APUNTES ESTATICA CIVIL.docx

7/24/2019 APUNTES ESTATICA CIVIL.docx

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INSTITUTO TECNOLOGICO DE

APIZACO.

APUNTES DE ESTATICA.

ELABORO:

M. C. JORGE GRACIA LIMA.

UNIDAD IINTRODUCCIN

l trmino fuerza se emplea en casi todos los temas Fsica independientementede su complejidad, por ejemplo, se utiliza para el estudio de las fuerzas


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gravitatorias, electrostticas y tambin para las fuerzas nucleares. As, losconceptos fundamentales que se vern, tienen su aplicacin en una ampliagama de problemas, es decir, desde el sencillo caso de dos !ombres que tirande una soga !asta otros ms complejos como el de un electrn acelerado porun campo magntico.

"upongamos un objeto al que se le aplica una determinada fuerza, el efectoproducido depender de la intensidad, de la direccin y del sentido de lamisma. #ste !ec!o nos obliga a que cuando queramos caracterizar una fuerza,debamos especi$car adems de su valor, su orientacin en el espacio. A lascantidades fsicas de este tipo se las llama vectoriales, para diferenciarlas delas llamadas escalares que quedan determinadas solo por un n%mero y unaunidad.

&ara representar 'magnitudes vectoriales(, se emplea un ente matemticodenominado 'vector(. )onsideraremos al vector como un segmento de recta

orientado, vale decir un segmento sobre el cual se !a $jado una direccin y unsentido. #n consecuencia, podemos representar a los vectores de la siguienteforma*

+os elementos que lo de$nen son*

ireccin o recta de accin a la cual pertenece.

"entido determinado por la -ec!a.

&unto de aplicacin etremo del vector opuesto al que apunta la -ec!a.

/dulo o intensidad. #sta dado por la comparacin de la longitud del vectorcon la de un determinado vector unidad, llamado 'versor(.

+os vectores se simbolizan con letras, colocando sobre las mismas un peque0ovector !orizontal, por ejemplo*

+a direccin y el sentido van a quedar completamente especi$cados si damosel ngulo que forma el vector con una cierta direccin dada.

"upondremos por convencin que los ngulos se toman como positivos cuandose avanza en el sentido anti!orario, a partir de la semirecta origen.


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Operaciones con vectores

Fuerzas que actan sobre una misma recta

)uando dos vectores ubicados sobre una misma recta, con el mismo sentido,se suman aritmticamente los mdulos y se obtiene un vector de igual

direccin y sentido que los dados.#n este caso la suma coincide con la suma aritmtica.

"i tienen distinto sentido y estn sobre una misma recta, se asigna el signopositivo al que apunta !acia la derec!a y negativo al que apunta !acia laizquierda y se opera como sigue*


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Fuerzas concurrentes (Mto!o !e" para"e"o#ramo$

"on fuerzas concurrentes en un punto 1, aquellas cuyas rectas de accin pasanpor dic!o punto.

+a suma de dos fuerzas concurrentes se !alla mediante la construccinllamada 'regla del paralelogramo(, tal como se muestra*

A F2y F3 se las conoce con el nombre de componentes y a F2,3con el nombrede resultante. +a resultante de varias fuerzas es una fuerza que por si sola esequivalente a todas ellas.

%&emp"o '

"upongamos que se tiene dos personas que tiran de los etremos de unacuerda4 una de las personas lo !ace con una fuerza de 56 7 y la otra, con unafuerza de 36 7.

#n este caso la suma de las fuerzas da el mnimo resultado posible.

%&emp"o )

"i uno de los etremos de la cuerda se ata a un poste y del otro etremo

ambas personas tiran con las fuerzas mencionadas en el primer ejemplo, lasuma valdr*


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#n este caso la suma de las fuerzas da el mimo resultado posible.

%&emp"o *

os personas aplican las fuerzas citadas en el primer ejemplo pero atando lacuerda a un poste. #l ngulo que forman entre si es de 869.

Componentes cartesianas + po"ares

#n este caso la suma de ambas fuerzas da como resultado un valorcomprendido entre los obtenidos en los dos ejemplos anteriores.

&or ejemplo, para una fuerza en el plano, sus componentes son susproyecciones seg%n los ejes de coordenadas e y.

:enemos ya una nocin de la fuerza como vector y podemos operar en forma

gr$ca con ella. Avanzaremos a!ora un poco ms y estudiaremos comosumarlas analticamente.

+a manera general de resolver este problema requiere descomponer un vectoren sus componentes seg%n los ejes de coordenadas cartesianas.


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"eg%n los valores de ;, F o Fy podrn ser positivos o negativos, dic!o ngulodeterminar la direccin y el sentido de las componentes. #n la $gura siguienteFy es negativo y F es positivo.


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#l cuadrante en que se encuentra ; quedar determinado por los signos de Fy Fy.

%&emp"o '

?2,= 7.


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)alculamos la inversa @calculadora y obtenemos un ngulo de =59BC, perocomo estamos en el cuarto cuadrante, si queremos referirnos al semiejepositivo de las , y contar los ngulos en el sentido anti!orario, deberemosdecir que el ngulo es de 5689 =8C.

