158

⎜

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE LA SECCIÓN II.2

1. En un colegio hay 30 estudiantes en sexto, 45 en séptimo, 25 en octavo, 20 en noveno, 32 en décimo y 28 en undécimo. Calcula:

a) La razón entre el número de estudiantes de sexto grado y el total de estudiantes.razon desexto=6¿ ¿

6o 7 o8 o 9o 10 o 11o

r= 3030+45+25+20+32+28

r=3018

= 318

=16

b) La razón entre el número de estudiantes de grado impar y el total de estudiantes.

r= 93180

=3160

c) La razón entre el número de estudiantes de grado par y el total de estudiantes.

r=2960

d) La razón entre el número de estudiantes de grado octavo y el de estudiantes de noveno de estudiantes.

r=89=25

20=5

42. Calcular la razón entre la medida del lado de un triángulo equilátero y su perímetro.

3. Para dibujar el croquis de una ciudad se utilizó una escala 1: 500 ⎛ 1 ⎞

⎟ ¿qué significa esta

expresión? Razón = 1:500 (1/500) resulta 1:1

⎝ 500⎠

4. Dibuja cuadrados de 1, 2, 3, 4, 5 cm de lado. Encuentra la razón entre la diagonal y el lado.¿Qué puedes concluir de esta razón?

a2+b2=c2 c=√12+12 c=√1+1 :c=√2

c=√a2+b2

c=√22+22 c=√4+4c=√8c=√2 x8c=√2 x √2

c=√32+32 c=√9+9 c=√18 c=√9c=3√2

c=√42+42 c=√16+16 c=√32c=√2√16 c=4√2

c=√52+52 c=√25+25 c=√50 c=√2√25 c=5√2

159

5. Dibuja triángulos equiláteros de 1, 2, 3, 4, 5 cm de lado, traza la altura y encuentra la razón entre la altura y la longitud de medio lado. ¿Qué puedes concluir de esta razón?

6. Si una persona duerme diariamente 8 hrs.

a) ¿Cuál es la razón entre las horas que duerme y las que permanece despierto?8

16r=1

2

b) ¿Cuál es la razón entre el total de horas diarias y el de las horas que duerme?

248

r=3

7. Dar la razón. No reducir a su mínima expresión.Cuerdas Viento

1. Violoncelos a violines 34 violines 2 oboes2. Contrabajos a arpas 10 violoncelos 1 corno inglés

3. Cornos ingleses a flautines 12 violas 2 flautas9 contrabajos 1 flautin

4. Arpas a violines 2 arpas 5 fagots

5. Violas a Violoncelos 6 clarinets

6. Flautas a arpas2 saxofones

7. Flautines a fagotes

8. Saxofones a clarinetes.

1.−1034

,2.−92

,3.−1234

4.− 234

,5.−1210

,6.−22

,7.−15

, 8.−26

2

160

8. Sofía pasó una hora estudiando para una prueba de historia y 25 minutos para una de matemáticas. Escribe la razón para comparar las horas de estudio de historia con las de matemáticas.

9. Un monumento tiene 70 veces el tamaño de una persona que mide 1.75m. ¿Cuánto mide el monumento y cuál es la razón que existe entre la medida de la persona y el monumento?

10. Escribe las razones en forma de fracción. Después redúcelas a su mínima expresión:a) 5 a 15 b) 8 a 12 c) 9 a 3 d) 12 a 15 e) 24 a 8

11. Contesta las siguientes preguntas:x

a) En la razón , ¿cuál es el antecedente?, ¿Cuál es el consecuente?y

b) ¿Qué nombre recibe la igualdad de dos razones?x

c) En la proporcióny

u= , ¿cuáles son los medios y cuáles los extremos?

v

12. Utiliza los productos cruzados para verificar si las siguientes expresiones son proporciones.5 10

a) = b)6 12

9 18= c)

10 41 7 5 4

= d) =7 1 4 5

25 5e) = f)

24 48 32

= g)9 36

4 10= h)

