.69CAPITULO2. FUNCIONES Salom on Alarc on AranedaNOTACI ON 2.4.2Sea b R+. Si la base de un logaritmo es e, el n umero exponencial, entonces esusual escribirlogeb = ln b,e interpretar ln b como el logaritmo natural de b, en vez de leerlo como logaritmo en base e de b. Porotro lado, en el caso que la base de un logarimo sea 10, entonces escribimoslog10b = log b,e interpretamos log b simplemente como el logaritmo de 10, en vez de leerlo como logaritmo en base10 de b. Propiedades de los logaritmosLas propiedades de los logaritmos se basan en las propiedades de las potencias como veremosa continuaci on.TEOREMA 2.4.2 (Propiedades de los logaritmos) Sean a, b, c R+1 y sean x, y R+. Entoncesi) loga(xy) = logax + logayii) loga_xy_ = logax logayiii) logaxb= b logaxiv)logaxlogab= logbx logaclogbc= logbav) loga 1 = 0vi) logaa = 1vii) loga1a= 1 log1aa = 1viii) logax = loga_1x_ = log1ax.Demostraci on. Sean a, b, c R+ 1 y sean x, y R+, entonces:i) (s = logax t = logay) _as= x at= y_ as at= xy as+t= xy logaxy = s +t logaxy = logax + logay. 70Salom on Alarc on Araneda 2.4. FUNCIONES TRASCENDENTESii) (s = logax t = logay) _as= x at= y_asat=xy ast=xy loga_xy_ = s t loga_xy_ = logax logay. iii) s = logax as= x (as)b= xb abs= xb logaxb= bs logaxb= b logax. iv) s = loga 1 as= 1 s = 0 loga 1 = 0 v) s = logaa as= a s = 1 logaa = 1 vi)_s = loga1a t = log1aa__as=1a_1a_t= a = _a1_1__as= a1_a1_t= _a1_1_ (s = 1 t = 1)_loga1a= 1 log1aa = 1_. vii) s = logax as= x__a1_s= x as= _x1_1___1a_s= x as=_1x_1__log1ax = s loga_1x_1= s__log1ax = s loga_1x_ = s_ logax = log1ax = loga_1x_. 71CAPITULO2. FUNCIONES Salom on Alarc on Aranedaviii) (s = logax t = logab u = logbx) _as= x at= b bu= x_ (at)u= bu= x = as atu= as tu = s logablogbx = logaxlogaxlogab= logbx. OBSERVACI ON 2.4.2El logaritmo en base a de un n umero x, con a> 0, a ,= 1 y x> 0, puede serconsiderado como el resultado de la operaci on logaritmaci on aplicada al par (a, x) R+1R+.Esto es:log()() : R+ 1 R+ R(a, x) logaxEntonces, en t erminos de operatoria, log()() resulta ser una operaci on inversa para la operaci onpotenciaci on ()(). Es decir, dados a R+ 1, x R+, y R, se verica:ay= x y = logax,de donde,aloga x= ay= x logaay= logax = y. EJERCICIOS 2.4.11. Usa propiedades de los logaritmos y de las potencias para reducir las siguientes expresionesalgebraicas:a) log(x + 1)2log(x + 1) + log xb)12 log(x2+ 4x + 4) 2 log(x + 2) + log(x + 1)c) log_(x + 3)(x 2)2 log(x 2) + log(x + 3)2d) loga(x + 2)2 logb(x + 2)2 logbae) _a2(x+3)+a(x+3)_ : _a(x+3)+ 1_f )ax1 a3x2 a3y+3ax ayg)a(x+y)2 ax+y bx+y (ab)xy axax2+y2 bxy a2xy ayh) loga(x + 1)y3y loga(x + 1) + (y 3)2loga(x + 1)1y log(x + 1)1, a > 0.72Salom on Alarc on Araneda 2.4. FUNCIONES TRASCENDENTES2. Resuelve las siguientes ecuaciones:a) e2x= 2b) log2 2x = 4c) 2x+2+ 2x+3

13= 5x

83d) ln 4 + ln(4x) 1 = ln 1x + 6e) x + log(1 + 2x) = xlog 5 + log 6DEFINICI ON 2.4.3Sea a R+ 1. Llamamos funci on logaritmo en base a a la funci on:f: R+ Rx f(x) = logax.OBSERVACI ON 2.4.3Sea a R+ 1. Si f(x) = logax, x Dom(f) = R+, entoncesRec(f) = R.Adem as, Graf_loga()_resulta ser una reexi on del Graf_a()_con respecto al eje y = x. Por ultimo,se verica quei) Si f(x) = logax, con a > 1, entonces f es una funci on estrictamente creciente.ii) Si f(x) = logax, con 0 < a < 1, entonces f es una funci on estrictamente decreciente. Figura 2.36. Representaci on gr aca de la funci on logaritmo de base a, 0 < a < 1, f(x) = logax, x R+.73CAPITULO2. FUNCIONES Salom on Alarc on AranedaFigura 2.37. Representaci on gr aca de la funci on logaritmo de base a, a > 1, f(x) = logax, x R+.EJEMPLO 2.4.1Sea f(x) = ln x, x > 0. Notar quey = ln x ey= xAhora cambiamos x por y, y ponemosg(x) = ex.Luego el conjunto reexi on de la gr aca de f es:(x, ex) : x Rec(f) = R.Figura 2.38. Reexi on de la gr aca de f(x) = ln x.EJEMPLO 2.4.2Consideremos la funci on:h : R+ Rx h(x) = log10xComo0 < x1< x2 log10x1< log10x2 