APUNTES DOCENTES - profe.arias | Innovacion … · ecuaciones lineales y cuadráticas. El estudio...

APUNTES DOCENTES

ASIGNATURA: CÁLCULO DIFERENCIAL

PROFESOR: ING –ESP PEDRO ALBERTO ARIAS QUINTERO

2 - 2012

UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER

UNIDAD 1

DESIGUALDADES Y FUNCIONES

REPASO SISTEMAS DE ECUACIONES

Recordando ecuaciones Una ecuación es una igualdad en la que aparecen números y letras llamadas incógnitas,

cuyo valor hay que averiguar. Para resolver las ecuaciones si tienen más de una incógnita, se necesitan tantas

como incógnitas haya y a ese conjunto de ecuaciones se le llama sistema.

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que se denominan miembros de la ecuación. En

ella aparecen números y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.

Ejemplo:

2x + 3y = 7

5x – 2y = 8

Como tiene dos incógnitas necesitamos dos

ecuaciones

Métodos para resolver sistemas Hay tres métodos: Reducción, sustitución e igualación

Reducción: Consiste en eliminar una de las incógnitas. Pasos:

1. Elegimos la incógnita que queremos eliminar y para que tenga en las dos ecuaciones el mismo coeficiente (número) multiplicamos la ecuación de arriba por el coeficiente que tenga la incógnita en la ecuación de abajo y toda la ecuación de abajo por el coeficiente que tenga la incógnita en la ecuación de arriba.

2. Sumamos o restamos las dos ecuaciones para eliminar la incógnita elegida. 3. Resolvemos la ecuación resultante del paso anterior. 4. Calculamos la otra incógnita sustituyendo el valor obtenido en una de las ecuaciones del sistema.

Ejemplo:

2x + 3y = 7 Vamos a eliminar las x y multiplicamos la

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5x – 2y = 8 ecuación de arriba por 5 y la ecuación de

abajo por 2

10x + 15y = 35

10x - 4y = 16

Como las x tienen el mismo coeficiente y el

mismo signo para eliminarlas basta con

restar a la ecuación de arriba la de abajo o

al contrario.

10x + 15y = 35

-10x + 4y =-16

19y = 19

Despejamos la incógnita

y = 119

19

Cogemos una de las ecuaciones del

principio y sustituimos en ella el valor

obtenido y así conseguiremos el valor de la

otra incógnita.

2x + 3.1 = 7

2x + 3 = 7

2x = 7 – 3

2x = 4

x = 22

4

x =2

R,

y =1

Nota importante : si la primera incógnita te da fracción puedes resolver la segunda incógnita otra vez por

reducción siguiendo todo el proceso, pero eliminando la incógnita contraria a la vez anterior.

Ejercicios:

1. 5x – 2y = 4 6x – 3y = 3 R; x = 2, y = 3

2. 3x + 4y =15 6x + 5y = 21 R; x = 1, y = 3

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3. 7x – 3y = 29 8x + 4y = 48 R; x = 5, y = 2

4. 5x – 3y = 7 7x + 2y = 16 R; x = 2 y = 1

5. 8x + 2y = 10 9x – 3y = 6 R; x = 1 y = 1

Sustitución:

Pasos:

1. Se despeja una incógnita en una ecuación. 2. Se sustituye en la otra y se resuelve la ecuación. 3. Se sustituye el valor obtenido en la expresión obtenida en el primer paso.

Ejemplo: 3x – 2y = 12

x + 5y = 38

Primero: Despejamos la x en la primera ecuación

x =3

212 y

Segundo : Sustituimos este valor en la segunda ecuación

3

212 y + 5y = 38 Resolvemos la ecuación

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12 + 2y + 15y = 114

17y = 114 – 12

17y = 102

y = 617

102

Tercero: Sustituimos la y de la expresión del primer paso por 6 y averiguamos el valor de la x.

x = 83

24

3

1212

3

6·212

R; x = 8, y = 6

Ejercicios. Resuelve por sustitución

6. 5x – 2y = 4 6x – 3y = 3 R; x = 2, y = 3

7. 3x + 4y =15 6x + 5y = 21 R; x = 1, y = 3

8. 7x – 3y = 29 8x + 4y = 48 R; x = 5, y = 2

9. 5x – 3y = 7 7x + 2y = 16 R; x = 2 y = 1

10. 8x + 2y = 10 9x – 3y = 6 R; x = 1 y = 1

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Igualación:

Pasos:

1. Se despeja la misma incógnita en las ecuaciones. 2. Como los primeros miembros son iguales se igualan los sendos miembros y se resuelve la ecuación que

resulta. 3. Se sustituye el valor obtenido en una de las expresiones del paso primero.

Ejemplo:

4x + 2y = 2

3x + 5y = -9

1. Despejamos la x o la y

y = 2

42 x

y =5

39 x

2. Igualamos los segundos miembros y resolvemos la ecuación:

5

39

2

42 xx

5 (2 – 4x) = 2 (- 9 - 3x )

10 – 20x = - 18 – 6x

-20x + 6x = - 18 –10

-14x = - 28

x = 214

28

3. Cogemos una de las expresiones del primer paso.

32

6

2

82

2

2·42

2

42

xy R; x = 2, y = -3

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Ejercicios . Resuelve por igualación:

1. 5x – 2y = 4 6x – 3y = 3 R; x = 2, y = 3

2. 3x + 4y =15 6x + 5y = 21 R; x = 1, y = 3

3. 7x – 3y = 29 8x + 4y = 48 R; x = 5, y = 2

4. 5x – 3y = 7 7x + 2y = 16 R; x = 2 y = 1

5. 8x + 2y = 10 9x – 3y = 6 R; x = 1 y = 1

RESUMEN

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UNIDAD 1

DESIGUALDADES Y FUNCIONES

DESIGUALDADES

En estudios anteriores habremos visto las igualdades; tema relacionado con la solución de ecuaciones lineales y cuadráticas. El estudio de las DESIGUALDADES es útil, cuando el valor aproximado de una cantidad, interesa más que su valor exacto. La palabra desigualdad sirve para decir que una cantidad es mayor o menor que otra, para ello utilizamos los símbolos:

>: Mayor que. : Mayor o igual que. <: Menor que. : Menor o igual que. Una desigualdad numérica es una comparación entre dos números a y b, utilizando los símbolos de desigualdad: “>”, “mayor que”; “<” menor que”; “ ”, “mayor o igual que”; “ ”, “menor o igual que”.

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES Si a, b y c son tres números reales, se cumple que:

1. Si a > b y b > c, entonces a > c (Transitiva)

Si a < b y b < c, entonces a < c

2. Si a > b, entonces (a c) > (b c) Si a < b, entonces (a c) < (b c).

3. Si a > b y c > 0, entonces ac > bc Si a > b y c < 0, entonces ac < bc.

4. Si a > b y c > 0, entonces c

b

c

a

Si a > b y c < 0, entonces c

b

c

a

5. Si a > b y c > d, entonces a+c > b+d (Aditiva) 6. Si a > b y c > d, entonces ac > bd 7. Si a > b y a > 0 y b>0, entonces an > bn

8. Si a > b, entonces 1 1

a b


9.

a 0 b 0

0, si

a 0 b 0

a b

a 0 b 0

0, si

a 0 b 0

a b

10. Al intercambiar los miembros de una desigualdad, se modifica el sentido de la misma.

Ejemplo 3 6 6 3

Las desigualdades se dividen en dos clases: absolutas y condicionales

a. Desigualdades absolutas: o incondicionales, son semejantes a las identidades.

Son satisfechas por todos los números Reales

Ejemplo: 2ab

aba b

Su validez se establece por medio de una demostración analítica (utilizando propiedades de las

desigualdades).

b. Desigualdades condicionales: son llamadas Inecuaciones, sólo son satisfechas por algunos

números Reales. Son desigualdades que poseen términos desconocidos

Ejemplo: 2 6 0x

INTERVALOS Los intervalos son subconjuntos de los números reales, determinados por las desigualdades, que se representan geométricamente mediante segmentos de recta o semirrectas. Por lo tanto, las operaciones entre conjuntos también se aplican a los intervalos. Veremos a continuación las diferentes clases de intervalos que existen y luego algunos ejemplos.

CLASES DE INTERVALOS


Ejemplo Sean los intervalos A = [–5, 5], B = (– , 8] y C = (2, ); hallar en las diferentes notaciones:

1. A C 2. B C 3. A C B

Solución:

1. A C = [–5, ] Notación intervalo A C = / 5x x Notación de conjunto

2. B C = 2, 8 Notación intervalo B C = / 2 8x x Notación de conjunto

3. A C B = 2, 5 , 8 = , 8 Notación intervalo

A C B = / 8x x Notación de conjunto

INECUACIONES Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica (o demuestra) para determinados valores de las incógnitas. Las inecuaciones también se conocen como desigualdades condiciónales, como se mencionó anteriormente.

Para resolver una inecuación deben encontrarse los valores de las incógnitas que satisfagan la inecuación.

La desigualdad 2x - 3 > x + 5 es una inecuación porque tiene la incógnita x y

sólo se verifica para cualquier valor de x mayor que 8. Para x = 8 se convertiría

en una igualdad y para x < 8 en una desigualdad de signo contrario.


La resolución de inecuaciones se fundamenta en las propiedades de las desigualdades anteriormente enunciadas y en las consecuencias que de las mismas se derivan. (La solución a una inecuación se da mediante un intervalo).

Solución de inecuaciones Resolver una inecuación consiste en aplicar las propiedades de las desigualdades antes expuestas para hallar un conjunto de valores que hace posible la desigualdad. La solución de una inecuación recibe el nombre de conjunto solución. Y puede expresarse de tres formas diferentes: en notación de intervalo, en notación de conjunto y en forma gráfica. (Ver tabla de “clases de intervalos”) CLASIFICACIÓN DE LAS INECUACIONES Las inecuaciones se clasifican atendiendo al número de incógnitas y al grado de la expresión algebraica que aparece en ellas.

Ejemplo: INECUACIÓN TIPO

2x-3 > x-5 1º grado; 1 incógnita

x-3 ≥ y 1º grado; 2 incógnita

x2-5x ≤ 4 2º grado; 1 incógnita

xy-3 > 0 2º grado; 2 incógnita

INECUACIONES DE UNA VARIABLE

1. INECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO

Las inecuaciones de 1er grado con una incógnita son las que responden a las siguientes formas básicas: ax + b < 0 ax + b > 0 ax + b ≤ 0 ax + b ≥ 0 En la mayoría de los casos conviene seguir el siguiente procedimiento:

1. Quitar los paréntesis, si los hay. 2. Quitar denominadores, si los hay. Para ello, se multiplica los dos miembros de la ecuación

por el m.c.m. de los denominadores. 3. Pasar los términos en x a un miembro (normalmente al primero) y los números al otro. 4. Reducir términos semejantes, con lo que se llega a una ecuación de forma básica. 5. Si el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por −1, por lo que cambiará el

sentido de la desigualdad. 6. Despejar la x (la incógnita). 7. Obtener la solución en forma de desigualdad, en forma de intervalo o grafica.

Ejemplo 1: Resolver 2

7

4

)7(5

3

2 xxx

12

)7(6

12

)355(3)2(4 xxx

4 8 15 105 42 6 5 55x x x x


Página 6

Ejemplo 2: Resolver 2x 3 x 5

Pasando x al primer miembro y 3 al segundo se tiene:

2x x 3 5

Reduciendo términos: x 8

S 8, x R / x 8

Ejemplo 3: Dada la siguiente inecuación5

7 62 3

x x . Halle el conjunto solución y

grafíquelo.

Suprimiendo denominadores (m.c.m. = 6) se tiene: 42 3x 10x 36

Trasponiendo términos: 3x 10x 36 36

13x 78

Cambiando el signo a los dos miembros, lo cual hace cambiar el signo de la desigualdad original:

13x 78

78Dividiendo por 13: < o sea, < 6

13x x

S ,6 x R / x<6

Ejemplo 4: Resolver 2

x 3 x 1 x 1 3x

Efectuando las operaciones indicadas:

2 22 3 2 1 3x x x x x

Suprimiendo x 2 en ambos miembros y transponiendo:

2 2 3 1 3x x x

6

)

8 (

5 55 11x x S= x (-, 11)


Página 7

x 4 S ,4 x R / x<4

Ejemplo 5: Dada la siguiente inecuación 2

2x 2 2x 1 1x

3 2 4

. Halle el conjunto solución y

grafíquelo. Se encuentra el m.c.m. (2, 3, 4) = 12 y se multiplica por 12 ambos miembros de la inecuación para

obtener:

2 24 2 6 2 1 3 12x x x

2 24 8 12 6 3 12x x x

Pasando todas las variables al lado izquierdo de la inecuación, se obtiene:

4 6 3 8x

Despejando la variable x de la inecuación, se obtiene:

5

4x

5 5, /4 4

S x R x

Solución de inecuaciones simultáneas de primer grado Una inecuación simultánea es una inecuación con desigualdad doble; Si a < x < b entonces x >a x < b, es decir, el conjunto solución es la intersección de los dos conjuntos solución:

bxxaxxS //

Ejemplo: Hallar el conjunto solución de 7246 x

Separando en dos desigualdades:

4 2 6 4 2 7x x

4 6 2 4 7 2

8 9

4 4

x x

x x

2x 9

4x Sol:

92,

4x

2. INECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO

5/4

4

)


Las inecuaciones de 2º grado con una incógnita son las que se presentan según alguna de las siguientes formas básicas:

ax2+bx+c < 0 ax2+bx+c > 0 ax2+bx+c ≤ 0 ax2+bx+c ≥ 0

Procedimiento

Primer Paso: Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la

ecuación de segundo grado factorizando el polinomio o usando la formula cuadrática.

Segundo Paso: Considerar los casos necesarios para que se cumpla la inecuación.

Tercer Paso: Realice la intersección o unión de los conjuntos solución de acuerdo al caso

seleccionado.

Cuarto Paso: dar la solución en forma de intervalos y graficarla.

Ejemplo

Dada la siguiente inecuación 2 5 6 0x x . Halle el conjunto solución y grafíquelo.

Primer paso: Factorizar el polinomio dado 2 5 6 3 2x x x x , quedando una inecuación de

la forma:

3 2 0x x

Segundo paso: Los casos que se deben considerar son los siguientes:

Caso I: Cuando ambos binomios son positivos es decir:

3 0x y 2 0x

Caso II: Cuando ambos binomios son negativos, es decir:

3 0x y 2 0x

Solución Caso I:

Sea AS el conjunto solución de la inecuación 3 0x y BS al conjunto solución de la inecuación

2 0x , la solución del Caso I viene dada por: I A BS S S

Solución para AS

3 0

3

x

x

3, / 3AS x R x

Solución para BS

2 0

2

x

x

2, / 2BS x R x

La solución para IS es entonces:


Página 9

I A BS S S 3, 2, 2,

IS 2, x R / x 2

Solución Caso II:

Si llamamos CS al conjunto solución de la inecuación x 3 0 y DS al conjunto solución de la

inecuación x 2 0 , la solución del Caso II viene dada por: II C DS S S

Solución para CS :

x 3 0

x 3

cS , 3 x R / x 3

Solución para DS :

x 2 0

x 2

dS , 2 x R / x 2

La solución para IIS es entonces:

II c dS S S , 3 , 2 , 3

IIS , 3 x R / x 3

Solución General

La solución general será la unión de IS y IIS , es decir:

G I IIS S S 2, , 3

El método que acaba de estudiarse, para resolver inecuaciones cuadráticas se llama método analítico. Existe un método alternativo, el método gráfico, que también se conoce como el método del Cementerio o método de las cruces. El procedimiento para resolver inecuaciones cuadráticas utilizando este método consiste igualmente en Factorizar el polinomio cuadrático, encontrar las raíces reales y ubicarlas sobre la recta real, dando origen de esta manera a intervalos en la recta. Luego, para cada intervalo, se va evaluando cada binomio para determinar el signo de éste, es decir, se le asignará a la variable, un valor arbitrario que pertenezca a cada intervalo para conseguir el signo de cada binomio. Por último, se seleccionan los intervalos para los cuales se cumple la desigualdad.

Ejemplo 1

-3 )

-2

)

–2

( –3

(


Dada la siguiente inecuación 2 5 6 0x x , halle el conjunto solución y grafique.

Se factoriza el polinomio 2 5 6 3 2x x x x , quedando la inecuación de la forma:

3 2 0x x

Las raíces que anulan 3 2x x son 3x y x 2 . (Valores críticos) Se ubican sobre la

recta real (ver cuadro 1). Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan los signos.

Cuadro 1. Raíces ubicadas en la recta real.

Se aprecia en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el producto de los dos binomios es positivo por ser la inecuación > 0, por lo tanto la solución viene dada por:

, 3 2,GS

Ejemplo 2

Dada la siguiente inecuación

2 21 1 8

2 3 3

x x , halle el conjunto solución y grafique.

Se desarrollan los productos notables, se multiplican por 6 ambos miembros de la inecuación y se reducen términos semejantes, obteniendo:

2 2 15 0x x

Factorizando el polinomio resultante, se tiene 2 2 15 5 3x x x x , resultando una

inecuación de la forma:

5 3 0x x

Las raíces de 5 3x x son 5x y 3x (valores críticos), las cuales se ubican sobre la

recta real. Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan los signos de la desigualdad.


Se aprecia en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el producto de los dos binomios es negativo por lo tanto la solución viene dada por:

3,5 / 3 5GS x R x

Gráficamente:

Casos especiales

1. Si al resolver la inecuación se obtiene una expresión de la forma:

Solución

(ax + b)2 ≥ 0

(ax + b)2 > 0 valor critico

(ax + b)2 ≤ 0 x = − b/a

(ax + b)2 < 0

Ejemplo:

2 2 1 0x x

2 2 1 0x x

Usando la fórmula cuadrática :

22 2 4 2 01

2 2x

2

1 0x

Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es

2. Cuando no tiene raíces reales (discriminante menor que cero), le damos al polinomio cualquier valor si:

-3 )

5

)


El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es

El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución (vacio).

