Apuntes de Ingenieria Fluidomecanica

8/15/2019 Apuntes de Ingenieria Fluidomecanica

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INGENIERÍA FLUIDOMECÁNICA

III

Marcos Vera Coello

Immaculada Iglesias Estradé

Antonio L. Sánchez PérezDpto. de Ingenierı́a Térmica y de Fluidos

Universidad Carlos III de Madrid

Carlos Martı́nez Bazán

Dpto. de Ingenierı́a Mecánica y Minera

Universidad de Jaen


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Índice

Índice i

1 Introducción 1

1.1 Sólidos, lı́quidos y gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Hipótesis de medio continuo: partı́cula fluida . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Densidad, velocidad y energı́a interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Equilibrio termodinámico local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Variables y relaciones termodinámicas de interés . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Fluidostática 11

2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Fuerzas de volumen y fuerzas de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 Fuerzas de volumen o fuerzas másicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.2 Fuerzas de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Concepto de presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.1 Presión en un punto: Principio de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.2 Resultante de las fuerzas de presión sobre una partı́cula fluida . . . . . 17

2.4 Distribución de presiones en un fluido en reposo . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4.1 Ecuación general de la fluidostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4.2 Condición de compatibilidad para las fuerzas másicas . . . . . . . . . . 19

2.4.3 Isobaras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4.4 Ejemplos de interés práctico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5 Fluidostática de lı́quidos: Aplicaciones a la medida de presión . . . . . . . . . 23

2.5.1 El barómetro de mercurio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5.2 El manómetro en U abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.5.3 El manómetro diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5.4 Presión absoluta, manométrica y de vacı́o . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6 Fluidostática de gases: atmósfera estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6.1 Atmósfera isoterma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.6.2 Atmósfera estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.7 Fuerzas y momentos sobre superficies sumergidas . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.7.1 Fuerzas sobre superficies planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.7.2 Fuerza de presión sobre una superficie curva arbitraria . . . . . . . . . 35

2.8 Fuerzas sobre cuerpos sumergidos y flotantes: El Principio de Arquı́medes . . . 36

2.8.1 Cuerpos sumergidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.8.2 Cuerpos flotantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.9 Equilibrio y estabilidad de cuerpos sumergidos y flotantes . . . . . . . . . . . . 40

i


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´ INDICE ii

2.9.1 Equilibrio y estabilidad de traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.9.2 Equilibrio y estabilidad de rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.10 Problemas resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.10.1 tubo-U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.10.2 deposito-tres-fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.10.3 compuerta-L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.10.4 compuerta-inclinada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.10.5 tronco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.10.6 cubo-flotacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3 Cinemática 56

3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.1.1 Descripciones Euleriana y Lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.2 Movimiento uniforme y estacionario; puntos de remanso . . . . . . . . . . . . 56

3.3 Trayectorias y sendas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.4 Lı́neas, superficies y volúmenes fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.5 Lı́neas, superficies y tubos de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.6 Lı́neas de traza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4 Leyes de Conservación en el Movimiento de los Fluidos 60

4.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.2 Leyes de la mecánica aplicadas a volúmenes fluidos . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.2.1 El principio de conservación de la masa . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2.2 La segunda ley de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2.3 El primer principio de la termodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.3 Volúmenes fluidos y volúmenes de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.4 Flujo convectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.5 Teorema del transporte de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5 Ecuación de la continuidad 67

5.1 Ecuación de conservación de la masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.2 Gasto másico y caudal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.3 Aproximación unidimensional a los términos de flujo . . . . . . . . . . . . . . 68

5.4 Algunos ejemplos sencillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.4.1 Movimiento en una boquilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.4.2 Descarga de un depósito de gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.4.3 Descarga de un depósito de lı́quido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6 Ecuación de la cantidad de movimiento 73

6.1 Fuerzas de volumen y fuerzas de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.2 Esfuerzos viscosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.3 Ecuación de la cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6.4 Fuerzas y momentos sobre cuerpos sumergidos . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.5 Ejemplos de aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.5.1 Movimiento de un lı́quido en una boquilla . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.5.2 Movimiento de un gas en una codo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.6 Ecuación del momento cinético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82


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´ INDICE iii

6.7 La ecuación de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.7.1 Flujo estacionario ideal de un lı́quido en un tubo de corriente . . . . . . 85

6.7.2 Vaciado de un depósito de lı́quido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.7.3 Tubo de Pitot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.7.4 Tubo de Venturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

7 Ecuación de la energı́a 92

7.1 Variación de la energ ı́a en un volumen fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

7.1.1 Trabajo de las fuerzas másicas. Energı́a potencial. . . . . . . . . . . . . 93

7.1.2 Trabajo de las fuerzas de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.1.3 Transferencia de calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.2 Ecuación de conservación de la energ ı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.3 Balance energético en máquinas de fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

8 Análisis de problemas fluidomecánicos 1008.1 Álabe en una corriente uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

8.2 Cascada de álabes en una corriente gaseosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8.3 Turbomáquina axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8.4 Bomba centŕıfuga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

8.5 Aspersor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

8.6 Salto hidráulico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

8.7 Compuerta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

8.8 Chorro plano incidiendo sobre una placa plana articulada . . . . . . . . . . . . 128

9 Análisis dimensional 132

9.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

9.1.1 Motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

9.1.2 Desarrollo histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

9.1.3 Un primer ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

9.1.4 Algunas definiciones previas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

9.2 Teorema Π o de V aschy − Buckingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1409.2.1 Enunciado y demostración mediante un caso práctico . . . . . . . . . . 140

9.2.2 Determinación de los grupos adimensionales Π . . . . . . . . . . . . . 1439.2.3 Dependencia paramétrica de la solución . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

9.2.4 Adimensionalización de las leyes de conservación . . . . . . . . . . . 147

9.2.5 Selección de los parámetros con dimensiones independientes . . . . . . 1499.3 Los números adimensionales como relación entre los distintos términos de las

leyes de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

9.4 Semejanza fı́sica y ensayo de modelos a escala . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

9.5 Ejemplos y aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

9.5.1 El teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

9.5.2 Periodo de oscilación de un péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . 155

9.5.3 Análisis de Taylor de una explosión nuclear . . . . . . . . . . . . . . . 157

9.5.4 Ensayos hidráulicos: semejanza total y parcial . . . . . . . . . . . . . . 157

9.5.5 Efectos de compresibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

9.5.6 Ensayos en túnel aerodinámico compresible . . . . . . . . . . . . . . . 1619.5.7 Actuaciones de una turbina eólica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162


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´ INDICE iv

9.5.8 Semejanza en máquinas hidráulicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

10 Flujo Turbulento en conductos 168

10.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

10.2 Flujo Laminar y flujo turbulento: experimento de Reynolds. . . . . . . . . . . . 168

10.3 Flujo desarrollado y longitud de entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

10.4 Pérdidas de carga primarias en conductos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

10.5 Ejemplos de cálculo de las pérdidas de carga primarias en conductos. . . . . . . 176

10.5.1 Primer ejemplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

10.5.2 Segundo ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

10.5.3 Tercer ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

10.5.4 Cuarto ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

10.6 Pérdidas Secundarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

10.6.1 Pérdidas de carga en la entrada a un conducto. . . . . . . . . . . . . . . 182

10.6.2 Pérdidas de carga en expansiones y contracciones. . . . . . . . . . . . 18310.6.3 Pérdidas de carga en codos y curvas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

10.6.4 Pérdidas de carga en válvulas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Referencias 190


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Capı́tulo 1

Introducción

1.1 Sólidos, lı́quidos y gases

A nivel macroscópico, la principal diferencia entre sólidos y fluidos estriba en su capacidad

para deformarse (véase la figura 1.1). Los sólidos se deforman poco. Ante la aplicación de una

fuerza exterior pequeña, el sólido responde con una deformación pequeña. Tal comportamiento

es debido a que los sólidos presentan una resistencia a la deformación que es proporcional a la

magnitud de dicha deformación. Los fluidos, por el contrario, se deforman con facilidad cuando

se les aplica una fuerza de manera adecuada. La fuerza de resistencia que presentan ante una

deformación resulta no ser proporcional a la deformación, sino a la velocidad a la que se produce

ésta. Esta facilidad para deformarse queda patente en la capacidad de los fluidos para adaptarse

a la forma del contenedor que los limita.

Figura 1.1: Ante la aplicación de una fuerza exterior, los sólidos responden con una deforma-

ción estática proporcional a la fuerza aplicada, mientras que los fluidos se deforman de forma

indefinida, presentando una fuerza de resistencia proporcional a la velocidad a la que se produce

la deformación.

La diferencia entre lı́quidos y gases es menos fundamental. Por una parte, la densidad de los

lı́quidos es t́ıpicamente mucho mayor que la de los gases, lo que influye de manera determinante

en la magnitud de la fuerza necesaria para producir una aceleración dada. Por otra parte, la

diferencia más importante entre las propiedades mecánicas de ambos estados fluidos radica en

su compresibilidad. Por ejemplo, la variación de densidad que se produce al someter al fluido a

una variación de presión dada es mucho menor en el caso de los lı́quidos que en el caso de los

gases, lo cual puede expresarse mediante la desigualdad

∂ρ

∂pT,l

∂ρ

∂pT,g, (1.1)

donde ρ, p y T representan la densidad, presión y temperatura, respectivamente. Para conven-cernos de lo anterior, basta considerar un globo que contiene aire y uno que contiene agua. La


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1.1. S ´ OLIDOS, L ́ IQUIDOS Y GASES

experiencia nos dice que presionando con las manos convenientemente el primero es posible

reducir su volumen, aumentando de esta manera la densidad en el interior, mientras que el vo-

lumen del globo lleno de agua permanece prácticamente constante independientemente de la

presión que ejerzamos. De hecho, se necesita aumentar la presión hasta 106 atmósferas para re-ducir el volumen del agua a la mitad. De manera similar, si sometemos a un fluido a variaciones

de temperatura, la variación de densidad resultante en el caso de que el fluido sea un lı́quido es

despreciable comparada con la que observarı́amos si el fluido fuese un gas. En vista de su baja

compresibilidad, para una inmensa mayorı́a de aplicaciones resulta una aproximación adecuada

el suponer que la densidad del lı́quido es constante (hipótesis de lı́quido perfecto).

Figura 1.2: Representación esquemática de la fuerza que se ejerce entre dos moléculas eléctri-

camente neutras que no forman enlace qu ı́mico como función de la distancia entre sus centros.

Todas las propiedades macroscópicas vistas anteriormente son resultado de la distinta es-

tructura microscópica que presentan sólidos, lı́quidos y gases. Para entenderlo, hay que tener

en cuenta que la fuerza que se ejerce entre dos moléculas es función de la distancia entre sus

centros, d, de acuerdo a la ley esquematizada en el gráfico de la figura 1.2. Cuando dicha distan-cia se hace muy pequeña, las moléculas tienden a repelerse, mientras que para valores grandes

de d aparece una fuerza de atracción que disminuye con la distancia. Existe un valor crı́tico de

la distancia d = d0 para el que la fuerza cambia de signo. Esta distancia, que corresponde auna posición de equilibrio estable para el sistema de dos moléculas considerado, suele tener un

valor en torno a 3 × 10−10 m.Conocidos los valores medios de la densidad de una sustancia, ρ, y de su masa molecular,

W , es fácil calcular la distancia media, d, entre los centros de las moléculas

ρ = W/N A

d3 ≡ peso 1 molécula

volumen ocupado por 1 molécula ⇒ d =

W

ρN A

1/3(1.2)

donde N A = 6,023 × 1023 moléculas/mol es el número de Avogadro (véase la figura 1.3).El cálculo revela que para el caso de gases a presión y temperatura ambiente d

10d0 (por

ejemplo, para el aire se tiene ρ 1,2 kg/m3, W 29 · 10−3 kg/mol, por lo que obtenemosd 3,4 × 10−9 m), mientras las moléculas de sólidos y lı́quidos están mucho más próximas, a

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1.2. HIP ´ OTESIS DE MEDIO CONTINUO: PART ́ ICULA FLUIDA

d

1/3

A

Wd =

N

Figura 1.3: En promedio, el volumen ocupado por una molécula es un cubo de lado d, donded representa la distancia intermolecular media. Conocida la densidad del fluido, ρ, y su masamolecular, W , es fácil estimar el valor de d.

distancias d d0 (por ejemplo, para el agua o el hielo se tiene ρ 103 kg/m3, W 18 · 10−3kg/mol, por lo que obtenemos d 3,1 × 10−10 m). Las moléculas de los gases, por tanto,experimentan fuerzas de atracción muy débiles en su movimiento, de forma que en prime-

ra aproximación podemos suponer que se mueven libremente, interaccionando únicamente através de las colisiones que sufren entre ellas. Esta estructura explica la alta compresibilidad de

los gases (sus moléculas pueden acercarse más, aumentando la densidad del medio, con relati-

va facilidad), ası́ como su capacidad para deformarse y su tendencia a ocupar todo el espacio

disponible. En el caso de sólidos y lı́quidos, por el contrario, las fuerzas entre las moléculas son

muy importantes. La fuerza de repulsión evita que las moléculas puedan estar más próximas de

lo que están, lo cual explica la baja compresibilidad de lı́quidos y sólidos. Su distinta capaci-

dad de deformación se debe a que, a pesar de su proximidad, las moléculas de los lı́quidos se

desplazan unas respecto a otras con relativa facilidad, mientras que la posición relativa de las

moléculas de los sólidos permanece fi ja. Cabe mencionar que, a veces, no resulta fácil catego-

rizar a una sustancia como sólido o l´ı

quido. Por ejemplo, si dejamos reposar pintura duranteun tiempo suficientemente largo acabará comportándose como un sólido elástico, caracterı́stica

que perderá cuando la agitamos violentamente. En todo caso, la inmensa mayorı́a de los fluidos

que aparecen en los problemas ingenieriles, tales como agua o aire, responden perfectamente a

la caracterización como gases o lı́quidos expuesta en los párrafos anteriores, y que se resume

gráficamente en la figura 1.4.

1.2 Hipótesis de medio continuo: partı́cula fluida

Hay dos caracterı́sticas que complican el análisis del movimiento fluido. Por un lado, la ma-

teria en los fluidos está distribuida de una manera discreta. Hemos visto ya como las molécu-las de los gases están separadas por grandes espacios vac ı́os. Incluso para los lı́quidos, cuyas

moléculas están empaquetadas a una corta distancia, la distribución de la masa es también dis-

creta, al encontrarse esta concentrada en los núcleos de los átomos. Por otro lado, resulta inútil

intentar estudiar la dinámica de un fluido a partir del estudio de la dinámica de cada uno de

sus componentes a nivel microscópico. Por ejemplo, en una primera aproximación al estudio

de los gases monoatómicos, parecerı́a adecuado aplicar las leyes de conservación de la cantidad

de movimiento a cada una de las moléculas que forman el gas. Como el movimiento de cada

molécula influye en las demás a través de los choques que se producen entre ellas, la resolución

del problema conllevaŕıa la integración de un conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas

que podr´ıan en principio resolverse para determinar la evolución de la posición de cada una de

las moléculas con el tiempo (y su velocidad por derivación directa). Este análisis, aparentemen-

te sencillo, resulta imposible de llevar a la práctica debido al gran número de moléculas que

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d

d0 3-4 Å

Figura 1.4: Las diferencias en las propiedades macroscópicas de lı́quidos y gases son resultado

de la distinta estructura microscópica que presentan ambos.

componen el fluido (1016 en un mm3 de aire y muchas más en un mm3 de agua). Incluso aunquetal cálculo fuera posible, no parece razonable que el ingeniero necesite conocer, por ejemplo,

la posición y velocidad de cada una de las moléculas de agua que circulan por el interior de

una bomba para determinar la relación entre la potencia de ésta y el caudal. Claramente, estas

consideraciones nos llevan a tomar un punto de vista distinto en el análisis de los movimientos

fluidos.

En cursos anteriores hemos estudiado sistemas que presentaban propiedades uniformes que

se describı́an con pocos grados de libertad. Por ejemplo, en el estudio de la evolución de un

gas que se encuentra en el interior de un contenedor, la termodinámica hacı́a uso de la densidad

definida como la masa total del gas dividida por el volumen total del contenedor. En mecánica

describı́amos el movimiento del sólido rı́gido con dos únicos vectores: el vector velocidad y

el vector velocidad angular. En los fluidos, sin embargo, la experiencia nos dice que las cosas

no son tan sencillas. Ası́, gracias a las part ı́culas de polvo suspendidas en el aire, todos he-

mos observado el movimiento que se origina por flotabilidad debido al calentamiento desigual

de nuestro dormitorio. Claramente, un solo vector velocidad no es suficiente para describir el

campo fluido que se establece: el fluido sube y baja de manera desordenada, de forma que se

observan variaciones espaciales y temporales de velocidad. La longitud que hay que recorreren un campo fluido para ver variaciones apreciables de las distintas variables fluidas es lo que

denominamos longitud macroscópica caracterı́stica de dicho campo fluido, L. Por ejemplo, parael movimiento en nuestra habitación, es suficiente recorrer con la vista una distancia de 10 cm

para ver variaciones apreciables de la velocidad (part ı́culas de polvo subiendo y bajando). Lo

que si parece claro en relación con dicho problema fluido, sin embargo, es que para describir

el campo de velocidades con bastante fiabilidad bastaŕıa dar la velocidad en puntos separados

1 cm (1 mm si quisiéramos ser muy precisos). Uno se pregunta si es posible entonces estudiar

el campo fluido dividiéndolo en pequeñas parcelas, llamadas partı́culas fluidas, con respecto a

las cuales definirı́amos los conceptos de velocidad, densidad, etc. Cada partı́cula fluida estarı́a

centrada en una posición x̄, y su tamaño deberı́a ser más pequeño que la longitud macroscópi-ca caracteŕıstica de nuestro campo fluido, de manera que el conocimiento de las propiedades

de cada partı́cula fluida en un cierto instante fuera suficiente para una descripción precisa del

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campo fluido (velocidad, densidad, etc) en función de la posición, x̄, y del tiempo, t. El suponerque podemos describir las variables fluidas como funciones continuas de x̄ y de t es lo que sedenomina hipótesis del medio continuo, que es utilizada también en el estudio de la elasticidad

y resistencia de materiales.Como ejemplo ilustrativo, nos concentramos inicialmente en el concepto de densidad de un

gas. Siguiendo la definición que nos es familiar de cursos anteriores, parece razonable calcular

la densidad de una partı́cula fluida de volumen δV centrada en una posición x̄ de acuerdo aρ =

mi/δV , donde

mi es la masa de todas las moléculas situadas en el interior de la

partı́cula fluida considerada. Para que la descripción que proponemos tenga sentido, el valor de

ρ debe ser independiente de δV , de manera que en un instante determinado t podamos asignar ala posición x̄ un valor un ı́voco de ρ(x̄, t). El rango de δV en que esto es posible se hace patenteal representar el valor de

mi/δV como función del tamaño de la partı́cula fluida (δV )

1/3, tal

y como se ve en la figura 1.5.

d V2

V1

d


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1.3. DENSIDAD, VELOCIDAD Y ENERG ́ IA INTERNA

Hi ótesis

de medio

continuo

10-8 m10-9 m 10-7 m

Figura 1.6: La hipótesis de medio continuo, dL 1, permite definir un rango de escalas en-

tre la escala caracterı́stica microscópica, d, y la escala caracter ı́stica microscópica, L, dondelas propiedades del fluido se pueden describir como funciones continuas de la posición y del

tiempo.

densidad) diferente.

La figura 1.5 revela por lo tanto que para ser capaces de definir unı́vocamente las variables

fluidomecánicas en un punto a través del concepto de partı́cula fluida es necesario que el tamaño

macroscópico caracterı́stico del campo fluido que estudiemos sea mucho mayor que la distanciamedia entre sus moléculas, esto es

d

L 1. (1.3)

Recordando que d 3,4 × 10−9 m para el aire en condiciones normales, es fácil adivinar que lacondición (1.3) se cumple para la inmensa mayor ı́a de los movimientos fluidos de interés inge-

nieril, para los que la descripción del campo fluido como un medio continuo resulta adecuada

(véase por ejemplo la figura 1.6).

1.3 Densidad, velocidad y energ´ı

a internaA partir del concepto de partı́cula fluida (centrada en la posición x̄ en el instante t) definimos

densidad como

ρ(x̄, t) = ĺımδV →0

mi

δV , (1.4)

donde al tomar el lı́mite se entiende que (δV )1/3 d, de forma que evitamos el carácter discretodel fluido asociado a su estructura microscópica. De manera análoga, definimos la velocidad

del fluido como el valor medio de la velocidad de todas las moléculas que se encuentran en δV (velocidad del centro de gravedad de la part ı́cula fluida):

v̄ = ĺımδV →0

miv̄imi

. (1.5)

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1.4. EQUILIBRIO TERMODIN ´ AMICO LOCAL

La energı́a por unidad de masa que existe en el interior de δV viene dada por

E i/

mi,donde E i = mi|v̄i|2/2+E vi+ E ri+ · · · representa la energı́a de cada molécula (energı́a cinéticade traslación mi|v̄i|2/2, energı́a de vibración, E vi , rotación, E ri , etc). Es costumbre separar dela energ´

ıa por unidad de masa la contribución debida al movimiento medio de traslación de las

moléculas, de forma que podemos escribir (se deja como ejercicio el demostrarlo)

ĺımδV →0

E imi

= e + |v̄|2/2, (1.6)

donde

e = ĺımδV →0

mi|v̄i − v̄|2/2 + E vi + E ri + · · ·

mi(1.7)

es la llamada energı́a interna, que incluye en particular la energı́a cinética asociada al movimi-

ento de agitación de las moléculas respecto al movimiento medio. Tal y como veremos, para

lı́quidos y gases existe una estrecha relación entre la temperatura y la energ ı́a interna.

1.4 Equilibrio termodinámico local

La termodinámica clásica trata sistemas que están en equilibrio térmico y mecánico, para

los que todas las propiedades termodinámicas de la materia son uniformes en el espacio y en

el tiempo. Cuando por ejemplo estudiamos mediante la leyes de la termodinámica clásica la

evolución de un cierto sistema, lo que suponemos es que dicha evolución es tan lenta que es

como si el sistema estuviera en equilibrio en cada instante. Entre otros resultados de utilidad,

la termodinámica establece que podemos caracterizar el estado de un sistema de composición

homogénea consolo dar dos variables de estado independientes, estando todas las demás ligadas

a estas dos a través de las llamadas ecuaciones de estado.

La mecánica de fluidos, sin embargo, estudia sistemas que no están en equilibrio y cuyas

propiedades presentan variaciones espaciales y temporales. Estrictamente hablando, los resul-

tados de la termodinámica clásica no serı́an por tanto aplicables al estudio de la mecánica de

fluidos. Afortunadamente, los resultados correspondientes a estados de equilibrio son aproxi-

madamente válidos para la inmensa mayorı́a de los estados de no-equilibrio que analizamos en

mecánica de fluidos. Un observador moviéndose con la velocidad local puede describir el estado

del fluido mediante las variables de la termodinámica, cuyas interrelaciones están determinadas

por las mismas ecuaciones de estado que se aplican a estados de equilibrio.

Mediante la Teorı́a Cinética, esta hipótesis de equilibrio termodinámico local encuentra justificación teórica rigurosa para el caso de los gases, mientras que para el caso de l ı́quidos la

justificación proviene de la amplia evidencia experimental que se tiene al respecto. Las molécu-

las de un gas intercambian cantidad de movimiento y energı́a a través de las colisiones con sus

vecinas, ajustando su estado de esa manera al estado de agitación térmica que existe localmente.

Las colisiones entre moléculas constituyen por tanto el mecanismoa través del cual el gas alcan-

za el equilibrio termodinámico. Siempre y cuando la distancia entre choques λ, también llamadarecorrido libre medio, sea mucho más pequeña que la longitud caracterı́stica macroscópica L,cada molécula sufrirá un número muy elevado de choques antes de alcanzar regiones donde las

propiedades macroscópicas cambian apreciablemente. En todo momento es como si el fluido se

encontrara en cada punto muy cerca del equilibrio termodinámico correspondiente a los valoreslocales de densidad y energı́a interna.

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1.5. VARIABLES Y RELACIONES TERMODIN ´ AMICAS DE INTER ´ ES

Figura 1.7: Igualando el volumen que le corresponde a cada molécula, d3, con el volumenbarrido por la molécula en su movimiento entre colisiones, d2

0λ, se puede estimar el camino

libre medio entre colisiones, λ/d = (d/d0)2.

El criterio que se debe satisfacer para que un gas se encuentre en equilibrio termodinámico

local es por tantoλ

L 1 (1.8)

donde λ/L es el llamado número de Knudsen. Para que se produzca un choque, el volumenbarrido por una cierta molécula en su movimiento ( d20λ) debe ser igual al volumen de gas quele corresponde a cada molécula (d3), lo que nos permite escribir λ/d

(d/d0)

2 (por ejemplo, en

condiciones normales se obtiene λ 4 × 10−7 m)1. Cabe hacer notar que el criterio dado en laEc. (1.8) es más restrictivo que el correspondiente a la hipótesis del medio continuo (1.3). Entre

los pocos ejemplos excepcionales que no cumplen la condición de equilibrio termodinámico

local, podemos mencionar el campo fluido que encontramos en los alrededores de los veh ı́culos

espaciales en las altas capas de la atmósfera, donde el gas está tan enrarecido, que el camino

libre medio deja de ser pequeño en comparación con el tamaño del vehı́culo.2

1.5 Variables y relaciones termodinámicas de interés

La hipótesis delequilibrio termodinámico local nos vaa permitir por tanto describir el estadodel fluido dando su velocidad v̄(x̄, t) y dos variables termodinámicas cualquiera. La definiciónde densidad y energı́a interna está dada más arriba en las Ecs. (1.5) y (1.7). Las demás varia-

bles termodinámicas quedan automáticamente definidas a través de las ecuaciones de estado

correspondientes. Por ejemplo, existe una ecuación de estado s = s(e, ρ), o e = e(s, ρ), quedetermina la entropı́a. Puesto que

de = T ds − pd(1/ρ) (1.9)1Si el gas está evolucionando con un tiempo caracter ı́stico de variación de las propiedades fluidas macroscópi-

cas T , razonamientos similares a los expuestos más arriba nos llevan a concluir que la condición que se habrı́a decumplir para que existiera equilibrio termodinámico local en todo instante es T

τ , donde τ es el tiempo medio

entre colisiones de las moléculas (τ = 10−9 s para aire en condiciones normales de presión y temperatura).2Se deja como ejercicio al lector demostrar que, en el aire, el camino libre medio se hace del orden de 1 m para

densidades del orden de 3 ·10−7 kg/m3, valor que se alcanza en la atmósfera a una altura de unos 70 km.

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obtenemos la temperatura y la presión a partir de

T = ∂e

∂sρ (1.10)y

p = −

∂e

∂ρ−1

s

. (1.11)

De manera análoga, se define entalpı́a a partir de los conceptos anteriores como h = e + p/ρ.En lugar de continuar resumiendo conceptos generales de termodinámica, pasamos ahora a

describir algunas de las ecuaciones de estado que nos serán de más utilidad en el análisis de los

problemasfluidotérmicos, particularizando nuestro tratamiento a dosestados fluidos idealizados

que cubren la inmensa mayorı́a de las aplicaciones de interés, esto es, lı́quidos perfectos y gases

perfectos.

Lı́quidos perfectos

Un lı́quido perfecto cumple que su densidad y su calor espec ı́fico, c, son constantes, demanera que podemos escribir

ρ = ρ0 (1.12)

y

e = cT + e0, (1.13)

donde e0 es la energ ı́a interna correspondiente al cero absoluto de temperatura. A partir de ladefinición de entalpı́a obtenemos

h = cT + e0 + p/ρ0, (1.14)

mientras que por integración de (1.9) determinamos la entropı́a en la forma

s = c ln(T ) + s0. (1.15)

Muchos lı́quidos se comportan como perfectos en intervalos razonablemente grandes de presión

y temperatura. Por ejemplo, el agua puede suponerse un lı́quido perfecto de densidad ρ0 = 103

kg/m3 y calor especı́fico c = 4180 J/(kg·K).

Gases perfectos

Un gas perfecto tiene una ecuación de estado de la forma

p/ρ = RgT, (1.16)

donde la constante Rg = Ro/W se determina a partir de la constante universal de los gases,

Ro = 8,314 J/(mol·K), y del peso molecular medio del gas, W (por ejemplo, para el aireW 0,029 kg/mol). La energ ı́a interna, entalpı́a y entropı́a se determinan a partir de

e = cvT + e0, (1.17)

h = c pT + e0, (1.18)s = cv ln( p/ρ

γ ) + s0, (1.19)

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donde cv y c p = cv + Rg son, respectivamente, los calores espec ı́ficos a volumen y presiónconstante, y γ = c p/cv es la relación de calores especı́ficos. El comportamiento del aire seaproxima mucho al de un gas perfecto con Rg = 287 J/(kg·K), cv = 717 J/(kg·K), c p = 1004J/(kg·K) y γ = 1,4. La ecuación (1.16) deja de ser válida a altas presiones, siendo reemplazadapor ecuaciones de estado más complejas (ecuación de Van der Waals). Por otra parte, los caloresespecı́ficos cv y c p son en realidad función de la temperatura, lo que se hace patente cuando latemperatura aumenta lo suficiente (a las temperaturas t ı́picamente alcanzadas en los procesos

de combustión, por ejemplo).

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Capı́tulo 2

Fluidostática

2.1 IntroducciónEn este tema se aborda el estudio de fluidos que están en equilibrio mecánico en un cierto

sistema de referencia, no necesariamente inercial, dejando a un lado el efecto de la tensión

superficial. La condición de equilibrio mecánico para un volumen V de fluido en reposo comoel de la figura 2.1 establece que la resultante de las fuerzas exteriores que actúan sobre el fluido

debe ser nula F̄ ext = 0, (2.1)

y el momento neto de las fuerzas exteriores respecto a un punto 0 arbitrario también debe ser

nulo M̄ 0,ext = 0, (2.2)pues según la segunda ley de Newton en caso contrario aparecer ı́an aceleraciones lineales o

angulares y el fluido dejarı́a de estar en reposo en el sistema de referencia considerado. Tras

introducir los dos tipos de fuerzas que actúan sobre un fluido en reposo, fuerzas de volumen y

fuerzas de superficie, se presenta la ecuación general de la fluidostática tanto en forma integral

como en forma diferencial. A continuación se estudia la distribución de presiones en fluidos

en reposo, y en movimiento como sólido rı́gido, en presencia de la gravedad, y se determina la

distribución de presiones en la atmósfera estándar como un problema clásico de fluidostática de

gases. En el caso particular del equilibrio de l ı́quidos se estudian las fuerzas sobre superficies

sumergidas planas y curvas. Como resultado relevante se deriva el principio de Arqu ı́medes,

que permite calcular fácilmente las fuerzas y momentos que ejerce un lı́quido sobre un cuerposumergido. Por último, se presenta una breve discusión del equilibrio y la estabilidad de los

cuerpos sumergidos.

2.2 Fuerzas de volumen y fuerzas de superficie

Las fuerzas que actúan en un fluido (o en un sólido) se pueden clasificar en dos tipos: fuerzas

de largo alcance (también denominadas fuerzas de volumen o fuerzas másicas) y fuerzas de

corto alcance (también denominadas fuerzas de superficie).


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2.2. FUERZAS DE VOLUMEN Y FUERZAS DE SUPERFICIE

ΣV

x

y

z

0

x̄0 x̄

n̄

dσ

dV

f̄ n(n̄, x̄, t)dσ

ρf̄ mdV

Figura 2.1: Volumen arbitrario V de fluido en reposo respecto al sistema de referencia (x, y, z). Laregión de fluido bajo estudio, delimitada por la superficie imaginaria Σ, está sometida a fuerzas de vo-lumen que actúan sobre cada elemento de volumen dV, y fuerzas de superficie que actúan sobre cadaelemento de superficie dσ.

2.2.1 Fuerzas de volumen o fuerzas másicas

Las fuerzas de largo alcance son fuerzas que decrecen lentamente con la distancia (su dis-

tancia caracterı́stica de decaimiento es mucho mayor que la distancia media entre moléculas, d),y su radio de acción es comparable al tamaño caracterı́stico del campo fluido L. Dichas fuerzasson capaces de penetrar en el interior del campo fluido y actuar sobre todos los elementos de

su interior. Su magnitud es constante en el interior de cada elemento fluido, y por tanto son

proporcionales a la masa (o volumen) del mismo. Por este motivo, también se conocen como

fuerzas de volumen o fuerzas másicas.

Cada part´ıcula

fluida estará sometida en general a fuerzas másicas, debidas por ejemplo al

campo gravitatorio o a las fuerzas de inercia en el caso de sistemas de referencia no inerciales.

Las fuerzas de volumen de origen electromagnético tienen interés en ciertas aplicaciones es-

pecı́ficas pero, por sencillez, no las incluiremos en nuestro estudio. De este modo, la resultante

de las fuerzas másicas que actúan sobre una partı́cula fluida de volumen dV puede expresarseen la forma general

d F̄ m = ρf̄ mdV, (2.3)

donde ρf̄ m representa la magnitud de la fuerza por unidad de volumen, y f̄ m denota por tanto lafuerza másica por unidad de masa (con dimensiones de aceleración). Por ejemplo, si las fuerzas

másicas tienen un origen exclusivamente gravitatorio f̄ m viene dado por la aceleración de la

gravedad ḡ.Para escribir (2.3) hemos despreciado la variación de las fuerzas de largo alcance en el in-

terior de la part ı́cula fluida, lo que siempre es posible puesto que la distancia caracter ı́stica de

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decaimiento de f̄ m es mucho mayor que d. Por ejemplo, para observar un decaimiento apre-ciable de la gravedad terrestre ḡ hemos de separarnos de la superficie de la tierra una distanciacomparable a su radio R 6400 km.

Supuesta conocida la forma del vector ¯f m, la resultante

¯F m de las fuerzas másicas que actúasobre un cierto volumen de fluido V (véase la figura 2.1) se puede obtener sin más que sumar

la contribución (2.3) de todos los elementos de volumen dV que lo componen, lo que equivalea calcular la siguiente integral de volumen

F̄ m =

V

ρf̄ mdV. (2.4)

A continuación se discute la forma que adopta el vector f̄ m en sistemas de referencia iner-ciales, donde las fuerzas másicas son exclusivamente de carácter gravitatorio, y en sistemas de

referencia no inerciales, donde aparecen además las fuerzas de inercia asociadas a la aceleración

lineal y al giro del sistema de referencia considerado.

Sistemas de referencia inerciales

Si el fluido está en reposo respecto a un cierto sistema de referencia inercial y suponemos

que existe un campo gravitatorio con aceleración ḡ, la única fuerza de volumen que sufrirá lapartı́cula fluida representada en la figura 2.1, de masa m = ρdV , será su peso

d F̄ m = mḡ = ρḡdV (2.5)

o, alternativamente, en términos de fuerza por unidad de masa

f̄ m = ḡ. (2.6)

En problemas de fluidostática tomaremos por convenio el eje z en la dirección vertical haciaarriba, lo que permite escribir ḡ = −gēz , siendo g = 9,81 m/s2 la aceleración de la gravedaden la superficie terrestre.

Sistemas de referencia no inerciales: Fuerzas de inercia

Si el fluido está en reposo respecto a un sistema de referencia no inercial que gira con

velocidad angular Ω̄ y cuyo origen sufre una aceleración lineal ā0, como se indica en la figura

2.2, a la fuerza de la gravedad habrá que sumarle las fuerzas de inercia asociadas al movimientono uniforme del sistema de referencia

f̄ m = ḡ −

āo + Ω̄ ∧ (Ω̄ ∧ x̄) + dΩ̄dt

∧ x̄

, (2.7)

donde

x̄ = xēx + yēy + z ̄ez (2.8)

representa el vector de posición relativo al sistema de referencia no inercial. Si miramos el

segundo miembro de la ecuación (2.7) comprobamos que āo es la aceleración de arrastre, Ω̄ ∧(Ω̄ ∧ x̄) es la aceleración centrı́peta, y dΩ̄/dt ∧ x̄ la aceleración debida a variaciones temporalesde la velocidad angular. Obsérvese que la aceleración de Coriolis −2Ω̄ ∧ v̄ queda excluida delas fuerzas de inercia por ser nula la velocidad relativa del fluido, v̄ = dx̄/dt = 0, en el sistemade referencia considerado.

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xx

y

y

zz

Ω̄

ā0

x̄

0

dV

0

Figura 2.2: Elemento fluido dV en reposo en un sistema de referencia no inercial (x, y, z) que gira convelocidad angular Ω̄ y cuyo origen sufre una aceleración ā0 respecto a la referencia inercial (x

, y, z).

Algunas de las fuerzas másicas que aparecen en (2.7) son conservativas, esto es, derivan deun potencial U tal que f̄ m = −∇U . Ası́, podemos escribir

ḡ − āo − Ω̄ ∧ (Ω̄ ∧ x̄) = −∇[−ḡ · x̄ + āo · x̄ − (Ω̄ ∧ x̄) · (Ω̄ ∧ x̄)/2]. (2.9)Sin embargo, se puede demostrar que el término correspondiente a la aceleración debida a

variaciones de la velocidad angular no deriva de un potencial, algo que, como veremos más

abajo, tiene importantes implicaciones en fluidostática de lı́quidos.

2.2.2 Fuerzas de superficie

A diferencia de las fuerzas de largo alcance, las fuerzas de corto alcance, que tienen unorigen molecular directo, decrecen muy rápidamente con la distancia y son sólo apreciables a

distancias del orden de la separación media entre moléculas d. En el caso de un gas, la fuerzaque se ejerce a través de la superficie imaginaria de separación entre dos parcelas de fluido

vecinas se debe al transporte de cantidad de movimiento asociado a la velocidad de agitación

térmica. En otras palabras, aunque a través de una superficie fluida no hay un transporte neto

de masa, las moléculas que se desplazan de un lado a otro (en igual número para uno y otro

lado si el gas es unicomponente) transportan en su movimiento cantidad de movimiento (y

energı́a). Este fenómeno da lugar a nivel macroscópico a la aparición de fuerzas de superficie

(y a la conducción de calor que veremos más adelante). Si el fluido es un l ı́quido, aparecen

contribuciones adicionales debidas a la fuerza que se ejerce entre las moléculas situadas a uno yotro lado de la superficie. Tal y como veremos ahora, aún cuando se observan estas diferencias

a nivel molecular, el tratamiento macroscópico de las fuerzas de superficie se puede hacer de

manera unificada independientemente del tipo de fluido del que se trate.

Puesto que las fuerzas de corto alcance decaen en una distancia comparable a d, su resultantesobre una partı́cula fluida de tamaño dV (tal que dV 1/3 d) es proporcional a la superficie(y no al volumen) de dicha partı́cula fluida. Por este motivo, también se conocen como fuerzas

de superficie. Como se indica en la figura 2.3, la fuerza que se ejerce a través de un elemento

de superficie de área dσ y orientación n̄ que separa dos elementos fluidos puede escribirse portanto en la forma

d F̄ s = f̄

n(n̄, x̄, t)dσ, (2.10)

donde la fuerza por unidad de superficie (o esfuerzo) f̄ n es función de la orientación n̄, ademásde la posición x̄ y del tiempo t. En la notación que se sigue tradicionalmente, f̄ n es el esfuerzo

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2.3. CONCEPTO DE PRESI ´ ON

f̄ n(n̄, x̄, t)dσ

x̄

n̄

dσ

Figura 2.3: Fuerza superficial que se ejerce a través de un elemento de superficie de área dσ y orientaciónn̄. Por convenio, f̄ n(n̄, x̄, t) representa el esfuerzo que ejerce el fluido situado en el lado hacia dondeestá dirigido n̄ sobre el fluido situado en el lado contrario. El esfuerzo tiene en general una componentenormal y otra tangencial, sin embargo en el caso particular de la fluidostatica la fuerza superficial se

reduce a la componente normal.

que ejerce el fluido situado en el lado hacia donde está dirigido n̄ sobre el fluido situado en ellado contrario.

Supuesta conocida la dependencia del esfuerzo ¯f n con la orientación n̄, la posición x̄, y el

tiempo t, la resultante F̄ s de la fuerza superficial que actúa sobre una superficie Σ contenidaen el fluido (véase la figura 2.1) se puede obtener sin más que integrar (2.10) sobre toda la

superficie Σ para dar

F̄ s =

Σ

f̄ n(n̄, x̄, t)dσ. (2.11)

Como se observa en la figura 2.3, el esfuerzo superficial f̄ n se puede dividir siempre enuna componente normal (n̄ · f̄ n) n̄ y una componente tangencial f̄ n − (n̄ · f̄ n) n̄ al elemento desuperficie, lo que permite diferenciar entre los esfuerzos normales y los esfuerzos tangenciales

(o cortantes).

2.3 Concepto de presión

De acuerdo con la definición de fluido dada en el capı́tulo anterior, un fluido (lı́quido o gas)

se deforma indefinidamente bajo la acción de un esfuerzo tangencial (aquel que tiende a defor-

mar el fluido conservando el volumen). As ı́ pues, un fluido que está en reposo (v̄ = 0) respectoa un cierto sistema de referencia no puede soportar esfuerzos cortantes, o de cizalladura. En

consecuencia, el esfuerzo sobre cualquier plano en un fluido en reposo es siempre perpendicu-

lar a dicho plano. A continuación demostraremos que todos los esfuerzos normales que actúan

sobre un punto de un fluido en reposo son, de hecho, idénticos, es decir, independientes de la

orientación del plano considerado. A este valor único del esfuerzo normal sobre cualquier planoque pasa por un punto de un fluido en reposo se le denomina presión.

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pn

dx

θ px

dz

dy

ds

pz

θ

x

z

dW

y

Figura 2.4: Equilibrio de una pequeña cuña de fluido en reposo

2.3.1 Presión en un punto: Principio de Pascal

En lafigura 2.4 se muestra un pequeño elemento de un sistema fluido en reposo de aristas dx,dz , ds y anchura dy perpendicular al papel. Supongamos que los esfuerzos normales sobre cadasuperficie son constantes, por ser las superficies muy pequeñas, aunque en principio podrı́an

ser distintos entre sı́ por tener las superficies distinta orientación. Denominemos px, pz y pn a

los esfuerzos normales en las superficies vertical, horizontal y oblicua, respectivamente. Si elelemento fluido está en reposo, la resultante de las fuerzas en las direcciones x y z , incluyendoel peso del volumen de fluido dW = ρg 1

2dxdydz ēz , debe ser nula

F x = pxdydz − pndyds sin θ = 0 (2.12)F z = pzdydx − pndyds cos θ − ρg 1

2dydxdz = 0 (2.13)

donde θ representa el ángulo que la superficie oblicua forma con la horizontal. Nótese que lasimetrı́a del problema garantiza el equilibrio de fuerzas en la dirección y . Utilizando en estas

ecuaciones las relaciones trigonométricas ds sin θ = dz y ds cos θ = dx se puede escribir

px = pn, pz = pn + 1

2ρgdz. (2.14)

En consecuencia, del hecho de que un fluido en reposo no puede soportar esfuerzos tangenciales

se deduce que en un fluido en reposo no hay variación de presión en la dirección horizontal,

y que la variación de presión en la dirección vertical depende de la densidad, la gravedad

y la diferencia de alturas.

Imaginemos ahora que reducimos el tamaño del elemento manteniendo su forma (es decir,

sin modificar el ángulo θ) hasta convertirlo en un punto tomando el l ı́mite dz → 0. En ese casolas ecuaciones (2.14) adoptan la forma simpli

ficada

px = pz = pn ≡ p, (2.15)

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de donde se extrae una nueva conclusión: en un fluido en reposo la presión que actúa sobre

cualquier plano que pasa por un punto del fluido es independiente de la orientación de

dicho plano.

En resumen, cuando un fl

uido está en reposo en un cierto sistema de referencia las fuerzasde superficie actúan siempre en la dirección normal y su magnitud no depende de la dirección,

pudiendo en general expresarse como

f̄ n = − p(x̄, t)n̄, (2.16)donde la variable p es la presión, que está relacionada con las demás variables termodinámicas através de las ecuaciones de estado, tal y como se comentó al introducir la hipótesis de equilibrio

termodinámico local. Nótese que de acuerdo con la tercera ley de Newton, o ley de acción y

reacción, el esfuerzo debe cambiar de signo al cambiar la orientación de la superficie, lo que

efectivamente ocurre en (2.16) al cambiar n̄ por −n̄.Finalmente, sustituyendo la expresión (2.16) para el esfuerzo normal en (2.10) podemoscalcular la resultante de las fuerzas de presión sobre una superficie Σ de orientación normal n̄

contenida en un fluido en reposo

F̄ p = − Σ

p(x̄, t)n̄dσ. (2.17)

De acuerdo con la expresión anterior, para poder evaluar la resultante de las fuerzas de presión

es necesario conocer la distribución de presiones en todos los puntos de la superficie Σ. Ladeterminación del campo de presiones constituye por tanto una de las tareas más importantes

dentro del estudio de la fluidostática como paso previo al cálculo de fuerzas sobre superficies

sumergidas.

2.3.2 Resultante de las fuerzas de presión sobre una partı́cula fluida

De acuerdo con la discusión del apartado anterior, el valor de la presión en un punto de un

fluido en reposo no depende de la orientación. En este apartado veremos que esto implica que

la presión no produce fuerza resultante alguna sobre una part ı́cula fluida a menos que existan

variaciones espaciales de presión. En la figura 2.5 se representa un elemento fluido de tamaño

infinitesimal dxdydz . Supongamos que en un instante dado el fluido está sometido a una dis-tribución de presión p = p(x̄, t) que varı́a espacialmente de forma arbitraria. Podemos calcularla fuerza resultante que ejerce esta distribución de presión sobre las superficies que encierran el

elemento fluido. Ası́, la presión que actúa sobre la cara izquierda del elemento fluido ejerce unafuerza p(x , y, z, t)dydz en dirección x mientras que la que actúa sobre la cara derecha ejerceuna fuerza p(x + dx , y, z, t)dydz en dirección −x. En las direcciones y y z ocurre exactamentelo mismo. Utilizando entonces el desarrollo en serie de Taylor para escribir

p(x + dx , y, z, t) = p(x , y, z, t) + ∂p

∂xdx (2.18)

se obtiene la componente según x de la resultante de las fuerzas de presión

dF p,x = p dydz −

p + ∂p

∂xdx

dydz = −∂p

∂xdxdydz (2.19)

existiendo expresiones análogas para las componentes según y y z . En resumen, tenemos

d F̄ p = dF p,xēx + dF p,yēy + dF p,zēz = −∇ p dxdydz (2.20)

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2.4. DISTRIBUCI ´ ON DE PRESIONES EN UN FLUIDO EN REPOSO

p(x, t) p(x + dx, t)

dx

dz

dy

x

z

y

Figura 2.5: Fuerza resultante según x sobre un elemento fluido debida a las variaciones espaciales depresión.

donde ∇ p = ∂p∂x

ēx + ∂p

∂yēy +

∂p

∂z ēz (2.21)

representa el vector gradiente de presión. Sin más que dividir ahora por el volumen del ele-

mento fluido, dV = dxdydz , se obtiene la resultante de las fuerzas de presión por unidadde volumen

d F̄ pdV

= −∇ p (2.22)que viene dada por el gradiente de presión cambiado de signo. Como puede observarse, no es

el valor absoluto de la presión, sino las variaciones espaciales de presión las que originan

una fuerza neta sobre el elemento fluido. Esto permite concluir que en ausencia de variaciones

espaciales de presión la fuerza neta será nula. O dicho de otra forma, la fuerza neta que ejerce

una distribución de presión constante sobre la partı́cula fluida es cero.

2.4 Distribución de presiones en un fluido en reposo

La presión en un fluido está en general representada por un campo escalar, p(x̄, t), funciónde la posición y del tiempo. En lo que sigue, sin embargo, consideraremos por sencillez que el

campo de presión y las fuerzas másicas que lo generan no dependen del tiempo, como suele

ocurrir en la mayorı́a de las aplicaciones de interés.

2.4.1 Ecuación general de la fluidostática

La ecuación fundamental de la fluidostática en forma integral se obtiene al establecer la

condición de equilibrio estático (2.1) para una cierta región de fluido como la que se muestra en

la figura 2.1. Escribiendo la resultante de las fuerzas exteriores como la resultante de las fuerzas

de presión más la resultante de las fuerzas másicas, tenemos

F̄ ext = F̄ p + F̄ m = −

Σ

p(x̄, t)n̄dσ +

V

ρf̄ mdV = 0 (2.23)

donde se han utilizado las Ecs. (2.4) y (2.17) para expresar F̄ m y F̄ p como integrales extendidasal volumen considerado, V , y a la superficie que lo delimita, Σ, respectivamente. Esta ecuación

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establece que la resultante de las fuerzas de presión sobre la superficie Σ debe estar en equilibriocon la resultante de las fuerzas másicas que actúa sobre el volumen de fluido V .

La ecuación general de la fluidostática también se puede escribir en forma diferencial si

se aplica la condición de equilibrio estático (2.23) a un elemento fl

uido de tamaño infi

nitesimaldxdydz como el que se muestra en la figura 2.5. Como hemos visto más arriba, sobre dichoelemento fluido en reposo actúan dos tipos de fuerzas: las fuerzas de superficie y las fuerzas

másicas, entre las que se encuentran la fuerza de gravedad y las fuerzas de inercia (si elegimos

un sistema de referencia no inercial para describir matemáticamente nuestro problema). En el

equilibrio, la resultante de estas fuerzas sobre el elemento fluido de la figura 2.5 debe ser nula,

es decir

d F̄ p + d F̄ m = −∇ p dxdydz + ρf̄ mdxdydz = 0 (2.24)donde hemos hecho uso de (2.3) y (2.20) para escribir los diferenciales de fuerzas másicas y de

presión como se indica en (2.24). Dividiendo la ecuación anterior por el volumen del elemento

fluido se obtiene la ecuación general de la

fluidostática

− ∇ p + ρf̄ m = 0 (2.25)

2.4.2 Condición de compatibilidad para las fuerzas másicas

Tomando el rotacional de la ecuación (2.25) y teniendo en cuenta que ∇ ∧ (∇ p) = 0 entodo el campo fluido sea cual sea el campo de presión,1 se obtiene la siguiente condición de

compatibilidad para el vector de fuerzas másicas

∇ ∧ (ρf̄ m) = 0 (2.26)

que debe cumplirse si queremos que elfl

uido esté en reposo. O dicho de otro modo, si las fuerzasmásicas no satisfacen esta condición, no es posible que el fluido permanezca en reposo. En par-

ticular, es fácil comprobar que la condición de compatibilidad (2.26) se verifica idénticamente

en los siguientes casos:

• Fuerza gravitatoria f̄ m = −gēz con ρ = ρ(z ).• Fuerza de inercia f̄ m = −ā0 debida a la traslación del origen del sistema de referencia.• Fuerza de inercia f̄ m = −Ω̄ ∧ (Ω̄ ∧ x̄) debida a la rotación del sistema de referencia.

Tambiénesfácil comprobar que, en el caso de lı́quidos(ρ = cte), la fuerza de inercia ρ dΩ̄/dt∧x̄debida a la aceleración angular del sistema de referencia no cumple la relación (2.26) y, por

tanto, no es compatible con el reposo del fluido.En resumen, teniendo en cuenta la forma del vector de fuerzas másicas f̄ m dada por las

ecuaciones (2.6) y (2.7), e ignorando en esta última el término debido a la aceleración angular

del sistema de referencia, la ecuación (2.25) toma la forma

−∇ p + ρḡ = 0 sistema de referencia inercial (2.27)−∇ p + ρ [ḡ − āo − Ω̄ ∧ (Ω̄ ∧ x̄)] = 0 sistema de referencia no inercial (2.28)

1Resulta sencillo comprobar este resultado utilizando un sistema de coordenadas cartesiano rectangular

∇ ∧(∇

p) = ēx ēy ēz∂ ∂x

∂ ∂y

∂ ∂z

∂p∂x

∂p∂y

∂p∂z = ∂ ∂y

∂p

∂z − ∂

∂z

∂p

∂y ēx + ∂

∂z

∂p

∂x − ∂

∂x

∂p

∂z ēy + ∂

∂x

∂p

∂y − ∂

∂y

∂p

∂x ēz = 0donde la última igualdad es consecuencia de la igualdad de las derivadas cruzadas de la presión.

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2.4.3 Isobaras

Dado que el gradiente de presión ∇ p es, por definición de gradiente de una función escalar,perpendicular en todos los puntos a las superficies de presión constante, o isobaras, y teniendo

en cuenta que la Ec. (2.25) muestra que ∇ p tiene la dirección del vector fuerzas másicas f̄ m, sepuede concluir que las isobaras son superficies perpendiculares en todo punto al vector fuerzas

másicas f̄ m.

2.4.4 Ejemplos de interés práctico

A continuación se obtiene la distribución de presiones mediante integración de la ecuación

fundamental de la fluidostática en forma diferencial y se discute la forma de las isobaras en

varios ejemplos de interés práctico.

Lı́quido en reposo sometido a la acción de la gravedad En primer lugar consideraremos unlı́quidoque permanece en reposo sometido a la acción de la gravedad como única fuerza másica.

En este caso, en cualquier punto del fluido la resultante de las fuerzas másicas viene dada por

f̄ m = ḡ = −gēz. Por estar alineada con la gravedad, la normal a las superficies de presiónconstante será vertical en todos los puntos del fluido, luego las isobaras son planos horizontales.

Este razonamiento cualitativo se puede formalizar matemáticamente utilizando la ecuación

general de la fluidostática (2.25). Por ser la resultante de las fuerzas másicas nula en las direc-

ciones x e y tenemos∂p

∂x =

∂p

∂y = 0 → p = p(z ) (2.29)

luego la presión es sólo función de la coordenada vertical, z . En esta dirección, la condición deequilibrio toma la forma

− dpdz

− ρg = 0 (2.30)cuya integración proporciona

p + ρgz = cte (2.31)

Ası́ pues, las isobaras p = cte se reducen en este caso a superficies z = cte, esto es, planoshorizontales, como habı́amos anticipado con el razonamiento cualitativo.

Lı́quido en reposo sometido a la acción de la gravedad y una aceleración lineal uniforme

Consideraremos el mismo caso del apartado anterior, pero suponiendo ahora que el lı́quido se

encuentra en reposo respecto a un sistema de referencia no inercial que sufre una aceleración

lineal a0ēx constante según x. Para estudiar el equilibrio del l ı́quido en dicho sistema de refe-rencia es preciso añadir una fuerza de inercia constante −ρa0ēx al vector de fuerzas másicas,que ahora tiene la forma f̄ m = −gēz − a0ēx. Este vector es constante en todo el espacio, por loque concluimos que las isobaras son planos perpendiculares al mismo, al igual que sucedı́a en

el caso anterior.

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En efecto, integrando la ecuación general de la fluidostática

−∂p∂y

= 0 → p = p(x, z ) (2.32)

−∂p∂x

− ρa0 = 0 → p + ρa0x = C 1(z ) + cte (2.33)

−∂p∂z

− ρg = 0 → p + ρgz = C 2(x) + cte (2.34)

de donde se obtiene

p + ρ(gz + a0x) = cte (2.35)

Por tanto, las isobaras p = cte son en este caso planos, dados por la ecuación implı́cita gz +a0x = cte, que están inclinados un ángulo α = arctg(a0/g) respecto a la horizontal.

Lı́quido contenido en un recipiente cil ı́ndrico que gira con velocidad angular constante

y sometido a la acción de la gravedad En este caso consideramos el recipiente cilı́ndrico

cerrado de la figura 2.6. Supondremos que el recipiente, de radio R, está parcialmente llenode lı́quido hasta una altura H 0, estando el resto del volumen ocupado por un gas. Se trata deestudiar la distribución de presiones que aparece en presencia de la gravedad cuando el depósito

se pone a girar alrededor de su eje de simetrı́a con velocidad angular constante Ω.Para la descripción del problema conviene utilizar un sistema de referencia no inercial gi-

rando con el depósito, respecto al cual los fluidos se encuentran en reposo. Elegimos arbitraria-

mente el origen del sistema de referencia en el punto de la entrefase agua-aire situado en el eje

de giro, con el eje z orientado en la dirección de la vertical local, de manera que Ω̄ = Ωēz . Con-

viene observar que la posición del origen del sistema de referencia es, en principio, desconociday deberá obtenerse como parte de la solución del problema.

En dicho sistema de referencia, la resultante de las fuerzas másicas f̄ m incluye tanto lagravedad −gēz como la fuerza centrı́fuga de inercia

− Ω̄ ∧ (Ω̄ ∧ x̄) = −Ωēz ∧ēx ēy ēz0 0 Ωx y z

= −Ωēz ∧ (−Ωyēx + Ωxēy)=

ēx ēy ēz0 0

−Ω

−Ωy Ωx z = Ω2(xēx + yēy) = Ω

2rēr (2.36)

donde r es la distancia del punto considerado al eje de giro y ēr es el vector unitario en direcciónradial, como se indica en la figura 2.6.

La Ec. (2.36) muestra que la fuerza centrı́fuga tiene dirección radial y crece linealmente con

la distancia r al eje de giro. Ası́ pues, la resultante de las fuerzas másicas en un punto genéricodel lı́quido depende ahora de la posición del punto considerado. Por ejemplo, a lo largo del

eje de giro, r = 0, el término de fuerza centrı́fuga se anula y el vector de fuerzas másicas sereduce a la aceleración de la gravedad, luego las isobaras son localmente horizontales. Por el

contrario, si consideramos puntos a distancias crecientes del eje, la fuerza centr ı́fuga aumenta

con r y con ella cambia la fuerza másica neta aplicada sobre cada punto, tanto en direccióncomo en módulo.

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H 0

gas

ĺıquido

(a) (b)

r

f̄ m

z

0

ḡ pa

Ω̄ = Ωk̄

f̄ m

H

F (r)

f̄ m−gk̄

Ω2rēr

Figura 2.6: Recipiente cilı́ndrico parcialmente lleno de un lı́quido de densidad ρ, con el resto del volu-men ocupado por un gas ideal: (a) en reposo; (b) girando con velocidad Ω̄ = Ωēz alrededor del eje del

cilindro.

Podemos anticipar, por tanto, que las isobaras serán superficies de revolución que formarán

un ángulo creciente con la horizontal a medida que nos alejemos del eje de giro, y con pendiente

nula en el propio eje. En efecto, si integramos la ecuación fundamental de la fluidostática

−∂p∂x

+ ρΩ2x = 0 → p − ρΩ2x2

2 = C 1(y, z ) + cte (2.37)

−∂p∂y

+ ρΩ2y = 0 → p − ρΩ2y2

2 = C 2(x, z ) + cte (2.38)

−∂p∂z

− ρg = 0 → p + ρgz = C 3(x, y) + cte (2.39)

obtenemos

p + ρ

gz − Ω

2r2

2

= cte (2.40)

donde r = (x2 + y2)1/2 es la distancia al eje del cilindro. Por tanto, las isobaras p = cte son, eneste caso, paraboloides de revolución de la forma z − Ω2r2/(2g) = cte.

Para evaluar el valor de la constante de integración que aparece en (2.40) particularizamos

el lado izquierdo de la ecuación en el origen del sistema de referencia, r = z = 0, donde lapresión debe ser la presión atmosférica, pa, lo que permite escribir para la fase lı́quida

p = pa − ρg

z − Ω2r2

2g

. (2.41)

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2.5. FLUIDOST ´ ATICA DE L ́ IQUIDOS: APLICACIONES A LA MEDIDA DE PRESI ´ ON

A lo largo de la superficie de separación entre los dos fluidos, z s = F (r), la presión ha deser igual en el lı́quido y el gas, con lo que se debe verificar F (r) = Ω2r2/(2g). Nótese que laexpresión que representa la forma de la entrefase l ı́quido-gas coincide con la de las isobaras,

pues la entrefase l´ıquido-gas se encuentra a presión constante, p = pa. Tal y como puede verse,la forma de ficha entrefase resulta ser independiente de los valores de ρ y pa.

Finalmente, conocida la forma de la entrefase lı́quido-gasestamos en disposición de calcular

la posición del origen del sistema de referencia, cuya elevación H sobre el fondo del depósito sepuede calcular imponiendo la conservación del volumen de l ı́quido entre la condición de reposo

(a) y la condición de giro (b) indicadas en la figura 2.6

πR2H 0 = πR2H +

R0

2πrF (r)dr (2.42)

La solución del problema queda ası́ completamente determinada. Se deja al lector calcular la

velocidad de giro a la cual la entrefase alcanza el borde del vaso si la altura de este es H v.¿Qué ocurrirı́a a velocidades de giro mayores?

2.5 Fluidostática de lı́quidos: Aplicaciones a la medida de

presión

2.5.1 El barómetro de mercurio

La aplicación práctica más sencilla de la ecuación general de la hidrostática es el barómetro

de mercurio, un instrumento que sirve para medir la presión atmosférica. Se puede construir un

barómetro llenando con mercurio un tubo cerrado por uno de sus extremos, dándole la vueltay sumergiendo el extremo abierto en un recipiente lleno de mercurio, como se indica en la

figura 2.7. Esto produce un vac ı́o en la parte superior del tubo, dado que la presión de vapor

del mercurio a la temperatura ambiente es muy pequeña ( pvap,Hg = 0,16 Pa a 20 oC). Al estar

la superficie superior del mercurio a presión nula, la presión atmosférica fuerza a la columna

de mercurio a elevarse hasta una altura h 760 mm, de modo que el peso de la columna delı́quido compensa exactamente el efecto de la presión atmosférica.