f(x1) = log10x1> log10x2 = f(x2),concluimos que f es una funci on estrictamente decreciente.74Salom on Alarc on Araneda 2.4. FUNCIONES TRASCENDENTESFigura 2.39. La funci on f(x) = log10x, x R+, es una funci on estrictamente decreciente en R+.EJERCICIOS 2.4.2Considera las siguientes funciones. Encuentra su dominio y recorrido. Adem as,excepto para d), indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento de cada funci on. Traza lagr aca de estas funciones.a) f(x) = ln(x + 3) b) f(x) = ex2c) f(x) = (ln x)2d) f(x) = ln__x + 1x 1 1_Problemas con enunciadoEJEMPLO 2.4.3Sea x la presi on atmosf erica (medida en milmitros de mercurio), h la altura (medi-da en metros sobre el nivel del mar) y Tla temperatura (medida en C). Si la altura en metros deun objeto sobre el nivel puede determinar mediante la f ormula:h = (30 T + 8000)log_760x_,entonces calcula:a) La altura de una monta na si los instrumentos ubicados en la cima registran 5C y una presi onde 500 milimetros de mercurio.b) La presi on fuera de un avi on volando a 1000 metros de altura, si la temperaturaexterior es de 10C.Soluci on.a) h = (305 + 8000)log_760500_ = 8150log_7650_ 1482,025241b) 1000 = _30(10) + 8000_

_log 76x_1077= log 76x 101077=76x x =76101077 56,35642848. 75CAPITULO2. FUNCIONES Salom on Alarc on AranedaEJEMPLO 2.4.4El n umero de bacterias en un cultivo crece a raz on proporcional al n umero de bac-terias presentes. Si en la primera observaci on hay n0 bacterias y trascurrida 1 hora hay n1 bacterias.a) Encuentra el n umero de bacterias presentes t horas despu es.b) En cu anto tiempo se duplicar a el cultivo?.Soluci on. El n umero de bacteriasn(t) en un tiempot; t 0 que crece a raz on proporcional aln umero de bacterias presentes, est a dado por:n(t) = n0ekt,donde n0 = n(0) el n umero inicial de bacterias (cuando t = 0).a)n(t) = n0ektn(0) = n0n(1) = n1___n(1) = n0ekn1 = n0ekn1n0= kk = ln_n1n0_ n(t) = n0e[ln_n1n0_]t= n0eln_n1n0_t= n0_n1n0_t=nt1nt10

b) n(t) = 2n(0) n(t) = 2n0 n0_n1n0_t= 2n0 t = log_n0n1_2 =log 2log_n0n1_ EJEMPLO 2.4.5El elemento radio posee un decaimiento exponencial en su permanencia y una vidamedia de 1600 a nos.a) Encuentra la f ormula para determinar la cantidad presente de 50 milgramos de radio des-pu es de t a nos.b) En cu anto tiempo se tendr an 20 milgramos?.Soluci on.a) r(t) = r0ektr0 = r(0) [r(t) el radio presente t a nos despu es del inicio]vida media de 1600 a nos r02= r0ek1600ln 12= k1600k = ln 21600k =ln 21600Entonces si r0 = 50, tenemos r(t) = 50e_ln 21600_t

76Salom on Alarc on Araneda 2.5. FUNCIONES TRIGONOM ETRICASb) r(t) = 2020 = 50e_ln 21600_t25= e_ln 21600_t ln_25_ = ln 2 t1600 t = ln25ln 21600 = _ln 2ln 2 ln 5ln 2_ 1600= (1 log2 5) = 1600 2155,084952 2.5. Funciones Trigonom etricasPartimos recordando en esta secci on la siguiente tabla para las relaciones trigonom etricas seno,coseno y tangente.064322334567654433256741162sen ||||012123213212120 1212321 3212120cos ||||13212120 1212321 32121201212321tan ||||013133 1 13013133 1 1302.5.1. Funci on senoDEFINICI ON 2.5.1Llamamos funci on seno a la funci on:sen : R [1, 1] sen .Ahora mostramos un gr aco para la funci on seno.Figura 2.40. Gr aco de la funci on y = sen 77CAPITULO2. FUNCIONES Salom on Alarc on AranedaOBSERVACI ON 2.5.1Es importante destacar las siguientes propiedades de la funci on seno:i) Es peri odica de perodo 2. Esto signica que su gr aca se comienza a repetir en intervalosadyacentes de longitud 2.ii) Dom(sen) = R y Rec(sen) = [1, 1].iii) Es una funci on impar; esto es: sen()= sen(), R. Esto signica que su gr aca essim etrica respecto del origen.2.5.2. Funci on cosenoDEFINICI ON 2.5.2Se dene la funci on coseno como:cos : R [1, 1] cos .A continuaci on mostramos un gr aco para la funci on coseno:Figura 2.41. Gr aco de la funci on y = cos OBSERVACI ON 2.5.2Es importante destacar las siguientes propiedades de la funci on coseno:i) Es peri odica de perodo 2. Esto signica