Solución

x2 + x +1 ≥ 0

x2 + x +1 > 0

x2 + x +1 ≤ 0

x2 + x +1 < 0

INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

Pasos: 1. Se descomponen en factores de primer o segundo grado. 2. Se obtienen los ceros de cada factor representándolos en rectas distintas. 3. Se estudia el signo de cada uno de los intervalos formados. 4. En una nueva recta se llevan todos los ceros, aplicando la regla de los signos. 5. Se ve cuales de los intervalos son solución de la inecuación.

Ejemplo:

Resolver la inecuación 3x 4x 0

Resolverla es buscar los valores de la x que hacen que el miembro de la izquierda sea negativo (<0). El procedimiento más sencillo consiste en factorizar el polinomio (en este caso podemos sacar factor común x)

2x x 4 0 , o lo que es lo mismo x x 2 x 2 0

Tenemos tres valores de x (el 0, 2, -2) que hacen que ese producto valga cero, los restantes valores de la x harán que ese producto sea distinto de 0, bien positivo o negativo. El estudio es el mismo que antes, dibujamos y señalamos sobre la recta real los valores que hacen cero el producto y vamos tomando valores de x y se sustituye en la ecuación inicial para ver el signo de la operación. Observa la gráfica:

Los valores de la x que hacen negativo el producto son 2,02, .

3. INECUACIONES RACIONALES

Son inecuaciones racionales, aquellas en las que tanto el numerador como el denominador son inecuaciones polinómicas.

-2 2

_ +

0

_ +


Expresión general: son del tipoax b

0cx d

, o todas sus equivalentes

ax b0

cx d

, o

ax b0

cx d

,

etc.… y de grados mayores que uno.

Se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero . Estos tipos de problemas pueden ser resueltos usando el método analítico o el método gráfico.

Pasos: 1º Hallamos las raíces del numerador y del denominador. 2º Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del

denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.

3º Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo 4º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el

mismo signo que la fracción polinómica .

Ejemplo:

1. Dada la siguiente inecuación 2

2

3 100

2

x x

x x

halle el conjunto solución y grafique.

Factorizando los polinomios dados:

2 3 10 5 2x x x x ,

2 2 2 1x x x x

Resultando una inecuación de la forma:

5 20

2 1

x x

x x

Las raíces que anulan el numerador son 5x y 2x , y las que anulan el denominador son

2x y 1x , las cuales se ubican sobre la recta real. Se le asignan valores arbitrarios a x en

cada intervalo, y se determinan los signos de la desigualdad.


Se observa en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el cociente es negativo, debido a que la inecuación original es < 0 (es negativa) por lo tanto la solución viene dada por:

GS 5, 2 1,2

Gráficamente:

2. Resolver x 1

1x 1

x 1

1 0x 1

, ojo, si pasamos multiplicando el denominador al otro miembro estaríamos

cometiendo un error. Resuelve por tu cuenta la inecuación x 1 x 1 y compara los resultados.

Para nuestro caso, operando x 1 x 1 x 1 2

1 0 0x 1 x 1 x 1

, y todo se reduce a

averiguar cuál es el signo del denominador, cuándo éste es negativo, y lo es en ,1 .

4. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

RECORDEMOS:

El valor absoluto nos permite considerar una magnitud numérica sin tener en cuenta el signo. Su definición formal es:

para 0

para 0

a aa

a a

, a R

y significa que el valor absoluto de un número nunca es negativo.

-5

( )

-2 1

( ) 2


Ejemplo: 555

Propiedades del valor absoluto La solución de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto requieren del conocimiento y dominio de algunas propiedades fundamentales que guíen los procesos. A continuación se dan las propiedades que serán usadas en el tema en cuestión.

Sean , .a b R

1. 0a

2. 2a a

3. a a

4. 2 2a a

5. a b a b

6. , si b 0aa

b b

7. a b a b

Desigualdad triangular

8. 0a b b a b a b

Desigualdades con valor absoluto Sea , ,x y a R . Se tiene entonces:

1. sii a 0 ó x a x a x a a x a

2. sii x a x a x a

3. 2 2 sii x y x y

Inecuaciones de primer grado con valor absoluto Son aquellas en las que parte de la inecuación, o toda ella, viene afectada por el valor absoluto de la misma. Para resolver estas inecuaciones es suficiente con desarrollar el valor absoluto de acuerdo a los teoremas antes mencionados, para luego aplicar los conocidos métodos de resolución de inecuaciones. Las inecuaciones de primer grado con valor absoluto pueden presentar las siguientes formas:

-a a

] [

[ ]

-a a


5,1 / 5 1S x R x

9, 3 / 9 < < 3S x R x

Ejemplos:

a) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 5 10 15x y grafique.

Aplicando la propiedad de las desigualdades con valor absoluto, obtenemos:

15 5 10 15

15 10 5 10 10 15 10

25 5 5

25 5 5

5 5 5

5 1

x

x

x

x

x

b) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 2 < 13

x y grafique.

1 < 2< 13

3 < < 13

3 3 < 3< 1 33

9 < < 3

x

x

x

x

Ejemplos:

a) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 3 8 2x y grafique.

[ ]

-5 1

( )

-9 -3

ax b c ax b c

ax b c

2) cbax ó ó

ax b c

c ax b c

ax b c

1) cbax y ó

ax b c

Sean , , ,x a b c R .


2

45

) (2

45

)) ((

3 8 2

3 2 8

3 10

10

3

x

x

x

x

3 8 2

3 2 8

3 6

6

3

2

x

x

x

x

x

b) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 5 3 < 7x y grafique.

Otro ejemplo

Resolvamos la desigualdad 2 1

33

x

x

Utilizando la propiedad (6) del valor absoluto, tenemos la siguiente cadena de desigualdades equivalentes:

2 1

33

x

x

2 1 3 3x x

2 22 1 3 9x x

2 2

2 1 3 9 0x x

2 1 3 9 2 1 3 9 0x x x x

10 5 8 0x x

Elaborando un diagrama de signos tenemos

Signo de 10x + ─ ─

Signo de 5 8x ─ ─ +

Signo de 10 5 8x x ─ + ─

Vemos que la solución de la desigualdad es 8

10,5

5 3>7

5 >7+3

5 >10

>10 5

>2

x

x

x

x

x

5 3< 7

5 < 7+3

5 < 4

< 4 5

x

x

x

x

10 , 2,3

4

, 2,5

-

2

10 3 -2


Problemas que se resuelven por medio de inecuaciones Las inecuaciones permiten resolver problemas. Veamos el siguiente ejemplo.

Ejemplo: Una camioneta pesa 875 kg. La diferencia entre el

peso de la camioneta vacía y el peso de la carga que lleve no debe ser inferior que 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales, ¿cuánto puede pesar, como máximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en ella? En primer lugar, traducimos el enunciado al lenguaje simbólico, llamamos x al peso de cada cajón y planteamos la siguiente inecuación:

Una forma de resolver la inecuación es seguir los siguientes pasos: Restamos 875 a ambos miembros de la desigualdad - 4. x 415 - 875

Hacemos el cálculo en el segundo miembro - 4. x - 460

Para despejar x , multiplicamos a ambos miembros por 1

4

(Cuidado: como multiplicamos por un número negativo,

debemos cambiar el sentido de la desigualdad) x 4604

1

Hacemos el cálculo x 115 Esto significa que el peso de cada cajón no podrá superar los 115 kg. Además, como se trata de un peso, x > 0. Entonces, la solución está formada por todos los números reales pertenecientes al intervalo (0, 115]. Graficamos la solución en la recta real:

Funciones de variable Real


Definición de función Una función f es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento x de un conjunto A llamado dominio un valor único f(x) de otro conjunto B. El subconjunto de B formado por todos los elementos y a los que se les asigna elementos de A se llama rango o recorrido de la función, y

cada uno de sus elementos se llama imagen.

Representemos en un diagrama de flechas una relación que es función y una que NO es función

Ahora representemos en el plano cartesiano una relación que no es función. Si una gráfica contiene los puntos (a, b) y (a, c) entonces dicha gráfica no representa una función, ya que a un valor del dominio le corresponden dos valores del rango. Observe el dibujo:

Las funciones se representan mediante ecuaciones de la forma y = f(x), por ejemplo:

)()(;4

2)(;6)(

3

1)(;3)(;)( 22

xsenxkyx

xxtyxxjy

x

xxhyxxxgyxxfy


Por otra parte en las funciones del tipo y=f(x), la relación entre ambas variables x e y está claramente determinada. Por ese motivo la expresión y=f(x) recibe el nombre de forma explícita de la función. Sin embargo, en algunas ocasiones la relación entre las variables de la función no viene expresada de una forma tan clara sino a través de una ecuación que las liga, como por ejemplo:

Podemos decir que esta manera de representar una función recibe el nombre de forma implícita de la función. La relación entre ambas variables viene dada por una ecuación en la que hay que despejar la variable dependiente para poder encontrar la relación entre ambas. Cuando nos encontramos con una expresión implícita hay que tener un poco de cuidado, pues no vale cualquiera. De hecho, una de las anteriores expresiones no corresponde a una función. ¿Sabrías decir cuál es y por qué? Dibujar las cuatro expresiones anteriores puede servirnos de ayuda.

Gráfica de una función La gráfica de una función f es el conjunto de todos puntos (x, f(x)) en el plano xy, tal que restringimos los valores de x al estar en el dominio de f. El siguiente diagrama muestra la gráfica de una función:

Prueba de la recta vertical Para que una gráfica sea la gráfica de una función, cada recta vertical debe intersecarse con la gráfica en un solo punto.

Ejemplo Para obtener la gráfica de f(x) = 3x2 - 4x + 1 con dominio restringido a [0, + ∞), sustituimos f(x) por y, y obtenemos la ecuación y = 3x2 - 4x + 1. Entonces obtenemos la gráfica por medio de trazado de puntos, donde restringimos a x al estar en [0, + ∞), y obtenemos el siguiente dibujo:

No hay nada a la izquierda del eje-y, pues hemos restringido a x al estar ≥ 0.

Elementos de una función


Los dos principales elementos de una función son los posibles valores que pueden tomar ambas variables (dependiente e independiente).

Se llama Dominio de una función al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente (x) de manera que la expresión dada tenga sentido en los números Reales. El dominio de una función del tipo y=f(x) suele representarse con alguna de estas expresiones: D (f), Dom (f).

Se llama Recorrido, Rango o Imagen de una función al conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente, es decir, es el conjunto de valores que puede alcanzar la función. El recorrido de una función del tipo y=f(x) suele representarse con alguna de estas expresiones: R (f), Rango (f), Im (f).

Dominio de algunas funciones

1. Dominio de las funciones polinómicas

Definición: Una función polinómica es de la forma:

01

2

2

1

1 ....)( axaxaxaxaxf n

n

n

n

n

n

, donde n Z+

Ejemplos: 2 3 2( ) 2 3 2 ; ( ) 2 2 ; ( ) 2 5f x x x g x x x x h x x

Notación: Dominio de f (x) se escribe: Domf(x)

El dominio de una función polinómica es el conjunto de los números reales (R): Domf(x)=R

2. Dominio de las funciones racionales

Definición: Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas (polinomios). Ejemplos:

xx

xxh

xx

xxg

x

xxf

422)(;

42

4)(;

1

32)(

Una expresión de números reales de la forma B

A no existe si B =0, de manera que para hallar el

dominio de una función racional basta con igualar el denominador a cero y determinar así los únicos valores de x que no pertenecen al dominio (valores críticos del denominador). El dominio de una función Racional es el conjunto de los números reales (R) diferentes de los valores críticos del denominador (V.C.D): Dom f(x) = ℛ − {V.C.D}

Ejemplo:

Hallar el dominio de la función 23

32)(

2

xx

xxf


Igualamos el denominador a cero: 0232 xx

Factorizamos: 0)1)(2( xx este producto es cero si uno de sus factores es cero, así:

02 x , entonces: x = - 2

01x , entonces: x = - 1

De lo anterior, deducimos que los números – 2 y 1 no pertenecen al dominio y por lo tanto:

Domf(x)= ℛ − {-2,-1}

3. Dominio de funciones con radicales

Primer caso: 1)( 2 xxf

La expresión que define a esta función tiene validez en R solamente si el radicando es mayor o

igual que cero, es decir, 012 x al resolver la inecuación se obtienen los valores que pertenecen

al dominio.

0)1)(1(012 xxx

Al resolver la inecuación se obtiene , 1 1, , entonces: Dom ( ) , 1 1,f x

Segundo caso: 4

)(

x

xxg

En este caso es necesario asegurar que el denominador no sea cero ( )4x , y además que el

radicando sea mayor que cero ( 04 x ), de tal manera que debemos resolver la ecuación:

04 x Domg(x)= ),4(

Tercer caso: 4

2)(

x

xxh

En este caso debemos controlar tanto lo que sucede en el numerador como lo que sucede en el denominador, es decir:

- El radicando debe ser positivo o cero. 02x , 2x

- El denominador debe ser distinto de cero. 4x

Observemos sobre una recta numérica esta situación:

De manera que la solución es: Domh(x) = ),4()4,2[

Recorrido o rango de algunas funciones Algunas funciones permiten hallar de manera sencilla sus recorridos.


Página 23

Por ejemplo

Hallar el recorrido de la función 5

12)(

x

xxty

Para lograrlo despejamos x:

( 5) 2 1 5 2 1

2 5 1 ( 2) 5 1

5 1

2

y x x xy y x

xy x y x y y

yx

y

Entonces, en la última ecuación y debe ser distinto de 2, es el único valor que no pueden tomar las imágenes, por lo tanto la solución es:

R {2}ango

Intersecciones con los ejes Un punto (a, 0) es una intersección de la gráfica de f con el eje x si 0)( af , es decir, si este

punto es una solución de la ecuación que define a f. Por lo tanto, para hallar la intersección de la gráfica con el eje y debemos hacer x = 0 y resolver la ecuación que se obtiene. Un punto (0, b) es una intersección de la gráfica de f con el eje y si bf )0( es decir, si este punto

es una solución de la ecuación que define a f. Por lo tanto, para hallar la intersección de la gráfica con el eje x debemos hacer y = 0 y resolver la ecuación que se obtiene. Nota: Las intersecciones con los ejes se llaman interceptos.

A continuación se muestran algunos dibujos para ilustrar lo que hemos afirmado anteriormente:

Ejemplo

Halle los interceptos de la función 7

22

x

xy


1. Intersección con el eje y → Hacemos x = 0, entonces: 7

2y

2. Intersección con el eje x → Hacemos y = 0, entonces: 7

220

x

x por lo tanto 022 x y

obtenemos que: x = - 1

Simetrías de una función Al igual que el conocimiento de las propiedades anteriores, el hecho de saber si la gráfica de una función presenta algún tipo de simetría nos permitirá conocer los valores que toma la función en determinada zona sin más que conocer los valores de la misma función en la zona simétrica. Una función puede presentar diferentes tipos de simetría, o ningún tipo en absoluto. De todos los posibles tipos de simetría que pueden presentarse hay dos que son fácilmente detectables y es en esos dos tipos en los que vamos a centrar nuestro estudio.

Una función es:

a. Simétrica respecto al eje Y si ; se dice que f(x) presenta simetría par.

b. Simétrica respecto al origen de coordenadas si ; se dice que f(x) presenta

simetría impar. Veamos los siguientes ejemplos

1. Simetría con el eje y 2. Simetría con el origen

Funciones par e impar Sea f una función, entonces: a. f es par si satisface f (-x) = f(x) b. f es impar si satisface f (-x) = - f(x)


Ejemplos:

La función f(x)= x2 es par, veamos: 2 2( ) ( ) ( )f x x x f x por lo tanto es par.

La función 3( )f x x es impar, veamos:

3 3( ) ( ) ( )f x x x f x por lo tanto es impar.

Álgebra de funciones Definimos las operaciones básicas entre funciones así:

SUMA: )()())(( xgxfxgf

DIFERENCIA: )()())(( xgxfxgf

PRODUCTO: )().())(.( xgxfxgf

COCIENTE: ( )

( )( )

f f xx

g g x

, ( ) 0g x

Nota: En cada uno de los casos anteriores, el dominio de la función resultante, es la intersección de los dominios de f y g. En el caso particular del cociente se deben excluir de la intersección los valores de x que anulen el denominador g.

Ejemplo:

Dadas x

xgxxxf1

)(,2)( 3 . Determinar gfgfgf ,, y los dominios

En primer lugar es necesario determinar el dominio de cada función:

fDom (Es un polinomio); 0gDom (Porque no se puede dividir por cero)

Realicemos las operaciones:

x

x

x

xx

xxxxgxf

22243 1121

2)()(

0)( gDomfDomgfDom

4 23 1 2 1

( ) ( ) 2x x

f x g x x xx x

0)( gDomfDomgfDom

33 21 2

( ) ( ) 2 2x x

f x g x x x xx x

( ) 0Dom f g Dom f Dom g

Función a trozos Hasta ahora hemos visto cómo las funciones, sean del tipo que sean, suelen admitir una expresión del tipo y = f(x). Hemos visto también que es especialmente interesante (pues facilita la obtención de información) que la expresión f(x) sea de tipo matemático. Hasta ahora hemos trabajado con expresiones simples como por ejemplo:


Página 26

2

2 33

xy x

3 2

4

xy

x

23 25y x 2 3 2y x x

Sin embargo, con mucha frecuencia, las expresiones analíticas que aparecen en las Ciencias Sociales no admiten una única formulación para todos los valores de la variable independiente, de manera que es necesario utilizar diferentes fórmulas para la función según los distintos valores de x. De este tipo de funciones se dice que están definidas a trozos. Una función a trozos es aquella en la que se usan “trozos” de funciones para conformar una nueva función, por ejemplo la función valor absoluto se puede considerar como una función a trozos, veamos:

0

0 0

0

x si x

x si x

x si x

Otros ejemplos

1. 2

0

( ) 0 1

1 1

x si x

f x x si x

si x

2.

