Apuntes máquinas hidráulicas -...

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID

Escuela Politécnica Superior

Apuntes de Máquinas Hidráulicas

AutorCesar Huete, Daniel Martínez Ruiz, Mario Sánchez Sanz

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA TÉRMICA Y DE FLUIDOS

Leganés, Septiembre 2017

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

Apuntes de Máquinas Hidráulicas

AutorCesar Huete, Daniel Martínez Ruiz, Mario Sánchez Sanz

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

3

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

i

Índice

1 Introducción 31.1 Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Clasificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Elementos constructivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Distribuidor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 Difusor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.3 Rodete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Altura de una turbomáquina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Sistemas de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Repaso de Mecánica de Fluidos 92.1 Hipótesis de partida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Definición de Fluido Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Ecuaciones de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1 Ecuación de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.2 La ecuación de conservación de cantidad de movimiento: La ecuación de

Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.3 La ecuación del momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.4 La ecuación de la energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Pérdida de carga en tuberías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 Ejemplo de aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Teoría Unidimensional 193.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Triángulo de velocidades y ángulos característicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.3 Fuerza sobre un álabe aislado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4 Conservación del momento angular: la ecuación de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.4.1 Aplicación de la ecuación de Euler a la máquina de entrada axial y salidaradial de la figura 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.5 El grado de reacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.6 Variación de la altura y el rendimiento con los parámetros geométricos . . . . . . . . 27

3.6.1 Influencia de la orientación de la velocidad ~v en la sección de entrada al rotor:el ángulo α1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.6.2 Influencia de la orientación del álabe en la sección de salida: el ángulo β2 . . 283.7 Definición de rendimientos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

ii Índice

3.7.1 Bombas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.7.2 Turbinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.7.3 Ejercicio de aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 Efectos bidimensionales 354.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2 Flujo bidimensional entre álabes en turbomáquinas radiales . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2.1 El coeficiente de disminución de trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2.2 Correcciones de Stodola y Pfleiderer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3 Flujo bidimensional entre álabes en turbomáquinas axiales . . . . . . . . . . . . . . . 394.3.1 Aerodinámica de perfiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3.2 Movimiento bidimensional en cascada de álabes móvil . . . . . . . . . . . . . 41

4.4 Ejemplo de aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5 Flujo real: efectos tridimensionales y disipativos 475.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.2 Efectos disipativos en máquinas radiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2.1 Capa límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.2.2 Flujos secundarios y otras fuentes de pérdidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.3 Efectos disipativos en máquinas axiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.3.1 Capa límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.3.2 Flujos secundarios y otras fuentes de pérdidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.4 Curvas reales de funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.5 Ejemplo de aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6 Análisis Dimensional 576.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.2 Conceptos básicos generales de análisis dimensional y semejanza . . . . . . . . . . . 57

6.2.1 Teorema Π o Vaschy-Buckingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.2.2 Semejanza geométrica y física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.3 Análisis dimensional en turbomáquinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.3.1 Conceptos de análisis dimensional y semejanza aplicados a turbomáquinas . 596.3.2 Curvas características . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.3.3 Velocidad, potencia y diámetro específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7 Cavitación 657.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.2 Efectos de la cavitación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.3 Origen y descripción de la cavitación en bombas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697.4 Cavitación en turbinas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.5 Velocidad específica de aspiración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

8 Acoplamiento en Instalaciones Hidráulicas 778.1 Tiempos característicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778.2 Punto de funcionamiento en instalaciones de bombeo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798.3 Instalaciones de bombeo ramificadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

Índice 1

8.3.1 Bombas en serie y en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 828.4 Regulación del caudal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

8.4.1 Regulación mediante válvulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858.4.2 Regulación mediante by-pass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868.4.3 Regulación por velocidad de giro de la bomba . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888.4.4 Regulación mediante control de la pre-rotación del fluido a la entrada del rotor 898.4.5 Regulación de caudal mediante rotación de los álabes del rotor . . . . . . . . 89

8.5 Funcionamiento estable e inestable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908.6 Guía para la selección de bombas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938.7 Punto de funcionamiento en turbinas hidráulicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95*

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

1

Nomenclatura

Caracteres latinos

A, S – Área o superficie de paso.b – Altura de álabe en máquina centrífuga.c – Capacidad calorífica específicae – Energía interna específica~ei – Vector unitario en la dirección de i.~F – Vector fuerza.~fm – Vector fuerza por unidad de masa.g – Aceleración de la gravedad.h – Entalpía específicaHg – Altura de elevación sobre el terreno.H∞ – Altura teórica o de Euler con número infinito de álabes.Hz – Altura teórica con ún número finito de álabes.Hu – Altura útil.Hm – Altura manométrica.HL – Altura de pérdidas en el rotor.m – Gasto másico.~n – Vector normal a una superficie.p – Presión.pa – Presión atmosférica.Q – Caudal.Qf – Caudal de fugas en el rotor.r, θ, z – Coordenadas cilíndricas polares.t – Tiempo.~T , T – Vector y módulo de par o torque.U – Función potencial de fuerzas másicas.U – Velocidad media en la tubería.~u — Vector velocidad de arrastre.~v — Vector velocidad absoluta.vu — Proyección del vector velocidad absoluta sobre el vector velocidad

de arrastre.vm — Velocidad meridiana o meridional.Vc – Volumen de control.~w — Vector velocidad relativa.

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

2 Índice

wu — Proyección del vector velocidad relativa sobre el vector velocidadde arrastre.

wm — Velocidad relativa meridiana o meridional.~x,~r – Vector de posición.W – Potencia.~x =

(x, y, z)

– Vector de posición en coordenadas cartesianas.

~x =

(x, r, θ)

– Vector de posición en coordenadas cilíndricas polares.

Subíndices

0 — Magnitudes referidas a la entrada del distribuidor .1 — Magnitudes referidas a la entrada del álabe.2 — Magnitudes referidas a la salida del álabe.3 — Magnitudes referidas a la entrada del difusor.4 — Magnitudes referidas a la salida del difusor.

Letras griegas

α — Ángulo formado por el vector velocidad absoluta y el vectorvelocidad de arrastre.

β — Ángulo formado por el vector velocidad relativa y el vector ve-locidad de arrastre.

λ — Factor de fricción.Ω — Velocidad de giro de la turbomáquina.dσ – Diferencial de superficie.Σc – Superficie de control.ρ – Densidad del fluido de trabajo.¯τ – Tensor de esfuerzos viscosos.Φv – Disipación viscosa.

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

3

Introducción

El documento que sigue conforma un esfuerzo de síntesis para el estudio de máquinas hidráulicasdesde la óptica proporcionada por la formación ingenieril. El objetivo común de los autores esofrecer al lector una explicación completa de los principios y los modelos que permiten analizar sucomportamiento, así como proporcionar las capacidades de proyectar los detalles necesarios en eldiseño de estos dispositivos.

1.1 Definición

Las máquinas que serán objeto de estudio en este libro son aquellas capaces de realizar un inter-cambio de energía con un fluido que circula en su interior, sin modificar la temperatura del mismode forma apreciable. El sistema de movimiento mecánico particular de cada máquina extrae obien aporta al fluido energía cinética y variaciones de presión para su aprovechamiento con finesdispares.

1.1.1 Clasificación

Existen numerosos tipos de máquinas que hacen uso del movimiento de un fluido con objetivostan diferentes como la propulsión por turbohélices, la generación de electricidad, la compresiónde gases o simplemente la elevación de agua. Considerando las maneras de diferenciarlas seestablecen los siguientes criterios:

Atendiendo a la compresibilidad o no del proceso fluido en el interior del dispositivo podemosdiferenciar entre dos tipos de máquinas en primera instancia. Las primeras son aquellas en lasque la densidad del fluido sufre un cambio no despreciable al atravesar el mecanismo, lo queapareja típicamente fuertes variaciones de presión o temperatura. Éstas son las denominadasmáquinas térmicas, en las cuales no hay necesariamente una transmisión de energía térmica entrela máquina y el fluido. Las segundas, hacen uso de fluidos de trabajo en los que las variacionesde densidad y efectos térmicos son despreciables a su paso por el sistema. Estas últimas son lasmáquinas hidráulicas y serán aquellas que analicemos aquí.

En función del sentido de la transmisión de energía se consideran varios tipos. Primero,máquinas que consumen potencia del eje y la transmiten al fluido; tales como las bombas (generación depresión), hélices (generación de empuje) y tornillos de Arquímedes (incremento de energía potencial).Todos estos tipos necesitan de un motor que genere dicha energía mecánica transferida por el eje.Segundo, máquinas que ceden potencia al eje al extraerla del flujo; por ejemplo las Turbinas Francisy Kaplan (decremento de presión) o Turbinas Pelton (disminución de energía cinética). Por último,se consideran máquinas reversibles a todas aquellas capaces de funcionar alternativamente comogeneradoras o motoras.

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

4 1. Introducción

Figura 1.1. Turbinas Francis (izquierda), Pelton (centro) y Kaplan (derecha).

Finalmente, dependiendo del movimiento mecánico realizado por la máquina en su trans-misión de energía diferenciamos a las turbomáquinas, máquinas rotativas que precisan de una piezagiratoria (rotor) que actúa de manera continuada, y el resto de máquinas de desplazamiento (e.g.compuestas por émbolos, membranas, etc.) que no se consideran en este curso.

1.2 Elementos constructivos

Una turbomáquina hidráulica elemental se compone de una o varias células en serie (tambiénllamadas etapas), a través de las cuales pasa sucesivamente el fluido de trabajo variando su presióny/o energía cinética. En cada una de dichas etapas podemos identificar por un lado elementosmóviles (rotor) como los rodetes, y por otro elementos fijos (estátor), entre los que se encuentrandistribuidores y difusores principalmente (véase figura 1.2).

1.2.1 Distribuidor

Se trata de un elemento estático de la turbomáquina que guía el fluido para su adecuada interaccióncon el rodete. Dentro de los difusores se pueden considerar carcasas o conductos de admisiónsituados a la entrada del flujo. Además, también se cuentan entre los elementos del sistemadistribuidor álabes fijos que dirigen la corriente para dotarla del ángulo de entrada adecuado en elrodete. El distribuidor es un elemento que no siempre está presente.

1.2.2 Difusor

Este elemento estático tiene una doble función en la actividad de la máquina hidráulica, por unlado guiar el fluido a la salida del rodete hacia un conducto espiral (voluta) que rodea al rodete yrecoge el fluido saliente. Por otro lado, el difusor se emplea para convertir la energía cinética enpresión estática mediante la deceleración del flujo. Una turbomáquina que no conste de difusor secataloga entre las llamadas de escape libre.

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

1.3. Altura de una turbomáquina 5

Figura 1.2. Elementos constructivos de una turbomáquina

1.2.3 Rodete

Elemento esencial en la arquitectura de una turbomáquina compuesto por un conjunto de álabesmóviles. Entre los álabes se forman canales por los que pasa continuamente el fluido. Gracias a sumontaje axial y su capacidad de movimiento rotatorio, el rodete transfiere energía de la máquina alfluido que lo atraviesa (bomba) o viceversa (turbina).

Aquellas turbomáquinas en las que se produce una fuerte variación de presión estática en elrotor se denominan turbomáquinas de reacción. Las turbinas de reacción reciben el caudal provenientedel distribuidor a alta presión y a través del rodete el fluido sufre una disminución importantede la misma. Sin embargo, en las turbomáquinas de acción se conserva la presión estática a lo largodel rodete, siendo la variación del momento cinético la responsable del intercambio de energíamecánica.

El rodete es además el responsable de otro tipo de clasificación de turbomáquinas. En funciónde la dirección del flujo que lo atraviesa podemos encontrar una gran variedad de configuracionesclasificadas en radiales, axiales o mixtas.

1.3 Altura de una turbomáquina

La potencia transmitida W [W ] en una turbomáquina, o energía por unidad de tiempo [J/s] seráuna de las magnitudes de mayor interés en este texto. La consideración de dicha cantidad permiteidentificar las dimensiones [kg m2/s3], pudiendo reconstruir la magnitud de potencia haciendouso de la densidad del fluido ρ, el caudal Q y la aceleración gravitatoria g, como W = ρQgH ,donde H representa una longitud, la altura de la turbomáquina. Este concepto relaciona la potenciaintercambiada en términos de la altura a la que podría ser elevado continuamente el caudal delfluido de trabajo (de una densidad dada) en contra de la aceleración de la gravedad. Además, la

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

6 1. Introducción

potencia por unidad de gasto volumétrico se ve asociada a un salto de presión total,

W

Q= ρgH = ∆Pt =

(p+

1

2ρv2 + ρgz

)se

, (1.1)

teniendo en cuenta las variaciones entre la salida y la entrada de la máquina. La potencia que se veinvolucrada en el funcionamiento de estos dispositivos se puede subdividir en distintos procesosque serán analizados en detalle en el capítulo 3.

1.4 Sistemas de referencia

Figura 1.3. Sistemas de referencia en coordenadas cilíndri-cas para el estudio de turbomáquinas.

La simetría de revolución presente enla construcción de máquinas hidráulicasde rotación propicia el uso de sistemasde referencia en coordenadas cilíndricas,r, θ, x, para el análisis fluidomecánico.Las coordenadas intrínsecas asociadas~er, ~eθ, ~ex se muestran en la figura 1.3,donde se representa una máquina axial enfuncionamiento a una velocidad angularΩ. La velocidad de los álabes o veloci-dad de arrastre se puede escribir como~u = u~eθ = Ωr~eθ. En cambio, la veloci-dad del fluido relativa a los elementos enmovimiento de la máquina la denotaremoscomo ~w, la cual fija la interacción entrerodete y fluido de trabajo. El problemaobservado desde dicho sistema de referen-cia cilíndrico en rotación con los álabes esestacionario, simplificando así el análisisfluidodinámico. La velocidad del fluidoen un sistema fijo a tierra la definimos en-tonces como la composición,

~v = ~w + ~u, (1.2)

donde las componentes de la velocidadabsoluta ~v = vr~er + vu~eθ + vx~ex y relativa~w = wr~er + wu~eθ + wx~ex, referidas a estos ejes, se relacionan según,

vr = wr, vu = wu + u, vx = wx. (1.3)

Tal como se avanzaba anteriormente, se considerarán convenientemente distintos sistemas dereferencia en función del desplazamiento de las partículas fluidas a su paso por el rodete según lassiguientes categorías:

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

1.4. Sistemas de referencia 7

• Turbomáquinas radiales. Cada partícula de fluido recorre una trayectoria que se encuentracontenida en el plano ~er − ~eθ, e.g. Turbina Francis. Fig. 1.4(a).

• Turbomáquinas axiales. La trayectoria de las partículas fluidas está contenida en el planocoaxial al eje de la turbomáquina ~eθ − ~ex, e.g. Turbina Kaplan. Fig. 1.4(b)

• Turbomáquinas mixtas o helico-centrífugas. Cada partícula recorre una trayectoria contenidaen una superficie cónica o en una superficie de revolución cualquiera no desarrollable ~er −~eθ − ~ex. Fig. 1.4(c).

Figura 1.4. Clasificación por dirección del flujo

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

9

Repaso de Mecánica de Fluidos

2.1 Hipótesis de partida

Para caracterizar la interacción entre el fluido y los elementos mecánicos dentro de una máquinahidráulica es necesario conocer cómo el fluido modifica sus propiedades aerotérmicas (presión, ve-locidad y temperatura) en función de las condiciones de operación. Dichas propiedades se puedenprecisar de forma inequívoca para una partícula de fluido, que se define como la masa elemental defluido que en un instante determinado se encuentra en un punto del espacio. Las dimensiones de lapartícula fluida han de ser lo suficientemente grandes para contener un gran número de moléculas(hipótesis del continuo) y lo suficientemente pequeñas para que las propiedades macroscópicassean uniformes, aunque infinitésimamente diferentes a las propiedades correspondientes a laspartículas fluidas colindantes (equilibrio termodinámico local).

Bajo las hipótesis del continuo y del equilibrio termodinámico local podemos escribir lasecuaciones de conservación de la masa, del momento (lineal y angular) y de la energía, quefinalmente gobernaran la interacción del fluido con los diferentes componentes de la máquinahidráulica. A lo largo de este capítulo se presentaran dichas ecuaciones en forma diferencial eintegral y se aplicaran a escenarios característicos de máquinas hidráulicas.

2.1.1 Definición de Fluido Ideal

Incluso en el mejor de los casos, cuando la geometría es muy simple y el régimen de operación eslaminar y estacionario, el detalle del comportamiento del fluido es difícil de describir. Para que lacaracterización del flujo dentro de la máquina hidráulica sea analíticamente abordable es necesariorealizar simplificaciones en las ecuaciones que gobiernan el comportamiento del fluido.

Supongamos por tanto que el fluido es ideal, es decir, que los efectos viscosos y compresiblespueden ser despreciados. Para el caso de máquinas que involucran líquidos como fluido de trabajola hipótesis de incompresibilidad, ρ =constante, está completamente justificada. En este caso, sila densidad del fluido no varía, tampoco cambia el volumen del mismo mientras se mueve enla máquina hidráulica. Para justificar adecuadamente la no consideración de efectos viscosos esnecesario cuantificar el número de Reynolds característico Re = ρvL/µ. Para agua en condicionesnormales encontramos que Re ∼ 106(s/m2)vL, lo que garantiza Re 1 para condiciones deoperación nominales en maquinas hidráulicas convencionales.

Supondremos también que el fluido es caloríficamente perfecto, lo que implica que el calorespecífico es una propiedad intrínseca del fluido y no varía en el proceso. Con esta condición,la relación entre variaciones de energía interna por unidad de masa ∆e y temperatura ∆T es∆e = c∆T , con c representando el calor específico. La entalpía específica puede obtenerse a partirde la relación h = e+ p/ρ, con p representando a la presión.

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

10 2. Repaso de Mecánica de Fluidos

2.2 Ecuaciones de conservación

2.2.1 Ecuación de continuidad

La ecuación de conservación de la masa indica que la masa total contenida en un volumen de fluido(en un sistema cerrado) permanece constante con el tiempo, es decir

d

dt

[∫Vf (t)

ρdV

]= 0 (2.1)

donde el volumen de fluido, Vf (t), contiene siempre las mismas partículas de fluido. En sistemasdonde el fluido está en movimiento la función Vf (t) es también una incógnita del problema yvariará con el tiempo de acuerdo al movimiento de las partículas en la frontera. Es por tantooportuno reescribir (2.1) para un volumen de control Vc(t) fijado según conveniencia. De esta formatenemos que

d

dt

[∫Vc

ρdV

]= −

∫Σc

ρ (~v − ~vc) · ~ndσ (2.2)

tras hacer uso del teorema de transporte de Reynolds, lo que indica que la variación de masa enun sistema abierto cuyo volumen es Vc(t) se debe a la cantidad neta de masa que entra o sale porunidad de tiempo a través de la superficie Σc(t). Para fluidos incompresibles con un volumen decontrol constante obtenemos∫

Σc

(~v − ~vc) · ~ndσ = 0 (2.3)

Supongamos la máquina hidráulica esquematizada en la figura 2.1. A través de la misma circulaun caudal volumétrico Q de un fluido de densidad ρ. El líquido entra en la máquina con velocidadpuramente axial ~v1 = v1~ex y sale, debido a la interacción con los álabes rotantes, con velocidadhelicoidal compuesta por ~v2 = v2,x~ex + v2,θ~eθ. El volumen de control está delimitado por el conjuntode áreas externas: Σ1 + Σ2 + Σp, la cuales incluyen la superficie de entrada, salida y la pared externa,respectivamente, y por la superficie que envuelve al álabe móvil Σa.

Considerando este sistema simple, de una entrada de área A1 = πR21 y área de salida A2 = πR2

2,obtenemos que

Q =

∣∣∣∣∫Σ1

(~v − ~vc) · ~ndσ

∣∣∣∣ = Q1 =

∣∣∣∣∫Σ2

(~v − ~vc) · ~ndσ

∣∣∣∣ = Q2 (2.4)

ya que el no hay flujo (~v − ~vc) · ~n = 0 a través de las paredes sólidas, ya sean fijas Σp o móviles Σa.Suponiendo que las propiedades del fluido son uniformes a la entrada y a la salida (hipótesis

de flujo unidimensional) encontramos que Q = v1A1 = v2,xA2, ya que la componente acimutal esla única que contribuye al transporte de masa a través de la superficie Σ2, es decir, ~v2 · ~n = v2,x.Se observa que, por extensión directa, el gasto másico cumple G = ρv1A1 = ρv2,xA2 = ρQ. Portanto, para situaciones donde no hay mezcla de varios fluidos, es suficiente con calcular el gastovolumétrico pues la densidad del líquido no cambia entre la entrada y la salida.

En determinadas ocasiones es conveniente usar la ecuación de conservación de la masa de

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

2.2. Ecuaciones de conservación 11

v1

QΩ

Σp

Σ1Σ2

Σa

R2

R1

ρ

p1 p2

Q

Q

W

v2,xv2,θ

v2,x

v2,x

v2,x

v2,θ

v2,θ

v2,θ

Figura 2.1. Esquema de una turbomáquina y su volumen de control,

forma diferencial, es decir

∂ρ

∂t+∇ · (ρ~v) = 0 (2.5)

donde ∇ es el operador vectorial divergencia, definido en coordenadas cartesianas para un espaciotridimensional como ∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z). Resulta inmediato comprobar que ∇ · ~v = 0 paraun fluido incompresible, lo que indica que no hay presencia de fuentes ni sumideros en el campofluido.

2.2.2 La ecuación de conservación de cantidad de movimiento: La ecuación de Bernoulli

Para un volumen de control determinado la ecuación de conservación del momento lineal, lasegunda ley de Newton, toma la forma de

d

dt

∫Vc(t)

ρ~vdV +

∫Σc

ρ~v(~v − ~vc) · ~ndσ = −∫

Σc

p~ndσ +

∫Σc

~n · ¯τdσ +

∫Vc

ρ~fmdV (2.6)

donde los términos en el lado derecho de la igualdad representan las fuerzas exteriores que actúansobre el sistema, las cuales pueden ser de dos tipos: fuerzas de superficie y fuerzas volumétricas.Estas últimas están representadas por el vector de fuerzas másicas

~fm = ~g︸︷︷︸Gravedad

− ~a0︸︷︷︸Ac. lineal

−~Ω ∧(~Ω ∧ ~x

)︸︷︷︸

F. Centrífuga

− 2 ~Ω ∧ ~v︸︷︷︸F. Coriolis

− d~Ω

dt∧ ~x︸︷︷︸

Ac.Angular

, (2.7)

el cual incluye fuerzas de largo alcance como son la fuerza gravitatoria o las fuerzas relativasa sistemas de referencia no inerciales. Si las fuerzas másicas derivan de un potencial U – sonconservativas – podemos escribir

~fm = −∇U = −∇(−~g · ~x+ ~a0 · ~x−

|~Ω ∧ ~x|22

)(2.8)

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s


Relativo a las fuerzas de superficie encontramos en (2.6) el término de fuerzas de presión ∼ p~n

y el término asociado a los esfuerzos viscosos ∼ ~n · ¯τ , donde ¯τ es el tensor de esfuerzos viscosos,definido simétrico para un fluido newtoniano e incompresible τij = µ (∂vi/∂xj + ∂vj/∂xi). Para elcaso de fluidos ideales, donde los efectos viscosos pueden ser despreciados, el único tipo de fuerzade superficie involucrado en la ecuación del momento lineal es el relativo a la presión −

∫Σcp~ndσ,

el cual siempre apunta en la dirección del vector normal a la superficie considerada ~n.En forma diferencial, la ecuación del momento para un fluido ideal que involucra sólo fuerzas

de volumen conservativas se puede reescribir como

ρD~v

Dt= ρ

∂~v

∂t+ ρ~v · ∇~v = ρ

∂~v

∂t+ ρ∇

|~v|22

− ρ~v ∧∇ ∧ ~v = −∇p− ρ∇U (2.9)

Si volvemos al ejemplo estacionario de la máquina hidráulica mostrada en la figura 2.1, dondeel volumen de control no está acelerado, las fuerzas de volumen y las fuerzas de superficie viscosaspueden despreciarse, encontramos que

~F = −∫

Σa+Σa

p~ndσ = ρQ (~v2 − ~v1)+(p2A2 − p1A1)~ex = [ρQ (v2,x − v1) + (p2A2 − p1A1)]~ex (2.10)

de acuerdo a (2.6), donde ~F = F~ex es la fuerza que la máquina (a través de las paredes y los álabes)ejerce sobre el fluido. Nótese que la contribución neta de la componente acimutal v2,θ es cero porargumentos de simetría. Si la cantidad de movimiento a la salida Gv2,x + p2A2 es mayor que a laentrada ρQv1 + p1A1 implica que F es positivo, y entonces la máquina proporciona cantidad demovimiento a fluido en la dirección ~ex.

La ecuación de Euler (2.9) es una ecuación vectorial, lo que proporciona tantas ecuaciones comodimensiones relevantes haya presente en el problema en particular. Si multiplicamos escalarmente(2.9) por el vector unitario que define la trayectoria del flujo de forma local, el vector unitariotangente a las líneas de corriente ~el = ~v/|~v|, y suponemos que el flujo es estacionario ∂/∂t = 0,encontramos que

∂

∂l

(p

ρ+|~v|22

+ U)

= 0 (2.11)

puesto que el término ρ~v ∧∇ ∧ ~v es perpendicular a ~el y producto ~el · ∇ se reduce a ∂/∂l. A partirde (2.11) se deduce que la cantidad

p

ρ+|~v|22

+ U = constante (2.12)

a lo largo de una línea de corriente de un flujo incompresible y estacionario cuyas fuerzas involu-cradas son conservativas, con U = −~g · ~x+ ~a0 · ~x− |~Ω ∧ ~x|2/2.

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

2.2. Ecuaciones de conservación 13

2.2.3 La ecuación del momento angular

La segunda ley de Newton se puede escribir de forma alternativa en función del momento cinético.En este caso, encontramos que

d

dt

∫Vc

ρ(~xr∧~v)dV +

∫Σc

ρ(~xr∧~v)(~v−~vc)·~ndσ = −∫

Σc

(~xr∧p~n)dσ+

∫Σc

~xr∧(~n· ¯τ)dσ+

∫Vc

ρ~xr∧ ~fmdV

(2.13)

donde ~xr = ~x− ~x0 es el vector relativo al punto ~x0 sobre el cual calculamos el momento.Siguiendo los pasos para obtener (2.10) en el ejemplo de la figura 2.1, encontramos que el

momento, con respecto al eje de rotación, que la máquina imprime al fluido es:

~M = −∫

Σa

p (−~er ∧ ~n) dσ =

∫Σ2

ρ (−~er ∧ ~v2) (~v2 · ~ex) dσ =2

3ρQv2,θR2~ex . (2.14)

Nótese que la hipótesis de flujo unidimensional, la cual supone que las propiedades sonconstantes en las secciones de entrada y salida de la máquina, no es realista para la componenteacimutal v2,θ. Teniendo en cuenta que son los álabes, girando con velocidad angular constanteΩ, los que generan la rotación en el fluido, el valor de la velocidad acimutal será proporcional av2,θ ∼ Ωr. En ese caso, el valor de ~M = 1

2ρQΩR2

2~ex.

2.2.4 La ecuación de la energía

La energía total e+ v2/2 dentro de un sistema abierto variará de acuerdo a

d

dt

∫Vc

ρ

(e+

v2

2

)dV +

∫Σc

ρ

(e+

v2

2

)(~v − ~vc) · ~ndσ =

−∫

Σc

p~v · ~ndσ +

∫Σc

~v · (¯τ · ~n) dσ +

∫Vc

ρ~fm · ~vdV −∫

Σc

~q · ~ndσ +

∫Vc

qdV, (2.15)

donde ~q representa el flujo de calor por conducción ~q = −κ∇T (Ley de Fourier), y q es el calor porunidad de masa y tiempo debido a reacciones químicas, cambios de estado y/o radiación.