que su gr aca se comienza a repetir en intervalosadyacentes de longitud 2.ii) Dom(cos) = R y Rec(cos) = [1, 1].iii) Es una funci on par; esto es: cos() = cos(), R. Esto signica que su gr aca es sim etri-ca respecto del eje y.78Salom on Alarc on Araneda 2.5. FUNCIONES TRIGONOM ETRICAS2.5.3. Funci on tangenteDEFINICI ON 2.5.3Se dene la funci on tangente como:tan : R_(2n1)2 : n Z_ R tan .A continuaci on mostramos un gr aco para la funci on tangente.Figura 2.42. Gr aco de la funci on y = tan OBSERVACI ON 2.5.3Es importante destacar las siguientes propiedades de la funci on tan:i) Es peri odica de perodo . Esto signica que su gr aca se comienza a repetir enintervalos adyacentes de longitud .ii) Dom(tan) = R_(2n1)2 : n Z_y Rec(tan) = R.iii) Es una funci on impar; esto es: tan() = tan(), R. Esto signica que su gr aca essim etrica respecto del origen.iv) Las rectas de la forma x =(2n1)2son asntotas verticales en el gr aco y no forman parte de el. Sin embargo, observamos que la gr aca de la funci on se est a acercando a estas rectas, sinllegar a intersecarse con ellas.79CAPITULO2. FUNCIONES Salom on Alarc on Araneda2.6.Algebra de funcionesSea T= f:D R :f es una funci on para alg un D R. Nos interesa realizar operacionesentre funciones. Como la expresi on f(x) representa un n umero real, parece f acil denir la adici on,sustracci on, multiplicaci on y divisi on de funciones. Veamos bajo que condiciones esto es posible.DEFINICI ON 2.6.1Sean f, g T y sea D = Dom(f) Dom(g) ,= . Se dene:i) La funci on suma entre f y g, denotada por f +g, como:f +g : D Rx (f +g)(x) = f(x) +g(x)ii) La funci on resta entre f y g, denotada por f g, como:f g : D Rx (f g)(x) = f(x) g(x)iii) La funci on producto entre f y g, denotada por fg, como:fg : D Rx (fg)(x) = f(x)g(x)iv) La funci on cuociente entre f y g, denotada porfg, como:fg : D Rx _fg_(x) =f(x)g(x),donde D = D x D : g(x) = 0.OBSERVACI ON 2.6.1En la denici on anterior, sig(x) k para todox R, dondek R es unaconstante, entonces la funci on kf, se dene como:ff: Dom(f) Rx (kf)(x) = kf(x).OBSERVACI ON 2.6.2Sea n N tal quefff . . . f= fn: Dom(f) Rx fn(x) = (f(x))n= f(x)f(x). . .f(x). .n veces.

80Salom on Alarc on Araneda 2.6.ALGEBRA DE FUNCIONESEJEMPLO 2.6.1Sean f(x) = x + 2, x R, yg(x) = x2+ 3, x R. Determina una expresi on para lafunci on f +g.Soluci on. f +g : R Rx (f +g)(x) = f(x) +g(x) = (x + 2) + (x2+ 3) = x2+x + 5. EJEMPLO 2.6.2Sean f(x) = x + 1, x R, yg(x) = x2+ 3, x R. Determina una expresi on para lafunci on 2f g.Soluci on. 2f: R Rx (2f g)(x) = 2f(x) g(x) = 2(x + 1) (x2+ 3)= x2+ 2x 1= (x + 1)2. EJEMPLO 2.6.3Sea h(x) =xx + 1, x > 1. Determina una expresi on para la funci on h2= hh.Soluci on. h2:]1, +[ Rx h2(x) = h(x) +h(x) =_xx + 1_2=x2x + 1. EJEMPLO 2.6.4Sean f(x) = x+2, x R, g(x) = x2+3, x R, y h(x) = x + 1, x 1. Determinauna expresi on para la funci on 2f gh2.Soluci on.2f gh2:] 1, +[ Rx _2f gh2_(x) =2f(x) g(x)(h(x))2= (x + 1)2(x + 1)= x 1. 2.6.1. Funci on compuestaAhora surge la pregunta natural: Existen otras operaciones entre funciones?. La respuesta ess.DEFINICI ON 2.6.2Sean f,g T tales que Reg(g) Dom(f). Se denef g : Dom(g) Rx (f g)(x) = f_g(x)_f g la llamada funci on compuesta entre f y g.OBSERVACI ON 2.6.3Dom(g) Rg Rec(g) Dom(f)f Rec(f) Rx g(x) f_g(x)_.Enciertasocasionessedeberestringireldominiodegparaqueelnuevorecorridodegest e contenido en el dominio de f, y as la funci on compuesta est e bien denida. 