10 2510 1

=1000 10

13. Escribe R si la solución de la proporción es razonable., si no es razonable escribe el valor correcto.

6a) = a

, a = 4 b)15 456

=17

, x = 60, c) =n

, n = 682 8 20 x 9 36

a) 6/2 = a/8 48=2a 48/2 = a = 24 a=24 6/2 = 24/8 = 48/48

b) 15/20 = 456/x = 15x=900 9120/15=68 x=6815/20=456/68=9120/9120

c) R

14. Usa el cálculo mental para averiguar si las razones son equivalentes. Escribe en tu cuaderno sí o no.

4 8a) , , no b)

3 7

5 10, , no c)

25 100

2.3 1 ,

23 10

No

15. Escribe tres razones equivalentes a cada una de las razones dadas:2

a) , b)3 1

, c)60

1615

, d)1

5 60

, e)

7 85

162

16. Con la ayuda de esta gráfica, halla los valores aproximados de las razones siguientes:

A B C D E F

ABa) , b)

BCAD

, c)DE

AF CE d) .

EF AF

17. Resuelve los siguientes problemas:

A. Por cada 4 pesos que gana una persona, 1 peso lo destina a alimentación. Si el salario mensual de esta persona es de 320,000, ¿cuánto gasta en alimentación?

B. Por cada 100 habitantes bolivianos , 20 son analfabetas. Si la población de Bolivia es de 7 065 000, ¿cuántos analfabetas hay en Bolivia?

C. En un país de cada 100 personas, 25 ingresan a la universidad. ¿Cuál es la población universitaria si la población de ese país es de 12 000 000 de habitantes?

18. Escriba una razón equivalente a:3 1

a) cuyo antecedente sea 15 b)7 6 cuyo consecuente sea 18

19. Escribe el símbolo = ó ≠ en cada . Usa la propiedad de las proporciones.4 12

1)5 15

5 352)

2 144

, 3)15

3 8, 4)

7 628 9 3

, 5) ,22 16 4

20. Halle el valor de la literal y comprueba la proporción.24 4 5 y

a) = b) = 1 mc) =

t 5 12 8d) = e) =

x 3 3 42 2 18 14 2 27 m

a) 24 (3) = 4x 72/4=x x=18

24/18=4/3 24(3)=(18)(4)=72/72

b) 5/3=y/42 5(42)=3y 210/3=y y=70

5/3=70/42=210/210

c) ½=m/18 (18)=2m 18/2=m m=9

½=9/18 18/18

d) f/14 =5/2 f(2)=14(5) f=70/2 f=35

35/14=5/2=70/70

e) 12/27 = 8/m 12m=8(27) m=216/12=18 m=18 12/27=8/18=216/216

16321. Resuelve cada proporción y verifica la solución.

2a) =

3a + 112

n + 1 2b) =

9 64

c) =3

32x − 1

1d) =

5x + 2

25x − 3 12

e) =6 9

5f) =

4y + 1

8

164

22. Halla el número que falta para que cada par de razones sean iguales.

a) 24 =

x , b) 10 =

x , c) 12 =

x , d)

20 = x , e)216

= x

8 1 5 1 3 1 4 1 3 1

23. Encuentra los valores de X y Y en cada igualdad de razones.2 X

a) = = 6, b)

4 28= =

Y, c)

1 X 2= = , d)

1 X 2= =

3 18 Y 5 X 20 5 100 Y 12 60 Y

e) 3 =

X =

9 ,1 2 0 Y 5 X 10

f) = = , g) = =1 3

h) = Y

=10 100 Y 3 X 21 8 1000 Y 8 X 160

24. Un terreno de 420 m2. de superficie se divide en dos lotes de tal manera que uno es 3

4del

otro. ¿Cuánto mide cada lote?

25. Dos grupos A y B tienen un total de 105 alumnos. ¿Cuántos alumnos tiene cada grupo si la7

razón de A a B es ?8

26. La relación entre dos números es de 5 a 2 . Encuentra los números sabiendo que su suma es49.

27. La razón de dos números es de8

y su diferencia 55. Halla los números.3

28. Halla dos números conociendo su razón3

y su suma, 2100.4

29. Halla dos números cuya razón sea3

y la suma de sus cuadrados es 625.4

30. Escribe la palabra mayor o menor de manera que las siguientes proposiciones sean verdaderas.

a) Si compro más cosas en la tienda será el costo b) Si camino a mayor velocidad será el tiempo de llegada.c) Si más hombres trabajan por día en una obra es la cantidad de trabajo

hecho en ese mismo día.d) Si elevo la temperatura de una esfera metálica será su volumen e) Entre más alto sea un objeto será su sombra.

