En los siguientes problemas, halle la pendiente (si es posible) de la recta que pasa por el par de puntos dado.

Usando laformula de pendientedonde m= Δ yΔ x

= y 2− y 1x 2−x 1

(2 ,−3 ) y (0,4) m=4−(−3)0−2

= 7−2

(2,0 ) y (0,2) m=2−00−2

= 2−2

=−1

(2,6 ) y (2 ,−4 ) m=−4−62−2

=−100

=indefinida=∞

( 17 ,5) y (−111 ,5) m= 5−5−111

−17

= 0−1877

=0

En los siguientes problemas, halle la pendiente y los interceptos de la recta mostrada. Luego determine una ecuación para la recta.

Hallandodos puntos de la gráfica (0,0)

Hallandodos puntos de la gráfica (−4,0 ) ,(0 , 52)

Hallando la pendientem=

52−0

0+4=58

y=5(x+4)8

ecuación de larecta−5 x+8 y−20=0

Hallandodos puntos de la gráfica (3,0 ) ,(0,5)

m=5−00−3

=−53

Sustituyendom yusandoun puntode la recta

y−0=−53

( x−3 )=−53x+5

5 x+3 y−15=0

Hallandodos puntos de la gráfica (−52,0), (0 ,−3)

m= −3−0

0−(−52

)=−352

=−65

y+3=−65

( x−0 )

y=−65x−3

6 x+5 y+15=0

En los siguientes problemas, halle la pendiente y los interceptos de la recta cuya ecuación se da, y dibuje la gráfica de la recta.

x=3

Dadala ecuación sededuce que suecuacion es1x+0 y=3 ,

entonces usando la fórmulam=−AB

=−10

=indefinida=∞ ,intercepto x=3

y=3 x

Dadala formula y=mx+b ,dondemes la pendiente , entoncesm=3 , con interceptosb=0

3 x+2 y=6

Dadala formula y=mx+b

2 y=−3 x+6

y=−32x+3

Entoncesla pendiente m=−32con intercepto y=3 , intercepto x=2

x2+ y5=1

Usando lafórmulam=−AB

=−1215

=−52

y=5−52x ,con interceptos x=2 , y=5

En los siguientes problemas, escriba una ecuación para la recta con las propiedades indicadas.

Usando lafórmula y− y0=m(x−x0)

Pasa por (2,0) y su pendiente es 1

y−0=1(x−2)

y=x−2

Pasa por (5, -2) y su pendiente es −12

y− (−2 )=−12

(x−5)

y+2=−12x+ 52

y=12− x2

Pasa por (2,5) y es paralela al eje x

Sies paralelaal eje x entonces su pendientees igual a0 y−5=0 ( x−2 )

y=5

Pasa por (1,0) y (0,1)

Hallandola pendientem=1−00−1

= 1−1

=−1, sustituendo enla formula tomandouno de los puntos .

y−0=−1 ( x−1 )

y=−x+1

Pasa por (−15 ,1) y ( 23 , 14 )

Hallandola pendientem=

14−1

23+ 15

=

−341315

=−4552

Sustituyendoen la formula= y−1=−4552

(x+ 15)

y=−4552

x+ 4352

Pasa por (1,5) y (3,5)

Hallando la pendientem=5−53−1

=02=0 , sustituendo en la formulatomandounode los puntos.

y−5=0 ( x−1 )

y=5

Pasa por (4,1) y es paralela a la recta 2x + y = 3

Dadala ecuacion2 x+ y=3 su pendiente es igual− AB

=−21

=−2 , al ser paralela se cumpleque m1=m 2 ,entonces sustituyendo:

y−1=−2 ( x−4 )

y−1=−2 x+8

y=−2x+9

Pasa por (3,5) y es perpendicular a la recta x + y = 4

Dadala ecuacion x+ y=4 , hallamos su pendiente con la formula− AB

=−11

=−1, como es perpendicular anuestra recta sedebe cumplir quem 1∗m2=−1 , entonces dadom2=−1 ,m1es igual a1 :

y−5=1 ( x−3 )

y=x+2

Problemas aplicados a los negocios y la economía

17.- Utilidad de fabricación

Un fabricante estima que cada unidad de un artículo particular puede venderse por $3 más que lo que cuesta producirlo. También hay un costo fijo de $17 000 asociado con la producción del artículo.

