ApuntesdeRegulacionAutomaticaIngenieraElectronicaJavierAracilFabioGomez-EsternContenido1 Introduccionalossistemasdecontrol. 11.1 Nociondecontrolautomatico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Necesidaddelmodelomatematicodelsistema. . . . . . . . . . . . 31.3 Ideaderealimentaci on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Realimentaci on,retardosyoscilacion. . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Sensibilidadyrealimentaci on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6 LasMatematicasyelcontrolautomatico. . . . . . . . . . . . . . . 91.7 Se nalesysistemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.8 Servomecanismosyreguladores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.9 Bosquejohistoricodelcontrolautomatico. . . . . . . . . . . . . . 151.9.1 Control,informaticaytelecomunicaciones. . . . . . . . . . 172 Introduccionalossistemasrealimentados 192.1 Servomecanismodeposicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Accionproporcionalmasderivada(PD). . . . . . . . . . . . . . . 212.3 Accionproporcionalmasintegral(PI). . . . . . . . . . . . . . . . 22iContenido ii3 Sistemasdinamicoslineales 283.1 TransformaciondeLaplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.1.1 Denicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.1.2 ResumendePropiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.1.3 Calculodeantitransformadas . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 Nociondesistemadinamico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3 Formasdelasrelacionesentrada-salidaensistemas. . . . . . . . . 393.3.1 Sistemasestaticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3.2 Sistemasdinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.4 Descripcionexternadelossistemasdinamicos. . . . . . . . . . . . 423.4.1 Respuestaimpulsional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4.2 Funci ondetransferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.5 Sistemasdecontrolrealimentados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 Interpretacionesdelafunciondetransferencia 504.1 TransformaciondeFourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.2 Funciondetransferenciaeneldominiodelafrecuencia . . . . . . 545 Sistemasdinamicoslinealesdeprimerorden 565.1 Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.2 Soluciondelaecuaciondiferencialdeprimerorden . . . . . . . . 575.2.1 Se naldeentradanula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.2.2 Se naldeentradanonula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.2.3 Respuestasase nalesdeentradaespeciales . . . . . . . . . 61Contenido iii5.2.4 Respuestaarmonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.3 Ejemplosdesistemasdeprimerorden . . . . . . . . . . . . . . . 725.4 Elsistemadeprimerordencomointegrador . . . . . . . . . . . . 776 Sistemasdinamicoslinealesdesegundoordenydeordenysu-perior 796.1 Denicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.1.1 Respuestadeunsistemadesegundoordenaunaentradaenescalon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.1.2 Respuestaenfrecuenciadeunsistemadesegundoorden . 916.1.3 Ecuacionesdiferencialesdeordenn . . . . . . . . . . . . . 927 Representaci ongracadelafunciondetransferencia 987.1 Diagramasmascomunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.1.1 Diagramadepolosyceros: casoracional . . . . . . . . . . 987.1.2 DiagramadeNyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.1.3 DiagramalogartmicoodeBode. . . . . . . . . . . . . . . 1007.1.4 DiagramadeBlack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.2 DiagramadeBode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.2.1 DiagramadeBodedeunaconstante . . . . . . . . . . . . 1037.2.2 DiagramadeBodedeunaintegracionpura. . . . . . . . . 1037.2.3 DiagramadeBodedeunsistemadeprimerorden . . . . . 1037.2.4 DiagramadeBodedeunadiferenciacionpura . . . . . . . 1057.2.5 DiagramadeBodedelterminoasociadoauncero . . . . . 1067.3 Sistemasdefasemnima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106Contenido iv7.4 CrculosMyN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.5 Relacionentrelasconstantesdeerrorylospolosyceros. . . . . . 1127.5.1 Seguimientodeposicion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.5.2 Seguimientodevelocidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.5.3 Seguimientodeaceleracion. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.5.4 Sistemasconerrornulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1198 Estabilidaddelossistemasdinamicos 1228.1 Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1228.2 Criteriosdeestabilidadrelativosaladescripcionexterna . . . . . 1238.2.1 CriteriodeRouth-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1288.2.2 MatrizdeHurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1338.3 CriteriodeNyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1348.3.1 Gradodeestabilidadeinterpretaci ondelcriteriodeNyquist 1419 Compensaciondesistemasrealimentados 1439.1 Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1439.2 AnalisiseneldominiodelafrecuenciadelaredPD. . . . . . . . 1479.3 AnalisiseneldominiodelafrecuenciadelaredPI . . . . . . . . 1509.4 Accionproporcional,integralydiferencial(PID). . . . . . . . . . 1539.5 Compensacionporavancedefase . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1559.6 Efectoeneldominiodelafrecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . 1579.7 Metodopractico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158Contenido v10Representacionmatematicadesistemas 16210.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16210.1.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16210.2 Descripcioninternadelossistemasdinamicos . . . . . . . . . . . 16310.2.1 Sistemasdeestadosnitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16610.2.2 Sistemasdinamicoslinealesentiempocontinuo . . . . . . 16710.2.3 Funci ondetransiciondelossistemasdinamicoslineales. . 17710.2.4 Sistemasdinamicoslinealesentiempodiscreto. . . . . . . 18110.2.5 Muestreodesistemasentiempocontnuo. . . . . . . . . . 18210.2.6 Sistemasno-lineales: linealizacion . . . . . . . . . . . . . . 18510.2.7 Depositomezclador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18711Controlabilidadyobservabilidaddesistemasdinamicos 19111.1 Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19111.2 Controlabilidaddesistemasdinamicoslineales . . . . . . . . . . . 19211.2.1 Estadosalcanzables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19211.2.2 Estadoscontrolables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19311.2.3 Estadosconectados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19411.3 Controlabilidaddelossistemasentiempodiscreto. . . . . . . . . 19511.3.1 Ejemplosdeintroduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19611.3.2 Controlabilidaddesistemasentiempocontinuo . . . . . . 20211.3.3 Criteriodecontrolabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20311.3.4 Ejemplosdecontrolabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 206Contenido vi11.4 Notassobrecontrolabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20911.4.1 Controlabilidaddesistemasmonovariables . . . . . . . . . 20911.4.2 Transformaci ondelamatrizdeControlabilidad . . . . . . 21011.4.3 Formasimplicadadelcriteriodecontrolabilidad . . . . . 21011.4.4 Lacontrolabilidadcomopropiedadgenerica . . . . . . . . 21111.5 Descomposiciondel espaciodeestadosensuspartescontrolablesynocontrolables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21211.6 Observabilidaddesistemasdinamicoslineales . . . . . . . . . . . 21811.6.1 Introduccionalaobservabilidad. . . . . . . . . . . . . . . 21811.6.2 Observabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22011.6.3 Reconstructibilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22111.6.4 Criteriodeobservabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22111.7 Sistemascontinuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22311.8 Perdidadeobservabilidadpormuestreo. . . . . . . . . . . . . . . 22511.8.1 Notassobreobservabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . 22711.9 Descomposicion del espacio de estados en sus partes observables yno-observables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22711.10Descomposicioncanonicadelespaciodeestados . . . . . . . . . . 22911.11Formascanonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23311.11.1Formacanonicadeobservaci on . . . . . . . . . . . . . . . 23912Sntesisdesistemasdecontrolporvariablesdeestado 24212.1 LeydeControl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24212.1.1 Interpretacionpordiagramas . . . . . . . . . . . . . . . . 245Contenido vii12.1.2 Interpretacionalgebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24612.1.3 Determinaciondelaleydecontrol . . . . . . . . . . . . . 24812.2 Observadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25112.2.1 Sistemasmonovariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25212.3 Sntesisdelsistemaenbuclecerrado . . . . . . . . . . . . . . . . 26212.3.1 Metodopracticodesntesis . . . . . . . . . . . . . . . . . 27012.3.2 Sntesisalgebraicadirecta(Sntesisexternadirecta) . . . . 27513Sistemasnolineales 28313.1 Metododelprimerarmonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28313.1.1 Ejemplointroductorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28313.1.2 Principiosdelmetodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28913.1.3 Transformaci ondeFourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28913.2 Algunasfuncionesdescriptivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29113.2.1 Saturacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29213.2.2 Rele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29313.2.3 Holgura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29413.2.4 Determinacionexperimentaldelafunciondescriptiva . . . 29713.3 Analisisdesistemasnolinealesmediantelafunciondescriptiva. . 29813.3.1 UnaampliaciondelcriteriodeNyquist . . . . . . . . . . . 29913.3.2 Oscilacionesdeunservomecanismonolineal . . . . . . . . 30013.3.3 Funci ondescriptivaindependientedelafrecuencia. . . . . 30213.3.4 Funci ondescriptivadependientedelafrecuencia. . . . . . 302Contenido viii13.3.5 Estabilidaddeloscicloslmite. . . . . . . . . . . . . . . . 30413.3.6 Fiabilidaddelanalisismediantefuncionesdescriptivas. . . 30913.4 Criteriosdeestabilidadrelativosaladescripcioninterna . . . . . 31113.4.1 TeoradeLyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31113.4.2 Unejemplointroductorio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31113.4.3 NociondeestabilidadenelsentidodeLyapunov. . . . . . 31413.4.4 TeoremadeLyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31513.4.5 AplicaciondelmetododeLyapunovasistemaslineales . . 31813.5 ConstrucciondefuncionesdeLyapunovconformascuadraticas . 32313.5.1 MetododeKrasovkii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32714Introduccionalaoptimizaciondesistemasdinamicos 33114.1 Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33114.2 OptimizacionEstatica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33214.2.1 Minimizaciondefunciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33214.3 Introduccionalcontroloptimo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33614.3.1 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33814.3.2 Ejemplode ndicedefuncionamientocuadratico . . . . . . 34114.4 Problemageneraldelcontroloptimo . . . . . . . . . . . . . . . . 34514.5 Calculodevariaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34614.5.1 Funcionalesysusvariaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 34614.5.2 EcuacionesdeEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35214.5.3 Estadonalvariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359Contenido ix15MetodosVariacionalesenControlOptimo 36815.1 AplicaciondelcalculodevariacionesalaresoluciondelproblemadelControlOptimo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36815.1.1 Sepuedeeliminaru. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36815.1.2 Nosepuedeeliminaru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37315.1.3 Introducciondeunterminodecontrolterminal . . . . . . 38216PrincipiodelMnimodePontriagin 39316.1 Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39316.2 Controloptimoporconmutaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40816.2.1 Controlentiempomnimodeunsistemadesegundoorden 40816.2.2 Ejemplo4: Problemadelalunizajesuave . . . . . . . . . . 41217PrincipiodeoptimalidaddeBellman 41717.1 Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41717.1.1 Ejemplodeunsistemabinarioentiempodiscreto . . . . . 42117.1.2 ProgramaciondinamicaentiempodiscretoyPrincipiodeOptimalidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42317.2 ProgramaciondinamicayecuaciondeHamilton-Jacobi-Bellman . 42417.2.1 Relacionentrelaprogramaciondinamicaylaformulaci onHamiltonianadelproblemadecontroloptimo . . . . . . . 43317.3 Controldesistemasdinamicoslinealesconcriteriocuadratico . . . 43417.3.1 Breverese nahistorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43417.3.2 ProblemaLQR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43617.4 EcuaciondeRiccatieneldominiodelafrecuencia. . . . . . . . . 446Contenido x17.5 ResoluciondelproblemaLQR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45018Estimaciondelestado 45218.1 Nociondese nalaleatoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45218.1.1 Descripcionestadsticadelasse nalesaleatorias . . . . . . 45318.2 Transmisi on de se nales aleatorias a traves de sistemas lineales: de-scripcioninterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45618.3 Elproblemadelaobservaci on: FiltrodeKalman . . . . . . . . . 45818.3.1 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46418.4 MetodoLQG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466Tema1Introduccionalossistemasdecontrol.1.1 Nociondecontrolautomatico.Deunamaneraintuitivaseconcibeel control automatico, comolaramadelatecnicaquetieneporobjetoconcebiringeniosquefuncionenautonomamente,esdecir, y hablando llanamente, que funcionen solos. Esta nocion intuitiva requiereunasciertasmatizaciones,peroesvalidacomopuntodepartida.Bajo cierto punto de vista se puede considerar que en todo proceso industrialintervienenporunapartelainformacion(ordenes)yporotralapotencia. Bajoeste mismo punto de vista cabe considerar el funcionamiento de un proceso comola adopcion de las acciones necesarias frente al mismo (se nales de mando o control)paralaconvenientedosicaciondelaenergaenlosdistintospuntosdelprocesoparaqueelfuncionamientodelconjuntoseaelconveniente.Entodoproceso, sealafabricaciondeunproducto, unavi onenvuelo, unamaquinafuncionando, etc.., se realizanunaserie de acciones que presuponenladosicaciondelaaplicaciondeenergaendeterminadospuntos, bienbajolaaccion de unas ordenes que se suministran al mismo, bien de una manera aleatoriaporpartedelmedioenelquesehallainmerso.Sepuederepresentarunprocesodeestanaturaleza,alqueapartirdeahoradenominaremos sistema por medio de un bloque, o rectangulo, tal como el repre-sentadoenlagura1.1. Alaizquierdadeestebloquesehanrepresentadounas1Introduccionalossistemasdecontrol. 2echasquesehandenotadoporu1, u2...yquerepresentanlasdistintasaccionesquesepuedenejercersobreel proceso; sedenominaranenloquesiguese nalesdecontrol,mando,oentrada. Aladerechadelbloquesehanrepresentadootrasechas,comosaliendodelmismo,quesehandenotadopory1, y2, ...yquerepre-sentanlosproductosqueproduceelproceso. Tantolasaccionessobreelsistemacomolosproductosdelmismogeneralmentevaranconeltiempo,porloquesehablara de secuencias temporales, o mas formalmente de se nales; sobre el caracterdeestasse nalessevolveramasadelante.SistemaacontrolarEEEEEEqqqqqqu1u2uny1y2ymFigura1.1: SistemadinamicoObservese que este esquema, al nivel que se hadesarrolladohastaahora,tiene unaamplsimaaplicacion. Por ejemplolaconduccionde unautomovilporunacarreterapuedeconsiderarsecomounprocesosistemarepresentadoconundiagramasimilaral delagura1.1siendou1laposiciondel volante; u2ladireccion del viento respecto a la del automovil, etc.., y siendo y1la velocidad delautomovil;y2laseparaciondelmismodelacuneta,etc.De una manera intuitiva se entiende que un proceso esta automatizado cuandofuncionasolo, es decir, sinintervenci ondel ser humano. Por ejemplo, unau-tomovilcompletamenteautomatizadoseraaquelquefuncionasecompletamentesolo. Aunque este ejemplo trivial pueda asociarse al dominio de la ciencia ccion,recientesavancesendisciplinascomolalavisionarticial yel aprendizajeau-tomatico,auguransuinminenteviabilidadtecnica.Volviendo al problema original, se puede decir que el funcionamiento del pro-cesoseharaapartirdelaseriedese nalesuiqueseleaplique. El problemadecontrolar(gobernar)elproceso,sereducealdeestablecerlasse nalesdeentrada(ordenes), a que debera ser sometido para que su funcionamiento sea el apetecido.Por lo tanto, el problema de controlar el funcionamiento de un proceso quedareducido al de la toma de decision de la secuencia temporal de valores que debenIntroduccionalossistemasdecontrol. 