Apuntes Amortizacion.pdf

8/17/2019 Apuntes Amortizacion.pdf

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Matemáticas Financieras 2

Juan Francisco Aldave Rivas

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Apuntes Matemáticas Financieras II - Act. Juan Francisco Aldave Rivas

Amortización


2/35

• Evaluación

80% exámenes parc.

10% tareas10% asistenciaTrabajo final opcional(pto extra)

• Ex. Ordinario 80%

• Ex. Extraordinario 100%



3/35

Tasas de Interés

d n

d e

m

ii

nn

mm

1111)()(

vii

i

i

id

1

1

1

1

1

1d

d i

1 iv

1

1



4/35

Anualidades

Anualidad Vencida Anualidad Adelantada

…

8 n

p p P

1 2 3 4 5 6 7

p p p p p p …

n5 6 n-1

p

0

p p P

1 2 3 4

p p p p

i

v

v

vvva

nnn

j

j

n

)1(

1

)1(

1

d

v

i

i

v

v

vvä

nnnn

j

j

n

)1(

1

)1(

1

)1(1

0

i

i s

n

n1)1(

d

i s

n

n1)1(



5/35

Tema 1. Amortización

El término amortización se deriva del

latín “Ad Mortem” para referirse alproceso gradual de pagar una deuda(llevar a su fin).

Amortizar es la acción de reducir elcapital de una deuda mediante un

proceso gradual, por lo que involucra enel proceso el cálculo y pago de intereses.

Una regla fundamental que se debeconsiderar al calcular los intereses de unaamortización es que el interés debecalcularse siempre sobre el saldo insoluto

del periodo inmediato anterior.

Hay situaciones en que esto no serespeta, por lo que debe tenerse cuidadode adquirir deuda que sea justa.

Para el cálculo del pago de una deuda

mediante un proceso de amortización, es

imprescindible tener presentes los

conceptos ya estudiados de la teoría del

interés y de anualidades.

Se presentan algunas formulas de estostemas en las siguientes láminas:



6/35

Simbología

La simbología que usaremos será la

siguiente:

Bt = Saldo Insoluto en el periodo t

B0 =Saldo insoluto original

L = Préstamo original (B0 = L)It= Intereses pagados en el periodo t

Pt=Monto de amortización del periodo t

R=PMT=Mensualidad

Uno de los principales conceptos para

efectos de calculo de pagos de deuda, esel calculo del saldo insoluto.

Para esto, existen dos métodos, que son

el prospectivo (hacia adelante, o por

medio del VP) y el retrospectivo (hacia

atrás, o por medio del VF)

ik k

k

ik n

PMTsi PV

FV i PV

a PMT

)1( balRet.

k)1,...,at timesmade pay ments()1(

balanceiveRetrospect

* balanceeProspectiv



7/35

Ejercicio

)(2)1(

ivoRetrospect

)(1

)(1

oProspectiv

55

5

1020

5155

sk i L B

aak L

aak B

Método prospectivo

Se amortiza un préstamo pagando 2000

los primeros 10 pagos y 1000 los

siguientes 10 pagos cada seis meses. La

tasa contratada es 10%.

Encontrar B5



8/35

Amortización

Generalmente se acostumbraestructurar un proceso de

amortización mediante una tabla. Esta

tabla, llamada Tabla de Amortización,

ofrece al deudor un detalle

pormenorizado de la composición de

sus pagos, así como de la fecha enque cada uno se debe efectuar.

El siguiente es el esquema general,

mediante fórmulas, en que se basa la

construcción de una tabla deamortización.

Nótese que una vez conociendo lasfórmulas que conforman cada pago y

comprendiendo los conceptos

involucrados, no es necesario construir la

tabla para conocer la información de un

cierto pago en particular.

Bastará para ello aplicar la formula

correspondiente.