La ecuación general de la fluidostatica aplicada al mercurio toma la forma

p + ρHggz = C ≡ p2 + ρHggz 2 = pvap,Hg + ρHggh (2.43)

donde ρHg = 13545 kg/m3 es la densidad del mercurio, g = 9,81 m/s2 la aceleración de lagravedad, y la constante de integración se ha evaluado en la superficie libre dentro del tubo

(punto 2), donde p2 = pvap,Hg es la presión de vapor del mercurio y z 2 = h la altura de lacolumna de lı́quido. Particularizando ahora el lado izquierdo de (2.43) en la superficie libre del

recipiente (punto 1) se obtiene una expresión explı́cita para la presión atmosférica

p1 + ρHggz 1 = pvap,Hg + ρHggh → pa ρHggh 101325 Pa = 1 atm (2.44)donde hemos sustituido p1 = pa, z 1 = 0 y hemos despreciado la contribución de la presión devapor del mercurio, por ser mucho menor que pa.

En los barómetros se utiliza el mercurio por ser el lı́quido común más denso que existe; un

barómetro de agua requerirı́a una columna de altura

hagua paρagua g

= 10,3 m (2.45)

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Hg

p1, z1

p2, z2

pa

z

h

vaćıo

Figura 2.7: Representación esquemática de un barómetro de mercurio.

En 1643 el f́ısico y matemático italiano Evangelista Torricelli descubrió el principio del baróme-

tro, por el que pasó a la posteridad, demostrando as ı́ la existencia de la presión atmosférica. Este

principio fue confirmado posteriormente por Pascal realizando mediciones a distintas alturas.

Como hemos visto, el principio de operación del barómetro de mercurio establece que el

peso de una columna de mercurio de h = 760 mm es el mismo que el de la columna de airesituada en la vertical de un cierto punto a nivel del mar. Esto permite estimar la masa total del

aire contenido en la atmósfera como la masa de una delgada cáscara esférica de mercurio que

cubriera toda la superficie terrestre. Conocido el radio de la Tierra, R⊕ = 6371 km, la masatotal de la atmósfera calculada mediante este método aproximado serı́a

matm = mHg = ρHg4πR2⊕h = 13600 · 4 · π · (6371 · 103)2 · 0,76 = 5,27 · 1018 kg (2.46)En realidad, la presencia de tierra firme sobre las plataformas continentales resta volumen a la

atmósfera, cuya masa real es en consecuencia algo menor, alrededor de 5,15 · 1018 kg. Convienehacer notar que esta masa constituye alrededor de 1/275 veces la masa total de los océanos, o

una millonésima parte de la masa de la tierra.

2.5.2 El manómetro en U abierto

Un manómetro es un instrumento de medición que sirve para medir la presión de un fluido

contenido en un recipiente cerrado. Los manómetros basados en columna l´ıquida emplean un

lı́quido manométrico, generalmente mercurio, que llena parcialmente un tubo en forma de U

como se observa en la figura 2.8. Cuando uno de los extremos se conecta a una cámara presuri-

zada, el mercurio se eleva en el tubo abierto hasta que se alcanza el equilibrio. La diferencia hentre los dos niveles de mercurio es una medida de la presión manométrica: la diferencia entre

la presión absoluta en la cámara y la presión atmosférica en el extremo abierto.

La ecuación general de la fluidostática aplicada al fluido contenido en la cámara, A, y al

fluido manométrico, B, toma la forma

p + ρAgz = C A ≡ p1 + ρAgz 1 (2.47) p + ρBgz = C B

≡ pa + ρBgz 2 (2.48)

donde la constante de integración del fluido B se ha evaluado en la superficie libre del tubo

abierto a la atmósfera, donde p = p2 ≡ pa y z = z 2, y la constante del fluido A se ha evaluado

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de la derecha hasta que se alcanza el equilibrio. En el equilibrio, la diferencia h entre los nivelesde mercurio en las dos ramas del manómetro es una medida de la diferencia de presión entre

ambos puntos.

B

p1, z1

p2, z2

z

h

A

A

dispositivode flujo

I II

Figura 2.9: Representación esquemática de un manómetro en U diferencial.

La ecuación general de la fluidostática aplicada al fluido A en reposo contenido en las ramas

izquierda y derecha del manómetro toma la forma

p + ρAgz = C A1 ≡ p1 + ρAgz 1 (A rama izquierda) (2.52)

p + ρAgz = C A2 ≡ p2 + ρAgz 2 (A rama derecha) (2.53)mientras que para el fluido manométrico tenemos

p + ρBgz = C B ≡ p2 + ρBgz 2 (B) (2.54)donde las constantes se han evaluado en las entrefases A-B izquierda, Ec. (2.52), y derecha,

Ecs. (2.53) y (2.54). Restando ahora la Ec. (2.52) particularizada en I de la Ec. (2.53) particula-

rizada en II

pI +ρAgz I = p1 + ρAgz 1

− pII+ρAgz II= p2 + ρAgz 2↓

( pI + ρAgz I) − ( pII + ρAgz II) = ( p1 − p2) + ρAg(z 1 − z 2) (2.55)y utilizando la Ec. (2.54) particularizada en 1 para expresar la diferencia de presiones p1 − p2en la forma

p1 − p2 = ρBg(z 2 − z 1) (2.56)se obtiene finalmente

( pI + ρAgz I)

−( pII + ρAgz II) = (ρB

−ρA)g(z 2

−z 1) = (ρB

−ρA)gh (2.57)

ecuación que liga las presiones y alturas en las secciones I y II aguas arriba y aguas abajo

del dispositivo de flujo con la diferencia de densidad entre el fluido manométrico y el fluido de

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2.6. FLUIDOST ´ ATICA DE GASES: ATM ´ OSFERA EST ´ ANDAR

trabajo, ρB−ρA, y la diferencia h entre los niveles de mercurio en las dos ramas del manómetro.Obsérvese que, de acuerdo con la Ec. (2.57), la sensibilidad del manómetro será tanto mayor

cuanto menor sea la diferencia ρB − ρA entre la densidad del fluido manométrico y el fluido detrabajo.

La ecuación anterior puede simplificarse aún más en dos casos de interés práctico. Si el

conducto es horizontal tenemos z I = z II y la Ec. (2.57) se reduce a

pI − pII = (ρB − ρA)gh (conducto horizontal) (2.58)

mientras que si el fluido de trabajo es un gas podemos despreciar todos los términos que con-

tengan la densidad del gas por ser ρA ρB y escribir directamente pI − pII ρBgh (A es un gas) (2.59)

Nótese que en este último caso la posible diferencia de altura entre los puntos I y II deja de

afectar al resultado, pues va multiplicada por ρAg y su efecto resulta por tanto despreciable.

2.5.4 Presión absoluta, manométrica y de vacı́o

La medida de la presión en un fluido puede hacerse relativa a un nivel de presión nula, en

cuyo caso se denomina presión absoluta, o relativa a la presión atmosférica local, como ocurre

si se utiliza el manómetro abierto, y se habla en este segundo caso de presión manométrica, si

la presión local es mayor que la atmosférica, o de presión de vacı́o, si la presión local es menor

que la atmosférica. Es decir,

presión absoluta ppresión manométrica p = pman = p − pa cuando p > papresión de vacı́o pvac = pa − p cuando p < pa

Insistimos en que la presión manométrica y de vacı́o están referidas a la presión atmosf ́erica

local, que no tiene por que coincidir con la presión atmosférica a nivel del mar en condiciones

estándar (1 atm = 101325 Pa). Por ejemplo, si una medida de presión se realiza en un lugar y

momento en que la presión atmosférica es de pa = 90000 Pa (porque, por ejemplo, estamosa cierta altura sobre el nivel del mar, o la medida se realiza en un d ı́a de bajas presiones) y se

obtiene una medida de p = 120000 Pa, la presión manométrica será en este caso de pman =

p − pa = 30000 Pa.

2.6 Fluidostática de gases: Distribución de presiones en la

atmósfera estándar

La ecuación general de la fluidostática (2.25) aplicada a un gas perfecto en reposo en un

sistema de referencia inercial toma la forma

− ∇ p + ρḡ = −∇ p + pRgT

ḡ = 0, (2.60)

donde se ha utilizado la ecuación de estado de los gases perfectos ( p = ρRgT ) para tener encuenta las variaciones de densidad debidas a los cambios de presión o temperatura. Por ser la

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2.6. FLUIDOST ´ ATICA DE GASES: ATM ´ OSFERA EST ´ ANDAR

gravedad ḡ = −gēz la única fuerza másica, podemos escribir∂p

∂x =

∂p

∂y = 0 → p = p(z ) → −d p

dz − p

RgT g = 0, (2.61)

o biend p

p +

g

RgT dz = 0, (2.62)

ecuación que relaciona la variaciones de presión, p, con las variaciones de altura, z , en ungas perfecto sometido a la acción de la gravedad. En la ecuación anterior, la aceleración de la

gravedad g y la constante del gas Rg toman valores fi jos, mientras que la temperatura podrı́a,en principio, variar con la altura. Ası́ pues, antes de integrar la Ec. (2.62) es preciso especificar

la ley T = T (z ).

2.6.1 Atmósfera isoterma

Si suponemos que la temperatura es constante, T = T 0, como ocurre, por ejemplo, en laatmósfera terrestre cerca de la superficie, podemos integrar la Ec. (2.62)

Apuntes de Ingenieria Fluidomecanica

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