81CAPITULO2. FUNCIONES Salom on Alarc on AranedaEJEMPLO 2.6.5Considere las funciones:f(x) = x2, g(x) = x + 3, h(x) = x 1;x 1, k(x) = 3a)f g b)f h c)f k d)g f e)h ff)k f g)h g h)g h i)k ha) f g : R = Dom(g) R Rec(g) = R Dom(f)x (f g)(x) = f_g(x)_ = _g(x)2= (x + 3)2b) f h : [1, +[= Dom(h) R Rec(h) = R+0 Dom(f)x (f h)(x) = f_h(x)_ = _h(x)2= x 12= x 1c) f k : R = Dom(k) R Rec(k) = 3 Dom(f)x (f k)(x) = f_k(x)_ = _k(x)2= 32= 9d) g f: R = Dom(f) R Rec(f) = R Dom(g)x (g f)(x) = g_f(x)_ = f(x) + 3 = x2+ 3e) h fRec(f) = RDom(h)no se puede denir, salvo que hagamos restricciones en el dominio de f. La mejor restricci on(la menor de todas) es:x R ]1, 1[ f(x) = x2 1 (confla restricci on def a R [1, 1]) Rec(f) = [1, +[ Dom(h)Entonces se puede denir:h f: R]1, 1[ Rx (h f)(x) = h_f(x)_ = _f(x) 1 = x21f) k fg) h gh) g h : [1, +[= Dom(h) R Rec(h) = R+ Dom(g)x (g h)(x) = g_h(x)_ = h(x) + 3 = x 1 + 3i) k h : ]1, +[= Dom(h) Rx (k h)(x) = k_h(x)_ = 3OBSERVACI ON 2.6.4Se puede determinar (hf)(x) y despu es determinar el dominio de la funci onresultante el cual debe intersectarse con el dominio def. Este viene a ser el dominio ocial de(h f). 82Salom on Alarc on Araneda 2.7. FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVASOBSERVACI ON 2.6.5Notar que en general_f g_(x) ,= _g f_(x). 2.7. Clasicaci onde las funciones: inyectivas, sobreyectivas y biyectivasDEFINICI ON 2.7.1El codominio de una funci on corresponde a un conjunto que contiene al recorridode la funci on, y que est a dado en la denici on de la funci on. Si f es la funci on, el codominio de fse denota por Cod(f). Trat andose de una funci on real, el codominio es R.EJEMPLO 2.7.1Consideremos la funci onf: R Rx f(x) = x2.Es claro que, de acuerdo a la denici on de f, tenemos queDom(f) = R Cod(f) = R Rec(f) = R+ 0 Cod(f). EJEMPLO 2.7.2Consideremos la funci ong : R+ 0 R+ 0x g(x) = x.Es claro que, de acuerdo a la denici on de f, tenemos queDom(g) = R+ 0 Cod(g) = R+ 0 Rec(g) = R+ 0 = Cod(g).2.7.1. Funciones inyectivasObserva las siguientes funciones representadas en diagramas sagitales:83CAPITULO2. FUNCIONES Salom on Alarc on AranedaQu e diferencia existe entre las funciones representadas en a) y b) con aquellas representadas en c)y d)?Notemos quea) f: A B, f(1) = a, f(2) = b, f(3) = c, f(4) = db) f: N N, f(1) = 2, f(2) = 4, f(3) = 6, f(4) = 8, . . . , f(n) = 2nc) f: N N, f(1) = 1, f(2) = 1, f(3) = 3, f(4) = 4d) f: A B, f(1) = a, f(2) = a, f(3) = a, f(4) = a, f(5) = u.Luego, las funciones representadas en a) y b) asocian a cada elemento del recorrido una unicapreimagen. Esto es, se produce una relaci on uno a uno: a cada elemento del dominio le corres-ponde un unico elemento del codominio que no es imagen de ning un otro elemento del dominio.Mientras que en c) y d) existen elementos del recorrido que tienen m as de una preimagen. Esto es,hay elementos distintos del dominio que tienen una misma imagen.La situaci on anterior se describe en la siguiente denici on.DEFINICI ON 2.7.2Sea f: D R B R una funci on. Diremos que f es inyectiva (o uno a uno)si(x, y D) (x ,= y f(x) ,= f(y)) . (2. 1)OBSERVACI ON 2.7.1Una formulaci on equivalente a la propiedad (2. 1) es la siguiente:(x, y D) (f(x) = f(y) x = y) . OBSERVACI ON 2.7.2En diagramas sagitales, las funciones inyectivas se representan de la siguienteforma: desde cada elemento del dominio sale una unica echa que se dirige a un unico elementodel codominio, el cual no es imagen de ning un otro elemento del dominio. 84Salom on Alarc on Araneda 2.7. FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVASFigura 2.43. Diagrama sagital que se asocia a una funci on inyectivaOBSERVACI ON 2.7.3Notar que, de acuerdo a la denici on de una funci on inyectiva, la gr aca deuna funci on inyectiva debe intersecar a lo m as en un punto a una recta paralela al eje x. Figura 2.44. La gr aca de la izquierda representa a una funci on inyectiva, mientras que la de la derecha no.EJEMPLO 2.7.3Pruebe que la funci onf: R Rx f(x) = ax +b, a ,= 0es inyectiva.Soluci on. f(x) = f(y) ax +b = ay +b ax = ay / : apues a ,= 0 x = y EJEMPLO 2.7.4Pruebe que la funci onf: R Rx f(x) = x3+ 2x + 1es inyectiva.85CAPITULO2. FUNCIONES Salom on Alarc on AranedaSoluci on. f(x) = f(y) x3+ 2x + 1 = y3+ 2y + 1 (x3y3) + 2(x y) = 0 (x y)[x2+xy +y2+ 2] = 0 x = y x2+yx + (y2+ 2) = 0 x = y x = y _y24(y2+ 2)2C x = y EJEMPLO 2.7.5Pruebe que la funci onf: R+ Rx f(x) =1xes inyectivaSoluci on. f(x) = f(y) 1x=1y/xy (x > 0,y> 0xy> 0)x y = x EJEMPLO 2.7.6Pruebe que la funci onf: R Rx f(x) = x24no es inyectiva.Soluci on. 2, 2 Rtal que2 ,= 2 f(2) = 224 = 0(2)24 = f(2). EJEMPLO 2.7.7Pruebe que la funci onf: R Rx f(x) = [x 2[no es inyectiva.Soluci on. 3, 3 Rtal que3 ,= 1 f(3) = [3 2[ = 1 = [1 2[ = f(1). EJEMPLO 2.7.8Pruebe que la funci onf: R Rx f(x) =_x si x > 0x2si x 0no es inyectiva.Soluci on. 1, 1 Rtal que1 ,= 1 f(2) = 1 = 1 = (1)2= f(1). 