3tomar las se nales demandodel mismo. Es decir, volviendoal ejemplotrivialdelaconducciondel automovil, ladecisiondelasmaniobrasquedebeefectuarelconductor(sobreelvolante, sobreelfreno, sobreelacelerador...) paraqueelfuncionamientodelautomovilseaeladecuado.1.2 Necesidaddel modelomatematicodel sis-tema.Sehavistoenel apartadoanteriorcomoel gobiernodeunprocesosereducaal establecimientode lasecuenciade acciones de mandoque debe aplicarseleparaqueelfuncionamientoseaelapetecido. Sevaaconsiderarahoraunprimeraspectodelestablecimientodeestasecuencia.Latomadedecisionsobrelase nalquedebeaplicarsealsistemaimplicaqueexistandistintasalternativas. Esdecir, queexistandistintasaccionesposiblescadaunadelascualesdaraunresultadodistinto. El problemasereduceal deelegirentreestasse nales,aquellascuyoresultadoseaelapetecido.Al existir distintas opciones respectoalaaccionatomar paragobernar elproceso, para realizar la eleccion conveniente de la se nal de entrada que determineunfuncionamientoapetecido,esnecesarioquesesepapredecirqueresultadosseobtendradecadaunadelasposiblesacciones. Esdecir, quientomeladecisionrespecto a cual de las posibles acciones a tomar debe adoptarse, debe predecir inmente, lasaccionesqueresultarandecadaunadesusposiblesopciones, coneln de escoger aquella se nal de entrada a la que corresponda un resultado que seaelbuscado.Por lotanto, se requiere el conocimientoexhaustivode las relaciones queexistenentrelasposiblesaccionesatomarsobreelsistema,ylosresultadosquedeterminarancadaunadeellas. Estoesloquesellamaunmodelodelproceso;aunque existendiversos tipos de modelos, (descripciones verbales, prototipos,tablas), nos interesamos en texto por los matematicos, que estan constituidos porlasrelacionesformalesqueliganalasse nalesuieyi.El conductor del automovil, que es quien toma la decision del posicionamientodelosdistintosorganosquetieneasualcance(volante, frenos, acelerador...) loque hace en todo instante es prever cual sera el resultado de las decisiones tomadasconel ndemantenerel procesoquegobierna(el automovil), enunestadodemarchayfuncionamientoapetecido.Introduccionalossistemasdecontrol. 4Para construir un modelo matematico de un proceso, se requiere establecer deuna forma precisa, las magnitudes que lo denen (se nales de entrada y de salida)ascomolasrelacionesformalesqueliganaestasmagnitudes.Enlavidaordinaria,cuandoseconstruyenmodelos,deunamanerasubcon-sciente,paralatomadedecisiones, estosnotienenelniveldeformalidadqueseacaba de indicar. Sin embargo, cuando se quiere automatizar un proceso, es indis-pensablelaconstrucciondeestosmodelosformalesconelndepodertrasladarel procesodetomadedecisionaunamaquinaconstruidaal efecto, as quede-terminaralasaccionesatomarprecisamenteapartirdelmodelodelsistemadelquedisponga.Laposibilidaddeconstruirunmodelodel procesoqueseesteconsiderando,constituyeunadelasmayoreslimitacionesapriorirespectoalaposibilidaddeautomatizarundeterminadoproceso. Considerese,porejemplo,elproblemadelestablecimientodeuntratamientoporunmedicoparaunodesusenfermos. Enlamedidaenquefueseposibleenprimerlugardenirunaseriedemagnitudesquecaracterizasenelestadodelenfermo(temperatura, tensionarterial, concen-traciones en sangre de principios activos...) y de las relaciones formales que ligana estas magnitudes, sera posible automatizar completamente el problema del es-tablecimientodeuntratamiento, quenoessinodeterminar laaccionaseguirsobreel enfermoparaconseguirquelaevoluciondel mismoestadodesaludserealiceenformaapetecida.Enciertoscasosesposibleestablecerunmodelomatematicodelprocesoqueliguedeunamaneraunvocaacadaunadelasaccionesquesetomenun unicoresultado. Setieneentoncesunsistemadeterminista. Enotroscasos,paracadauna de las acciones posibles, no se tiene sino una prediccion estadstica de posiblesresultados;setienenentonceslosllamadossistemasestocasticos.1.3 Ideaderealimentacion.Elconocimientodelmodelomatematicodel sistemasobreelquesedebetomarunadecisionparagobernarsufuncionamiento, noessucienteparalatomadeesta decision. Se requiere ademas informacion sobre lo que, de una forma intuitivademomentosepuededenominarestadoactualdelmismo.Esfacilencontrarejemplosqueilustrenestepunto. Supongase,porejemplo,unautomovil que debe hacer el recorridoSevilla- Cadiz. Supongase que sedisponedeunmodelomatematicodel funcionamientodel automovil as comoIntroduccionalossistemasdecontrol. 5untrazadominuciosodelaautopistaqueunelasdosciudadesPareceposible,enprincipio, concebirunprogramadeordenadorextraordinariamentedetalladoquepermitieserealizarlatomadedecisionessobrelaconducciondelautomovil.Unprogramaqueseraalgoas comounasecuenciadeinstrucciones del tipo:avanzarenlnearecta150m,realizarungiroaladerecha,conradiodegirode1km.,.... Sinembargoparececlaroqueenprincipionoquepaaugurarunfelizresultadoalaempresa. Estetipodeprogramadaralugarauncontrol enenel quenosetieneinformacionexternasobrelasituacionactual, situacionquerecibeel ladenominaciondesedenominacontrol enbucleabierto. Peseasuslimitaciones, tienesuaplicacionenciertoscontextos, porejemplounalavadoraautomaticabasadaensecuenciasdetrabajoprejadaseneltiempo.El conductor del automovil no hace sino desde su posicion de gobierno, intro-ducirensusistemadedecisionneuronal, especialmentepormediodesusojos,informacionsobreel estadoactual del automovil, permitiendodeestaformaelque la toma de decision respecto a la condicion delmismo,adquiera un grado deecaciarealmenteable.Esteejemplo, peseasuaparentearticiosidadessimilaral quesepresentacuandosetratadeenviarunacapsulaalaluna. Debenotarsequelanecesidaddelarealimentacionsurgecomoconsecuenciadelaapariciondeperturbacionesaleatoriasquemodicanel funcionamientodel sistemadeacuerdoconunplanprevisto, o sencillamente por la imperfeccion del modelo del sistema que le impideunaprediccionexacta,alargoplazo,delfuncionamientodelmismo.Desde un punto de vista general, cabe decir que los sistemas con realimentaci onsonaquellosenlosquelaadopciondedecisionescaraal futuroestacompleta-mente inuenciada por los efectos de las previamente adoptadas. Dicho con otraspalabras, sonlossistemasenlosquesi laaccionquesellevaaefectopersigueunadeterminadameta,esladiferenciaentrelaprecisionalcanzadaenlaaproxi-macion a esta meta, y ella misma, la que determina las acciones posteriores. Estetipodeactuacionessonlasquesedenominancontrolenbuclecerradoocontrolporrealimentaci on.Enlagura1.2serepresentaenformadediagramadebloquesloanterior.Endichaguraserepresentapor unladoel Sistema, cuyavariabledeSalidapretendemoscontrolardeformaquesigaalaEntrada. ParaellosedisponedeunElementodemedicion, quenosproporcionael valordelase nal desalidayposteriormenteunavezcomparadaconlase nal deentradasetomaladecisioncorrespondienteparaactuarsobreelsistema.Convienerecordar que, engeneral, los sistemas fsicos poseenmemoriadelIntroduccionalossistemasdecontrol. 6TomadedecisionPlantaElementodemedicionE E ET'Salida EntradaFigura1.2: Realimentaci onpasado; por ello la salida del sistema en un instante dado no es funcion exclusiva-mente de la entrada en ese mismo instante: depende de toda la historia pasada delasentradas. Porestarazonlaestructurarealimentaci onesunobjetocomplejoencuantoasucomprensionydise no.1.4 Realimentacion,retardosyoscilacion.Laexistenciaderetardosenuncircuito(bucle)derealimentacion,conducealaapariciondefenomenososcilatoriosenel comportamientodinamicodel mismo.Este hecho tiene una importancia capital al considerar el comportamiento dinamicode los sistemas realimentados y gran parte del problema de dise no de los mismosresideenelamortiguamiento(oanulacion)deestasoscilaciones.Con el n de ilustrar de una manera intuitiva este hecho, considerese a un con-ductor que conduce un automovil, proceso que se puede interpretar con un buclede realimentacion tal como el de la gura 1.3. Entre la deteccion de un obstaculo,y la accion correctora consiguiente (girar el volante, actuar sobre los frenos...), seproduceunciertoretardoqueel conductorexperimentadotieneperfectamenteasimilado,ynoconstituyeunobstaculoparaunaconduccionnormal.Supongase que se trata de mantener el coche en lnea recta sobre una superciecompletamentellana, sinning unobstaculo. Sobreel automovil soloact uanlaspeque nasperturbaciones(baches)delterrenoyelconductorpuedeconseguirsuIntroduccionalossistemasdecontrol. 7Ojos(Sentidos)Conduccion CocheE E E ETc c cReferenciaPerturbacionesPosicionFigura1.3: Ejemploderealimentaci onobjetivoconrelativafacilidad.Supongase ahoraque el conductor debe realizar sucometidoconlos ojoscerrados, llevandoasuladouncopilotoquees el quelevatransmitiendolasindicacionesrespectoalasdesviacionesdelalnearectaquesetratadeseguir.El circuitoderealimentacionsemodica, enestecaso, al delagura1.4, conelloloquesehaintroducidoesdeunamaneraarticiosaunnotableretardoenel buclederealimentaci on. Es facil comprender, queenestesegundocaso, ydebidoprecisamentealretrasoqueseintroduceenelbuclederealimentacion,laconduccionserafuertementeoscilante.Unhechoimportantequeilustratambienel anteriorejemploesquecuantomayorsealavelocidadalaquepretendeconducirseelautomovil,mayoresseranlosefectosdeoscilacionquesehanindicado. El dilemaentrevelocidaddere-spuesta (precision) y estabilidad (ausencia de oscilaciones), constituye una de lasconstantesqueaparecenenelestudiodesistemasrealimentados.1.5 Sensibilidadyrealimentacion.Unsistemasedicesensiblealavariaciondeundeterminadoparametrocuandoeste inuye de forma importante en el comportamiento del mismo. Por ejemplo, laconducciondeunautomovil esextraordinariamentesensibleal estadodel rmeIntroduccionalossistemasdecontrol. 8Ojos(Sentidos)Transmisi onoralConduccion CocheE E E E ETc c cRef.PerturbacionesPosici onFigura1.4: Sistemaconretardodelacarretera. Masadelantesedaraunadenicionprecisadeesteconcepto;aqu,demomento,conestanocionintuitivaessuciente.Lossistemasrealimentadossonenormementemenossensiblesalasperturba-cionesquelossistemassinrealimentar. Enefecto, unejemplotrivialayudaraajar esta idea. Considerese que se trata de preparar una ducha de agua templada.El sistemasepuedeconsiderarenbucleabierto, esdecir, sinrealimentaci on, siunavezrealizadoelajustedelasproporcionesdeaguafraycaliente,esteper-manece inalterado durante toda la ducha. Si aparece cualquier perturbacion, porejemplo, queenotrolugardelacasaseabraungrifodeaguacaliente, loqueinuyeenlamezcla,lasconsecuenciasdesagradablesparaelqueseduchanosepuedenatenuar. Elsistemaesenormementesensible.Porel contrario, si sepuedeactuarsobrelosgrifosdurantetodoel proceso,entoncessetieneunsistemaenbuclecerradoenelquelapersonaqueseduchapuedetomarlasdecisionesoportunas, yactuarsobreel sistemaatravesdelosgrifos, paracorregircualquierperturbacionquesepuedaproducir. El sistema,enconjunto,haatenuadolasposiblesperturbacionesexteriores,porlotantohadisminuidosusensibilidadsobrelasmismas.Este ejemplo ayuda tambien a poner de maniesto uno de los problemas masimportantesquesepuedenproducircomoconsecuenciadelaintroducciondelarealimentacion. Considereseque:Losgrifosseencuentranalejadosdeldepositodeaguacaliente;yIntroduccionalossistemasdecontrol. 9Unapeque navariaci ondecualquieradelosgrifosinuyesensiblementeenlatemperaturadelagua.Es claro que en tales condiciones se produciran oscilaciones de la temperatura delagua, puesto que sera enormemente difcil ajustar la misma. Ello es debido a quecualquieraccionquesetometardaunciertotiempoendetectarse(enlaespaldadel que se ducha que es el organo de medida), y por lo tanto este posiblemente sepase en la correccion. El sistema se convierte entonces en un sistema inestable, yla correccion de ese tipo de inestabilidad constituye uno de los primeros problemasconlosqueseenfrentael dise nadordesistemasrealimentados. Ellosepondraampliamentedemaniestoalolargodeestecurso.1.6 LasMatematicasyelcontrolautomatico.Lasmatematicastienenundobleempleoenlascienciasempricasyaplicadas.Las matematicas pueden usarse como lenguaje cuando se pretende formularlosproblemasconlaayudadeconceptosmatematicosbuscandoconellolaprecisionyclaridad.Las matematicas puedenemplearse como herramientas cuando una vezplanteado el problema en terminos matematicos se resuelven las ecuacionesqueresultan(analticamenteoporsimulaci on).Porotraparte,cabeconsiderarquelaingenierapuededescribirsecomounamezcla de sentido com un y ciencia. Se trata de recurrir a planteamientos teoricosque permitan profundizar en los problemas que se esten tratando, pero sin perderde vista que en ultimo extremo de lo que se trata es de conseguir algo que funcione.Estasconsideracionespreviasdebenhacerseporcuantoque, comoeslogicoseg unloquesehavistoenlosapartadosanteriores, lasmatematicasjueganunpapelfundamentalenlamodernateoradelcontrolautomatico. Tanesasqueenalg unsentidopuedeconsiderarselateoradel control automaticocomounaramadelasmatematicasaplicadas.Enlagura1.5setieneunsencillodiagramaenelquesepretendeexpresarlasfasesdelmetodoencontrolautomatico. Estasfasespuedenresumirseen:Introduccionalossistemasdecontrol. 101. Apartirdel proceso, porabstraccion, seconstruyeel modelomatematicodelmismo. Estaprimerafasenoesespeccadelespecialistaencontrol,yrequieredelconcursodelespecialistaenelprocesoacontrolar.2. Unavezobtenidoel modelomatematico, sedeterminaquetipodeacciondebe efectuarse sobre el mismo para que su comportamiento se adec ue a lasmetaspropuestas. Setratadedeterminar,loquemasadelantesedenomi-naraleydecontrol.3. Por ultimo, setrataderealizarfsicamente, laleydecontrol determinadaenel puntoanterior paraloqueserequiereel concursodeinstrumentoselectronicosyfsicosquerealicenestafuncion. Enesta ultimafasesere-quieredenuevoel concursodel especialistaenel procesoacontrolar(enformadeinstrumentista).SistemaFsicoModeloMatematicoSistemadeControlLeydeControlT Tc cEEAbstraccion ImplementacionFigura1.5: FasesdelMetododeControlDe las tres fases anteriores, la especca del especialista en sistemas de controles lasegunda, quetieneuncaracter fundamental matematico. Sehallegadoincluso a decir que el especialista en control en realidad no trata con los sistemasfsicos,sinoexclusivamenteconsusmodelosmatematicos.Introduccionalossistemasdecontrol. 11Por lo tanto, el terreno en que se mueve el especialista en control automatico,esta fuertemente inuido por las matematicas aplicadas, aunque nunca debe olvi-darselasconsideracioneshechasmasarribarespectoalalabordelingeniero.1.7 Se nalesysistemas.En el estudio de los sistemas de control es fundamental adquirir previamente unaideaclaradelosconceptosdese nalysistema.Seentiendeporse nal,enunsentidoamplio,todamagnitudfsicaqueevolu-ciona en el tiempo. En un sentido mas restringido se requiere ademas queestase naltengaciertocontenidoinformacional, esdecirqueseasignicativaenciertoaspecto,lostiposdese nalesgeneralmenteempleadosensistemasdeCon-trolsontensionesocorrienteselectricas, desplazamientosmecanicosypresionesneumaticasohidraulicas,sibienenprincipionohayning unincovenienteenin-cluirotrotipodese nales. SeemplearaaqulanotacionhabitualmenteempleadaenmatematicasparareferirseaunamagnitudfsicaXque, encadainstantet,tomaunciertovalor.La denicion de sistema es mas ambigua. Se entiende por sistema un conjuntodepartesentrelazadasoperativamentedemaneraqueunasact uensobreotrasyqueenconjuntoformenuntodo. UnejemplodesistemadeacuerdoconestadenicionloconstituyeelSistemaEconomicoNacional, enelquesalarios, niveldeprecios, ahorro, etc, interaccionanentres. Aqu interesar alaconsideraciondesistemasmassimplesenlosqueloselementosinteractuantessonfsicosy,dehecho, puedan denirse magnitudes fsicas que describan su comportamiento. Unsistemapuedetambiendenirsecomounprocesadordese nales,enelsentidodequeexcitadocondeterminadasse nalesrespondeconotras.Esporlotantoevidentequelaconsideraciondel comportamientodinamicodeunsistematendraunpapelpreponderante, porcuantoqueunase nalesunamagnitudfsicaqueevolucionaenel tiempo, yunsistemaesunprocesadordese nales.Normalmente, lossistemasqueinteresanenAutomatica, tendranpuntosdeaccesollamadosentradas,porlosquepuedenserexcitadosporse nalesllamadasse nales de entrada. As mismotendranotros accesos enlos que laevoluciondeciertasmagnitudesfsicaspodraleerse. Estospuntossellamaransalidasylasmagnitudesaellosligadasse nalesdesalida. Lavozpunto, empleadaenlasanterioresdenicionesdeentradaysalida, debetomarseenunsentidoamplioIntroduccionalossistemasdecontrol. 