9/35

Tabla de Amortización

nn

n

t nt n

t nt nt n

t n

nn

nnn

n

nn

nnn

n

n

aan

vavvia

avavvia

avavvia

avavvia

avavvia

a

nTotal

011n

111-n

11t

112

111

0

SaldoPrincipalInteresPagoPeriodo

11

12

222

2

11

111

21

111

1

1



10/35

Amortización

L = 250,000

Tasa = 12.5%

Plazo= 20 años

Determinar monto del pago

Determinar B6

Determinar I8 (cantidad de intereses

pagados en el periodo 8)



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Amortización

Una vez que nos hemos familiarizado con elcálculo de los distintos elementos

involucrados en la amortización de una

deuda, analicemos de forma estructurada

las diferentes opciones que tenemos para

determinar un proceso de amortización:

Tipos de amortizacion :

-n pagos iguales (level payment)

-n pagos iguales y uno desigual

-pagos iguales de capital (installment loan)

-amortizacion canadiense (conversion

periods)-fondo de amortizacion (sinking funds)

-cuotas incrementadas y decreciente (k)

-cuotas extraordinarias

-capitalizacion de intereses y am. Negativa



12/35

n pagos iguales (level payment)

El método de amortizaciónmediante pagos nivelados (o

iguales) es el más común. Ofrece la

certeza de siempre conocer la

cantidad a pagar, y lo que va

variando en cada pago es la

proporción que se destina al pagode intereses y a la amortización de

la deuda



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Amortización – Ejercicio 1Level Payment

Consider a loan for 30,000 with level

payments to be made at the end of each year

for 5 years at an annual rate of 8%.

Find:

a) The annual payment

b) The principal paid at t=1c) The interest paid at t=2

a)

L=30,000

i=8%

a) PMT= ?

b) Pt ?

c) It ?6936.513,7

9927.3

000,30

9927.3*000,30

08.0

)08.1(

11

000,30

1*000,30

*

5

5

5

PMT

PMT

PMT

i

v PMT

a PMT Li



14/35





Find:



b)

L=30,000

i=8%

a) PMT= ?

b) P1 ?

c) I2 ?

3062.886,24

3121.3*6936.513,7

08.01*6936.513,7

*

1

1

4

1

41

B

B

v B

a PMT B i



15/35





Find:



c)

L=30,000

i=8%

a) PMT= ?

b) P1 ?

c) I2 ?

9046.990,1

)7891.522,5(6936.513,7

)(7891.522,5

3062.886,24

5172.363,19

5771.2*6936.513,7

08.0

1

*6936.513,7

*

2

2

212

21

1

2

2

3

2

32

I

I

B B PMT I

B B

B

B

B

v B

a PMT Bi



16/35

Amortización – Ejercicio 2

Level Payment

An annual loan for 10 years has interest rate

6% and level payment 1,000.

Find the amount of principal and interest in

the 6th payment.

L=?

i=6%

PMT= 1,000

P6 ?

I6 ?

0871.360,7

3601.7*000,1

06.0

1*000,1

*

10

%610

L

L

v L

a PMT L

1610

6

665

*

v PMT P

P B B



17/35


Level Payment




the 6th payment.

L=7,360.0871

i=6%

PMT= 1,000

P6 ?

I6 ?

1056.465,3

4651.3*000,1

06.0

1*000,1

*

66

4

6

%646

665

B

B

v B

a PMT B

P B B

3638.212,4

2124.4*000,1

06.0

1*000,1

*

5

5

5

5

%655

B

B

v B

a PMT B



18/35


Level Payment




the 6th payment.

L=7,360.0871

i=6%

PMT= 1,000

P6 ?

I6 ?

2582.747

1056.465,33638.212,4

3638.212,4

1056.465,3

6

6

5

6

665

P

P

B

B

P B B



19/35


Level Payment




the 6th payment.

L=7,360.0871

i=6%

PMT= 1,000

P6 ?

I6 ?

2582.747

7473.0*000,1

*000,1

*000,1

*

6

6

56

16106

16106

P

P

v P

v P

v PMT P



20/35


Level Payment




the 6th payment.

L=7,360.0871

i=6%

PMT= 1,000

P6 =747.2582

I6 ?

i B I P PMT I

*5666

7418.252

2582.747000,1

66

66

I

I

P PMT I

7418.252

06.0*3638.212,4

*

6

6

56

I

I

i B I



21/35


Level Payment

For an 8% level payment loan, the amount of

principal in the second payment is 5,522.79.

Find the amount of principal in the 4th

payment.

L=?

i=8%

PMT= ?

P2 =5,522.79

P4 =?