%&emp"o *


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Mto!o ana",tico para suma !e -uerzas

+a resultante de varias fuerzas se puede calcular realizando la suma de suscomponentes. "upongamos que tengamos tres fuerzas y queremos !allar laresultante*

+os pasos a seguir son los siguientes*

"e escoge un sistema conveniente de ejes , y.

"e descompone cada fuerza en sus componentes sobre cada eje.

"e obtiene la suma algebraica de todas las componentes en y las de

las y.

)on E y Ey se puede obtener el mdulo de E y el ngulo ;.

+as componentes seg%n cada direccin se suman algebraicamente al estarsobre una misma recta. Al sumar fuerzas por el mtodo analtico la seleccinde los ejes de coordenadas determina que tan sencillo ser el proceso. A veceslas componentes de los vectores con respecto a un sistema particular seconocen desde un principio de modo que la eleccin de ejes es obvia. 1trasveces una eleccin atinada de ejes puede simpli$car notoriamente el trabajode descomposicin de fuerzas. &or ejemplo, los ejes pueden orientarse de tal

manera que por lo menos uno de los vectores sea paralelo a un eje.

%&emp"o '


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#legimos los ejes de manera que la fuerza 26 7 este sobre el eje .


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%&emp"o )


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UNIDAD II

%.UI/I0RIO D% 1ART2CU/A3

Gn cuerpo de dimensiones despreciables se dicecorrientemente que es un punto.

)uando el efecto neto d la fuerzas que act%an en unapartcula es cero, se dice que la partcula se encuentra en

equilibrio.

1tro caso sera cuando una partcula esta sometida a ms de3 fuerzas, pero adems la suma de sus fuerzas es cero, por lo

que la partcula estar en equilibrio.

Dia#rama !e cuerpo "ibre


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#s un esquema o dibujo preparado cuidadosamente en el que$gure el Hcuerpo de intersH separado de todos los cuerposque interact%en con l. Gna vez seleccionado el cuerpo deinters, !abr que determinar y representar en el diagrama

las fuerzas que sobre el cuerpo considerado ejercen los demscuerpos. #s importante representar HtodasH las fuerzas que seejerzan HsobreH el cuerpo de inters. Eecordemos tambin queHuna fuerza no puede eistir a menos que eista un cuerpoque la ejerza.

%cuaciones !e equi"ibrio

Gna partcula esta en equilibrio si la resultante de todas las

fuerzas que act%an en ella es 'cero(.

#n forma escalar es*

%&ercicio

#n la $gura siguiente puede verse el diagrama de slido librede un punto sometido a cuatro fuerzas. eterminar losmdulos de las fuerzas F2 y F3 que !agan que el punto esten equilibrio.


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3o"uci4n

#l punto esta sometido a un sistema de fuerzas concurrentes.+as condiciones necesarias y su$cientes para el equilibriovienen dadas por las ecuaciones*

&or lo que se tiene*

e donde*


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onde*

Eesolviendo el sistema de ecuaciones, se tiene*

%&emp"o '

#n la $gura siguiente puede verse el diagrama de cuerpo librede un punto sometido a la accin de D fuerzas. eterminar elmdulo, direccin y sentido de la fuerza FD que !aga que elpunto est en equilibrio.


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3o"uci4n

#l punto esta sometido a un sistema de fuerzas concurrentes.+as condiciones necesarias y su$cientes para el equilibriovienen dadas por las ecuaciones*

&or lo tanto se tiene*

onde*


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"e obtiene*

)onocidas las componentes, se obtiene*

:ambin se obtiene*

&or %ltimo, los resultados se ponen en el diagrama de cuerpolibre*


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%&emp"o )

#n la $gura se representa un bloque que pesa 36 7suspendido del punto 1 por las cuerdas 1A y 1I. #l sistema

esta en equilibrio. )alcular las tensiones en ambas cuerdas.

"olucin*

#ste problema se trata de equilibrio en un punto, el 1, luegoes su$ciente que se cumpla la primera condicin.

:rabajaremos con las componentes, proyectando las fuerzasactuantes sobre dos direcciones pre$jadas @ e y.

#n la siguiente $gura se muestra el diagrama vectorialcorrespondiente


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+a primera condicin de equilibrio, aplicada seg%n el eje y,nos da*

+a ecuacin @2 contiene dos incgnitas, de modo que laresuelven in$nitos pares de valores para :2 y :3. ? &araobtener solucin %nica necesitamos una segunda ecuacin

que contenga las mismas incgnitas, o al menos a una deellas.

:al ecuacin la obtendremos al aplicar la primera condicin deequilibrio seg%n el eje *

:eniendo en cuenta que sen 569 > cos 869 > 6,= y que sen869 > cos 569 > 6,J8 las ecuaciones @2 y @3 quedan*


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Eesolviendo este sistema, se obtiene*

Kue son las tensiones de ambas cuerdas.

%&emp"o *

Gn cuerpo cuyo peso es de 2666 7 se encuentra sobre unplano cuyo ngulo de inclinacin es de 569.

)alcular*

a la fuerza que ejerce el plano sobre el cuerpo @7b la fuerza paralela al plano inclinado que debe aplicarse alcuerpo para evitar que comience a bajar por el plano @#

"olucin*

#n general en un plano inclinado conviene elegir los ejes demanera que uno de ellos sea paralelo al plano y el otroperpendicular.