12ynogeometrico. Lossistemasserepresentanpormediodebloquestalcomoseindicaenlagura1.6.potencia perturbacionesSeales deu(t)entradaSeales desaliday(t)Figura1.6: SistemadinamicoJuntamenteconlas se nales deentradaysalidainteresaconsiderar queunsistemapuedeestarsometidoaotrotipodeentradascomosonlasdesuminis-trodepotenciaolas perturbaciones. Peroconel ndepoder estudiar ensucomportamientociertasregularidades, quepermitansuestudiomatematico, seconsideraraqueestas, obiensemantienenconstantes(potencial), obiensufrensolo variaciones despreciables (perturbaciones), de manera que el valor de la se nalde salida pueda considerarse funcion exclusivamente del conjunto de valores toma-dosporlase nal deentrada. Porlotantonormalmentelarepresentaci ondeunsistemaseharacomoindicalagura1.1.Como ejemplo de lo dicho se puede considerar un motor electrico en el cual elcamposemantieneconstanteysevaralavelocidadactuandosobrelacorrientedeinducido. (Figura1.7)Intensidad deinducidoExcitacinConstantevelocidadFigura1.7: MotorelectricoDesdeel puntodevistaqueseestaconsiderandosediraqueel motoresunsistemaque, aunase naldeentradau(t)(intensidaddeinducido), daunase nalIntroduccionalossistemasdecontrol. 13de salida y(t) (velocidad del motor). Se puede, en cierto aspecto, prescindir de laconsideraciondelcampo.1.8 Servomecanismosyreguladores.Laautomaticaesuncampovastsimo. Enel seentrelazanaspectosteoricosytecnologicosdesuertequeesdifcil establecerenel mismosistematizacionesdecaraasuestudio. Sinembargoatendiendoasudesarrollohistoricoyal interesdeciertasaplicacionesalasque,porotraparte,sehapodidoaplicarunateorasencilla y fecunda, es posible extraer de todo el complejo mundo de la automaticacamposdeestudioconcretoscomosonlosservomecanismosylosreguladores.Un servomecanismo es un ingenio con el que se pretende controlar una posicion.Ejemplosdeservomecanismosseencuentranencampostanvariadoscomosonlos posicionamientosdelos timones deunbarco, posicionamientodelas ante-nas de radar, posicionamiento de las ruedas de un camion en una servodireccion,posicionamientodelaherramientaenuntornoautomatizado, posicionamientodelaplumaenunregistrador deprecision, etc... El control delaposicionsepuedehacerdeacuerdoconunsencilloesquemaderealimentaci oncomoeldelagura1.8.amplificadoreumotory-+Figura1.8: ServomecanismodeposicionSiempre que la posicion de salida no se encuentre en la posicion requerida porlareferenciaapareceunerrorqueactuandosobreel servomotordeterminaqueesteact uecorrigiendoelerror. La unicaposiciondeequilibrioesaquellaenquelaposiciondesalidaesigualalareferencia1.Porlotantounservomecanismoes,esencialmente,unsistemaseguidorore-1Esta armacion se restringe a una clase de sistemas mecanicos lineales.Introduccionalossistemasdecontrol. 14productorenelquelaposiciondesalidasigueoreproducealase naldeentrada(referencia). Unacaractersticaesencial,quejusticalasaplicacionesdelosser-vomecanismosesqueel nivel depotenciadelase nal desalidapuedesermuysuperior al delase nal deentrada. Enel esquemaanterior sevecomoloqueposicionaesel servomotor, quevieneactuadoporunapotenciaexternaal con-junto(el campo) yunase nal quevienedel servoamplicador yquees laquerealmente corrige (alimentacion del inducido). Observese que la misma se nal quevienedel servoamplicador harecibido, enesta, potenciadel exterior. Por lotantounservomecanismoesuningenioquereproducese nalesdeposicionaunniveldepotenciasuperior. Elpreciodeestamayorpotenciaenlaposiciondelasalidaesunaperdidadecalidadenlase nal, esdecir, deunaciertadistorsion.Precisamentelastecnicasdedise nodeservomecanismostratandeconseguirqueestaperdidadecalidaddelase nalseamnima.Unproblema, aunquedesdeunpuntodepartidadistintoal delosservome-canismos pero que conduce a planteamientos semejantes, es el de los reguladores.Una determinada magnitud fsica se dice que esta regulada si esta provista de unsistemaquereaccionefrentealoscambiosdelmedioexternoqueafectenaestamagnitud, desuertequesemantengaenunvaloraproximadamenteconstante.Un ejemplo trivial de ello lo suministra un sistema de regulacion de temperaturaenunahabitacion. El sistemacalefactor, atravesdeuntermostato, debereac-cionar a las variaciones del medio (aperturas de puertas, entrada de mas o menosgente, perdidas naturales distintas en el da que en la noche, etc...) de suerte quelatemperaturasemantengaconstante.VrKtt VTiKpc KTaKVbac+++---Figura1.9: ReguladordetemperaturaEl esquemaque permite laregulacionde temperaturaes esencialmente elmismodeunservomecanismo, tal ycomoseveenlagura1.9. Sinembargo,deben notarse las diferencias, desde un punto de vista fsico, entre ambos sistemas.1. En el servomecanismo, la entrada (referencia) es variable y se pretende queIntroduccionalossistemasdecontrol. 15lasalidasigaalaentrada. Mientras que enel regulador laentradaesconstante.2. En el servomecanismo la fuente de error es la variacion de la referencia. Enelreguladorlafuentedeerrorsonperturbacionesexterioresqueseparanelsistemadelestadorequerido.3. Enel servomecanismo, lapotenciade lase nal de salida, que es loqueinteresa,esmuysuperioraladelaentradadereferencia(veaseelejemplode la amplicacion de fuerza del conductor en la servodireccion de un coche).Enel regulador, lase nal desalidaens nointeresa, sinoquesoloesunamedida de algo que sucede en la planta controlada, que es lo que realmenteinteresa.Junto a estas diferencias y a otras que pudieran establecerse se presenta la pro-fundasemejanzaentreambosproblemas,yaquelosdosconducenalmismodia-grama de bloques realimentado que se muestra en las guras 1.8 y 1.9. Basandoseen esta semejanza es por lo que el estudio de ambos problemas se hace simult aneopero no debe olvidarse nunca que fsicamente se trata de dos problemas diferentes.1.9 Bosquejohistoricodelcontrolautomatico.Alolargodelahistoriadelatecnicaseencuentranm ultiplesingeniosencuyaconcepcion interviene la idea de realimentaci on. Uno de los primeros ingenios deesta naturaleza es el llamado reloj de agua (clepsidra). Seg un algunos autores, suorigen es chino y se remonta a la dinasta Chen (siglos XI - XII a.C.), y seg un otrosal mecanicogriegoKtesibios(sigloXIIIa.C.). Encualquiercasosuantig uedadeingeniosidadsoninnegables.El primer trabajo signicativo en control automatico fue el regulador centrfugode James Watt. Se trata de un regulador de bolas de una maquina de vapor. EnelreguladordeWattseregulalavelocidaddeunamaquinadevaporpormediode un sencillo articio consistente en dos bolas metalicas de cierta masa sobre lasqueact uanlasfuerzascentrfugasal girarel ejedel quesonsolidariasatravesdeunosbrazos(gura1.10). Estosbrazosestanarticuladosdemaneraquelafuerzacentrfugaqueact uasobrelasbolaspuededeterminar,atravesdedichasarticulaciones, unamayoromenoraperturadelavalvuladealimentaci ondelamaquina. Setieneporlotantounacadenacerradadeaccionestalcomolaqueseindicaeneldiagramadelagura1.11.Introduccionalossistemasdecontrol. 16vaporvlvulaCilindroCaldera:velocidad del eje.eje de la mquina.Figura1.10: ReguladorcentrfugodeWattTransmisinMquinade vaporbolascvlvula-+Figura1.11: Diagramadebloques: ReguladordeWattIntroduccionalossistemasdecontrol. 17El interesquesuscitaensutiempolamaquinadeWatt esgrande, puestoqueenellasepresentanlosproblemasdeestabilidadalosquesealudaenlosapartados1.4y1.5. Tanesas queJamesClerkMaxwell, unodelosmayoresfsicos teoricos del siglo XIX se siente atrado por el problema y publica un trabajotitulado Ongovernors que constituye uno de los trabajos pioneros de la modernateoradel control. Sinembargo, apartedeestetrabajo, yalg unotrodeRouthanalesdesiglo, noeshastalosa nos30del siglopasado, cuandoseacometedeunamanerasistematicaelestudiodelastecnicasmatematicasquepermitanestudiarydise narsistemasrealimentados. DurantelaSegundaGuerraMundial,lanecesidaddeconstruir sistemas decontrol altamentesosticados paranesmilitares, condujoal desarrollotantoenlosEstadosUnidoscomoenlaantiguaUnionSovietica, deloquehoyseconvieneenllamarteoraclasicadelosser-vomecanismos, yqueseestudiaramasadelanteenestecurso. Enaquellosa nosNorbertWienerpublicalaimportanteobraCibernetics, enlaqueserecalcaelcaracterfundamentaldelanocionderealimentaci oncomoconceptocientco.La teora clasica de los servomecanismos tiene enormemente limitadas su posi-bilidadesdeaplicacionporcuantoquelaclasedesistemasalasqueseaplicaesreducida. Enellodeterminolarealizaciondeestudiosteoricosquepermitiesenconstruirunateoradesistemasqueabarcarseunaclasemasampliadelosmis-mos. Con ello se ha llegado al desarrollo de la teoramodernadelcontrol, basadasobrelanociondeestado,yqueseestudiaracondetenimientoalolargodeestecurso.1.9.1 Control,informaticaytelecomunicaciones.Amenudoseconfundenlasdisciplinasdecontrolautomaticoeinformatica,ha-biendo visiones superciales que consideran el control como una aplicacion de lastecnologasdelainformacionycomunicaciones. Larazdeestosehallaenlassiguientesrazones:El sistema de decision que dise nan los ingenieros de control para el gobiernode los sistemas fsicos es un procesador de se nales, y por tanto un procesadordeinformacion,comosonlascomputadoras.El advenimiento del microprocesador en los a nos 70 del siglo pasado y pos-teriormentedelos mas compactos microcontroladores, haalteradosigni-cativamentelosmetodosdel control automatico, demodoqueapenassehacecontrol sinlaintervenci ondelascomputadoras: tantoenlafasedelanalisismatematicocomoenlaconcepciondelosinstrumentosencargadosIntroduccionalossistemasdecontrol. 18del control. De hecho, una ley de control,en muchos casos,se especica enformadealgoritmo,quesetraduceasuvezenunalistadeinstruccionesoprograma ejecutandose en la unidad central de una computadora industrial.Lasteorasparael modeladomatematicoydise nodesistemasdecontrolhan sufrido una gran transformacion en las ultimas decadas, con el n incor-porar el potencial, las particularidades y limitaciones de las computadoras.En este sentido, conceptos como sistemas operativos de tiempo real, concur-rencia de procesos, planicacion de tareas, velocidad de proceso, algoritmosentiempodiscreto, lenguajes, etc., sehanconvertidoenterminosdeusocom unencontrol.Conceptos tradicionalmente asociados alas telecomunicaciones comolossistemasdistribuidos,redesinalambricas,ruido,capacidaddetransmision,teora de la informacion, etc. cobran una importancia creciente en el n ucleodelateoradelcontrol. Otrohechorelevanteesquelateoramodernadelcontrol surgidaenlosa nos30tienesubaseenel inventodel amplicadorrealimentadoqueimpulsoeldesarrollodelatelefonaagrandistancia.Sinembargoesconvenienterecordar, comosedesprendedel apartadoante-rior, queel control realimentadoesanterior alainvenci ondelacomputadoradigital y, conanterioridadaella, sehanimplementadocontroladores concir-cuitosanalogicosyotrastecnologas. Dehechoenlaactualidadseimplementansistemasdecontrol realimentadocarentesdeelementosdecomputacion, comosonlostermostatos.Armar queel control es unaaplicaciondelas tecnologas deinformacionserainvertirelsentidodelascosasyexigiradecirlomismodelaarquitecturaolamedicina. Sucedesimplementequetodaslasactividadesdecaractertecnicoocientcohanevolucionadoysehanbeneciadoenormementedelamagncaherramientaqueeslainformatica.En cualquier caso, la teora del control automatico se desarrolla en buena parteal margendelosdispositivosfsicosdondesevanaimplementar, yamenudolos metodos del control sobrevivenalas computadoras ylenguajes concretosempleadosensurealizacion.Tema2Introduccionalossistemasrealimentados2.1 ServomecanismodeposicionVamos adedicar estaseccionaanalizar untipodesistemarealimentadoquepresentaparticularinteres: el servomecanismodeposicion. Conel setratadeposicionar un eje,que esta asociado al eje de un motor, y que constituye la se nalde salidadel sistema. Lase nal de entradaes otraposicion, que se pretendequereproduzcael ejedesalidadel sistema. Sedisponedeunmecanismoquepermite detectar la discrepancia entre las posiciones de entrada y de salida. Estadiscrepanciaoerroresamplicadaconvenientementeparaactivarelmotorque,actuandosobreel ejedesalida, determinasumovimientohastaanularel error;es decir, hasta conseguir alinear el eje de salida en la direccion indicada por el ejedeentrada.u(t) amplificadorJfy(t)Figura2.1: Bucleabiertodeunservomecanismodeposicion19Introduccionalossistemasrealimentados 20Enlagura2.1semuestrael bucleabiertodeunservomecanismo. Enellaseponedemaniestocomo,medianteunaamplicadorlase nalu(t)adquiereelnivel adecuadoparaactuarsobreunmotor, cuyoejerepresentalaposiciondesalidadelservomecanismo. EsteejeessolidarioconunainerciaJyunafriccionf.Enlagura2.2semuestraelbuclecerradodelservomecanismo. Alesquemadelagura2.1sehaa nadidounase nal dereferenciar(t)quesecomparaconlasalidadel motor, ycuyadiscrepanciadalugaral errore, apartirdel cual seobtienelase nalu(t).y(t)JfKu(t) e(t) r(t) +-amplificadorFigura2.2: BuclecerradodeunservomecanismodeposicionEn la gura 2.1 se puede hacer la hipotesis de que el par del motor es propor-cional a la se nal electrica de alimentacion del amplicador u(t). Con este supuestosepuedeescribirquelaposiciondelmotory(t)vienedadaporlaecuaciondifer-encial:Jd2ydt2+ fdydt= u(t)siendoenestecasoy(t)elangulogiradoporelmotor, Jlainerciadelconjuntomotor-carga,yfelcoecientedefriccionviscosadelmismoconjunto.Paraqueunsistemadecontrolrealimentadoact ueaceptablemente,necesitasatisfacerunasdeterminadasespecicacionesdefuncionamiento, tantoparasuregimenpermanentecomoparasutransitorioque,normalmente,noseconsigueconloselementosqueconsituyenelbucledecontrol.Hayveces enque unsimple aumentode lagananciaestaticaes sucienteparalograrprecision,sinqueseafectedemasiadoalascaractersticasenestadotransitorio. No obstante, como lo normal es que estas se vean empeoradas con unaactuacion de este tipo, o en el mejor de los casos, no se consigan exactamente lasIntroduccionalossistemasrealimentados 21que se pretende que tenga el sistema, es por lo que se desarrollaran a continuaci onlos procedimientos de compensacion que se han dado en llamar en llamar clasicosyaquefueronlosprimerosqueseutilizaron.Seempleantrestiposdeacciones:Accionproporcionalmasderivada(PD);Accionproporcionalmasintegral(PI)yAccionproporcionalmasintegralymasderivada(PID).2.2 Accionproporcionalmasderivada(PD).Tiene lugar cuando la se nal de mando del sistema es la suma de los terminos, pro-porcional y derivado de la se nal de error. En este caso se dice que la compensacionesdeltipoPD.Considereseel servomecanismoelemental descritoenel parrafoanterior. Sevaestudiar el casoenquelase nal demandoseaproporcional al error yasuderivada, es decir el caso en que se tenga una accion PD. La se nal de mando sera,porlodicho,u(t) = Ke + KddedtquedandoJd2ydt2+ fdydt= Ke + Kddedt(2.1)ycomoe = r yJd2ydt2+ fdydt= Kr Ky + Kddrdt KddydtJd2ydt2+ (f+ Kd)dydt+ Ky= Kr + Kddrdt(2.2)La ecuacion 2.1 muestra que el sistema es excitado ahora por la se nal de errory por un impulso. La consecuencia inmediata es que el efecto corrector (inversi ondel par motor) se aplica antes que cuando el control era solo proporcional, como semuestra en la guras 2.3.a y 2.3.b. En efecto, con control proporcional solamente,Introduccionalossistemasrealimentados 22elerrorcambiadesignoenelpuntofdelagura2.3.bmientrasquesilase nalde error es del tipo PD indicado, el cambio de signo se verica en el instante g delagura2.3.d,esdecir,elparcorrectorseaplicaantesdequelase naldesalidallegue al valor de la de referencia. En consecuencia, la sobreoscilacion sera menor.La red PD tiene as un caracter anticipativo, ya que en cierta manera se anticipaaloquevaaocurrir.Esta misma consecuencia se pone de maniesto en la ecuacion 2.2, que muestralaecuaciondiferencial del sistemaenbuclecerrado. EnellaseapreciaqueelcoecientedelaprimeraderivadasehaincrementadoenelvalorKd,esdecir,elefectohasidoaumentarlafricciondelsistemaprimitivoy,portanto,hacerqueelconjuntotengaunarespuestatemporalconmenorsobreoscilacion.Por otro lado, tambien en la ecuacion 2.2 se aprecia que la parte no homogeneade la ecuacion diferencial no es un escalon, sino un escalon mas un impulso. Ellodeterminaqueelsistemarespondamasrapidamenteyaquenosoloessensitivoa la referencia, sino que tambien lo es a su variaci on. Todo se pone de maniestoobservandolasguras2.4.DeloanteriorsedesprendenlasdoscaractersticasesencialesdeunaaccionPD:1. Disminuciondelasobreoscilacion2. DisminuciondeltiempodesubidaEstos efectos se han considerado para un caso particular y especialmente sim-ple, el de un servomecanismo elemental de posicion. Sin embargo son igualmentevalidos,engeneral,paraunaampliavariedaddesistemasfsicos.2.3 Accionproporcionalmasintegral(PI).Enestecaso, lase nal demandoeslasumadeunterminoproporcional yotrointegral,delase naldeerror.u(t) = K e + Ki

t0e dtSeaunsistemacomoel delagura2.5, al queselehaincorporadounaaccionintegral enparaleloconlaaccionproporcional, esdecir, selehadotadodeunaaccionPI.Introduccionalossistemasrealimentados 23(a)(b)(c)(d)(e)yrtf ttttrygye +dedtdedteyFigura2.3: CompensacionconPD.Introduccionalossistemasrealimentados 24(a)(b)yytrtrrespuestaaKrrespuestaaKddrdtrespuestaaKr + KddrdtFigura2.4: RespuestatemporalconredPD.++Ke +Ki

G(s)Figura2.5: DiagramadeunsistemaconregulacionPIIntroduccionalossistemasrealimentados 25Supongase que a dicho sistema, en un regimen estacionario, se le aplica un parexternoPesobrelacarga,esdecir,sobreelejedesalida. Elsistemareaccionaratratandodeanulardichoparpuestoquelaaplicaciondel mismo, determinalaapariciondeunerror, el cual alimentaal motoryleobligaasumintrarunparcrecienteconel tiempo. Si laacciondelaredfuesesoloproporcional, esclaroqueelequilibriosealcanzariacuandoelpargeneradoporelmotorfueseigualalaplicadoexternamente.Interesa ver con cierto detenimiento lo que ocurre cuando la accion de mandoesdeltipoPI.Paraello,enprimerlugar,seestablecenlasecuacionesquerigenlaevoluci ondelsistemayqueresultanserJd2ydt2+ fdydt+ Pe= Ke + Ki