1* t nt v PMT P

Dado que conocemos de la Tabla de

Amortización que:

79.522,5

*

2

12

2

P

v PMT P n

7823.441,6

1664.1*79.522,5

)08.1(*

)1(**

*

4

4

224

2124

144

P

P

P P

iv PMT P

v PMT P

n

n



22/35


Looking Forward and Looking Back

In actuarial notation, for a level payment loan

with periodic payment PMT at a rate i for n

periods, the balance after payment k is

A loan made at an annual rate of 6.5% has 7

remaining payments of 950.

What is the loan balance?

2938.210,5

4845.5*950

* %5.67

B

B

a PMT B

ik k

k

ik n

PMTsi PV

FV i PV

a PMT

)1( balRet.

k)1,...,at timesmade pay ments()1(

balanceiveRetrospect

* balanceeProspectiv



23/35


A borrows 10k from B and agrees to repay it with equal quarterly installments of principal and

interest at 8% convertible quarterly over 6 years.

At the end of two years B sells the right to receive future payments to C at a price which

produces a yield rate of 10% convertible quarterly.

Find the total amount of interest received (1) by C and (2) by B

L=10,000

i(4)

=8%n=(6)(4)=24

PMT =?

Interest received by C=?

Interest received by B=?

23

i(4)=8%

… 7 8 9 …

PMT PMT

240

L = 10,000

PMT PMT … PMT PMT PMT …

1 2



24/35


A borrows 10k from B and agrees to repay it with equal quarterly installments of principal and interest at 8% convertible

quarterly over 6 years. At the end of two years B sells the right to receive future payments to C at a price which produces a yield

rate of 10% convertible quarterly.Find the total amount of interest received (1) by C and (2) by B

L=10,000

i(4)=8%

n=(6)(4)=24

PMT =?

Interest received by C=?

Interest received by B=?23

i(4)

=8%

… 7 8 9 …

PMT PMT

240

L = 10,000

PMT PMT … PMT PMT PMT …

1 2

%24

%8

4

)4(

i

i

02.0

)02.1(

11

*000,10

24

%224

PMT a PMT



25/35

n pagos iguales y uno desigual

El método de amortización mediante

pagos nivelados y uno desigual tambiéntiende a ser común. Algunas variantes

podrían involucrar más de un pago

desigual. Puede ajustarse a necesidades

del deudor, o a sus flujos de efectivo.



26/35

Amortización – Ejercicio #

Variable Payment Loan

A borrower would like to borrow 30,000 at8% for 5 years, but would like to pay only5,000 for the first two years and then catchup with a higher payment for the final threeyears. What is the payment for the finalthree years?

Find:a) The annual payment for the last 3 years

L=30,000

i=8%

a) PMT= ?

592,24

)2192000,5()400,2000,5(000,30

)000,5()000,5(000,30

)()(

22

102

21212

B

B

i Bi B B

I PMT I PMT L P P L B

4338.542,9

5771.2592,24

*

%83

2

%832

PMT

a B PMT

a PMT B



27/35

pagos iguales de capital


pagos iguales a capital (installment loan)se refiere a montos de amortización

iguales, lo que implica que ninguno de

los pagos será igual a otro.



28/35


Installment Loan

You have a 30,000 loan at 8% annually for 30

years. You agree to pay off the principal in

installments of 1,000 per year, and to pay

interest on the outstanding balance each year.

Find:

a) The interest due in the 11th

paymentb) The actual 11th payment

a)

b)L=30,000

i=8%

a) I11

b) PMT11= ?

000,20

10)000,1(000,30

10*

10

10

10

B

B

PMT L B

600,2

000,1600,1

11

11111111

PMT

PMT

P I PMT

600,1

08.0)000,20(

11

11

1011

I

I

i B I



29/35

fondo de amortización

El método del fondo de amortización se

basa en que durante la vida de la deuda,el deudor solamente paga los intereses

generados a la tasa pactada (i), y en

adición se realizan pagos nivelados a una

cuenta llamada fondo de amortización

que gana interés a una tasa (j).


El objetivo es que el monto en el fondo

sea igual al monto a amortizar al final de

la vida del préstamo.