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+a descomposicin seg%n los ejes dar*

+uego la condicin de equilibrio nos dar

%&emp"o 5

#n la siguiente $gura se observa el diagrama de cuerpo librede un punto sometido a D fuerzas. eterminar el mdulo de lafuerza FD y los ngulos que forman con los tres ejes decoordenadas si el punto est en equilibrio.


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"olucin*

+as condiciones necesarias para el equilibrio de un punto son*

+as condiciones escalaras representadas en el diagrama decuerpo libre son*


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A!ora se determinan los ngulos*

%&emp"o 6

Gn bloque est suspendido de un sistema de cables tal comose muestra en la siguiente $gura, el peso del bloque es de=66 7. eterminar las tensiones de los cables A, I y ).


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"olucin*

"e realiza el diagrama de cuerpo libre del sistema,

+as condiciones necesarias para el equilibrio del sistema son*

"e obtiene*


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"ustituyendo las ecuaciones, se obtiene*

&or lo tanto se obtiene*

UNIDAD III

%.UI/I0RIO D% CU%R1O3 R27IDO38


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+as fuerzas pueden producir rotaciones.


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#l signo del momento se $ja arbitrariamente seg%n el sentidode la rotacin, por ejemplo, signo positivo a los momentos queproducen rotaciones anti !orarias. e la de$nicin demomento resulta inmediato que el momento de una fuerza

con respecto a un punto perteneciente a su direccin es nulo.

Momento !e un sistema !e -uerzas8

)uando se tiene un sistema de fuerzas coplanares y un puntopuede calcularse el momento total del sistema con respecto adic!o punto tomando los momentos individuales de lasdistintas fuerzas y sumndolas algebraicamente.

%&emp"o '

#l rectngulo de la $gura tiene aplicadas las fuerzas que seindican. )alcular el momento total respecto al punto A.

"olucin*

1btuvimos como resultado un momento positivo, ellofsicamente signi$ca que, aplicadas sobre el rectngulo lasfuerzas indicadas el cuerpo adquirir una rotacin en sentidoanti!orario.


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3uma !e -uerzas no concurrentes8

Gn cuerpo etenso, sometido a la accin de un sistema defuerzas, no concurrentes, ser necesario considerar adems

de las condiciones aplicadas a fuerzas concurrentes, que 'elmomento de la resultante respecto a cualquier punto seaigual a la suma de los momentos de las componentesrespecto al mismo punto(.

#s decir se deber cumplir*

%st:tica !e cuerpos r,#i!os8

&ara que se cumpla el equilibrio de un cuerpo rgido debecumplirse*

1 sea que contamos con tres ecuaciones algebraicas que nospermitirn resolver cualquier problema vinculado a la estticadel cuerpo rgido.


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%&emp"o )

"e aplican tres fuerzas a la barra representada en la $gura,

determine*

a #l momento de la fuerza FAcon respecto al punto #.

b #l momento de la fuerza F#con respecto al punto A.

c #l momento de la fuerza Fcon respecto al punto I.

"olucin*

&ara el clculo del momento se utiliza la siguiente formula*

#ntonces los resultados son*


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%&emp"o *

"e aplican D fuerzas a la placa mostrada en la $gura,determinar*

a #l momento de la fuerza FIcon respecto al punto A.b #l momento de la fuerza F)con respecto al punto I.c #l momento de la fuerza F)con respecto al punto A.

"olucin*

+a epresin necesaria para resolver el problema es*


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"e realiza un diagrama de cuerpo libre del sistema paraobtener datos del mismo*

"e obtiene*

&or %ltimo se resuelve y se obtiene*


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%&emp"o 5

A una placa cuadrada se aplican D fuerzas como se indica en

la $gura, determinar los momentos de las distintas fuerzasrespecto al origen 1 del sistema de coordenadas y.

"olucin*

+as cuatro fuerzas y los cuatro vectores de posicin,epresados en forma vectorial cartesiana son los siguientes*

A!ora, seg%n la siguiente epresin*


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"e resuelve el sistema*

%&emp"o 6

Gna fuerza de JD6 7 est aplicada a un punto de un cuerpo,seg%n se muestra en la $gura, determinar*

a #l momento de la fuerza, respecto al punto I.b +os ngulos directores asociados al vector unitario e

dirigido a lo largo del eje de momentos.c +a distancia ddel punto I a la recta soporte de la fuerza.


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"olucin*

a +a fuerza F y el vector de posicin rque va del punto I alpunto A, se pueden escribir en forma vectorial

cartesiana*

+a ecuacin para el momento es*

&or lo tanto queda*

b #l mdulo del momento /I se obtiene mediante*

&or lo tanto queda*

/ientras que los ngulos directores se obtienen por*


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c +a distancia d se obtiene a partir de la de$nicin delmomento, as que queda*

%&emp"o 6

+a fuerza de la $gura es de DD6 7, determinar*a #l momento /I de la fuerza respecto al punto I.

b +a componente del momento /I paralela a la recta I).

c +a componente del momento /I perpendicular a la rectaI).

d #l vector unitario asociado a la componente del

momento /Iperpendicular a la recta I).