t0e dtsiendoPeelparexternoaplicadoye = r yEliminadoysetienePe + Jd2rdt2 Jd2edt2+ fdrdt fdedt= Ke + Ki

t0e dtPe + Jd2rdt2+ fdrdt= Jd2edt2+ fdedt+ K e + Ki

t0e dtSilareferenciaesunescalon,setendraquedrdt= 0 yd2rdt2= 0Enel regimenpermanente, cuandot , si laintroducciondel integradornohahechoinestablealsistema,setendraquededt= 0 yd2edt2= 0conlocual,Pe= K ep + Ki

0e dtIntroduccionalossistemasrealimentados 26ComoPeesnito, la unicaformadequesecumplalaecuacionanterioresqueep=0yaqueencasocontrario, 0edt . Enconsecuencia, el sistemareaccionaeliminandoelerrorenregimenpermanente(ep).Por lo dicho, una red PI mejora considerablemente el regimen permanente, nosolodeunamaneracuantitativa, sinoesencialmentecualitativaporcuantoquecambiael tipodel sistema, esdecir, noesqueel sistemasemejore, sinoqueseconvierteenotro,decaractersticasdistintas.Lainterpretaci onfsicadel fenomenoesmuysimple. Laaplicaciondel parexternoPe, tiende aseparar laposiciondel eje de salidadel valor enque lahajadolase nal dereferencia(gura2.6.a). Ellotraeconsigolaapariciondelconsiguienteerror(gura2.6.b).Si lase nal de actuacionsobre el sistemaes proporcional al error, mas suintegral, seaplicaunase nal tal comolaquesemuestraenlagura2.6.d. Elfenomenoqueseproduceentoncespuedeinterpretarsediciendoqueel par delmotor empezaraacrecer hastaque venceal que se aplicaexteriormente. Laevolucion del error y de la se nal de salida se muestran en las guras 2.6.e y 2.6.f.Observese como es el elemento integrador el que mantiene la se nal sobre el motorparaque estevenzaalparexterior.Introduccionalossistemasrealimentados 27a)b)c)d)e)f)rtzte

edtte +

edtt

edtz etrtFigura2.6: RespuestatemporalaredPITema3Sistemasdinamicoslineales3.1 Transformaci ondeLaplaceEnestaseccionvamosarepasarlatransformadadeLaplacequesuministraunaherramienta de graninteres para el estudio de los sistemas cuya descripcionmatematicavienedadaporecuacioneslinealesinvarianteseneltiempo.3.1.1 DenicionElmetododelatransformadadeLaplaceesunmetodoopcionalquepuedeuti-lizarse conventajaparalaresolucionde ecuaciones diferenciales lineales. LatransformadadeLaplacesedenecomo:L[f(t)] = F(s) =

0f(t)estdtf(t)esunafunciondeltiempotalquef(t)=0paratc, et[f(t) [tiendeacerocuandot , mientrasquepara 0,u > vluegovviariarade0au.Laecuacion3.3quedaF1(s) F2(s) =

0

u0f1(u v) f2(v)esudvdu ==

0u0f1(u v) f2(v)dv

esuduluegoF1(s) F2(s) = Lu0f1(u v) f2(v) dv

La expresion encerrada en el corchete se conoce como integral de convoluci onyrepresentalaantitransformadadelproductodedostransformadas.3.1.3 CalculodeantitransformadasConelcalculodeantitransformadassepretendedeterminarapartirdelatrans-formadadeLaplaceF(s)lacorrespondienteantitransformada;esdecir,f(t) = L1[F(s)]LatransformadaposeesolopolosrealesysimplesSupongasequeel denominadordelafunciondelaquesequierehallarlaanti-transformada,F(s),esdelaformad(s) = (s + p1)(s + p2) . . . (s + pn)demodoquelos diferentes pisonreales ydiferentes entresi. Ental casolafuncionF(s)admiteunadescomposicionenfraccionessimplesdelaformaF(s) =n(s)d(s)=a1s + p1+a2s + p2+ . . . +ans + pnlos coecientes ai reciben la denominacion de residuos de F(s) en s = pi. Multi-plicando los dos miembros de la expresion anterior por (s+pi) y haciendo s = pisetieneSistemasdinamicoslineales 34ai=n(s)(s + pi)d(s)s=pipuestoquesesabe,delatabladetransformadas,queL1=ai(s + pi) = aiepitsetienequef(t) = a1ep1t+ a2ep2t+ . . . anepntEnestaexpresionseponedemaniestoqueacadapiseasociaunafuncion(una trayectoria o un comportamiento) de la forma epit. Estas funciones recibenla denominacion de modosnaturalesdelsistema. Se dice que un modo natural esasintoticamenteestablesipi 0.EjemploSealatransformadadeLaplaceF(s) =(s + 3)(s + 1)(s + 2)setienequelosresiduosresultansera1=(s + 3)(s + 2)s=1= 2a2=(s + 3)(s + 1)s=2= 1luegof(t) = 2ete2tt 0LatransformadaposeepoloscomplejosSupongamosahoraquelatransformadadeLaplaceposeeunpardepoloscom-plejosconjugadosp1y p1. Ental casoladescomposicionenfraccionessimplestomaralaforma:Sistemasdinamicoslineales 35F(s) =n(s)d(s)=1s + 2(s + p1)(s + p1)+a3s + p3+ . . . +ans + pnSi se multiplican los dos miembros de esta expresion por (s +p1)(s + p1), y sehaces = p1,setendra:(1s + 2)s=p1=n(s)(s + p1)(s + p1)d(s)s=piEstaexpresionpermitedeterminar1y2igualandopartesrealeseimagi-narias.Parahallarlaantitransformadacorrespondienteal terminoasociadoal parcomplejobastarecordarque:L1((s + )2+ 2) = etsentL1s + ((s + )2+ 2) = etcostEnconcreto,sisesupone:p1= a + jy p1= a jsetendra1s + 2(s + p1)(s + p1)=1s + 2(s + a + j)(s + a j)=1s + a((s + a)2+ 2)+(21a)((s + )2+ 2)EjemploSealatransformadadeLaplaceF(s) =(s + 1)s(s2+ 2s + 2)Sistemasdinamicoslineales 36Setiene:a3=(s + 1)(s2+ 2s + 2)s=0=12Portanto,F(s) =121s 12ss2+ 2s + 2=121s 12s(s + 1)2+ 1=121s 12s + 1(s + 1)2+ 1+121(s + 1)2+ 1Dedondesetiene,f(t) =12 12etcost +12etsent t 0Latransformadaposeepolosm ultiplesSupongase que una de las raices del polinomio del denominador de la transformadade Laplace es m ultiple. Por ejemplo, supongase que la raiz p1tiene multiplicidadr. Entalcasoeldenominadoradmitiraladescomposicion:d(s) = (s + p1)r(s + p2) . . . (s + pn)Entalcaso,latransformadadeLaplaceadmiteladescomposicion:F(s) =n(s)d(s)=br(s + p1)r+br1(s + p1)r1+ . . . +b1s + p1+a2s + p2+ . . . +ans + pnSisemultiplicanlosdosmiembrosdeestaexpresionpor(s + p1)rsetendra:bi=n(s)(s + p1)rd(s)s=p1Observeseque(s+p1)rF(s) = br+br1(s+p1)+. . .+b1(s+p1)r1+a2(s + p1)rs + p2+. . .+an(s + p1)rs + pnderivandoestaexpresionconrespectoassetieneSistemasdinamicoslineales 37dds [(s + p1)rF(s)] = br1 + 2br2(s + p1) . . . + (r 1)b1(s + p1)r2+ddsa2(s + p1)rs + p2+ . . . +ddsan(s + p1)rs + pnyhaciendoenestaexpresions = p1setienedds [(s + p1)rF(s)]s=pi= br1Derivandodenuevoconrespectoasyprocediendoanalogamentesetienebr2=12d2ds2 [(s + p1)rF(s)]s=p1Engeneralsetendrabrj=1j!djdsj[(s + p1)rF(s)]s=p1EjemploSeaF(s) =s2+ s + 2(s + 1)3quesedesconponeF(s) =b3(s + 1)3+b2(s + 1)2+b1(s + 1)Setendrab3= [s2+ s + 2]s=1= 2b2= [2s + 1]s=1= 1b1= 1PortantoF(s) =2(s + 1)3 1(s + 1)2+1(s + 1)Dedondesetiene,f(t) = (t2t + 1)etSistemasdinamicoslineales 383.2 Nociondesistemadinamico.Unodelosconceptosbasicosempleadosenautomaticaesel desistema. Enellenguajeordinarioseentiendeporsistemaunacolecciondeobjetosunidosporciertaformadeinteracci onointerdependencia. Enelcontextodelaautomaticaelconceptodesistemaadquiereunsignicadomaspreciso.Considerese un objeto fsico, , por ejemplo un motor electrico, al cual apare-cenasociadasunaseriedemagnitudes,comopuedensersuvelocidaddegiro,laintensidadquealimenteelinducido,etc. Desdeelpuntodevistaqueinteresaenautomaticaloqueconvienedesonlasrelacionesmatematicasentrelasdistin-tasmagnitudesm1(t), m2(t)...mn(t)queseasocianadichoobjetofsico. Estasrelaciones constituyen un objeto abstracto, por abstraccion de unas caractersticasdeunobjetofsico.En automatica los objetos fsicos que intervienen son tales que las magnitudesfsicasqueaellosseasociansepuedenclasicarendosgrupos:1. magnitudes cuyo valor puede ser variado directamente desde el exterior delobjetofsico, querecibenel nombredese nalesdeentrada, decontrol, demandooestmulos;y2. magnitudescuyovalorpuedesermedidoperocuyavariaci onesindirecta,atravesdelasse nalesdeentrada, yquerecibenel nombredese nalesdesalida,deobservaci onorespuestas.Para denotar a las se nales de entrada se emplea u(t), y para las se nales de salidaseempleay(t),siendo,engeneral,u(t)ey(t)vectores.Seentiendeporsistema elobjetoabstractoformadoporlasrelacionesqueligan las se nales u(t) e y(t). Un sistema se presenta en forma esquematica como sehaceenlagura3.1,representacionquerecibeelnombredediagramafuncionaldelsistema. Denidoasunsistemarepresentaunaformalizaciondelusovulgardeestetermino.El problemade larepresentaci onmatematicade los sistemas se reduce aencontrarlaformamatematica, bienseaunaecuaciono, deformamasgeneral,unalgoritmo, quepermitagenerarlosparesdese nalesu(t), y(t)quedenenelsistema.Las se nales u(t) e y(t) pueden registrarse o bien de una manera contnua en elSistemasdinamicoslineales 39u(t)y(t)Figura3.1: Sistemadinamicotiempo,obiendeunaformadiscontnua,esdecirtomandomedidascadaciertointervalo de tiempo. En el primer caso se tienen los llamados sistemasentiempocontnuoyenel segundolossistemasentiempodiscreto. Estos ultimostienenunparticularinterespracticocuandoseempleancomputadorespuestoqueestasmaquinastrabajandeunaformadiscreta.3.3 Formas delas relaciones entrada-salidaensistemas.Sehaindicadoenlaseccion3.2,queunsistemaestaformadoporlasrelacionesmatematicasqueliganlasse nalesu(t)ey(t)quelodenen. Enestaseccionsevanaconsiderar algunasformasmatematicasdelasrelacionesqueliganalasse nalesu(t)ey(t)entiposdesistemascom unmenteencontradosenlapractica.Sinembargo, enel restode estos apuntes solose estudiaraunade las clasesconsideradasenestaseccion. Unaposibleprimeraclasicacionelementaldelasrelaciones que ligan a las se nales de entrada y salida de los sistemas, es en sistemasestaticosysistemasdinamicos.3.3.1 Sistemasestaticos.El caso mas simple de relacion entre las se nales u(t) e y(t) es aquel en que esta sereduceaunaecuacionalgebrica. Porunaconsideracionelementalderealizabili-dadfsicaesclaroqueentalcasosepodraescribir:y(t) = Fu(t) (3.4)endonde, paraloscasosdeinterespracticoF.esunafuncionuniforme. Lossistemas que admiten esta forma de representaci on reciben el nombre de sistemasSistemasdinamicoslineales 40estaticos, y son aquellos en los que el valor que toma la se nal de salida y(t), en uncierto tiempo t depende exclusivamente del valor tomado por la se nal de entradau(t)endichoinstantedetiempot, ynodelosvalorestomadosporu(t)enelpasado.Los sistemas logicos combinacionales, constituyenunejemplo de sistemasestaticosdenidosporlapropiedaddequelasse nalesdeentradau(t)ysaliday(t) toman sus valores del conjunto nito U= Y= 0, 1. Para la representacionmatematica de los sistemas logicos combinacionales se recurre a tablas en las quese indican para cada combinaci on posible de los valores de las se nales de entrada,los correspondientes de la se nales de salida. Desde un punto de vista matematicoestas tablas constituyen una de las formas mas simples de representar una funcion.3.3.2 SistemasdinamicosNormalmentelasrelacionesqueliganlasmagnitudesfsicasquedenenunsis-tema no son ecuaciones algebraicas, que conducen a sistemas estaticos, sino ecua-cionesdiferenciales. Elloesdebidoaquelamayorpartedelasleyesdelafsicaseexpresanpormediodeestaclasedeecuaciones.Aquseconsideraranexclusivamentelasecuacionesdiferencialesdelaforma,dnydtn+ ... + an1dydt+ an(t)y= b0(t)dnudtn+ ... + bn(t)u (3.5)llamadasecuacionesdiferencialeslineales. El hechodelimitarseaestaclasedeecuacionesdiferencialesesdebidoa:1. soloparaestaclasedesistemasesposibleestablecer,enlaactualidad,unateoraqueseaalavezgeneralysimple;y2. al menosenunaprimeraaproximacion, granpartedelossistemasencon-tradosenlapracticaadmitenestaformaderepresentaci on.Cabeconsiderarquelateoradesistemaslinealesesalateoradesistemasno-lineales, como la geometra euclidea es a las formas de geometra no-euclidea. Essabido que la geometra euclidea es un util de un interes practico incuestionable;lomismosucedeconlateoradelossistemaslineales.Otrarelacionentrelaentradaysalidadeunsistemaeslaquepresentanlasecuacionesendiferenciasnitas. Deellaslasquemayorinterestienenson, porSistemasdinamicoslineales 41consideracionessemejantesalasrealizadasmasarribarespectoalasecuacionesdiferenciales lineales, las ecuaciones en diferencias nitas lineales cuya forma gen-erales,y(t+n)+... +am1y(t+1)+amy(t) = b0u(t+n)+... +bn1u(t+1)+bmu(t) (3.6)Los sistemas descritos por las ecuaciones en diferencias nitas son sistemas entiempodiscreto, enlosquelaescaladetiempostomasolounaseriedevaloresdiscretos. Estaformaderelacionsepresentaenaquellasaplicacionesenlasqueseempleancomputadores.Por ultimocaberecordar comootraformaderelacionentrelas se nales deentradaysalidadeunsistemalaqueofrecenlosdiagramasdeestadosdeloscircuitoslogicossecuenciales(o,masgeneral,delosautomatas). Endichosdia-gramas se tena representada la evolucion de las se nales de entrada u(t) y de saliday(t)deunsistemacuyacaractersticaadicional esquelasse nalesdeentradaydesalidasolopodrantomarsusvaloresdeunconjuntonito.Lossistemasdescritosporecuacionesdiferenciales, porecuacionesendifer-enciasnitas, opordiagramasdeestadosrecibenladenominaciondesistemasdinamicos yenellos el valor tomadopor lase nal desaliday(t), enunciertoinstantedetiempotdependedelvalortomadoporu(t),nosoloenelinstantet(comosucedaenlosestaticos),sinoentodoslosinstantesanterioresat.En ellos, por lo tanto, la consideracion del tiempo juega un papel esencial. Deah ladenominaciondedinamicos. Observesequelossistemasestaticospuedenconsiderarse como una forma particular y degenerada de los dinamicos por lo quesonestos ultimoslos unicosqueseconsideranenloquesigue.Enestosapuntesnosetrataranexplcitamente, lossistemaslogicossecuen-ciales. No obstante si estos son lineales son susceptibles de ser estudiados con lastecnicas aqu desarrolladas. Sin embargo, ello no se hara aqu de forma explcita.Laformaderepresentaciondelossistemasdinamicosporecuacionesdifer-enciales,oporecuacionesendiferenciasnitas,notieneinterespracticoparaeldesarrollo de la automatica. Para el estudio de los sistemas dinamicos se han de-sarrollado dos formas peculiares de representaci on, que son la descripcion externayladescripcioninternaquesepasanaestudiaracontinuacion.Sistemasdinamicoslineales 423.4 Descripcionexternadelossistemasdinami-cos.Puesto que las se nales que denen un sistema dinamico son las de entrada u(t) ylasdesaliday(t)interesadisponerdeunarelacionexplicitadirectaentreambas.Estarelacionlasuministraladescripcionexternaquesedeneporunafuncionde entrada-salida F tal que hace corresponder al conjunto de valores tomados porlase naldeentradau enunciertointervalo(t0, t),elvalortomadoporlasaliday(t)enelinstantet. Formalmentesepuedeescribir,y(t) = F(u[t0, t]) (3.7)en donde F(.) es un funcional, es decir una funcion cuyo argumento lo constituyeelconjuntodevalorestomadosporu(t)enelintervalo(t0, t).Desdeelpuntodevistadeladescripcionexternaunsistemadinamicolinealsedeneconoaquelquecumplelapropiedaddelinealidad,envirtuddelacual,F (1u1[t0, t] + 2u2[t0, t]) = 1F (u1[t0, t]) + 2F (u2[t0, t])en donde 1, 2 son n umeros reales arbitrarios. Esta propiedad recibe tambien,impropiamente,ladenominaciondeprincipiodesuperposicion.Habitualmenteseempleandosformasdedescripcionexterna: larespuestaimpulsionalylafunciondetransferencia.3.4.1 Respuestaimpulsional.Unaformadeescribirlasolucionaunaecuaciondiferencial comoladelaex-presion(3.5)eslasiguiente:y(t) =

th(t, )u()d (3.8)endondeh(t, )recibeel nombrederespuestaimpulsional del sistema. Laex-presion (3.8) es una forma de descripcion externa de un sistema dinamico ya quecorrespondealcasodeunafuncionlneal.La respuesta impulsional de un sistema puede tener las siguientes propiedades:Sistemasdinamicoslineales 431. Propiedad de causalidadorealizabilidad, en virtud de la cual un efectonopuedeprecederaunacausa,loqueimplicaqueh(t, ) = 0 para t < 2. Propiedaddeestabilidad, envirtuddelacual laestabilidaddel sistemaexigelaconvergenciade(3.8),loquesetraduceenlimth(t, ) = 03. Propiedad de estacionaridad, en virtud de la cual el sistema es invarianteconeltiempo,loquesetraduceenqueh(t, ) = h(t , 0) = h(t )Ejemplo:Seaelsistemadinamicodescritoporlaecuaciondiferencial,dydt+ ay= buEndondeaybsondosn umerosreales. Lasoluciondeestaecuaciondelaformadelaexpresion(3.8)eslasiguiente,y(t) =

tea(t)b u()dEn donde la respuesta impulsional h(t, ) = bea(t),es claro que cumple laspropiedadesdecausalidad,estabilidadyestacionaridad.La respuesta impulsional admite un signicado adicional muy preciso. Supongaseun sistema con una sola entrada y una sola salida. Supongase, ademas, que dichosistemasesometealasiguientese naldeentrada:u(t) = (t1)endonde(t)eslafunciondeDirac. Entalcasosetieneque,y(t) = h(t, t1)Sistemasdinamicoslineales 44 t y(t)Figura3.2: RespuestaImpulsionalsielsistemanoesestacionariooy(t) = h(t t1)sielsistemaesestacionario.Enlagura3.2semuestralarespuestaimpulsional del sistemadel ejemploanterior. Deloanterior sedesprendequelarespuestaimpulsional deunsis-temaesdeterminableexperimentalmenteenlamedidaenquesepuedarealizarfsicamenteunase naldeentradau(t) = (t). Essabidoqueesta ultimanotienesignicadofsico, perosinembargosepuedenconcebiraproximacionesacepta-bles. Debea nadirsequeenlapracticacomorealmentesemidenlasrespuestasimpulsionalesesporlastecnicasdecorrelacionquenosevanatrataraqu.Parasistemas multivariables, conmentradas ypsalidas, larespuestaim-pulsional es unamatriz, dedimensionpm, cuyoterminohi,jrepresentalarespuesta del i-esimo canal de salida, cuando se aplica una entrada u(t) = (t) alcanalj-esimo,siendonulaselrestodelasentradas.3.4.2 Funci ondetransferencia.Paralossistemaslinealesestacionariosexisteunaformadedescripcionexternamuyempleadaenlapractica: lafuncion(matriz) detransferencia. SepuedeSistemasdinamicoslineales 45denir la funcion de transferencia como la transformada de Laplace de la respuestaimpulsionaldeunsistema.H(s) =

0h()esd (3.9)AplicandolatransformaciondeLaplacealaexpresion(3.8), paraelcasodeunsistemaestacionario,setieneY (s) = H(s) U(s) (3.10)endondeY (s)yU(s)son,respectivamente,lastransformadasdeLaplacedelasse nalesdeentradaysalida.Enlapracticalafunciondetransferenciasedeterminadirectamenteapartirdelaecuaciondiferencial. Unpuntomuyimportanteaconsideraresqueestadeterminacion se hace suponiendo condiciones iniciales nulas para las se nales u(t)ey(t).Ejemplo:Seaelsistemadescritoporlaecuaciondiferencial,d2ydt2+ a1dydt+ a2y= buLatransformadadeLaplacedelos distintos terminos delaecuaciones lasiguiente,s2Y (s) + a1sY (s) + a2Y (s) = bU(s)Conloquesetiene,Y (s)U(s)= H(s) =bs2+ a1s + a2esdecirquelatransformaciondeLaplacedelarespuestaimpulsional eslafunciondetransferencia.Para el caso de sistemas multivariables con m entradas y p salidas la funcion detransferenciaseconvierteenunamatrizcuyoterminoHijrepresentaelcocienteSistemasdinamicoslineales 46entre la transformada de Laplace de la se nal de salida que se obtiene por el canali ylatransformadadeLaplacedelase nal deentradaqueseaplicaal canal j,supuestasnulaslasotrasse nalesdeentrada.3.5 SistemasdecontrolrealimentadosUnsistemadecontrolrealimentadoserepresentaesquematicamentecomosein-dica en la gura 3.3. Sobre este esquema vamos a recordar una serie de conceptosqueconsideramosdeinteres.KG(s)H(s)`

