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Apunte Prof. Mabel Chrestia Matemtica I (Lic. en Turismo, Hotelera, Administracin) UNRN Ao 2010

APUNTE:APUNTE:APUNTE:APUNTE: ASINTOTASASINTOTASASINTOTASASINTOTAS

UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGROAsignatura: Matemtica 1Carreras: Lic. en Administracin, Lic. en Turismo, Lic. en HoteleraProfesor: Prof. Mabel ChrestiaSemestre: 1eroAo: 2010

o DefinicinDiremos que la recta baxy += es ASINTOTA de una funcin )(xf si cuando las variables x y crecen

(o decrecen) indefinidamente, la grfica de la funcin se acerca cada vez ms a la recta.

Veamos algunos ejemplos grficos:

En esta funcin, cuando x crece o decreceindefinidamente (es decir, cuando x ),la funcin se acerca cada vez ms a la recta

horizontal 1=y . Adems, cuando y crece o

decrece indefinidamente, la funcin se acerca

cada vez ms a la recta vertical 2=x .

Por lo tanto, la recta 1=y es la ASINTOTA

HORIZONTAL de la funcin, y la recta

2=x es la ASINTOTA VERTICAL de lafuncin.

En esta funcin, cuando x crece odecrece indefinidamente (es decir,

cuando x ), la funcin se acercacada vez ms a la recta horizontal

0=y . Adems cuando y crece o

decrece indefinidamente, la funcin se

acerca cada vez ms a las rectas

verticales 1=x y 1=x .

Por lo tanto, la recta 0=y es la

ASINTOTA HORIZONTAL de la

funcin, y las rectas 1=x y 1=x son las ASINTOTAS VERTICALES de

la funcin.

Hasta ahora vemos que hay dos tipos de asntotas: verticales y horizontales. Pero puede suceder tambin que

una recta asntota tenga una cierta inclinacin, se llama ASINTOTA OBLICUA.

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En esta funcin, cuando x crece odecrece indefinidamente (es decir,

cuando x ), la funcin seacerca cada vez ms a la recta

xy = . Adems cuando y crece o

decrece indefinidamente, la funcin

se acerca cada vez ms a las rectasverticales 1=x y 1=x .Por lo tanto, la recta xy = es la

ASINTOTA OBLICUA de la

funcin, y las rectas 1=x y

1=x son las ASINTOTASVERTICALES de la funcin.

o Clculo de las AsntotasVeamos cmo hallar una recta asntota de manera analtica.

Asntota Vertical (A.V.)

Una recta cx = es A.V. de la funcin )(xf si+

cx

lim)(xf = y

cx

lim)(xf = .

En general, las asntotas verticales, son los puntos donde la funcin posee una discontinuidad esencial de

salto infinito. En las funciones racionales, generalmente, son aquellos puntos en los que el denominador se

anula, es decir, son puntos que no pertenecen al dominio.

Ejemplos:

Las funcionesx

xf1

)( = ,1

4)(

2

=x

xg y32

5)(

=

x

xxh tienen como asntotas verticales a:

xxf

1)( = la recta 0=x

1

4)(

2

=x

xg las rectas 1=x y 1=x

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32

5

)( =

x

x

xh

la recta 2

3=

x

Asntota Horizontal (A.H.)

Una recta dy = es A.H. de la funcin )(xf si+x

lim)(xf d= y

x

lim)(xf d= .

Ejemplos:

En las funciones anteriores, las asntotas horizontales son:

Dex

xf1

)( = la recta 0=y puesx

lim0

1=

x

De1

4)(

2

=x

xg la recta 0=y puesx

lim0

1

42

=x

De32

5

)( =

x

xxh la recta

2

5=y pues

x

lim

2

5

32

5=

x

x

Asntota Oblicua (A.O.)

Una recta baxy += es A.O. de la funcin )(xf si =ax

lim

x

xf )(; y ; =b

x

lim[ ]axxf )( .

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Ejemplo: sea3

2)(

2

+=

x

xxf

Esta funcin vemos que tiene una asntota vertical en 3=x . Hallemos ahora la asntota oblicua. Primero

calculemos la pendiente a :

=ax

lim

x

xf )(=

x

lim=

+

x

x

x

3

2 2

x

lim=

+ )3(

2 2

xx

x

x

lim=

+ )3(

2

x

x2

Luego, la pendiente de la A.O. es 2. Veamos ahora cunto vale la ordenada al origen b :

=bx

lim[ ]axxf )( =

x

lim=

+x

x

x2

3

2 2

x

lim=

+

3

622 22

x

xxx

x

lim=

+

3

6

x

x6

Luego, la A.O. es la recta 62 = xy .

A continuacin se grafican la funcin y su recta asntota oblicua.