2

( ) 1 2 3

2 5 3

x si x

g x si x

x si x

Movimientos en el plano


Translación Vertical

La ecuación real constante una ,)( kxfky describe una traslación vertical de y = f(x) de k

unidades.

Si k > 0, la traslación es hacia arriba.

Si k < 0, la traslación es hacia abajo.

1y x Ejemplo

Translación Horizontal de y = f(x+h) de h unidades.

Si h > 0, la traslación es hacia la derecha.

Si h < 0, la traslación es hacia la izquierda.

Ejemplo 1 xy


Gráficas de funciones básicas

Existen algunas funciones que son de uso común en el desarrollo de los cursos de cálculo, entre ellas tenemos:

1. Función Lineal: baxxf )(

2. Función Cuadrática: cbxaxxf 2)(

3. Función Cúbica: dcxbxaxxf 23)(

4. Función Raíz Cuadrada: xxf )(

5. Función Valor Absoluto: xxf )(

6. Función Racional: x

xf1

)(

7. Función logarítmica ( ) ( )af x Log x

8. Función exponencial xaxf )(

9. Función logística ( )c x

af x

b e

10. Función seno ( )f x senx

11. Función coseno ( ) cosf x x

A continuación trazamos las gráficas de algunas de estas funciones:

1. Función lineal xxf )( (Función identidad) Ejemplo: ( ) 2 1f x x

2. Función cuadrática

2)( xxf Ejemplo: 1)( 2 xxf


Página 29

3. Función cúbica

3)( xxf Ejemplo: 12)( 3 xxf

4. Función raíz cuadrada

xxf )( Ejemplo: 2)( xxf

5. Función valor absoluto


Página 30

xxf )( Ejemplo: 21 x

6. Función Racional

x

xf1

)(

7. Función logarítmica

( ) ( )af x Log x

a > 0 0 < a


Página 31

8. Función exponencial

xaxf )(

Composición de Funciones o Función compuesta En general, dadas dos funciones )(),( xgxf

x f(x) g[f(x)]

g º f

La función fg es la función compuesta de f y g, que transforma x en g [f(x)]

Se debe tener cuidado con los dominios de fg y de gf . El dominio de fg es la parte del

dominio de f, para los cuales g acepta a f(x) como pre-imagen.

También, el dominio de gf es la parte del dominio de g para los cuales f acepta a g(x) como pre-

imagen.

Ejemplo Si f y g son las funciones definidas por:

3

( ) ( )2

xf x y g x x

Entonces: 3

( )2

xg f x g f x f x

( ) 3 3

2 2

g x xf g x f g x

Del ejemplo anterior se deduce fácilmente que en general:

( ) ( )g f x f g x

Se debe tener también cuidado con los dominios de fg y de gf . El dominio de fg es la

parte del dominio de f, para los cuales g acepta a f(x) como pre-imagen.

Esto es, D (f) = ℛ


Página 32

Ahora, como g, solo acepta reales positivos de f(x), esto es, valores de x para los cuales:

3

( ) 0 0 32

xf x x

Se concluye entonces que: D (g o f) = [3, + )

Nótese que 1 1 1g f g f g NO ESTA DEFINIDO.

Igualmente, 12 22

g f g f g NO ESTA DEFINIDO.

También, el dominio gf es la parte del dominio de g para los cuales f acepta a g(x) como pre-

imagen. Es decir, D (g) = [0, + ). Ahora, como f acepta cualquier valor real de g(x), entonces f acepta en particular, los valores de g en el intervalo D (g) = [0, + ). De esta forma: D (f o g) = [0, + ).

En el cálculo, a menudo se necesita escribir una función dada como la composición de dos funciones. Esto puede hacerse de varias maneras.

Así por ejemplo, la función: 2( ) 3 5 2p x x x puede escribirse en las formas:

P(x) = ( )g f x siendo 2( ) 3 5 2 ( )f x x x y g x x

P(x) = ( )g f x siendo 2( ) 3 5 ( ) 2f x x x y g x x

En efecto, 2 23 5 2 3 5 2g f x g f x g x x x x en el primer caso, y

2 23 5 3 5 2g f x g f x g x x x x en el segundo caso.

Función inversa Dada una función f(x), su inversa es otra función, designada por f -1(x) de forma que se verifica:

Si f(a)=b entonces f -1(b)=a

Propiedades 1. Toda función y su inversa son simétricas a la función identidad ( y x ).

2. La compuesta de una función y su inversa da como resultado la función identidad

1 1( ) ( )f f x f f x x

3. El dominio de la función inversa es igual al rango de la función directa, y el rango de la función

inversa es igual dominio de la función directa


1

1

( ) ( )

( ) ( )

Dom f x Rango f x

Rango f x Dom f x

4. 1 1( )

( )f x

f x

Para que exista la inversa de una función ésta debe cumplir con la condición de ser una función inyectiva.

Función inyectiva Definición: Una función f es inyectiva (uno a uno) si se cumple que:

.

o equivalentemente, 1 2 1 2 1 2( ) ( ); , ( )x x f x f x x x D f

En otras palabras, una función f es 1-1, si para cada x en el dominio f, existe exactamente una y en el rango, y, ninguna y en el rango es imagen de más de una x en el dominio. Existe también un criterio sencillo para determinar si la gráfica de una ecuación corresponde a una función 1-1. Este criterio se conoce como criterio de la recta horizontal. Criterio de la recta horizontal Si toda recta horizontal corta a la gráfica de una función f en uno y solo un punto, entonces f es una función 1-1

Así por ejemplo, en la fig. 1, aparece la gráfica de la función 2( ) 1y f x x la cual, de acuerdo

al criterio de la recta horizontal no corresponde a una función 1-1.

Figura 1 Figura 2

Nótese que la recta y = 2, corta la gráfica en más de un punto: 1 21,2 1,2p y p

Igualmente, en la fig. 2, aparece la gráfica de la función3( ) 1y f x x , la cual, de acuerdo al

criterio de la recta horizontal, corresponde a una función 1-1. Nótese que toda recta horizontal, corta a la gráfica en uno y solo un punto.

Si Tenemos la función y=f(x), y queremos hallar su inversa, seguimos los siguientes pasos: 1) Se intercambian la x y la y en la expresión inicial: y=f(x) x=f(y) 2) Se despeja la y en la nueva expresión x = f (y) y=f -1(x)


Ejemplo: Hallar la inversa de y=2x

1) Cambiamos la x por la y, nos queda entonces x=2y

2) Despejamos la y, nos queda entonces 2

xy

Por tanto la función inversa de y=2x es 2

xy ; es decir

1 ( )2

xf x CIONES ODELOS

MATEMÁTICOS:

Modelos matemáticos: construcción de funciones Modelar una situación matemáticamente significa representarla en términos matemáticos. La representación particular que se usa se llama un modelo matemático de la situación.

1. Modelos lineales de costo, ingreso y utilidad a. Una función costo especifica el costo C como una función de la cantidad de artículos x. En consecuencia, es el costo de x artículos, y tiene la forma

Costo = Costo variable + Costo fijo

en la que el costo variable es una función de x y el costo fijo es constante. Una función costo de la forma C(x) = mx + b se llama una función costo lineal; el costo variable es mx y el costo fijo es b. La pendiente m, es el costo marginal, mide el costo incremental por artículo. b. Una función ingreso específica el ingreso I(x) que resulta de la venta de x artículos. El ingreso que resulta es

I = p . x (Precio por número de unidades).

c. Una función utilidad especifica la utilidad (ingreso neto) U(x) que resulta de la venta de x artículos. Las funciones costo, ingreso y utilidad se relacionan con la formula

U(x) = I(x) - C(x).

El equilibrio ocurre cuando P(x) = 0, es decir, cuando R(x) = C(x).

Ejemplo Si el costo fijo es $400, y si el costo marginal es $40 por artículo, y si se vende los artículos a $60 cada uno, entonces cuantos artículos debe vender para alcanzar el punto de equilibrio

Solución

C(x) = 40x + 400 I(x) = 60x U(x) = R(x) - C(x) = 60x - (40x + 400) = 20x - 400.

Para el equilibrio, U(x) = 0 20x - 400 = 0,


Entonces x = 20. Por lo tanto, tiene que vender 20 artículos para alcanzar el equilibrio.

2. Modelos demanda y oferta

Una función (de) demanda expresa la demanda q (el número de artículos solicitados) como una función del precio unidad p (el precio por artículo).

Una función de oferta expresa la oferta q (el número de artículos que un proveedor está dispuesto a llevar al mercado) como una función del precio unidad p (el precio por artículo). Es normalmente el caso que la demanda disminuye y la oferta sube a medida que el precio sube.

Una función lineal (de) demanda tiene la forma q = m .p + b, donde q es la demanda (número de artículos vendidos) y p es el precio por artículo. Se puede construir una ecuación demanda lineal a saber la demanda a dos precios distintos

La demanda y la oferta están en equilibrio cuando son iguales. Los valores correspondientes de p y q se llaman precio de equilibrio y demanda de equilibrio. Para hallar el precio de equilibrio, determine el precio unitario p donde se cruzan las curvas de demanda y oferta (a veces podemos determinar este valor analíticamente por igualar las funciones de demanda y oferta y despejar a p). Para hallar la demanda de equilibrio, evalúe la demanda (o oferta) con el precio en equilibrio.

Ejemplo

Si se vende 100 camisetas por semana cuando el precio es $10, y 200 por semana cuando se baja el precio hasta $8, entonces la ecuación (lineal) demanda es

q = -50p + 600 Ecuación de la recta por (10, 100) y (8, 200) Entonces, la función ingreso relacionada es

R = p. q = p (-50p+600) = -50p2 + 600p.

Otros ejemplos Ejemplo 1

A un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido de 4 metros de radio y 16 metros de altura entra agua a una razón determinada. Expresar el volumen de agua en un instante dado: a. En función de la altura h.


b. En función del radio de la base x.

Solución En la figura aparece el cono con las dimensiones dadas y una porción del volumen en el instante determinado.

El volumen del agua en el instante determinado viene dado por:

21 1

( )( ) (1)3 3

cV r h V areabase altura

Como los triángulos ODE y OBC son semejantes, se tiene:

16

44

hh x

x (2)

a. Si se quiere expresar el volumen en función de la altura h, se debe despejar x en (2) y sustituirlo en (1). Así,

4

hx →

21

3 4

hV h

Luego, 31

48V h

b. Para expresar el volumen en función del radio x, se sustituye (2) en (1).

Así: 2 31 4(4 )

3 3V x x x

Ejemplo 2

Se dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una caja sin tapa recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados (Ver fig.). Exprese el volumen de la caja en función del lado del cuadrado recortado.


Solución Volumen de la caja = Área de la base x altura

2

( ) 2 .V x a x x

3 2 2( ) 4 4 02

aV x x ax a x x

Ejemplo 3

Una piscina rectangular de 20 mts. de largo por 10 mts de ancho, tiene 4 mts de profundidad en un extremo y 1 mt en el otro. La figura adjunta ilustra una vista transversal de la piscina. El agua para llenar la piscina es bombeada por el extremo profundo. a. Determine una función que exprese el volumen V de agua en la piscina como función de su

profundidad x en el extremo profundo. b. Calcular V (1) y V (2)

Solución a. Sea L la longitud de la medida del nivel del agua desde el extremo profundo hasta el menos profundo. Note que L y x son los lados de un triángulo rectángulo semejante al triángulo cuyos lados son 20 y 3 mts. De esta forma, se puede establecer la siguiente proporción:


20 20, 0 3

3 3

LL x con x

x

Ahora, el volumen V en un instante determinado viene dado por: V = (Área de la sección transversal). (Ancho)

2

20.

. 1003.10 .102 2 3

x xL x

V x

2100( )

3V x x

b. 2 3100 100

(1) 1 33.33 3

V m

2 3100 400

(2) 2 133.33 3

V m


UNIDAD 2

LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

Límite de funciones

Conceptos básicos

Pretendemos esclarecer la idea de límite de una función. Haremos hincapié en el concepto, pues el cálculo matemático requiere el conocimiento de diversas herramientas que no entraremos a contar en detalle, utilizando algún programa de cálculo para ello. Para entender el concepto de límite veámoslo con un ejemplo.

Consideremos la función:

1( )

1

xf x

x

cuyo conjunto de definición (dominio) es el conjunto de los números reales no negativos excepto

x=1, es decir: / 0, 1D x x x

Si realizamos su representación gráfica:

Para x=1, el dibujo hace un pequeño salto, que no se aprecia en la figura pero que sería tal y como puede verse a continuación:


Como veremos en el apartado siguiente ello implicará una discontinuidad de la función en x = 1. Ahora nos preguntamos: cuando el valor de x es muy cercano a 1, ¿cuánto vale la función? Es claro que en x =1 la función no está definida; por lo tanto, tendremos que dar un método que sea capaz de responder a la cuestión anterior, la cual podemos plantearla en los términos siguientes: Si x tiende a 1 ¿a cuánto tiende la función? A esto es lo que llamaremos límite de la función F(x) cuando x tiende a 1 y lo denotaremos como:

1lim ( )f x Lx

Definición informal de límite Sea f(x) una función, si las imágenes se aproximan suficientemente a un valor L, cuando los valores de x se aproximan suficientemente a un valor b, decimos que el límite de f(x) cuando x

tiende a b es igual a L y escribimos: lim ( )x b

f x L

Siendo L el valor de dicho límite, el cual queremos calcular; para ello, observemos que a la hora de aproximarnos a lo largo del eje de abscisas al punto x =1 lo podemos hacer por la derecha y por la izquierda, es decir, podemos considerar (siempre para puntos cercanos a 1). A estos límites los llamaremos límites laterales.

Límites laterales

lim ( )f xx b

, se llama límite lateral por la derecha.

lim ( )f xx b

, se llama límite lateral por la izquierda

Para que el límite exista debe cumplir que el límite por la izquierda y por la derecha sean iguales, de lo contrario diremos que el límite no existe en dicho punto, es decir:

lim ( )b

f x Lx

, si y solamente si: lim ( )b

f xx

= lim ( )b

f xx

Ejemplo 1 Sea

14

14)(

2 xsixx

xsixxf Hallar )(lim

1xf

x


Solución:

314)4(lim)(lim11

xxfxx

(Acercamiento por la izquierda)

314)4(lim)(lim 2

11

xxxf

xx (Acercamiento por la derecha)

Entonces: 3)(lim1

xfx

Ejemplo 2 Determinar, si existe, el límite de la siguiente función en los puntos x = 2 y x = 0:

1( )

1

xf x

x

Solución: Calculemos:

2

lim ( )x

f x

Si determinamos el valor de la función en dicho punto tenemos:

1(2)

1 2f

y podemos observar en la gráfica de la función como existen los límites laterales:

2 2

1lim ( ) lim ( )

1 2x xf x f x

con lo cual tenemos que:

2

1lim ( )

1 2xf x

Para el segundo punto, calculemos:

0

lim ( )x

f x


En este caso, los límites laterales no coinciden, ya que no existe el límite lateral por la izquierda de la función (no podemos evaluar f en puntos a la izquierda de cero). El límite lateral por la derecha si existe y vale:

0

lim ( ) 1x

f x

, por lo tanto el límite pedido no existe.

En general, para que una función posea en un punto un límite, dicho punto ha de ser tal que puntos a su izquierda y a su derecha han de pertenecer al dominio de la función. Además, la función no tiene porqué existir en dicho punto.

Ejemplo 3 Definir una función que NO posea límite en un punto interior a su dominio de definición. Consideremos, por ejemplo, la función:

Representémosla gráficamente:

En este ejemplo el dominio es todos los números reales ℜ. Si tomamos x=0, que es punto interior,

en él, existe la función y vale f (0) = 0 No obstante, no existe el límite cuando x tiende a cero, ya que los límites laterales no coinciden (por la izquierda toma el valor cero y por la derecha el valor −∞, como observamos en la gráfica). Obsérvese que a la hora de calcular los límites laterales utilizamos x2 cuando determinamos el

límite por la izquierda y Log(x) cuando calculamos el límite por la derecha.

Nota: Sabemos que “el infinito” no es un número, sino un símbolo que expresa un número muy grande, de tal manera que cualquier otro número real verifica ser menor que él. Cuando se define el límite como un número real, si en el cálculo de dicho límite no se obtiene un número real (el infinito no lo es) resultará que el límite no existe. En los dos ejemplos siguientes puede observar dos casos en los que el límite no existe pero que son casos distintos, ya que en el primero los límites laterales coinciden y valen infinito, mientras que en el segundo los laterales no coinciden.


2 2 2

0 0 0

1 1 1lim lim lim

x x xx x x

0 0

1 1lim lim

x xx x

Viendo la representación gráfica de las funciones se entiende los resultados obtenidos: F(x) = 1/x2 F(x) =1/x:

Definición formal de límite Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L, cuando x tiende a c, si fijado un número real positivo ε, mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε, tal que, para todos los valores de x distintos de c que cumplen la condición |x – c | < δ, se cumple que |f(x) - L| <ε.

lim ( ) 0 0 / 0 ( )x a

f x L x c f x L

Ejemplo 1

Utilicemos la definición para demostrar que 2

lim 4 5 3x

x

Como la función está definida en todo intervalo abierto que contiene a 2, entonces podemos utilizar

la definición para hacer la demostración.

Se debe demostrar que para cualquier 0 existe una 0 tal que

Si 0 2x entonces (4 5) 3x (A)

Si 0 2x

entonces 4 8x

Si 0 2x entonces 4 2x

Si 0 2x

entonces 24

x

Entonces, si tomamos 4

se cumple la proposición (A). Esto demuestra que

2lim 4 5 3x

x

Ejemplo 2

Demuestre que 2

3lim ( 5) 7x

x x

utilizando la definición de límite.