86Salom on Alarc on Araneda 2.7. FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS2.7.2. Funciones sobreyectivasObserva las siguientes funciones representadas en diagramas sagitales:Qu e podemos armar sobre los recorridos de las funciones representadas en a), b), c) y d)?. En estesentido, Qu e diferencia a las funciones representadas en a) y b), de aquellas representadas en c) yd)?Notemos quea) Rec(f) = Cod(f)b) Rec(f) = Cod(f)c) Rec(f) Cod(f) con Rec(f) ,= Cod(f)d) Rec(f) Cod(f) con Rec(f) ,= Cod(f)Luego, las funciones representadas en a y en b) tienen recorrido igual a su codominio, mien-tras que las funciones representadas en c) y d) no verican este hecho.La situaci on anterior se describe en la siguiente denici on.DEFINICI ON 2.7.3Sea f: D R B R una funci on. Diremos que f es sobreyectiva (o epiyecti-va) siCod(f) = Rec(f). (2. 2)87CAPITULO2. FUNCIONES Salom on Alarc on AranedaOBSERVACI ON 2.7.4Una formulaci on equivalente a la propiedad (2. 2) es la siguiente:(y Cod(f))(x Dom(f) = D tal que f(x) = y). OBSERVACI ON 2.7.5En diagramas sagitales, las funciones sobreyectivas se se identican de la si-guienteforma: acadaelementodelcodominiollegaalmenosunaechaprovenientedesdealg un elemento en el dominio. Figura 2.45. Diagrama sagital que se asocia a una funci on sobreyectiva: Cod(f) = Rec(f).EJEMPLO 2.7.9Pruebe que la funci onf: R R+0x f(x) = ax +b, a ,= 0.es sobreyectiva.Soluci on. y R+0= Cod(f) y R x2= y x Rtal quef(x) = y. EJEMPLO 2.7.10Pruebe que la funci onf: R Rx f(x) = ax +b, x ,= 0.es sobreyectiva.Soluci on. y R = Cod(f) x =y ba R (a ,= 0) ax +b = y x Rtal quef(x) = y. 88Salom on Alarc on Araneda 2.7. FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVASEJEMPLO 2.7.11Pruebe que la funci onf: R+ Rx f(x) = ln xes sobreyectiva.Soluci on. y R = Cod(f) x = ey R+ ln x = y x R+tal quef(x) = y EJEMPLO 2.7.12Pruebe que la funci onf: R Rx f(x) = [x[.no es sobreyectiva.Soluci on. 1 R = Cod(f)tal que x Dom(f) =R, [x[ , = 1, pues [x[ 0, que equivale adecir: (x Dom(f) = R)(f(x) ,= 1). EJEMPLO 2.7.13Pruebe que la funci onf: R Rx f(x) = x2+ 1no es sobreyectiva.Soluci on.0 R = Cod(f)tal que x Dom(f) = R, x2+1 ,= 0, pues x2 0 x x2+ 1 1 x, que equivale a decir: (x Dom(f) = R)(f(x) ,= 0). EJEMPLO 2.7.14Pruebe que la funci onf: R R+x f(x) = ex+ 1es sobreyectiva.Soluci on. 1 R+= Cod(f)tal que x Dom(f) =R, ex+ 1 ,= 1, pues ex> 0 x ex+ 1>1 x, que equivale a decir: (x Dom(f) = R)(f(x) ,= 1). 89CAPITULO2. FUNCIONES Salom on Alarc on Araneda2.7.3. Funciones biyectivasDEFINICI ON 2.7.4Sea f: D R B R una funci on. Diremos que f es sobreyectiva (o biunvo-ca) si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.EJEMPLO 2.7.15La funci onf: R Rx f(x) = ax +bes biyectiva pues es inyectiva y sobreyectiva. EJEMPLO 2.7.16La funci onf: R R+0x f(x) = x2no es biyectiva pues es sobreyectiva pero no inyectiva. En efecto,(1, 1 R) tales que (f(1) = 12= (1)2= f(1)1 ,= 1). EJEMPLO 2.7.17La funci onf: R+ Rx f(x) = exno es biyectiva pues es inyectiva pero no sobreyectiva. En efecto,Cod(f) = R ,= R+= Rec(f). EJEMPLO 2.7.18Considera la funci on:f: R Rx f(x) = x2Restringe el dominio y/o el codominio para que la funci on restringida sea biyectiva.Soluci on.Notar que Rec(f) = R+0 . Luego, debemos restringir el codominio para que la funci on restrin-gida sea sobreyectiva.Notar que la gr aca de la funci on no representa a una funci on iyectivo, pues existe al menosuna recta paralela al eje x que intersecta a la gr aca de la funci on en m as de un punto.90Salom on Alarc on Araneda 2.8. FUNCION INVERSAFigura 2.46. La funci on cuadr atica f(x) = x2, x R no es inyectiva.Entonces, debemos restringir dominio de f, y ponemosDom(f) = [0, +[= R+0 ,o bien:Dom(f) =] , 0] = R+0 .Figura 2.47. La funci on cuadr atica f(x) = x2, x [0, +[ (o bien x ] , 0]) es inyectiva. f:] , 0] R+0x f(x) = x2 f: [0, +[ R+0x f(x) = x2. 2.8. Funci on inversaDEFINICI ON 2.8.1Sea f: D R B R una funci on y sea b Rec(f). Llamamos imagen inversade b al conjunto de valoresf1_b_ = a Dom(f) = D : f(a) = b.Si A B, llamamos imagen inversa de A al conjuntof1(A) = a Dom(f) = D : f(a) A.91CAPITULO2. FUNCIONES Salom on Alarc on AranedaEJEMPLO 2.8.1Sea f(x) = x2. Encuentra el conjunto de las im agenes inversas de 2, 0, 5, 4, 1.Soluci on. f1_2_ = 2, 2 pues x2= 2[x[ = 2x = 2f1_0_ = 0 pues x2= 0x = 0f1_5_ = pues x2= 5 no posee soluci on realf1_4_ = 2, 2 pues x2= 4[x[ = 2x = 2f1_1_ = 1, 1 pues x2= 1[x[ = 1x = 1. EJEMPLO 2.8.2Sea f(x) = x 1. Dene el conjunto de todas las im agenes inversas de f medianteuna f ormula para una imagen arbitraria.Soluci on. f1_Rec(f)_= Dom(f)= x R : !y R : y = x 1yf1_y_= x R : y = x 1 R+0= x R : x = y2+ 1. EJEMPLO 2.8.3Encuentra f1_0_,f1_1_,f1_5_y f1_2_para f(x) = x 1.Soluci on. f1_0_ = 1 pues 02+ 1 = 1f1_1_ = pues y = x 1 1 = x 1error pues x 1,x 1 0f1_5_ = 26 pues 52+ 1 = 26f1_4_ = 2, 2 pues x2= 4[x[ = 2x = 2f1_2_ = 5 pues 22+ 1 = 5. DEFINICI ON 2.8.2Seaf: D R R una funci on inyectiva. Llamamos funci on inversa efa lafunci onf1: Rec(f) R Rx f1(x) = ydondef1(y) = xf(x) = yOBSERVACI ON 2.8.1No se debe confundir f1, la funci on inversa, con1f.Notar que si f es biyectiva, entonces la funci on inversa f1tambi en es biyectiva. EJEMPLO 2.8.4Comof: R Rx f(x) =3x92Salom on Alarc on Araneda 2.8. FUNCION INVERSAes una funci on biyectiva, tenemos que f1y calculamos f1de la siguiente forma:y = f(x) y =3x y3= x f1(y) = x =3yEntonces:f1: R Ry f1(y) =3y. EJEMPLO 2.8.5Comof: R R+x f(x) = exes una funci on biyectiva, tenemos que f1y calculamos f1de la siguiente forma:y = f(x) y = ex ln y = x f1(y) = x = ln yEntonces:f1: R+ Ry f1(y) = ln y. EJEMPLO 2.8.6Seaf: R Rx f(x) = x2.Realiza las restricciones necesarias sobre Dom(f) de manera que se pueda denir f1.Soluci on.Restringimos dominio de f a Dom(f) =], 0]Dom(f) = [0, +[ para que la funci on seainyectiva.Figura 2.48. Se debe restringir el dominio de la funci on f(x) = x2, x R, para denir una funci on inversa.93CAPITULO2. FUNCIONES Salom on Alarc on AranedaRec(f) = [0, +[y = f(x) y = x2x = y = f1(y)para que Cod(f) = Rec(f) f: ], 0] Rx f(x) = x2es inyectiva y f1: R+0 ], 0] Ry f1(y) = yf: ]0, +[ Rx f(x) = x2es inyectiva y f1: R+0 [0, +[ Ry f1(y) = y. EJERCICIOS 2.8.1Para cada una de las siguientes funciones, realiza las restricciones necesarias so-bre Dom(f) de manera que se pueda denir f1.a) f: [1, +[ Rx f(x) =3x 1b) f: R Rx f(x) = sen xc) f: R Rx f(x) = cos xd) f: R_(2n+1)2/ n Z_ Rx f(x) = tan x2.9. Relaciones y Funciones Trigonom etricas inversas2.9.1. ArcosenoDEFINICI ON 2.9.1Llamamos arcoseno a la relaci on inversa de la funci on seno, y la denotamos porarc sen. Es decir,sen = x arc sen x = .Es conveniente para la resoluci on de algunos ejercicios asociar el siguiente tri angulo rect angulo aesta relaci on:94Salom on Alarc on Araneda 2.9. RELACIONES Y FUNCIONES TRIGONOM ETRICAS INVERSASFigura 2.49. Tri angulo rect angulo asociado al seno inversoEJEMPLO 2.9.11. Calcular los siguientes valores:a) arc sen 0 b) arc sen_12_2. Encontrar en t erminos de x el valor de:a) csc(arc sen x) b) sec(arc sen(x 1)) c) tan(arc senx)Soluci on.1.a) arc sen 0 = sen = 0 = 0 = = 0 + 2n = 2n = + 2n = (2n + 1), n Z arc sen 0 = . . . , 3, 2, , 0, , 2, 3, . . . = R : = n : n Z. 1.b) arc sen_12_ = sen = 12 = +6=76 = 2 6=116 = 76+ 2n= (12n+7)6= 116+ 2n= (12n+11)6, n Z arc sen_12_ =_ R : =(12n + 7)6 =(12n + 11)6: n Z_. 