UNIDAD 1. INTEGRALESPresentacin de la unidad En esta unidad empezaremos a desarrollar los fundamentos matemticos para construir el clculo integral. Vers que para calcular el rea de una funcin, partiremos del hecho de sumar las reas de rectngulos bajo una grfica y el eje x, situacin que nos conducir al concepto de sumas de Riemann y al concepto de integral definida. Abordaremos algunas propiedades importantes de la integral definida que te permitirn desarrollar tus habilidades a la hora de evaluar una integral. En esta seccin te dars cuenta de que el clculo integral y diferencial estn ligados por un eslabn muy importante: el teorema fundamental del clculo. Es una herramienta muy poderosa para evaluar integrales de manera muy prctica. Al igual que existen integrales definidas, tambin existen integrales indefinidas, mostraremos cul es esa pequea diferencia. Empezars a calcular integrales no tan complicadas mediante el uso de tabla de integrales y mediante sustitucin. Por ltimo, revisaremos algunas reglas de simetra que algunas integrales poseen, ya que te permitirn ahorrarte trabajo cuando integres ciertas funciones. Consideraciones especficas de la unidad Para abordar este curso de Clculo Integral es necesario que tengas conocimiento sobre matemticas, lgebra y clculo diferencial. En esta seccin requerimos el siguiente material: Calculadora. Tablas de integracin. Puedes obtenerlas de algn libro o bien bajarlas de internet. Te aconsejamos que tengas las tablas para evaluar las integrales. Es necesario que repases las frmulas para encontrar reas a figuras geomtricas planas y volumtricas comunes.Propsito de la unidadEn esta unidad desarrollars tu habilidad para calcular integrales mediante sumas de Riemann y el teorema fundamental del clculo, adems de calcular volmenes y promedios. Tambin, estudiaremos la integral definida y la indefinida. Competencia especifica Describir el proceso de integracin para calcular reas entre curvas, volmenes, as como el valor promedio de una funcin a travs del uso de integral definida e indefinida y el teorema fundamental del clculo con base en definiciones, modelos y reglas

Notacin e ideas principales Antes de ocuparnos del la integracin que es la segunda operacin principal del calculo es necesario estudiar algo de notacin y de ideas preliminares Notacin de Suma Con frecuencia debemos manejar sumas como la siguiente: 1+4+9++n2 o como la siguiente: 1+x+x2+x3+ . . . +xn En las cuales en cada caso, n es un entero positivo. Se emplea normalmente una notacin abreviada para facilitar el manejo de estas expresiones. El smbolo representa una suma, as: i=1nui= u1+u2+u3++un La sumatoria se emplea para representar la suma de muchos o infinitos sumandos.

La expresin se lee: "sumatoria de Xi, donde i toma los valores de 1 a n". La operacin sumatoria se expresa con la letra griega sigma mayscula . i es el valor inicial llamado lmite inferior. n es el valor final llamado lmite superior. Si la sumatoria abarca la totalidad de los valores, su expresin se puede simplificar: Ejercicio 1.- Evaluar la suma de los siguientes ejercicios k=141k r=033r k=23kk i=1n1000 k=1n1k+1-1k Demostrar que k=1nuk= r=0n-1ur+1

Expresar la suma en notacin abreviada de sumatoria 12+13+14++126

1.1. Integral definidaEn algunas ocasiones nos hemos encontrado en la situacin de tener que calcular el rea de alguna regin de forma irregular, como ejemplo, calcular el rea de un terreno de forma irregular para saber el valor monetario en funcin del precio por metro cuadrado.

En esta seccin veremos el desarrollo para llegar al concepto de integral definida. Veremos tambin

algunas propiedades, tambin empezars a evaluar algunas integrales sencillas mediante las sumas de Riemann.

1.1.1. rea de una regin Algunos de nosotros tenemos la idea intuitiva de lo que es rea. Sabemos que es fcil calcular las reas de ciertas figuras simplemente con saber la forma y su frmula. Nos viene a la mente que el rea limitada por un cuadrado es la multiplicacin de su lado por lado A l * l ; de un rectngulo es lado por su altura; de un tringulo es la multiplicacin de su base por su altura A (b*h)/2 . As sucesivamente podemos citar muchas figuras con sus respectivas frmulas para calcular sus reas.

El rea, entonces, es la regin limitada por ciertas fronteras, como puede ser lneas rectas, como el caso del cuadrado, o bien, por lneas curvas, como el caso del crculo.

Ahora nos enfrentamos a calcular el rea de una figura que tiene forma irregular. Pensemos en un terreno. Por lo general, algunos terrenos no tienen una forma muy bien definida, veamos el siguiente ejemplo:

Suponiendo que se conocen los lados del terreno, la pregunta es: cul es el rea? La solucin es sencilla: nicamente hay que dividirlo en tringulos, calcular el rea de cada tringulo y sumar las reas de todos los tringulos para encontrar el rea total del terreno.