165

31. Si un edificio proyecta una sombra de 20 m. de largo, al mismo tiempo que una persona que mide 1.70 m. de estatura proyecta una sombra de 0.80 m., ¿calcula la altura del edificio?

32. Para la recolección de la cosecha se ha estudiado la relación que existe entre los trabajadores

y el tiempo que tardan en hacer la recolección. Los resultados se presentan en la siguiente

tabla.

NÚMERO DE TRABAJADORES 1 3 6 12 15 20 24

TIEMPO EMPLEADO (EN HORAS) 60 20 10 5 4 3 2.5

a) Identifica cuál es la magnitud independiente y cuál la dependiente.

b) Analiza de acuerdo a la tabla de datos si las magnitudes son inversamente proporcionales.

c) Haz la gráfica cartesiana, definiendo correctamente los ejes y distribuyendo la escala de

valores en forma apropiada.

d) Analiza de acuerdo con la gráfica si las magnitudes son inversamente proporcionales.

33. Con el fin de planificar los gastos diarios, una familia contabilizó el tiempo que tarda

prendida la parrilla de la estufa y el tiempo que tarda el gas en consumirse.

Los datos obtenidos se presentan en la tabla siguiente:

TIEMPO DIARIO ENCENDIDA LA PARRILLA

( HORAS )1 2 3 4 5 6 7

DURACIÓN DEL CILINDRO DE GAS

( DÍAS )18 9 4.5 3.6 3 2.3 1.3

a) ¿Cuál es la magnitud dependiente y cuál la independiente?

b) ¿Son estas magnitudes inversamente proporcionales?

c) Haz la gráfica cartesiana correspondiente. No olvides determinar correctamente los

ejes y distribuir los valores en forma apropiada.

d) ¿Corresponde la gráfica a las magnitudes inversamente proporcionales?

166

34. Completa las siguientes tablas:

a)

X 1 3 24

Y 12 2.4 0.5

b)

T(h) 6 9 15

V(km/h) 7.5 90 45 15

c) De las tablas anteriores encuentra la constante de proporcionalidad de cada una

35. Un tubo cuya sección es de 3.5 cm2 llena un tanque en 16 horas. Otro tubo cuya sección es

de 5 cm2., ¿qué tiempo tardará en llenar el mismo tanque?

36. Para tender la red de alcantarillado entre dos puntos se necesitan 6,000 tubos de 2.40 m. de

largo. ¿Cuántos tubos de 4.00 m se necesitarán para tender el mismo alcantarillado?

37. Un grupo de personas de la tercera edad hacen un paseo al campo y tienen provisiones para

30 días. Si el grupo se encuentra con 40 personas más, ¿para cuántos días les alcanzarán las

provisiones?

38. Veinticuatro obreros hacen una obra en 48 días, ¿en cuántos días la harán 12 obreros menos?

39. Si y varía directamente con x.a) y es 24 cuando x es 3 .Encuentre y cuando x es 4b) y es –12 cuando x es –6 , Encuentre y cuando x es 7 c) y es 3 cuando x es 21. Encuentre y cuando x es 35 d) y es –4 cuando x es 36 . Encuentre x cuando y es 6

x y

3 6

-2 -9

36 ½

-18 -1

x y

1 1

-1 -1

0 0

2 2

x y

3 6

6 12

-3 -6

-6 -12

x y

5 20

-10 -10

-4 -25

1/2 200

x y

½ -2

-1 1

-3/4 4/3

1 -1

X y

1 6

2 12

3 18

4 24

x y

1 2

3 4

5 6

7 8

x y

-2 8

-1 4

1 -4

2 -8

x y

5 20

10 15

15 10

20 5

x Y

-1 2

-2 4

-3 6

-4 8

167

40. ¿Cuáles tablas expresan variaciones inversas? Por cada variación inversa indica la constante de variación.