a) Exprese la utilidad total P(x) como una función del nivel de producción xb) ¿Cuánta utilidad (o pérdida) se genera cuando se producen x = 5 000

unidades? ¿Cuándo se producen x = 20 000? ¿Cuál es el número más pequeño de unidades que se deben vender para que la producción sea rentable?

c) Encuentre la función de utilidad promedio AP(x). ¿Cuál es la utilidad promedio cuando se producen 10 000 unidades?

a)

P ( x )=3 x−17000

b)

P ( x )=3 (5000 )−17000=Una perdidade2000

P ( x )=3 (20000 )−17000=42000 en ganancias

Paraque searentabletengo querecuperar lo invertido entonces :

3 x=17000

x=5666.666≈5667deartículos

vendidos se puededecir que seharecuperado lainverción

Ventas al menudeo

Un fabricante vende lámparas a $50 la unidad; a este precio, los consumidores compran 3 000 unidades al mes. Éste desea reducir el precio y estima que por cada $1 de rebaja cada mes se venderían 1 000 lámparas más. Si el fabricante puede producir las lámparas a $29 por unidad, exprese su utilidad mensual como una función del precio al que se venden las lámparas, dibuje la gráfica y calcule el precio óptimo de venta.

Impuesto sobre el ingreso

En la siguiente tabla se muestra la tasa de impuestos federales 2010 para contribuyentes solteros.

a) Exprese el impuesto sobre el ingreso de un individuo como una función del ingreso gravable x para 0≤ x≤171850. Dibuje la gráfica

b) La gráfica del inciso (a) debe constar de cuatro segmentos de recta. Calcule la pendiente de cada segmento. ¿Qué sucede a las pendientes en la medida que aumenta el ingreso gravable? Explique el comportamiento de las pendientes en términos prácticos.

Si el ingreso gravable es El impuesto es

Más de (límite inferior)

Pero no más de Del excedente del límite

inferior

0$8 375$34 000$82 400

$8 375$34 000$82 400$171 850

10%$837.50 + 15%

$4 681.25 + 25%$16 781.25 + 28%

0$8 375$34 000$82 400

Cosecha

El 1 de Julio los agricultores pueden obtener $8 por arroba de papa; después de esa fecha, el precio disminuye en 5 centavos diarios por arroba. El 1 de Julio, un agricultor tiene 140 arrobas de papas en el campo y estima que la cosecha está aumentando a una tasa de una arroba por día. Exprese el ingreso del agricultor por la venta de la papa como una función del tiempo de recolección de la cosecha, dibuje la gráfica y calcule cuándo debería cosechar el agricultor la papa para maximizar el ingreso.

Costo de transporte

Una compañía de autobuses adoptó una política de precios para grupos que desean contratar sus vehículos. De este modo, a los grupos de no más de 40 personas les será cobrada una cantidad fija de $2 400 (40 multiplicado por $60). Los grupos que tienen entre 40 y 80 personas pagarán $60, menos 50 centavos por cada persona adicional a 40. La tarifa más baja de la compañía, $40 por persona, se ofrecerá a grupos de 80 o más personas. Exprese el ingreso de la compañía de autobuses como una función del tamaño del grupo. Dibuje la gráfica.

27.-Decisión del editor

Un autor debe decidir entre dos editores para publicar su nuevo libro. El editor A le ofrece regalías de 1% de las utilidades netas de los primeros 30 000 ejemplares y 3.5% de todos los ejemplares que superan esa cifra, con quien espera ganar $2 netos de cada ejemplar vendido. El editor B no le paga regalías de los primeros 4 000 ejemplares vendidos, pero le paga 2% de las utilidades netas de todas las copias que superen los 4 000 ejemplares, con quien espera ganar $3 netos de cada ejemplar vendido. Suponga que el autor espera vender N ejemplares; establezca un criterio simple con base en N para decidir cómo es que podría elegir entre los dos editores.

Costo de producción

Una compañía ha decidido un pedido del departamento de recreación de la ciudad para fabricar 8 000 tablas de espuma de poliestireno, las cuales se utilizarán en el programa de natación del siguiente verano. La compañía posee varias máquinas, cada una de las cuales puede producir 30 tablas por hora. El costo de ponerlas en marcha para producir las tablas es $20 por máquina. Una vez que éstas se han puesto en marcha, la operación se automatiza por completo y puede ser vigilada por un solo supervisor de producción que gana $19.20 por hora. Exprese el costo de producir 8 000 tablas como una función del número de máquinas utilizadas, dibuje la gráfica y calcule el número de unidades que la compañía debería utilizar para minimizar el costo.

Equilibrio de mercado

En los problemas siguientes, las funciones de oferta y demanda, S(x) y D(x), se dan para un artículo dado en términos del nivel de producción x. En cada caso:

a) Encuentre el valor de xe para el cual se alcanza el equilibrio y el correspondiente precio de equilibrio Pe

b) Dibuje en la misma gráfica las curvas de oferta y demanda, p = S(x) y p = D(x)

c) ¿Para qué valores de x hay escasez en el mercado? ¿Para cuales abundancia?

S(x) = 4x + 200 y D(x) = -3x + 480

S(x) = 3x + 150 y D(x) = -2x + 275

S(x) = x2 + x + 3 y D(x) = 21 – 3x2

S(x) = 2x + 7.43 y D(x) = -0.21x2 – 0.84x + 50

Oferta y demanda

Los productores ofertarán x unidades de un artículo en el mercado, cuyo precio es p = S(x) dólares por unidad; mientras que los consumidores demandarán (comprarán) x unidades, cuyo precio es p = D(x) cada una, donde

S ( x )=2 x+15 y D ( x )= 385x+1

a) Encuentre el nivel de producción de equilibrio xey el precio de equilibrio de Pe

b) Dibuje en la misma gráfica las curvas de oferta y demandac) ¿Dónde cruza el eje y la curva de oferta? Describa el significado económico

de este punto

Análisis del punto de equilibrio

Una comerciante puede vender cierto producto a $110 por unidad. El costo total consiste en un costo indirecto fijo de $7 500, más costos de producción de $60 cada una.

a) Exprese el ingreso total de la comerciante, el costo total y la utilidad total en términos de x (número de unidades vendidas). Dibuje en el mismo conjunto de ejes las funciones de ingreso total y costo total

b) ¿Cuántas unidades debe vender la comerciante para alcanzar el punto de equilibrio?

c) ¿Cuál es su utilidad o pérdida si vende 100 unidades?d) ¿Cuántas unidades debe vender para lograr una utilidad de $1 250?

a)

Ingreso=110 x CostoTotal=7500+60 x Utilidad=I−C=110 x−(7500+60 x ) =

50 x−7500

b)

110 x=7500+60 x

50 x=7500

x=150unidades debenvenderse

c)

110 x−(7500+60 x )

50 x−7500

50 (100 )−7500=−2500 existeuna perdida

d)

Utilidad=Ingresos−Costo de producción

1250=50x−7500

50 x=8750

x=175unidades debenser vendidas

Costo de construcción

Una compañía planea construir un nuevo edificio y un estacionamiento sobre un terreno rectangular de 100 metros de ancho y 120 de largo. El edificio tendrá 20 metros de altura y una planta rectangular con perímetro de 320 metros, como se muestra en la figura de este problema.

a) Expresa el volumen V(x) del edificio como una función de la longitud de su lado más largo x

b) Grafique la función de volumen del inciso (a) y determine las dimensiones del edificio de mayor volumen que satisfagan los requerimientos señalados

c) Suponga que la compañía decide construir el edificio de volumen máximo. Si construir el edificio cuesta $75 el metro cúbico, y construir el estacionamiento $50 el metro cuadrado, ¿cuál es el costo real?