As que el rea total de este terreno es AT= A1+A2+A3+A4 Veamos ahora una figura un poco ms compleja cmo se hallara el rea para la siguiente figura?

La respuesta es, inscribir repetidamente el rea de una figura geomtrica cuya rea es conocida, y para ello escogemos el cuadrado. El rea de cada cuadrado representa una unidad de rea. La figura quedara as.

El rea aproximada de la figura es de 33 unidades de rea. Podramos ser ms precisos, y para ello tendremos que hacer ms pequeos nuestros cuadrados. Nota: Hace aproximadamente 2500 aos, los griegos saban cmo hallar el rea de cualquier polgono al dividirlo en tringulos. Tambin hallaron la forma de encontrar el rea de una figura curva; lo que hicieron fue inscribir polgonos en la figura y hacer que el nmero de lados del polgono aumentara. Usaban el mtodo conocido como de agotamiento o exhaucin.

Actividad 1.

Qu es rea? Esta actividad est diseada para que trabajes en conjunto con tus compaeros(as) de grupo. Para comenzar: Crear un blog por grupo y presntate con cada uno (una) de los (las) integrantes del grupo, puedes comentar acerca de tus intereses acadmicos, profesionales o personales, as como responder a las aportes de los (las) dems. Instrucciones 1. Presentacin de cada uno de los integrantes. 2. Qu esperas de la asignatura de Clculo integral? 3. Discutan el significado de rea. 4. Qu es ms fcil, obtener el rea de una figura geomtrica o de una irregular? Por qu? 5. Explica con tus propias palabras qu entiendes por rea.

1.1.2. rea mediante suma de rectngulos infinitesimales

En este subtema obtendremos el rea bajo una curva por aproximacin de rectngulos, como se muestra en el objeto de arriba. Posteriormente se tomar el lmite de estos rectngulos. El procedimiento es el siguiente: Consideremos el siguiente desarrollo. Sea la funcin y x2 . Hallaremos el rea bajo la curva en la regin comprendida entre 0 y 1 del eje x.

Podemos hallar el rea aproximada, inscribiendo rectngulos debajo de la curva descrita por y x2 en la regin comprendida entre 0 y 1. El rea de la regin est dada por la suma de todos los rectngulos inscritos en la regin S.

Dividamos el segmento [0,1] en 10 partes iguales, esto significa que la base de cada rectngulo es igual a 1/10. La altura para cada rectngulo es tomada del lado derecho de cada rectngulo, es decir, las alturas los rectngulos son los valores de la funcin f (x) x2 en los puntos extremos de la derecha.

Considerando de la imagen que, para cada nmero x de las abscisas, existe un valor para y, se cumple la funcin f (x) x2 . La altura para el primer rectngulo es

De manera anloga se calcula las dems alturas para cada uno de los rectngulos. As que podemos escribir las alturas de los rectngulos de la siguiente manera:

La suma de las reas de todos los rectngulos es la suma aproximada debajo de la curva comprendida entre 0 y 1:

Realizamos la suma de todas las fracciones:

Esta es el rea aproximada de la regin S; sin embargo, nuestros rectngulos sobresalen por encima de la grfica, lo cual quiere decir que el rea que hemos calculado es mayor que el rea A de la regin S.

A infinito debajo de la curva.

Reacomodamos algunos trminos:

Con la misma metodologa se puede calcular el rea de la regin S, usando rectngulos inscritos cuyas alturas fueran los valores de f en los puntos extremos izquierdos de los subintervalos. Llegaramos al mismo resultado cuando aplicamos el lmite de infinitos rectngulos debajo de la funcin.

Esto quiere decir que no importa donde se tome la altura de los rectngulos; ya sea que pongamos rectngulos superiores o rectngulos inferiores, siempre vamos a llegar al mismo resultado, los lmites son iguales. Ahora estamos preparados para analizar una regin ms general. Hallemos el rea de la curva siguiente. Tomemos la regin mostrada en la figura de tal modo que subdividimos el intervalo [a, b] en n rectngulos de anchos iguales.

Entonces, el rea bajo la curva delimitada por el intervalo [a,b] es aproximadamente la suma de las reas de todos los rectngulos

Podemos asignar valores para n. Recuerda que n es el nmero de rectngulos que divide el intervalo [a,b]. Te aseguramos que esta aproximacin va a mejorar a medida que se incrementa la cantidad de rectngulos bajo la curva, es decir, cuando n Una vez analizado el caso general para un rea aproximada, podemos definir el rea A de la regin S.

Ojo, para que el lmite exista se est suponiendo una funcin f continua. Frecuentemente se usa la notacin sigma para escribir de manera compacta las sumas que contienen muchos trminos. Por ejemplo

Por lo tanto, la definicin anterior la podemos escribir de la siguiente manera: