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UNIVERSIDAD DE LA FRONTERA FACULTAD DE INGENIERIA , CIENCIAS Y ADMINISTRACIÓN DEPTO. DE MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA.

Mg.: Arnoldo Rafael Lopetegui B. Alumno: ……………………………

LA DERIVADA.-

Definición.-

Sea f: A⊂R→R función. Se llama derivada de " f " a la función que se denota por f 'y tal que su valor en cualquier punto " x " del dominio de definición de " f " está dado, siempre que exista el límite, por :

f ' ( x ) = limΔ→0

f ( x+Δ x )−f (x )Δ x

, siempre que este límite exista.

Esta definición puede modificarse haciendo h = Δ x , entonces se tendrá que:

f ' ( x ) = limh→0

f (x+h )−f (x)h

, siempre que este límite exista.

Notaciones: Si y = f ( x), entonces las siguientes expresiones denotan su derivada

respecto del argumento " x " : f ' ( x) ; y' ; dydx

; Df ; y x ; f x

Derivada en un punto: No siempre es posible hallar la derivada en un punto a partir de conocer la derivada de la función en un punto arbitrario " x " de su argumento. Por ello es necesario tener una herramienta que provea dicho cálculo.

Definición: Una función “ f” se dice diferenciable en el punto x = a, que se anota por f ' (a), si existe:

f ' ( a ) = limh→0

f (a+h )−f (a)h

Ejemplos.- Usando definición, calcular la derivada de :

1) f ( x) = 3x+1 2) f ( x) = x2 3) f ( x ) =3√ x

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Teorema.- Si f es diferenciable en xes f es continua en xecíproco de este teorema no es verdadero. Por ejemplo, la función f ( x) = x escontinua en x = 0, pero no es diferenciable en 0.

Fórmulas elementales de diferenciación.-

1) Derivada de una función constante:

Si f ( x) = c f ' ( x) = 0Ejemplos.-

1) f ( x ) = √2 f ' ( x) = 0 2) f ( x ) =23√2 →f ' ( x )=0

2) Derivada de una función f ( x ) = xn

Ejemplos.-

a) f ( x) = x2f ' ( x) = 2x b) x) = x3

( x) = 3x2

3) Derivada de la función seno.

Si f ( x ) = sen x f ' ( x ) = cos x

4) Derivada de la función coseno.-

Si f ( x) = cos x f ' (x ) = -sen x

Teorema.-

Sean y = f ( x) ; y = g ( x) dos funciones definidas en un intervalo común I . En cada punto en donde y = f ( x) , y = g ( x) son diferenciables , también lo son: ( f + g) ; ( f - g) ;

( f · g) ; fg

; ( con y = g(x) , distinto de cero en el punto donde se derive)

Las derivadas de estas funciones están dadas por las siguientes fórmulas:

i) ( f + g) ' = f ' + g ' ii) ( f - g ) ' = f ' - g ' iii) ( f · g) ' = f · g ' + f ' · g

iv) ( fg )'

= f ' · g−f·g '

g2 ; en los puntos en donde g(x) ≠0

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Ejemplos.-

Encontrar la derivada aplicando teoremas.-

1) f(x) = x2−5 x+7 2) f(x) = 1

x2+ 2

x3 3) f( x ) = √ x + 3√ x

4) f( x) = (2x2+3x3 ¿(x4+x ) 5) f(x) = x3−8x3+8

6) f (x) = (x3+3 )(x2−2 x+1)

x2+3

Derivadas de las funciones trigonométricas.-

a) Si f ( x) = tg x f ' ( x ) = sec2 x ;con x ≠( 2k−12 )π ;k ϵ Z

Si f ( x ) = ctg x f ' ( x) = −csc2 x ; conx k

c) Si f ( x) = sec x f ' ( x ) = tg x · sec x ; con x ( 2k−12 )π ;k ϵ Z

d) Si f ( x ) = csc x f ' ( x) = - ctg x · csc x ; con x k