Si aplicamos la ecuación de la conservación de la energía la máquina representada en la figura2.1, con las hipótesis habituales de flujo unidimensional a la entrada y la salida, régimen estacionarioy suponiendo que ~fm = −∇U , la ecuación de la energía se puede reescribir con el gasto másico Gcomo

ρQ

[(h+

v2

2+ U

)2

−(h+

v2

2+ U

)1

]=

∫Σa

(−p~v + ~v · ¯τ) · ~ndσ︸︷︷︸W

−∫

Σc

~q · ~ndσ +

∫Vc

qdV︸︷︷︸Q

, (2.16)

donde la relación h1,2 = e1,2 + p1,2/ρ ha sido utilizada teniendo en cuenta la contribución de lostérminos de presión a la entrada y a la salida del volumen de control.

Es inmediato comprobar que la ecuación (2.16) responde al primer principio de la termodinámicapara sistemas abiertos, con W indicando el trabajo mecánico por unidad de tiempo aportado alsistema y Q la potencia en forma de calor por unidad de tiempo añadida al sistema.

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s


Si estudiamos la variación de energía mecánica (incluyendo la energía cinética)(p

ρ+v2

2+ U

)2

−(p

ρ+v2

2+ U

)1

=W − Φv

ρQ(2.17)

y la variación de energía interna

e2 − e1 = c (T2 − T1) =Φv + Q

ρQ(2.18)

del fluido en su paso por la máquina hidráulica, observamos como la energía disipada por unidadde tiempo debido a los esfuerzos viscosos, Φv, produce una transformación de energía de mecánicaen energía térmica, siendo esta última no aprovechable en la función principal del fluido en laturbomáquina: ceder o adquirir energía mecánica con las partes móviles. Este efecto es claramenteperjudicial para la máquina hidráulica pues provocará una disminución en el rendimiento de lamisma.

La potencia de energía disipada Φv, definida positiva pues es generada por procesos irreversiblesde fricción (o nula bajo la hipótesis de fluido ideal), se puede calcular a través del tensor de esfuerzosy el campo de velocidades Φv = ¯τ ′ : ∇~v = ∇· (¯τ ′ · ~v)−~v · (∇· ¯τ ′). Como se puede observar en (2.18),para una máquina adiabática (Q = 0) el efecto final de la disipación viscosa es aumentar la energíainterna (o temperatura) del fluido.

Si el proceso es adiabático Q = 0 e idealΦv = 0, entonces la energía interna no variará en elproceso, y por tanto la temperatura de salida será igual a la de entrada, T2 = T1. Para ese casoencontramos que

W

ρQ=

(p2

ρ+v2

2

2+ U2

)−(p1

ρ+v2

1

2+ U1

)(2.19)

donde el signo de W determinará de si la máquina hidráulica es una bomba (Wmaq > 0) o unaturbina hidráulica (W < 0). Nótese que en el ejemplo de la figura 2.1 no hay variación de energíapotencial entre la entrada y salida U1 = U2, que la energía cinética de salida incluye las componentesaxial y acimutal v2

2 = v22,x + v2

2,θ y que v1 = v1,x.A modo de resumen, reescribimos las expresiones finales obtenidas para el gasto másico G, la

fuerza y momento imprimidos al fluido ~F y ~M , y la potencia entregada W por la turbomáquina:

G = ρQ = ρv1A1 = ρv2,xA2

~F = [ρQ (v2,x − v1) + (p2A2 − p1A1)]~ex

~M =1

2ρQΩR2

2~ex

W = ρQ

(p2 − p1

ρ+v2

2 − v21

2

)bajo las hipótesis de fluido ideal (ρ =constante, Re 1) y flujo unidimensional (excepto en lacomponente acimutal para el momento cinético). La potencia entregada al fluido por la máquinahidráulica es positiva en el caso de la bomba W > 0 y negativa en la configuración de turbinaW < 0. Esta potencia se reparte en variaciones de presión y de energía cinética. Como se ha descrito

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

2.3. Pérdida de carga en tuberías 15

en la sección anterior, distinguimos entre turbomáquinas de acción o reacción dependiendo de si lavariación de presión a través de la turbomáquina es despreciable o no, respectivamente.

En máquinas hidráulicas es conveniente utilizar la energía específica (medida en J/kg) que unapartícula fluida gana/pierde en su paso por la misma. En particular, es común usar el productogH para definir la energía específica, donde g es la gravedad y H es la altura asociada. En otrostérminos, el factor gH indica la variación de energía potencial específica equivalente. En una bombahidráulica se define Hm como la variación de altura manométrica entre la salida y la entrada de lamisma. La potencia de la máquina y la altura quedan relacionadas a través de

gHm =W

ρQ=

(p2 − p1

ρ+v2

2 − v21

2

). (2.20)

Claramente, si gHm indica la variación de energía por unidad de masa, el producto con el gastomásico ρQ proporcionará la energía por unidad de tiempo o potencia. De forma equivalente, parauna turbina hidráulica, se define

gHn =W

ρQ=

(p1 − p2

ρ+v2

1 − v22

2

)(2.21)

con Hn siendo la altura neta.

2.3 Pérdida de carga en tuberías

Como se ha comentado en la introducción, en el argot de máquinas e instalaciones hidráulicas seusa comúnmente la variable altura, H , como referencia energética del fluido, siendo gH la energíaespecífica (J/kg en unidades del sistema internacional). La altura representa, por tanto, la alturamáxima teórica a la que dicha máquina puede elevar el fluido (en el caso de bomba) o la alturamínima necesaria para obtener una determinada potencia (en el caso de turbina). Por ejemplo, parala máquina hidráulica de la figura 2.1, la variación de “altura" del fluido en su paso por la máquinaes

∆Hmaq =W

gρQ=p2 − p1

ρg+v2

2 − v21

2g(2.22)

donde ∆Hmaq es la altura manométrica proporcionada, Hm, o altura neta sustraída, −Hn, por labomba o turbina, respectivamente.

De forma análoga, se puede cuantificar la perdida de carga de un fluido en su paso por unatubería a partir de

∆Hperd =v2

2gλL

D+∑i

Kiv2

2g(2.23)

donde el primer término del miembro de la derecha hace referencia a las pérdidas primarias porfricción a lo largo de la tubería, y el segundo término es la caída de presión (o altura) debida aelementos locales: codos, filtros, válvulas, etc.

El factor de fricción λ se puede calcular a partir de las propiedades del fluido y la tubería. En

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s


particular, depende de dos factores adimensionales que son el número de Reynolds y la rugosidadrelativa (al diámetro hidráulico) de la tubería, λ = (Re, ε/Dh). Para flujos laminares Re < 2000, elvalor es inversamente proporcional al número de Reynolds λ = 64/Re. Para flujos turbulentoscompletamente desarrollados, Re > 4000, encontramos que el factor de fricción se puede relacionarcon las propiedades del flujo a partir de las siguientes expresiones:

1√λ

= 2.0 log10

(Re√λ)− 0.8 Tuberías lisas (Prandtl)

1√λ

= −2.0 log10

(ε/Dh

3.7

)Flujo dominado por rugosidad (Von Kármán)

1√λ

= −2.0 log10

(ε/Dh

3.7+

2.51

Re√λ

)Situaciones intermedias (Colebrook)

alternativamente, podemos hacer uso del diagrama de Moody, (ver figura). Generalmente, laobtención del valor de λ no es directa, pues el caudal que circula por la tubería depende del factorde fricción y λ depende del caudal a través del número de Reynodls Re = ρvDh/µ = ρQDh/(µAh).No obstante, como las curvar representadas en el diagrama de Moody son monótonas, el procesoiterativo converge rápidamente a la solución final.

Relativo a las pérdidas secundarias, cabe mencionar que el coeficiente K es característico delelemento en cuestión y su valor puede variar desde valores menores a la unidad (codos, boquillas,válvulas abiertas) hasta valores del orden de la centena para el caso de válvulas semi-cerradas oalgunos filtros. La pérdida de carga total será la suma de la generada por fricción a lo largo deltrayecto y la suma de aquella producida por cada uno de todos los elementos que el fluido tieneque atravesar.

La aplicación de la ecuación de la energía entre dos puntos de una misma tubería A y B es

zA − zB +pA − pBρg

+v2A − v2

B

2g= −∆Hmaq + ∆Hperd (2.24)

donde zA − zB es la diferencia de cota entre los puntos A y B .Para el caso de una bomba, podemos expresar la altura que ésta ha de proporcionar para

satisfacer la demanda el sistema como

∆Hbom = ∆Hperd + ∆Hg (2.25)

donde se ha supuesto que la tubería es de sección constante (vA = vB) y se ha definido la diferenciade cotas como ∆Hg = zB − zA. Para el caso de una turbina, podemos escribir que la altura que laturbomáquina puede extraer del fluido como

∆Hturb = ∆Hg −∆Hperd (2.26)

donde se ha redefinido, por conveniencia, la diferencia de cotas como ∆Hg = zA − zB.

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

2.4. Ejemplo de aplicación 17

2.4 Ejemplo de aplicación

En este problema se desea determinar la potencia que debe tener una bomba para hacer fluir uncaudal determinado de agua entre el depósito inferior y el depósito superior de la figura. A lo largodel conducto entre los dos depósitos se encuentran distribuidos varios accesorios (codos, filtros yválvulas), identificados, junto con sus coeficientes de pérdidas, en la figura. Los dos depósitos sonsuficientemente grandes para poder considerar el flujo casi-estacionario y determinar la potenciade la bomba suponiendo que el nivel de agua en cada depósito permanece constante. El nivel deagua en el depósito de la izquierda tiene una cota z1 y en el depósito de la derecha z2, siendo ladiferencia total de cotas z2−z1 = 33 m. El conducto que une los dos depósitos es de acero comercial,con rugosidad ε = 0.046 mm, y tiene una longitud total L = 120 m y un diámetro D = 5 cm. Elacople entre el conducto y las paredes de los depósitos presenta aristas vivas. Se desea determinarla potencia de la bomba Wbom necesaria para que el caudal sea Q = 0.8m3/min.

zz1

z2

Codo, Kcod = 1.5

Entrada con

Valvula, Kv = 2

aristas vivas, Ke = 0.5

Filtro, Kf = 7

Bomba, WBOMBA

Curva, Kcur = 0.7

Figura 2.2. Instalación de una bomba de impulsión

La potencia que la bomba transfiere al agua de la conducción resulta en un aumento de lapresión total. Identificando con los subíndices eb y sb los puntos de entrada y salida de la bomba,podemos escribir(

p+ ρgz +1

2ρv2

)eb

−(p+ ρgz +

1

2ρv2

)sb

= −Wbom

Q,

donde v es la velocidad del agua en el conducto, dada en función del caudal y del diámetro delconducto por v = 4Q/(πD2). Puesto que el conducto es de diámetro constante, la presión dinámicaantes y después de la bomba es la misma, así que la potencia en este caso se invierte íntegramenteen un aumento de presión reducida

(p+ ρgz)eb − (p+ ρgz)sb = −Wbom

Q,

A continuación escribiremos, por tramos, las relaciones entre las presiones totales o reducidasentre el primer depósito y la entrada al conducto, entre la entrada al conducto y la entrada a la

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s


bomba, entre la salida de la bomba y la salida del conducto al depósito superior, y entre la salidadel conducto y el depósito. Sea L1 la longitud de conducto entre el primer depósito y la bomba, ysea L2 la longitud de conducto entre la bomba y el segundo depósito, entonces

(pa + ρgz1)− (p+ ρgz)e =1

2ρv2 (1 +Ke)

(p+ ρgz)e − (p+ ρgz)eb =1

2ρv2

(λL1

D+Kf

)(p+ ρgz)sb − (p+ ρgz)s =

1

2ρv2

(λL2

D+Kcod +Kcur +Kv

)(p+ ρgz)s − (pa + ρgz2) = 0

Sumando todas las ecuaciones,

Wbom

Q

∣∣∣real

= ρg(z2 − z1) +1

2ρv2

(1 +

λL

D+ ΣKs

),

puesto que L = L1 + L2, y donde se han reunido todas las pérdidas secundarias en ΣKs =

Ke +Kf +Kcod +Kcur +Kv.Supongamos el caso ideal donde no existen pérdidas primarias ni secundarias ( λ = Ks = 0).

En este caso, la potencia que la turbomáquina suministra al agua, Wbom, dada por:

Wbom

Q

∣∣∣ideal

= ρg(z2 − z1) +1

2ρv2,

se emplea en dos propósito principales: elevar el caudal Q a una altura z2 − z1 (primer término delmiembro de la derecha) y proporcionar energía cinética a un fluido inicialmente parado (segundotérmino del miembro de la derecha). Obviamente, la consideración de las pérdidas primarias ysecundarias hace que la potencia requerida sea mayor.

Con los datos del problema, tenemos los siguientes valores: v = 6.8 m/s, Re = 340 000,ε/D = 0.00092, λ = 0.0202 y ΣKs = 11.7 obteniendo el valor Wbom = 23 kW. Esta potencia se reparteen 4.3 kW usados para elevar el caudal demandado 33 m y 0.3 kW destinados a acelerar el fluidoque está inicialmente en reposo. Las pérdidas suponen, por tanto, la mayor parte de la potenciasuministrada al fluido, con una cantidad que asciende a 18.4 kW. Podemos comprobar que, en esteproblema, las pérdidas secundarias representan el 20% del total de las pérdidas.

Este ejercicio es ilustrativo para clarificar conceptos relativos a las pérdidas que existen en unainstalación simple. En situaciones más realistas el caudal que circula por la tubería es incógnitadel problema y, por tanto, la determinación de las pérdidas en la instalación es más tediosa yaque λ es también incógnita. El comportamiento de la bomba también depende de Q, pues tanto lacapacidad de impulsión como el rendimiento de la turbomáquina dependen del caudal trasegadopor la misma. En los próximos capítulos veremos como caracterizar el comportamiento de la bombasegún las condiciones de operación.

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

19

Teoría Unidimensional

El rotor de la turbomáquina es el elemento en el que tiene lugar el intercambio de trabajo conel fluido. El rotor se compone de un número determinado de álabes que dirigen al fluido yposibilitan el intercambio de energía. Una vez fijada la geometría de los álabes a través de losángulos de entrada y salida del fluido, la actuación de la turbomáquina depende de su punto defuncionamiento que se determina, principalmente, mediante el caudal que la atraviesa.En el punto de diseño, la turbomáquina funciona con rendimiento máximo. Cualquier desviación delas condiciones de trabajo respecto al punto de diseño da lugar a una disminución del rendimiento.Este capítulo pretende enunciar la teoría general de máquinas hidráulicas que permite describir elelemento rotatorio de una turbomáquinas en su punto de diseño, sin tener en cuenta la disminuciónde rendimiento debido a los efectos tridimensionales o a la no idealidad del fluido de trabajo.Una vez definida la altura máxima de la turbomáquina, en la parte final del capítulo, se define elrendimiento discutiendo la nomenclatura habitual de la literatura.

3.1 Objetivo

El objetivo principal de este capítulo es el de proporcionar las herramientas necesarias que nos per-mitan relacionar los elementos geométricos (ángulos y tamaños característicos) y de funcionamientode la turbomáquina (caudal Q y velocidad de giro Ω) con el incremento (decremento) de la energíamecánica específica W/Q en bombas (turbinas). Para ello usaremos las ecuaciones de conservaciónen forma integral de la mecánica de fluidos que nos permiten, una vez seleccionados los volúmenesde control apropiados, relacionar las variables de entrada y de salida sin necesidad de conocer lasvariables fluidas en cada uno de los puntos interiores de la turbomáquina. Las limitaciones de esteenfoque son evidentes: perdemos información detallada del movimiento del fluido en el interiordel rotor que pudiera ser de importancia a la hora de cuantificar el rendimiento de la máquina.Por otro lado, ofrece una herramienta sencilla para entender cualitativamente como afectan sobreel rendimiento los cambios en la geometría y en las condiciones de funcionamiento. Un análisiscuantitativo preciso, que requiere de herramientas mucho más sofisticadas que las que se puedenestudiar en este curso, se deja para otros textos más específicos disponibles en la literatura.Al analizar el funcionamiento de una turbomáquina mediante la teoría unidimensional es necesariotener en cuenta:

• que la velocidad relativa es tangente a los álabes tanto en las secciones de entrada como desalida, condición que corresponde al funcionamiento de la turbomáquina en el punto dediseño.

• la velocidad absoluta es tangente a los álabes directrices del estátor

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

20 3. Teoría Unidimensional

• el fluido sigue exactamente el camino marcado por los álabes.

• las velocidades son uniformes y estacionarias tanto en las secciones de entrada como en lasde salida de la turbomáquina.

3.2 Triángulo de velocidades y ángulos característicos.

Ω

Trayectoria relativa

Trayectoria absoluta

r

b

x

vu,1

vm,2

vu,2Σ1

Σ2

Ω

y

b

x

r

vu,1

vu,1

vm,1vm,2

Σ1 Σ2

y

x

vm,2

vm,2

Σ2

vm,1

vm,1

2R

1

2R

2

b2

2(R

1+

b1 )

2R

e

2R

i

ΣaΣp

vm,1 vm,2

Σp

Σp

y

z

yz

~n

r

~n

~n

~n

~n ~n

Figura 3.1. Representación esquemática del rotor de una turbomáquina centrífuga y una axial

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

3.2. Triángulo de velocidades y ángulos característicos. 21

A la hora de describir el comportamiento del fluido dentro de una turbomáquina hidráulicaconviene definir un sistema de referencia ligado al rotor de la misma. Tal y como se indica en lafigura 3.1, cuando el sistema de referencia gira a la velocidad de rotación del rotor Ω, la trayectoriaque sigue el fluido relativa a ese sistema de referencia móvil coincide con la marcada por losálabes de la turbomáquina y el problema pasa a ser estacionario 1. En este sistema de referencia, lavelocidad relativa ~w es la que determina, en última instancia, la potencia intercambiada entre elfluido y la turbomáquina.La velocidad absoluta ~v del fluido se mide de un sistema de referencia fijo ligado a tierra. En estesistema de referencia el problema se vuelve no estacionario y la descripción de las variables fluidases mucho más laborioso. Por conveniencia, tanto la velocidad absoluta como la relativa se miden enun sistema de referencia cilíndrico de forma que ~v = vx~ex+vr~er +vu~eθ y ~w = wx~ex+wr~er +wu~eθ sonlas componentes de la velocidad absoluta y relativa, respectivamente. La diferencia entre ambas esla velocidad de arrastre ~u = ~Ω× ~x = Ωr ~eθ, con r la distancia al eje de giro, que únicamente tienecomponente acimutal. Conviene recordar la relación entre las velocidades en ambos sistemas dereferencia (1.2) en forma vectorial

~v = ~w + ~u.

Gráficamente, la relación entre la velocidad absoluta, relativa y de arrastre se representa a travésdel triángulo de velocidades de la figura 3.2. En máquinas axiales y radiales, es fácil escribir larelación entre las distintas componentes de las velocidades en los distintos sistemas de referenciapara dar vm = wm y vu = Ωr − vm/ tan β.

αβ

~v~w

~u

vm

vu

Figura 3.2. Triángulo de velocidades

Como veremos más adelante, los ángulos α, for-mado entre el vector velocidad absoluta y dearrastre, y β, formado por el vector velocidadrelativa y de arrastre, están directamente rela-cionados con la geometría de los álabes del rotory del estátor y nos permite relacionar las distin-tas componentes de los vectores del triángulode velocidades. A partir de consideracionesgeométricas, es fácil demostrar

w2 = u2 + v2 − 2uv cosα

vu = v cosα (3.1)vm = v sinα = w sin β = wm

Las componentes de la velocidad absoluta se pueden relacionar fácilmente con magnitudescomo el caudal Q o el par T , de gran importancia en la operación de la turbomáquina. A partir delas figuras 3.1 y 3.2, siempre que se cumpla que ~n ·~u = 0 la velocidad meridiana vm es perpendiculara la velocidad de arrastre, independientemente de la geometría de la turbomáquina. Usandoeste resultado, es fácil obtener el caudal de fluido que atraviesa el rotor de una turbomáquinafuncionando en estado estacionario. Efectivamente, usando la ecuación de continuidad, podemos

1Siempre que la velocidad de rotación Ω sea constante

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s


α2

~w1

~w2

~F

x

y

pa s3

~u2

~v2

~v1

~u1

s4s1

s2

s3 = s4

s1 = s2

α2

β2

α1

~u2

β2

Vc

~u1

β1

α1

~w1

~w2

~F

pas3

~u2

~v2

~v1

~u1

s4s1

s2

s3 = s4

s1 = s2

β2

α1

~u2

β2

~w

~n

Vc

~u1

β1

α1

~n

~n~w

~w

~w

~n

α2

α2

~n

~n

~n

~n

Figura 3.3. Triángulos de velocidades a la entrada y a la salida de un álabe de una turbina (figura izquierda)y de una bomba (figura derecha)

escribir

Q =

∫A

(~v − ~vc) · ~n dσ (3.2)

Si nos fijamos en las secciones A1 y A2 de las turbomáquinas centrífuga y axial representadas en lafigura 3.1, el producto (~v − ~vc) · ~n = wm,i = vm,i. Teniendo en cuenta que la velocidad es uniformetanto en las secciones de entrada como en la de salida, el caudal se puede expresar como

Q = vm,1A1 = vm,2A2, (3.3)

expresión que permite escribir vm,2 = vm,1A1/A2 para relacionar las velocidades meridianas en lasección de entrada y de salida. Un resultado equivalente puede obtenerse para una turbomáquinaaxial, tal y como puede fácilmente comprobar el lector a partir de la figura 3.1.

3.3 Fuerza sobre un álabe aislado.

Cuando el fluido que circula por el rotor de la turbomáquina se encuentra con el álabe se produceun intercambio de cantidad de movimiento que da lugar a la aparición de una fuerza, tal y comodescribe la segunda ley de Newton. Para relacionar dicha fuerza con los parámetros geométricos delálabe y con la velocidad de giro del rotor Ω, parece apropiado utilizar la ecuación de conservaciónde cantidad de movimiento (2.6) aplicada al volumen de control Vc indicado en la figura 3.3, dentrodel cual se encuentra un álabe que gira con velocidad Ω. El volumen de control se ha elegido deforma que las superficies s1 y s2 tienen igual tamaño y son perpendiculares al álabe en las seccionesde entrada y de salida, respectivamente. Las superficies s3 y s4 son líneas de corriente de formaque ~w · ~n = 0. Si los perfiles son uniformes en s1 y s2, haciendo uso de (2.6) podemos escribir para

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

3.4. Conservación del momento angular: la ecuación de Euler. 23

la fuerza que hace el fluido sobre el álabe

Fx = ρvm,1w1A1 − ρvm,2w2A2 ⇒ Fx = ρQw1(sin β1 − sin β2) (3.4)Fy = ρvu,1w1A1 − ρvu,2w2A2 ⇒ Fy = ρQ(vu,1 − vu,2) (3.5)

donde, por simplificar el desarrollo, hemos supuesto que las presiones son uniformes e iguales a laatmosférica sobre todas las superficies del volumen de control. Al escribir (3.4) y (3.5) hemos hechouso de la ecuación de continuidad (2.5), a partir de la cual es fácil demostrar que Q = w1A1 = w2A2

y, puesto que A1 = A2, los módulos de las velocidades relativas deben ser iguales w1 = w2.El sentido de la fuerza vertical Fy dada en (3.5) aporta información sobre el tipo de turbomáquinacon la que estamos trabajando. La dirección de esa fuerza está determinado por la diferenciavu,1 − vu,2. De acuerdo a la figura 3.3, valores de Fy < 0 indican un crecimiento de la componentevu = ~v · ~u/|~u| de la velocidad en dirección contraria al sentido de giro del rotor, asociado a latransferencia de cantidad de movimiento desde el fluido hacia el rotor (turbina). Valores Fy > 0

revelan un crecimiento de la componente vu de la velocidad en el sentido de giro del rotor asociadosa la cesión de momento desde el álabe al fluido (bomba), que, a su vez, reacciona ejerciendo unafuerza igual y de sentido contrario sobre el álabe.01

3.4 Conservación del momento angular: la ecuación de Euler.

Para el cálculo de la potencia intercambiada entre el rotor de la turbomáquina y el fluido que laatraviesa, resulta especialmente útil la ecuación de conservación del momento angular en su formaintegral (2.13). Comenzamos la derivación de la ecuación de Euler para un problema estacionariodonde las fuerzas másicas son despreciables∫

Σ1+Σ2

ρ[(~x− ~x0) ∧ ~v](~v − ~vc) · ~ndσ = −∫

Σc

(~x− ~x0) ∧ (p~n)dσ +

∫Σc

(~x− ~x0) ∧ (~n · ¯τ)dσ. (3.6)

Aplicamos la ecuación al volumen de control definido en la figura 3.1, que se extiende desde lasuperficie Σ1, de sección A1 = π [(R1 + b1)2 −R2

1], hasta la superficie Σ2, de sección A2 = 2πR2b2,cubriendo la superficie lateral de la turbomáquina Σp y los álabes móviles Σa.En los términos de la derecha, separamos las contribuciones en las superficies de entrada y salidade la turbomáquina Σ1 y Σ2, de las contribuciones en las superficies de la turbomáquina Σp y de losálabes Σa. En las primeras, los esfuerzos viscosos son nulos al ser el perfil de velocidad uniformey, además, el momento de las fuerzas de presión es nulo al ser la turbomáquina un cuerpo derevolución 2 . En las últimas, reconocemos el momento de la fuerza que la bomba ejerce sobre el

2En la superficie Σ2, el producto (~x− ~x0) ∧ p~n = (r sin θ~ey − r cos θ~ez) ∧ (p sin θ~ey − p cos θ~ez) = 0. En la superficieΣ1, el producto (~x− ~x0) ∧ p~n = (−pr cos θ~ey − pr sin θ~ez) que al ser integrado en un superficie de revolución no generaningún par

∫ 2π

0(~x− ~x0) ∧ (p~n)dθ = 0

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s


fluido ~Tturbomaq→fluido∫Σ1+Σ2

ρ[(~x− ~x0) ∧ ~v](~v − ~vc) · ~ndσ = −∫

Σp+Σa

(~x− ~x0) ∧ (p~n)dσ +

∫Σp+Σa

(~x− ~x0) ∧ (~n · ¯τ)dσ︸︷︷︸~Tbomba→fluido∫

Σ1+Σ2

ρ[(~x− ~x0) ∧ ~v](~v − ~vc) · ~ndσ = ~Tbomba→fluido (3.7)

La expresión (3.7) indica que el par intercambiado entre el fluido y el rodete es igual a la variaciónde momento cinético entre la entrada y la salida de la turbomáquina. Multiplicando escalarmentepor la velocidad de giro ~Ω, y suponiendo velocidades meridianas uniformes tanto en las seccionesde entrada como en las de salida, podemos obtener una expresión para la potencia intercambiada

W = ~Tbomba→fluido · ~Ω =

∫Σ2

ρ[(~x− ~x0) ∧ ~v] · ~ΩdQ2 −∫

Σ1

ρ[(~x− ~x0) ∧ ~v] · ~ΩdQ1 (3.8)

donde hemos definido dQ2 = (~v − ~vc) · ~ndσ = vm,2dσ y dQ1 = (~v − ~vc) · ~ndσ = −vm,1dσ. Teniendoen cuenta que [(~x − ~x0) ∧ ~v] · ~Ω = vu Ω r y dividiendo por ρQ la ecuación anterior, obtenemosfinalmente la ecuación de Euler para la altura intercambiada entre el rotor y el fluido

W

ρQ= gHz∞ =

1

Q

[∫Σ2

vu,2u2dQ2 −∫

Σ1

vu,1u1dQ1

]. (3.9)

Nótese que Hz∞ , por si sola, no tiene un significado físico definido, mientras que el producto gHz∞

representa la potencia específica intercambiada entre el rotor y el fluido. La expresión (3.9) muestraque la potencia transmitida al fluido es proporcional a la densidad ρ, al caudal Q y a la velocidadde giro Ω de la turbomáquina.Si nos fijamos en una superficie de corriente, la ecuación (3.9) se puede escribir en forma diferencialcomo dW/(ρdQ) = gHz∞ = u2vu,2 − u1vu,1. En máquinas puramente radiales el movimiento delfluido queda restringido al plano r − θ la ecuación de Euler (3.9) se puede escribir directamentecomo

W

ρQ= gHz∞ = u2vu,2 − u1vu,1 (3.10)

si tanto la velocidad de arrastre u como la circunferencial vu son uniformes en las secciones deentrada y de salida.En máquinas axiales, donde el movimiento queda restringido al plano z − θ, tanto u comovu varía radialmente al aumentar la distancia al eje de giro, tal y como se puede ver en lafigura 3.1. En una superficie de corriente concéntrica con el eje de giro la expresión diferen-cial dW/ρdQ = gHz∞ = u2vu,2 − u1vu,1 se satisface exactamente, pero no será válida para todoel rótor de la turbomáquina. En máquinas axiales, por lo tanto, la ecuación de Euler representaúnicamente la variación de energía específica a lo largo de una línea de corriente y el cálculode la potencia total específica intercambiada implica conocer la variación radial de la velocidadcircunferencial vu en las secciones de entrada Σ1 y salida Σ2 de la turbomáquina para resolver laecuación (3.9).

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

3.4. Conservación del momento angular: la ecuación de Euler. 25

Para asegurar la uniformidad de momento cinético es necesario asegurar que la velocidad circun-ferencial vu varía radialmente de la forma vur = C, donde C una constante, formando lo que sedenomina un torbellino libre. Esa condición determina la variación radial de los ángulos β1 y β2 dela turbomáquina de forma que

tan βi = vm,ir/(Ωr2 − C).

Esa condición de uniformidad en el momento cinético no es la única opción, pero una distribuciónde velocidad acimutal diferente lleva a una velocidad axial o a una distribución de la energíamecánica específica no uniforme, lo que puede repercutir en condiciones de funcionamiento noestables.

3.4.1 Aplicación de la ecuación de Euler a la máquina de entrada axial y salida radial de lafigura 3.1

b

yz

r

θ

2(R

1+

b 1)

2R

1

x

Σ1

vu,1

θ

Figura 3.4. Detalle de la sección de entrada de laturbomáquina de entrada axial y salida radial de lafigura 3.1

Teniendo en cuenta que el fluido es ideal, quela velocidad de giro de la turbomáquina Ω

es constante y que los perfiles de velocidaden las secciones de entrada y salida de la tur-bomáquina son uniformes, desarrollamos ahoralas integrales a la izquierda del igual en laecuación (3.7). Con ayuda de la figura 3.4 yteniendo en cuenta que ~v1 = −vm,1~ex − vu,1~eθy ~v2 = vm,2~er − vu,2~eθ podemos escribir elproducto vectorial en la superficie Σ1 como(~x − ~x0) ∧ ~v = −vu,1r ~ex + vm,1r cos θ ~ey +

vm,1r sin θ ~ez, con dσ = rdrdθ, de formaque

∫Σ1

ρ[(~x− ~x0) ∧ ~v](~v − ~vc) · ~ndσ =2

3πρVm,1vu,1

[(R1 + b1)3 −R3

1

]~ex,

donde hemos supuesto que los álabes son infinitamente finos y no disminuyen de forma apreciableal sección de entrada a la turbomáquina. En la sección de salida Σ2, tenemos (~x−~x0)∧~v = −vu,2R2~exde forma que∫

Σ2

ρ[(~x− ~x0) ∧ ~v](~v − ~vc) · ~ndσ = −2πρvm,2vu,2R22b2~ex (3.11)

Introduciendo cada uno de estos términos en la ecuación de conservación del momento angular, yteniendo en cuenta que Q = 2vm,2πR2b2 = vm,1π [(R1 + b1)2 −R2

1], tenemos

~Tturbomaq→fluido = ρQ

(vu,2R2 −

2

3vu,1

(R1 + b1)3 −R31

(R1 + b1)2 −R21

)(−~ex) (3.12)

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s


Conocido el par y la velocidad de giro de la turbomáquina ~Ω = −Ω~ex, podemos obtener la potenciacon solo calcular W = ~Tturbomaq→fluido · ~Ω para dar

W

ρQ= u2vu,2 − vu,1Ω

2

3

(R1 + b1)3 −R31

(R1 + b1)2 −R21

. (3.13)

El resultado obtenido para esta máquina en particular no es más que una aplicación de la ecuación(3.9) y difiere de forma notable de la ecuación (3.10) que derivamos en la sección anterior paraturbomáquinas puramente radiales. Sin embargo, en el límite b1 R1, la expresión anterior sesimplifica

W

ρQ= u2vu,2 − vu,1u1

[1 +

b1

R1

+

(b1

R1

)2]

+ o (b1/R1)3 (3.14)

para recuperar la expresión gHz∞ = u2vu,2 − u1vu,1, válida para todo el rotor cuando b1/R1 essuficientemente pequeño.

3.5 El grado de reacción

Para relacionar las velocidades y las presiones entre la sección de entrada y de salida del rotor dela turbomáquina se puede utilizar la ecuación de Bernoulli en un sistema de referencia que girasolidariamente con el rotor a velocidad Ω de forma que

p2

ρ+w2

2

2− (Ωr2)2

2=p1

ρ+w2

1

2− (Ωr1)2

2. (3.15)

Usando el teorema del coseno en las secciones de entrada y salida para relacionar la velocidadrelativa con los módulos de la velocidad absoluta y de arrastre w2 = u2 + v2 − 2uv cosα, podemosrelacionar las variaciones de presión y de velocidad con la variación de energía específica quepredice la ecuación de Euler (3.10)

gHz∞ =p2 − p1

ρ+v2

2 − v21

2= gHp + gHd, (3.16)

donde Hp y Hd son la altura de presión y la altura dinámica, respectivamente.De lo visto en la ecuación 3.16, se puede deducir que la energía específica intercambiada en el rotorse distribuye entre una variación de presión y otra variación de energía cinética. Para evaluar comotiene lugar ese reparto, se define el grado de reacción

σ =(p2 − p1)/ρ

gHz∞= ηh

(p2 − p1)/ρ

gHm

Bombas (3.17)

σ =(p1 − p2)/ρ

gHz∞=

1

ηh

(p1 − p2)/ρ

gHn

Turbinas (3.18)

siendo Hm y Hn la altura manométricas y neta, respectivamente. El grado de reacción permitediferenciar entre las turbomáquinas de acción σ = 0, en las que no existe variación de presión

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

3.6. Variación de la altura y el rendimiento con los parámetros geométricos 27

(turbinas Pelton), o de reacción σ 6= 0. En bombas la variación de presión entre la entrada y la salidadel rotor suele ser elevada y los grados de reacción suelen ser altos. A su vez, grados de reacciónpequeños indican que en la salida de la bomba la energía cinética es demasiado grande y, por tanto,se haría conveniente usar el difusor para elevar el rendimiento.En bombas, la presencia de un difusor aguas abajo del rótor modifica el grado de reacción au-mentando la variación de presión estática a expensas de una reducción de velocidad. Al ser unelemento pasivo, un difusor ideal no modifica la altura presión total del fluido gHm. En presenciade un difusor, por tanto, el cálculo del grado de reacción debería considerar el salto de presionesentre la entrada de la turbomáquina p1 y la salida del difusor p3 para dar

σ =(p3 − p1)/ρ

gHz∞= ηh

(p3 − p1)/ρ

gHm

Bombas (3.19)

3.6 Variación de la altura y el rendimiento con los parámetros geométricos

Tanto en bombas como en turbinas, el rendimiento hidráulico nos permite relacionar el intercambiode energía entre el rotor y el fluido con los parámetros geométricos que definen la turbomáquina.Efectivamente, la expresión para la altura teórica Hz∞ desarrollada previamente en la ecuación (3.9)para un fluido ideal ofrece una relación directa entre la potencia de la turbomáquina y los ángulosα, β, las secciones de paso y los radios de entrada y salida a partir de la definición del triángulo develocidades que se muestra en la figura 3.2. Esas relaciones permite, de forma cualitativa, estudiarel efecto de los distintos parámetros geométricos tanto en la potencia como en los rendimientos delas turbomáquinas.

3.6.1 Influencia de la orientación de la velocidad ~v en la sección de entrada al rotor: el ánguloα1

El ángulo α1, de acuerdo al triángulo de velocidades 3.2, es el ángulo que forma la velocidadabsoluto ~v con la velocidad de arrastre ~u. Viene determinado por la orientación que imponganlos álabes directrices sobre la velocidad absoluta. Estos álabes se sitúan aguas arriba del rotory orientan el fluido en la dirección más apropiada para el punto de funcionamiento en que seencuentre la turbomáquina en cuestión, determinando el valor de la componente circunferencialde la velocidad absoluta vu,1 = v1 cosα1. Partiendo de la ecuación de Euler aplicada a una bombagHz∞ = u2vu,2 − u1vu,1 se presentan tres posibilidades

• α1 < π/2⇒ La componente vu,1 > 0, por lo que la potencia específica transmitida al fluidase me disminuida un factor u1vu,1 respecto al máximo. Para conseguir esos valores de α1 senecesitan la instalación de una corona directriz que encarece el diseño

• α1 = π/2 ⇒ En este caso el fluido entra sin rotación vu,1 = 0. Es la opción más usual en laconstrucción tanto de bombas como de turbinas.

• α1 < π/2⇒ La componente circunferencial de la velocidad a la entrada vu,1 < 0. Desde unpunto teórico, esta opción permitiría maximizar la potencia intercambiada en el rótor. Desdeun punto de vista práctico, esta opción no se utiliza por las pérdidas de energía asociadas aflujo complicado dentro del rotor a las que da lugar.

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s


Desde un punto de vista práctico, el ángulo elegido en las bombas suele ser ligeramente inferiora π/2 para compensar el efecto que tiene sobre la velocidad la presencia de un número finito deálabes con espesor finito. Otra de las ventajas de usar α1 ' π/2 es que la velocidad absoluta, paraun caudal dado, es mínima, disminuyendo las pérdidas en la entrada del rotor.

3.6.2 Influencia de la orientación del álabe en la sección de salida: el ángulo β2

Sin lugar a dudas, el ángulo β2 es el parámetro geométrico con más influencia en el diseño demáquinas hidráulicas. Si escribimos la ecuación de Euler para un fluido que entra en el rotor sinpre-rotación α1 = π/2, la expresión (3.9) se reduce a

gHz∞ = u22 −

Ω

γπ

Q

tan β2

y W = ρQu22 − ρ

Ω

γπ

Q2

tan β2

(3.20)

para la potencia específica y para la potencia, siendo γ = 2b2 o γ = D2/2 para máquinas radiales oaxiales, respectivamente. A la expresión que relaciona la potencia específica cedida por la bomba conel caudal se le denomina curva característica. A partir de ella es fácil ver que para Q = 0 la potenciatransferida es nula, mientras que la potencia específica alcanza un valor finito gHz∞ |z∞ = (Ωr2)2.Para ángulos β2 6= 0 ese valor decrece (crece) linealmente para Hz∞ y cuadráticamente para Wsi β2 < π/2 (β2 > π/2). Como veremos más adelante, las curvas características basadas en lateoría unidimensional representadas en la figura 3.5 no aparecen en turbomáquinas reales debidoa los efectos bidimensionales y tridimensionales que se analizarán en capítulos sucesivos. Enel caso concreto de bombas con β2 > π/2 representado en la figura 3.5, el crecimiento de alturacontinuo con el caudal no es real, apareciendo un máximo para un cierto valor de caudal cuandolas pérdidas debidas a la viscosidad del fluido, proporcionales a Q2, se hacen dominantes. La partede la curva en la que Hz∞ crece con el caudal resulta ser una región de funcionamiento inestable ytiende a evitarse, excepto en aplicaciones especiales que requieren de un control preciso del caudalbombeado.Un análisis semejante puede hacerse con el grado de reacción σ = Hp/Hz∞ y para la altura de

presión Hp. Para máquinas sin pre-rotación α1 = π/2 ambas se pueden expresar como

σ =1

2+

vm,22u2 tan β2

+v2m,2

2u22 [1− vm,2/(u2 tan β2)]

[(A2

A1

)2

− 1

](3.21)

Hp =u2

2

2− v2

m,2

2(tan β2)2+v2m,2

2

[(A2

A1

− 1

)2]

(3.22)

siendo A2 y A1 las secciones de paso a la salida y a la entrada del rotor 3. En bombas radiales,donde A2/A1 > 1, el grado de reacción y la altura de presión puede llegar a ser considerablementesuperiores al de bombas axiales A2/A1 = 1 por el efecto de la fuerza centrífuga. Lo contrarioes esperable en turbinas A2/A1 < 1. En ambos casos, la máxima altura de presión se alcanzapara β2 = π/2 mientras que el máximo grado de reacción se obtiene para β2 → 0, cuando lapotencia específica se hace nula. El grado de reacción puede llegar a hacerse negativo si tan(β2) >

−Vm,2(u22+v2

m,2 [−1 + (A2/A1)2])−1/2, condición que indicaría que el rodete de una bomba absorbería

3Se deja al lector demostrar que el grado de reacción para una máquina axial con α1 6= π/2 se puede escribir comoσ = 1/2− vm,2(cotα1 − cotβ2)/(2u2)

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

3.7. Definición de rendimientos. 29

gHz∞ gHp

β2

0 π/4 π/2 3π/4 π

β2 < π/2 β2 > π/2

gHd > 0

gHd < 0

0σ > 0 σ < 0

~w2

~u2

~v2~w2

~u2

~v2~w2

~u2

~v2~w2

~u2

~v2 β2 β2 β2 β2

Q

gHz∞ Wz∞

u22

β2 < π/2

β2 < π/2

β2 = π/2

β2 >π/2

β 2>π/

2

β2 = π/2

Figura 3.5. Curvas características para bombas con β2 mayor, igual o menor que π/2 (izquierda) y variaciónde la altura total y de presión (derecha) en función del ángulo de salida β2

presión de la corriente y el intercambio de potencia se produciría a expensas de un gran intercambiode energía cinética. En turbinas, un grado de reacción negativo tendría una interpretación semejante,con la presión aumentando en el rodete a expensas de una gran variación de la energía cinética delfluido.Para que la potencia específica intercambiada con el fluido sea constante a lo largo del álabe, elángulo β2 debe cambiar al alejarnos radialmente del eje de giro. Efectivamente, en máquinas sinpre-rotación, para mantener constante la altura Hz∞ es necesario imponer

tan β2 =vm,2Ωr

Ω2r2 − gHz∞(3.23)

En máquinas radiales, la altura de los álabes suele ser pequeño y el ángulo β2 suele mantenerseconstante. Por el contrario, en máquinas axiales, con altura de álabes considerables, el ángulo β2

cambia de forma apreciable otorgando, a los mismos, una torsión que es necesario fabricar conprecisión.

3.7 Definición de rendimientos.

3.7.1 Bombas

Desde el punto de vista del fluido, la ecuación de Euler (3.9) representa la variación, por unidadde tiempo, de la energía del fluido a su paso por la turbomáquina. Efectivamente, si aplicamos laecuación de la energía total escrita previamente en (2.16) entre la secciónA, inmediatamente anterior

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s


Q

h

Qf

Q − Qf

b bA B

WT

QQf

Q + Qf

bbAB

WB

h

bB’

bA’

bA’

bB’

λ, L1, D

λ, L2, D

λ, L1, D

λ, L2, D

z

Figura 3.6. Esquema de la descarga de un depósito situado a una altura geométrica h a través de unaturbina (izquierda) y esquema de la carga de un depósito mediante una bomba (derecha). El caudal queatraviesa el rotor de las turbomáquinas es Q. En la figura se indica la disminución (aumento) de caudal alpasar por el rotor de la turbina (bomba) debido a fugas y filtraciones Qf a través de juntas desde la zona dealta presión hacia la zona de baja presión.

a la sección de entrada, y B, inmediatamente posterior a la sección de salida de la turbomáquina,tal como se indica en la figura 3.6 podemos escribir

Wm = ρQ

[(pBρ

+ gzB +v2B

2

)−(pAρ

+ gzA +v2A

2

)].

En particular, es habitual expresar esa energía transferida en términos de altura como

Wm

ρQ= gHm =

[(pBρ

+ gzB +v2B

2

)−(pAρ

+ gzA +v2A

2

)], (3.24)

Mediante el uso de la ecuación de Bernoulli en un sistema de referencia que gira con el rotor, esfácil demostrar que la expresión (3.24) está relacionada con la ecuación de Euler (3.9) mediante laexpresión gHm = gHz∞−Φv/(ρQ), siendo Φv la disipación viscosa en el interior de la turbomáquina.La altura manométrica Hm es la potencia por unidad de volumen disponible en la corriente desalida del dispositivo. Esta última y la altura cedida al fluido Hz∞ son únicamente iguales paraun fluido ideal en el que se cumple Φv = 0, relación que utilizamos para cuantificar la pérdidade energía por unidad de tiempo debido a la viscosidad del fluido a través de la definición delrendimiento hidráulico

ηh =Wm

Wz∞

=Wz∞ − Φv

Wz∞

=Hm

Hz∞= 1− Φv

ρQgHz∞, (3.25)

siempre inferior a la unidad debido a la disipación viscosa.La potencia manométrica únicamente tiene en cuenta la disminución de potencia debido a laviscosidad del fluido. Sin embargo, las limitaciones constructivas de las turbomáquinas introducen

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s


pérdidas adicionales de rendimiento debido a las fugas y filtraciones de caudal desde las regionesde alta presión hacia las de baja presión de la turbomáquina. En bombas es frecuente encontrar unflujo reverso Qf de caudal aguas arriba del rotor desde la región de alta presión que se suma alcaudalQ con el que se alimenta la turbomáquina desde la tubería. De forma efectiva, por lo tanto, elcaudal impulsado por el rotor Q+Qf es superior al de alimentación. A efectos prácticos, el caudalde fugas implica un aumento de la potencia de impulsión, definida como potencia volumétricaWi = ρQfgHz∞ y se cuantifica a través del rendimiento volumétrico.

ηv =Wz∞

Wz∞ + Wi

=ρgQHz∞

ρgQHz∞ + ρgQfHz∞=

Q

Q+Qf

. (3.26)

Aparte de las pérdidas de rendimiento asociadas a caudal de recirculación, que permanece en elinterior de la bomba y que no contribuyen al aumento de la energía por unidad de tiempo delfluido que la atraviesa, es necesario tener en cuenta en el cálculo de rendimientos las pérdidasmecánicas u orgánicas Wo, debidas al rozamiento del eje de la bomba con los elementos de sellado,los elementos mecánicos de transmisión al eje, los cojinetes, etc.

ηo =WB − Wo

WB

=ρg(Q+Qf )Hz∞

ρg(Q+Qf )Hz∞ + Wo

. (3.27)

A partir de las definiciones anteriores podemos construir un rendimiento global de la turbomáquinaevaluando cuanta de la potencia empleada por la bomba WB es realmente transferida al fluido Wm,de forma que

η = ηhηvηo =Wm

WB

. (3.28)

En el caso de una bomba, tal como se esquematiza en la figura 3.7, es el motor el que cede lapotencia total WB = ρQgHB y del balance global se cumple que,

WB = Wo + Wi + Wz∞ = Wo + Wi + Φv + Wm. (3.29)

3.7.2 Turbinas

La situación es análoga para una turbina aunque, tradicionalmente, a la variación de energía porunidad de tiempo del fluido al atravesar el rotor de la turbina y a la altura asociada a ella selas denomina potencia y altura neta, respectivamente. De nuevo, tras aplicar la ecuación de laenergía (2.16) entre las secciones de entrada A y salida B de la turbina representada en al figura 3.6obtenemos

Wn

ρQ= gHn =

[(pAρ

+ gzA +v2A

2

)−(pBρ

+ gzB +v2B

2

)], (3.30)

de forma que la variación de energía por unidad de tiempo del fluido a su paso por la turbinaserá gHn = gHz∞ + Φv/(ρQ). El rendimiento hidráulico representa, por tanto, el cociente entre la

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s


Figura 3.7. Flujo de potencia esquemático en bomba (izquierda) y turbina (derecha). Las potenciasrelacionadas con perdidas se representan sombreadas.

potencia extraída del fluido Wz∞ = ρgQHz∞ y la potencia neta disponible a la entrada de la turbina

ηh =Wz∞

Wn

=Wn − Φv

Wn

=Hz∞

Hn

= 1− Φv

ρQgHn

. (3.31)

De forma semejante a lo que ocurre en las bombas, existe un flujo de fluido Qf desde la zona de altapresión a la zona de baja que disminuye el caudal que atraviesa el rotor. La pérdida de potenciaasociada a esa disminución de caudal se cuantifica a través del rendimiento volumétrico

ηv =Wz∞ − Wi

Wz∞

=ρ(Q−Qf )gHz∞

ρQgHz∞. (3.32)

Para determinar finalmente cual es la potencia disponible en el eje de la turbina WT es todavía nece-sario sustraer una potencia adicional relacionada con las pérdidas mecánicas. Así, el rendimientomecánico u orgánico queda definido como

ηo =WT

WT + Wo

=WT

Wz∞ − Wi

=WT

ρ(Q−Qf )gHz∞. (3.33)

El rendimiento total de la turbina compara, entonces, la potencia en el eje de la turbina con lapotencia neta disponible a la entrada de la misma

η =WT

Wn

= ηhηvηo. (3.34)

En consecuencia, una turbina, como la esquematizada en la figura 3.7, recibe del flujo unapotencia neta Wn = ρQgHn de la cual transfiere al eje una parte, la potencia de la turbina WT =

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s


ρQgHT . Podemos de todo lo anterior escribir el balance de potencias según

Wn = Wz∞ + Wi + Φv = WT + Wo + Wi + Φv. (3.35)

3.7.3 Ejercicio de aplicación

Consideremos la situación esquematizada en la figura 3.6 en la que un depósito de agua situadoa una altura h descarga agua a través de una turbina hasta un depósito inferior a través de unatubería de diámetro D por las que circula un fluido con velocidad U = Q/(πD2/4). Por simplicidad,supongamos que el número de Reynolds R = UD/2ν del movimiento del agua en las tuberías es losuficientemente grande como para que el coeficiente de fricción λ sea constante. Para el cálculode la energía específica en A y B es conveniente aplicar la ecuación de la energía (2.16) entre lospuntos A-A’ y B-B’, lo que nos permite escribir

pBρ

+U2B

2=paρ

+8Q2

π2D2

(1 + λ

L2

D

)(3.36)

pAρ

+U2A

2+ gzA =

paρ

+ gh− 8Q2

π2D2λL1

D, (3.37)

donde hemos utilizado que la cota de la superficie del agua en el depósito inferior es la misma quela cota a la que se encuentra la salida de la turbina zB = zB′ .Sustituyendo en la expresión para la potencia manométrica escrita previamente en (3.30) e intro-duciendo que Hn = Wm/(ρgQ), podemos escribir

Hn = h− 8Q2

π2D2

λL1

D− 8Q2

π2D2

(1 + λ

L2

D

). (3.38)

El primer término a la derecha del igual de la ecuación (3.38) representa el salto máximo de aguaque la turbina podría aprovechar si toda la energía potencial del agua del depósito se aprovecharapara intercambiar potencia con el rotor de la turbina. Los siguientes términos, son signo negativo,son las pérdidas asociadas a la disipación viscosas en las tuberías y a la energía cinética del fluido ala salida de la turbina que no se ha aprovechado para generar potencia en el rotor.La dificultad para calcular la disipación viscosa en el interior del rotor Φv en la aproximaciónunidimensional se resuelve mediante la definición del rendimiento hidráulico que permite calcularla altura útil de la turbina Hu = ηhHn·Equivalentemente, para la carga de un depósito elevado mediante una bomba (figura derecha en3.6), podemos escribir las energías específicas de los puntos A y B como

pAρ

+U2A

2=paρ− 8Q2

π2D2

λL2

D(3.39)

pBρ

+U2B

2+ gzB =

paρ

+ gh+8Q2

π2D2

(1 + λ

L1

D

)(3.40)

Sustituyendo en la expresión para la potencia manométrica escrita previamente en (3.24)

Hm = h+8Q2

gπ2D2

(1 + λ

L1 + L2

D

)(3.41)

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s


La potencia manométrica Wm = ρgHm, también llamada útil en el caso de bombas, necesaria paraelevar agua al depósito no solamente tiene que se suficiente para vencer la sobre-presión asociada alpeso de la columna de agua de altura h, sino que debe ser capaz de vencer la disipación viscosa enel interior de unas tuberías en las que existe un factor de fricción λ asociado al caudal desplazadopor la bomba.

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

35

Efectos bidimensionales

4.1 Introducción

La teoría unidimensional se sustenta en tres hipótesis fundamentales: 1) que el fluido es ideal entodo el volumen ocupado dentro del rodete y que todas las líneas de corriente son iguales y estánmarcadas por el perfil de lo álabes. La segunda hipótesis obliga a que las velocidades relativas ala entrada y a la salida sean tangentes a los álabes. También se supone que la orientación de lavelocidad absoluta está determinada por la forma de los álabes directores del estátor. En definitiva,basta con calcular la variación de velocidad acimutal entre la salida y entrada de una línea decorriente cualquiera para conocer la variación de potencia específica de todas las partículas defluido que pasan por el rodete.

En este capítulo introduciremos los diferentes efectos añadidos que aparecen en el flujo de unamáquina hidráulica, y cómo estos modifican la previsión de energía específica intercambiada entreel fluido y el rodete. En particular, podemos distinguir entre efectos geométricos: flujos secundariosque pueden aparecer en dos y tres dimensiones, y efectos disipativos: asociados a la interacciónfluido-pared. Como veremos, ambos efectos no están desacoplados. Estudiaremos primero el efectolos flujos bidimensionales entre álabes, que ocurren en el plano ~er − ~eθ en máquinas radiales y en elplano ex − ~eθ en máquinas axiales. Finalmente estudiaremos, de forma más cualitativa, debido a lacomplejidad asociada a estos flujos, los efectos tridimensionales y disipativos.

4.2 Flujo bidimensional entre álabes en turbomáquinas radiales

La teoría bidimensional tiene como objetivo corregir las predicciones obtenidas a través de lateoría unidimensional, la cual supone, como se ha visto en el capítulo anterior, que la velocidaden cualquier sección transversal al flujo es uniforme (simetría polar). Esta hipótesis nos permitíacalcular, estudiando la evolución de una partícula de fluido a lo largo de una única línea decorriente, la potencia y el par transferidos del rodete al fluido. Como resultado, se obtiene que

T = ρQgHz∞

Ω= z

∫Σa

rp sin βdσ , (4.1)

donde z es el número de álabes y Σa incluye toda la superficie de contacto con el fluido (ambascaras). Generalmente, para una línea de corriente arbitraria, tanto el valor de la presión p(r) comoel ángulo β(r) varían con la posición. El diferencial de fuerza de presión ejercida por el fluido sobre

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

36 4. Efectos bidimensionales

un diferencial de área dr ` es

d~Fp =

∫ r+dr

r

p~n`dr , (4.2)

donde ` es el perímetro del álabe en la posición r y ~n es el vector de superficie unitario. Lacomponente que produce momento neto, dFp,t será aquella perpendicular al vector radial ~er. El parproducido por el fluido en cada elemento de superficie dr ` se puede expresar como

dT = zrdFp,t . (4.3)

Si aplicamos la hipótesis de simetría polar de forma rigurosa encontramos que el valor netode dFp,t es nulo. Esto se debe a que, bajo la hipótesis unidimensional todas la líneas de corrienteson iguales, por lo que no existe diferencia entre una línea de corriente en el intradós y el extradósdel álabe, resultando una presión similar a ambos lados del álabe, dFp,t → 0, y finalmente dT → 0.La aparente contradicción se resuelve cuando se tiene en cuenta que la teoría unidimensional esrepresentativa de rotores con un número de álabes muy elevado z → ∞, por lo que el par totalproporcionado al fluido queda indeterminado, no nulo, en ese límite.

dT ∼ limz→∞

zdFp,tr 6= 0 . (4.4)

Como se demostrará a continuación, la corrección que la teoría bidimensional hace de la teoríaunidimensional resulta en una potencia menor transferida al fluido, o sustraída si consideramosla configuración de turbina. Esta disminución será más intensa cuanto menor sea el número deálabes. Resulta obvio que la idealización de un rotor con número de álabes que tiende a infinito esimposible desde el punto de vista práctico, y presenta además inconvenientes intrínsecos: mayornúmero de álabes implica mayor coste de fabricación, mayor peso del rodete con el asociadoincremento de momento de inercia que afectará en las etapas transitorias y mayor superficie decontancto con el correspondiente incremento de pérdidas por fricción, entre otros. Para realizar uncorrecto diseño de una turbomáquina es necesario tener en cuenta los efectos bidimensionales, y asíbuscar el óptimo entre las ventajas y desventajas de diseñar un rotor con un número determinadode álabes.

4.2.1 El coeficiente de disminución de trabajo

Desde un punto de vista fenomenológico, es inmediato comprobar que el camino que una partículade fluido realiza en la cara del álabe cuyo vector apunta en la dirección de movimiento, la cara queempuja, es diferente al realizado en la otra cara, la cual se desplaza provocando succión. Para elsegundo caso, la oposición que la partícula siente al viajar a través del rodete es menor que parael primer caso. Como se ilustra en la figura 4.1, la simetría polar del campo fluidodinámico enel rodete se rompe al considerar este efecto. En la figura de la izquierda aparece el campo fluidosuponiendo que todas las líneas de corriente son iguales y en la figura de la derecha teniendo encuenta los efectos bidimensionales. Como se observa, los vectores de velocidad disminuyen detamaño (escalados con el módulo de la velocidad) en la cara empujante del álabe.

Este efecto se traduce en la generación de un vórtice relativo que, sobrepuesto al movimientopredicho por la teoría unidimensional, proporciona un campo de velocidades no uniforme entre

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

4.2. Flujo bidimensional entre álabes en turbomáquinas radiales 37

Ω Ω

Figura 4.1. Esquema de los efectos bidimensionales del campo de velocidades entre álabes

los álabes del rotor (ver Fig.4.2). Como consecuencia directa de los efectos bidimensionales, laorientación y el módulo de los vectores que determinan el campo fluido a la salida del rotor se vealterada, y por ende, el par neto ejercido y la potencia comunicada al fluido.

Ω Ω

teoría 2Dteoría 1D + corrección 2D

Figura 4.2. Esquema de los efectos bidimensionales del campo de velocidades entre-álabes

Para una máquina hidráulica cuyo fluido entra en el rodete sin prerrotación, α1 = π/2, la energíaespecífica que gana el fluido, en el caso una bomba hidráulica, es gHz = u2v

′u,2, con Hz indicando la

altura de la bomba para un número finito de álabes z, y v′u,2 representando la componente tangencialde la velocidad absoluta cuando se tienen en cuenta los efectos bidimensionales entre álabes. Porconveniencia, reescribimos la energía específica predicha por la teoría bidimensional como unafunción correctora de la teoría unidimensional:

gHz = gHz∞ez = gHz∞

v′u,2vu,2

, (4.5)

donde el cociente v′u,2/vu,2 = ez define el factor de reducción de trabajo. Dicho factor es menorque la unidad y se utiliza para cuantificar la variación del par entregado al fluido en una máquinaradial cuando el número de álabes en el rodete es finito. El triángulo de velocidades a la salida,representado en la figura 4.3 de forma esquemática, ya no es uniforme con la coordenada azimutal,como tampoco lo es la componente v′u,2 para cada línea de corriente. No obstante, existen diversasteorías semi-empíricas que permiten cuantificar el valor de ez sin necesidad de conocer como varíala componente v′u,2 entre álabes, pero sí considerando las características fundamentales del flujobidimensional.

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s


Si el área de salida no se ve afectada significativamente por la ocupación física de los álabes,A2 ∼ πR2b, la componente meridional de la velocidad v′m,2 permanece invariable a los efectosbidimensionales, pues ésta queda determinada por la continuidad de caudal volumétrico v′m,2 =

vm,2 = Q/A2. Esto implica, como puede observarse en la figura 4.3, que una disminución en v′u,2con respecto a vu,2, lleva asociada un aumento del ángulo α′2 < α2 y una disminución del ánguloβ′2 > β2.

~v′2~w2

β′2~u2α2

~vm2

~vu2

~v′u2

~v2 ~w′2

α′2 β2

~v′2~w2

β′2~u2α2

~vm2

~vu2

~v′u2

~v2 ~w′2

α′2 β2

Figura 4.3. Esquema de los efectos bidimensionales en el triángulo de velocidades a la salida del rodetepara β<π/2 (izquerda) y β2 > π/2 (derecha).

4.2.2 Correcciones de Stodola y Pfleiderer

El método de Stodola para calcular el factor de reducción de trabajo ez supone que la desviaciónde la velocidad azimutal vu,2 − v′u,2 es proporcional al valor ∆w = wA − wB, siendo este último lavariación existente en la velocidad relativa entre-álabes (A: cara que se desplaza dejando hueco~u2 · ~n < 0 y B: cara empujante ~u2 · ~n > 0) a la salida del rotor, y el factor de proporcionalidaddeterminado de forma experimental. Para determinar el valor ∆w hacemos uso de la ecuación deconservación de momento lineal para la velocidad relativa a la rotación del rotor ~w en régimenestacionario

~w (∇ · ~w) = −∇(p

ρ+ U

)− 2~Ω× ~w (4.6)

Por conveniencia, usamos un sistema de coordenadas intrínsecas, determinado por el vectorunitario orientado en la dirección de las líneas de corriente, ~es = ~w/|~w|, y la coordenada ~en ortogonala la misma ~es · ~en = 0. Sabiendo que

~w (∇ · ~w) = w∂w

∂s~es −

w2

r~en =

∂

∂s

(w2

2

)~es −

w2

r~en (4.7)

y proyectando (4.7) sobre la coordenada ~es, obtenemos la ecuación de Bernoulli: p/ρ + w2/2 +

U =constante. Si por el contrario proyectamos (4.7) sobre la coordenada ~en obtenemos

∂w

∂n= 2Ω− w

r, (4.8)

que, en el límite de radio grande a la salida Ω w/R2, puede integrarse directamente para darwA−wB = ∆w = 2Ω∆n, con ∆n = πD2 sin β2/z siendo proyección del arco entre álabes πD2/z sobre

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

4.3. Flujo bidimensional entre álabes en turbomáquinas axiales 39

la coordenada normal, para el límite de radio grande. La forma funcional obtenida para ∆w, se usapara reescribir el factor de reducción de trabajo como

ez = 1− επ sin β2u22

zgHz∞(4.9)

donde ε es un parámetro empírico que depende del número de álabes y del ángulo de salida de losálabes, como puede verse en la tabla 4.1.

β2 10 20 30 40 60 90

z: 4-8 1.4 1.1 0.9 0.75 0.6 0.55z: 8-16 1.4 1.15 1.0 0.85 0.7 0.65

Table 4.1. Valores de ε según la teoría de Busemann

Si reescribimos el intercambio energético que tiene lugar en el rodete teniendo en cuenta losefectos bidimensionales predichos por la teoría de Stodola

Hz = Hz∞

(1− επ sin β2u

22

zgHz∞

)= Hz∞ − επ

sin β2u22

gz(4.10)

observamos que la corrección de la función Hz(Q) con respecto a la función Hz∞(Q) es un simpledesplazamiento a valores inferiores de energía específica: la diferencia Hz∞ −Hz no depende delcaudal.

De forma análoga a la corrección propuesta por Stodola, encontramos el factor de reducción detrabajo sugerida por Pfleiderer

ez =1

1 + ψR2

2

zS

(4.11)

con ψ representado un coeficiente experimental que se expresa en función del ángulo de salidadel álabe ψ = 0.6(1 + sin β2), y S siendo el momento estático de la línea media de un álabeS =

∫ R2

R1rdr = (R2

2 −R21)/2.

De la misma forma que en (4.9), el valor de ez tiende a la unidad a medida el número de losálabes aumenta. Es fácil deducir que, al contrario de lo que predecía la corrección de Stodola, ladiferencia entre la teoría unimensional y bidimensional, Hz∞ −Hz, disminuye con el caudal.

4.3 Flujo bidimensional entre álabes en turbomáquinas axiales

La ampliación de la teoría ideal unidimensional para turbomáquinas axiales a efectos bidimension-ales que se presenta en esta sección considera que estas son atravesadas por una corriente en ladirección del eje de rotación y, por tanto, el estudio se simplifica considerando que las partículasfluidas no poseen velocidades radiales y se mantienen a lo largo de su trayectoria contenidas encilindros concéntricos al eje.

El análisis del funcionamiento de turbomáquinas axiales según la teoría bidimensional se realizapues en un plano desarrollado de dicha corriente cilíndrica y en un sistema de referencia girando

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s


con el rodete a velocidad u = ωr, simplificando el problema a un caso estacionario para un radiocaracterístico de la turbomáquina axial. El cambio de sistema de referencia provoca la aparición defuerzas de Coriolis y centrífugas, aunque, dada la ausencia de desplazamiento radial del fluido,dichas fuerzas no ejercen ningún trabajo y por lo tanto las formulaciones para el etapas móvilescomo el rotor y etapas fijas como el estátor son idénticas intercambiando las velocidades relativaspor absolutas.

El desarrollo bidimensional se apoya en gran parte de teoría aerodinámica de perfiles ideales,siendo los álabes objetos aerodinámicos inmersos en la corriente axial que atraviesa la máquina.

4.3.1 Aerodinámica de perfiles

Un cuerpo aerodinámico inmerso en una corriente uniforme perturba dicha corriente y sufre unareacción por parte de la misma. Consideremos un perfil de cuerda c dada por la distancia entresu borde de ataque y borde de salida. El comportamiento de este tipo de elementos fuseladosse puede estudiar a través de la teoría potencial linealizada como el conjunto de efectos debidosa: una placa plana de referencia, trazada entre el borde de ataque y de salida, la cual define conla dirección de la corriente el ángulo de referencia; la curvatura del perfil, que rompe la simetríageométrica decelerando la corriente en el intradós y acelerándola en el extradós para producir unasobrepresión y depresión respectivamente; y el espesor, que provoca efectos de segundo orden enla sustentación.

La línea de sustentación nula como se muestra en la figura 4.4 es aquella dirección para la queuna corriente no produce sustentación en el perfil, siendo por lo tanto para el caso de una placaplana la misma línea que une los bordes de ataque y de salida. El ángulo que forma la corriente conla línea de sustentación nula se llama ángulo de ataque y se denotará aquí con la variable δ.

Figura 4.4. Parámetros geométricos de un perfil aerodinámico.

El cálculo de las fuerzas sobre un perfil en movimiento bidimensional potencial se puede llevara cabo evaluando la variación de cantidad de movimiento en un volumen de control que rodeael perfil, considerando así la acción del flujo y la presión sobre las caras del objeto. Dicho balancederiva en la expresión,

l = ρV∞Γ, (4.12)

conocida como la fórmula de Kutta-Yukovski que relaciona la sustentación por unidad de longitudl, con la densidad del fluido ρ, la velocidad en el campo lejano V∞ y la circulación a lo largo del

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

4.3. Flujo bidimensional entre álabes en turbomáquinas axiales 41

contorno del perfil Γ =∫dΣ~wd~s. En el caso de una máquina hidráulica, la velocidad en el campo

lejano no es la misma aguas arriba que aguas abajo, por lo cual se utiliza una velocidad mediawm en el cálculo de sustentación por la fórmula de Kutta-Yukovski. La fuerza de sustentaciónresultante se ejerce en dirección perpendicular a la corriente incidente. Nótese que en el caso deflujo real aparece una fuerza de resistencia que está alineada con la dirección de la corriente.

Un problema simétrico ( e.g. perfil sin curvatura y corriente alineada con la línea media) noproduce sustentación, dado que la velocidad en el extradós e intradós es simétrica también ypor lo tanto la circulación alrededor del objeto es nula. En conclusión, a través del análisis deteoría potencial bidimensional se requiere que la circulación Γ no sea cero para que la sustentaciónproducida en el perfil sea no nula.

4.3.2 Movimiento bidimensional en cascada de álabes móvil

Tal como se ha mencionado con anterioridad, se considera que las partículas fluidas en la máquinaaxial desarrollan su trayectoria contenidas en cilindros concéntricos sin efectos ligados a presenciade velocidad radial. El estudio de una etapa móvil en la máquina se realiza desarrollando lacorriente cilíndrica sobre un plano, el cual se compone por tanto de una cascada de álabes periódicacomo se muestran en la figura 4.5. Esta configuración difiere del perfil descrito con anterioridad encuanto que los álabes no son objetos aislados en una corriente infinita, si no más bien las paredescontiguas que forman los conductos de paso del fluido de trabajo.

La fuerza ejercida por el fluido sobre cada uno de los álabes se puede calcular integrando sobrela superficie dΣ los efectos de presión y esfuerzos viscosos,

~F =

∮dΣ

p~ndσ +

∮dΣ

¯τ ′ · ~ndσ, (4.13)

donde el segundo término, representante de los efectos viscosos se desprecia en la aproximaciónpotencial del problema fluido. El volumen de control elegido dΣ consiste en una sección de entradaa velocidad ~w1, una de salida a velocidad ~w2, y dos líneas de corriente (tangentes a la velocidadlocal) centradas en los canales contiguos. De este modo no existe gasto másico en las fronterasparalelas al perfil, y por conservación de masa la componente en dirección del eje de las velocidadesrelativas en la entrada y la salida deben igualarse,

wx,1 = wx,2 = wx. (4.14)

Aplicando la conservación de cantidad de movimiento en el volumen de control se obtieneademás la fuerza ejercida sobre el perfil,

~F = t(p1 − p2)ex + ρwxt(wu,2 − wu,1)eθ, (4.15)

donde t es la separación entre álabes y wu es la componente acimutal de la velocidad relativa.Considerando flujo potencial se puede escribir además por la ecuación de Bernoulli,

p1 − p2 =ρ

2(w2

2 − w21) =

ρ

2(wu,2 + wu,1)(wu,2 − wu,1), (4.16)

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s


tal que la fuerza sobre el perfil se reescribe como,

~F = ρt(wu,2 − wu,1)

(wu,2 + wu,1

2ex + wxeθ

). (4.17)

Haciendo uso de la fórmula de Kutta-Yukovski |~F | = ρ| ~wm|Γ, donde ~wm = wxex+(1/2)(wu,2+wu,1)eθes la velocidad media y Γ = t(wu,2−wu,1) la circulación sobre el perfil, dado que para flujo potencialy perfil sin espesor la velocidad no depende de la coordenada acimutal θ y todas las líneas decorriente son iguales. La dirección de actuación de la fuerza βF es,

tan βF =FuFx

=2wx

wu,2 + wu,1, (4.18)

siendo la resultante, como se especifica más arriba, perpendicular a la velocidad media, ~F · ~wm = 0.Cuanto mayor es la separación entre los álabes t, mayor es la fuerza ejercida sobre cada uno deellos, dado que en una circunferencia de perímetro 2πr habrá menos álabes entre los que repartir laenergía cinética del fluido. Considerando un álabe aislado, también se puede calcular la circulacióncon el objetivo de obtener el valor de la sustentación del perfil considerando que Γ = πηV∞c sin δ,donde η es una función de la geometría del perfil y la inclinación de la línea media de la cascada.El coeficiente de sustentación, o la fuerza adimensionalizada sobre el perfil se escribe entonces,

CL =F

12ρV 2∞c

= 2πη sin δ (4.19)

A continuación consideremos las posibles hipótesis simplificativas aplicadas a una cascada deálabes. El estudio de efectos bidimensionales propone, como se ha mencionado, el dominio 2D delplano cilíndrico desarrollado.

Figura 4.5. Esquema de una cascada de álabes móvil en el plano desarrollado x− θ y sistema de referenciarotando a velocidad u = Ωr en el caso de: placas planas, curvas y con espesor.

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s


En el caso de una cascada de placas planas como se muestra en la figura 4.5 la línea de sus-tentación nula de los perfiles coincide con la línea de referencia, marcada por el ángulo de enrejadoo ángulo de referencia de álabe β. Una corriente ideal que incida con los álabes entrando endirección tangente al álabe atravesará la etapa sin modificación alguna, siendo wx,1 = wx,2 porcontinuidad y wu,1 = wu,2 al no presentar deflexión alguna de la corriente ni considerar efectosviscosos, anulándose así la expresión de la sustentación (o bien, considerando el ángulo de ataqueδ = 0, implica F = 0. La corriente sobre y bajo cada perfil es idéntica y por lo tanto la circulación esnula). Por ello, una cascada de placas planas requiere una corriente con ángulo de ataque no nulopara realizar intercambio mecánico con la corriente.

En una cascada de placas curvadas, las líneas de corriente de un flujo ideal que incide tangentea los álabes son paralelas y con la misma forma que los perfiles sin espesor. La corriente se deflectaentre la entrada y la salida, siendo wu,1 6= wu,2, y se produce una sustentación no nula en la etapa(Nótese que la línea de sustentación nula difiere de la geométrica de referencia del álabe). Alconsiderarse un flujo potencial la corriente es invariante en la coordenada eθ para una distanciaaxial, y el balance sobre el volumen de control en la figura se reduce a los segmentos de entrada ysalida, dado que los límites laterales han sido elegidos tangentes a la velocidad local y los efectos depresión sobre la placa se cancelan al ser espesor infinitamente delgado y la presión igual a amboslados.

Sin embargo, incluir efectos de espesor en los álabes implica una variación de la corriente en elextradós e intradós de cada elemento, imponiendo un cálculo de la circulación más detallado (obien la integración de efectos de presión sobre la superficie del perfil) que conllevan el análisis deverdaderos efectos bidimensionales.

Tras el paso del fluido por la etapa en cuestión de la turbomáquina, la energía intercambiadapor unidad de masa se denota con la expresión,

gH =

[p2

ρ− p1

ρ

]+

[v2

2

2− v2

1

2

]. (4.20)

Dado que la velocidad absoluta cumple v2 = u2 +w2− 2uwu, y se satisface la ecuación de Bernouillipara el movimiento relativo p1/ρ+ w2

1/2 = p2/ρ+ w22/2, la expresión para el cálculo de la altura a

través de la ecuación de Euler en la cascada se reduce a,

gH = u∆wu. (4.21)


Se desea usar una bomba centrífuga para elevar agua entre dos depósitos separados una altura deh = 20 m. Ambos depósitos están abiertos y el agua de la superficie puede suponerse en reposoy a presión es la atmosférica. Las tuberías de aspiración e impulsión, ambas de Dt = 0.15 m dediámetro, unen la bomba con los depósitos correspondientes. La bomba, que gira a Ω = 1450 rpm,tiene un diámetro exterior de D2 = 0.25 m, dieciséis álabes (z = 16), D1/D2 = 0.45, y β2 = 60. Laanchura de los álabes se diseña para que la velocidad radial sea constante, siendo el ancho a lasalida b2 = 20 mm. El fluido entra sin prerrotación y los rendimientos hidráulico, volumétrico yorgánico son ηh = 0.85, ηv = 1 y ηo = 0.9, respectivamente. Si despreciamos la energía cinética delfluido en la tubería, calcule:

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s


a) La altura de los álabes b1 (en mm) a entrada del rodete y la altura teórica Hz (en m) propor-cionada por el rodete.

b) El caudal Q (en m3/s) que circula por la bomba/tubería.

c) La potencia WB (en kW) consumida por la bomba y la entregada al fluido Wm (en kW).Determine también la potencia perdida por disipación viscosa Φv, por efectos orgánicos Wo ypor pérdidas volumétricas Wi.

d) El ángulo β1 (en ) para que el fluido entre sin prerrotación. Los ángulos β′2 y α′2 (en )predichos por la teoría bidimensional.

e) ¿Es correcta la hipótesis de suponer despreciable la energía cinética a la salida? Recalcule elpunto b) considerando la energía cinética del fluido en la tubería y comente el resultado.

Con el paso de los años, la rugosidad interna de la tubería aumenta debido a efectos corrosivos,produciendo pérdidas considerables de presión en el fluido. Dichas pérdidas por fricción son 10veces la altura dinámica v2

t /(2g), es decir, λLt/Dt = 10. La bomba utilizada es la misma (mismosángulos en los álabes) pero los rendimientos han caído a ηh = 0.8, ηv = 0.95 y ηo = 0.88.

f) Vuelva a recalcular el apartado b) en estas nuevas condiciones y comente el resultado.

Solución:

a) La altura de los álabes b1 a entrada del rodete se obtiene usando la conservación de lamasa, esto es: Q = vm,1πD1b1 = vm,2πD2b2. Como vm es constante en este caso, tenemosb1 = b2D2/D1 = 44 mm.

La altura teórica se obtiene directamente a partir del rendimiento hidráulico Hz = Hm/ηh,donde la altura manométrica es la que la bomba ha de proporcionar al sistema hidráulico:

Hm = h+v2

2g= h+

8Q2

π2D4t g

.

No obstante, suponiendo el la energía cinética del fluido es despreciable, h v2/(2g), tenemosque la altura manométrica no depende del caudal Hm ' h. Para los valores proporcionados,las alturas teóricas usando teoría bidimensional y unidimensional son Hz = 23.53 m yHz∞ = Hz/ez = 27.66 m, respectivamente.

b) Como el fluido entra sin prerrotación, esto es, gHz∞ = u2vu,2 encontramos la relación

gHz∞ = u2vu,2 = u2

(u2 −

vm,2tan β2

)= u2

(u2 −

Q

πD2b2 tan β2

)que proporciona un caudal Q = 0.127 m3/s, con u2 = ΩD2/2 = 18.98 m/s.

c) La potencia consumida por la bomba es WB = ρgQHm/ηt = 32.67 kW y la transmitida al fluidoes Wm = WBηt = 25 kW. La potencia disipada por viscosidad es Φv = Wm(1 − ηh)/ηh = 4.4

kW, la potencia por pérdidas orgánicas es Wo = WB(1 − ηo) = 3.3 kW, y la potencia porpérdidas internas es Wi = 0 (ηv = 1). Es inmediato comprobar que WB = Wm + Wo + Wi + Φv

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s


d) La componente meridional de la velocidad es imediata a partir de vm,1 = vm,2 = Q/(πD1b1) =

8.1 m/s. El ángulo del álabe a la entrada del rodete para que el fluido entre sin prerrotación,vu,1=0, es β1 = arctan (vm,1/u1) = 43.53, con la velocidad acimutal de rotación a la entradaobtenida a partir de u1 = ΩD1/2 = 8.54 m/s. La teoría unidimensional predice un valorvu,2 = u2 − vm,2/ tan β2 = 14.3 m/s y la teoría bidimensional v′u,2 = vu,2ez = 12.2 m/s.

Los ángulos característicos del triángulo de salida son β′2 = arctan[vm,2/

(u2 − v′u,2

)]= 49.96

(menor que β2 = 60) y α′2 = arctan(vm,2/v

′u,2

)= 33.7 (mayor que α2 = 29.58).

e) En este caso, la altura manométrica proporcionada por la bomba ha de ser usada para elevarel agua a la altura deseada y proporcionar energía cinética al fluido Hm = h + v2

t /(2g).Supongamos que el diseño de la bomba está acondicionado para que el fluido entre sinprerrotación en el rodete.

Con respecto a las condiciones en el rotor, es sabido que gHm = gHzηh = gH∞ezηh =

u2vu,2ezηh, donde vu,1 = 0. Si combinamos ambas relaciones para Hm usando la informacióndisponible encontramos la siguiente ecuación para el caudal

8

π2D4t

Q2 +ezηhΩ

2πb2 tan β2

Q+ gh− Ω2ezηhD2

2

4= 0

Finalmente se obtiene un valor de Q = 0.097 m3/s, inferior al caso anterior. Para que elfluido entre sin prerrotación con un caudal menor, la nueva orientación de los álabes esβ1 = arctan (vm,1/u1) = 35.97.

La altura manométrica proporcionada por la bomba es Hm = 20 m (potencial) +1.55 m(cinética) = 21.55 m. Las potencias transmitida al fluido y consumida por la bomba sonWm = 20.6 kW y WB = 25.9 kW, inferiores al caso anterior. Es decir, aunque la alturamanométrica de la bomba es ligeramente superior, las potencias disminuyen con debido aque el caudal impulsado disminuye.

f) En este nuevo caso, la altura manométrica proporcionada por la bomba ha de ser usadapara elevar el agua a la altura deseada y para compensar las pérdidas por fricción. Además,el fluido podría entrar con prerrotación suponiendo que la orientación de los álabes no havariado con respecto al caso anterior e). Para el cálculo correcto de vu,1 y vu,2, a partir de suscomponentes meridionales, se debe tener en cuenta el rendimiento volumétrico en la relaciónQ/ηv = vm,1A1 = vm,2A2. De forma similar al apartado anterior, obtenemos

8K

π2D4t

Q2 +ezηhΩ

2πηv

(1

b2 tan β2

− 1

b1 tan β1

)Q+ gh− Ω2ezηh

D22 −D2

1

4= 0

donde K = 1 + λLt/Dt = 11 en este nuevo caso. Los parámetros geométricos b1 y β1 sonconocidos del apartado anterior. En esta otra configuración se obtiene un valor de Q = 0.0266

m3/s, muy inferior al caso anterior. La altura manométrica proporcionada por la bomba esahora Hm = 20 + 1.28 = 21.28 m (incluyendo la energía cinética y pérdidas) y la potenciaconsumida por la bomba es WB = 7.28 kW.

Las curvas continuas representan la variación de la altura manométrica con el caudal para elcaso sin prerrotación y ηv = 1 (apartados b y e). Se observa que la pendiente es negativa y

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s


que los puntos de funcionamiento estás determinados por el corte las curvas de la instalación,rojo y azul respectivamente para el caso donde se desprecia y se considera la energía cinéticadel fluido. Para el caso donde existe prerrotación la pendiente de la curva se vuelve positivay el nuevo punto de corte (verde para el caso f) considera también efectos disipativos en latubería (curva de instalación más pronunciada). Se puede concluir que la altura manométricade la bomba no varía significativamente con las condiciones de la instalación pues la energíacinética es, en este ejemplo, generalmente mucho más pequeña que la energía potencialh v2

tub/(2g). No obstante, el caudal impulsado varía de forma considerable.

Hinst(f)

Hinst(e)

Hinst(b)

Hm(b, e)

Hm(f)

H[m]

Q[m3/s]

Figura 4.6. Representación de los puntos de funcionamiento en las tres diferentes configuraciones: de-preciando energía cinética (b), incluyendo energía cinética (e) y considerando pérdidas disipativas y otrosefectos en la máquina (f).

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

47

Flujo real: efectos tridimensionales y disipativos

5.1 Introducción

Hasta ahora hemos despreciado los efectos de la viscosidad y de la conductividad térmica delfluido. Suponíamos también que el punto de funcionamiento era el de diseño y que no aparecíandesprendimientos de capa límite, los cuales dan lugar a fenómenos de disipación muy importantes.La consideración de estos efectos, dentro del rodete, hace que el proceso de transferencia de potenciaentre los álabes y el fluido no sea isentrópico. Claramente, estas perdidas irán en detrimento delrendimiento de la máquina hidráulica.

Los efectos disipativos, asociados al rozamiento entre el fluido y las superficies que conformanel rodete pueden escalarse con las condiciones de operación. En el fluido inmediatamente presentesobre la superficie de los álabes se forma una capa límite, dominada por los efectos viscosos, que seencarga de ligar las condiciones de flujo distante de la pared (ideal) con la condición de adherenciasobre la misma. Si la distancia entre álabes es lo suficientemente grande comparada con el espesorlocal de la capa límite en cuestión (dependiente del número de Reynolds, δ ∝ Re−1/2), las capaslímite formadas no interaccionan entre sí, y la fuerza viscosa de arrastre asociada es proporcional altensor de esfuerzos integrado sobre cada superficie Σi

Fd ∼ τ |ΣAΣ ∼ µu

δAΣ ∼ Cd

1

2ρu2, (5.1)

donde Cd(Re) es el coeficiente de arrastre adimensional que depende del número de Reynolds.En concreto, para las condiciones de operación de turbomáquinas convencionales, la capa límiteformada es de carácter turbulento debido al alto valor de Re.

Sin embargo, no sólo deben ser considerados los efectos viscosos en el balance de efectos reales.Debido a la geometría tridimensional y a las condiciones de contorno que ésta impone sobre elfluido, se generan una serie de flujos secundarios que se suman a la contabilización de las pérdidas.

5.2 Efectos disipativos en máquinas radiales

5.2.1 Capa límite

El estudio de los efectos de la capa límite requieren el planteamiento de la ecuación de cantidadde movimiento en un sistema de referencia móvil y solidario con los álabes del rodete. Dada estarotación del sistema de referencia ha de considerarse la fuerza centrífuga en el potencial de fuerzasmásicas. Utilizando además las coordenadas intrínsecas s y n referentes a la dirección local delálabe ~es y su normal ~en como se muestra en la figura 5.1, la ecuación del momento que gobierna el

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

48 5. Flujo real: efectos tridimensionales y disipativos

flujo en la capa límite es

w∂w

∂s+ wn

∂w

∂n= − ∂

∂s

(p

ρ− Ω2r2

2

)+ ν

∂2w

∂n2, (5.2)

con wn siendo la componente normal a la superficie del álabe (valor pequeño del orden de wδ/r).

Figura 5.1. Esquema de capa límite y zonas de posible desprendimiento en una máquina radial.

La distribución de presión en la capa límite, dominada por efectos de viscosidad, viene impuestapor el fluido exterior a la misma. En particular, de la ecuación del momento, para el fluido ideallejos de la capa límite, sabemos que

wext∂wext∂s

=1

2

∂w2ext

∂s= − ∂

∂s

(p

ρ− Ω2r2

2

)= −1

ρ

∂P∂s

, (5.3)

a lo largo de una línea de corriente, donde P = p+ ρU es la presión reducida, y

∂wext∂n

= 2Ω− wextr

(5.4)

para una dirección normal apuntando hacia el lado convexo de la línea de corriente, que pararadios de curvatura lo suficientemente grandes se reduce a ∂wext/(∂n) ∼ 2Ω. Haciendo uso de (5.3)en (5.2) se obtiene una expresión para la variación de velocidad relativa dentro de la capa límiteconocido el flujo externo ,

w∂w

∂s+ wn

∂w

∂n= wext

∂wext∂s

+ ν∂2w

∂n2, (5.5)

Si la velocidad relativa a la salida es menor que a la entrada, w2 < w1, debe decrecer a lo largo delas líneas de corriente y entonces wext∂wext/∂s < 0. En consecuencia la presión crece a lo largo de

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

5.2. Efectos disipativos en máquinas radiales 49

la línea de corriente cumpliendo ∂P/∂s > 0, como se muestra en (5.3). Este efecto obliga a que,en la capa límite, el fluido se encuentre un gradiente de presión adverso que aumenta el riesgode desprendimiento de la misma. De la consideración tomada en el capítulo anterior respecto ala variación local de la velocidad relativa en dirección normal a las líneas de corriente, (4.8), setiene que ∂wext/∂n ≈ 2Ω > 0. Por lo cual se deduce que para puntos tales como los mostradosen la figura 5.1 A′ y B′ situados en una superficie de presión y A, B en la superficie de succión,wA′ < wA y wB′ < wB, es decir, la línea de corriente en una superficie de succión experimentamayores velocidades relativas.

Además, en el caso en el que el caudal relativo al volumen desplazado por rotación sea elevado,ΩD/wext 1, la fuerza centrífuga es despreciable y no contribuye a vencer el gradiente adverso depresiones favoreciendo así un desprendimiento más adelantado en casos de caudal elevado comose muestra esquemáticamente en la figura 5.1. En el punto de diseño, la velocidad de rotación y elcaudal se encuentran sincronizados, de manera que la capa límite sobre los álabes no alcance en lamedida de lo posible el desprendimiento.

Adicionalmente han de considerarse los efectos dados por la viscosidad en las paredes laterales,que cierran los canales formados por los álabes, sobre las que se genera también una capa límiteadecuando la velocidad del fluido desde el flujo medio hasta la velocidad absoluta nula dada porla condición de adherencia en las mismas. Estas paredes pueden ser fijas, formando parte de lacarcasa, o móviles, siendo un elemento contenido en el propio rodete. En el primer caso, serála velocidad absoluta ~v la que tiende a anularse según nos acercamos a la superficie en cuestión,viendo así una modificación de las líneas de corriente que tienden a circunferencias concéntricas enel sentido contrario de rotación, como se muestran en la figura 5.2. En el segundo tipo de paredeslaterales será la velocidad relativa ~w aquella que se anule en la pared, haciendo así desaparecer laslíneas de corriente en el sistema de referencia móvil.

Figura 5.2. Efectos de recirculación y capa límite en una máquina radial debidos a las caras laterales, fijas omóviles.

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s


5.2.2 Flujos secundarios y otras fuentes de pérdidas

El comportamiento de las turbomáquinas se distancia del analisis ideal debido también a lapresencia de pérdidas internas por flujos de recirculación. Parte del caudal se ve desviado sobrelos extremos del álabe debido a la diferencia de presión generada entre la entrada y salida delrodete, recirculando a través de las ranuras formadas con la carcasa en una cantidad Qf como sedenominó en teoría unidimensional. Por otro lado, pueden considerarse además flujos secundariosen la voluta o recirculaciones en la entrada de aspiración.

Todo lo anterior puede, efectivamente, afectar la dirección de entrada del fluido en el rodete ygenerar un efecto de prerrotación. Tal como se presentó con anterioridad, el efecto de la prerrotacióna la entrada de una bomba actúa disminuyendo la potencia efectiva transmitida,

gHz = u2vu2 − u1vu1. (5.6)

Sin embargo, la gran mayoría de estos efectos pueden ser despreciados siempre y cuando labomba funcione en su punto de diseño.

5.3 Efectos disipativos en máquinas axiales

5.3.1 Capa límite

De manera análoga al análisis realizado en máquinas radiales, los efectos viscosos presentes enla capa límite de las superficies físicas del rodete y de la carcasa generan pérdidas que deben serconsideradas cuando se trata con efectos reales.

Figura 5.3. Efectos de recirculación y capa límite en una bomba axial.

Concretamente, la velocidad relativa sobre las superficies de los álabes así como sobre el eje delrodete es nula ~w = 0 por la condición de adherencia, naciendo así en sus inmediaciones una regióndominada por la viscosidad como se esquematiza en la figura 5.3. Sobre la carcasa lateral fija hay,del mismo modo, una región en la que la velocidad se adapta desde el flujo ideal hasta la condición

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

5.4. Curvas reales de funcionamiento 51

de pared de velocidad absoluta nula, ~v = 0. Estas capas particulares producen un esfuerzo viscosoque se cuantifica, como se verá más adelante, en una serie de pérdidas de potencia respecto al casocalculado a través de teoría ideal.

5.3.2 Flujos secundarios y otras fuentes de pérdidas

La geometría de la máquina y la limitación al sellado entre rodete y carcasa, producen posiblesrecirculaciones no deseadas por las ranuras presentes. Éstas se traducen en caída del rendimientovolumétrico ηv y pueden afectar de nuevo las condiciones de flujo a la entrada, distanciando a lamáquina del punto de diseño.

Adicionalmente, la separación de elementos sólidos de la máquina con velocidades relativasentre sí permite la aparición de pequeñas láminas de fluido que actúan como transmisoras decantidad de movimiento entre la superficie fija y la móvil. Estos esfuerzos tangenciales a las super-ficies se incluyen dentro del rendimiento orgánico y no dependen del caudal de funcionamientode la máquina, pero sí de la separación entre las superficies en cuestión B. El coeficiente de fric-ción CF = τp/(

12ρΩ2r2), que permite el cálculo de los esfuerzos citados, depende del número de

Reynolds y la separación entre superficies CF (Re,B). Una separación B que tiende a cero, provocaun rozamiento directo entre sólidos, mientras que grandes ranuras minimizan el rozamiento a costade permitir grandes recirculaciones.

Por último, la tridimensionalización del flujo genera superficies de corriente que se desvían delas hipótesis de teoría unidimensional, en las cuales la velocidad radial de todas las partículas esnula. Los efectos tridimensionales tienen en cuenta la variación del radio en las trayectorias de laspartículas fluidas generando superficies de corriente no cilíndricas, fenómeno que recibe el nombrede alabeo o warping. La curvatura de dicha superficie de corriente está asociada al equilibrio radialdel flujo gobernado por las diferencias de presión y fuerzas centrífugas,

wr∂wr∂r

+wur

∂wr∂θ

+ vz∂wr∂z− w2

u

r= −1

ρ

∂p

∂r+ rΩ2 − 2Ωwu. (5.7)

La condición de máquina axial pura implica velocidad radial nula, wr = 0, de lo cual se puedeextraer la relación de equilibrio radial,

∂p

∂r= ρ

w2u

r+ ρ

u2

r− 2ρ

wuu

r, (5.8)

es decir, que el gradiente de presión en dirección ~er esté exactamente equilibrado a través de lafuerza centrífuga.

5.4 Curvas reales de funcionamiento

El compendio de efectos considerado en este capítulo debe ser incluído a la hora de realizar elcálculo de cualquier instalación que necesite una turbomáquina hidráulica para su funcionamiento.La altura intercambiada entre máquina y fluido, tal como se había presentado hasta ahora, dependeprincipalmente de la configuración del flujo a la entrada y la salida del rodete (incluyendo, si es

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s


necesario, efectos bidimensionales). Según la ecuación de Euler,

Hz = Hz∞ez =(u2v

′u2 − u1vu1)

g. (5.9)

Hz∞

H [m]

Q [m3/s]

Hz

∆H1

∆H2

Hm

Hinst

Figura 5.4. Bomba cuya altura teórica unidimensional es Hz∞ = 40− 10Q en unidades del SI. El factor dereducción de trabajo es ez = 0.85 =constante (Pfleiderer). Las pérdidas por fricción y por lejanía del puntode diseño son ∆H1 = 3Q2 y ∆H2 = 3(Q− 1)2, dando una altura manométrica Hm = 31− 2.5Q− 6Q2

Las pérdidas por fricción sobre las superficies del rodete que se han presentado aquí, se cuan-tifican a través de un incremento de altura ∆H1 = K1Q

2, dependiente del caudal al cuadrado ycaracterizado experimentalmente por la constante K1. Por otra parte, el caudal de funcionamientoy la velocidad de giro del rodete están sincronizados para un caso de operación llamado puntode diseño, siendo Q0(Ω) el caudal del punto de diseño. Para caudales inferiores al del punto dediseño (Q < Q0), el flujo que alimenta a la máquina no es suficiente para llenar el vacío que dejaprogresivamente la cara de succión de los álabes en su avance, provocándose así recirculaciones ymayores pérdidas. En el caso opuesto (Q > Q0), el flujo que invade el canal formado por los álabeses mayor que el necesario y las partículas lo abandonan antes de que la cara de presión alcance laposición adecuada, generando en este caso recirculaciones en la superficie de presión. Por lo tanto,

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s


se considera una altura de alejamiento del punto de diseño igual a ∆H2 = K2(Q−Q0)2, siendo K2

otra constante a proporcionar. La curva real de funcionamiento de la máquina está dada por laaltura proporcionada por el rodete menos las pérdidas dependientes del caudal,

Hm(Q) = Hz −K1Q2 −K2(Q−Q0)2. (5.10)

En términos generales, la ecuación que caracteriza la altura de una bomba es una funcióncuadráticaHm(Q) = a+bQ+cQ2. De la misma forma, la función que determina la altura necesaria enuna instalación es Hinst(Q) = a′ + b′Q2 (puede deducirse de la ecuación de conservación de energíamecánica proporcionada al inicio de este documento). El punto de funcionamiento de la bombaen dicha instalación quedará determinado por el valor del caudal que iguala Hm(Q) = Hinst(Q)

(ver ejemplo de aplicación).


Se dispone de una bomba centrífuga para trasegar agua (ρ = 1000 kg/m3) desde un depósito hastauna zona elevada, tal y como se muestra en la figura. La bomba utilizada, de diámetro exteriorD2 =0.35 m y ancho b =0.1 m, opera a Ω = 1000 r.p.m. y sus rendimientos hidráulico, volumétricoy orgánico son ηh =0.85, ηv =0.95, y ηo =0.9, respectivamente. El factor de reducción de trabajo esez =0.75. La curva que representa la altura manométrica de la bomba es Hm(Q) = 40 + 10Q− 2Q2,con Q en m3/s. El fluido entra en la misma sin prerrotación.

Con respecto a la instalación, se sabeque las áreas transversales de la tu-bería y del depósito son At =0.25 m2

y Ad =25 m2, respectivamente, que laaltura inicial del depósito es h0 =15 m yque la altura de elevación es z3 =60 m.Considere que las pérdidas primariasy secundarias pueden despreciarse a lolargo de toda la instalación.

Q

h

Ad

At

pa

pa

0

Hm

21

3

z3

1. Condiciones normales de funcionamiento para h = h0 = 15 m=constante (3 puntos)

1. a) Determine el caudal que circula por la bomba Q teniendo en cuenta que la bomba hade funcionar de forma estable. Dibuje las curvas características de la instalación y de labomba. (1 pt.)

1. b) Calcule el ángulo salida del álabe β2 y compárelo con el predicho por la teoría bidimen-sional β′2. Dibuje el triángulo de velocidades y comente el resultado. (1 pt.)

1. c) Compute la potencia de pérdidas hidráulicas totales Φv, de perdidas volumétricas Wi yde pérdidas orgánicas Wo. Calcule la potencia total entregada al fluido Wm y entregadaa la bomba WB. (1 pt.)

2. Otras condiciones de funcionamiento (3 puntos)

2. a) Determine la curva que relaciona la altura del depósito h con el caudal Q. (0.5 pts.)

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s


2. b) Calcule el caudal Q0 para el cual la bomba proporciona la máxima altura manométrica.¿Qué altura ha de tener el nivel del depósito en esas condiciones? (1 pt.)

2. c) ¿Cuál es el nivel mínimo del depósito hmin por debajo del cual la bomba no puedefuncionar? ¿Cuál es el valor del caudal Qmin en estas condiciones? (1 pt.)

2. d) Escriba la ecuación integral que determina el tiempo que tardará el depósito en llegar deh = h0 = 15 m a hmin y obtenga una solución aproximada. (0.5 pts.)

Solución:

1. a) La altura requerida por la instalación consta de la contribución potencial z3 − h0 = 45 m yde la contribución cinética v2

tub/(2g). Por otro lado, la altura manométrica que proporciona labomba, que depende del caudal trasegado ha de hacer frente a la necesidad de la instalación,Hm = Hinst, tal que:

40 + 10Q− 2Q2 = z3 − h0 +1

2gA2tub

Q2

donde Hinst = z3 − h0 + 12gA2

tubQ2.

Este polinomio de segundo orden para Q proporciona dos posible caudales: Qi = 0.602 m3/sy Qe = 2.95 m3/s, donde los subíndices i y e hacen referencia a puntos de funcionamientoinestable y estable, respectivamente. El concepto de inestabilidad en el punto de funcionamientode una instalación se explicará en el tema 8. Anticipando que el punto de funcionamiento Qi

es inestable, tomamos Qe = 2.95 m3/s como la solución asintóticamente estable. La alturaproporcionada en ese caso será Hm(Qe) = 52.09 m. La curva marrón de la siguiente figuracorresponde a la curva de la instalación para h = h0. Pueden observarse los dos puntos decorte con la curva de la bomba.

1. b) A partir de la altura manométrica y el rendimiento hidráulico calculamos la altura teóricaque el fluido gana tras su paso por el rodete: Hz = Hm(Qe)/ηh = 61.29 m y la altura teóricacon teoría unidimensional Hz∞ = Hz/ez = 81.72 m. Es claro que el caudal que circula dentrodel rodete es mayor al impulsado en la tubería debido a las recirculaciones asociadas a laspérdidas volumétricas: Qrod = Q/etav = 3.1 m3/s. Sabiendo que u2 = ΩD2/2 = 18.33 m/s yque la velocidad meridional a la salida vm,2 = Qrod/(πD2b)28.24 m/s, escribimos

gHz∞ = u2vu,2 − u1vu,1 = u2vu,2 = u2

(u2 −

vm,2tan β2

)y obtenemos β2 = 132 como ángulo de salida del álabe y vu,2 = 43.74 m/s como la compo-nente acimutal de la velocidad absoluta a la salida. La corrección bidimensional proporcionalos valores v′u,2 = vu,2ez = 32.8 m/s y β′2 = 117.5 para la componente acimutal y el ángulo desalida corregidos del fluido, respectivamente.

1. c) La potencia manométrica es obtenida a partir de Wm = ρgQeHm(Qe) = 1.51 MW y la potenciaque ha de proporcionarse al eje es WB = Wm/ηt = 2.07 MW, donde ηt = ηhηvηo. Las pérdidasinternas son calculadas a través de Wi = ρgQfHz(Qf ) = 0.93 MW, donde Qf = Qrod − Qe.La potencia por pérdidas por fricción fluido-paredes es Φv = ρgQeHL = 0.27 MW, donde

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s


HL = Hz −Hm = 9.19 m. Finalmente, las pérdidas orgánicas son WB = Wm − Φv − Wi = 0.21

MW.

2. a) La curva que relaciona el caudal de la bomba con la altura variable h(Q) se obtiene directa-mente a partir de la ecuación Hm = Hinst y despejando h:

h(Q) = z3 − 40− 10Q+

(1

2gA2tub

+ 2

)Q2

2. b) La máxima altura que puede proporcionar la bomba se obtiene a partir de la ecuación

dHm

dQ= 0 → Q0 = 2.5 m3/ s

correspondiendo a una altura manométrica Hm(Q0) = 52.5 m. Esta condición sólo ocurrecuando la altura del depósito es h(Q0) = 12.6 m. La curva naranja en la siguiente figurarepresenta la curva característica de la instalación para esa altura de depósito.

2. c) La altura mínima por debajo de la cual la bomba no es capaz de impulsar más agua sepuede obtener de varias formas. Gráficamente buscando el punto donde la curva de lainstalación y la curva de la bomba son tangentes (dHm/(dQ) = (dHinst)/(dQ) (ver curva rojaen la figura siguiente). También puede obtenerse buscando el mínimo en la función h(Q)

o evaluando cuando la solución Q(h) obtenida a partir de la ecuación h(Q) deja de ser real(cuando el radicando se torna negativo). En cualquier caso la solución final es hmin = 11.12 m,correspondiéndose con un caudal Q = 1.78 m3/s.

2. d) Para obtener el tiempo para descargar el depósito desde el nivel inicial h0 hasta hmin aplicamosla ecuación de la conservación de la masa en el volumen del depósito, proporcionando laecuación

−Addh

dt= Q(h) → t = Adc

∫ h0

hmin

dh

5 +√

25− c(20− h)= 29.07s

con c = 1/(2gA2tub) + 2. Como la relación de la altura y el caudal es monótona entre los puntos

de interés, la integral puede aproximarse a través de la regla del trapecio simple, tal que

t ∼ Ad2

[1

Q(h0)+

1

Q(hmin)

](h0 − hmin) = 29.25s.

lo que proporciona un valor aproximado muy parecido al obtenido a través de la integral exacta.Los diferentes puntos de funcionamiento quedan ilustrados en la siguiente figura, donde los

diferentes escenarios contemplados en los apartados 1, 2b y 2c están representados.

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s


Hinst(1)

Hinst(2c)

Hinst(2b)

Hm(Q)

z 3−h

0

z 3−hmin

Qi QeQoQmin

H [m]

Q [m3/s]

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

57

Análisis Dimensional

6.1 Introducción

Como se ha visto en los capítulos anteriores, la predicción teórica de las propiedades de unamáquina hidráulica en función de las condiciones de funcionamiento es muy tediosa, pues involu-cra un conocimiento exacto de todos los procesos que transcurren en el interior de la máquina. Lasteorías uni- y bi-dimenasional permiten obtener fórmulas de fácil aplicación, pero resultan inexactaspues no tienen en cuenta fenómenos tridimensionales, de choque o disispativos, ambos de gran im-portancia en la caracterización del fluido en su paso por los diferentes componentes de la máquinahidráulica. Para describir de forma realista el funcionamiento de una bomba o turbina en su rangode operación es necesario hacer experimentos, cubriendo el espectro paramétrico característico:caudal, propiedades del fluido, velocidad angular, tamaño, entre otros. Dichos experimentospueden ser realizados de forma numérica con códigos numéricos validados, o en el laboratoriousando modelos a tamaño real o escalados. Es en esta tarea donde el análisis dimensional y lasemajanza son especialmente útiles pues permiten reducir la dependencia paramétrica y obtenercurvas características de operación más generales, y por tanto, de mayor rango de aplicación.

En palabras de P. W. Bridgman (1881-1961), Premio Nobel de física en 1946: “La utilidadprincipal del análisis dimensional es deducir de un estudio de las dimensiones de las variables encualquier sistema fisco ciertas limitaciones en la forma de cualquier posible relación entre estasvariables. El método es de gran generalidad y simplicidad matemática”.

6.2 Conceptos básicos generales de análisis dimensional y semejanza

6.2.1 Teorema Π o Vaschy-Buckingham

Para ilustrar la aplicación del teorema Π vamos a suponer que un fenómeno físico determinado,la fuerza de resistencia que un objeto siente cuando está inmerso en una corriente de fluido convelocidad relativa, lejos del objeto, U . Supongamos que el objeto tiene dos dimensiones principales,la longitudinal en la dirección del flujo L y la transversal D, y que la densidad ρ y viscosidadµ del fluido son constantes. Se desconoce, a priori, si el efecto de la gravedad es despreciableo no. Escribimos por tanto que la fuerza de resistencia FR depende, de alguna forma, de losparámetros anteriormente nombrados FR = FR (ρ, U,D, µ, L, g). Cabe mencionar que la elecciónde los parámetros independientes no es arbitraria sino que responde a criterios físicos deducidosa partir de las ecuaciones que gobiernan el fenómeno en particular. En ausencia de análisisdimensional, el barrido paramétrico que es necesario realizar para calcular cómo la fuerza deresistencia depende de los parámetros seleccionados, n = 6, es impracticable.

El teorema Π o Vaschy-Buckingham enuncia que si en un fenómeno físico cualquiera, F , existe

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

58 6. Análisis Dimensional

una relación entre n medidas de magnitudes físicas, F = F (a1, a2, ..., an), dicha relación puedereducirse a f = fun(Π1,Π2, ...,Πn−p), donde p es el número de magnitudes dimensionalmenteindependientes, y donde tanto f como las variables Πi, son parámetros adimensionales.

Para conocer el valor de p es necesario saber las unidades básicas de medida que forman partedel sistema en particular. Podemos definir las unidades básicas de medida como aquellas a partirde las cuales se puede generar la unidad de medida de cualquier otra magnitud física (unidadesderivadas). Éstas son: masa M , longitud L, tiempo T , temperatura Θ, corriente eléctrica I , entreotras. Para problemas puramente mecánicos, las magnitudes básicas se reducen a las tres primeras:M , L y T , y por tanto, el número máximo de parámetros dimensionalemente independientes espmax = 3.

Volviendo al ejemplo anterior, observamos que existen varias combinaciones de 3 parámetrosque son dimensionalmente independientes: ρ, U,D, µ, U,D, µ, g,D, entre otros. Esto quieredecir que la matriz de dimensiones:

FR ρ U D µ L g

M 1 1 0 0 1 0 0L 1 -3 1 1 -1 1 1T -2 0 -1 0 -1 0 -2

se pueden encontrar varias submatrices de tamaño 3×3 cuyo rango sea 3 (el máximo). No existe,con la información disponible, ningún criterio objetivo que determine qué terna de parámetros(dimensionalmente independientes) es la más conveniente usar para adimensionalizar el resto demagnitudes. Puesto que todas las ternas son matemáticamente igual de válidas, debemos tomar uncriterio físico, proporcionado por el tipo de fenómeno, para seleccionar la terna más adecuada, esdecir, las magnitudes han de ser parámetros representativos del sistema. En el caso que nos ocupa,podemos anticipar que la velocidad del fluido U , la densidad ρ y la longitud asociada a la seccióntransversal D son magnitudes que pueden influir significativamente en la fuerza de resistencia FR.Esto puede ser revisado después con los valores característicos correspondientes. De esta forma,encontramos que

FRρUD2

= fun(

µ

ρUD,L

D,gD

U2

)o CR =

FR12ρUπD2

= fun(Re,

L

D, Fr

)(6.1)

con CR siendo el coeficiente de resistencia o arrastre, Re= ρUD/µ el número de Reynolds, L/Dla relación de aspecto y Fr= U/

√gD el número de Froude. Esto implica que hemos reducido la

dependencia paramétrica a tres (n − p = 6 − 3 = 3) magnitudes adimensionales. Si en nuestroproblema en particular las diferencias de cota en no son significativas, tal que Fr 1, entoncesla gravedad no juega ningún papel relevante en el fenómeno, obteniéndose una factor CR =

fun (Re,D/L), lo que es equivalente a no haber incluido el efecto de la gravedad en el comienzodel análisis.

6.2.2 Semejanza geométrica y física

El análisis dimensional no es sólo útil para reducir es espectro paramétrico de un determinadoproblema, sino para establecer relaciones entres magnitudes asociadas fenómenos similares que

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

6.3. Análisis dimensional en turbomáquinas 59

transcurren en condiciones diferentes. En particular, el análisis dimensional resulta particularmenteútil a la hora de plantear la experimentación usando modelos a escala. Para ello el modelo usadoen el experimento ha de ser semejante en términos geométricos o de forma.

Dos modelos son geometricamente semejantes cuando mantienen la relación de aspecto en todassus longitudes, manteniendo por tanto la forma y los ángulos correspondientes. Cabe mencionarque la semejanza geométrica afecta exclusivamente a la dimensión longitud L. A efectos prácticos,reducir un modelo particular a una escala mucho más pequeña ha de hacerse con las garantíascorrespondientes, es decir, teniendo en cuenta que la rugosidad relativa y elementos de unión,como remaches y tornillos, han de ser reducidos también de forma proporcional.

Dos sistemas cuyos conjuntos de parámetros adimensionales coinciden se dice que son física-mente semejantes. Si definimos Πa

1,Πa2, ...,Π

an−p como los parámetros adimensionales en el sistema

a, y Πb1,Π

b2, ...,Π

bn−p como los parámetros adimensionales en el sistema b, es inmediato comprobar

que si ambos fenómenos son físicamente semejantes, es decir, Πa1 = Πb

1,Πa2 = Πb

2, ...,Πan−p = Πb

n−p,entonces la variable dependiente fa = f b.

Volviendo al problema anterior, donde teníamos que el coeficiente de arrastre CR dependía dedos parámetros adimensionales principalmente, el número de Reynolds Re (parámetro físico) y larelación de aspecto D/L (parámetro geométrico). Podemos evaluar el coeficiente de arrastre deun sistema cualquiera a través de la experimentación con un modelo a escala. Supongamos portanto que queremos calcular la fuerza de arrastre de un determinado objeto con dimensiones D1,L1 usando un modelos 5 veces más pequeño, tal que D1 = 5D2. Para que el objeto sea semejanteen términos geométricos, L1/D1 = L2/D2, por lo que L1 = 5L2. Para que las condiciones en elexperimento sean físicamente semejantes, todos los parámetros adimensionales independientes hande ser iguales. Esto implica que, además de mantener la relación de aspecto, el número de Reynoldsha de ser el mismo, Re1 =Re2. Si realizamos el experimento con el mismo fluido ρ1 = ρ2, µ1 = µ2,encontramos que la relación Re1 =Re2 implica que U1D1 = U2D2, y por tanto U2 = 5U1. Es decir,si realizamos el experimento con un objeto de igual forma pero 5 veces más pequeño, el fluido,si no cambia, ha de moverse 5 veces más rápido para que ambos escenarios sean completamentesemejantes.

