Apuntes de teoría de circuitos

CIRCUITOS ELCTRICOS SERIE, PARALELO Y MIXTO: CLCULO DE MAGNITUDES. 1.- INTRODUCCIN. 2.- LEYES DE KIRCHOFF. 2.1.- CONCEPTOS Y DEFINICIONES PREVIAS. 2.2.- PRIMERA LEY DE KIRCHOFF. 2.3.- SEGUNDA LEY DE KIRCHOFF. 2.4.- ANLISIS DE UNA RED POR KIRCHOFF. 3.- ANLISIS DE CIRCUITOS EN CORRIENTE CONTNUA. 3.1.- CONEXIN DE RESISTENCIAS EN SERIE (DIVISOR DE TENSIN). 3.2.- CONEXIN DE RESISTENCIAS EN PARALELO (DIVISOR DE INTENSIDAD). 3.3.- CIRCUITOS MIXTOS. 3.4.- CONVERSIN TRINGULO-ESTRELLA. 3.5.- CONVERSIN ESTRELLA-TRINGULO. 4.- OTROS MTODOS DE ANLISIS. 4.1.- ECUACIONES DE MALLAS O DE MAXWELL. 4.2.- ECUACIONES DE NUDOS. 4.3.- TEOREMA DE SUPERPOSICIN. 4.4.- TEOREMAS DE THVENIN Y NORTON.

5.- BIBLIOGRAFA.

David Sornosa Cervera

1

1.- INTRODUCCIN. En el tema anterior se trataron los fenmenos, leyes y magnitudes fundamentales de los circuitos elctricos, pero no se profundiz en los circuitos en s mismos. Este tema est centrado en el estudio general de los circuitos elctricos; dicho estudio corresponde a lo que se conoce como teora de circuitos. Es importante conocer diversos mtodos de anlisis porque las mismas leyes y teoremas sirven para cualquier tipo de circuito, ya sean redes elctricas, o circuitos electrnicos. Por tanto este tema trata del estudio matemtico de una serie de leyes y teoremas, lo que nos proporciona unas herramientas de clculo muy potentes, slo limitadas, obviamente, por la exactitud del modelo de nuestro circuito. 2.- LEYES DE KIRCHHOFF. 2.1.- CONCEPTOS Y DEFINICIONES PREVIAS. Para comprender las leyes de Kirchhoff y los posteriores anlisis que de ellas se derivan, es preciso clarificar una serie de conceptos. En un circuito elctrico tenemos dos tipos de elementos, activos y pasivos. Los elementos activos son los generadores de tensin y los generadores de intensidad, ya sean de corriente continua o alterna. Los elementos pasivos son resistencias, bobinas y condensadores, y a todos les suponemos los parmetros concentrados en un valor determinado, y los cables y las uniones de los componentes se consideran ideales, por tanto de resistencia nula. Las leyes que rigen estos componentes son: v(t ) i (t ) di (t ) Para las inductancias o bobinas: v L (t ) = L dt Para las resistencias, la ley de Ohm: R =Para las capacidades o condensadores: ic (t ) = C integrando: vc (t ) = 1 ic (t )dt C dvc (t ) dt

[1][2][3], [4]

Nudo: Punto de un circuito donde se unen ms de dos conductores. Rama: Conjunto de elementos entre cualesquiera dos nudos consecutivos. Malla: Conjunto de ramas que forman un recorrido cerrado, y sin pasar dos veces por el mismo punto.

As pues, la figura 1 representa un circuito donde nicamente existen dos tipos de elementos, generadores de tensin de corriente continua y resistencias, y de momento servir para ilustrar las definiciones.


2

Figura 1A R4 R5

E1

E2

E3

R1

R2

R3

B

Se observa que hay 2 nudos, A y B, tres ramas, por la izquierda, por el centro y por la derecha, y 3 mallas, una que recorre las ramas central e izquierda, otra que recorre las ramas central y derecha, y por ltimo la que recorre las ramas izquierda y derecha.

2.2.- PRIMERA LEY DE KIRCHHOFF.Tambin conocida como ley de las corrientes, su enunciado dice as: La suma de las intensidades que entran en un nudo es igual a la suma de las intensidades que salen del mismo, consideradas todas ellas en el mismo instante de tiempo. Matemticamente, se puede expresar de dos formas anlogas:

I I

j i

(entrantes ) = I k ( salientes ) =0

[6] [7]

La ecuacin [7] tiene sentido si consideramos que, o bien todas las intensidades entran al nudo, o bien todas salen, en cuyo caso, dado que esto es fsicamente imposible segn la primera ley de Kirhhoff, quiere decir que algunas intensidades tienen signo negativo.