Para hacer la demostración basta con encontrar un tal que: 20 3 ( 5) 7x x x

34127)5( 22 xxxxxx < (1)

Ya que por definición, el lim ( )x b

f x L

existe siempre que

Lxfcx )(0

Para efectos de simplificación, asumimos un valor de =1 y obtenemos:

84444424213 xxxx

Sustituyendo en (1) se obtiene que 8 < y que < /8; ya que 3x por definición.

Propiedades de límites Sean b, c, n, A y B números reales, sean f y g funciones tales que:

BxgAxfcxcx

)(lim,)(lim Entonces:

1. limx c

b b

2. limx c

x c

3. lim . ( )x c

b f x bA

4. lim ( ) ( )x c

f x g x A B

5. lim ( ). ( ) .x c

f x g x A B

6. ( )

lim( )x c

f x A

g x B , 0B

7. lim ( ) lim ( )x cx c

f x f x

8. 0

lim 0x

x

k (K es constante)

9. 0

lim ( )x

kno existe

x 10. lim 0, 0

nx

kn

x

11. lim ( )x

xno existe

k

Cálculo de límites

1. Límites de funciones polinómicas

Sea 223)( 23 xxxxf La gráfica de una función polinómica (o polinomio) tiene un trazo

continuo, por lo cual podemos afirmar:

Sea f un polinomio, entonces para cualquier número real c se tiene que )()(lim cfxfcx

, es decir,

que el límite en cualquier punto c de su dominio se halla simplemente calculando su imagen.

Ejemplo:

Para la función anterior )1(821232)1()1(2)1(3)(lim 23

1

fxf

x


2. Si al evaluar el limite en forma directa (sustituir el valor del punto en la función), se obtiene una

expresión de la forma convendrá calcular los límites laterales; si son iguales la función

tiene límite, en caso contrario el límite no existe. Cuando se presenten funciones con valor absoluto o funciones a trozos también es conveniente calcular los límites laterales. 3. Si al evaluar el limite en forma directa (sustituir el valor del punto en la función), se obtiene una

expresión de la forma 0 00

, , 0. , 0 , , 10

(indeterminación) entonces debemos realizar

procedimientos algebraicos para suprimir la indeterminación. Nota: Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sino que la aplicación de las propiedades de los límites tal como las hemos enunciado no son válidas. En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver cada una de las indeterminaciones.

Resumen del Cálculo de límites Indeterminados

1. Indeterminación 0

0

Cuando solo aparecen funciones racionales (polinomios en el numerador y denominador), basta con descomponer factorialmente el numerador y el denominador.

Ejemplo 3

21

1lim

1x

x

x

Para eliminar la indeterminación, factorizamos el numerador y el denominador, simplificamos y resolvemos el límite obtenido, así:

2 23

21 1 1

1 1 11lim lim lim

1 1 1 1x x x

x x x x xx

x x x x

Por lo tanto 3

21

1 3lim

1 2x

x

x

En aquellos casos en que aparecen funciones irracionales (radicales), basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada.

Ejemplo 1

1 1 1

1

1 11 1lim lim lim

2 2 2 2 1 2. 1 1

1 1lim

42. 1

x x x

x

x xx x

x x x x x

x


Ejemplo 2 0

1 1limx

x

x

Si sustituimos el valor de x=0 se tiene la forma 0

0 por lo cual debemos realizar algún procedimiento

algebraico, en este caso multiplicamos numerador y denominador por 11 x , es decir, se

racionaliza el numerador (por la conjugada) para aplicar el producto notable:

22))(( bababa , y así eliminar la indeterminación

0 0 0

1 1 ( 1 1)( 1 1) ( 1) 1lim lim lim

( 1 1) ( 1 1)x x x

x x x x

x x x x x

0 0

1 1lim lim

2( 1 1) 1 1x x

x

x x x

2. Indeterminación

En la mayoría de los casos basta con dividir el numerador y denominador por la mayor potencia de la variable del denominador. También se pueden utilizar teoremas como: Sea f(x) una función racional definida por:

o

m

m

m

m

o

n

n

n

n

bxbxbxb

axaxaxaxf

1

1

1

1

1

1

......

......)(

a) Si n < m entonces: lim ( ) 0x

f x

b) Si n = m entonces: lim ( )x

anf xbm

c) Si n > m entonces: lim ( )x

f x

Ejemplo 1 2

2

4 1lim

1x

x x

x


Dividimos por la variable de mayor grado del denominador, 2x

2

2 2 2 2

2

22 2

4 1 1 14

4 0 0 4lim lim lim 4

11 1 0 11

x x x

x x

x x x x x

x

xx x

Entonces, 2

2

4 1lim 4

1x

x x

x

Ejemplo 2 2 3

limx

x x

x

2

2 2

3 1 31

1 0 1lim lim lim 1

1 1 1x x x

x x

x x x x xx

x

Entonces, 2 3

lim 1x

x x

x

3. Indeterminación

∎ En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas. Ejemplo

22

1lim

4 2x

x

x x

Indeterminación

Realizamos la diferencia:

2 2 2

2 2 2

21 2 2lim lim lim

4 2 4 4 0x x x

x xx

x x x x

Hay que hacer límites laterales:

2

2

2

2

2 2lim

4 0

2 2lim

4 0

x

x

x

x

2

2

1lim

4 2x

xNo existe

x x

∎ En otros casos, sobre todo en aquellos en que aparecen raíces cuadradas, basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada(es decir, racionalizar).

Ejemplo 2limx

x x x


Página 48

22 2 2 2

2

22lim lim lim

x x x

x x x x x x x x xx x x

x x xx x x

2 2

2 2lim lim

x x

x x x x

x x x x x x

Hemos transformado el límite en otro indeterminado de la forma

que se resuelve dividiendo el

numerador y el denominador entre x, así:

2 2

2 2

1 1 1lim lim lim

21 1 1 01 1

x x x

x

x x

x x x x x x

xx x x

Por lo tanto, 2 1lim

2xx x x

4. Indeterminación 0

En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas. Ejemplo

23

1lim 3 . 0.( )

9xx

x

Indeterminación

Realizamos el producto y en este caso llegamos a otra indeterminada del tipo 0

0:

23

3 3

3 0lim

09

3 1 1lim lim

3 3 3 6

x

x x

x

x

x

x x x

5. Indeterminación 0 0, 0 , 1

∎ Para determinar estos límites tendremos en cuenta que:

( )( )( ) ( )( )

( )

g xLn f xg x Ln f xg x

f x e e

, de donde resulta que:

( )

lim ( ) ( )

lim ( )g x

x a

g x Ln f xx a

f x e

Pudiendo aparecer otras indeterminaciones, que resolveremos por los métodos anteriores o por métodos que aprenderemos en temas posteriores.

Si al calcular el límite de la función aparece una indeterminación del tipo 1 debemos tener en

cuenta que: 1

0

1lim 1 lim 1 x

x

x xx

xe

=2'71828...


Página 49

∎ También para la indeterminación 1podemos aplicar con mayor facilidad la siguiente igualdad:

( )lim ( )

kg x

x af x e

, donde lim ( ) 1 ( )k f x g x

x a

Aplicar la igualdad anterior a la resolución del siguiente límite: 2

2

2

2

1 3

0

1lim

1

x

x

x

x

x

Al reemplazar el valor al que tiende la x nos da de la forma1, aplicando la formula, tenemos:

2

2

2

2

1 3

0

1lim

1

x

x

x

x

x

= 1 ke

2 2

2 20

1 1 3lim ( ) 1 ( ) lim 1

1x

x xk f x g x k

x a x x

2 2 2 2 2

2 2 2 20 0

1 1 1 3 2 1 3lim lim

1 1x x

x x x x xk

x x x x

´

2 2

2 20 0

2 1 3 2 6 2lim lim 2

1 1 1 1x x

x xk

x x

Entonces,

2

2

2

2

1 3

2

0

1lim

1

x

x k

x

x

xe e

Límites trigonométricos Un límite básico relacionado con la trigonometría es el siguiente:

0

( )lim 1x

sen x

x

A partir de este resultado podemos resolver límites como:

1. 0

1 cos( )lim 0x

x

x

2.

0lim 1

( )x

x

sen x 3.

0

( )limx

sen kxk

kx

No olvidar que para resolver los límites trigonométricos debemos de conocer también las identidades trigonométricas

Ejemplo

Calcular 0

tanlimt

t t

sent

Solución: Es conveniente convertir la tangente en su correspondiente expresión en términos de seno y coseno, tenemos:

0 0

tan coslim limt t

sentt

t t t

sent sent


0 0 0 0

cos

cos coscoslim lim lim limcos cos cost t t t

t t sent

t t sent t t sentt

sent t sent t sent t sent

0 0

1lim lim 1 1 2

cost t

t

sent t

Entonces obtenemos que 0

tanlim 2t

t t

sent

Nota: En este ejemplo se utilizó

0lim 1t

t

sent

Limites infinitos

Asíntotas verticales Definición 1 Sea f una función definida en ambos lados de a, excepto posiblemente en x = a. Entonces:

)(lim xfax

, significa que los valores de f(x) se pueden hacer arbitrariamente grandes (tan

grandes como deseemos) al elegir un x suficientemente cerca de a (pero no igual a a). En estos casos la gráfica presenta una asíntota vertical en x = a (recta paralela al eje y por la cual no cruza la gráfica)

Definición 2 Sea f una función definida en ambos lados de a, excepto posiblemente en x = a. Entonces:

)(lim xfax

, significa que los valores de f(x) se pueden hacer arbitrariamente negativos (tan

grandes como deseemos) al elegir un x suficientemente cerca de a (pero no igual a a). En estos casos la gráfica presenta una asíntota vertical en x = a (recta paralela al eje y por la cual no cruza la gráfica)


Definición 3 La recta x = a se llama asíntota vertical de la función )(xfy si se cumple una de las siguientes

proposiciones:

)(lim)(lim)(lim

)(lim)(lim)(lim

xfxfxf

xfxfxf

axaxax

axaxax

Limites al infinito Sea f una función definida en un intervalo ),( a , entonces Lxf

x

)(lim significa que los valores

de f(x) se pueden aproximar a L tanto como deseemos, si escogemos un x suficientemente grande.

Asíntotas horizontales Definición La recta y = L se llama asíntota horizontal de la curva )(xfy si se satisface una de las dos

expresiones:

LxfoLxfxx

)(lim)(lim

De lo anterior podemos concluir que una función racional presenta una asíntota horizontal si el grado del numerador es menor o igual que el grado del denominador.


Ejemplo 1

12

2

x

xy si calculamos:

1

1lim

2

2

x

x

x obtenemos como resultado 1, lo cual significa

que la gráfica tiene un asíntota horizontal en y = 1, veamos esta situación en el siguiente dibujo:

Asíntotas oblicuas Sea )(xf una función racional, si el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del

denominador, entonces la gráfica de f presenta una asíntota oblicua, esta se halla realizando la división indicada en la función.

Ejemplo

Sea 42

3)(

2

x

xxf

Esta función tiene una asíntota oblicua, hallémosla:

Asíntota oblicua: 12

1 xy

Veamos la gráfica:


Nótese que

42

3lim

2

x

x

x y además

2 3lim

2 4x

x

x

Teorema del emparedado Sean f, g, h funciones tales que: )()()( xhxgxf para todo cx en un intervalo que contiene a

c, supongamos que Lxhxfcxcx

)(lim)(lim , entonces:

Lxgcx

)(lim

Ejemplo:

Demuestre que 0)1

(lim 2

0

x

senxx


Obsérvese que no podemos aplicar que )1

(lim.lim)1

(lim0

2

0

2

0 xsenx

xsenx

xxx

puesto que el segundo

límite no existe.

Como 1)1

(1 2 x

senx entonces: 222 )

1( xx

senxx (véase la figura de arriba)

Además: 0)(limlim 2

0

2

0

xx

xx por lo tanto 0)

1(lim 2

0

x

senxx

Continuidad de una función Estudiaremos una característica importante de las funciones como lo es su continuidad, tanto en forma gráfica como de manera analítica. Intuitivamente, una función es continua en un punto si a pequeños cambios en la variable independiente, x, se producen pequeños cambios en la variable dependiente, y. Gráficamente, se observan claramente, pues son gráficas que se dibujan de un trazo, sin levantar el lápiz del papel. Matemáticamente, la definición es la siguiente.

Definición: Sea f una función, decimos que f es continua en un punto x = c si se satisfacen tres propiedades:

1. f esta definida en c, es decir, f(c) existe, o , ))(()( xfDomcf

2. )(lim xfcx

existeM

3. )()(lim cfxfcx

El concepto de continuidad en un punto se generaliza a un subconjunto, de forma que se dice que f es continua en un intervalo abierto (a, b) si es continua en todos los puntos de dicho intervalo. Además, es continua en un intervalo cerrado [a, b] si es continua en (a, b) y es continua por la derecha en a y por la izquierda en b. Podemos observar que en la práctica, el estudio de la continuidad conlleva el cálculo de límites, cuestión que, como vimos en el apartado anterior, necesitará la ayuda de algún programa de cálculo. Cuando una función no es continua en un punto diremos que es discontinua en dicho punto, A continuación estudiaremos los tipos de discontinuidad.

Clases de discontinuidad

Si cualquiera de las tres condiciones de Continuidad falla decimos que la función es Discontinua.

a. Discontinuidad evitable

Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe límite en él y no coincide con el valor de la función en el mismo. Graficamente se reconoce esta discontinuidad si la función posee un hueco o un quiebre. El valor que deberíamos dar a la función en dicho punto para que fuera continua en él se llama verdadero valor de la función en el punto.


En este caso la función se puede redefinir para que sea continua, es decir la discontinuidad se puede reparar. Toda función Discontinua evitable es Reparable. Para evitar la discontinuidad de la función definimos una nueva a partir de la que tenemos, de la siguiente manera:

( ) si ( )

si

f x x ag x

L x a

, es decir, definimos la nueva función igual que la función que tenemos en

todos los puntos donde no hay problema y en el punto donde presenta la discontinuidad le asignamos el valor del límite.

Ejemplo:

Hallar el verdadero valor de la función f xx x

x( )

2 5 6

3 en el punto x = 3.

Si observamos la función, resulta que no está definida en el punto x = 3, pero si calculamos el límite de la función en ese punto, obtenemos:

2

3 3 3

5 6 ( 3) ( 2)lim lim lim( 2) 3 2 1

3 3x x x

x x x xx

x x

que sería el verdadero valor de la función

en ese punto. La nueva función

g x

x x

xsi x

si x

( )

2 5 6

33

1 3

, sería continua en el punto x = 3.

b. Discontinuidad no evitable o esencial Una función tiene una discontinuidad inevitable en un punto cuando no existe límite de la función en dicho punto. En este caso, debido a la imposibilidad de hacerla continua decimos que la discontinuidad es Irreparable. Graficamente se reconoce esta discontinuidad si la funcion presenta un Salto o separación. Nota: debe observarse que para clasificar una discontinuidad en una función, es de primordial importancia el cálculo del límite de la función puesto que si éste existe la función se puede reparar (evitable); en cambio, si no existe, la discontinuidad es irreparable (esencial).

Ejemplos

Mostramos tres ejemplos de funciones discontinuas, en las cuales fallan las condiciones 1), 2) y 3) mencionadas en la definición anterior.

1) La función: 1

( )1

xf x

x

no es continua en el punto x=1 ya que la función no existe en dicho

punto pero el límite si existe y tiene un valor de 2(compruébelo).


La función es discontinua evitable en x=1 por existir el límite, sin embargo la función si es continua en cualquier otro punto de su dominio.

2)

2 0( )

( ) 0

x xf x

Log x x

2. (0) (0) 0a f

0 0

2

0 0

0

. lim ( ) lim ( )

lim ( ) lim 0

lim ( )

x x

x x

x

b f x Log x

f x x

f x No existe

0. (0) lim ( )

xc f f x

La función no es continua en el punto x=0, pero ahora por otra razón al ejemplo anterior: no existe el límite de la función en dicho punto (no coinciden los límites laterales en cero). La función es discontinua inevitable en x=0 por no existir el límite.

3)

2

2 2( )

2

xf x

x x

. (2) 2a f

2. lim ( ) 4

xb f x

2. (2) lim ( )

xc f f x

La función no es continua en el punto x=2 ya que, si bien existe la función en el punto y existe el límite, ambas cantidades no coinciden. La función es discontinua evitable en x=2

4) Dada la función f x

x si x

si x

x si x

( )

3 5 1

2 1

3 1

, estudiar la continuidad de dicha función en x = 1

Seguiremos el mismo proceso que en los ejemplos anteriores:

a. Estudiamos la existencia del 1

lim ( )x

f x

Como en el punto x = 1 la función experimenta un cambio de definición, para estudiar la existencia de dicho límite, tendremos que calcular los límites laterales de la función en el punto. Por tanto:

1 1

lim ( ) lim (3 5) 2x x

f x x


1 1

lim ( ) lim (3 ) 2x x

f x x

En consecuencia, existe 1

lim ( ) 2x

f x

pues los límites laterales son iguales.

b. ( 1) 2f

c. lim f x fx

1

1 ( ) ( )

Luego la función es discontinua evitable en el punto x = 1 por existir el límite Las discontinuidades las podemos resumir de la siguiente forma:

lim ( ) ( )

lim ( )

lim ( ) ( )( )

lim ( )( )

lim ( ) lim ( ) ( )

( )

x a

x a

x a

x a

x a x a

f x f a continua

f x existe

f x f a discontinua evitablef a está definido

f x no existe discontinua no evitablef x

f x existe f x f a di

f a no definido

lim ( )x a

scontinua evitable

f x no existe discontinua no evitable


UNIDAD 3

DERIVADAS Y APLICACIONES Uno de los grupos temáticos de la Matemática Superior que más se aplica a la Economía es, sin duda, la derivada. Es utilizada para determinar el producto marginal, elasticidad e importantes funciones económicas, y para desarrollar los procesos de optimización. Tanto el óptimo microeconómico del consumidor como del productor, representan un problema de optimización modelado mediante un proceso en derivadas parciales. Este documento ilustra algunas de las aplicaciones de la derivada de las funciones de una variable independiente, con énfasis en las aplicaciones económicas.

CONCEPTOS BÁSICOS

Incrementos y razón (tasa) de cambio

Sea ( )y f x una función definida en el intervalo 1 2,x x , si x cambia de 1x a 2x entonces el

cambio o variación en x se llama incremento de x: 12 xxx El correspondiente incremento de

y es )()( 12 xfxfy

2 1

2 1 2 1( ) ( )

x x x

y y y f x f x

Dicha variación puede ser positiva o negativa. El cociente de estos incrementos se llama Razón de cambio promedio o tasa de variación media de y con respecto a x

Razón de cambio promedio = 12

12 )()(

xx

xfxf

x

y

Si las variaciones las medimos para valores de x muy próximos obtendremos la tasa de variación

instantánea o razón de cambio instantánea de y con respecto a x en el punto )(,( 11 xfx :

Razón de cambio instantáneo = 2 1

0 02 1

( ) ( )lim limx x

f x f xy

x x x

Ejemplos:

1. Para la función 24 2y x x , calcular el incremento de x y el incremento de y para

1 21, 2x x

2 1 2 ( 1) 3x x x


2

1

2 12

2

4 2( 1) ( 1) 4 2 1 74 7 3

4 2(2) (2) 4 4 4 4

yy y y

y

El incremento de y negativo significa una disminución de la función, lo cual quiere decir que al aumentar la x tres unidades, la función (y) disminuye en tres unidades.

2. El volumen de ventas de gasolina (No. de litros vendidos por día) es 1,000 200q p , en

donde p es el precio por litro en centavos. Calcular el incremento en el volumen de ventas de gasolina que corresponde a un incremento en el precio por litro, de $1.50 a $1.60. ¿Cuál es el incremento en el precio?

2 1 160 150 10p p p Centavos/litro.

1

2 1

2

1,000(200 150) 50,000 litros/dia40,000 50,000 10,000 /

1,000(200 160) 40,000 litros/dia

qq q q Lit dia

q

Lo cual quiere decir que al aumentar el precio por litro en 10 centavos, el volumen de ventas disminuye en 10,000 litros diarios.

3. Para cierto fabricante, el costo de producción de x toneladas por semana de un producto químico, expresado en dólares está dado por: ( ) 50,000 60C x x y el ingreso correspondiente

por la venta de x toneladas semanales de producto químico, expresado también en dólares,

está dado por2

( ) 300 0.03I x x x . La compañía actualmente produce 4,000 toneladas por

semana, pero desea incrementar la producción a 4,200 toneladas de producto químico semanales, calcular:

a) El incremento semanal en los costos de producción. b) El incremento semanal en los ingresos. c) El incremento semanal en las utilidades. d) La tasa de cambio promedio de la utilidad por las toneladas extra producidas.

a. (4,200) (4,000) 50,000 60(4,200) 50,000 60(4,000) 302,000 290,000C C C

$12,000C

b. 2 2(4, 200) (4,000) 300(4, 200) 0.03(4, 200) 300(4,000) 0.03(4,000)I I I

730,800 720,000 $10,800I

c. 10,800 12,000 $ 1,200U I C

1, 200

6200

U

x

. Lo que significa que, en promedio, por cada tonelada adicional producida y

vendida por semana, la utilidad disminuye en $6.

Incremento de una función en forma general

2 1 2 1x x x x x x , como se puede ver en la gráfica.

2 1 2 1( ) ( )y y y f x f x . Por lo tanto sustituyendo 2x se tiene que ( ) ( )1 1

y f x x f x

para cualquier incremento de x, a partir de un valor conocido de x. En general, para cualquier valor de x y cualquier incremento de x, se tiene que: ( ) ( )y f x x f x


Ejemplo:

2( ) 4f x x

a) Calcular el incremento de y si 3, 0.8x x

b) Calcular el incremento de y si 3x , para cualquier incremento de x.

c) Calcular el incremento de y para cualquier valor de x y cualquier incremento de x. Solución:

a) 2 2( ) ( ) (3 0.8) (3) (3.8) (3) (3.8) 4 (3) 4 10.44 5 5.44y f x x f x f f f f

b) 2 2 2( ) ( ) (3 ) (3) (3 ) 4 (3) 4 9 6 ( ) 4 9 4y f x x f x f x f x x x

2 25 6 ( ) 5 6 ( )y x x x x .

c) 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 4 4 2 ( ) 4 4 2 ( )y f x x f x x x x x x x x x x x x

La derivada Definiciones Línea secante: Es la línea que intercepta la curva en dos o más puntos (Ver figura abajo). Línea tangente a una curva en un punto P de la misma: Es la línea resultante de la posición límite

de las líneas secantes PQ , siendo Q un punto de la curva acercándose al punto P, ya sea por la

derecha o por la izquierda (Ver figura abajo). Pendiente de una curva en un punto P de la misma: Es la pendiente, en caso de que exista, de la

línea tangente a la curva en el punto P. h

xfhxfm

h

)()(lim

0

Otra definición

La pendiente de la recta tangente a la curva )(xfy en el punto P ))(,( afa es:

ax

afxfm

ax

)()(lim

Derivada de una función ( )y f x : Es la función denotada por )(xf o por y , definida por:


Siempre que el límite exista.

Geométricamente representa la pendiente de la línea tangente a la curva en cualquier punto de la misma.

Diferentes formas de representar la derivada de una función )(xfy :

( )

; ( ); ; ; ; ( )x x

dy df xy f x D y D f x

dx dx

La derivabilidad implica la continuidad (aunque no al revés) es decir si f(x) es derivable en un punto a, entonces es continua en dicho punto. Esto es equivalente a: “Si f(x) no es continua en un punto a entonces no puede ser derivable en dicho punto”

Derivadas laterales Como la derivada de una función es un límite y teniendo presente que, en algunas ocasiones los límites no existen aunque si sus límites laterales, se pueden dar las siguientes definiciones: Se llama derivada lateral de f(x) a la izquierda de “a”, al límite, cuando existe y es finito:

. ( ) ( )

( ) limx a

f x f af a

x a

Se llama derivada lateral de f(x) a la derecha de “a”, al límite, cuando existe y es finito:

( ) ( )( ) lim

x a

f x f af a

x a

Una función es derivable en un punto si existen las derivadas laterales y éstas coinciden.

La derivada como razón de cambio Definición:

0( ) lím

x

yf x y

x


0

es la razón decambio promediode ycon respectoa

( )

lím es la razón decambioinstantánea de ycon respectoax

yx

xsi y f x

y dyx

x dx

La razón de cambio instantánea se abrevia simplemente como razón de cambio ( )dy

f x ydx

,

y representa aproximadamente el cambio de y por cada cambio unitario en x.

Ejemplos

1. Halle la derivada de 2xy en x = 2

2 2 2 2 2 2 2

0 0 0 0

0

2

( ) 2 2 (2 )' lim lim lim lim

lim(2 ) 2

: 2

h h h h

h

d x x h x x xh h x xh h h x hy

dx h h h h

x h x

d xEntonces x

dx

En x = 2 la derivada es: 2(2)=4

2. La derivada de 3xy es

3 3 3 3 2 2 3 32

0 0

3

2

( ) 3 3' lim lim 3

: 3

h h

d x x h x x x h xh h xy x

dx h h

d xEntonces x

dx

3. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función xxf )( en el punto (4,2)


En primer lugar hallemos la pendiente de la recta tangente usando límites:

( )( ) ( )lim lim lim lim

0 0 0 0( ) ( ) ( )

1 1 1 1lim

0 4( ) 2 2 4

x h x x h x x h x x h x hm

h h h hh h x h x h x h x h x h x

h x h x x

Ahora hallemos la ecuación de la recta con la expresión: 00 )( yxxmy

1 1 1( 4) 2 1 2 1

4 4 4y x x x

Solución: 1

14

y x

Propiedades o reglas de derivación Sea ( ), ( )u f x v g x son funciones cuya derivada existe; c y n son número reales o

constantes.

1. Si 0y c y 2. Si 1y x y 3. Si y cx y c

4. Si 1n ny x y n x 5. Si y cu y cu

6.

Si y u v y u v

7.

Si . . ' . 'y u v y v u u v

8.

2Si

u v u - u vy y =

v v

9. Si lnu

y u yu

Si a

uy Log u y

u Lna

10. Si u uy e y u e

Si u uy a y a Lnau

11. Si u

y u y uu

Ejemplos:

1. 3 22 5 7y x x

2 22(3 ) 5(2 ) 0 6 10y x x x x . Se aplicaron las reglas 6, 5, 4, 1.

2. 1/3 2/33

2/3 3 2

1 1 13 3 0

3 3 3

dyy x x x

dx x x

. Se aplicaron las reglas 6, 1, 4.

3. 1/ 2 1/ 2 1/ 2 2 / 3

1/ 2 2 / 323

3 4 3 4( ) 5 5 5 3 4g x x x x x x

x xx x

1/ 2 3/ 2 5 / 3

1/ 2 3/ 2 5 / 3

1 1 2 5 3 2( ) 5 3 4

2 2 3 2 2 3g x x x x

x x x


3 53

5 3 2( )

2 2 3g x

x x x . Se aplicaron las reglas 6, 5, 4.

4. Halar la derivada de

2

72

72535372)(

72

53)(

222

x

xDxxDxxf

x

xxf xx

22

2

22

2

2

72

10426

72

1064212

72

)2(53672)(

x

xx

x

xxx

x

xxxxf

Se aplicaron las reglas 8, 6, 5, 4,1

5. 2222

2

2 )3(

ln23

)3(

)2(ln1

)3(

3

ln

x

xxx

x

x

xxx

x

yx

xy .

Se aplicaron las reglas 7, 9, 6, 4 y 1.

6. 5 3 5 3 5 34 4 4 2 2 2 4( ) ( ) 5 12 5 12x x x x x xf x e f x e x x x x e .

Se aplicaron las reglas 10, 6, 4, y 5. Ejemplos aplicados:

1. La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es 0.003

1,000xp e .

Evalúa la razón de cambio del precio unitario con respecto al número de unidades, cuando éstas son 500.

0.003(500)0.003 0.003 1.51,000 0.003 3 3 3 0.6694

500

dp dpx xe e e e

dx dx x

Es decir, el precio disminuye a razón de $0.6694/unidad por cada unidad adicional demandada.

2. La función de utilidad de una empresa, en miles de pesos, está dada por ( ) 50ln( 1) 90U x x

donde x representa las unidades fabricadas y vendidas. Calcular la razón de cambio de la utilidad con respecto al número de unidades, cuando se fabrican y venden 10 unidades.

1 50( ) 50 (10) 4.54545

1 1U x U

x x

Es decir, la utilidad aumenta $4,545.45 por cada unidad más que se fabrique y venda.

Regla de la cadena Si f (u) es derivable en )(xgu y g(x) derivable en x, entonces la compuesta ))(()( )( xgfgf x

es derivable en x. Además:

( )( ) ' '( ( )). '( )xf g f g x g x

Usando la notación de Leibniz, si )(,)( xguufy entonces:


dy dy du

dx du dx

Regla de la cadena para potencias Si )(xu es una función derivable entonces:

1( ) nnd u du

ndx dx

u

Ejemplos

1. Sea 42 )13( xxy halle su derivada

)13()13(4' 32 xxxy

2. Sea xxy 3 calcule

dx

dy

1 1 23 3 3 22 2

3

1 3 1( ) ( ) (3 1)

2 2

dy xy x x x x x x x

dx x x

Derivada de funciones trigonométricas Derivada de seno de x

( ) cos( )

dsen x x

dx

)cos()1)(cos()0)(()(

lim)cos(1)cos(

lim)(

)cos()(lim

1))(cos((lim

)cos()()1))(cos((lim

)()cos()()cos()(lim

)()(lim)(

00

000

00

xxxsenh

hsenx

h

hxsen

h

xhsen

h

hxsen

h

xhsenhxsen

h

xsenxhsenhxsen

h

xsenhxsenxsen

dx

d

hh

hhh

hh

( ) cos( )

dsen x x

dx

Derivada de coseno de x

)()1)(()0)(cos()(

lim)(1)cos(

lim)cos(

)()(lim

1))(cos(cos(lim

)()()1))(cos(cos(lim

)cos()()()cos()cos(lim

)cos()cos(lim)cos(

00

000

00

xsenxsenxh

hsenxsen

h

hx

h

xsenhsen

h

hx

h

xsenhsenhx

h

xxsenhsenhx

h

xhxx

dx

d

hh

hhh

hh


cos( ) ( )d

x sen xdx

Para obtener las demás derivadas no es necesario usar límites ya que empleamos las identidades que involucran a seno y a coseno.

Derivada de tangente de x

2 22

2 2 2

( ) cos( )cos( ) ( ( )) ( ) cos ( ) ( ) 1tan( ) sec ( )

cos( ) (cos( )) (cos( )) cos ( )

d d sen x x x sen x sen x x sen xx x

dx dx x x x x

2tan( ) sec ( )

dx x

dx

Se puede usar este mismo procedimiento para probar las siguientes derivadas:

)cot()csc()csc()tan()sec()sec()(csc)cot( 2 xxxdx

dxxx

dx

dxx

dx

d

Derivadas de funciones trigonométricas compuestas

2

2

1. ( ) cos( ) 2. cos( ) ( ) 3. tan( ) sec ( )

4. cot( ) csc ( ) 5. sec( ) sec( ) tan( ) 6. csc( ) csc( )cot( )

d du d du d dusen u u u sen u u u

dx dx dx dx dx dx

d du d du d duu u u u u u u u

dx dx dx dx dx dx

Ejemplos

1. Derive )( 2xseny

)cos(22)cos(' 22 xxxxy

2. Derive )2

11( x

seny

)2

11cos(

1)

1)(

2

11cos('

22

xxxxy

Derivación implícita Una función f(x) esta definida implícitamente por una ecuación si y solo si al sustituir y por f(x) se llega a una identidad.

Ejemplos

1. La ecuación xy 2define dos funciones implícitamente, ellas son:

xxfyxxfy )(,)(


Para hallar dx

dyxf )(' debemos derivar implícitamente la ecuación xy 2

, en primer lugar vamos

a sustituir y por f(x) en la ecuación, así:

xxf 2

)( , ahora derivamos en ambos miembros con respecto a x y usamos la regla de la cadena

en el miembro izquierdo

1 1

2 ( ) '( ) 1 '( )2 ( ) 2

f x f x f xf x y

2. Suponga que 33 7 xyy define a y como una función implícita de x, halle

dx

dy

Derivando en ambos miembros:

22 2 2 2

2

33 . 7 3 (3 7) 3

3 7

dy dy dy dy xy x y x

dx dx dx dx y

Derivada de una función elevada a otra función Tambien se conoce como la derivada de la función exponencial compuesta, se puede representar de la forma:

Vy U

Para hallar su derivada podemos podemos usar la formula Otra forma de derivarla es por medio del logaritmo natural. Se le aplica a los dos lados de la expresión logaritmo natural (Ln) para por medio de propiedades de logaritmos bajar la función del exponente y posteriormente derivar cada lado en forma de derivada implicita, para luego despejar

'y

Ejemplo:

Derivar xy x

1 1

' 1.xLn y Ln x Ln y x Lnx y Lnx xy x

1

' 1 ' 1 ' 1xy Lnx y y Lnx y x Lnxy

Derivadas de orden superior Sea y = f(x) una función entonces:

)()('' xfdx

dxfy , es la primera derivada o derivada de primer orden

2''

2' ' ( ) ( )

dy f x f x

dx , es la segunda derivada o derivada de segundo orden

3

3''' ' ' '( ) ( )

dy f x f x

dx , es la tercera derivada o derivada de tercer orden


.

.( ) ( )

( ) ( )n

n n

n

dy f x f x

dx , es la enésima derivada o derivada de orden n

Ejemplos

1. Halle todas las derivadas de orden superior para 223 234 xxxy

3 2 212 6 2 36 12 2 72 12 72

0 0 .......... 0

' '' ''' ivy x x x y x x y x y

viv ny y y

2. Halle la tercera derivada de x

y1

2 3 42 6' '' '''y x y x y x

Teorema del Valor medio Si f es una función en la que se cumple que: 1. f es continua en el intervalo cerrado [a, b] 2. f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b) Entonces, existe un número c que pertenece a (a, b) tal que:

( ) ( )´( )

f b f af c

b a

A la izquierda se observa una ilustración de la interpretación geométrica del Teorema del Valor medio. El teorema afirma que si la función es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), existe un punto c en la curva, entre A y B, donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B. Esto es,

( ) ( )

, , ´( )f b f a

c a b tal que f cb a

Ejemplo Para la función cuya ecuación se da, verificar que se cumplen las condiciones del teorema del valor medio en el intervalo dado, y determinar un valor adecuado "c" que satisfaga la conclusión de este teorema:

3 2( ) ; 2,1f x x x x

Solución:

Por ser f una función polinomial, es derivable para toda x por lo que debe existir por lo menos


un número 2,1c , tal que:

1 2(1) ( 2)´( ) 1

1 2 3

f ff c

Además 2(́ ) 3 2 1f x x x por lo que

2(́ ) 3 2 1f c c c

Como (́ ) 1f c entonces23 2 1 1c c por lo que

1 7 1 7

3 3c o c

Luego en 1 7 11 5 7 1 7 11 5 7

, ,3 27 3 27

y en

la recta tangente es paralela a la

recta secante que pasa por los puntos 2, 2 1,1y

Análisis marginal Cuando un fabricante tiene una determinada producción de un bien y observa que ésta es menor que la demanda de su producto, entonces requiere incrementar su producción para satisfacer la demanda, pero necesita saber si al incrementar dicha producción no se generan gastos excesivos que disminuyan su ganancia y es así que aparecen los conceptos de costo marginal, ingreso marginal y beneficio marginal.

a. Costo marginal Es el costo adicional que se genera al producir una unidad adicional de un producto o servicio. Tambien se define como la razón de cambio del costo total con respecto al número de artículos producidos y comercializados (es decir, el costo aproximado de una unidad extra producida).