6.3 Análisis dimensional en turbomáquinas

6.3.1 Conceptos de análisis dimensional y semejanza aplicados a turbomáquinas

De forma análoga al caso anterior, el estudio de la fuerza de arrastre de un objeto en el seno deun fluido en movimiento, podemos plantear, a modo de ejemplo, el estudio de la variación deenergía específica en una bomba hidráulica. Las conclusiones extraídas serán después extrapoladasa situaciones más generales, incluyendo el comportamiento de turbinas hidráulicas.

Supongamos por tanto el caso de una bomba hidráulica cuyo rodete, de diámetro D, gira auna velocidad angular Ω, trasegando un caudal Q de un fluido determinado, caracterizado porsu densidad ρ y viscosidad µ. Supongamos que la rugosidad interna de la bomba es κ y que laforma de la misma está caracterizada por diversas longitudes características Li y posicionamientode partes móviles αi. Escribimos, por tanto, que la energía específica de la bomba depende de todosestos parámetros: gH = fun (D,Ω, Q, ρ, µ,D, Li, αi, z), cuya matriz dimensional

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s


gH ρ Ω D Q µ κ Li αiM 0 1 0 0 0 1 0 0 0L 2 -3 0 1 3 -1 0 1 0T -2 0 -1 0 -1 -1 0 0 0

nos permite encontrar ternas factibles para la adimensionalización de las magnitudes. En partic-ular, la terna de parámetros dimensionalmente independientes ρ,Ω, D es comúnmente usadaa tal efecto, pero pueden usarse otras igualmente válidas. Similarmente podemos estudiar otraspropiedades características de la bomba como son la potencia W , el par T y el rendimiento, propor-cionando las siguientes relaciones

gH

Ω2D2= fun1

(Q

ΩD3,

µ

ρΩD2,κ

D,LiD,αi

)(6.2)

W

ρΩ3D5= fun2

(Q

ΩD3,

µ

ρΩD2,κ

D,LiD,αi

)(6.3)

T

ρΩ2D5= fun3

(Q

ΩD3,

µ

ρΩD2,κ

D,LiD,αi

)(6.4)

η = fun4

(Q

ΩD3,

µ

ρΩD2,κ

D,LiD,αi

)(6.5)

donde las funciones fun1 − fun4 se determinan de forma experimental. No obstante, el espectroparamétrico es aún muy elevado, y es necesario evaluar qué parámetros adimensionales sonrealmente importantes en la caracterización de la bomba. Para Re 1 y κ/D 1 los efectos dela viscosidad y de la rugosidad pueden despreciarse, respectivamente, en primera aproximación.Si además consideramos máquinas que son geometricamente semejantes, tanto los ángulos comolas longitudes se pueden eliminar de la relación funcional anterior, pero los resultados seránválidos para esa familia de máquinas, exclusivamente. En estas condiciones, observamos que loscoeficientes altura, potencia y par cumplen

gH

Ω2D2= fun1

(Q

ΩD3

),

W

ρΩ3D5= fun2 =

T

ρΩ2D5= fun3

(Q

ΩD3

)(6.6)

donde la igualdad fun2 = fun3 se ha obtenido a partir de la relación W = ΩT . El rendimiento de labomba, el cociente entre la altura suministrada al fluido entre la altura máxima proporcionada porla turbomáquina, es ya un parámetro adimensional, el cual depende puede representarse como

η =ρgHQ

W= fun4

(Q

ΩD3

)(6.7)

indicando que el rendimiento no depende, o depende muy poco, de la viscosidad.Para el caso de turbinas, el análisis es análogo pero considerando ∆pt = ρgH en lugar de Ω la

terna de parámetros dimensionalmente independientes. Haciendo uso de las hipótesis anteriores(Re 1, κ/D 1, y máquinas semejantes) encontramos que

Qρ1/2

D2∆p1/2t

= fun5

(ΩDρ1/2

∆p1/2t

),

W ρ1/2

D2∆p3/2t

= fun6

(ΩDρ1/2

∆p1/2t

),

T

D3∆pt= fun7

(ΩDρ1/2

∆p1/2t

), (6.8)

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s


para el coeficiente de apertura, coeficiente de potencia y coeficiente de par, respectivamente. Elrendimiento de la turbina

η = fun8

(ΩDρ1/2

∆p1/2t

)(6.9)

puede expresarse también como función de la altura característica de la turbina.

6.3.2 Curvas características

Como se ha demostrado en el apartado anterior, el uso de la teoría adimensional permite obtenerrelaciones funcionales con un menor número de parámetros independientes. En particular, parabombas semejantes, se tiene que la energía específica adimensional gH/(Ω2D2) depende exclusiva-mente del caudal adimensional Q/(ΩD3).

Propongamos el siguiente ejemplo ilustrativo. Supongamos que tenemos tres bombas, seme-jantes físicamente, que cumplen D1 < D2 < D3, y que giran a distintas velocidades, cumpliendoque Ω1 < Ω2 < Ω3. Si realizamos una batería de experimentos con cada una de las bombas parareproducir la altura específica gH en función del caudal Q obtendremos tres curvas diferentes,representadas en la figura 6.1-izquierda, las cuales cumplen que gH1 < gH2 < gH3 para cadavalor determinado de caudal. Si por el contrario representamos los parámetros adimensionalesencontramos que, como se muestra en la figura 6.1-derecha, las tres curvas colapsan en una únicafunción. Resulta obvio la ventaja de usar teoría dimensional para cuantificar el funcionamiento dediferentes bombas semejantes en diferentes condiciones, pues nos permite, a partir de una únicacurva, barrer todo el espectro paramétrico de interés.

gH

Q

D2

Ω2

D1

Ω1

D3

Ω3

Q

ΩD3

gH

Ω2D2

Figura 6.1. Altura específica en función del caudal para tres bombas semejantes de diferente tamaño yvelocidad de giro en variables dimensionales (izquierda) y variables adimensionales (derecha).

Cuando una turbina tiene álabes variables en el distribuidor, la turbina deja de ser geometrica-mente semejante consigo misma, por lo que el parámetro asociado a la orientación de los álabeshabría de ser tenido en cuenta en el análisis adimensional. Es decir, las funciones asociadas a loscoeficientes de apertura, potencia y par y rendimiento dependerán, además de

(ΩDρ1/2

)/∆p

1/2t ,

del ángulo α.

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s


El mismo análisis puede realizarse para el resto de variables dependientes presentadas: potencia,par y rendimiento, obteniéndose curvas como las mostradas en la figura 6.2-izquierda, parabombas, y en la figura 6.2-derecha, para turbinas. En azul se ha representado la curva asociada alrendimiento de la turbomáquina y en rojo se ha señalado el valor de cada variable en el punto defuncionamiento asociado al máximo rendimiento. Dichos valores son de gran importancia prácticapues la turbomáquina utilizada para trabajar en una determinada instalación se seleccionará paratrabajar, en la medida de lo posible, en su punto de máximo rendimiento.

Wρ1/2

D2∆P3/2t

Qρ1/2

D2∆P1/2t

Q

ΩD3

gH

Ω2D2

η

ηmax

ΩDρ1/2

∆P1/2t

η

ηmax

T

D3∆Pt

bomba: turbina:

T

ρΩ2D5=

W

ρΩ3D5

Figura 6.2. Curvas adimensionales características para bombas (izquierda) y turbinas (derecha)

6.3.3 Velocidad, potencia y diámetro específicos

Supongamos que necesitamos una bomba para instalarla en un sistema hidráulico que tiene unasdeterminadas necesidades de caudal Q y altura manométrica Hm, y con una velocidad de rotaciónΩ impuesta por el motor eléctrico disponible. Para decidir qué tipo de bomba es más convenienteinstalar, en base a algún criterio práctico tenga en cuenta dichos parámetros, podemos ayudarnosde la teoría dimensional. Con esta idea se define

Ωs =(Q/(ΩD3))

1/2

(gH/(Ω2D2)3/4)

∣∣∣∣∣η=ηmax

=ΩQ1/2

(gH)3/4

∣∣∣∣η=ηmax

(6.10)

como la velocidad específica, una magnitud adimensional que relaciona la velocidad de rotación, laaltura de la bomba y el caudal en condiciones de máximo rendimiento (puntos rojos en la figura6.2-izquierda).

De forma análoga se define la potencia específica

Ws =

[W

ρD2(gH)3/2

]1/2 [ΩD√gH

]∣∣∣∣∣∣η=ηmax

=ΩW 1/2

ρ1/2(gH)5/4

∣∣∣∣∣η=ηmax

, (6.11)

especialmente útil para clasificar turbinas. Es inmediato comprobar que la velocidad y la potenciaespecífica quedan relacionas entre sí mediante el rendimiento de la turbomáquina, quedandoη1/2 = Ωs/Ws en el caso de bombas, y η1/2 = Ws/Ωs en el caso de turbinas. Queda claro que ni la

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s


velocidad ni la potencia específica dependen del tamaño de la turbomáquina, pues son parámetrosintrínsecos a la forma o geometría del rodete correspondiente. Esta cualidad es especialmenteútil, pues permite clasificar los diferentes tipos de turbomáquinas en función de los parámetros dediseño Ωs y Ws, a través una simple tabla.

Bombas Ωs Turbinas Ws

Centrífuga 0.2 < Ωs < 2 Impulso (Pelton) 0.02 < Ws < 0.3

Semiaxial 1.3 < Ωs < 4 Centrípetas (Francis) 0.3 < Ws < 2.5

Axial 3 < Ωs < 6 Axiales (Kaplan) 2.3 < Ws < 6

Table 6.1. Tipos de turbomáquinas en función de la velocidad y potencia específica.

De una primera inspección en 6.1 se deduce que la configuración axial, tanto en bombascomo en turbinas, es adecuada para instalaciones que demandan gran caudal y saltos energéticosrelativamente pequeños. Lo primera cualidad es debida a que, en máquinas axiales, la direcciónprincipal del flujo en el rodete coincide con la dirección de propagación del mismo. La segundacualidad ocurre porque, al contrario que ocurre en máquinas radiales, la variación de energíaespecífica en el rodete no tiene contribución centrífuga.

Para completar el proceso de selección de turbomáquina en una determinada instalación esnecesario proporcionar información sobre el tamaño característico de la bomba o turbina. Para talefecto se define el diámetro específico

Ds =D(gH)1/4

Q1/2

∣∣∣∣η=ηmax

(6.12)

relacionado con la velocidad específica de la máquina a través del diagrama de Cordier.

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s


Ωs

Ds

100

10

1

0.11001010.1

radi

alm

ixta

axia

l

Figura 6.3. Diagrama de Cordier

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

65

Cavitación

7.1 Introducción

La cavitación es un fenómeno físico que describe la aparición burbujas de vapor en un líquidoinicialmente homogéneo debido a valores muy bajos de la presión. El cambio de fase tiene lugar atemperatura constante o casi constante, diferenciando la formación de burbujas debido a cavitaciónde la inducida por un aumento de temperatura durante la ebullición de un líquido. Esta definiciónde cavitación introduce el concepto de una presión límite o presión de vapor pv por debajo de lacual no se puede asegurar la cohesión del líquido (ver Fig.7.1).

La aparición de regiones de baja presión en un líquido es un fenómeno muy conocido y tienelugar en muchas aplicaciones. Una de las más conocidas es el flujo a través de un tubo de venturi,donde la disminución de presión en la zona de menor sección puede inducir cavitación si la presiónalcanzada es suficientemente baja. Otro ejemplo común es el flujo alrededor de un álabe con unángulo de ataque determinado. Como ya vimos en el capítulo ??, la sustentación se genera por unadiferencia de presión entra las dos caras del álabe. En la región de menor presión, generalmente elextradós del álabe, la disminución de la presión puede dar lugar a la formación de estructuras deburbujas muy características. (En la web hay una gran multitud de ejemplos. Véase por ejemplo laformación de burbujas en hélices1 y álabes 2)

Las burbujas de vapor generadas durante la cavitación son transportadas por el flujo y, al llegara una región de mayor presión, se produce un colapso violento debido a las grandes diferenciasde presión existentes entre el gas situado en el interior de la burbuja, a presión igual a la presiónde vapor, y el líquido que rodea la burbuja. Ese colapso violento, traducido en ondas de presiónde gran intensidad, provoca una reducción drástica del rendimiento de la turbomáquina ya queinduce la aparición de nuevas fuerzas sobre la estructura del sistema, genera ruidos y vibraciones yerosiona los elementos mecánicos 3. En la mayoría de las aplicaciones, la cavitación es un fenómenopernicioso que debe evitarse o mitigarse. Sin embargo, existen sistemas singulares en los que sepromociona la aparición de cavitación para concentrar energía en pequeñas superficies e inducir,así, picos de presión para la limpieza de superficies, dispersión de partículas, masajes terapéuticos...

En flujos sin cavitación, la presión de referencia del fluido carece de interés, y nuestra atenciónse centra en los gradientes de presión. La aparición de la cavitación otorga al nivel de presión unagran importancia, pues ella determina si se produce o no el cambio de fase. El grado de desarrollo

1http://i.ytimg.com/vi/SEvxngv-dkY/maxresdefault.jpg2http://tpe-hydroptere.wifeo.com/images/cavitation-50-noeuds.JPG3https://i.ytimg.com/vi/FH1GJ2UglWM/hqdefault.jpg

http://i.ytimg.com/vi/SEvxngv-dkY/maxresdefault.jpg

http://tpe-hydroptere.wifeo.com/images/cavitation-50-noeuds.JPG

https://i.ytimg.com/vi/FH1GJ2UglWM/hqdefault.jpg

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

66 7. Cavitación

Figura 7.1. Diagrama de fase del agua indicando la diferencia entre la cavitación y la ebullición.

de la cavitación se mide a través del parámetro adimensional de Thoma, definido como

σ =pref − pv

∆p, (7.1)

donde pref y ∆p representan una presión de referencia y una variación de presión de referencia,respectivamente. El comienzo de la cavitación generalmente tiene lugar cuando σ alcanza unvalor igual o menor al valor crítico crítico σi, que depende de factores tales como la geometría, laspropiedades del fluido (viscosidad y densidad), tensión superficial, nivel de turbulencia ... Conesta definición, no esperamos cavitación mientras σ > σi. La cavitación se inicia a partir pequeñosnúcleos transportados por el flujo y que se revelan como puntos débiles en el líquido. El ejemplomás común es el de las microburbujas generadas por inclusiones de aire o gas, de tamaños delorden del micrómetro, que son arrastradas por el líquido y que dan lugar a la formación de burbujasde gas de mayor tamaño cuya dinámica resulta fundamental en el estudio de la cavitación y susefectos. En las regiones de baja presión, la burbuja generada aumenta su tamaño a medida queel líquido cambia de fase. Ese periodo de crecimiento acaba cuando la burbuja es transportada auna región de mayor presión y el radio de la burbuja comienza a decrecer hasta, eventualmente,llegar a colapsar generando picos de presión que erosionan la superficie de los componentes de lasturbomáquinas. El daño generado es muy característico y se manifiesta en forma de agujeros en lasuperficie de los componente con diámetros de unas cuantas micras y profundidades pequeñascomparadas con su diámetro. El daño que induce la cavitación depende de la velocidad del flujocuando la velocidad de éste supera el valor límite de 15 ó 20 m/s. Por encima de esa cifra, el efectode la erosión por cavitación crece rápidamente con la velocidad. Teniendo en cuenta que paraproducir ese daño en los materiales es necesario que las cargas a que están sometidos generendeformaciones plásticas, la presión generada en el colapso de una burbuja debe estar por encima

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

7.2. Efectos de la cavitación 67

de los 400 MPa o 4000 bares 4. Usando el resultado derivado por ?, para una burbuja aislada enun medio infinito, es posible escribir la variación de la presión p(r, t) en el líquido que rodea a laburbuja

p− p∞p∞ − pv

=R

3r

[(R0

R

)3

− 4

]− R4

3r4

[(R0

R

)3

− 1

], (7.2)

donde r es la distancia al centro de la burbuja, p∞ es la presión lejos de la burbuja, R0 es el radioinicial de la burbuja y R(t) su valor en el instante t. La ecuación (7.2), válida para valores pequeñosdel cociente R/R0, se representa en la figura 7.2 para diferentes instantes de tiempo en los que laburbuja tiene un radio R/R0 = (0.2, 0.3, 0.5). A partir de esa expresión podemos obtener el valormáximo de la presión,

pmax − p∞p∞ − pv

=

[1

4

(R0

R

)3

− 1

]4/3

[(R0

R

)3

− 1

]1/3(7.3)

que se alcanza a distancias radiales r/R = [(R0/R)3 − 1]/[(R0/R)3/4− 1]1/3, crece para darvalores tan altos como pmax = 1230 atm para burbujas pequeñas R0/R = 20 con una presión devapor pv = 0.023 atm. 5.

La evolución del tamaño de la burbuja en el seno de un fluido está determinado por la ecuaciónde Rayleigh-Plesset:

pb(t)− p(t)ρliq

= Rd2R

dt2+

3

2

(dR

dt

)2

+4µliq

Rρliq

dR

dt+

2Sliq

Rρliq

, (7.4)

donde Sliq es la tensión superficial del líquido. La peculiaridad de está ecuación es que predicecomportamiento muy asimétricos con respecto a radios mayores o menores al radio de equilibrioR0.Cuando el radio R R0, la velocidad de expansión o compresión de la burbuja es relativamentelenta, al contrario que en el caso R R0, donde la burbuja cambia de radio de forma muy brusca,lo que favorece el fenómeno de colapso que posteriormente se traduce en la emisión de ondas depresión muy energéticas.

7.2 Efectos de la cavitación

La cavitación puede dañar de forma muy severa la superficies sólidas de las turbómaquinas. Elefecto de la cavitación se suele medir a través del ritmo de pérdida de masa por el sólido m. Parasu cuantificación es necesario tener en cuenta tanto los aspectos hidrodinámicos del flujo como laspropiedades de los materiales que forman los álabes y la carcasa de la turbomáquina.Desde el punto de vista del fluido, las burbujas de vapor se producen en las regiones de bajapresión y pueden colapsar de forma violenta originando la erosión de las paredes sólidas. Los altos

4Valor de la resistencia elástica en una acero inoxidable5Valor de la presión de vapor del agua a 20ºC

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

68 7. Cavitación

0 1 2 3 4 5

r/R0

0

5

10

15

20

p(r)−p ∞

p ∞−p v

RR0

= 0.5

0 1 2 3 4 5

r/R0

0

5

10

15

20

p(r)−p ∞

p ∞−p v

RR0

= 0.3

0 1 2 3 4 5

r/R0

0

5

10

15

20

p(r)−p ∞

p ∞−p v

RR0

= 0.2

Figura 7.2. Variación radial de la presión en función del radio de la burbuja R/R0 durante el colapso.

Figura 7.3. Evolución típica de la cavitación con el tiempo de exposición

niveles de tensión que siguen al colapso de las burbujas son los responsables de los daños causados.Entre los factores hidrodinámicos que más influyen en los daños causados por la cavitación está lavelocidad relativa del líquido respecto del sólido. Para velocidades del fluido por debajo de unlímite, los daños por cavitación serán nulos. Esa dependencia con la velocidad se suele expresara través de la expresión empírica m = A(v − v0)n, donde 4 < n < 9, A es una constante y v0

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

7.3. Origen y descripción de la cavitación en bombas 69

representa el límite de velocidad por debajo de la cual no hay erosión por cavitación en el materialconsiderado. Por ejemplo, para agua sobre acero inoxidable, v0 ' 20 m/s.El segundo factor que más influye sobre los daños inducidos por la cavitación es el tiempo deexposición. De forma general, a grandes rasgos podemos distinguir cuatro fases en la evolución dela cavitación (véase la figura 7.3):

• Un periodo inicial de incubación en las que los daños se limitan a la formación de muescasde sección circular y profundidad variable (pitting) de las superficies sólidas, pero en las queno existe pérdida de material. La duración de esa fase inicial Ti depende de factores comoel tipo de flujo y el material que compone la superficie sólida. Las muescas generadas sonpequeñas y la probabilidad de superposición de las mismas es pequeña. Algunos autores hanrelacionado el ritmo de formación de las muescas con la velocidad del flujo a través de leyesdel tipo vα con α ∼ 6.

• A esa primera fase de incubación le sigue otro periodo en la que la pérdida de masa se acelerarápidamente hasta alcanzar el ritmo máximo de erosión mmax. La duración del tiempo deincubación Ti se relaciona con mmax mediante la relación Ti mmax =Cte.

• Durante la fase estacionaria, de duración relativamente larga, el ritmo de pérdida de masa esconstante m = mmax.

• Para periodos de exposición muy largos, el ritmo de pérdida de material se desaceleralentamente en la llamada fase de atenuación.

En realidad, el desarrollo esquemático representado en la figura 7.3 es muy general y puedenaparecer curvas muy distintas en función del material o el flujo considerado. El efecto de lacavitación puede incrementarse en flujos no estacionarios debido al colapso colectivo de burbujasinducidas por flujos auto-oscilatorios, situación que puede llegar a ser mucho más violenta que elcolapso de burbujas individuales. Esto es, la onda de presión de una primera burbuja que sufrecolapso puede inducir el colapso del resto de burbujas cercanas, las cuales añadirán fuentes depresión propias que incrementarán la intensidad de la onda primogénita.Durante el colapso de las burbujas de vapor se generan ondas de presión que golpean el sólido.Suponiendo que éste tiene un cierto comportamiento elástico, parte de la energía de la onda dechoque se absorbe por parte del sólido, parte se refleja y regresa al fluido y el resto se transmite porel sólido. La magnitud de la energía que se absorbe, se refleja de vuelta al fluido o se transmitepor el sólido depende tanto de la naturaleza del fluido como del material del que está hecho elsólido. En el caso de agua, la onda de presión prácticamente no se atenúa cuando incide sobremetales como el aluminio o el acero inoxidable. Por el contrario, si el líquido es mercurio, casi unatercera parte de la energía de la onda de choque se disipa al incidir sobre una superficie de aceroinoxidable.

7.3 Origen y descripción de la cavitación en bombas

La cavitación es el proceso de formación de burbujas en las regiones de baja presión del flujo.Para determinar la región donde es más probable que aparezca cavitación dentro de una bomba,considere la instalación esquematizada en la figura 7.4 en la que una bomba extrae agua desde un

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

70 7. Cavitación

ze2

ze1

z0

z − z0

pv

pa − ρv2/2pe1pe2

px1

px2

tan γ = ρg

∆pm

∆pm

p

pa

Q Q

Figura 7.4. Esquema de aspiración de una bomba para determinar las condiciones críticas de cavitación enlas secciones de mínima presión absoluta. La curva verde y roja representan el perfil esquematizado de laspresiones en función de la posición de la bomba, baja y alta aspiración respectivamente.

depósito. Planteando la ecuación de la energía entre el punto 0 y la entrada a la bomba, obtenemos

pe +1

2ρv2

e + ρgze = pa + ρgz0 − ρg∆H0e (7.5)

con ∆H0e representando todas las pérdidas de altura generadas desde el depósito hasta la entradade la bomba. Contrariamente a la que podríamos esperar, el punto de mínima presión no seencuentra a la entrada de la bomba, sino en algún punto en su interior inducido por el movimientode los álabes. Para caracterizar la presión mínima alcanzada en el interior de la turbomáquina seutiliza el coeficiente de presión ε, definido como

ε =pe − pxρw2

1/2(7.6)

Si el valor de ε se puede obtener de alguna forma, sería posible obtener el valor de la presión deentrada que induce cavitación en el interior de la máquina cuando px = pv. Usando el coeficientede presión, la presión mínima en el interior de la bomba se puede escribir como

px = pa − ρg∆H0,e − ρg(ze − z0)− 1

2ρv2

e −1

2ερw2

1 . (7.7)

La figura 7.4 ilustra dos casos claramente diferenciados para una misma bomba y unas mismascondiciones de operación ∆pm y Q. Para el caso de la bomba en color verde, situada a menos alturacon respecto a la superficie libre, la presión mínima px1 es mayor a la presión de vapor pv, porlo que no hay riesgo de cavitación. Cabe mencionar que la variación de la presión con la alturadp/(dz) = ρg tiene la pendiente tan γ = ρg para el caso ideal (sin pérdidas de fricción en la tubería)y una pendiente mayor para el caso con pérdidas dp/(dz) ∼ ρg + ρv2λ/(2gD). Es inmediato añadir

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

7.3. Origen y descripción de la cavitación en bombas 71

el efecto de pérdida de carga de elementos locales como válvulas, filtros, etc. Se observa que cuantomayor es la caída de presión en la aspiración más peligroso es para el funcionamiento la bombapor lo que la posición de la bomba está limitada por este factor. Por ejemplo, la curva roja de lafigura 7.4 determina, para unas condiciones determinadas, la altura máxima de aspiración de labomba, puesto que el valor de la presión mínima px2 es igual a la presión de vapor. Dicha alturamáxima de aspiración, por encima de la cual aparece cavitación dentro de la bomba, es

∆zmax =pa − pvρg

−∆H0,e −v2e

2g− εw

21

2g.

A partir de la ecuación de la energía (7.5) es posible definir la altura necesaria para evitarcavitación

HN =v2e

2g+ ε

w21

2g(7.8)

y la altura disponible en la instalación

HD =pa − pvρg

− (ze − z0)−∆H0,e (7.9)

lo que permite definir HD > HN como la condición de no cavitación. La altura necesaria dependede la bomba y es un dato que aportan los fabricantes, mientras que la altura disponible dependede la instalación y es necesario calcularla. Formalmente, la cavitación aparece cuando la alturadisponible es igual a la requerida HD = HN = H∗D. Ese valor de la altura necesaria se denominadahabitualmente NPSH o "net positive suction head".Tanto HD como HN dependen del punto de funcionamiento de la bomba y, en consecuencia, delcaudal Q. Si bien es fácil predecir que la altura disponible disminuye con el cuadrado del caudal,la variación de la altura requerida con Q es algo más compleja debido a la dependencia de ε conel flujo volumétrico fuera del punto de diseño. De forma esquemática, su variación se representaen la figura 7.5. Para determinar el comportamiento de una bomba ante cavitación, es común queel fabricante realice una seria de pruebas para determinar el valor del NPSH que será de granutilidad después a los usuarios que operen con ella. El ensayo más sencillo consiste en modificar laaltura de succión de la bomba para modificar gradualmente la altura disponible HD definida en(7.9). Al mismo tiempo que se aumenta la altura de succión, se mide la altura de la bomba H y laeficiencia η proporcionadas por la bomba. Tal como se explicó en el capítulo 6, ni la altura de labomba H ni el rendimiento η son función de la altura de succión (ze − z0) en bombas funcionandosin cavitación. Cuando ésta aparece, se observa un brusco cambio en los valores de H y η, talcomo se esquematiza en la figura 7.6. Ese valor de la altura de succión define el valor críticode H∗D que hemos denominado NPSH. Una forma alternativa de medir el NPSH de una bombapropone modificar el caudal impulsado modificando, al mismo tiempo, los valores de HN y HD

como se muestra en la figura 7.5. Mientras HD > HN , es posible dibujar la curva característicade la bomba H vs Q que se esquematiza en la figura 7.6. Al alcanzar el caudal crítico en el queHD = HN = NPSH , la curva característica de la bomba cambia de forma abrupta definiendo elcaudal critico que permite calcular H∗D a partir de (7.9). Para evitar cambios relacionados con elrégimen de giro de la bomba Ω, es conveniente realizar el experimento teniendo en cuenta losparámetros adimensionales.