2.3.- SEGUNDA LEY DE KIRCHHOFF.Tambin conocida como ley de las tensiones, su enunciado dice: La suma algebraica de las tensiones a lo largo de una malla es cero. En la bibliografa se pueden encontrar otras definiciones pero sta es la ms completa Obviamente, para que hayan tensiones elctricas en un circuito, tendr que tener como mnimo un generador (ya sea de tensin o de corriente), pero una malla cualquiera elegida al azar, no tiene porque tener ningn generador, y sin embargo, s haber tensin en los elementos pasivos que la formen. Matemticamente, se expresa:

V

i

=0

[8]

2.4.- ANLISIS DE UNA RED POR KIRCHHOFF.Lo primero que hay que hacer, es saber cuantas ecuaciones hay que plantear con cada una de las leyes de Kirchhoff. Para la primera ley:


3

N1 = n 1

[9]

Donde N1 es el nmero de ecuaciones necesarias de la primera ley, y n el nmero de nudos. Y para la segunda ley: N2 = r (n 1) [10]

Donde N2 es el nmero de ecuaciones necesarias de la segunda ley, y r el nmero de ramas. Por tanto para un circuito determinado hay que plantear N1 + N2 ecuaciones. Para plantear las ecuaciones de los nudos, se sitan sobre el circuito las intensidades (una por cada rama) y se les asigna un sentido arbitrario. Despus, se plantea una ecuacin para cada nudo menos uno, tal como indica la ecuacin [9]. A la figura 1, le aadimos las intensidades para aplicarle la primera ley, esto se muestra en la figura 2. Si seleccionamos el nudo A para aplicar la ley, obtenemos la ecuacin: I1 = I2 + I3 bien, I1 I2 I3 = 0 Previamente a plantear la segunda ley de Kirchhoff, hay que poner las polaridades de las tensiones del circuito. Para ello, hay que recordar el criterio signos, ya que los elementos activos o generadores, indican en el smbolo su polaridad, pero en los elementos pasivos, hay que recordar que su cada de tensin viene indicada por el sentido en que son recorridos por la intensidad, estando el positivo en el punto por donde entra la intensidad al elemento. En la figura 3, se han sealado las polaridades de todos los elementos.I1 A R4 R5 R4 I2 I1 A R5 I2

E1

E2 I3

E3

E1

E2 I3

E3

R1

R2

R3

R1

R2

R3

B

B

Figura 2

Figura 3

Una vez hecho esto, vamos a plantear las ecuaciones, segn la ecuacin [10], el nmero de mallas a analizar ha de ser: 3 (2 1) = 2 . Empezamos por ejemplo por la malla interior izquierda del circuito. Elegimos un punto para empezar a recorrer la malla, y un sentido. Por ejemplo el punto A, y el sentido de las agujas del reloj. Entonces, hay que anotar con signo positivo las tensiones que, en sentido horario, vayan de negativo a positivo, y con signo negativo las contrarias. Una vez hecho esto aplicamos lo mismo para la malla que hay a la derecha, y las ecuaciones que resultan son: David Sornosa Cervera 4

Para la malla de la izquierda: E2 R2I3 R1I1 + E1 R4I1 = 0 Para la malla de la derecha: R5I2 E3 R3I2 + R2I3 E2 = 0

Se observa que cuando el elemento es una fuente de tensin, directamente conocemos su tensin, ahora bien, en los elementos pasivos, la tensin es una funcin de la intensidad, por tanto aplicaremos las ecuaciones [1], [2] [4] segn se trate de una resistencia, una bobina o un condensador, respectivamente. Por tanto el sistema de ecuaciones que resulta del anlisis del circuito por las leyes de Kirchhoff es: I1 I2 I3 = 0 E2 R2I3 R1I1 + E1 R4I1 = 0 R5I2 E3 R3I2 + R2I3 E2 = 0 Donde las incgnitas son las intensidades, y se suponen conocidos los parmetros de las resistencias y los valores de las fuentes de tensin. Al ser un sistema de 3 ecuaciones con 3 incgnitas tiene solucin matemtica. Los valores de intensidad que se obtengan pueden ser positivos o negativos, en caso de que sean negativos, simplemente quiere decir que el sentido verdadero es el contrario al que se haba asignado inicialmente. Si tuviramos alguna fuente de intensidad en el circuito, por ejemplo que en lugar del generador de tensin E3 fuera una fuente de intensidad de valor IG (figura 4), no habra que cambiar ninguna ecuacin, sino que habra un cambio en las incgnitas, en este caso I2 dejara de ser incgnita y sera directamente el valor de la fuente de intensidad pero con signo contrario, como se aprecia en el circuito, y E3 de ser un valor conocido pasara a ser una incgnita.I1 A R4 E1 E2 I3 R1 R2 R3 R5 E3 IG I2

B

Figura 4 Cabe sealar que, de la misma forma que las fuentes de tensin proporcionan la intensidad necesaria para mantener la tensin que corresponda, las fuentes de intensidad proporcionan la tensin necesaria para mantener su intensidad correspondiente. Para comprender lo expuesto vase la figura 5.