2.a) arc sen x = csc =hipotenusacateto opuesto a ver en Figura 4.14 csc =1x. csc(arc sen x) =1x. 95CAPITULO2. FUNCIONES Salom on Alarc on Araneda2.b) arc sen(x 1) = sec =hipotenusacateto adyacente a en Fig. 4.14 cambiar xpor (x1) sec =11(x1)2. sec(arc sen x) =1_1 (x 1)2. 2.c) arc senx = tan =cateto opuesto a cateto adyacente a en Fig. 4.14 cambiar xporx tan =x1x. tan(arc sen x) =x1 x. EJERCICIOS 2.9.11. Calcular los siguientes valores:a) arc sen12b) arc sen32c) arc sen(1)2. Encontrar en t erminos de x el valor de:a) cos(arc sen x) b) sen_arc senxx1_c) cot_arc sen1x_Notando que la funci on seno es biyectiva en [2,2] y que su recorrido es [1, 1], podemos deniren este intervalo su funci on inversa arcoseno como sigue:arc sen : [1, 1] [2,2]x arc sen x.Figura 2.50. Gr aco de la funci on y = arc sen x96Salom on Alarc on Araneda 2.9. RELACIONES Y FUNCIONES TRIGONOM ETRICAS INVERSAS2.9.2. ArcocosenoDEFINICI ON 2.9.2Llamamos arcocoseno a la relaci on inversa de la funci on coseno, y la denotamospor arc cos. Es decir,cos = x arc cos x = .Es conveniente para la resoluci on de algunos ejercicios asociar el siguiente tri angulo rect angulo aesta relaci on:Figura 2.51. Tri angulo rect angulo asociado al coseno inversoEJEMPLO 2.9.21. Calcular los siguientes valores:a) arc cos 0 b) arc cos_12_2. Encontrar en t erminos de x el valor de:a) csc(arc cos x) b) sec_arc cosx1x_c) tan(arc cosx)Soluci on.1.a) arc cos 0 = cos = 0 =2 =32 =2 + 2n =(4n+1)2 =32+ 2n =(4n+3)2, n Z arc cos 0 = R : =(4n + 1)2 =(4n + 3)2: n Z. 1.b) arc cos_12_ = cos = 12 = 4=34 = +4=54 = 34+ 2n= (8n+3)4= 54+ 2n= (8n+5)4, n Z arc cos_12_ =_ R : =(8n + 3)4 =(8n + 5)4: n Z_. 97CAPITULO2. FUNCIONESDEFINICI ON 2.9.3 Salom on Alarc on Araneda2.a) arc cos x = csc =hipotenusacateto opuesto a ver en Figura 4.16 csc =11x2. csc(arc cos x) =11 x2. 2.b) arc cosx1x= sec =hipotenusacateto adyacente a en Fig. 4.16 cambiar xporx1x sec =1x1x=xx1. sec(arc cos x) =xx 1. 2.c) arc cosx = tan =cateto opuesto a cateto adyacente a en Fig. 4.16 cambiar xporx tan =1xx. tan(arc cos x) =1 xx. EJERCICIOS 2.9.21. Calcular los siguientes valores:a) arc cos12b) arc cos32c) arc cos(1)2. Encontrar en t erminos de x el valor de:a) cos(arc cos x) b) sen_arc cosxx1_c) cot_arc cos1x_Notando que la funci on coseno es biyectiva en [0, ] y que su recorrido es [1, 1], podemos deniren este intervalo su funci on inversa arcoseno como sigue:arc cos : [1, 1] [0, ]x arc cos x.Figura 2.52. Gr aco de la funci on y = arc cos x98Salom on Alarc on Araneda 2.9. RELACIONES Y FUNCIONES TRIGONOM ETRICAS INVERSAS2.9.3. ArcotangenteLlamamos arcotangente a la relaci on inversa de la funci on tangente, y la denotamos por arc tan.Es decir,tan = x arc tan x = .Es conveniente para la resoluci on de algunos ejercicios asociar el siguiente tri angulo rect angulo aesta relaci on:Figura 2.53. Tri angulo rect angulo asociado a la tangente inversaEJEMPLO 2.9.31. Calcular los siguientes valores:a) arc tan 0 b) arc tan(1)2. Encontrar en t erminos de x el valor de:a) csc(arc tan x) b) sec_arc tanx1x_c) cot(arc tanx)Soluci on.1.a) arc tan 0 = tan = 0 = 0 = = 0 + 2n = 2n = + 2n = (2n + 1), n Z arc tan 0 = R : = n : n Z. 1.b) arc tan(1) = tan = 1 = 4=34 = 2 4=74 =34+ 2n =(8n+3)4 =74+ 2n =(8n+7)4, n Z arc tan(1) =_ R : =(8n + 3)4 =(8n + 7)4: n Z_. 99CAPITULO2. FUNCIONES Salom on Alarc on Araneda2.a) arc tan x = csc =hipotenusacateto opuesto a ver en Figura 4.18 csc =1+x2x. csc(arc cos x) =1 +x2x. 2.b) arc tanx1x= sec =hipotenusacateto adyacente a en Fig. 4.18 cambiar xporx1x sec =