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

72 7. Cavitación

HN

HD

QcavitaQ0 Q

Figura 7.5. Variación de la altura necesaria H∗N y disponible H∗D con el caudal Q para una velocidad de girode la bomba Ω.

Figura 7.6. Ensayo para la medición del NPSH modificando la altura disponible a caudal constante (figuraizquierda) o modificando el caudal que circula por la bomba (figura derecha).

De las figuras 7.6 es fácil darse cuenta que el comportamiento de bombas que cavitan es muydiferente de aquellas en las que el fluido de trabajo se encuentra únicamente en una fase. Por esemotivo, es necesario modificar el análisis dimensional que se hizo en el capítulo 6 para incluir laaltura disponible en la instalación como un parámetro adicional a tener en cuenta. De esa forma,podemos escribir

gH

Ω2D2= fun1

(Q

ΩD3,gHD

Ω2D2

)= fun1

(Q

ΩD3,gHD

gH

)(7.10)

W

ρΩ3D5= fun2

(Q

ΩD3,gHD

Ω2D2

)= fun2

(Q

ΩD3,gHD

gH

)(7.11)

η = fun3

(Q

ΩD3,gHD

Ω2D2

)= fun3

(Q

ΩD3,gHD

gH

)(7.12)

donde el parámetro σ = HD/H se denomina el parámetro de Thoma y cuantifica la respuesta dela bomba tras la aparición de cavitación. Mientras σ > σi, no aparecerá cavitación en la bomba.

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

7.4. Cavitación en turbinas. 73

El valor crítico del parámetro de Thoma σi = H∗D/H es únicamente función de la bomba y, comovimos más arriba en 7.5, del parámetro de caudal σi = fun4(Q/(ΩD3)).

7.4 Cavitación en turbinas.

zs

z0

pv pa − ρv2/2ps

px

tan γ = ρg

∆pn

p

pa

Q

difusor

pa

con difusor

sin difusor

Figura 7.7. Esquema de una turbina para determinar las condiciones críticas de cavitación en las seccionesde mínima presión absoluta. La curva gris y negra representan el perfil esquematizado de las presiones enfunción de si existe, o no, difusor ideal.

La cavitación en turbinas tiene lugar en la región de baja presión cercana a la salida del rodete,donde las velocidades absolutas son elevadas. Si usamos el esquema de la figura 7.7, podemosplantear la ecuación de la energía entre la salida de la turbina y la superficie del agua en el canal dedesagüe

ps = pa − ρg∆z + ρg∆Hs,0 − χ1

2ρv2

s , (7.13)

donde ∆z representa la diferencia de cota y ρg∆Hs,0 la pérdida de carga entre los dos puntosrespectivamente. El parámetro χ representa el coeficiente de recuperación del difusor en la secciónde salida de la tubería. En ausencia de difusor, χ = 0, la tubería descarga directamente a lascondiciones de salida y la energía cinética del fluido se disipa durante el frenado. En el caso disponerde un difusor ideal a la salida, χ = 1, donde la sección de la tubería aumenta progresivamente detal forma que el fluido se desacelera de forma isentrópica, el fluido pierde velocidad recuperandopresión estática. Esto es, la descarga no involucra pérdida de energía mecánica. El difusor espor tanto útil para obtener la máxima potencia en la instalación de la turbina. El efecto para lacavitación es, como veremos, el opuesto al deseado.

Como en el caso de las bombas, el punto de mínima presión se encuentra en el interior de laturbina, pero en este caso se relaciona con la presión en la sección de salida de la misma a travésdel coeficiente de presión ε definido más arriba. De esta forma, la presión mínima en la turbina se

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

74 7. Cavitación

escribe como

px = ps − ε1

2ρw2

2 (7.14)

siendo w2 la velocidad relativa en la sección de salida de la turbina. La condición de cavitación seráentonces

px = pa − ρg∆z + ρg∆Hs,0 − χ1

2ρv2

s − ε1

2ρw2

2 < pv. (7.15)

En contraposición a las bombas, la pérdida de carga en el desagüe de la turbina mejora el compor-tamiento de la bomba frente a cavitación. Por ese motivo, a diferencia de las bombas, las alturasnecesaria y disponible pasan a ser

HN = χv2e

2g+ ε

w22

2gy HD =

pa − pvρg

−∆z + ∆Hs,0 , (7.16)

respectivamente. De forma semejante a lo que ocurre en bombas, la cavitación aparece cuandoHD = HN = H∗D. Se observa que las pérdidas en la tubería de salida son beneficiosas para evitarla cavitación (no para el rendimiento de la instalación) y, por el contrario, el difusor es perniciosopara la cavitación (pero útil para el rendimiento de la instalación).

A partir de (7.15) es fácil determinar la máxima diferencia de cota entre la salida de la turbina yla superficie de agua del desagüe para evitar cavitación

∆zs <pa − pvρg

+ ∆Hs,0 − χv2s

2g− εw

22

2g=pa − pvρg

− σiHN (7.17)

Esta expresión nos indica que un aumento de la altura neta implica una disminución de la diferenciade cotas entre la salida de la turbina y el nivel de agua del desagüe. Para alturas muy elevadaspuede ser necesario que ∆zs < 0 y que la turbina se sitúe por debajo del nivel de agua en el canal.

7.5 Velocidad específica de aspiración

Como alternativa al parámetro de Thoma se define la velocidad específica de aspiración en unintento de definir una variable adimensional que indique la aparición de cavitación. Este parámetrose define como

S =ΩQ1/2

(gH∗D)3/4)=

Ωs

σ3/4(7.18)

donde Ωs = ΩQ1/2/(gH)3/4 es la velocidad específica, definida en el capítulo 6, y σ es el parámetrode Thoma. En el punto de cavitación incipiente, ese parámetro toma un valor S = Si.Profundizando en el uso de este parámetro, se define el parámetro σi,max o, equivalentemente, Si,max.Este valor nos indica cuando aparece la cavitación en un punto de funcionamiento que coincide conel de máximo rendimiento. El valor de Si,max es constante y no depende del tipo de bomba consid-erada, característica que explica, junto a su mayor representatividad del fenómeno de cavitación, lapreferencia de uso del mismo frente al parámetro de Thoma por parte de los usuarios y diseñadores .

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

7.5. Velocidad específica de aspiración 75

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

77

Acoplamiento en Instalaciones Hidráulicas

De forma general, una turbomáquina se instala en una red de tuberías que suministran el fluido detrabajo y lo dirige hacia su aplicación final. Asociada a esas redes de alimentación aparecen unaspérdidas de energía que conforman la llamada curva resistente. La intersección con la curva de laturbomáquina determina el caudal se puede desplazar con ella a través de ese sistema de tuberías ydetermina la turbomáquina a utilizar en función de los criterios de diseño. Este capítulo analiza eseproceso de selección e introduce algunos métodos de variación de caudal para bombas y turbinas.

8.1 Tiempos característicos

El proceso de carga y descarga de un depósito es un proceso intrínsecamente no estacionario almodificarse las condiciones de contorno del problema a medida que el/los depósito/s se llenan ovacían. Para analizar el problema, supongamos una instalación como la representada en la figura8.1, en la que un bomba trasiega el agua desde un depósito inferior hasta un depósito superior através de una tubería de diámetro D. Desde un punto de vista estricto, el análisis de problemanecesita de la integración de la ecuación de la energía no estacionaria que tenga en cuenta lavariación de las alturas de agua en ambos depósitos con el tiempo. Si escribimos la ecuación (2.15)aplicada a un tramo de tubería de longitud dx

dU

dt+

d

dx

(U2

2+p

ρ+ gz

)=

dW/dx

ρQ− 1

2U2 λ

D, (8.1)

donde dW/dx representa el trabajo aportado al fluido por unidad de longitud de la tubería yλ1 = λ2 = λ. Integrando la ecuación anterior entre los puntos 2 y 5, finalmente tenemos(

p5

ρ+ gz5

)−(p2

ρ+ gz2

)=WB

ρQ− U2

2

λ(L1 + L2)

D−∫ 5

2

dU

dtdx (8.2)

El último término de la ecuación representa la inercia del fluido y, junto con la fricción, contribuyea reducir el aumento de la presión reducida P = p+ ρgz del fluido inducida por la bomba WB. Laecuación (8.2) debe ser integrada con las condiciones de contorno del problema en los puntos 2 y 5del diagrama,

p2 + ρgz2 = pa + ρgh1 − U2/2 y p5 + ρgz5 = pa + ρg(h2 +H2) (8.3)

que acopla el valor de la velocidad del fluido en la tubería U con la altura de agua en ambosdepósitos. El ritmo de variación de la altura de los depósitos se puede obtener fácilmente aplicando

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

78 8. Acoplamiento en Instalaciones Hidráulicas

la ecuación de continuidad, de forma que

Addh1

dt= −Q(t) y Ad

dh2

dt= Q(t), (8.4)

con h1(t = 0) = h0,1 y h2(t = 0) = h0,2 y siendo Ad es la sección transversal de ambos depósitos, quesupondremos igual por simplicidad. Adicionalmente, en bombas de velocidad de giro variablees necesario incluir una ecuación que describa la variación temporal de la potencia transferida alfluido durante el cambio de velocidad

I

2

dΩ2

dt= WB − We (8.5)

siendo I el momento de inercia de la bomba y We la potencia del motor (eléctrico o de cualquierotro tipo) utilizado para mover la bomba. En el sistema a resolver, formado por ecuaciones (8.2),(8.3), (8.4) y (8.5) aparecen tres tiempos característicos 1:

1. El tiempo de descarga del depósito td = (Adh0,1)/(UcA), estimado a partir de (8.4).

2. El tiempo característico de aceleración del fluido en el conducto tacel = (L/Uc)/(1 + λL/D)

obtenido de comparar el término no estacionario y el término de aceleración convectiva en(8.2).

3. El tiempo característico de variación de la potencia aportada por la bomba tB = IΩ2c/Wc

estimado a partir de (8.5) con los valores de velocidad de giro Ωc y la potencia de la bombaWc característicos y correspondientes con el punto de máximo rendimiento de la bomba. Elmomento de inercia de una bomba se relaciona con Wc y Ωc partir de la relación empíricaI = C(Wc/Ω

3c)α donde α y C son constantes de orden unidad obtenidas a partir proporcionados

por fabricantes en ?. Usando ese resultado, obtenemos tB = 1/Ωc. Habitualmente, comose vió en capítulo de análisis dimensional, turbomáquinas de gran tamaño tiene asociadasvelocidades de giro en el punto de máximo rendimiento pequeñas, lo cual se asocia contransitorios al modificar el régimen de giro más largos que máquinas pequeñas con altavelocidad de giro.

Si comparamos el tiempo de descarga td y el tiempo característico de aceleración del fluido en elconducto tacel obtenemos

tdtacel

=Adh0,1

LA(1 + λL/D) 1 (8.6)

tdtB

=Ω

(UcA)/(Adh0,1) 1, (8.7)

La ecuación (8.6) indica que el tiempo de descarga es mucho mayor que el tiempo de aceleracióndel fluido en el conducto si el volumen de líquido en los depósitos es mucho mayor que el volumende líquido en la tubería, condición que se cumple en la mayoría de las aplicaciones y que nospermite olvidarnos de la inercia del fluido dU/dt en las tuberías.

1Un cuarto tiempo característico, el tiempo acústico ta = L/c, con c la velocidad del sonido en el fluido, puedellegar a ser relevante en fenómenos extremos como el golpe de ariete, que puede aparecer en el cierre o apertura deelectroválvulas.

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

8.2. Punto de funcionamiento en instalaciones de bombeo. 79

z

h2

h1

b

b

b

b

b

1

2

3

4

5

λ1, L1

pa

pa

H2

λ2, L2

Q

Q

Figura 8.1. Esquema de una instalación de bombeo entre dos depósitos.

La ecuación (8.7), por otro lado, indica que el tiempo de variación del régimen de giro en la bombaes mucho menor que el tiempo de descarga, por lo que las curvas características de la bombapueden usarse para los distintos caudales independientemente de que el régimen de giro de labomba pudiera cambiar durante el tiempo de descarga o de carga de los depósitos. De formageneral, es común asumir que el las turbomáquinas funcionan de forma casi-estacionaria de maneraque aunque los valores de caudal Q y velocidad de giro Ω puedan cambiar con el tiempo, susvalores instantáneas determinan tanto el par T como la altura H de la turbomáquina. Esto es ciertosiempre y cuando el tiempo de residencia del fluido en el interior de la máquina sea pequeñotr = Vf/Q tB = Ω−1

c , siendo Vf el volumen de fluido en el interior de la máquina.

8.2 Punto de funcionamiento en instalaciones de bombeo.

Para ilustrar el cálculo del punto de funcionamiento en una instalación de bombeo utilizamosla situación esquematizada en la figura 8.1. En ella, una bomba con curva característica HB(Q)

transfiere un fluido de densidad ρ y viscosidad µ desde el depósito inferior a un depósito superior através de una tubería de longitud L1 +L2 y diámetro D. Para simplificar el problema, supondremosque el número de Reynolds del movimiento en la tubería es suficientemente alto como paraconsiderar el coeficiente de fricción λ1 = λ2 constante. Para calcular la altura resistente, escribimosla ecuación de la energía (2.15) entre los puntos 2 y 5 de la figura

ρQ

(p5

ρ+

Q2

2A2+ gz5

)− ρQ

(p2

ρ+

Q2

2A2+ gz2

)= ρQgHB − ρQ

Q2

A2

λ1L1 + λ2L2

D, (8.8)

donde A = πD2/4 el área de la tubería. El último término a la derecha del igual representa laspérdidas primarias en las tuberías. Las pérdidas secundarias a la salida del depósito inferior y encualquier otro elemento de la red que pudiera inducir pérdidas adicionales (válvulas, codos ...)se consideran despreciables en este análisis simplificado. Para obtener la presión en el punto 2,usamos la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2, de forma que p2/ρ+Q2/(2A2) = pa/ρ+ gh1.Por otro lado, teniendo en cuenta que p5 = pa + ρgh2, que z5 = H y z2 = 0, la ecuación anterior

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s


toma la forma

HB = H2 + h2 − h1 +Q2

2gA2

(1 +

(λ1L1 + λ2L2)

D

)= Hr,1, (8.9)

a partir de la cual es posible obtener el caudal Q que la bomba es capaz de desplazar. Según estaexpresión, la bomba debe de ser capaz de proporcionar una altura que no solo iguale la alturaentre las superficies libres de los dos depósitos H + h2 − h1, sino que además debe ser capaz deproporcionar altura suficiente para vencer las pérdidas de altura asociadas a las pérdidas de cargaprimarias en las tuberías.

HB,1

Hr,2

Q

H2 + h2-h1

Hr,1

HB,2

A1

A2

B2

B1

HB,3

B3

Qu,2 Qu,3

Figura 8.2. Resolución gráfica del punto de funcionamiento determinado por la ecuación (8.9) correspon-diente a la instalación de la figura 8.3 con la válvula del ramal 4-6 cerrada. La curva HB,1 = a − bQ2 secorresponde con la curva característica de una bomba con ángulo β2 < π/2. La curvas HB,2 = a− b(Q−Q0)2

y HB,3 = a − b(Q)(Q − Q0)2 se corresponde con una bomba con ángulo β2 > π/2. La curva de la bombaHB,3 es característica de bombas en la que las pérdidas por fricción son dependientes del caudal b = b(Q)

La resolución de la ecuación (8.9) se representa gráficamente en la figura 8.2. En ella, se repre-sentan las curvas características de tres bombas distintas. La intersección de la curva característicaHB,1 = a− bQ2, que se corresponde con una bomba de ángulo β2 < π/2, con la curva resistente Hr,1

y Hr,2 determina los caudales de funcionamiento QA1 y QB1 . Las curvas HB,2 = a− b(Q−Q0)2 yHB,3 = a− b(Q)(Q−Q0)2 son características de bombas con β2 > π/2. En el caso de HB,3, además,las pérdidas por fricción en el rotor son dependientes del caudal b = b(Q).La intersección con lascurvas resistentes proporciona los caudales QA2 , QB2 y QB3 . Los puntos de funcionamiento asícalculados son cualitativamente muy distintos. Como veremos en la sección 8.5, el caudal QA2

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

8.3. Instalaciones de bombeo ramificadas 81

define un punto de funcionamiento inestable que debería ser evitado durante los periodos deactividad de la bomba.

8.3 Instalaciones de bombeo ramificadas

Figura 8.3. Esquema de una instalación de bombeo entre tres depósitos.

Consideremos ahora una red de bombeo ramificada como la que se muestra en la figura 8.3. Enel momento en el que la válvula del ramal 4-6 se abre, el caudal Q1 que circula por la bomba esdistinto al caudal de los diferentes ramales. Aplicando la ecuación de la energía entre los puntos 2y 4, entre el punto 4 y 6 y entre 4 y 5, obtenemos

Tramo 2− 4⇒(p4

ρ+ gz4

)−(p2

ρ+ gz2

)= gHB −

Q21

2A2

λ1L1

D(8.10)

Tramo 4− 6⇒(p6

ρ+ gz6

)−(p4

ρ+ gz4

)= − Q2

3

2A2

λ3L3

D(8.11)

Tramo 4− 5⇒(p5

ρ+ gz5

)−(p4

ρ+ gz4

)= − Q2

2

2A2

λ2L2

D(8.12)

cuando las pérdidas secundarias en la entrada de las tuberías, en la bifurcación y en la válvulason despreciables. Las ecuaciones anteriores, junto con la ecuación de continuidad aplicada en labifurcación de las tuberías en el punto 4, Q1 = Q2 +Q3, constituyen un sistema de cuatro ecuacionescon Q1, Q2, Q3 y p4 como las incógnitas del problema. Sabiendo que

p5

ρ=paρ

+ gh2,p6

ρ=paρ

+ gh3,p2

ρ+ gz2 = − Q2

1

2A2+paρ

+ gh1,

el problema admite una solución simple en el caso H2 + h2 = H3 + h3 en la forma

Q2

Q1

=1

1 + (λ2L2/λ3L3)1/2

Q3

Q1

=(λ2L2/λ3L3)1/2

1 + (λ2L2/λ3L3)1/2(8.13)

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s


que junto con

HB = (H2 + h2 − h1) +Q2

1

2gA2

1 +λ1L1

D+λ2L2

D

λ2L2/λ3L3[1 + (λ2L2/λ3L3)1/2

]2

= Hr,1 (8.14)

Si suponemos que la bomba tiene una curva característica HB = a− bQ21, la ecuación anterior, junto

con las ecuaciones 8.13, permite obtener los caudales Q1, Q2 y Q3 que circulan por los distintosramales de la red de tuberías. El término a la derecha de la ecuación (8.14) constituye la curvaresistente conjunta de la instalación compuesta por dos depósitos. El caso general H3 +h3 6= H2 +h2

tiene también resolución analítica y se propone como ejercicio al lector de estas notas. 2.Comparada con la curva resistente obtenida previamente en (8.9), la curva Hr,1 descrita en (8.14)tiene una menor pendiente al sumar las pérdidas primarias en ambos ramales de la instalación, loque desplaza el punto de funcionamiento de la bomba hacia mayores caudales para suministrarcaudal a ambos depósitos.

Q1

QB1

QB2

HB,1

HB,2

Q1

HB,1 HB,2

bb 3 4 3 4b b

Figura 8.4. Configuración de bombas en paralelo y en serie entre los puntos 3 y 4 de la instalación 8.3

8.3.1 Bombas en serie y en paralelo

Para curvas características de la forma HB = a− b(Q−Q0)2, la ecuación (8.14) presenta dos solu-ciones para el caudal. Si el ángulo β2 < π/2, una de esas soluciones puede descartarse, en principio,al ser negativa 3. Varias soluciones pueden aparecer en bombas con β2 > π/2, aunque la estabilidadde las mismas puede requerir una valoración sosegada del punto de funcionamiento resultante.Como ocurre en el ejemplo analizado anteriormente, la apertura o cierre de válvulas puede modi-ficar el caudal que circula por la instalación, llegando a ser insuficiente para la aplicación particularque estemos considerando. En un intento de aumentar el caudal, se puede considerar instalarvarias bombas en paralelo de forma que el caudal total sea la suma de los caudales de cada una delas bombas.

2Por ejemplo, el caudal Q2 que circula por el ramal 4-5 se puede escribir como

Q2 = Q1λ3L3

λ3L3 − λ2L2±Q2

1

(λ3L3

λ3L3 − λ2L2

)2

− 2

(Λ +

Q21

2A2

λ3L3

D

)1

(λ3L3 − λ2L2)/(A2D)

1/2

con Λ = g[(h3 +He)− (h2 +H2)]3Caudales negativos en la bomba son en teoría posibles y constituyen un flujo reverso (bombeo o surging) en la

bomba que se asocia a rápidos cambios de caudal que generan súbitos incrementos de presión en las instalaciones

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

8.3. Instalaciones de bombeo ramificadas 83

Por otro lado, no es posible encontrar ninguna solución al problema (8.14) cuando la máxima alturaproporcionada por la boba es menor que H2 + h2 − h1. En ese caso, la bomba elegida es incapaz dedesplazar ningún caudal por la instalación en cuestión. Una posible solución para ese problemapuede consistir en instalar varias bombas en serie de forma que la altura total del conjunto sea lasuma de las alturas parciales de cada una de ellas.

HB,2

HB,1

HB Hr,1

Q1QBQB,1 QB,2

HB,1 HB,2

HB

Hr,1

Q1

Figura 8.5. En la figura izquierda se representa la curva característica equivalente (línea continua gruesa)que resulta de colocar dos bombas de curvas característicasHB,1 yHB,2 en paralelo (líneas a trazos) junto conla curva resistente Hr,1 (línea continua fina). El caudal total impulsado es la suma de los caudales impulsadospor cada una de las bombas.En la figura derecha se representa la curva característica equivalente (línea continua gruesa) obtenida a partirde la instalación de dos bombas en serie HB,1 y HB,2 (líneas a trazos). Para un mismo caudal impulsado Q1,la altura total resultante es la suma de las alturas aportadas por cada una de las bombas.

Bombas en paralelo En la instalación representada en la figura 8.3 sustituimos la bomba por laconfiguración de dos bombas en paralelo esquematiza en la parte izquierda de la figura 8.4. Deforma análoga a la expresión 8.14, tenemos

HB,2 = HB,1 = (H2 + h2 − h1) +Q2

1

2gA2

1 +λ1L1

D+λ2L2

D

λ2L2/λ3L3[1 + (λ2L2/λ3L3)1/2

]2

= Hr,1

(8.15)

que junto con Q1 = QB,1 + QB,2 permite determinar los caudales que circulan por cada una delas bombas. La curva característica equivalente de dos bombas en paralelo se representa en lafigura 8.4. El punto de funcionamiento se desplaza ahora desde el caudal QB,1, cuando hay unaúnica bomba, hasta QB,1 +QB,2 cuando ambas bombas están instaladas. Este resultado se puedegeneralizar para un número N de bombas en paralelo, de forma que el caudal total que circularía

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s


por el ramal 2-4 de la figura 8.3 se podría calcular como

Q1 =N∑i=1

QB,i (8.16)

El rendimiento del conjunto de las dos bombas colocadas en paralelo lo podemos definir comoη = Wm/W , siendo Wm la potencia manométrica adquirida por el fluido entre los puntos 3 y 4 dela instalación de la figura 8.4 y W la potencia total utlizada. En ese caso, tendremos

η =(QB,1 +QB,2)(p4 − p3)

QB,1(p4 − p3)/ηB,1 +QB,2(p4 − p3)/ηB,2=

∑Ni=1 QB,i∑N

i=1 QB,i/ηB,i(8.17)

Bombas en serie Cuando la altura de los depósitos o el nivel del agua en el depósitos superiorson suficientemente grandes, la bomba seleccionada puede no ser capaz de elevar el fluido hasta laaltura deseada. Desde un punto de vista matemático, esta situación se traduce en la ausencia desoluciones de la ecuación (8.14). Un posible remedio es la colocación de varias bombas en serie, taly como se esquematiza en la parte derecha de la figura 8.4. Usando la expresión (8.14), una vez quehemos sustituido nuestra bomba por otras dos bombas en serie, podemos escribir

HB,1 +HB,2 = (H2 + h2 − h1) +Q2

1

2gA2

1 +λ1L1

D+λ2L2

D

λ2L2/λ3L3[1 + (λ2L2/λ3L3)1/2

]2

= Hr,1

(8.18)

de forma que la altura equivalente correspondiente a la colocación de dos bombas en serie es lasuma de las altura de cada bomba individual, tal y como se muestra en la curva característica delconjunto de las dos bombas representado en la figura 8.4. El caudal que circula por las bombas esel mismo Q1. Generalizando para un número N de bombas en serie, la altura equivalente sería

HB =N∑i=1

HB,i (8.19)

La curva equivalente de situar dos bombas en paralelo entre los puntos 3 y 4 de la figura 8.3 serepresenta en la parte derecha de la figura 8.4.El rendimiento resultante de colocar dos bombas en serie se define como η = Wm/W , siendo, Wm

la potencia transmitida al fluido y W la potencia total consumida por las bombas. Usando esasdefiniciones, y definiendo el punto 3’ entre las dos bombas, podemos escribir

η =Q1(p3′ − p3) +Q1(p4 − p′3)

Q1(p3′ − p3)/ηB,1 +Q1(p4 − p3′)/ηB,2=

∑Ni=1HB,i∑N

i=1HB,i/ηB,i(8.20)

8.4 Regulación del caudal

La regulación del caudal en una bomba o sistema de bombas es esencial para poder suministrar encada momento el caudal que requiere una instalación. El cambio de caudal origina variaciones en

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

8.4. Regulación del caudal 85

H , W y η de acuerdo con las curvas característica de la bomba. Como estas magnitudes tienen quesatisfacer normalmente ciertos requisitos, la regulación del caudal no se puede hacer de una formaarbitraria, sino siguiendo ciertas pautas.Los métodos de control de caudal se pueden dividir en dos tipos, los que modifican la curva de lainstalación y los que modifican las curvas de la bomba. Dentro del primer grupos se encuentranlos de regulación mediante válvulas y by-pass. En el segundo se encuentra el control mediante lavariación de la velocidad de giro de la bomba, de la pre-rotación del fluido antes de entrar en elrotor y de la variación del ángulo de ataque mediante rotación de los álabes del rotor.