5

E1

R1

EG IG

R2

Figura 5 Por ejemplo, el generador E1 es de 5 V, entonces en funcin de la carga que soporta proporciona una intensidad u otra. Dado que la carga es una resistencia, aplicando la Ley de Ohm (I = V / R), se deduce que para una carga de 1 , el generador proporciona 5 A, para una carga de 2 , el generador proporciona 2,5 A, etc... De la misma forma, para la fuente de intensidad, si el valor de la fuente es por ejemplo IG = 1 A, para una resistencia R2 de valor 1 la fuente proporciona 1 V, mientras que para R2 = 2 , la fuente proporciona 2 V. Se entiende as, que para una fuente de intensidad, la incgnita es la tensin generada, que depende de la carga.

3.- ANLISIS DE CIRCUITOS EN CORRIENTE CONTNUA. 3.1.- CONEXIN DE RESISTENCIAS EN SERIE (DIVISOR DE TENSIN).La figura 6 muestra un circuito con un generador de tensin y tres resistencias en serie. El hecho de que dos o ms elementos de un circuito se encuentren conectados en serie quiere decir que circula la misma intensidad por ellos. O al revs, si por dos o ms elementos circula la misma intensidad, significa que se encuentran conectados en serie.

E1

En la figura se ha situado la intensidad, con el sentido que va a tener, y se ha aplicado el criterio de signos para determinar la polaridad de las cadas de tensin en las resistencias. Por lo tanto, aplicando la segunda ley de Kirchhoff y la ley de Ohm, obtenemos: E1 = VR1 + VR2 + VR3 = IR1 + IR2 + IR3 = I (R1 + R2 + R3) De forma que la intensidad que recorre el circuito se puede expresar como: [11]


I

R1

R2

R3

Figura 6

I=

E1 E = 1 R 1 + R 2 + R 3 R eq

[12]

6

Es decir, que a efectos exteriores, se pueden sustituir las tres resistencias por una nica resistencia equivalente de valor igual a la suma de las resistencias en serie. Generalizando a n resistencias en serie, obtenemos la expresin de la resistencia equivalente en un circuito serie: Req(serie) = R1 + R2 + R3 + ... + Rn [13]

As pues, en un circuito serie, el proceso a seguir para el clculo de las magnitudes y tensiones se resume as: primero se calcula la resistencia equivalente, seguidamente calcula la intensidad, y por ltimo, aplicando la ley de Ohm, se calcula la cada de tensin en cada resistencia. Ahora bien, estas cadas de tensin en las resistencias, se pueden calcular sin el clculo intermedio de la intensidad, si se da el caso en que ste ltimo dato no interese, o slo interese la cada de tensin en una resistencia determinada. As, por ejemplo, vamos a calcular, en el circuito de la figura 6, la cada de tensin que sufre nicamente la resistencia 2.

E1 R 2 , ecuacin que normalmente se reorganiza de la R1 + R 2 + R 3 forma conocida como divisor de tensin: VR 2 = IR 2 = VR 2 = R2 E 1 R1 + R 2 + R 3[14]

El concepto de divisor de tensin est ntimamente ligado a la asociacin de resistencias (o impedancias) en serie. En efecto, si conectamos dos o ms resistencias en serie, la tensin a la se encuentre sometida dicha rama del circuito se ve repartida entre las resistencias en serie, como se ha visto en la ecuacin [11] (segunda ley de Kirchhoff). Este tipo de circuitos, donde se reparte la tensin en varias resistencias, es muy utilizado, a veces las resistencias son independientes y otras se trata de potencimetros. Un potencimetro, es una resistencia de valor ajustable manualmente; normalmente constan de tres terminales, entre dos de ellos se encuentra la resistencia, y el tercero (llamado cursor), se conecta a un punto intermedio ajustable, de manera que se forma un circuito con dos resistencias en serie, donde cada una de ellas tiene una fraccin de la resistencia y de la tensin total.

R1 E1 R2

V1

V1 E1 Rp V2

V2

Divisor de tensin Figura 7

Potencimetro


7

Como se puede observar en la figura 7, ambos circuitos son equivalentes, su utilidad principal consiste en obtener una tensin variable a partir de la tensin de entrada (E1 en la figura), siempre inferior a sta, tal como seala la ecuacin [14].

