Apuntes Regulacion Automatica

E. T. S. DE INGENIEROS INDUSTRIALES. UNIVERSIDADE DE VIGO.

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA DE SISTEMAS Y AUTOMATICA

APUNTES DE REGULACION AUTOMATICA(Automatica y Mecanica)

autor: Jose Cesareo Raimundez Alvarez ABRIL 1998

Indice General1 Introduccion a la Regulacion Automatica1.1 Breve Rese~a Historica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n 1.1.1 Escuela Americana (EEUU) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Escuela Rusa (Antigua URSS) . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Glosario de Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Regulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6 Lazo Abierto Lazo Cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.7 Ley de Control o Regulacion . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.8 Diagrama de Bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Modelado de Sistemas T picos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Caldera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Masa-Muelle-Rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Inversion del Operador Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Retardos Puros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Controlador Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Representacion de Sistemas Lineales por Funciones de Transferencia 1.6 Linealizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Pendulo Invertido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 Deposito de Seccion Variable y perdidas . . . . . . . . . . 1.7 Representacion de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . 2.2 Estabilidad Asintotica . . . . . . . 2.3 Estabilidad en Sistemas Lineales . 2.3.1 Criterio de Routh-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 10 10 10 10 10 10 10 11 11 12 13 13 15 15 17 17 18 20 20 20 21

9

2 Estabilidad

2626 26 27 29

2

INDICE GENERAL

3

3 Tecnicas Temporales

3.1 Desempe~o Temporal en Sistemas Lineales . . . . . . . . . . . . 32 n 3.1.1 Polos Dominantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.1.2 Lugar de las Ra ces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.1 Criterio de Nyquist . . . . . . . . 4.1.1 Principio del Argumento . 4.1.2 Criterio de Mikhailov . . 4.1.3 Criterio de Nyquist . . . . 4.2 Medida de la Robustez . . . . . . 4.2.1 Nota Importante . . . . . 4.2.2 Ejemplos . . . . . . . . . 4.3 Gra cas de Bode . . . . . . . . . 4.3.1 Aproximacion Asintotica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

4 Tecnicas de Frecuencia

47

47 47 48 50 54 57 58 70 72

5 Controladores

5.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Ampli cadores Operacionales . . . . . . . . . . . 5.3 Realizacion de las Redes de Adelanto y Retardo . 5.3.1 Redes de Adelanto . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Redes de Retraso . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Redes de Retraso-Adelanto . . . . . . . . 5.3.4 PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Sinton a por Ziegler-Nichols . . . . . . . . . . . . 5.5 Predictor de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

78 78 80 80 81 82 82 86 88

6 Compensacion

6.1 Objetivos de Control . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Estabilidad Interna . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Desempe~o Nominal . . . . . . . . . . . . . n 6.2 Medidas de Desempe~o . . . . . . . . . . . . . . . n 6.2.1 Seguimiento a Consigna . . . . . . . . . . . 6.2.2 Rechazo de perturbaciones . . . . . . . . . 6.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Compensacion con controlador integral I . 6.3.2 Compensacion con PID . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Compensacion con Adelantador . . . . . . . 6.3.4 Compensacion con Atrasador . . . . . . . . 6.3.5 Compensacion con Atrasador-Adelantador . 7.1 7.2 7.3 7.4 Introduccion . . . . . . . . . Controlabilidad . . . . . . . Observabilidad . . . . . . . Descomposicion de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

91 91 92 93 94 94 95 96 96 100 103 108

91

7 Elementos de la Representacion de Estado

115115 115 116 116

INDICE GENERAL

4

7.5 Control por Realimentacion de Estados . . . . . . . . . . . . . . 117 7.5.1 Ampliacion de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 7.6 Observadores de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

A Apendice

125

Indice de Figuras1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 4.17 Regulacion en Lazo Cerrado . . . . . . . . . . . Diagrama de Bloques . . . . . . . . . . . . . . . Lazo Cerrado T pico . . . . . . . . . . . . . . . Caldera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Masa-muelle-rozamiento viscoso . . . . . . . . . Representacion de una funcion de transferencia Grafo de transferencia . . . . . . . . . . . . . . Retardo puro T de u(t) . . . . . . . . . . . . . Representacion de subsistemas de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 12 13 14 15 17 17 18 19 34 35 35 40 44 44 50 52 53 55 57 58 60 61 61 62 63 63 64 64 65 66 66