dddd

E E E ET'r(t) + e u y(t) mFigura3.3: SistemadeControlrealimentadoCadenadirectaodeaccion,eslaqueuneloselementoscomprendidosentre la se nal de error y la de salida. Ambas se nales estan relacionadas porlaexpresion,Y (s)E(s)= KG(s)siendoG(s)lafunciondetransferenciadelsistemaconsiderado.Cadenaderealimentaci on, eslaqueunelase nal desalidaconladeinformacion m(t), que es comparada con la de referencia. Ambas se nales serelacionanas,Sistemasdinamicoslineales 47M(s)Y (s)= H(s)Eneste caso H(s) es la funcionde transferencia de la cadena de reali-mentacion.Sellamabucleabierto, al conjuntodeelementos queconstituyentodoel sistema, si esteseabrieseporel puntom(t), esdecir, comosi lase naldeentradafuesee(t)yladesalidam(t). LafunciondetransferenciadelconjuntoasdispuestoseraM(s)E(s)= KG(s)H(s)Sellamabuclecerrado,alsistemaconectadocomoseindicaenlagura3.3. Lasse nalesy(t)yr(t)serelacionanporlaconocidaformula, facil dededucir,Y (s)R(s)=KG(s)1 + KG(s)H(s)Observeseque, enestecaso, lase naldeactuacionsobreelsistemaespro-porcionalalase naldeerror. Setratapuesdeuncontrolproporcional(P).El valordelagananciaKdel amplicadorsera, portanto, unparametrosusceptibledeservariadodeacuerdoconlasnecesidadesdelproblema.Enloquesiguesesupondrasiemprequelacadenaderealimentacionesunitaria, conloqueel esquemafundamental quedaradelaformaqueseindica en gura 3.4 y quedando la funcion de transferencia en bucle cerradoreducidaaY (s)R(s)=KG(s)1 + KG(s)Naturalmente en este caso cadena de accion y bucle abierto son dos concep-toscoincidentes.Por el hecho de introducir una compensacion sobre el bucle antes mencionado,el esquemasemodicadealgunamanera, comosemuestramasadelante. Sedistinguendostiposdecompensacion:Sistemasdinamicoslineales 48KG(s)`

dddd

E E E ETr(t) + e u y(t) mFigura3.4: SistemadeControlrealimentadounitariamenteCompensacion en serie: Cuando el elemento corrector se coloca en cascada,enlacadenadeaccion;yCompensacion por realimentacion: Cuando el elemento corrector constituyeunasegundacadenaderealimentaci on,enelbucledecontrol.Losesquemasbasicosparaunoyotrocasosemuestran,respectivamente,enlasguras3.5y3.6.Gr(s)KG(s)`

E E E E ETr(t) + e u

u y(t) mFigura3.5: CompensacionenserieComo ya se ha indicado, en el caso de la compensacion en serie, la red correc-torasecolocaencascadaconloselementosdelacadenadeaccion,ydelantedelSistemasdinamicoslineales 49KG(s)Gr(s)`

dddd

`

dddd

E E E E ET T'r(t) + e u y(t) mFigura3.6: Compensacionporrealimentacionamplicador para que el nivel de potencia a que trabaje sea el del error, es decir,bajo.Tema4Interpretacionesdelafunciondetransferencia4.1 Transformaci ondeFourierDadaunafunciondeltiempoperiodicafT(t)deperiodoT,sepuededesarrollarenseriedeFourier,delaforma:fT(t) = a0 +n=1(ancos wnt + bnsen wnt)donde wn=2nTyloscoecientesvienendadospor:an=2T

T/2T/2fT(t)cos wntdt n = 0, 1, 2, ...bn=2T

T/2T/2fT(t)sen wntdt n = 1, 2, ...supuestoquedichasintegralesseannitas.Los coecientes anybnsonfunciones de wn, peronodel tiempo, por loquefT(t) quedadenidamediantelos modulos delos componentes armonicos50Interpretacionesdelafunciondetransferencia 51quelointegran; ahorabien, tomandocomoparametros, poragrupaciondelascomponentesensenoycosenodeigualfrecuencialosvalores:cn=

a2n + b2nn= tag1

bnan

cadaterminopuedeexpresarsecomoancos wnt + bnsen wnt = cnsen(wnt + n)Porlotanto,paradenirfT(t)bastaconespecicarlaamplitudyeldesfasequecorrespondeacadafrecuenciafundamental:fT(t) = a0 +n=1cnsen(wnt + n)UnavezquesehamostradocomofT(t)quedacompletamentedenidacona0, cnyn,puedenconsiderarselasrelaciones,cos =ej+ ej2; sen =ejej2jEntonces,volviendoatomarlasecuacionesdedenicion,ancos wnt + bnsen wnt = anejwnt+ ejwnt2+ bnejwntejwnt2j==(anjbn)2ejwnt+(an + jbn)2ejwnty efectuando analogas consideraciones con las integrales de denicion deanybnanjbn2=1T

T/2T/2fT(t)ejwntdtInterpretacionesdelafunciondetransferencia 52an + jbn2=1T

T/2T/2fT(t)ejwntdtEs deciranjbn2tiene una expresion identica aan+jbn2sin mas que cambiar wnpor wn, estoes, npor-n, luegosustituyendoenel desarrolloenserie, puedeescribirsefT(t) =1Tn=

T/2T/2fT(t)ejwntdtejwntLacantidadentrecorchetesrepresentaunafuncioncomplejaquetienecomoparametro el valor imaginario jwn, toda vez que el tiempo desaparece al integrar.Esta funcion recibe el nombre de Transformada de Fourier de la funcion temporalperiodicafT(t):F(jwn) =

T/2T/2fT(t)ejwntdtEsinmediatoverque, igual quecnyndenancompletamentefT(t), estafuncionquedacompletamentedenidaconociendoF(jwn),conloquebastaunamagnitudcomplejaparacadafrecuencia:fT(t) =1Tn=F(jwn)ejwntAhorabien,comown=2nT; wn+1wn=2T= wnluegofT(t) =12n=F(jwn)ejwntwnSi sehacecrecerel periodoindenidamente, T , el sumatoriotiendeala integral, wn dw, por lo que puede escribirse, nalmente, para una funcionnoperiodica(TransformaciondeFourieroIntegral deFourier):F(jw) =

f(t)ejwtdtInterpretacionesdelafunciondetransferencia 53f(t) =12

F(jw)ejwtdwSupuesto que la integral de Fourier sea convergente, para lo cual debe cumplirselacondiciondeconvergenciaabsoluta

[ f(t) [ dt < Esta transformacion o integral de Fourier permite expresar de forma analiticamuchas funciones noperiodicas, ydeinteres especial, quenosonexpresablesmedianteseriesdeFourier. Tales,porejemplo,elcasodelafuncionf(t) =

eatt > 00 t < 0(a > 0)Laconvergenciaestaaseguradapor:

[ f(t) [ dt =

t0eatdt =eata0=1a< ylatransformada:F(jw) =

f(t)ejwtdt =

0e(a+jw)tdt =1a + jwSinembargo, yaunqueenmuchoscasoslaTransformadadeFourieressu-ciente,enotroscasosdeinterestalescomofuncionesdetipopolinomicoentnosonconvergentes;porejemplo,paraelescalonunitariof(t) = u0(t) =

1 t > 00 t < 0laconvergenciaresulta:

[ u0(t) [ dt =

0dt = Interpretacionesdelafunciondetransferencia 54ylatransformada,F(jw) =

0ejwtdt =ejwtjw0quesoloesconvergenteparaw > 0.4.2 Funci on de transferencia en el dominio de lafrecuenciaSi en la funcion de transferencia se hace s = jw esta se convierte en una expresioncomplejaH(jw) que tiene lanotable propiedadde que, paraunciertovalordelapulsacionw, sumodulo [ H(jw) [ ysuargumento

H(jw) representanprecisamente la atenuacion y el desfase que sufre una se nal sinusoidal de frecuenciaf= 2/w. Estehechoseilustraenlagura4.1.tA| H | Atu(t)y(t)H(j) =| H | Figura4.1: RespuestaenfrecuenciaEjemplo:Considereseelsistemadescritoporlaecuaciondiferencial,dydt+ ay= buInterpretacionesdelafunciondetransferencia 55sometidoaunase nal sinusoidal, depulsacionwydeamplitudunitaria. Essabidoqueestase nal sepuederepresentarenformacomplejau(t)=ejwt. Larespuestadelsistema, enregimenestacionario, alaanteriorse naldeentradaeslasolucionparticular delaanterior ecuaciondiferencial lacual secompruebafacilmentequees,y(t) =b(jw) + aejwtEstanotablepropiedaddelafunciondetransferenciaes laquehajusti-cadoel ampliousodelamismaenel analisis ydise nodeservomecanismos yreguladoreselementales. Notesequeestapropiedadllevaimplcitounmetodoexperimental demedidadelafunciondetransferenciadeunsistemadinamico.Estemetodoconsiste, sencillamente, enlaaplicaciondese nalessinusoidalesdedistintasfrecuencias,yenlamedida,paracadaunadeellas,delaatenuacionydeldesfasequesufrenalatravesarelsistema. Lamedidadelaatenuaci onydeldesfase suministran el modulo y el argumento de H(jw) para el valor de w corres-pondiente. Existenunos equipos comerciales, denominados servoanalizadores,concebidospararealizarestafunciondemediciondelossistemasdinamicos.No debe, sin embargo, olvidarse que H(s) suministra informacion tanto sobreel comportamientoenel dominiodel tiempo(empleandolastablasdelatrans-formada de Laplace) como de la frecuencia (gracias a la propiedad expuesta). Deahqueladenominacionrepresentacionfrecuencialnoseadeltodoapropiada,oencualquiercasodebetomarsedeformamatizada.Tema5Sistemasdinamicoslinealesdeprimerorden5.1 IntroduccionSedenominasistemalineal diferencial deprimerordendeentradau(t)ysaliday(t)alsistemaregidoporunaecuaciondiferencialdelaformadydt+ ay= bu (5.1)endondeaybsondosconstantes, denominadascoecientesdelaecuacion;u(t)esunase naldenominadase naldeentradaoexcitacion; ey(t)esotrase naldenominadase nal desalidadel sistema. El conjuntoseinterpretaconundia-gramadebloquestal comoel delagura5.1. Laecuaciondiferencial anterioradmiteunasolucion unicasiemprequesejeelvalorinicialdey(t). Estevalorinicial se denotara en lo que sigue por . La ecuacion (5.1) establece que la pendi-entedey(t)encadainstantedetiempo,esunacombinaci onlinealdelosvaloresque toma en este instante u(t) e y(t). En la gura 5.2 se muestran las evolucionesdeu(t)ey(t).Enlapracticasepresentanm ultiplessistemasquepuedenserrepresentadospor unaecuaciondiferencial deprimer orden. Dehechoes unadelas aprox-imaciones mas sencillas quesepuedenhacer del comportamientodinamicodeunsistema. Enel apartado5.3sepresentandistintossistemasquepuedenser56Sistemasdinamicoslinealesdeprimerorden 57representadosporunaecuaciondiferencialdeprimerorden.u(t) y(t)Figura5.1: Sistemadeprimerorden(1)5.2 Solucion de la ecuacion diferencial de primerordenPara el estudio de la solucion de la ecuacion diferencial de primer orden, convienedistinguirdoscasos:5.2.1 Se naldeentradanulaEnelsupuestodequelase naldeentradau(t)seanulaparatodot,laecuaciondiferencialdeprimerordenseconvierteendydt= ay y(0) = (5.2)lo que constituye la parte homogenea de la ecuacion diferencial de primer ordende(5.1). Lasoluciondeestaecuacionpuedeobtenerseporintegraci ondirectahaciendo,dyy= a dtcuyaintegracionconducea,lny(t) lny(0) = atSistemasdinamicoslinealesdeprimerorden 58uu(t)tyy(t)tdy(t)dtFigura5.2: Sistemadeprimerorden(2)Sistemasdinamicoslinealesdeprimerorden 59loque,teniendoencuentaquey(0) = ,puedeescribirse,yh(t) = eatEl subndicehsereereaqueestasolucionloesdelapartehomogeneade(5.1).Las guras 5.3 y 5.4 muestran la forma general de la evolucion de yh(t) seg unqueasea, respectivamente, negativaopositiva. Estas guras muestrancomosecomportaunsistemaenausenciadeexcitacion. Apareceunaclaradistincionentredosformasdecomportamientoquepermitenunaprimeraclasicaciondelossistemasenestablesoinestables, seg unquelaevolucionlibredelosmismostiendaaunaestadodereposoono.ty(t)Figura5.3: Primerordendivergente5.2.2 Se naldeentradanonulaSetrataderesolverlaecuaciondiferencial (5.1)enel casoenqueu(t)noseaidenticamentenula. Parasimplicarlanotacionseescribirav(t)=b0 u(t), conloquelaecuacion(5.1)seconvierteendydt+ ay= v (5.3)Sistemasdinamicoslinealesdeprimerorden 60ty(t)Figura5.4: PrimerordenconvergenteSe trata de determinar que funcion w(t) debe sumarse a la solucion homogeneayh (t)paraobtenerlasoluciondelaecuacion(5.3). Esdecir,sesuponequey(t)sedescomponeen,y(t) = yh (t) + w(t) (5.4)loquellevadoalaecuacion(5.3)resulta,d(yh + w)dt+ a(yh + w) = v yh (0) + w(0) = esdecir,dyhdt+ ayh +dwdt+ aw = v w(0) = yh (0)que,habidacuentadelaexpresion(5.2),sepuedeescribir,dwdt+ a w = v w(0) = 0 (5.5)Por lo tanto la ecuacion diferencial que satisface w(t) es exactamente la (5.1),pero con una notable diferencia, y es que las condiciones iniciales para w(t) son 0.Sistemasdinamicoslinealesdeprimerorden 61Es decir, la se nal w(t) constituye la respuesta del sistema ante la se nal de entradau(t)apartirdelreposo.Ladiscusionanteriorpermiteinterpretarlaexpresion(5.4)diciendoquelarespuestay(t) de unsistema dinamico lineala una se nal deentradau(t) a partirde unvalor inicial y(0) puede considerarse comolasumade larespuestadelsistema, apartir del valor inicial y(0), anteunase nal deentradanulamas larespuestadelsistemaalase naldeentradau(t)apartirdelreposo. Esfacilverquew(t)vienedadapor,w(t) = eat