30/35


A 100,000 annual payment loan is made for aterm of 10 years at 10% interest. The lender

wants only payments of interest until the endof year 10 when the 100,000 must be repaid.The borrower will make level annual year-endpayments to a sinking fund earning 8%.

Find:

a) The sinking fund deposit SFD

b) The balance in the sinking fund at times 3and 4

a)

b)

L=100,000

i=10%

a) SFD

b) BSF3 y BSF4

9489.902,6

4866.14

000,100

*

%810

10

%81010

SFD

S

BSFD

S SFD B

7332.409,22

)2464.3(9489.902,6

*

3

3

%833

B

B

S SFD B

4608.105,31

)5061.4(9489.902,6

*

4

4

%844

B

B

S SFD B



31/35

cuotas incrementadas y decrecientes


cuotas incrementadas pagos iguales a

capital (installment loan) se refiere a

montos de amortización iguales, lo

que implica que ninguno de los pagos

será igual a otro.



32/35

Progresión Aritmética

La Progresión Aritmética es una sucesión

donde cada término difiere del anterioren una cantidad fija d.

n-1

a+(n-1)d

n

a a+d a+2d a+3d a+4d a+5d … a+(n-2)d

0 1 2 3 4 5 6

][])1(2[

])1(2[2

121212122

:obtenemosecuacionesambassumandoy2321

1232

:formasiguienteladeobtenemoslan términos primeroslosdesumaLa

)1(

:comoescribir puedesetérminoésimo-nely

...,3,2,,

:sonaritmética progresiónunadetérminos primeroslos

22 n

nn

n

n

n

n

n

n

aad naS

d nanS

)d](na[ )d](na[ ... )d](na[ )d](na[ S

ad)(ad)(ad)(a... )d)(n(a )d)(n(aS

)d)(n(a )d)(n(a...d)(ad)(ad)(aaS

d naa

d ad ad aa



33/35

Anualidades Variantes (Progresión Aritmética)

Consideremos el caso de una anualidad que

paga $1 al final del 1er periodo y de ahí enadelante se incrementa en $1 cada periodo.


Denotaremos este valor presente como A y tendremos entonces que

Si multiplicamos esta ecuación por 1+i y le restamos el término original tendremos

Lo que podemos simplificar para obtener:

nvQn P vQ P vQ P Pv A ])1([)2()( 32

nnnn

nnn

QnvvvvvvQv P iA

Qvn PvvvvvQ P iA

)()1(

)1()(

132

132

i

nvaQ Pa A

i

nvaQ

i

v P A

n

nn

n

n

n

1


34/35

Progresión Geométrica

La Progresión Geométrica es una sucesión

donde la razón entre un término y elanterior es constante, denominada r.

1r cuando 1

)1(

ó1r cuando 1

)1(

:obtenemosecuación primeraladesegundalarestandoy

:formasiguienteladeobtenemoslan términos primeroslosdesumaLa

:comoescribir puedesetérminoésimo-nely

,...,,,,

:songeométrica progresiónunadetérminos primeroslos

1232

1232

1

432

r r aS

r

r aS

ar arS S

ar ar ar ...ar ar ar rS

ar ar ...ar ar ar aS

ar a

ar ar ar ar a

n

n

n

n

nnn

nnnn

nnn

nn

n-1

ar(n-1)

n

a ar ar2

ar3

ar4

ar5

… ar(n-2)

0 1 2 3 4 5 6



35/35

Anualidades Variantes (Progresión Geométrica)

Consideremos el caso de una anualidad que

paga $1 al final del 1er periodo y de ahí enadelante se incrementa en un factor (1+g)cada periodo.


Denotaremos este valor presente como A y tendremos entonces que

Si factorizamos el primer sumando obtenemos

13

4

2

32)1(

)1()1(

)1()1(

)1()1(

)1()1(

nn

g i

a g

i

a g

i

a g

i

a

i

aVPA

igsi 1

1

1

gisi 1

11

1

11

1

)1(

)1(

)1(

)1(

1

11

)1(

)1(

)1(

)1(

1

11

)1(

1

1

2

2

1

1

2

2

n

n

n

n

n

n

n

i

g

ig

aVPA

i

g

g i

aVPA

i

g

g i

i

i

g

i

g

i

g

i

g

i

g

i

g

i

aVPA

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