1.- 2.- 3.- 4.- 5.-

-

41. ¿Cuáles tablas expresan variaciones directas? Por cada variación directa indica la constantes de variación.

1.- 2.- 3.- 4.- 5.-

42. ¿Cuáles fórmulas describen variaciones inversas? Por cada variación inversa indica la constante de variación.

a) r • t = 60 b) c= 3.14d c) x . y = −8 d) 36 = b • h e) x • y = 1

f) 20

= x y

g) r = s

6h)

− 22 =

ab

i) p

= s4

j) 1

⋅y = x5

43. Encuentra el valor que deben tener las letras que aparecen en cada una de las siguientes proporciones para hacerlas verdaderas.

a) a: 5 : : 6 : 13 o sea a

= 6

; a =5

b) 8: 7 : : b: 10 o sea 8

7

13

= b

; b =10

c) 4: 5 : : 6 : c o sea4

= 6

; c =5

d) d :2 : : 11 : 7 o sea

c

d =

11 ; d =

2 7

168

44. Un ciclista ha recorrido 150 Km. en 5 horas, ¿cuánto recorrerá en 7 horas?. Si ya lo resolviste aritméticamente, represéntalo geométricamente.

45. Un hombre gana cierta cantidad por hora. Si por 5 horas gana 150 pesos, ¿cuánto ganará si trabaja 7 horas?. Resuélvelo geométricamente.

46. Si 4 agendas cuestan 80 pesos, ¿cuánto costarán 15 agendas?

47. Una torre de 25.05 m. da una sombra de 33.40 m., ¿cuál será, a la misma hora, la sombra de una persona cuya estatura es 1.80 m.?

48. Los 2/5 de capacidad de un estanque son 500 litros, ¿cuál será la capacidad de los 3/8 del mismo estanque?

49. Un corazón adulto sano bombea 5 litros de sangre por minuto, ¿cuántos litros bombea en 8 horas?.

50. Un árbol tiene 26 m. de altura, ¿qué altura tendrá un dibujo del árbol hecho a escala 1:500.

26m altura x=1cm(26)/5=5.2 5.2 centímetros

51. Haga un croquis de su salón en la escala 1:250.

52. Una cuadrilla de obreros concluye una obra en 20 días trabajando 6 horas diarias. ¿En cuántos días la habrían terminado trabajando 8 horas diarias?.

20 días 6 horas x días 8 hora x= (20x6)/8= 15 x=15

53. Si 4 hombres terminan una obra en 12 días, ¿cuántos días les llevarían a 7 hombres terminar la misma obra?.

4 hombres 12 días 7 x x= (4)(12)/7= 6.8 x=6.8 días

54. Sabiendo que 30 obreros emplean 8 días para hacer una obra, ¿cuánto tiempo necesitan 12 obreros para hacer el mismo trabajo?

30 obreros 8 días 12 x X= (30)(8)/12=20 x=20 días

16955. Si 9 obreros tardan en pavimentar un tramo de carretera en 24 días, ¿cuántos días tardarán en

hacer el mismo trabajo 12 obreros?.

9 obreros 24 días 12 x

x = (9)(24)/12= 18 x=18 días

56. Un tanque de agua tarda en llenarse en 120 minutos con 3 llaves (surtidores). ¿Cuántos surtidores se deben emplear si debe llenarse en 40 minutos?.

120 min 3 llaves 40 x

X=_(120)((3)/40=9 x=9 surtidores

57. Nueve hombres pueden hacer una obra en 5 días, ¿cuántos hombres sobrarían para hacer la obra en 15 días?.

9 hombres 5d x 15 x=6 hombres

58. 8 hombres han cavado en 20 días una zanja de 25 m. de largo, 2 de ancho y uno de profundidad. ¿En cuánto tiempo hubieran cavado la zanja 6 hombres menos?.