8.4.1 Regulación mediante válvulas

Es el procedimiento mas simple para variar el caudal que suministra una bomba a una instalaciónes abriendo o cerrando una válvula de control que a tal fin se coloca en la instalación. Imaginemosuna instalación con una curva característica Hr,1 a través de la cual impulsamos un fluido con unabomba con curva característica HB,1(Q). Justo detrás de la bomba, colocamos una válvula, con uncoeficiente de pérdidas secundarias kv, que está inicialmente abierta. Aplicando la ecuación de laenergía, obtenemos la ecuación HB,1 = Hr,1 que permite obtener el punto de funcionamiento Q1.Para controlar el caudal del punto de funcionamiento podemos cambiar modificar el coeficientede pérdidas secundarias kv cerrando la válvula situada detrás de la bomba, modificando la curvaresistente de la instalación H∗r,1 = Hr,1 +Q2/(2A2g)kv y variando el punto de funcionamiento Q∗1.Ese cambio en el caudal de impulso lleva asociado, como era de esperar, una variación en elrendimiento de la bomba, que puede aumentar o disminuir en función de si el punto de fun-cionamiento ocurre a caudales mayores o menores del punto de máximo rendimiento dη/dQ = 0.El cierre de la válvula normalmente lleva asociado una disminución de la potencia consumida enel eje de la bomba. Pese a ello, desde el punto de vista de la instalación, la regulación de caudalmediante una válvula es un método poco ineficiente, al disipar en la válvula un exceso de energíaque habíamos previamente transmitido al fluido mediante la bomba.La válvula debe estar siempre colocada aguas abajo de la bomba, de forma que las pérdidas se-cundarias introducidas por la válvula no disminuyan la altura disponible NPSHd de la instalación,adelantando el fenómeno de cavitación en la bomba estudiado en el capítulo 7.En muy pocos casos una bomba funcionará en su punto de máximo rendimiento ηmax aunque sise exige que la bomba funcione siempre por encima de un rendimiento mínimo ηmin ' 0.9ηmax deforma que su explotación sea lo más rentable posible. Esa condición obliga a que la bomba funcioneen el tramo a− d de la curva representada en la figura 8.6. Condiciones de funcionamiento que denlugar a caudales fuera del tramo a− d implican, generalmente, cambiar de bomba para mantener elcriterio de eficiencia. Esta limitación reduce mucho el campo de utilización de una bomba cuyocaudal está controlado por un válvula. Para ampliar ese rango de utilización es habitual disminuirartificialmente el diámetro exterior de la bomba sin modificar la forma de los álabes mediante untorneado. Este procedimiento tiene, obviamente, un límite en el máximo recorte que se puede haceral diámetro exterior si no queremos que el rendimiento se vea muy afectado. Mediante esta técnicaconseguimos modificar la curva característica de la bomba y, para un mismo caudal, se reduce laaltura proporcionada por la bomba. De esta manera, el rango de utilización de la bomba se amplíaa la región a− b− c− d.Obviamente, esta operación destruye la semejanza geométrica en la que se basa el análisis dimen-sional para obtener la curvas características de la bomba torneada. Sin embargo, experimentalmente

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s


ηη

Hr,1

H∗r,1

Q∗ Q

kv

HB,1

Ht

W

Q

Qmax

ηmax

ηmin

ηmin

η

Hr,1

H∗r,1

Q∗ Q

HB,1

W

Qmax

ηmax

ηmin

ηmin

a

b

c

d

HB,1

Hr,1

Hv

H∗r,1

Q1

Q

Q

kv

HB,1Q1

Qv

WQv

Q∗

Figura 8.6. Regulación por válvula y por by-pass.

se sabe que en bombas radiales se cumpleQ/Qt = D2/D2,t yHB,1/Ht = (D2/D2,t)2, con el subíndice

t indicando las propiedades de la bomba una vez torneada. Así, se cumple que

HB,1

Q2=Ht

Q2t

= C ⇒ Ht = CQ2t (8.21)

siendo C una constante. La nueva curva característica para la bomba tras el torneado será, portanto, también una parábola, tal y como se indica en la figura 8.6. El corte de la curva Ht con lascurvas de rendimiento constante ηmin determina los puntos b− c que delimita la región a− b− c− dde utilización de la bomba donde se sabe que se cumple la condición η > ηmin.Para que este procedimiento sea coherente la curva de rendimiento no puede cambiar al realizarel torneado. Para que eso se cumpla, la reducción del diámetro mediante el torneado no puedeexceder un valor máximo (D2 − D2t)/D2 < f(Ωs que depende de la velocidad específica de labomba Ωs.En general, los fabricantes ofrecen en sus catálogos un número de bombas los suficientementegrandes como para que la suma de las regiones a− b− c− d de todas ellas cubra el mayor rangoposible de aplicaciones, tal y como se muestran en la figura 8.7 para dos velocidades de girodistintas.

8.4.2 Regulación mediante by-pass

Una forma de mejorar la eficiencia de la regulación mediante válvulas es la de incluir un by-pass conuna válvula que extraiga una caudal Qv de la corriente principal. Con este sistema de regulación,esquematizada en la figura 8.6, el caudal Q que circula por la bomba es distinto del caudal Q1 quese bombea a la instalación. El objetivo de este sistema de regulación es modificar el caudal Q1 quepasa por la instalación cambiando lo menos posible el caudal que circula por la bomba, de formaque los rendimientos y los consumos de potencia de la bomba cambien lo menos posible.Cuando la válvula está completamente cerrada, la intersección de la curva de la instalación Hr,1 conla curva de la bombaHB,1 determina el caudal de funcionamientoQ. Una vez que se abre la válvula,

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s


Figura 8.7. Campo de aplicación de los distintos modelos de las bombas centrifugas de succión horizontal ydescarga vertical de KSB - Megabloc para velocidades de 3500 rpm y 1750 rpm.

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s


Q1 Q3Q2

HB,1

η1

W1

HB,2

η2

W2

HB,3

η3

W3

Hr,1

α1,2 < α1,1 < α1,3

Q1Q2Q3

HB,1

η1

W1

HB,2

η2

W2

HB,3

η3

W3

Hr,1

Ω3 < Ω2 < Ω1

Figura 8.8. Regulación por velocidad de giro y por pre-rotación.

un cierto caudal Qv circula por la válvula reduciendo el caudal Q1 que llega a la instalación. Laspérdidas introducidas por la válvula dan lugar a una curva de pérdidas de altura Hv = kvQ

2v/(2A

2g)

que modifica la curva total de la instalación, que pasa a ser H∗r,1. El nuevo caudal de funcionamientose puede calcular ahora de resolver HB,1 = H∗r,1 para obtener el nuevo caudal impulsado por labomba Q∗. Generalmente Q∗ y Q no son muy distintos pese a que el caudal Q1 si puede llegara cambiar de un forma muy apreciable al abrir la válvula, tal y como se ha esquematizado en lafigura 8.6.

8.4.3 Regulación por velocidad de giro de la bomba

En bombas de alta gama es posible modificar la velocidad de giro de la bomba Ω de formacontinua, aumentando la altura que son capaces de ceder al fluido a medida que aumenta suvelocidad de giro 4 A partir de las leyes de semejanza estudiadas anteriormente en el capítulo 6,sabemos que la potencia específica de la bomba es aumenta con el cuadrado de la velocidad de girogH = Ω2D2ψ1(Q/ΩD3). Por lo tanto, acoplando un motor de velocidad variable a nuestra bomba,somos capaces de modificar el punto de funcionamiento calculando los puntos de intersecciónde la curva de la bomba con la curva de la instalación, tal y como se esquematiza en la figura 8.8.La ventaja de ese método de control de caudal es, sin duda, la eficiencia, al poder siempre elegirla velocidad de giro que desplaza el caudal requerido en el punto de máximo rendimiento de labomba. Para ello, y de acuerdo con las leyes de semejanza descritos previamente en el capítulo6, para el caudal deseado, bastaría con elegir la velocidad de giro de la bomba de forma que elparámetro de giro Q/ΩD3 coincidiera con el correspondiente al del punto de máximo rendimientoη = ηmax

5. La contrapartida es el aumento del precio de la bomba, al tener que incluir en elpresupuesto un motor de velocidad variable.Una solución intermedia desde el punto de vista económico es la de introducir un reductor entre labomba y el motor eléctrico. Así, aunque el motor gire a velocidad constante, es posible modificar lavelocidad de giro a través de los engranajes del reductor. Aunque sigue siendo más caro que laregulación mediante válvula, puede ofrecer una alternativa algo más económica para aumentar la

4De forma cualitativa, este efecto es fácil de comprobar a partir de la ecuación de Euler gH∞ =Ωr (Ωr −Q/A/ tanβ2)

5Se deja al alumno desarrollar la condición matemática que permitiría obtener esa velocidad de giro a la que labomba funciona a máximo rendimiento para desplazar un caudal Q.

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s


eficiencia del sistema.

8.4.4 Regulación mediante control de la pre-rotación del fluido a la entrada del rotor

De acuerdo a la ecuación de Euler gH∞ = u2vu,2 − u1vu,1, la pre-rotación del fluido puede modificarla altura que la bomba proporciona. Efectivamente, valores positivos de la rotación α1 < π/2

reducen la altura de la bomba respecto al valor máximo teórico, mientras que una contra-rotaciónα1 > π/2 puede, en teoría, aumentarla. El grado de control de la altura mediante pre-rotaciónaumenta con la velocidad específica, por lo que es de esperar que el control del punto de operaciónmediante este sistema sea más común en máquinas axiales y semi-axiales.Como ya estudiamos en el capítulo 3, valores del ángulo α1 6= π/2 van asociados a disminucionesen la altura máxima transmitida al fluido. Aprovechando esta características, algunos bombassitúan unos álabes en el estátor, a la entrada del rotor, cuyo objetivo es el de modificar la direcciónde la velocidad absoluta y, por tanto, cambiar el ángulo α1. Si suponemos que α1,i es el grado depre-rotación fijado por la posición de los álabes a la entrada del rotor, de forma que gHi y Wi son lapotencia específica y la potencia en el eje asociada a esa posición, el punto de funcionamiento Qi loobtenemos a partir de la intersección de la correspondiente curva de la bomba con la curva de lainstalación Hr representada en al figura 8.8. De esa forma, podemos pasar de un caudal Q1 a uncaudal Q3 aumentando la contra-rotación de los álabes a la entrada (α1 aumenta) o a un caudal Q2

si aumenta la pre-rotación α1 disminuye.La operación de variación de caudal a través de la variación de la pre-rotación de la velocidadde giro da lugar a mejores eficiencias de funcionamiento. Efectivamente, si consideramos queel punto de funcionamiento inicial es Q2, una disminución de la pre-rotación (α1 crece) modificael caudal que circula por la instalación, que pasa a ser Q1. Ese nuevo punto de funcionamiento,aunque supone un mayor consumo de energía, esta se aprovecha mejor al aumentar la eficiencia defuncionamiento respecto a la que había previamente.Si comparamos la regulación de caudal mediante variación de la pre-rotación con el controlmediante válvula es fácil darse cuenta de que el cambio de punto de funcionamiento mediante lavariación de α1 consume menos energía. Si partimos de un caudal Q1, asociado a una potenciaconsumida por la bomba W1 y a un rendimiento η1, la disminución de caudal originada al cerrarla válvula de paso nos llevaría a desplazarnos desde Q1 hasta Q2 por la curva de potencia W1,generando consumos de potencia mayores a los obtenidos mediante una disminución de la pre-rotación del fluido a la entrada.

8.4.5 Regulación de caudal mediante rotación de los álabes del rotor

Aunque de gran rendimiento, la modificación del caudal mediante la variación del ángulo de losálabes del rotor presenta un gran rendimiento. Usado mayoritariamente en turbomáquinas axiales,permite modificar el caudal impulsado modificando el ángulo de ataque. Cuando el ángulo deataque cambia, el área entre los álabes, la velocidad tangencial y la altura total de la bomba tambiéncambian. El ángulo que gira el álabel γ no puede ser demasiado grande para evitar que el ángulo deataque supere un valor máximo de alrededor de β1 = 23− 25, ángulo a partir del cual la eficienciase reduce de forma muy significativa debido al desprendimiento de la corriente.En la figura 8.9 se representa el álabe de una turbomáquina axial (figura izquierda) junto con lostriángulos de velocidades en las secciones de entrada y de salida. En el mismo gráfico se representa

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s


el mismo álabe girado un ángulo γ (figura derecha) junto con el nuevo ángulo de ataque β′1 = γ+β1.Si el área de paso del rodete no cambia, la velocidad absoluta mantiene su módulo |~v1| = |~v′1| ysu dirección se puede modificar cambiando la orientación de los álabes del estátor colocados a laentrada del rotor. La variación del ángulo α1 cambia la componente normal de la velocidad y, conella, el caudal que atraviesa el rotor. La variación de la velocidad relativa asociada al giro del álabemodifica, obviamente, la potencia transmitida al fluido. A partir de la ecuación de Euler, la nuevaaltura será gH ′∞ = u′2v

′u,2 = u2 [1− v′1/(u tan(β2 + γ)]

v1v′1

w1

w′1

u

uu

w′2w2

v′2v2

v1,a = v2,av′1,a = v′2,a

β′1

β2

u

β′2α′2α2

α′1

β1α′1

⊗γ

Figura 8.9. Triángulo de velocidades para un álabe con ángulo de ataque β1 (figura izquierda) y para elmismo ángulo girado un determinado ángulo (figura derecha) de forma que el nuevo ángulo de giro es β′1.Las líneas discontinuas representa la posición inicial del álabe antes de girarlo un ángulo γ respecto al eje degiro.

8.5 Funcionamiento estable e inestable

Desde el punto de vista de la estabilidad de la instalación, los caudales obtenidos en la figura 8.2representa puntos de funcionamiento cualitativamente muy distintos. Los caudales QA1 , QB1 , QB2

y QB3 representan soluciones estables en las que cualquier perturbación en el sistema que de lugara variaciones en el caudal que circula por la bomba serán amortiguadas después de un transitorio:un mayor caudal aumenta las pérdidas en la instalación y disminuye la altura suministrada por labomba, que comienza a bombear menos caudal para ajustar la altura que esta proporciona con laspérdidas de la instalación.Sin embargo, el punto de funcionamiento definido por el caudal QA2 es inestable para la bombacon curva HB,3 y estable para la bomba con curva HB,2. Efectivamente, para la bomba HB,3, unpequeño aumento del caudal que circula por el rotor aumentaría la altura proporcionada por lamisma, lo que a su vez induce una mayor resistencia, que a su vez requiere mayor altura de labomba que tendería a desplazar más caudal. Para la bomba HB,2, sin embargo, ese mismo aumentode caudal que genera mayores pérdidas en la instalación viene acompañada de una disminuciónde la altura y, consecuentemente, del caudal desplazado.La condición dHB,2/dQ = 0 y dHB,3/dQ = 0 determina el caudal Qu,2 y Qu,3 en los que las bombastiene un máximo o un mínimo local. Esa condición determina, además, el caudal por debajo del

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

8.5. Funcionamiento estable e inestable 91

cual el funcionamiento de la bomba es inestable.La presencia de una región de la bomba con comportamiento inestable dH/dQ > 0 es característicode bombas con β2 > π/2. El rango de utilización de las mismas debería estar fuera de ese rangoinestable ya que no solo limita el tiempo de vida de la misma, sino que introduce vibraciones en elsistema que son susceptibles de excitar modos propios de vibración de las tuberías de alimentacióny desagüe.Para ilustrar las diferencias entre comportamiento estable e inestable, consideremos el bombeo deagua, a través de una tubería de sección At, a un depósito elevado de sección transversal A y cuyaaltura de nivel de agua es Hg medida desde el punto 0 indicado en el esquema de la instalaciónrepresentado en la figura 8.10. La bomba que trasiega el agua desde el depósito inferior al superiortiene una curva característica HB = 9− 3.48Q+ 18.27Q2 − 6.79Q3. Desde el depósito se extrae uncaudal Q2 para suministrar agua a una población. Si escribimos la ecuación de la energía entrelos puntos 0− 1 obtenemos la expresión que nos permite determinar el caudal que circula por labomba

HB = Hg

(1 +

Q2/(2A2tg)

Hg

)' Hg, (8.22)

donde hemos supuesto que la disipación de la energía cinética a la entrada del depósito superior esdespreciable cuando se compara con la altura total del depósito. Si la altura de agua Hg = 20 m,obtenemos que el caudal que circula por la instalación puede ser Q0,1 = 1.26 m3/s, Q0,2 = 2.06 m3/sy Q0,1 = −0.62 m3/s. Si el caudal extraído del depósito superior es Q2 = 2.06 m3, en la situaciónestacionaria el caudal inicial bombeado por la bomba será Q0 = Q0,2 = 2.06.

Q2Qb

b

1

0

b 2

Hg

HB

Figura 8.10. Instalación de bombeo simple

Consideremos ahora un aumento repentino enun 20 % del consumo de agua por parte de lapoblación, que pasa a ser Q2 = 1.2Q0. En esecaso, y si suponemos que la bomba se adaptamuy rápidamente a los cambios en el caudal,la ecuación (8.22) permite todavía obtener elcaudal Q bombeado por la bomba. La difer-encia es que ahora la altura Hg cambia con eltiempo debido a que, al menos momentánea-mente, el caudal Q2 que sale del depósito esdistinto al caudal Q trasegado por la bomba.Si utilizamos la ecuación de continuidad (2.2),podemos describir la evolución de Hg con eltiempo, de forma que

AdHg

dt= Q−Q2 (8.23)

que puede integrarse, con la condición inicial Q(0) = Q0. La ecuación 8.23 puede integrarse

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s


analíticamente para dar

t

A= b log

(Q−Q2

Q0 −Q2

)+ 2c

[Q−Q0 +Q2 log

(Q−Q2

Q0 −Q2

)]+ 3d

[Q2(Q−Q0) +

Q2 −Q20

2+Q2

2 log

(Q−Q2

Q0 −Q2

)], (8.24)

donde b = −3.48 sm−2, c = 18.27 s2m−5 y d = −6.79 s3 m−8, que nos permite dibujar la evolucióndel caudal con el tiempo representado en la figura 8.11. En ella se observa como el caudal, queparte del caudal inicial Q = Q0 evoluciona hasta alcanzar la nueva situación estacionaria Q = Q2

para tiempos suficientemente largos t = t1 →∞.Si modificamos la condición inicial del problema, de forma que el caudal consumido por el puebloen t = 0 es Q0 = Q0,1 = 1.26 m3/s, el problema adquiere un comportamiento claramente diferente,tal como puede verse n la figura 8.12. Al aumentar el consumo en el depósito superior, la altura deagua Hg disminuye y, con ella, la altura de la bomba y el caudal movido por la bomba, pasandoel punto 0 al punto 1 del gráfico. Una vez que en el punto 1, una pequeña disminución adicionalde la algutura de agua hace que el caudal correspondiente a la solución de la ecuación Hg = HB

aumente de forma repentina desde Q1 = 0.18 m3/s hasta Q2 = 2.48 m3/s. El nuevo caudal debombeo es superior al caudal extraído del depósito, lo que genera un aumento en la altura del aguaalmacenada en el depósito superior, llegándose al punto 3, donde Q3 = 1.72 m3/s. En ese punto, denuevo, se produce un salto de la solución hasta un nuevo caudal Q4 = −0.69 < 0 determinado porla intersección entre las curvas de la bomba y de la instalación. En este punto de funcionamientoaparecen caudales negativos con la bomba girando en sentido normal, lo que implica la apariciónde unas pérdidas enormes al disiparse toda la energía que el rotor transmite al fluido, insuficientepara detener la caída de agua desde el depósito superior a medida que este se vacía acercándose alpunto 5, donde se produce un nuevo salto de caudal hasta el punto 2 y el ciclo se repite de nuevo.El flujo reverso en una bomba es generalmente conocido como fenómeno de bombeo o pump surge ysu aparición está asociada a una disminución muy rápida del caudal que llega, en ocasiones comola descrita en nuestro ejemplo, a ser negativo. El bombeo aparece también como resultado del cierrerápido de válvulas, en el encendido y apagado de bombas y en el llenado inicial de sistemas detuberías. Si el sistema no está protegido, el daño en los equipos hidráulicos y en las tuberías puedellegar a ser importante.Como resultado del bombeo, el flujo se detiene o cambia bruscamente de dirección, generando unaonda de presión que se propaga rápidamente a través del fluido. La intensidad de esa onda depresión se puede calcular como ∆p = ρc∆v, donde ∆v es el cambio de velocidad inducido duranteel bombeo y c es la velocidad de propagación de la onda de presión 6. Ésta última cambia con elfluido y con el diámetro y material de la tubería. Para una tubería de acero de 50 cm (c ' 1000

m/s), la variación de caudal entre los puntos 3 y 4 de la figura 8.12 induce una onda de presión dealrededor de ∆p/ρg = 1200 m de columna de agua.La forma de evitar este fenómenos es eligiendo bombas con álabes curvados hacia atrás β < π/2

en los que la altura de la bomba siempre desciende con el caudal. Si no es posible seleccionar esetipo de bombas, cualquiera de los sistemas de regulación de caudal expuestos previamente puedeayudar a prevenir la súbita disminución de caudal de impulsión que tiene lugar al saltar del punto

6Val-Matic Valve and Manufacturing Corp., Surge Control in Pumping Systems (Octubre 2016). Documento obtenidoen: http://www.valmatic.com/pdfs/SurgeControlinPumpingSystems3-17-09.pdf

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

8.6. Guía para la selección de bombas 93

0 50 100 150 2000

0.5

1

1.5

2

2.5

Q[m3/s]

t/A[s/m2]

0

1

−1 0 1 2 3 40

5

10

15

20

25

0

1

Hg[m]

Q[m3/s]

Figura 8.11. Comportamiento estable para el punto de funcionamiento de la bomba de la instalaciónesquematizada en la figura 8.10

0 10 20 30 40 50−1

0

1

2

0

1

2

3

4

5

Q[m3/s]

t/A[s/m2]

−1 0 1 2 3 40

5

10

15

20

25

30

0

12

34

5

Hg[m]

Q[m3/s])

Figura 8.12. Comportamiento inestable para el punto de funcionamiento de la bomba de la instalaciónesquematizada en la figura 8.10

3 al punto 4 de la figura 8.12.

8.6 Guía para la selección de bombas

El diseño de un sistema de bombeo requiere un conocimiento detallado de todos los sistemasinvolucrados, incluidas las bombas. El problema es principalmente económico y requiere, por tanto,una optimización que minimice los costes de explotación y mantenimiento cumpliendo una seriede requerimientos técnicos. La fiabilidad es, quizás, la característica fundamental de un sistemade bombeo, especialmente en aplicaciones sensibles como la extinción de incendios, el bombeo decombustible en aviones, refrigeración de centrales nucleares etc...El diseño del sistema de bombeo y la localización de los distintos elementos es de especial relevanciaen la elección del sistema de bombeo. Por ejemplo, la presencia de un depósito de fluido cerca de labomba podría influir en la altura neta disponible que determina la aparición de cavitación en las

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s


bombas.Aunque la mayoría de los usuarios selecciona su sistema de bombeo a partir de las bombasdisponibles en los catálogos comerciales, algunas aplicaciones especiales requieren de un diseñoacorde a las especificaciones. En general, en el desarrollo del nuevo diseño aparecen diferentesescenarios de trabajo que fuerzan al diseñador a adoptar un compromiso que optimice la operación.Por ejemplo, si los costes de operación de la bomba son grandes, sería conveniente elegir unabomba de alta eficiencia que trabaje la mayor parte del tiempo en su punto óptimo. En aplicacionesaeroespaciales, el coste pasa a ser secundario y se buscan opciones de menor peso y volumen,mientras que en la producción y transporte de petróleo la fiabilidad de las bombas será el criteriode diseño que prevalezca ante la posibilidad de grandes pérdidas económicas por detención oretrasos en la producción de crudo.Aunque los criterios para la selección de bombas son múltiples y dependen de factores tan diversoscomo el tipo de fluido bombeado, su fiabilidad y mantenimiento, costes iniciales y de operación etc...en estas notas nos centraremos en los criterios de selección de bombas basados en las condicionesde operación de las mismas. En general, las bombas se eligen para repartir un flujo de fluidodentro de un rango determinado de caudales. En general, para conocer ese rango es necesarioconocer los detalles del sistema de bombeo: localización de la bomba, diámetros, longitudes yrugosidades de las tuberías, localización de válvulas y sistemas de medida, temperatura o rango detemperaturas del fluido, existencia o no de sistema de cebado de bombas, sistema de regulación decaudal, operación continua o intermitente, futuras expansiones del sistema...Basado en los requerimientos de un sistema de bombeo y sus posibles expansiones, podemosdefinir un rango de alturas y caudales en el plano H-Q que definen la operación de la bomba.Es conveniente incluir en el cálculo de la curva de la instalación pérdidas adicionales debido alaumento de la rugosidad de la tubería por la corrosión de las tuberías o por la disminución de lasección de la tubería por deposiciones en regiones de baja velocidad.Los límites de operación de la bomba vienen generalmente determinados por la aparición decavitación y por la eficiencia de la bomba y por el sistema de control de caudal elegido, como yavimos más arriba.

Ω1

Ω2

Ω3

η=

80η=

70η=

60η=

50

HB

Q

b

η=

η max

η=

80η=

70η=

60η=

50

Q

HB

Hr

H∗r

Figura 8.13. Rango de funcionamiento (zona sombreada) para una bomba de velocidad variable Ω1 > Ω2 >Ω3 (figura izquierda) y para una bomba de velocidad de giro constante con caudal regulado por by-pass(figura derecha) con la curva de la instalación correspondiente para una válvula cerrada Hr y para unaválvula de by-pass parcialmente cerrado H∗r .

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s

8.7. Punto de funcionamiento en turbinas hidráulicas 95

8.7 Punto de funcionamiento en turbinas hidráulicas

Generalmente, el eje de la turbina se acopla a un alternador para la generación de electricidad. Lafrecuencia de oscilación de la corriente alterna es, en gran parte del mundo, de 50 Hz, aunque enEstados Unidos y Asia es de 60 Hz. La estandarización de la frecuencia de la corriente eléctricafacilita el comercio internacional de equipamiento eléctrico. Puesto que la velocidad de rotación delos alternadores está relacionada con la frecuencia de la corriente eléctrica f y con el número depolos del alternador p, la velocidad de giro de la turbina Ω = f/p no es un parámetro libre. Paraque la velocidad de giro del alternador no cambie, el par útil generado por la turbina

T =ρgQH∞

Ω= ρgQ (D2vu,2 −D1vu,1) (8.25)

y el par resistente del alternador Ta deben de ser iguales, de forma que IdΩ/dt = T −Ta = 0, siendoI e momento de inercia de la turbina.Cuando el par del alternador crece al aumentar la demanda de la red eléctrica, como el par de laturbina no cambia al no modificarse el caudal Q, la velocidad de giro de la turbina se vería reducidasi no existiera ningún sistema de regulación. Por el contrario, si el consumo de la red se reduce acero, la turbina alcanzaría su velocidad de embalamiento o máxima velocidad de giro.El problema fundamental de la regulación de las turbinas es, por tanto, mantener constante lavelocidad de giro (o con pequeñas variaciones dentro de unos límites). Para ello, como puedecomprobarse a partir de 8.25, tendremos que modificar de forma dinámica o bien el caudal Q obien la altura H para adaptar el par T al par resistente del alternador Ta.Si no es posible modificar ninguno de esos dos parámetros de la turbina, siempre es posiblemodificar el par del alternador modificando el consumo de energía eléctrica de la red. Esta opciónno es la más recomendable desde un punto de vista económico, puesto que implica la disipaciónde energía a través de, por ejemplo, una resistencia variable. No se usa de forma general a no serque se quiera, por ejemplo, que todo el caudal de una central pase por una determinada turbina.La forma más habitual de regular el par es mediante la variación del caudal Q. Esos sistemasde regulación de caudal pretenden, por tanto, igualar el par generado por la turbina con el parresistente proveniente del alternador para asegurar una velocidad de giro constante. La regulaciónpuede ser isódroma o no-isódroma en función de si la regulación consigue que la velocidad degiro se mantenga o no constante. A su vez puede ser estable o no-estable en función de que eltransitorio asociado al cambio de régimen sea corto o largo. La normativa moderna de regulaciónno permite que la oscilación máxima de la velocidad de giro supere el 0.2 % de la velocidad media.Mayores incrementos podría general un mal funcionamiento de algunas industrias. La diversidadde métodos para el control del caudal y, por tanto, de la velocidad es grande. Generalmenteson métodos automáticos que ajustan el caudal en función de un parámetro de control que sueleser la velocidad de giro. Un recuento detallado de agunos sistemas mecánicos, hidráulicos yelectromecanicos para el control del caudal en turbinas se puede encontrar en el capítulo XIX dellibro clásico de Claudio Mataix "Máquinas hidráulicas", y a él remitimos al lector interesado en eldetalle de los mismos.

Máq

uina

s

Hidrá

ulica

s


Ω0

Ω1

Ω2

Ω

t

Figura 8.14. Regulación de la velocidad de giro nominal Ω0 de la turbina. La línea a trazos muestra unregulación estable e isódroma, donde la diferencia entre la velocidad tras la regulación y la velocidad nominalΩ1 − Ω0 es pequeña. La línea continuna es una regulación estable, no isódroma, con una velocidad de girotras la regulación Ω2 significativamente distinta de la nominal.

Apuntes máquinas hidráulicas -...

Documents

Transcript of Apuntes máquinas hidráulicas -...