1+_x1x_21=x2+(x1)2x. sec(arc tan x) =_x2+ (x 1)2x. 2.c) arc tanx = cot =cateto adyacente a cateto opuesto a en Fig. 4.18 cambiar xporx cot =1x. cot(arc tan x) =1x. EJERCICIOS 2.9.31. Calcular los siguientes valores:a) arc tan3 b) arc tan_13_c) arc tan 12. Encontrar en t erminos de x el valor de:a) cos(arc tan x) b) sen_arc tanxx1_c) sec_arc tan1x_Notando que la funci on tangente es biyectiva en ] 2,2[ y que surecorrido es todo R, podemos denir su funci on inversa arcotangente como sigue:arc tan : R ] 2,2[x arc tan x.Figura 2.54. Gr aco de la funci on y = arc tan x100Parte IILmites y Continuidad101Captulo3Lmites3.1. Discusi on informal de los lmites laterales de una funci onEn el ambito matem atico la expresi on lmite lateral de una funci on real debe entenderse como elvalor al cual se est a aproximando una funci on cuando su variable se est a aproximando a un valorreal r jo, ya sea mediante valores mayores que r, o mediante valores menores que r.Por otro lado, notar que aproximarse a un valor r mediante valores menores que r es equivalen-te a decir que me acerco a r por el lado izquierdo de r en la recta real. An alogamente, aproximarsea un valor r mediante valores mayores que r es equivalente a decir que me acerco a r por el ladoderecho de r en la recta real.Observemos los siguientes ejemplos para entender mejor la idea de lmite lateral:EJEMPLO 3.1.1Sea f(x) = x + 1.a) A qu e valor se va aproximando f(x) cuando x se va aproximando a 1 por la izquierda en larecta real (esto es, por valores menores que 1)?b) A qu e valor se va aproximando f(x) cuando x se va aproximando a 1 por la derecha en larecta real (esto es, por valores mayores que 1)?Recurrimos a una tabla de valores y a nuestra intuici on para responder estas preguntas:x f(x)0, 9 1, 90, 99 1, 990, 999 1, 9990, 9999 1, 99990, 99999 1, 99999... ...x se aprox. f(x) se aprox.a 1, x < 1. a 2.x f(x)1, 1 2, 11, 01 2, 011, 001 2, 0011, 0001 2, 00011, 00001 2, 00001... ...x se aprox. f(x) se aprox.a 1, x > 1. a 2.103CAPITULO3. LIMITES Salom on Alarc on AranedaEntonces tenemos:Para a) El valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima a 1, mediante valores menores que1, es 2 y denotamos esto como sigue:lmx1(x + 1) = 2.Aqu la expresi on x 1 indica que nos aproximamos a 1 por el lado izquierdo en la recta real(x< 1) y matem aticamente leemos as: Lmite lateral izquierdo de f(x) cuando x tiende a 1 porla izquierda es 2.Ahora, con el objetivo de dar una interpretaci on analtica del concepto de lmite lateral izquierdo,es conveniente hacer un an alisis gr aco de la funci on. Consideremos un valor>0 arbitraria-mente peque no de manera que, para valores de x pr oximos a 1, pero menores que 1, la diferenciaentre la funci on y su lmite sea menor que (y por lo tanto tan peque na como deseemos); es decirestamos en la situaci on [f(x) 2[ < . Observemos cuidadosamente el siguiente gr aco:Figura 3.1. Representaci on gr aca de la expresi on del lmite lateral izquierdo de f(x) = x + 1 cuando xtiende a 1 por la izquierda.El gr aco nos dice que: dado un valor arbitrariamente peque no > 0, es posible determinar unvalor > 0 tal que si la variable x es mayor que 1 y menor que 1, entonces la diferencia entre lafunci on y su lmite lateral izquierdo es menor que el valor > 0 dado. En smbolos tenemos paraf(x) = x + 1:lmx1f(x) = 2,que es equivalente a decir que:( > 0) (> 0) tal que (1 < x < 1 [f(x) 2[ < ).Para b) El valor el valor al que se aproximaf(x) cuandox se aproxima a 1, mediante valoresmayores que 1, es 2 y denotamos esto como sigue:lmx1+(x + 1) = 2.104Salom on Alarc on Araneda 3.1. DISCUSION INFORMAL DE LOS LIMITES LATERALESAqu la expresi onx 1+indica que nos aproximamos a 1 por el lado derecho en la recta real(x> 1) y matem aticamente leemos as: Lmite lateral derecho de f(x) cuando x tiende a 1 por laderecha es 2.Ahora, con el objetivo de dar una interpretaci on analtica del concepto de lmite lateral derecho,es conveniente estudiar el gr aco de la funci on. Consideremos un valor >0 arbitrariamentepeque no de manera que, para valores de x pr oximos a 1, pero mayores que 1, la diferencia entre lafunci on y su lmite sea menor que (y por lo tanto tan peque na como deseemos); es decir estamosen la situaci on [f(x) 2[ < . Observemos cuidadosamente el siguiente gr aco:Figur