toeav()d (5.6)Enefecto, enprimer lugar es inmediatover quew(0) =0. Ademas susti-tuyendolaexpresion(5.6)enla(5.5)setieneque,dwdt= a eat

toeav()d + eatddt

toeav() d= a w + vCombinandolosanterioresresultadossetienequelarespuestadeunsistemaregidopor unaecuaciondiferencial lineal delaforma(5.1) anteunase nal deentradau(t)vienedadapor,y(t) = eat + eat

toeab u() d (5.7)Aestemismoresultadosepuedellegar empleandolas tecnicas basadas enlatransformadadeLaplace, conlascualessepuededemostrardirectamentedeuna forma muy sencilla la expresion (5.6). Ademas, en las aplicaciones practicas,esdeesta ultimaformacomoseprocede. Sinembargoparaunplanteamientoteoricomasgeneral,convienedesarrollarelestudiodelossistemaslinealescomosehahechoanteriormente.5.2.3 Respuestasase nalesdeentradaespecialesSe discuten a continuacion las respuestas de un sistema diferencial lineal de primerorden a se nales de entrada que presentan especial interes en las aplicaciones comosonlasse nalesenescalon,enrampaysinusoidal.Sistemasdinamicoslinealesdeprimerorden 62Se naldeentradaenescalonSedicequeunsistemasesometeaunase nal deentradaenescalonenelinstanteinicial t=0, si endichoinstantesesometeel sistemaaunavariaci onbruscadelase naldeentradapermaneciendoestaenunvaloru(t)=constante.Enlagura5.5serepresentaunase nal deentradadeestaforma. Si sesuponey(0) = ,u = 1,yteniendoencuentalaexpresion(5.7),setendra,y(t) = eat +ba(eat1) = eat +ba(1 eat) (5.8)utFigura5.5: EntradaenescalonEn la gura 5.6 se representa la respuesta de un sistema lineal de primer ordenaunaentradaenescalon.ytFigura5.6: RespuestaalescalonSistemasdinamicoslinealesdeprimerorden 63Paraestudiarlarespuestaeneltiempodeunsistemalinealdeprimerordena una entrada en escalon, es interesante escribir la ecuacion diferencial de primerordendelaformasiguiente:dydt+ y= Ku (5.9)endonde=1/ayK=b/a. Sisesuponeademas, parasimplicar, que=0setendraquelaexpresion(5.8)sepuedeescribir,y(t) = K(1 et) (5.10)La constante Krecibe la denominacionde ganancia estatica del sistema,puestoquerepresentalarelacionentrelase nal de salida(y(t)) ylase nal deentrada(u(t))parat . Laconstante quetieneunadimensiondetiempo,sellamaconstantedetiempodelsistema.Elresultado(5.10)puedeobtenersedeunaformamassencillaempleandolatransformadadeLaplace. Enefecto, laecuaciondiferencial deunsistemadeprimerordenvienedadaporlaexpresion(5.1),ypuestoquelatransformadadeLaplacedeunase nalescalones:U(s) =1ssetienequeladelase naldesalidasera,Y (s) =Ks(1 + s)=As+B1 + sLasconstantesAyBresultanser:A =K(1 + s)

s=0= K y B=Ks

s=1= KconloquesetieneY (s),cuyaantitransformadadeLaplaceresultaser,y(t) = L1[Y (s)] = K(1 et/)Sistemasdinamicoslinealesdeprimerorden 64esdecirlaexpresion(5.1)Enlagura5.7serepresentalarespuestaaunaentradaenescalondeunsistemadeprimerordendegananciaKyconstantedetiempo.0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.01/0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0y(t)/K0.637Figura5.7: RespuestaaunescalonunitariodeunsistemadeprimerordendegananciaKydeconstantedetiempo.La constante de tiempo caracteriza la velocidad de respuesta del sistema, esdecir,laduraciondelregimentransitorio. Elloseponedeevidenciaporlasdosconsideracionessiguientes.1. Existeunarelacionentrelaconstantedetiempoylatangentey(t)enelorigen. Enefectodelaexpresion(5.10)setiene,dydt=Ket(5.11)haciendot = 0setiene,dydt(0) =K(5.12)locual puedeinterpretarsetal comosehaceenlagura5.8. Recuerdesequesehahechou = 1.Sistemasdinamicoslinealesdeprimerorden 65Ktg =KFigura5.8: Relacionconstanteamplicacionytang.2. haciendo t = se tiene que la constante de tiempo es el tiempo al cabo delcuallase nalderespuestaalcanzalafraccion1 1e0.63223delvalornal(gura5.9)K0.64KFigura5.9: RelacionconstantedetiempoyamplicacionSistemasdinamicoslinealesdeprimerorden 66Observandolagura5.7setienequelarespuestadeunsistemadeprimerordenenunaentradaenescalonalcanzasuvalornalconunerrormenordel5%parauntiempo 3.Enlagura5.10serepresentanlas se nales derespuestaaunaentradaenescalonparadistintossistemaslinealescondiferentesconstantesdetiempo.3>232Figura5.10: DiferentesconstantesdetiempoEnlapracticasepresentael problemadedeterminarel modelomatematicodeunsistemaapartirdel conocimientodelarespuestadel sistemaaunaen-tradaenescalon. Enel casodeunsistemadeprimerorden, ladeterminaciondelosparametrosKy queaparecenenlaecuaciondiferencial (5.9), resultaextremadamente sencilla a partir de la respuesta del sistema a una entrada en es-calon. En efecto, de acuerdo con la gura 5.7 el valor de la constante de tiempo se determina midiendo la abscisa correspondiente a la ordenada que sea el 63,2%del valor alcanzado por el sistema en regimen estacionario. La constante estaticaKes sencillamente el cociente entre el valor alcanzado por la respuesta en regimenestacionarioylaamplituddelaentradaenescalon.Se naldeentradaenrampaSupongaseunase nal deentradaenrampa, es decir, unase nal deentradacuyosvalorescrecenlineal coneltiempo, u=t, tal comolaqueserepresentaenlagura5.11. Sesupondraademas, parasimplicar, que=0. Deacuerdoconlaexpresion(5.7)setieneque,y(t) = wbeat

toead=wba

t 1a+eata

(5.13)esta ultimaexpresionintroduciendolagananciaKylaconstantedetiempoSistemasdinamicoslinealesdeprimerorden 67,puedeescribirse,y(t) =wK(t +et) (5.14)Este mismoresultado se puede obtener conayudade la transformadadeLaplace. Enefecto,paraelcasodeunaentradaenrampa,setieneuu = ttFigura5.11: EntradaenrampaU(s) =s2conloque,Y (s) =Ks2(1 + s)=A1s2+A2s+B1 + ssiendo,A1=10!K(1 + 2s)s=0= wKA2=11!ddsK(1 + s)s=0= KB =Ks2

s=1= K2dedondesedesprendequey(t)tendralaforma(5.14).Enlaexpresion(5.14) se observaque el tercer terminodel parentesis delsegundomiembrotiendeacerocuandoeltiempotiendeainnito. EsteterminoSistemasdinamicoslinealesdeprimerorden 68constituyeel regimentransitoriodelarespuestatotal. Unavezdesaparecidoelregimentransitorio,larespuestaenregimenpermanentesera,yrp(t) = K(t ) (5.15)Parainterpretarestarespuestacabedistinguirdoscasos:1. K= 1. Entalcasosetienequelarespuestavienedadaporyrp= (t ) (5.16)esdecir,enelinstantetlasalidaesigualalaentradaenelinstantet .Lasalidaseencuentraretardadasegundosconrespectoalaentrada. Enlagura5.12serepresentalaexpresion(5.14)paraK=1. Seobservaenesta gura como la se nal de salida se encuentra retardada con respecto a lase nal de entrada. El error en regimen permanente es igual a . Este errorrecibeladenominaciondeerrordearrastre.u(t)y(t)u(t1) y(t1)Figura5.12: Respuestaarampa.Respectoalregimentransitoriosetienequeparat = y() =KeK3(5.17)esdecir,queelsistemaharespondidosolo enunterciodelvaloralcanzadoporlase naldeentrada. Enlagura5.12seinterpretaesteresultado.Sistemasdinamicoslinealesdeprimerorden 69Laconsideraciondel error de arrastre enlarespuestade unsistemadeprimerorden,essumamenteimportanteenciertoscasoscomoporejemplocuandoel sistemaencuestiones unaparatode medida. Supongase ungloboenel queseencuentrauntermometrodemercurio. Sesuponequelatemperaturavaralinealmente conlaaltura; se tiene entonces que eltermometroseencuentrasometidoaunase nal deentradaenrampa. Laslecturas del termometro, seg un las consideraciones anteriores, presentan unerrordearrastre.2. K = 1. La salida y entrada divergen, por lo que el error de arrastre se haceinnito.5.2.4 RespuestaarmonicaSi lase nal deentradaessinusoidal, esdecir, u=sentysuponiendo=0, setienequelarespuestadelsistema,deacuerdoconlaexpresion(5.7),vienedadapory(t) = eat +wba2+ w2ba2+ w2 (a senw t w coswt) (5.18)Enlagura5.13semuestraunaformatpicadeestarespuesta.Figura5.13: Respuestaarmonica.Parat , esdeciruntiemposucientementegrande, el primerterminodel segundomiembroseanula, porloquelarespuestaenregimenpermanenteresultaserSistemasdinamicoslinealesdeprimerorden 70yrp(t) =ba2+ w2(a senwt w coswt) (5.19)Estaexpresionsepuedeescribirdeunaformamassencillahaciendo,cos =aa2+ w2sen = wa2+ w2(5.20)conloque5.19puedeescribirse,y(t) = Y sen(wt + ) (5.21)siendo,tag = w/a = w (5.22)Y =ba2+ w2=K1 + 2w2(5.23)Laexpresion(5.21)puedeinterpretarsediciendoquelarespuestadeunsis-tema lineal a una se nal sinusoidal, es otra se nal sinusoidal de la misma frecuenciacuyaamplitudhavariadoenunarelacionY , yquehaadquiridoundesfase.Tanto la relacion de amplitudes Ycomo el desfase , son funcion de la frecuenciaangularwdelaentrada. Enlagura5.14serepresentaY ()y().Otraformaderepresentargracamentelarespuestaenfrecuenciadeunsis-temalineal espormediodeundiagramapolarenel queserepresentavectorescuyosmodulosyargumentossonrespectivamenteY ()y(). Haciendovariarseobtieneunlugargeometrico,enelqueeselparametro. Enlagura5.15serepresentalarespuestaenfrecuenciacorrespondienteaunsistemalineal deprimerorden. El lugarestagraduadoenfrecuenciasreducidas(normalizadas)u = .Existenotrasformasderepresentargracamentelarespuestaenfrecuenciadeunsistemalinealqueseranestudiadasmasadelante.Filtradoconunsistemalineal.Si lase nal deentradaaunsistemalineal esunase nal arbitraria, larepro-duccion de la misma a la salida sera muy el si la constante de tiempo del sistemaessucientementepeque na. Esdecir, si laconstantedetiempodel sistemaesSistemasdinamicoslinealesdeprimerorden 710.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0-130-110-90-70-50-30-10Fase(grados)0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.00.00.10.20.30.40.50.60.70.80.9Relacion de AmplitudesFigura5.14: Amplitudyfase.= Y= 0Figura5.15: Respuestaenfrecuencia.Sistemasdinamicoslinealesdeprimerorden 72menor que las mas rapi