8 hombres 20 dias 25 metros 2mx1m 2 x x=8(20)/2=80 x= 80 días

59. A la velocidad de 30 Km. por hora un automóvil emplea 8 ¼ horas en ir de una ciudad a otra.¿Cuánto tiempo menos se hubiera tardado al triple de la velocidad?.

170

60. Si tres hombres trabajan 8 horas diarias y hacen 80 metros de una obra en 10 días, ¿cuántos días necesitan 5 hombres trabajando las mismas horas en hacer la misma obra?.

metros 80 80Horas 8 8hombres 3 5dias 10 6

61. Una guarnición de 1600 hombres tienen víveres para 10 días. Si se refuerza con 400 hombres más. ¿Cuántos días durarán los víveres?.

Hombres viveres1600 10400 2.5

62. Un auto recorre 150 Km. con 12 litros de gasolina. ¿Cuántos litros de gasolina se necesitan para recorrer 500 Km.?Km 150 150 150 50 500Gasolina (l) 12 12 12 4 40

O multiplicamos 12x500/150 = 40

63. Los miembros de una línea de carga estiman que pueden cargar 8 cajas en 20 minutos. A este ritmo, ¿Cuántas cajas pueden cargar en una hora?Linea de carga

8cajas 8 cajas 8 cajas 24cajas

minutos 20 20 20 60

60 x 8 /20 = 2464. En un mapa, 1 cm. Representa 3.27 Km. Si en este mapa hay una distancia de 24.5 cm. entre

dos ciudades. Cuál es la distancia real entre ellas?km Cm3.27 180.115 24.5

65. Un reloj se atrasa 2 minutos cada 15 horas. ¿Cuánto se atrasará en dos horas?minutos horasRetraso 2 15Retraso .2666666667 2

17166. Una escuela tiene un reglamento que indica que en viajes escolares, 2 adultos deben

acompañar a cada grupo de 15 estudiantes. ¿Cuántos adultos se necesitan para llevar a 180 estudiantes de viaje?

Alumnado Adultos15 2180 24

67. Para hacer cemento se necesitan 4 palas de arena por cada 5 de grava. ¿Cuántas paladas de grava se necesitan para 64 de arena?Arena Grava 4 564 80

68. La razón entre estudiantes extranjeros y americanos en un colegio es de 2 a 35. ¿Cuántos estudiantes extranjeros asisten a este colegio si hay 1575 estudiantes americanos?

extranjeros americanos2 3590 1575

69. Completa la tabla que se muestra considerando que un automóvil viaja a 80 km. por hora.

Tiempo (en horas) 1 2 3 4 5 6 7Kilómetros recorridos 80 160 240 320 400 480 560

70. Un impuesto indirecto se paga de acuerdo con el precio de venta de los artículos al consumidor o a la consumidora. Completa la tabla siguiente.

Precio P (en $) 20 40 60 80 100 120 140Impusto I ( en I) 2 4 6 8 10

001222

14

71. Completa la tabla que indica que el número de ladrillos pegados por un obrero, varía de acuerdo con el tiempo

Tiempo (en horas) 1 2 3 4 5 6 7Ladrillos pegados 20 40 60 80 100 120 140

Hr ladrillos

1 20 x=20(2) / 1 = 40/1=40 x=402 x

Hr ladrillos

2 40 x=3 (40) /2 = 120/2 =60 x=603 x

172

Hr ladrillos

3 60 x=4(60)=240/3=80 x=804 x

Hr ladrillos

4 80 x=6(80)/4 = 400/4= 100 x=1005 x

Hr ladrillos

5 100 x=6(100)/5=600/5=120 x=1206 x

Hr ladrillos

6 120 x=7(120)/6=840/6=140 x=1407 x

72. Un automóvil recorre 348 km. en 4 horas a velocidad constante. ¿Qué distancia recorrerá en6 horas?

Km horas

348 4 x=348(6)/4=2088/4 x 6

2088/4=522 x=522

73. Una empresa transportadora cobra $5,800 por cada 1000kg de carga. Por transportar 48,000 kg al mismo destino, ¿cuánto cobrará?