3.2.- CONEXIN DE RESISTENCIAS EN PARALELO (DIVISOR DE INTENSIDAD).En la figura 8 se muestra un circuito con tres resistencias en paralelo. Decimos que varios elementos estn conectados en paralelo cuando estn conectados a la misma tensin, y por aplicacin de la primera ley de Kirchhoff, se reparten las intensidad.IG I1 I2 I3 R3

E

R1

R2

Figura 8 En la figura, se han colocado las intensidades, aplicando Kirchhoff y la ley de Ohm, se deduce: 1 E E E 1 1 I G = I1 + I 2 + I3 = + + = E + + [15] R R R1 R 2 R 3 R3 2 1

Por tanto la tensin (E) a la que se encuentran las resistencias se puede expresar como: IG E= = I G R eq [16] 1 1 1 + + R1 R 2 R 3 Por analoga con la ley de Ohm, podemos decir que la resistencia equivalente a n resistencias conectadas en paralelo es, por tanto:

R eq ( paralelo) =

1 1 1 1 + + ... + R1 R 2 Rn

[17]

En muchas ocasiones, slo tenemos dos resistencias conectadas en paralelo, en ese caso, desarrollando la ecuacin [17], obtenemos una expresin ms rpida para evaluar: R eq ( paralelo ) = 1 1 1 + R1 R 2 = R R 1 = 1 2 R1 + R 2 R1 + R 2 R 1 R 2 [18]

Lo mismo que en un circuito serie no es necesario calcularlo todo para averiguar una tensin determinada, en un circuito paralelo tambin se puede calcular directamenteDavid Sornosa Cervera 8

una intensidad determinada. Es evidente que, en el circuito de la figura 8, para calcular cualquier intensidad basta con aplicar la ley de Ohm (I = V/R), pero supongamos un circuito con resistencias en paralelo y una fuente de intensidad, tal como se muestra en la figura 9.IG I1 I2 I3 R3

IG

R1

R2

Figura 9 Conocida la intensidad de la fuente IG, se tendra que calcular la resistencia equivalente en paralelo, para poder averiguar la tensin que proporciona la fuente de intensidad (EG = IG Req), inicialmente desconocida, y entonces aplicando la ley de Ohm calcular la intensidad en cada resistencia. Esto sera correcto, pero vamos a plantear un mtodo alternativo para calcular la intensidad en una de las resistencias, sin resolver todo el circuito. Por ejemplo si queremos calcular la intensidad en R2:

I2 =

E G I G R eq = = R2 R2

IG 1 1 1 R2 R + R + R 2 3 1

[19]

Esto es lo que se conoce como divisor de intensidad, ya en un circuito paralelo la intensidad siempre se reparte entre los elementos que se encuentran en paralelo.

3.3.- CIRCUITOS MIXTOS.Circuitos mixtos podemos encontrarlos en infinidad de combinaciones, por tanto slo vamos a indicar los pasos generales de resolucin, y en apartados posteriores algunos casos de especial inters. Empecemos por el circuito de la figura 10.R1A IG R1 I2 B I3 R3 C

E

R2

R3

E

R2

Figura 10-a

Figura 10-b

Lo primero que hay que hacer, es buscar las asociaciones serie y paralelo de los elementos que forman el circuito. Para ello, ayuda marcar los nudos con letras, y sealar arbitrariamente las intensidades, como se ha hecho en la figura 10-b.


9

En este caso, las resistencias R2 y R3 se encuentran conectadas en paralelo, en adelante, para sealar resistencias en paralelo, se utilizar el smbolo //. La resistencia R2//R3, un vez ya considerada como una nica, est conectada en serie con R1. Entonces, la resistencia equivalente de todo el circuito, es: Req = R1 + (R2//R3). Obsrvese que para sealar resistencias en serie, utilizamos el smbolo +, ya que para obtener la resistencia equivalente en serie simplemente se suman. Desarrollando la expresin de la resistencia equivalente para este circuito, queda:

R eq = R 1 +

R 2 R 3 R2 + R3

Una vez calculada la resistencia equivalente, aplicando la ley de Ohm, obtenemos:

IG =

E R eq

Entonces podemos calcular las cadas de tensin: VAB = I G R 1 VBC = I G (R 2 // R 3 ) Y slo falta por calcular las intensidades que circulan respectivamente por R2 y R3:

I2 =

VBC R2 V I 3 = BC R3

Veamos ahora el circuito de la figura 11.R1 R3 E E R2 A IG B R1 C R3 R2 I2 D I1

Figura 11-a

Figura 11-b

Al igual que en el circuito anterior, hemos procedido en primer lugar a marcar con letras los nudos y sealar las intensidades (figura 11-b). En este circuito, las resistencias R1 y R2 se encuentran en serie, y la resistencia equivalente de ambas est en paralelo con R3. As pues, la resistencia equivalente del circuito resulta: David Sornosa Cervera 10

R eq = (R 1 + R 2 ) // R 3 =

(R 1 + R 2 )R 3 R1 + R 2 + R 3

Con este dato, se puede calcular la intensidad IG aplicando la ley de Ohm:

IG =

E R eq

El valor de esta intensidad tambin se podra haber calculado despus, ya que en este circuito I G = I1 + I 2 , por corresponder a dos ramas en paralelo. Las intensidades de las ramas son:I1 = E R1 + R 2 E I2 = R3

Por ltimo falta calcular VBC y VCD, es decir las cadas de tensin en R1 y R2, ya que la cada de tensin en R3 es directamente la tensin del generador E, por estar en paralelo. VBC = I1 R 1 VCD = I1 R 2 Como hemos sealado al principio del apartado, circuitos mixtos pueden haber todos los que se pueda imaginar, la forma de resolverlos depender del circuito en cuestin, pero si se encuentran las asociaciones serie y paralelo dentro del circuito, su resolucin ser trivial. Ahora bien, hay ocasiones en que no se pueden encontrar las asociaciones serie y paralelo internas, bien porque no existen, bien por la complejidad del circuito. Entonces se pueden recurrir a diferentes tcnicas, pero lo ms sencillo es aplicar las leyes de Kirchhoff tal como se ha explicado en el apartado 2.4 de este tema, o bien en sus variantes que se explicarn ms adelante.

3.4.- CONVERSIN TRINGULO-ESTRELLA.Dos casos especiales de redes en las que no son ni serie ni paralelo son las redes en forma de tringulo y de estrella. Ambos casos son muy utilizados en lo que se conoce como trifsica, por lo que resulta interesante conocer estas configuraciones, y como encontrar sus equivalencias.


11

1

1

RC

RA R3 RB 3

R1 R2 2

3

2

Red en tringulo Figura 12

Red en estrella

Se trata de encontrar equivalencia entre ambas redes a efectos exteriores a ellas, es decir, vistas desde los puntos marcados como 1,2,3. En la red en tringulo, la resistencia que se observa entre los terminales 1 y 2 es RA en paralelo con RB y RC en serie. Es decir, con la notacin empleada anteriormente: R12 = RA // (RB + RC) Desde esos mismos terminales, pero de la red en estrella se observan R1 y R2 en serie: R12 = R1 + R2 Como estamos buscando la equivalencia, igualamos ambas expresiones:

R1 + R 2 =

R A (R B + R C ) RA + RB + RC

Lo mismo se hace desde los terminales restantes, y se obtiene un sistema de tres ecuaciones, de los cuales se puede obtener los valores de la red en estrella en funcin de la red en tringulo. El desarrollo completo de la conversiones estrella tringulo y tringulo estrella viene en la bibliografa de este tema. El resultado es:

R A R C RA + RB + RC R A R B R2 = RA + RB + RC R B R C R3 = RA + RB + RC R1 =

[20] [21] [22]

3.5.- CONVERSIN ESTRELLA-TRINGULO.De las ecuaciones [20], [21] y [22] se puede obtener el resultado inverso, es decir, obtener las ecuaciones de la red en estrella en funcin de la red en tringulo. El desarrollo es simplemente matemtico, y se puede consultar en la bibliografa.


12

R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 R3 R R + R 1 R 3 + R 2 R 3 RB = 1 2 R1 R R + R 1 R 3 + R 2 R 3 RC = 1 2 R2 RA =4.- OTROS MTODOS DE ANLISIS.

[23] [24] [25]

Todos los mtodos expuestos de ahora en adelante sirven para analizar un rgimen permanente, tanto en corriente continua como en corriente alterna, con la nica salvedad de que en corriente alterna hay que trabajar con las impedancias (nmeros complejos). Los ejemplos son analizados en corriente alterna y con resistencias, para simplificar el anlisis y la nomenclatura.

4.1.- ECUACIONES DE MALLAS O DE MAXWELL.Es una variante de aplicar las leyes de Kirchhoff, con el fin de reducir el nmero de ecuaciones. Se basa en introducir un concepto llamado intensidad de malla. Una intensidad de malla, es una intensidad ficticia que se supone que recorre la malla, de forma que coincide con la intensidad real en el caso de que la rama pertenezca a una sola malla, en caso contrario, la intensidad real est compuesta algebraicamente (o vectorialmente en corriente alterna) de dos intensidades de malla. Con este mtodo, hay que plantear tantas ecuaciones como seran necesarias por la segunda ley de Kirchhoff, pero no hace falta plantear las ecuaciones de los nudos. Se escogen las mismas mallas que se escogeran por Kirchhoff, y se sita una intensidad de malla en cada una, asignndole un sentido determinado a la intensidad de malla. No es imprescindible, pero se recomienda poner el mismo sentido a todas las intensidades de malla, con el fin de simplificar los clculos posteriores. Una vez hecho esto, se plantean las ecuaciones de malla aplicando la segunda ley de Kirchhoff. El criterio de signos es el mismo, pero no hace falta poner las intensidades y las polaridades, ya que con este mtodo, basta con mirar las mallas que afectan a una rama para obtener los signos. Las ecuaciones de malla se plantean de la forma:

E(malla) = RI(malla actual) RI(resto de mallas)

[63]

Es decir, se escoge una malla y se recorre en el signo indicado previamente. En el sumatorio de generadores (E), un generador suma si su polaridad coincide con el sentido de la malla, y resta si no. En el sumatorio de cadas de tensin de las resistencias (RI), la malla actual siempre suma, y el resto de mallas suman o restan en funcin de si coinciden o no, con la direccin de la malla actual, respectivamente.


13

E1 R1 R1

E1

E2 R2

E2 R2

IA

R4 R3 E3 R5 R3 E3 R5 IB

R4

E4 R6 R6

E4

IC

Figura 19-a

Figura 19-b

Vamos a analizar el circuito de la figura 19. Obsrvese que, directamente por las leyes de Kirchhoff, habra que plantear 3 ecuaciones de nudos y 3 de mallas. En cambio, por este mtodo, plantearemos slo 3 ecuaciones en total. Primero, hemos indicado en el circuito 3 intensidades de malla, IA, IB, IC, de forma totalmente arbitraria (figura 19-b). Ecuacin de la malla A: E1 + E2 = R1IA + R4(IAIC) + R2(IAIB) Ecuacin de la malla B: E2 E3 = R3IB + R2(IBIA) + R5(IBIC) Ecuacin de la malla C: E3 + E4 = R6IC + R5(ICIB) + R4(ICIA) [63] [64] [65]

Otra ventaja de este mtodo es que permite una rpida reorganizacin de las variables conocidas y desconocidas, lo que facilita la resolucin del sistema. As, el sistema de ecuaciones [63], [64] y [65] se transforma en: (R1+R4+R2)IA R2IA R4IA R2IB +(R3+R2+R5)IB R5IB R4IC R5IC +(R6+R5+R4)IC = E1 + E2 = E2E3 = E3 + E4

Donde ya estn agrupadas las incgnitas y los trminos independientes convenientemente. Una vez obtenidas las intensidades de malla IA, IB, IC, queda obtener las intensidades reales del circuito. Para ello, se sita sobre el circuito una intensidad en cada rama (figura 19-c).


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R1

I1

E1

E2

I2

IA R2 I4 R4

R3 E3

IB I5 R5

I3

R6

I6

E4

IC

Figura 19-c Por lo que las intensidades reales son: I1 = IA I2 = IB IA I3 = IB I4 = IC IA I5 = IC IB I6 = IC

4.2.- ECUACIONES DE NUDOS.Consiste en plantear slo las ecuaciones de nudos, tantas como nudos haya menos uno. El mtodo se basa en considerar un nudo de referencia en el circuito, y entonces poner las tensiones en funcin de la referencia. Es lo mismo que cuando en electrnica se pone un terminal de masa para analizar un circuito. Lo primero que hay que hacer es darles nombre a los nudos. Despus, las ecuaciones se plantean de la siguiente forma: En cada nudo, se consideran todas las intensidades como salientes o como entrantes, de forma que la suma de ellas se pueda igualar a cero. Las intensidades, en las ecuaciones de nudos, se obtienen a partir de aplicar la ley de Ohm, o su generalizacin para corriente alterna, de forma que cada intensidad es una diferencia de tensiones dividida por una resistencia o impedancia. Por ejemplo, en la figura 20, si consideramos todas las intensidades salientes del nudo C: I1 + I2 + I3 = 0 Segn el criterio de signos empleado, las intensidades entran a un elemento por el positivo de su cada de tensin, y salen por el negativo, por tanto la intensidad en la impedancia Z1 se puede calcular como:

VC VA Z1David Sornosa Cervera 15

Si calculamos las otras intensidades e igualamos a cero, la ecuacin del nudo B es:

VC VA VC VB VC VD + + =0 Z1 Z2 Z3Calculamos ahora las ecuaciones correspondientes al circuito de la figura 19-a, donde los nudos se indican en la figura 21.E1 R1

AE2 R2A

Z1

Z2 B C

Z3 DB

R4 R3 E3 R5C D

Figura 20R6

E4

Figura 21 Escogemos el D como nudo de referencia 0 V. Ecuacin del nudo A:

VA VB VA ( E1 ) (VA E 2 ) VC + + =0 R3 R1 R2 VB VA (VB + E 3 ) VC (VB E 4 ) 0 + + =0 R3 R5 R6 VC (VA E 2 ) VC (E 3 + VB ) VC 0 + + =0 R2 R5 R4

[66]

Ecuacin del nudo B:

[67]

Ecuacin del nudo C:

[68]

El sistema formado por las ecuaciones [66], [67] y [68], se puede reorganizar fcilmente para facilitar su resolucin:

1 1 1 R + R + R 1 2 3 1 1 VA + R R3 3

E E 1 1 VA VB VC = 1 + 2 R3 R2 R1 R 2 E E 1 1 1 VB + + VC = 3 + 4 R5 R6 R5 R5 R6

[69] [70] [71]

1 E2 E3 1 1 1 1 VA VB + R + R + R VC = R + R R2 R5 4 5 2 5 2


16

Una vez resuelto el sistema, obtenemos los valores de las incgnitas VA, VB, VC. Aunque desconocemos las intensidades es fcil obtenerlas, ya que en realidad estn implcitas en las ecuaciones iniciales ([66], [67], [68]). Si consideramos los mismos nombres y sentidos para las intensidades que en la figura 19-c, es fcil deducir que:

I1 = I2 I3 I4 I5I6

VA ( E 1 ) R1 (V E 2 ) VC = A R2 V VA = B R3 V 0 = C R4 (V + E 3 ) VC = B R5 (V E 4 ) 0 = B R6

Las ecuaciones [69], [70], [71] que hemos obtenido por este mtodo son las mismas, aunque ligeramente reorganizadas, que obtendramos aplicando el teorema de Millmann.

5.3.- TEOREMA DE SUPERPOSICIN.Su enunciado dice que si en un circuito lineal1 tenemos dos o ms generadores independientes, podemos analizar cualquier magnitud como suma de los efectos originados por cada generador actuando solo, es decir, con todos los dems generadores independientes eliminados. Eliminar un generador equivale a que la magnitud que proporciona vale cero, por tanto, si es un generador de tensin, la tensin entre sus extremos ha de ser cero, por lo que se cortocircuita; en cambio si es un generador de intensidad, la intensidad que proporciona a su rama ha de ser cero, por lo que se abre el circuito en la posicin donde est la fuente de intensidad. La figura 22 muestra como eliminar una fuente de tensin y otra de intensidad, que estuvieran colocadas entre dos puntos A y B cualesquiera. Se han representado fuentes de corriente continua, pero se procede exactamente igual con fuentes de corriente alterna.

Por circuito lineal se entiende aquel en las magnitudes varan de forma lineal, por tanto valen los componentes estudiados hasta ahora como: generadores, resistencias, condensadores y bobinas. Los componentes que no valdran seran del tipo interruptores, conmutadores, rels, ... cuya variacin sobre los circuitos no es lineal.

1


17

Fuente de tensin A E=0V A

Fuente de intensidad A I=0A A

B

B

B

B

Figura 22 Como ejemplo, analizamos el circuito de la figura 23-a. En la figura 23-b eliminamos la fuente de tensin, y en la figura 23-c eliminamos la fuente de intensidad.R1 R2 R1 R2 R1 R2

E

R3

VR3

IG

E

R3

VR3

R3

VR3

IG

Figura 23-a

Figura 23-b

Figura 23-c

Se puede calcular cualquier magnitud, por ejemplo seleccionamos la cada de tensin en R3 (VR3). En el circuito de la figura 23-b, R2 no influye, por lo que, aplicando el divisor de tensin: R3 ' VR 3 = E [72] R1 + R 3 En el circuito de la figura 23-c, el paralelo formado por R1 y R3 se encuentra en serie con R2 y la fuente de intensidad, por lo que la tensin en R3 es:' VR' 3 =

R 1 R 3 I G R1 + R 3

[73]

Por lo que la tensin total en R3, suma los efectos de cada fuente por separado:' ' VR 3 = VR 3 + VR' 3 =

R3 R R E + 1 3 I G R1 + R 3 R1 + R 3

[74]

5.4.- TEOREMAS DE THVENIN Y NORTON.El teorema de Thvenin dice que si tenemos un circuito lineal con componentes activos y pasivos, se comporta respecto a una carga exterior, conectada a dos puntos de


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dicho circuito, como una nica fuente de tensin conectada en serie con una resistencia (impedancia en corriente alterna). El valor de la tensin generada por la fuente lo llamamos tensin de Thvenin, ETH, y a la resistencia (o impedancia) asociada la llamamos resistencia o impedancia de Thvenin, RTH o ZTH. El teorema de Norton, dice que si tenemos un circuito lineal con componentes activos y pasivos, se comporta respecto a una carga exterior, conectada a dos puntos de dicho circuito, como una nica fuente de intensidad en paralelo con una resistencia (impedancia en corriente alterna). El valor de la intensidad generada por la fuente lo llamamos intensidad de Norton, IN, y a la resistencia (o impedancia) asociada la llamamos resistencia o impedancia de Norton, RN o ZN. En ambos teoremas, la carga puede ser una resistencia o una impedancia segn se trate de corriente continua o alterna. La figura 24 representa grficamente ambos teoremas.Equivalente de Thvenin RTH

ETH

RC

Circuito lineal

RC

Equivalente de Norton

IN

RN

RC

Figura 24 Para hallar la tensin de Thvenin, hay que abrir el circuito por los terminales entre los cuales se desea calcular el equivalente (es decir desconectar la carga), y calcular o medir la tensin entre dichos terminales. Para hallar la intensidad de Norton, hay que cortocircuitar el circuito por los terminales por donde se desea encontrar el equivalente, y calcular o medir la intensidad en dicha rama. De los equivalentes de la Thvenin y Norton de la figura 23, supuestos obtenidos ambos de un mismo circuito lineal, vamos a encontrar las equivalencias entre Thvenin y Norton. Primero vamos a encontrar el equivalente de Norton, al circuito de Thvenin. La intensidad Norton que obtenemos es:


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IN =

E TH R TH

[75]

Ahora calculamos el equivalente de Thvenin al circuito de Norton, la tensin de Thvenin obtenida es: E TH = I N R N [76]

La nica manera de que ambos circuitos representen un mismo circuito (supuestos todos los parmetros distintos de cero) es que las resistencias de Thvenin y de Norton sean iguales, y entonces las ecuaciones [75] y [76] nos dan la equivalencia entre ambos teoremas. Para hallar la resistencia equivalente, se eliminan todas las fuentes de tensin e intensidad, de la misma forma que se explic en el teorema de superposicin, se deja el circuito abierto por los puntos donde queremos encontrar el equivalente, y se mide o se calcula la resistencia entre dichos puntos o terminales. Vamos a encontrar los valores de los equivalentes de Thvenin y Norton de la figura 25, vista desde los terminales B y C.R1 A R3 B R2 C E R1 A R3 B R2 C

E

Figura 25

Figura 25-b

Para hallar la tensin de Thvenin, hay que dejar el circuito tal cual est, y calcular la tensin entre B y C. Dado que R3 est en una rama sin intensidad, la ley de Ohm indica que no tiene cada de tensin, por lo tanto, en este circuito, sin conectarle una carga, la tensin entre B y C es la misma que entre A y B. Por lo tanto:

E TH =

R2 E R1 + R 2

[77]

Para calcular la intensidad de Norton, hay que cortocircuitar BC y calcular la intensidad por esa rama. Se puede hacer por cualquier mtodo conocido, por ejemplo por ecuaciones de malla (malla 1 la de la izquierda y malla 2 la de la derecha): E = (R1 + R2)I1 R2I2 0 = R2I1 + (R2+R3)I2 [78] [79]

Donde la intensidad de Norton que nos interesa es I2, ya que coincide la intensidad de malla con la real, que adems es la que queremos calcular.


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I N = I2 =

R2 E (R 1 + R 2 )(R 1 + R 3 )(R 2 + R 3 )

[80]

Para calcular la resistencia de Thvenin, hay que eliminar el generador E y obtener la resistencia entre los puntos B y C (figura 25-c).R1 A R3 B R2 C

Figura 25-c De donde se deduce que:

R TH = (R 1 // R 2 ) + R 3 =

R 1 R 2 + R3 R1 + R 2

[81]

Si aplicamos la ecuacin [75], tenemos que dividir la expresin [77] (tensin de Thvenin), entre la [81] (resistencia de Thvenin), y podemos comprobar que efectivamente obtenemos la expresin [80] (intensidad de Norton).

5.- BIBLIOGRAFA.Arnau Vives, A., Ferrero y de Loma-Osorio, J.M., Jimnez Jimnez, Y. y Sogorb Devesa, T.: Sistemas electrnicos de comunicaciones I. Ed. U.P.V. Valencia, 2000. Castejn, A. y Santamara, G.: Tecnologa elctrica. Ed. McGraw-Hill. Madrid, 1993. Guerrero, A., Snchez, O., Moreno, J.A. y Ortega, A.: Electrotecnia. Ed. McGrawHill. Madrid, 1998.


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Apuntes de teoría de circuitos

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