Si ( )C x es la función del costo total de producción de x artículos ( )dC

C xdx

es la función

del costo marginal.

El costo total está dado por f VC C C , es decir la suma de los costos fijos y los costos

variables.

El costo medio unitario de producción de x artículos está dado por: C

C C Cxx

Ejemplos:

a. El costo total en dólares de producción de x libras de cierta sustancia química está dado por

245 5C x . Determinar el costo marginal cuando se producen 3 libras de dicha sustancia.

3

' 10 ' 30x

dC dCC x C

dx dx

, es decir, si la producción se incrementa de 3 a 4

libras, el costo se incrementa 30 dólares.

b. El costo medio unitario en la producción de x unidades es 2 100,000

0.002 0.4 50C x xx

.

Determinar la ecuación del costo marginal y el costo marginal para producir 40 unidades.

3 2 20.002 0.4 50 100,000 ' 0.006 0.8 50dC

C Cx x x x C x xdx


40

9.6 32 50 $27.60 / unidad adicional producidax

dC

dx

b. Ingreso marginal Es la razón de cambio del valor total recibido con respecto al número de unidades vendidas (Es decir, el ingreso aproximado recibido por la venta de una unidad adicional vendida).

Si ( )I x es la función del ingreso total por la venta de x unidades ( )dI

I xdx

es la función

del ingreso marginal. La función de ingreso se obtiene multiplicando: (precio unitario) ∙ (No. de unidades vendidas), es

decir: I px

Ejemplo: Un fabricante vende un producto a 3 50x pesos/unidad. Determinar la ecuación del

ingreso marginal y el ingreso marginal para 100x .

2

100

3 50 3 50 6 50 $650 / unidadadicional vendidax

dI dII px x x x x x

dx dx

c. Utilidad marginal Es la razón de cambio del valor total de la utilidad obtenida con respecto al número de unidades producidas y vendidas (Es decir, la utilidad aproximada obtenida por la fabricación y venta de una unidad adicional).

Si ( )U x es la función de la utilidad total por la producción y venta de x unidades ( )dU

U xdx

es la función de la utilidad marginal.

La utilidad se calcula restando: (Ingresos) – (Costos), es decir: U I C

Ejemplo: La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es 2

10 0.01 700p x x y

la función de costo es 2

( ) 1,000 0.01C x x . Calcular la función utilidad marginal y también evaluar

la utilidad marginal para a) 100x unidades b) $10p /unidad.

Sabemos que la utilidad está dada por ( ) ( ) ( )U x I x C x y que el ingreso es I px . Por lo tanto

despejamos p de la ecuación de la demanda y lo multiplicamos por x para obtener la función ingreso:

2 2 2 310 700 0.01 70 0.1 0.001 ( ) 70 0.1 0.001p x x p x x I x px x x x

2 3 2 3 2( ) 70 0.1 0.001 1,000 0.01 0.001 0.11 70 1,000U x x x x x x x x

2( ) 0.003 0.22 70U x x x . Esta es la función utilidad marginal, para evaluarla en x = 100

simplemente sustituimos este valor de x en dicha función. Para evaluarla en p = 10 tenemos que calcular primero cuánto vale x para ese valor de p en la ecuación de la demanda:

210(10) 0.01 700x x . Ordenando la ecuación cuadrática nos queda:

2

0.01 600 0x x .

Resolviendo la ecuación: 1 1 4(0.01)( 600) 1 1 24 1 25 1 5 4

2002(0.01) 0.02 0.02 0.02 0.02

x


Página 71

a) 2

(100) 0.003(100) 0.22(100) 70 30 22 70U = $18/unidad adicional.

b) 2

(200) 0.003(200) 0.22(200) 70 120 44 70U = $94/unidad extra.

Elasticidad de la demanda Es el medio por el cual los economistas miden cómo un cambio en el precio de un producto afecta la cantidad demandada. Se define como:

Elasticidad de la demanda = cambio porcentual en la cantidad demandada

cambio porcentual en el precio

cpd

cpp

Ejemplo: Suponiendo que el precio por artículo se incrementa en un 6% y la cantidad demandada

decrece en un 4%, entonces la elasticidad de la demanda es 4 2

0.66676 3

.

De acuerdo con la definición se tiene que:

Elasticidad =

100

100

x

p xxp x p

p

a. Elasticidad puntual de la demanda ( ).

Se define como:

lím lím lím0 0 0

p x p x p x p dx px

p p px p x p x p x dp x

. En general 0dx

dp , por lo tanto

0 . Es decir, como por regla general esta derivada es negativa, ya que al aumentar el precio de

un artículo la demanda baja y viceversa, y como el precio y la demanda son cantidades positivas, la elasticidad puntual es negativa. Por otra parte de la misma definición de elasticidad se observa que:

cpd

cpd cppcpp

. Además tenemos que 1dx

dpdp

dx

, entonces p p

dp xpx

dx

En resumen: px

x

o también

p

xp

y además cpd cpp o también

cpdcpp

Ejemplo: Si la ecuación de la demanda es 2300 2x p p , evaluar para p = 15:

a) La elasticidad puntual de la demanda. b) El cambio porcentual de la demanda si el precio se incrementa en 6%. c) El cambio porcentual en la demanda si el precio disminuye 4%. d) El cambio porcentual en el precio si la demanda disminuye 10%

2 2dx

pdp

. Si 2

15 300 2(15) (15) 105 y 2 2(15) 28dx

p xdp

a) 15( 28)

4105

px

x


b) ( ) 4 (6) 24cpd cpp , es decir la demanda disminuye en 24%.

c) ( ) 4 ( 4) 16cpd cpp , es decir la demanda aumenta en 16%.

d) 10

2.54

cpdcpp

, es decir el precio aumentó 2.5%

b. Tipos o categorías de elasticidad

1. Si 1 , es decir 1 la demanda es elástica.

2. Si 1 0 , es decir 1 la demanda es inelástica.

3. Si 1 , es decir 1 la demanda tiene elasticidad unitaria.

Ejemplo

2

1,875 222 2

dp p p pp x x

dx xp x x x

Si 1, 4752

20 1,875 (20) 1, 475 1.842

2(20)x p

. Por lo tanto es elástica.

Si 1, 2502

25 1,875 (25) 1, 250 12

2(25)x p

. Por lo tanto es unitaria.

Si 9752

30 1,875 (30) 975 0.542

2(30)x p

. Por lo tanto es inelástica.

Se puede calcular para los tres casos, el cambio porcentual en la demanda cuando el precio baja

por ejemplo 3%. Como cppcpd , para 3 1.84 3 5.52cpp cpd , es decir que:

Cuando x = 20, si el precio disminuye en 3%, la demanda se incrementa en 5.52%, Cuando x = 25, si el precio disminuye en 3%, la demanda se incrementa también en 3% Cuando x = 30, si el precio disminuye en 3%, la demanda se incrementa en 1.62%. En general:

Cuando la demanda es elástica, un cambio porcentual en el precio provoca un cambio porcentual mayor en la cantidad demanda.

Cuando la demanda tiene elasticidad unitaria, un cambio porcentual en el precio provoca un cambio porcentual igual en la cantidad demandada.

Cuando la demanda es inelástica, un cambio porcentual en el precio provoca un cambio porcentual menor en la cantidad demandada

Ejemplos:

1. La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es 600

3 2p

x

. Evaluar la

elasticidad puntual de la demanda y su tipo cuando la producción y venta es de 50 unidades.


3 2 (0) 600(3) 1,800

2 23 2 3 2

xdp

dx x x

.

6002

600 3 2 3 23 2

1,800 3 2 31,800

23 2

xp xx

xp x x x

x

x

.

Si 3(50) 2 152 76

50 1.01333(50) 150 75

x


Otra forma:

Si 600 600

50 3.9473684213(50) 2 152

x p

;

1800 1,8000.077908587

2 23,1043(50) 2

dp

dx

3.947368421

1.013350( 0.077908587)

.

2. La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es 2

30 300 , 0.x p p x

Evaluar la elasticidad puntual de la demanda y su tipo, cuando el precio de venta del artículo es $10. Evaluar también el cambio porcentual en la demanda si el precio disminuye 4%.

2 30dx

pdp

. Si 2

10 (10) 30(10) 300 100p x y 2(10) 30 10dx

dp

10( 10) 1001

100 100

px

x

. Por lo tanto tiene elasticidad unitaria.

( ) ( 1)( 4) 4%cpd cpp , es decir, si el precio disminuye 4%, la demanda aumenta 4%.

3. La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es 100200x

p e

. Evaluar la

elasticidad puntual de la demanda y su tipo, cuando la producción y venta es de 100 unidades.

1100 100200 2100

x xdp

e edx

; 100200 200 100

( 2)1002

x

p exxp x x

x e

.

Si 100

100 1100

x

. Luego tiene elasticidad unitaria.

Otra forma:

Si

1200

1001

2

p ex

p e

;

1200 200

11 200100 2

e

e

4. La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es 600 100lnx p . Evaluar la

elasticidad puntual de la demanda y su tipo, cuando el precio de venta del artículo es $54.59. Evaluar también el cambio porcentual en el precio si la demanda disminuyó 5.5%.


1 100100

dx

dp p p

. Si

600 100ln 54.59 200

54.59 1001.8318

54.59

x

px

54.59( 1.8318)0.49998981

200

px

x

. Por lo tanto es inelástica.

5.511

0.5

cpdcpp

, es decir el precio aumentó aproximadamente 11%.

c. Relación entre la elasticidad y el ingreso

Si la demanda es elástica, al disminuir el precio del producto, la demanda de éste aumenta en un porcentaje mayor, por lo que el ingreso es mayor. Es decir, un menor precio hace crecer la demanda en forma suficiente para que el ingreso aumente, a pesar de haber bajado el precio del producto. También se concluye que al aumentar el precio del producto, la demanda baja en un porcentaje mayor, por lo cual el ingreso disminuye.

Si la demanda es inelástica, al disminuir el precio del producto la demanda aumenta en un porcentaje menor, por lo que a pesar de que se venden más unidades el ingreso es menor. Es decir, al disminuir el precio la demanda aumenta, pero no lo suficiente para compensar la disminución del ingreso, por la baja del precio del producto. También se concluye que al aumentar el precio del producto, la demanda baja en una proporción menor, de tal forma que el ingreso aumenta

Si la demanda tiene elasticidad unitaria, al disminuir el precio del producto la demanda aumenta en el mismo porcentaje, de tal manera que el ingreso ni aumenta ni disminuye. Es decir, un menor precio hace crecer la demanda en forma tal que el ingreso permanece sin cambio. También un mayor precio hace decrecer la demanda en forma tal que el ingreso no

cambia

Ejemplo:

La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es 3,500

2400 3

px

. Contestar las

siguientes preguntas para una demanda de 10 unidades: a) ¿Cuál es el precio unitario del artículo? b) ¿Cuál es la elasticidad puntual de la demanda y su tipo? c) ¿Cuál es el número aproximado de unidades en las que se incrementa la demanda al disminuir

el precio un 12%? d) ¿El ingreso para el fabricante: aumentará, disminuirá o permanecerá constante, al disminuir el

precio del artículo en un 12%? ¿Por qué?

Solución

a) 3,500 3,500 3,500

2 400 300 700400 3(10)p

$5/unidad.

b)

2400 3 0 3,500 6 21,000

2 22 2

400 3 400 3

x xdp x

dxx x


2 2

2 2 2400 3 400 3(10) 700 490,000 49 7

21,000 21,000(10) 210,000 210,000 21 3

xdx

dp x

5 7 7

1.166710 10 3 6

pxx x


c) 7

( 12) 14%6

cpd cpp

, y como ( ) 10(14) 14

(100) 1.4100 100 10

x x cpdcpd x

x

Es decir, la demanda se incrementa 1.4 unidades. e) El ingreso aumentará, porque la demanda es elástica, de tal manera que al bajar el precio 12%,

la demanda aumenta en un porcentaje mayor (14%).

Comprobación: (5)(10) $50.001 1 1

I p x

(4.40)(11.4) $50.162 2 2

I p x

Razones de cambio relacionadas ¿Cuán rápido varía una cantidad? En general, una razón de cambio con respecto al tiempo es la

respuesta a esta pregunta. La derivadady

dx de una función y=f(x) es una razón de cambio

instantánea con respecto a la variable x. Si la función representa posición o distancia entonces la razón de cambio con respecto al tiempo se interpreta como velocidad. Si dos cantidades están relacionadas entre sí, entonces cuando una de ellas cambia con el tiempo, la otra cambiará también. Por lo tanto sus razones de cambio (con respecto al tiempo) están relacionadas entre sí. Por ello a este tipo de situaciones se les llama razones de cambio relacionadas. Los problemas de razones de cambio relacionadas se resuelven siguiendo los siguientes pasos:

1. Hacer una ilustración de la situación planteada. 2. Identificar con símbolos las cantidades que varían en el tiempo. 3. Identificar las razones que se conocen y la razón que se busca. 4. Escribir una ecuación que relacione las variables. 5. Derivar implícitamente con respecto al tiempo la ecuación obtenida en el paso 4.

Ejemplo 1 Un recipiente cónico (con el vértice hacia abajo) tiene 3 metros de ancho arriba y 3,5 metros de hondo. Si el agua fluye hacia el recipiente a razón de 3 metros cúbicos por minuto, encuentre la razón de cambio de la altura del agua cuando tal altura es de 2 metros.

Solución. Sea el volumen del recipiente, el radio de la superficie variable en el instante y

el nivel del agua en el instante .


Dato: Rapidez con que aumenta el volumen del agua; o sea 33 min

dVm

dt .

Encontrar: Rapidez con que sube el nivel del agua cuando la profundidad es de 2 metros; es decir,

2h m

dh

dt

La ecuación que relaciona las variables es el volumen del cono: 2 (1)

3V r h

Ahora bien, como el volumen consta de dos variables ( y ), conviene, en este caso, expresarlo

únicamente en términos de la altura , para lo cual se usará la relación que existe entre las variables citadas, a saber, por semejanza de triángulos:

1.5 3.5

r h →

3

7r h .

Sustituyendo en (1) se tiene que:

2

33 3

3 7 49V h h V h

La ecuación de razones relacionadas se obtiene derivando implícitamente, respecto del tiempo, a

ambos lados de la ecuación 33

49V h

, lo cual nos conduce a:

29(2)

49

dV dhh

dt dt

Finalmente, como se desea encontrar la variación de la profundidad del agua en el instante en que

2h y dado que 3dV

dt , sustituimos estos valores en (2) para obtener:

29 3 49 49

3 2 1.299849 4 9 12

dh dh dh

dt dt dt

Por lo tanto, el nivel del agua aumenta a una razón aproximada de 1.3 minm .

Ejemplo 2


Una empresa tiene la función de costo 21

( ) 30 420

C x x x , en donde x es el nivel de

producción. Si éste es igual a 5 actualmente y está creciendo a una tasa de 0.5 por año. Calcule la tasa en que los costos de producción se están elevando.

Solucion:

Sabemos que 0.5dx

dt (cuando el tiempo se mide en años)

El costo marginal está dado por, 1

410

dCx

dx

Por consiguiente, 410

dC dC dx x dx

dt dx dt dt

Sustituyendo x=5, el nivel de producción actual, obtenemos

5

4 0.5 1.7510

dC

dt

Asi que los costos de producción se están incrementando a una tasa de 1.75 por año.

APLICACIONES DE LA DERIVADA

El problema de recta tangente Dada una función f(x), se trata de definir la tangente a la curva en un punto P. Como ya se vio en la interpretación geométrica de la derivada, la derivada de una función en un

punto 1 1x y expresa la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto.

'( ) 'm f x y

Por tanto, la ecuación (punto-pendiente) de la recta tangente a la curva en el punto , ( )P a f a es:

1 1( ) '( )y f a f a x a y y m x x

La primera derivada y la gráfica de una función Utilizaremos el criterio de la primera derivada para analizar dónde una función es creciente o decreciente, calcular sus valores críticos, localizar sus valores máximos y mínimos relativos y esbozar su gráfica.

1. Funciones creciente o decreciente

Definición: Sean 1x y 2x dos números reales cualesquiera de un intervalo I, siendo 21 xx . Se

dice que:

1 2( ) es creciente en el intervalo I si y sólo si ( ) ( )f x f x f x

1 2( ) es decreciente en el intevalo I si y sólo si ( ) ( )f x f x f x


Gráfica 1

En la gráfica 1 se puede ver que la función es creciente en ( ,2) y (4, ) , y es decreciente en

(2,4) .

Criterios para determinar si una función es creciente o decreciente: Si ( )es derivable en el intervalo I ( , )f x a b

( ) 0 para toda en el intervalo I, entonces ( ) es creciente en dicho intervaloy si

( ) 0 para toda en el intervalo I, entonces ( ) es decreciente en dicho intervalo

f x x f x

f x x f x

Ejemplo: Determinar para qué valores de x la función 2 4 3y x x es creciente o decreciente.

34²)( xxxf . Derivando la función se obtiene:

)2(242)( xxxf . Analizando la derivada, se tiene que:

Si 2, entonces ( ) 0, por lo tanto ( ) es decrecientex f x f x .

Si 2, entonces ( ) 0, por lo tanto ( ) es crecientex f x f x .

Gráfica 2

En la gráfica 2 se pueden comprobar estos resultados.

Valores críticos Son los valores de x, dentro del dominio de la función, en donde la derivada es cero o en donde la derivada no existe (es decir, no está definida). Haciendo referencia a la gráfica 1, 2, 4, 6x x x son valores críticos, porque en el primero

y en el tercero la derivada es cero, ya que la tangente es horizontal, y en el segundo la derivada no existe, ya que existen dos tangentes para un mismo punto. Haciendo referencia a la gráfica 2,

existe un solo valor crítico: 2x (ahí la derivada es cero).

El punto correspondiente a un valor crítico, en la gráfica de una función, se llama punto crítico. En

la gráfica 2 el punto (2, 1)P es un punto crítico.


2. Extremos de una función Una función puede tener más de un punto de máximo y/o de mínimo. (Véase la figura 3).

Figura 3 Figura 4 Los valores extremos pueden ser interiores o extremos del intervalo. En la figura 4, c y d no son máximo y mínimo, respectivamente, en [a, b], pero sí en una vecindad.

Extremos locales de una función

Son los valores máximos o mínimos locales de una función dentro de su dominio.

Definición: Si I es un intervalo abierto (generalmente muy pequeño) que contiene al valor 0x .

Se dice que:

0 0

0 0

( ) es máximo local o relativo de ( ), si y sólo si ( ) ( ) para toda del intervalo

( ) es mínimo local o relativo de ( ), si y sólo si ( ) ( ) para toda del intervalo

f x f x f x f x x

f x f x f x f x x

Haciendo referencia a la gráfica 1, (2) 3f es máximo relativo, (4) 1f es mínimo relativo y

(6) 3f no es ni máximo ni mínimo relativo.

Criterios para determinar los extremos relativos (locales) de una función

a. Criterio de la primera derivada

Sea f(x) continua en un intervalo abierto que contenga al valor crítico 0x .

1. Si la función tiene extremos relativos, necesariamente ocurren en los valores críticos. Haciendo

referencia a la gráfica 1, existen extremos relativos en 2x y en 4x , que son valores críticos

de la función. 2. Si la derivada de la función cambia de signo al pasar por un valor crítico, necesariamente ahí

existe un extremo relativo; si no lo hace, no tiene extremo relativo en ese valor crítico. Haciendo

referencia a la gráfica 1, no existe extremo relativo en 6x . Por tanto, no necesariamente en

todos los valores críticos de la función existen extremos relativos.


3. Si por la izquierda de un valor crítico 0x , la derivada es positiva (es decir, la función es

creciente) y por la derecha la derivada es negativa (es decir, la función es decreciente),

entonces )( 0xf es un máximo relativo de la función.

Si por la izquierda de un valor crítico 0x , la derivada es negativa (es decir, la función es

decreciente) y por la derecha la derivada es positiva (es decir, la función es creciente), entonces

)( 0xf es un mínimo relativo de la función.

Haciendo referencia a la gráfica 1, esto se puede constatar. Con esta información que nos proporciona la primera derivada de una función, se puede hacer un esbozo de la gráfica de la función.

Ejemplos Hacer un análisis mediante la primera derivada, para bosquejar las gráficas de las siguientes funciones:

1. 3 22 3 36 5y x x x . Primero calculamos los valores críticos de la función, por lo cual la

derivamos y la factorizamos:

2 26 6 36 6( 6) 6( 3)( 2)y x x x x x x

Se observa que la derivada es cero en 2x y en 3x , por lo tanto son valores críticos. Ahora

los analizaremos por la izquierda y por la derecha, para ver si la derivada es positiva o negativa y así concluir si la función es creciente o decreciente:

Si 2, entonces ( ) 6( )( ) 0, por lo tanto la función ( ) es crecientex f x f x .

Si 2 3, entonces ( ) 6( )( ) 0, por lo tanto la función ( ) es decrecientex f x f x .

Si 3, entonces ( ) 6( )( ) 0, por lo tanto la función ( ) es nuevamente crecientex f x f x .

Esto se puede visualizar mejor si construimos la siguiente tabla:

Intervalo , 2 2,3 3,

Existe un máximo local o relativo en 2x

Existe un mínimo local o relativo en 3x Derivada + – +

Función Creciente Decreciente Creciente

Si sustituimos estos valores de x en la función original obtenemos respectivamente los valores máximo y mínimo relativos de la función, que son: 49y y 76y . Por lo tanto podemos expresar

ahora los puntos máximo y mínimo relativos o locales de la función:

Punto máximo ( 2,49)P . Punto mínimo (3, 76)P

Situando estos puntos en el sistema de coordenadas cartesianas en dos dimensiones, se puede construir la gráfica de la función. Esta se muestra en la (gráfica No. 3), donde se comprueban los resultados del análisis de la función a través de su primera derivada.


Gráfica No. 3: 3 22 3 36 5y x x x

2. 2 3 2

( ) 6 54 1203

f x x x x

Seguiremos el mismo procedimiento que en el ejemplo anterior:

2 2( ) 2 12 54 2( 6 27) 2( 9)( 3)f x x x x x x x

La derivada es cero en 9x y en 3x , por lo tanto son valores críticos. Ahora construiremos

una tabla similar a la anterior: –2(–)(–) = – –2(–)(+) = + –2(+)(+) = –

Intervalo , 9 9,3 3,

Existe un mínimo local o relativo en 9x

Existe un máximo local o relativo en 3x Derivada – + –

Función Decreciente Creciente Decreciente

Los valores mínimo y máximo relativos de la función, que son: 366y y 210y . Por lo tanto los

puntos mínimo y máximo relativos o locales de la función son:

Punto mínimo ( 9, 366)mP . Punto máximo (3, 210)MP

La gráfica de la función se muestra en la (gráfica No. 4), donde se comprueban los resultados de este análisis

Gráfica No. 4: 2 3 2

( ) 6 54 1203

f x x x x


3. 3

( ) 2 3f x x .

2

( ) 3 2f x x . Existe un solo valor crítico: 2x

23( )

23( )

Intervalo , 2 2, No existen ni mínimo ni máximo local o relativo en el punto crítico

)3,2( P . Derivada + +

Función Creciente Creciente

La gráfica 5 muestra estos resultados.

Gráfica No. 5: 3

( ) 2 3f x x

4. Problema de aplicación: Para el producto de un fabricante la función ingreso en pesos, está dada por

2 3( ) 240 57I x x x x , para 0 60x , donde x son las unidades que se venden. Calcular el nivel

de ventas para obtener un ingreso máximo.

'( ) 240 114 3 ² 3( ² 38 80) 3 40 2I x x x x x x x .

Valores críticos 2 y 40x x .

El valor negativo no tiene sentido en el problema, ya que el dominio de la función es 0 60x . –3(–)(+) = + –3(+)(+) = –

Intervalo 0, 40 40,60 Se concluye que:

Existe máximo en 40x

El valor máximo es 36,800I

El punto máximo es 40,36800MP

Ingreso marginal + –

Ingreso Creciente Decreciente

Por lo tanto para que el ingreso sea máximo, el nivel de producción debe ser de 40 unidades. El ingreso máximo es de $36,800, que está representado en la gráfica 6, a continuación, por el punto

(40 unidades,$36800)MP .


Gráfica No. 6: 2 3

( ) 240 57I x x x x

b. Criterio de la segunda derivada Si ( )f x es una función que tiene un valor crítico en x a , tal que ( ) 0 y ( ) existef a f a ,

Entonces:

Si

( ) 0 ( ) tiene un máximo local o relativo en

( ) 0 ( ) tiene un mínimo local o relativo en

( ) 0 no se puede concluir si ( ) tiene má ximo o mínimo local en

f a f x x a

f a f x x a

f a f x x a

Ejemplo 1:

Aplicar el criterio de la segunda derivada para verificar si la función 3 2( ) 2 3 36 7f x x x x tiene

valores máximos o mínimos relativos.

Solución Primero localizamos sus valores críticos, es decir los valores de x donde la derivada es cero o donde la derivada no existe:

2 2( ) 6 6 36 6( 6) 6 3 2f x x x x x x x . Vemos que la derivada existe para todo valor

de x, y que existen dos valores de x donde la derivada se hace cero. Por tanto sus valores críticos

son: 2 y 3x x

Como ( 2) 0 y (3) 0f f , probamos ahora el signo de la segunda derivada para estos valores:

( ) 12 6f x x

( 2) 12( 2) 6 30f . Como es negativa existe un máximo relativo o local en 2x

(3) 12(3) 6 30f . Como es positiva existe un mínimo relativo o local en 3x

El valor máximo local de la función es 3 2( 2) 2( 2) 3( 2) 36( 2) 7 51f

El valor mínimo local de la función es 3 2(3) 2(3) 3(3) 36(3) 7 74f

Los puntos máximo y mínimo relativos son: (3, 74)( 2,51);máx mínP P

Su representación gráfica se puede ver en la siguiente página:


Gráfica de la función 3 2

( ) 2 3 36 7f x x x x

Ejemplo 2:

Aplicar el criterio de la segunda derivada para verificar si la función 4( ) 4f x x tiene valores

máximos o mínimos relativos.

Solución

3( ) 4f x x . Como se puede observar, la derivada existe para todo valor de x, y es cero cuando x

toma el valor de cero. Por lo tanto tiene un sólo valor crítico 0x . Veamos ahora cómo es el signo

de la segunda derivada en este valor crítico. 2( ) 12f x x .

Como 2(0) 12(0) 0f , entonces no se puede concluir si existe o no máximo o mínimo relativo en

0x Así pues, para saber si existe o no máximo o mínimo local tenemos que utilizar el criterio de la

primera derivada:

I ( ,0) (0, ) La función es decreciente en el intervalo ( ,0) y creciente en el

intervalo (0, ) , luego existe un mínimo relativo o local en 0x

El valor mínimo es 2(0) (0) 4 4f .

( )f x - +

( )f x Decreciente Creciente

El punto mínimo es (0, 4)P .

Su representación gráfica se puede ver en la siguiente gráfica:


Gráfica de la función 4( ) 4f x x

Ejemplo 3

Aplicar el criterio de la segunda derivada para verificar si la función 3( ) 2f x x tiene valores

máximos o mínimos relativos.

Solución 2( ) 3f x x . Como se puede observar, la derivada existe para todo valor de x, y es cero cuando x

toma el valor de cero. Por lo tanto tiene un sólo valor crítico en 0x . Veamos ahora cómo es el

signo de la segunda derivada en este valor crítico.

( ) 6f x x .

Como (0) 6(0) 0f , entonces no se puede concluir si existe o no máximo o mínimo relativo en

0x . Así pues, para saber si existe o no máximo o mínimo local tenemos que utilizar el criterio de

la primera derivada:

I ( ,0) (0, ) La función es decreciente en los dos intervalos, por lo tanto se concluye que la función no tiene ni máximo ni mínimo relativo o local

en todo su dominio. El punto crítico es (0,2)P .

( )f x - -

( )f x Decreciente Decreciente

Su representación gráfica se puede ver a continuación.

Gráfica de la función 3( ) 2f x x

Extremos absolutos de una función

Extremos absolutos: Son los valores más grande y más pequeño de una función en un intervalo

dado, si es que existen.

Definición: Sea I un intervalo cualesquiera que contenga a 0x . Se dice que:

0( )f x es máximo absoluto de ( )f x en el intervalo I 0s i y s ó l o s i ( ) ( )f x f x para toda x del

intervalo.


0( )f x es mínimo absoluto de ( )f x en el intervalo I 0si y sólo si ( ) ( )f x f x para toda x del intervalo.

a a b c a b c Gráfica 1 Gráfica 2 Gráfica 3 Gráfica 4

En la gráfica 1, ( )f a es mínimo absoluto de ( )f x en el intervalo , . No tiene máximo

absoluto porque la función viene del infinito y se va al infinito.

En la gráfica 2, ( )f b es máximo absoluto de ( )f x en el intervalo ,a c . No tiene mínimo

absoluto porque no está definida la función en a y en c. Es decir cada vez que x está más cerca de a por su derecha, la función está más cerca de ( )f a , pero nunca llega a tomar ese valor. Lo

mismo sucede cuando x está cada vez más cerca c por su izquierda.

En la gráfica 3, ( )f b es mínimo absoluto y ( )f c es máximo absoluto de ( )f x en ,a c .

En la gráfica 4, la función no tiene ni máximo ni mínimo absolutos porque viene del menos infinito, se va al infinito, regresa del menos infinito y finalmente se va al infinito.

Teorema del valor extremo: Si una función es continua en un intervalo cerrado, entonces la

función tiene necesariamente un valor máximo y un valor mínimo absolutos en ese intervalo.

a b c d a b c d a b c d

Gráfica 1 Gráfica 2 Gráfica 3

En la gráfica 1 ( )f c es mínimo absoluto y ( )f d es máximo absoluto de ( )f x en el intervalo ,a d .

En la gráfica 2 ( )f b es mínimo absoluto y ( )f c es máximo absoluto de ( )f x en el intervalo ,a d .

En la gráfica 3 ( )f a es mínimo absoluto y ( )f d es máximo absoluto de ( )f x en el intervalo ,a d .

Se puede observar que los extremos absolutos en un intervalo cerrado ocurren o en los valores críticos de la función en ese intervalo o en los extremos de dicho intervalo.

Pasos a seguir para determinar los extremos absolutos de una función en un intervalo cerrado:

Sea f(x) continua en un intervalo cerrado ,a b .

1. Se obtienen los valores críticos de la función.


Página 87

2. Se evalúa la función en los valores críticos que pertenecen al intervalo cerrado y también en los extremos del intervalo.

3. Se seleccionan, de entre estos valores, el valor más grande y el valor más pequeño de la función, los cuales serán respectivamente el máximo absoluto y el mínimo absoluto de esta en el intervalo cerrado dado.

Ejemplos

Determinar los extremos absolutos de la función en los intervalos dados:

1. 2( ) 2 3; 1,3f x x x

( ) 2 2 2( 1)f x x x . Valor crítico 1x , el cual pertenece al intervalo dado. 2 2 2( 1) ( 1) 2( 1) 3 6; (1) (1) 2(1) 3 2; (3) (3) 2(3) 3 6f f f .

Por lo tanto el valor máximo absoluto de la función en el intervalo dado es 6 y el valor mínimo absoluto de la función en ese intervalo es 2.

2. 2/3( ) 2 ; 1,8 , 1,8f x x .

La función se puede representar como 3 2( ) 2f x x , la cual existe y es continua para toda x

real.

1/ 3

3

4 4( )

3 3f x x

x

. Valor crítico 0x . Este valor crítico no se encuentra en el intervalo 1,8 ,

pero sí en el intervalo 1,8 . Por lo tanto:

Para el intervalo 1,8 , evaluamos la función sólo en los extremos del intervalo:

2 23 3(1) 2 (1) 2; (8) 2 (8) 8f f

Así que 2 es el mínimo absoluto y 8 es el máximo absoluto de la función en ese intervalo.

Para el intervalo 1,8 , 2 233 3( 1) 2 ( 1) 2; (0) 2 0 0; (8) 2 (8) 8f f f

Así que 0 es el mínimo absoluto y 8 es el máximo absoluto de la función para este intervalo.

3. 2

5( ) ; 3,4

4

xf x

x

.

2 22 2 2

2 2 2 2 22 2 2 2 2

4 (5) 5 (2 ) 5 4 5 2 25 20 10 20 5( )

4 4 4 4 4

x x x x x xx x xf x

x x x x x

.

Valores críticos 2; 2x x , ambos pertenecen al intervalo dado. Por lo tanto evaluamos:

15 10 5 10 5 20( 3) ; ( 2) ; (2) ; (4) 1

13 8 2 8 2 20f f f f

Así que -5/2 es el mínimo absoluto y 5/2 es el máximo absoluto de la función ese intervalo.

Relación de los extremos absolutos con los extremos relativos de una función Si una función tiene sólo un extremo relativo en un intervalo dado, entonces también es extremo absoluto en ese intervalo. Es decir, si ( )f a es un mínimo relativo de la función en un intervalo, y es

único (no hay máximo relativo), entonces ( )f a es mínimo absoluto en el intervalo. Si ( )f a es un


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máximo relativo de la función en un intervalo, y es único (no hay mínimo relativo), entonces ( )f a es

máximo absoluto.

Ejemplo

Cierta compañía ofrece un seminario sobre técnicas de administración. Si la cuota es de 600 dólares por persona, asisten al seminario 1,000 personas. Pero por cada disminución de 20 dólares en la cuota, asisten 100 personas más. Sin embargo, debido a recursos limitados, es posible recibir a lo más 2,500 personas. Calcular cuál es el número de personas que proporcionarían un ingreso máximo a la compañía, cuál sería el ingreso máximo y cuál sería la cuota que se cobraría a las personas por asistir al seminario.

Solución: Sea n el número de disminuciones de $20 en la cuota de asistencia al seminario. Entonces la cuota por persona y el número de personas que asistirán serán: Cuota por persona: p = 600 – 20n Número de personas: x = 1,000 + 100n El máximo número de personas es 2,500. Por lo tanto 1,000 100 2500 15n n . Es decir, el

número de disminuciones de $20 en la cuota, no debe de exceder de 15. Ingreso = (cuota por persona)(número de personas). Es decir I = px.

2( ) (600 20 )(1,000 100 ) 600,000 60,000 20,000 2,000I n n n n n n . Por tanto la función ingreso es 2( ) 600,000 40,000 2,000 ;I n n n para 0 15n , es decir en el intervalo 0,15 .

( ) 40,000 4,000 4,000(10 )I n n n . Existe un sólo valor crítico 10n

I 0,10 10,15 El ingreso es creciente en el intervalo 0,10 y decreciente en

el intervalo 10,15 , por lo tanto existe un máximo relativo para

el ingreso cuando 10n .

( )I n + -

( )I n Creciente Decreciente

Como el extremo relativo es único, es también máximo absoluto. Por lo tanto para ingreso máximo se debe disminuir en $20 la cuota por persona 10 veces, es decir (10)(20) = $200. El número de personas que asistirían al seminario es 1,000 + 100(10) = 2,000 personas.

El ingreso máximo sería 2(10) 600,000 40,000(10) 2,000(10) $800,000I .

La cuota por persona sería de 600 – 20(10) = $400.

3. Concavidad de una función En las figuras 1 y 2, observe que cada curva )(xfy se “flexiona” (o abre) hacia arriba.

Figura 1 Figura 2 Si se trazan tangentes a las curvas, las curvas quedarán “por arriba” de estas. Además, las pendientes de las líneas tangentes crecen en valor al crecer x. Luego, f es una función creciente.

0

y

x0

y

x 0

y

x0

y

x


Página 89

Se dice entonces que la función es cóncava hacia arriba(o convexa). Si la curvas se encuentran “por debajo” de las tangentes, se flexionan hacia abajo. (Véanse los gráficos de las figuras 3 y 4).

Figura 3 Figura 4

Cuando x crece, las pendientes decrecen, luego, f es una función decreciente. Decimos que f

es cóncava hacia abajo(o cóncava).

Criterio de concavidad Sea f derivable en (a, b).

Si )(xf > 0 para toda x(a, b), entonces f es cóncava hacia arriba en (a, b).

Si )(xf < 0 para toda x(a, b), entonces f es cóncava abajo en (a, b).

Ejemplo

Analizar la concavidad de la función )(xf = 3x .

Solución:

a) )(xf = 3x )(xf 23x )(xf 6x

)(xf < 0 para x < 0 y )(xf > 0 para x > 0. Luego, si x < 0, f es cóncava hacia abajo; si x > 0,

f es cóncava hacia arriba. Compruebe este resultado en la gráfica de la figura 5.

Figura 5

Punto de inflexión Definición

Una función tiene un punto de inflexión en x = x0 si y solo si, f es continua en x0 y f cambia de

concavidad en x0.

0

y

x0

y

x


Entonces, x0 es un posible punto de inflexión si:

1. 0)( 0 xf ; o no existe )( 0xf , pero sí )( 0xf .

2. f debe ser continua en ese punto.

Ejemplo

Analizar la concavidad y encontrar los puntos de inflexión de )(xf = 186 34 xx .

Solución:

)(xf )(242424 2323 xxxx )(xf 24 )23( 2 xx = 24x (3x -2)

Luego, 0)( xf en x = 0, y en x = 3

2, que son posibles puntos de inflexión.

Se procede de forma análoga a la solución de una inecuación, como lo hemos visto anteriormente. Ubiquemos los signos en un rayo numérico para observar los cambios de signo de la segunda derivada. (Figura 1).

En (- ; 0) f es cóncava hacia arriba, al igual que en (3

2; + ),

pues en estos intervalos f es positiva.

En (0; 3

2) f es cóncava hacia abajo, pues f es negativa.

Luego, x = 0 y x = 3

2 son puntos de inflexión, pues hay cambio de signo de la segunda derivada

alrededor de estos puntos. Recuerda que son puntos de inflexión, si f es continua en esos puntos

y existe cambio de signo de la segunda derivada alrededor de estos ellos. Verifique este resultado en la figura 6.

Figura 6

Representación gráfica de funciones Los puntos de análisis previos a la representación gráfica de una función son:

Dominio Continuidad Puntos de corte con los ejes coordenados. Simetrías Asíntotas Crecimiento y decrecimiento Extremos(máximos y mínimos)

Figura 1


Curvatura y puntos de inflexión

Tabla de resumen

Definiciones

2:

1

xaplicar a y

x

Dominio, Dom(f) Conjunto de valores x para los que

existe la función.

La función no existe cuando el denominador es 0, por tanto :

Dom(f)=R - {1}

Discontinuidades Valores del Dom(f) para los que la

función es discontinua

Para x = 1 la función es discontinua, porque el límite cuando x tiende a 1 es infinito y la función no existe en x = 1

Asíntotas verticales ; x=a

Valores del Dom(f) donde

lim ( )x a

f x

21

lim1x

x

x

Luego la asíntota vertical : x=1

Asíntotas horizontales ;

y=a

Donde a se calcula

lim ( )

xa f x

2lim 0

1x

xa

x

Luego la asíntota horizontal y=0

Asíntotas oblicuas ; rectas

de ecuación : y = m x +b

( )

limx

f xm

x

lim ( )x

b f x mx

2lim 0

1x

xm

x x

2

lim 0 01x

xb x

x

Puntos de corte con el eje X

Son las soluciones de la ecuación : f(x)=0

2

0 0 ; 01

xx y

x

Puntos de corte con el eje Y

Valores que toma la función cuando x=0

x = 0 ; y=0

Máximos y mínimos relativos

Soluciones de la ecuación: f'(x)=0. Cada caso se estudiará

según el apartado siguiente.

2

4

1'( ) 0 1

1

xy x x

x

Para x=1, la función no existe Para x= -1

2

10.25

1 1y


Página 92

Regiones de crecimiento o

decrecimiento de la función. Con

esta información se determina de qué tipo son los puntos en los

que la derivada se hace 0.

Las regiones se determinan sobre el eje X, entre los valores para los que

la derivada es 0 o no existe.

Representación gráfica

Se utiliza toda la información que proporciona la tabla

Aplicación de la derivada al cálculo de límites Los límites de formas indeterminadas que no pueden resolverse mediante la factorización, generalmente se resuelven en matemática por la conocida Regla de L´Hôpital, que contiene en su estructura el concepto de derivada. Teorema de L´Hôpital

Supongamos que las funciones f y g están definidas y son derivables en cierto entorno de a . Si

)(lim xfax

0)(lim

xgax

, y 0)( xg en cierto entorno de a , entonces, si existe )(

)(lim

xg

xf

ax

(finito o

infinito), existe también )(

)(lim

xg

xf

ax, y se cumple que:

)(

)(lim

xg

xf

ax=

)(

)(lim

xg

xf

ax

.

La Regla de L´Hôpital también es válida en el caso que las funciones f y g no están definidas en

a , pero

)(lim xfax

0 y 0)(lim

xgax

.

Si 0)()( agaf , y )(xf y )(xg satisfacen las condiciones puestas sobre las funciones f y g

, podemos aplicar la Regla de L´Hôpital a )(

)(

cg

cf

, y obtenemos:

)(

)(lim

xg

xf

ax

=

)(

)(lim

xg

xf

ax

; aplicar

sucesivamente la derivada hasta que la indeterminación desaparézcala.

Ejemplos 1. Calcular:


a.

2

1

1 lnlim

xx

x x

e e

b.

30

limx

x sen x

x

c.

3 2

3 21

3 2lim

4 3x

x x

x x

Solución:

a)

2

1

1 lnlim

xx

x x

e e

En este caso estamos ante la indeterminación 0

0, pues

2 2

1lim ( 1 ln ) 1 1 0 0x

x x

, y

1

1lim ( ) 0x

xe e e e

Resolvemos aplicando la Regla de L´Hôpital:

2

1

1 lnlim

xx

x x

e e

2

1

( 1 ln )lim

( )xx

x x

e e

1

12

3lim

xx

xx

e e

b) 3

0limx

x sen x

x

=

20

1 coslim

3x

x

x

0 0

( ) 1 1lim lim

6 6 6x x

sen x sen x

x x

c)

3 2

3 21

3 2lim

4 3x

x x

x x

=

2

21

3 6 3 6 3lim

3 8 3 8 5x

x x

x x

2. Hallar:

4

lim1x

senx

x

Solución:

2

2

4 4 4cos

4 4lim lim lim 4cos 4 lim cos (4)(1) 4

1 1x x x x

senx x x

x x

x x

El teorema anterior es válido si se sustituye la exigencia de

)(lim xfax

)(lim xgax

= 0 por

)(lim xfax

lim ( )x a

g x

= , y se llama, por extensión, Regla de L´Hôpital.

Ejemplos Hallar:

a) 0

lnlim

1x

x

x

b)

2

limx

x

x

e

Solución:

a) En este caso estamos ante la indeterminación

, pues

0

lim lnx

x

, y 0

1lim

x x

.


Resolvemos aplicando la Regla de L´Hôpital:

0

lnlim

1x

x

x

=

2

20 0

1

lim lim 01x x

xx

x

x

b)

2

limx

x

x

e =

2lim

xx

x

e

2lim 0

xx e

Existen otras formas indeterminadas, 0. e , que pueden transformarse en las formas 0

0

ó

, y aplicar la Regla de L´Hôpital.

Si queremos calcular lim ( ). ( )x a

f x g x

y lim ( ) 0x a

f x

y lim ( )x a

g x

, entonces,

)().( xgxf =

)(

1

)(

xg

xf , y por tanto, lim ( ). ( )

x af x g x

=

( )lim

1

( )

x a

f x

g x

, y ahora es de la forma

0

0.

Además, )().( xgxf =

)(

1

)(

xf

xg , y es un límite de la forma

.

En dependencia del límite que se esté calculando, se hará una u otra de las transformaciones anteriores, siguiendo el criterio que la aplicación de la Regla de L´Hôpital simplifique el proceso de determinación del límite.

Ejemplos

Calcular:

a) 2 2

0lim lnx

x x

b) 1

1 1lim

1 lnx x x

Solución:

a. Observemos que 2

0lim 0x

x

, y 2

0lim lnx

x

Luego, estamos ante una indeterminación del

tipo 0. . Transformando,

2 2

0lim lnx

x x

=

2

2

0

lnlim

1x

x

x

2

4

0

2

lim2x

x

xx

x

2

0lim 0x

x

Observe que 2 2

0lim lnx

x x

=

2

2

0lim

1

ln

x

x

x

, pero esta transformación es menos recomendable en

este caso en particular, pues la derivada de 2ln

1

x es mucho más compleja que, simplemente, la


Página 95

derivada de 2ln x .

b) 1

1 1lim

1 lnx x x

No existe una forma única de proceder para resolver indeterminaciones del tipo . En este caso, se debe efectuar la resta:

1

1 1lim

1 lnx x x

=

1

ln ( 1)lim

( 1) lnx

x x

x x

=

1

ln 1)lim

( 1) lnx

x x

x x

Aquí podemos observar que: 1

lim (ln 1) 0x

x x

y 1

lim ( 1) 0x

x Lnx

Luego, la

indeterminación se ha transformado en una del tipo 0

0. Basta entonces resolver

1

ln 1lim

( 1) lnx

x x

x x

1

ln 1lim

( 1) lnx

x x

x x

=

1

11

lim1

1.ln ( 1).x

x

x xx

=2

2

1

1

lim1 ( 1)x

xx x

x x

2

2

1

1

lim1x

xx

x

1

1 1lim

1 2x x

Aplicación de la derivada a problemas de optimización

Muchos de los problemas que se presentan en la práctica diariamente, están relacionados de una forma u otra, con encontrar los valores máximos y mínimos de una función, y más aún, determinar para qué valores de la variable independiente se alcanzan estos. Estos problemas se llaman, en general, problemas de optimización. Se aplican en diferentes contextos, permitiendo resolver problemas de optimización geométricos y económicos entre otros. En términos generales, un problema de optimización consiste en encontrar el valor mínimo o minimizar, o encontrar el valor máximo o maximizar, una cierta función, de tal forma que satisfagan ciertas condiciones dadas. La solución o soluciones óptimas son aquellas para las cuales se satisfacen las restricciones del problema y el valor de la función sea mínimo o máximo. La función que representa el problema de optimización se le llama función objetivo. Fases en la solución de un problema de Optimización 1. Planteamiento del problema 2. Formulación Matemática (construir la función objetivo si no se da explícitamente) 3. Análisis del comportamiento de la función objetivo (puede incluir su representación gráfica) 4. Obtención de las soluciones

Ejemplos

1. Para el producto de un monopolista la función de demanda es 0.0210,000 px e . Calcular el

valor de p para el cual se obtiene el ingreso máximo.


Solución 0.02

10,000 ; 0

0.02 0.02 0.02( ) 10,000 (0.02) 10,000 ( 0.02 1)

pI px pe p

p p pI x pe e e p

10,000(1 0.02 ) 1 100'( ) 0 1 0.02 0 50

0.02 0.02 2

pI x p p

pe

. Único valor crítico en (0, )

I (0,50) (50, ) ( )I p es creciente en (0,50) y decreciente en (50, )

Existe máximo relativo en 50p ( )I p + -

( )I p Creciente Decreciente

Como es el único extremo local en (0, ) es también máximo absoluto en ese intervalo. Por tanto,

se obtiene el máximo ingreso con p = $50/unidad. 2. Una empresa produce mensualmente x toneladas de un metal precioso con un costo total C

dado por 2 31( ) 10 75 5

3C x x x x Evaluar el nivel de producción x donde el costo marginal

alcanza su mínimo. Solución

Costo marginal 2'( ) 75 10C x x x . Esta es la función para la cual queremos obtener un máximo:

''( ) 10 2 0 2 10 5C x x x x . Único valor crítico en (0, ) .

'''( ) 2 0C x , luego entonces existe un mínimo local y también absoluto en 5x .

Por lo tanto para que el ingreso marginal sea mínimo el nivel de producción debe ser de 5 unidades.

3. Para el producto de un monopolista, la función demanda es 50

px

, y la función de costo

promedio es 100

0.50Cx

.

a) Evaluar el precio y la producción que maximizan la utilidad. b) A este nivel, demostrar que el ingreso marginal es igual al costo marginal.

Solución

a) 50 100

; 50 ; 0.5 0.5 100U I C I px x x C Cx x xxx

.

1/2 25 25( ) 50 0.5 100 50 0.5 100 '( ) 25 0.5 0.5 0 0.5U x x x x x U x x

x x

.

2550 2,500

0.5x x . Único valor crítico en (0, ) .

3/2

3

25 25''( ) (2,500) 0

2 2U x x U

x

, luego existe un máximo local y también absoluto en

2,500.


Entonces, para obtener la máxima utilidad posible se deben fabricar y vender 2,500 unidades a un

precio de 50 50

502,500p $1/unidad.

b) 1/2 25 25 25 1( ) 25 (2,500) 0.5; '( ) 0.5 '(2,500) 0.5

50 22,500I x x I C x C

x

.

Por lo tanto el ingreso marginal y el costo marginal son iguales cuando el nivel de producción es de 2,500 unidades, es decir cuando la utilidad es máxima. 4. Un fabricante ha determinado que, para cierto producto, el costo promedio por unidad está dado

por 2 200

2 36 210C x xx

, para 2 10x , en donde x está en miles de unidades y C en

dólares.

a) Calcular a qué nivel dentro del intervalo 2,10 debe fijarse la producción para minimizar el

costo total y cuál es el costo total mínimo.

b) Si la producción se encontrara dentro del intervalo 5,10 , calcular qué valor de x minimizaría el

costo total. Solución

3 2 2 2( ) 2 36 210 200 ( ) 6 72 210 6( 12 35) 6 7 5C x Cx x x x C x x x x x x x .

Valores críticos 5, 7x x . ( ) 12 72 12( 6) (5) 0; (7) 0C x x x C C . Por lo tanto

existe un máximo local en x = 5 y un mínimo local en x = 7.

a) En el intervalo 2,10 , como los dos valores críticos pertenecen al intervalo, no se puede

asegurar que el mínimo absoluto ocurra en x = 7, luego se requiere evaluar la función en esos valores críticos y en los extremos del intervalo:

3 2(2) 2(2) 36(2) 210(2) 200 92; (5) 200; (7) 192; (10) 300C C C C .

Por lo tanto el costo es mínimo cuando se fabrican 2,000 unidades. Costo mínimo: 92 dólares.

b) En el intervalo 5,10 (5) 200; (7) 192; (10) 300C C C . El 2 no pertenece al intervalo.

Por lo tanto el costo es mínimo cuando se fabrican 7,000 unidades. Costo mínimo: 192 dólares.

5. Se quiere inscribir un rectángulo dentro de un semicírculo de radio 2. ¿Cuál es el área más

grande que puede tener el rectángulo y cuáles son sus dimensiones?


Según se muestra en la figura tenemos:

Largo del rectángulo: 2x Altura: 24 x

La función a maximizar es el área del rectángulo, es decir,

242)( xxxA

Hallemos los puntos críticos, derivando e igualando a cero:

2

2 2 22

2 2

( ) 2 4

2 2 2(4 )'( ) 2 4 0 0

4 4

A x x x

x x xA x x

x x

2 2 2

2

2 8 2 0 4 8

2 2

x x x

x x

)(4)2(224)2(2)2(

4)2(22422)2(

2

2

negativaAreaA

A

Los valores extremos se presentan en: x = 2 y x = - 2

)()2(024)2(2)2( 2 ceroAreaAA

La mayor área del rectángulo se produce cuando 2x y el área es de 4 unidades cuadradas.

Respuesta: De lo anterior concluimos que las dimensiones del rectángulo de mayor área son:

Largo: 22 Alto: 2

6. Se desea construir una caja abierta (sin cara superior) y de base cuadrada con 108 pulgadas cuadradas de material. ¿Cuáles serán las dimensiones de la caja para que el volumen sea máximo?

Solución:


Volumen de la caja: hxV 2 (Función a maximizar)

Como esta función tiene dos variables (x, h) debemos usar los datos del problema para eliminar una de ellas. El material usado se obtiene sumando el área de la base y el área de las cuatro caras laterales, así:

Área de la base: 2x Área de cada cara lateral: xh

Área total de la superficie: 10842 xhxS

Hallando h en esta ecuación tenemos:

22 108

4 108 , 0 1084

xxh x h x

x

Sustituyendo h en la ecuación de volumen tenemos:

427)

4

108()(

322 x

xx

xxxV

Derivando e igualando a cero:

6,36,1083,04

327)(' 22

2

xxxx

xV

Solo tomamos el valor positivo de x porque se trata de una longitud Valor crítico: x = 6 Para este valor crítico, hallemos h:

324

72

24

36108

4

108 2

x

xh

Respuesta: las dimensiones de la caja son: Longitud de la base: x = 6 pulgadas. Altura de la caja: h = 3 pulgadas.

Volumen de la caja: hxV 2 = 36(3) = 108 pulgadas cúbicas (Obsérvese la gráfica)


Nota: Usando el criterio de la segunda derivada se puede probar que, en efecto, los valores de x y h corresponden al máximo volumen.

APUNTES DOCENTES - profe.arias | Innovacion … · ecuaciones lineales y cuadráticas. El estudio...

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