$ Kg

5800 1000 5800x48000=278400000/1000= 278400 x 48000

x=278400

74. Un telar teje 425 metros de tela en 5 horas. ¿Cuántas horas demorará en tejer 1000 metros de tela?

425m 5 hrs x=1000(5)/425=5000/425= 11.76 1000m x x=11.76

75. Un automóvil consume 25 litros de gasolina en 120 km de recorrido. Al recorrer 180 km,¿cuántos litros consumirá?25litros 120 Km x=180(25)/120 x 180 Km 4500/120=37.5 x=37.5 litros

173

76. ¿Cuál es la razón de área de un cuadrado de lado 16 metros con otro cuadrado de lado 3 metros?

77. ¿Cuáles de los siguientes pares de magnitudes están directamente correlacionadas?.Expliquen

a) La cantidad de dinero que lleva una pareja al supermercado y lo que puede comprar con él.

b) El consumo de luz en casa y el costo que debe pagar mensualmentec) El precio de un artículo y el número de éstos que puede comprar un señord) La cantidad de kilómetros recorridos por un taxista y la cantidad de combustible que

gasta.e) La cantidad de kilómetros recorridos por un taxista y el combustible que resta por

quemarse.

78. Las magnitudes relacionadas en las tablas de datos son directamente proporcionales;encuentra los valores que faltan:

Proporcionalidad y saltos de rana

Brincos de la rana 1 3 5 8 10 12 15Espacio recorrido 2.4 7.2 12 19.2 24 28.8 36

Proporcionalidad y perímetro

Longitud del lado (en cm) 0.8 5.6 7.4 12.9 15.4 16.1 18Perímetro del triángulo equilatero (en cm) 2.4 16.8 22.2 38.7 46.2 48.3 54

Cantidad 1 Cantidad 28 7162432

35

Tiem po Dis t anc ia1/ 2 P. M . 11/ 2 Km 1 P . M . 32 P . M . 621/ 2 P. M . 7.541/ 2 P. M . 131/ 2Km 5 P . M . 15

174

79. Completa las siguientes tablas

No de lim ones Cues tan3 1 P es o152725

Cantidad Cantidad1339 303

20252

De las tablas anteriores, determina la constante de proporcionalidad de cada una.

80. La siguiente tabla muestra los deportes preferidos por 100 estudiantes.

47 Futbol

16 Baloncesto

29 Patinaje

8 Voleybol

a) ¿Cuántos estudiantes escogieron fútbol como su deporte favorito?, ¿qué porcentaje corresponde a esa cantidad?

b) ¿Qué porcentaje escogió patinaje como su deporte favorito?, ¿ y voleibol?

No de pes os

No de dólares

23 3

92

3150

10

17

6

175c) ¿Cuánto mayor es el porcentaje que escogió fútbol como su deporte favorito que el

porcentaje que escogió patinaje?

176

81. Por una casa cuyo valor es de $8,500,000 se paga un impuesto de $125,000 anual ¿cuál será el precio de una casa por la cual se paga $180000 de impuesto anual?

82. Una fábrica de tejidos elabora 1250 sacos en 3 meses, ¿Cuál será la producción en año y medio?

83. Escribe como porcentaje:

a) 9 de 100 b) 10 de 100 c) 16 de 100 d) 99 de 100 e) 43 de 100

84. Escribe en forma de porcentaje:

a) 17

100b)

8

10c)

1

2d )

43

50e)

1

25f )

3

5g )

19

20

85. Escribe en forma de fracción y halla su mínima expresión.a ) 10 % b ) 57 % c ) 75 % d ) 6 % e) 1 % f ) 72 % g ) 22 % h) 67%

86. ¿A qué número entero es igual 100%?, ¿A qué fracción es igual 150%?

87. Escribir cada decimal en forma de tanto por ciento.

a) 0.62 b) 0.8 c) 0.015 d) 1.5 e) 0.465 f) 0.001 g) 0.05 h) 0.005

88. Completa la tabla :

Por ciento Fracción Decimal Fracción Simplificada

20%16/20

0.154/5

50/100

89. Completa la tabla:

Cantidad % = tasa PorcentajeCapital Tasa de interés Interés o rédito750 14%

3% 272400 96