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"olucin*

a +a fuerza F y el vector de posicin rque va del punto I alpunto A pueden escribirse en forma vectorial cartesiana*

&or lo tanto, usando a la ecuacin del momento obtenemos*

b #l vector unitario eI) asociado al eje I) es*

+a componente del momento /I paralela al eje I) nos da*


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c #l momento es la diferencia entre /Iy ya que

y son las dos componentes rectangulares de /I, asque*

d#l mdulo del momento es*

&or lo tanto*


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%&emp"o ;

+a fuerza F de la $gura es de B32 7, determine*

a #l momento /)de la fuerza respecto al eje ).b #l momento /)#de la fuerza respecto al eje )#.


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"olucin*

+a fuerza F se puede epresar en forma vectorialcartesiana*

a &ara el eje ) el vector unitario e) y el vector deposicin rAM)son*

As pues la ecuacin para el momento /)es*

&or lo tanto es*

b &ara el eje )# el vector unitario e)#es*

el vector de posicin rAM) y la ecuacin de momento, resulta/)#*


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G7NA NL.

A7A+N"N" # AE/AGEA"Mtodo de Nodos

+a armadura es uno de los principales tipos de estructurasque se usan en la ingeniera, proporciona una solucinprctica y econmica para muc!as situaciones de ingeniera,en especial para el dise0o de edi$cios y puentes.la mayora de las estructuras reales estn !ec!as a partir de

varias armaduras unidas entre si para formar una armaduraespacial. )ada armadura esta dise0ada para soportar aquellascargas que act%an en su plano y, por tanto, pueden sertratadas como estructuras bidimensionales.

Gna armadura es una construccin reticulada conformadageneralmente por tringulos formados por elementos rectos y


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que se utiliza para soportar cargas, las armaduras pueden serplanas o espaciales.

#ste mtodo consiste en analizar el equilibrio de cada junta o

nodo una vez que se !ayan determinado las reacciones. +asfuerzas sobre los pasadores en las juntas estn siempre en ladireccin de los elementos que !acen parte de estos4 si elelemento comprime o empuja al pasador, este ejercer unafuerza igual y de sentido contrario sobre aqul, el cual estarsometido a compresin. "i el elemento tira o !ala al pasador,por reaccin este !alar al elemento y en consecuencia estarsometido a traccin.+as ecuaciones disponibles al analizar el equilibrio de cada

junta, para armaduras planas son dos*

ya que se trata de equilibrio de fuerzas concurrentes, porconsiguiente el n%mero mimo de elementos que puedetener la armadura para que sea estticamente determinadopor la formula 3n?5 siendo n el n%mero de juntas, el 5

representa el n%mero mimo de incgnitas en las reacciones."on aquellas estructuras compuestas por medio de piezasrectas, slidas y esbeltas, convenientemente vinculadas entres de tal manera que cualquier forma posible resulte de lacombinacin de sistemas triangulados.


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)onstan de elementos rectos conectados en nudos localizadosen los etremos de los elementos. +os elementos de estasestructuras estn sometidos a dos fuerzas iguales y opuestasdirigidas a lo largo del elemento.

)+A"NFN)A)N17.

LNA # )#+1"NA 1 E#:N)G+AA )#E)


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/#:11 # +A" "#))N17#"*

ARMADURAS N 1


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n< )&=*< 6


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Para los o!os A" #" $ %=8

10 = .8 &=6

10 = .6

Para los o!os #" $" C %=17.5

18.5 = .945 &=6

18.5 = .324

'$ (A)

fx=0

fy=0

-3+A# (.8) + #$ (.8) =0 7.577+A# (.6)-#$ (.6) =0

.8A#+.8A$=3 (-.6) .6A#-.6A$=-7.577 (.8)

-.48A#-.48A$=-1.8 .48A#-.48A$=-6.6

(-.48A#-.48A$=-1.8 )+ (.48A#-.48A$ = -6.6 ) = -9.6A$=-7.86

A$=

7.86

.96

= 8.187 ()

A#=36.5496

.8 = -4.437 (C) '$ (#)

fy=0 fx=0


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-9-9-#$+4.437(.6)-(-3.756) (.324)=0 4.437(.8)+#C (.945)=0

-#$= 6.02 #C= -3.756 (C)

#$= -6.02 (C)

'$ ($)

fy=0 fx=0

-6.02+8.187(.6)+$C (.324)=0 -8.187(.8) + 3.42 (.945)=0

$C = 3.42 () -.31=0

'$ (C)

fy=0 fx=0

2.4 * 3.756(.324) -3.42(.324)=0 3.756(.945) * 3.42(.945)=0

2.4 * 1.22 * 1.10 = 0 3.549 * 3.2319


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0.07 = 0 0.31 = 0


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n< )&=* < >

fy =0

RAy - 480 = RAy= 480'

Mo (A )=0 Mo (D )=0

R$x = 0 RAx = 0

Para los o!os A" #" $" C" , %=2.5

6.5 = .384 &=6

6.5 = .923


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'$ (A)

fy=0 fx=0

480- AC (.923) = 0 A# + 520.04(.384) = 0

AC=

480

.923 = 520.04 () A# = -199.695 (C)

'$ (#)

fy=0 fx=0

-# + (-520) (.923) = 0 199.695 *

#C (.384) = 0

-# = 479.9876 #C =

199.695

.384 =

520.03 ()

# = -479.9876 (C)


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'$ (C) fx=0

-520.04(.384) + (520.03) (.384)-C$ (.384) + C (.384) = 0

fy=0

520.04(.923) + (520.03) (.923)-C$ (.923) * C (.923) = 0

-.384C$ + .384C = .00384 (-.923)

-.923C$ - .923C = -960 (.384)

.3544C$ - .3544C = -.003544

-.3544C$ - .3544C = -368.64

-.7088C = -368.65 C= 520 ()

-.384C$ + .384(520) = .00384

C$ =

.00384199 .68

.384 = 519.99 ()

'$ ()


52/107

fy=0

fx=0

-480 + 520(.932) = 0 -$ -520(.384) = 0

-.04 = 0 -$ = -199.68

$ = 199.68 ()

'$ ($)

fy=0 fx=0

519.99(.923) * 480 = 0 -199.68 + 519.99(.384) = 0


53/107

479.95 -480 = 0 -199.68 + 199.67 = 0

- .04 = 0 -.0038 = 0


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ARMADURAS N 3

n


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Ry=384

32 =12' RAy=384

32 = 12'

Para los o!os A" #" $" C" " /" " , %=8

10 = .8 &=6

10 = .6


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'$ (A)

fy=0 fx=0

-3 + 12 + A# (.6) = 0 AC -15(.8) =0

A#= 9.6 = -15 (C) AC= 12 ()

'$ (C)

fy=0 fx=0

#C = 0 -12 + C =0

C = 12 ()


57/107

'$ (#)

fx=0

fy=0

15(.8) + #$(.8) + #(.8) = 0 -6 + 15(.6) + #$(.6) * #(.6)= 0

.8#$ + .8# = -12 (.6) .6#$ -.6# = -3 (.8)

-.48#$ - .48# = 7.2 .8#$ +.8(-5) = -12

.48#$ -.48# = -2.4 #$ =

12+4

.8 = -10 (C)

# = -5 (C)

'$ ($)

fy=0

fx=0

-6 *$ + 10(.6) * (-10) (.6) = 0 10(.8) + $/ (.8) = 0

-$ -6 +6 +6 = 0 $/ =

8

.8 = -10 (C)


58/107

-$ = -6

$ = 6 ()

'$ ()

fy=0

fx=0

6 - 5(.6) +/ (.6) = 0 -12 +5(.8) -5 (.8) + = 0

6 * 3 + .6 / = 0 = 12 ()

/ =

3

.6 = -5 (C)

'$ (/)

fy=0

fx=0


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-6 */ -10(.6) + 5(.6) * (-15)(.6) = 0 10(.8) + 5(.8) + / (.8) = 0

-/ -6 -6 + 3 +9 = 0 8 +4 .8/ = 0

-/ = 0 /=

12

.8 = -15 (C)

/= 0

'$ () fy=0 fx=0

0 = 0 -12 + = 0

= 12 ()

'$ ()

fy=0

fx=0


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-3 +12 -15(.6) = 0 -12 + 15(.8) = 0

-3 + 12 -9 = 0 -12 +12 = 0

0 = 0 0 = 0

UNIDAD @

FU%RA3 DI3TRI0UIDA38

#l peso de un cuerpo no act%a en un solo punto, sino que est

distribuido sobre su volumen total, sin embargo, el peso sepuede representar con una sola fuerza equivalente actuandoen un punto llamado centro de masa, tambin se puedede$nir como la posicin media de reas, vol%menes y lneas4 ya esta posicin media se llama centroide.

Centro !e #rave!a! !e un cuerpo bi!imensiona"8


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+a magnitud P de esta fuerza se obtiene a partir de la sumade las magnitudes de los pesos de los elementos.

&ara obtener las coordenadas Q y R del punto , donde debeaplicarse la resultante P, se escribe que los momentos de Pcon respecto a los ejes y y son iguales a la suma de losmomentos correspondientes de los pesos elementales, estoes*

"i a!ora se incrementa el n%mero de elementos en los cuales

se !a dividido la placa y simultneamente se disminuye eltama0o de cada elemento se obtienen, en el lmite, lassiguientes epresiones*


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Centroi!es !e :reas + ",neas8

&ara una placa plana !omognea de espesor uniforme, lamagnitud SP del peso de un elemento de la placa puedeepresarse como*

onde*

T> peso especfico @peso por unidad de volumen del material

t > espesor de la placa

SA> rea del elemento

#n forma similar, se puede epresar la magnitud P del pesode toda

la placa como*

onde A es el rea total de la placa.

"i se sustituye a SP y a P en las ecuaciones de momento y

se divide a todos los trminos entre Tt, se obtiene*


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"i se incrementa el n%mero de elementos en los cuales sedivide el rea A y simultneamente se disminuye el tama0ode cada elemento, se obtiene en el lmite*

Cuerpos compuestos8

)uando un cuerpo o $gura pueda dividirse convenientementeen varias partes de forma sencilla, se podr utilizar el teoremade Larignon si se trata cada parte como un elemento $nito delconjunto.

As, para un cuerpo cuyas distintas partes pesen &2, &3, &5, ...y cuyas correspondientes coordenadas de los respectivoscentros de gravedad de dic!as partes, por ejemplo, en ladireccin sean 2 , 3 , 5 ,..., el principio de los momentos

da*


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onde U es la coordenada del centro de gravedad delconjunto.

&ara las coordenadas correspondientes a las otras dos

direcciones se tendrn epresiones anlogas. #stas sumaspueden epresarse en forma condensada y escribirse en laforma*

&ara lneas, super$cies y vol%menes compuestos se cumplirnrelaciones anlogas en las que las & estarn sustituidas por +,A y L, respectivamente.

Centroi!es !e e"ementos comunes8


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%&emp"o'

etermine la localizacin del centroide de una enjuta

parablica.

"olucin*


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Determinaci4n !e "a constante B. #l valor de V sedetermina sustituyendo a y y b en la ecuacin dada. "etiene b >Va3 o V >bMa3. &or tanto la ecuacin de la curva es*

%"emento !i-erencia" vertica"8 "e selecciona el elementodiferencial mostrado y se determina el rea total de la $gura.


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%"emento !i-erencia" orizonta"8 "e pueden obtener losmismos resultados considerando un elemento !orizontal. +osprimeros momentos del rea son.


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%&emp"o )

etermine la ubicacin del centroide del arco mostrado.

"olucin*

)omo el arco es simtrico con respecto al eje , y >6. "eselecciona un elemento diferencial, como se muestra en la$gura, y se determina la longitud del arco por integracin.


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%&emp"o *

etermine la ubicacin del centro de gravedad del cuerpo derevolucin !omogneo que se muestra en la $gura, el cual se

obtuvo al unir una semiesfera y un cilindro y removiendo uncono.

"olucin*

ebido a la simetra, el centro de gravedad se encuentrasobre el eje , como se muestra en la $gura que se presenta a

continuacin. #l cuerpo puede obtenerse sumndole unasemiesfera a un cilindro y despus restndole un cono.#ntonces, se determinan el volumen total del cuerpo y elprimer momento de dic!o volumen con respecto al plano yz.


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+os datos obtenidos se ponen en la siguiente tabla y serealizan los clculos.

%&emp"o 5

+ocalice el centro de gravedad del elemento de una mquina!ec!o de acero que se muestra en la $gura. #l dimetro decada agujero es 2 in.


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"olucin*

#l elemento de mquina se puede obtener sumndole a unparaleleppedo rectangular @N un cuarto de cilindro @NN y,entonces, restando dos cilindros de 2 in. de dimetro @NNN y NL."e determinan el volumen y las coordenadas del centroide decada componente y se introducen en la tabla que se presentaa continuacin. #ntonces, al utilizar los datos que estn en latabla se determina el volumen total y los momentos de dic!o

volumen con respecto a cada uno de los planos coordenados.


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+os datos se ponen en la tabla*

%&emp"o 6

etermine la ubicacin del centroide del medio cono circularrecto mostrado en la $gura.


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"olucin*

)omo el plano y es un plano de simetra, el centroide se

encuentra en dic!o plano y z>6. "e selecciona una placa deespesor d como el elemento diferencial. #l volumen de dic!oelemento es*


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%&emp"o ;

+ocalizar el centro de gravedad de la combinacin soporte?

rbol. +a cara vertical es de planc!a metlica, que pesa 3=VgMm3, el material de la base !orizontal pesa D6 VgMm3 y elrbol de acero tiene una densidad de B,J gMcm5.


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"olucin*

#l cuerpo puede considerarse compuesto de los cincoelementos que pueden verse en la ilustracin. +a parte

triangular se considerar como rea negativa. &ara los ejes dereferencia indicados la coordenada del centro de gravedades nula, por razn de simetra.

"e determina el peso de cada parte y las coordenadas y y z desus respectivos centros de gravedad. "e maneja mejor lostrminos que aparezcan al aplicar las ecuaciones.

:abulando los datos se obtiene*


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%&emp"o >

"uponiendo densidad 0 y espesor t, constantes, determinarlas coordenadas del centro de masas para la placa triangular

se0alada en la $gura*

"olucin*

+a masa de la placa triangular es / > W t A, siendo A el readel tringulo. )omo A> abM3, se tiene . &uesto que laecuacin de la lnea recta es a X by > ab,

As, la coordenada del centro de masa es*


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"ustituyendo el valor de /, obtenemos*

Anlogamente, la coordenada y del centro de masa es*

UNIDAD @I

MOM%NTO3 D% IN%RCIA8

e$nicin* )uando sobre una super$cie act%an fuerzas queestn distribuidas de modo continuo por toda ella, es vecesnecesario calcular el momento de esas fuerzas respecto a uneje contenido en la super$cie o perpendicular a sta.

A menudo la intensidad de la fuerza @presin o esfuerzo esproporcional a la distancia al eje de momentos.

+a fuerza elemental que act%a en un elemento de super$cie

ser entonces proporcional a la distancia multiplicada por elrea elemental y el momento elemental ser proporcional alcuadrado de la distancia multiplicado por el rea elemental.

)onsidere el rea A, mostrada en la $gura siguiente, la cualrecae en el plano ?y. &or de$nicin, los momentos de inercia


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del rea plana diferencial dA con respecto a los ejes y y sondN > y3 dA y dNy> 3 dA, respectivamente. &ara el reacompleta, los momentos de inercia se determina porintegracin* es decir,

Teorema !e" e&e para"e"o o un :rea8

"i se conoce el momento de inercia de un rea, con respecto aun eje que atraviesa su centroide, es conveniente determinarel momento de inercia del rea con respecto al eje paralelocorrespondiente por medio del teorema del eje paralelo. &araderivar este teorema, considere el encontrar el momento deinercia del rea sombreada que se muestra en la $gurasiguiente, con respecto al eje .


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#n este caso, un elemento diferencial dA se localiza a unadistancia arbitraria yY del eje centroidal , mientras que ladistancia $ja entre los ejes paralelos y Yse de$ne como dy.&uesto que el momento de inercia de dA con respecto al eje

es dN > @yYXdy3dA, entonces para el rea completa.

&uede escribirse una ecuacin similar para Ny4 es decir,


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O por %ltimo, para el momento $nal de inercia con respecto aleje perpendicular al plano ?y que pasa a travs del polo 1@eje z, vase la $gura anterior, se tiene*

+a forma de cada una de estas ecuaciones establece que elmomento de inercia de un rea con respecto a un eje es igualal momento de inercia del rea con respecto a un eje paraleloque atraviesa su centroide ms el producto del rea y elcuadrado de la distancia perpendicular entre los ejes.

1ro!ucto !e inercia8#l producto de inercia Ny de un rea A, se de$ne como*

"iendo y y las coordenadas del elemento de rea dA. Adiferencia con los momentos de inercia, que son siemprepositivos para reas positivas, el producto de inercia puedeser positivo o negativo.

#l producto de inercia es nulo cuando cualquiera de los ejesde referencia es eje de simetra.

Ra!io !e #iro8

#l de giro de un rea plana tiene unidades de longitud y confrecuencia se utiliza en el dise0o de columnas en mecnica deestructuras. "iempre y cuando se conozcan las reas y losmomentos de inercia, el radio de giro se determina con lasfrmulas.


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+a forma de estas ecuaciones puede recordarse fcilmente,dado que son similares a la que se utiliza para determinar elmomento de inercia de un rea diferencial con respecto a uneje.

)uando el contorno de un rea plana se epresa confunciones matemticas, las ecuaciones*

&ueden integrarse para determinar los momentos de inerciadel rea. "i el elemento que se eligi para la integracin tieneun tama0o diferencial en dos direcciones, se debe llevar acabo una doble integracin para evaluar el momento deinercia. "in embargo, con frecuencia resulta ms fcil realizar

una integracin escogiendo slo un elemento que tenga untama0o diferencial o espesor en un direccin %nica.

%&emp"o '


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eterminar N e Ny para el rea rectangular de la $guramostrada a continuacin.

"olucin*

+os momentos de inercia son*

%&emp"o )


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eterminar N e Ny para el rea del tringulo de la $guramostrada a continuacin.

"olucin*

+as ecuaciones de los lados derec!o e izquierdo del tringulo*

Eesolviendo estas ecuaciones se obtiene*

&uesto que los elementos del rea deben ser positivos, elsigno apropiado en las epresiones para es el positivo, y enla epresin para y es el negativo. e este modo


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%&emp"o *

eterminar para el rea circular de la $guramostrada a continuacin.


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"olucin*

#l centroide del crculo coincide con su centro. Eespecto delsistema coordenado de referencia ", con origen en el centro

del crculo.

&or el teorema de los ejes paralelos*

%&emp"o 5

eterminar el producto de inercia del rea circular de la $guramostrada a continuacin.


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"olucin*

para el elemento de rea dA considerado*

+uego por*

#l producto de inercia es*

#n este caso, el producto de inercia es nulo debido a lasimetra del rea respecto al origen, es decir, debido a quecada eiste un @Z y para cada y eiste un @Zy.

%&emp"o 6


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eterminar V, Vy y Vr para el rea circular de $gura mostradaa continuacin.

"olucin*

#n primer lugar se deber determinar los momentos deinercia N e Ny de un rea circular.

1bsrvese que la simetra de la $gura implica que N sea igualNy siendo as, los radios ortogonales de giro sern*


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UNIDAD @II


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FRICCIN8

+as fuerzas de friccin tienen muc!os efectos importantes,tanto deseables como indeseables, por ejemplo en el

funcionamiento adecuado de un automvil depende de lasfuerzas de friccin entre sus neumticos y el suelo, entre lasbandas y poleas de su motor, son fricciones deseables, pero lafriccin entre sus pistones y cilindros ocasionan un desgasteque se debe minimizar por medio de alg%n lubricante.

+a teora de friccin de )oulomb nos permite calcular la fuerzade friccin mima que se puede ejercer entre super$cies encontacto y la fuerza de friccin ejercida por super$cies

deslizantes.

Fricci4n seca8

A la friccin de )oulomb se le conoce como friccin seca.

+as teoras de friccin seca o de )oulomb predicen las fuerzasde friccin mimas que pueden ser ejercidas por super$ciessecas en contacto y que se !allan en reposo entre s.

:ambin predice las fuerzas de friccin ejercidas por lasuper$cie cuando esta se !alla en movimiento relativo.


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Coeciente !e -ricci4n est:tico8

+a magnitud de la fuerza mima que se puede ejercer entredos super$cies planas secas en contacto es*

onde 7 es la componente normal de la fuerza de contactoentre las super$cies, y [s es una constante llamadacoe$ciente de friccin esttica y se puede suponer que el

valor de [sdepende solo de los materiales de la super$cie decontacto y de sus condiciones.


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@a"ores !e coecientes !e -ricci4n est:tica

Coeciente !e -ricci4n cintico8

"eg%n la teora de friccin, la magnitud de la fuerza de

friccin entre dos super$cies planas y secas en contacto queestn en movimiento es*

onde [Ves llamado coe$ciente de friccin cintico.


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En#u"o !e -ricci4n8

#n vez de que la reaccin ejercida en una super$cie encontacto con otra se descomponga en una fuerza normal Nyen friccin f, podemos epresarla en trminos de su magnitudRy del ngulo de friccin entre la fuerza y la normal de lasuper$cie.

+a fuerza normal y de friccin estn relacionadas con E y \,por lo tanto*

f=R sen

N=R cos

#l valor de \ cuando el deslizamiento es inminente se llamangulo de friccin esttico @\s utilizando las ecuacionesanteriores podemos epresar*


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Adems, su valor cuando las dos super$cies estn enmovimiento se llama ngulo de friccin cintico @\V, y seepresa*

%&emp"o ' #l dispositivo de la $gura que se muestra ejerceuna fuerza !orizontal sobre la caja en reposo. +a caja pesaJ66 7 y el coe$ciente de friccin esttica entre el cajn y larampa es ]s>6.D

a "i la cuerda ejerce una fuerza de D66 7 sobre la caja.^)ul es la fuerza de friccin ejercida por la rampa sobrela caja_

b ^)ul es la mima fuerza que la cuerda puede ejercer

sobre la caja sin qu sta se deslice !acia arriba sobre larampa_

"olucin.

a. Eealizando el diagrama de cuerpo libre se obtiene*


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espejando la fuerza de friccin*

#s decir que la fuerza f va en sentido contrario aldibujado inicialmente.

"olucin.

b. +a fuerza de friccin es f = sN y se opone aldeslizamiento inminente. &ara !acer ms sencilla la

obtencin de :, se alinea el sistema coordenado como semuestra en la $gura y se plantea las ecuaciones deequilibrio.


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espejando 7 de la segunda ecuacin se obtiene*

+uego de la 2` ecuacin.


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%&emp"o ) +os coe$cientes de friccin sons = 0,25 y]k = 0,20 entre todas las super$cies de contacto.

etermnese*

a +a resultante de la fuerza de friccin ejercida sobre elbloque si el bloque ) esta restringido como se ve en la$gura,

b +a fuerza de friccin que el suelo ejerce sobre el bloque si el cable AI se elimina.

"olucin.

a. "e !ace el anlisis de cada el elemento con sudiagrama de cuerpo libre*

)uerpo )*


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)uerpo *


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el cuerpo *

"olucin.

b. "e realiza un diagrama de cuerpo libre general para elanlisis del sistema*


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%&emp"o *

"upongamos que se quiere empujar el cofre de !erramientasde la $gura sobre el piso aplicando una fuerza !orizontal F. "iaplicamos la fuerza a una altura ! muy grande, el cofre sevolcar antes de deslizarse. "i el coe$ciente de friccinesttica entre el piso y el cofre es [s, ^)ul es el mimovalor de ! para que el cofre se deslice antes de volcarse_.

"olucin*

e acuerdo al anlisis del sistema, se obtiene*


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#l equilibrio requiere que*

)uando el cofre esta a punto de deslizar

&or lo que*

"ustituyendo en la ecuacin de momento.

espejando en esta ecuacin encontramos que el cofre estaa punto de volcarse y a punto de deslizarse cuando*


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%&emp"o 5

#n la $gura la caja A pesa 266 lb y la caja I pesa 56 lb, loscoe$cientes de friccin entre la caja y la rampa son s = 0,30y k = 0,28 . ^)ul es la magnitud de la fuerza de friccinejercida sobre la caja A por la rampa_

"olucin.

"e !ace el diagrama de cuerpo libre del sistema, y porcontinuidad de la cuerda*


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%&emp"o ;

#l disco de peso P y radio E se mantiene en equilibriomediante un par /. #l coe$ciente de friccin esttica entre eldisco y la super$cie es s. emuestre que el valor mimo que/ puede tener sin que el disco se deslice es*

"olucin.#l problema es el plano de inclinacin, si el ngulo en el puntode contacto es .

&or suma de fuerzas, la fuerza normal es

F > P cos; y la friccin f > [s . F7 > P sen;


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"e sabe que el ngulo de friccin cintica en trminos delcoe$ciente de friccin es*

+uego por suma de momentos en el centro del disco*

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