Respuesta a escalon unitario2. . . . . . . . . . . . . n 2 Especi caciones sobre s2 +2 !!n +!n . . . . . . . . . s=( )+1 Respuesta a escalon unitario de (s=!n )2 +2!ns=!n )+1 ( Lugar de las ra ces para s(s+4)((s1+4)2 +42 ) . . . . . . Compensador con ceros reales . . . . . . . . . . . . Compensador con ceros complejos . . . . . . . . . Gra ca de den(j!) . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gra ca de Gp (j!) . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gra ca de Gp (j!) con retardo . . . . . . . . . . . Puntos de margen de fase y margen de ganancia . Gra ca de Nyquist para sistema de orden elevado . Interior Exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . caso 1 Gra ca de Nyquist sin retardo . . . . . . . caso 1 Lugar de las Ra ces sin retardo . . . . . . . caso 1 Gra ca de Nyquist con retardo T = 0:4 s] . caso 2 Gra ca de Nyquist sin retardo . . . . . . . caso 2 Lugar de las Ra ces sin retardo . . . . . . . caso 2 Gra ca de Nyquist con retardo T = 0:4 s] . caso 3 Gra ca de Nyquist sin retardo . . . . . . . caso 3 Lugar de las Ra ces sin retardo . . . . . . . caso 3 Gra ca de Nyquist con retardo T = 0:4 s] . caso 4 Gra ca de Nyquist sin retardo . . . . . . . caso 4 Lugar de las Ra ces sin retardo . . . . . . . 5

INDICE DE FIGURAS....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... Modulo y Fase para el elemento ((j!=!n ) + 1);1 . . . . . . . . . Modulo y Fase para el elemento ((j!=!n )2 + 2 n j!=!n + 1);1 . Modulo y Fase comparativas. Aproximacion asintotica ( )y exacta (-) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.28 Representaciones de Bode y Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 5.13 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 Representacion de un ampli cador operacional . . . . . . . . . . Realizacion de un integrador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representacion de la red de adelanto con z = 0:1 y p = 1 . . . . Representacion de la red de retardo con z = 1 y p = 0:1 . . . . . Red generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Red de retardo-adelanto con z1 = 1 p1 = 0:1 y z2 = 10 p2 = 100 balanceada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Red de retardo-adelanto con z1 = 1 p1 = 0:1 y z2 = 2 p2 = 100 no balanceada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gra cas para el PID ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Limitacion del efecto integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Con guraciones del controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . Respuesta t pica a escalon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flujo de se~ales en el predictor de Smith . . . . . . . . . . . . . . n Modelo equivalente del predictor de Smith . . . . . . . . . . . . . 4.18 4.19 4.20 4.21 4.22 4.23 4.24 4.25 4.26 4.27

6 67 67 68 68 69 69 70 73 74 75 77 79 79 80 81 82 82 83 83 84 85 87 89 89 92 93 95 97 98 99 99 100 101 104 104 107 107

caso 4 Gra ca de Nyquist con retardo T = 2 s] . . . caso 5 Gra ca de Nyquist sin retardo . . . . . . . . caso 5 Lugar de las Ra ces sin retardo . . . . . . . . caso 5 Gra ca de Nyquist con retardo T = 1 s] . . . caso 6 Gra ca de Nyquist sin retardo . . . . . . . . caso 6 Lugar de las Ra ces sin retardo . . . . . . . . caso 6 Gra ca de Nyquist con retardo T = 0:6seg: .

Diagrama de las se~ales en un lazo t pico de realimentacion . . . n Sensibilidad S (j!) y Sensibilidad Complementaria T (j!) . . . . Esquema del deposito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . In uencia del retardo en la fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gra ca de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagrama de la compensacion con integrador . . . . . . . . . . . Diagrama de Nyquist de la compensacion con integrador . . . . . Diagrama de la compensacion con PID . . . . . . . . . . . . . . . Gra ca de Nyquist de la compensacion con PID . . . . . . . . . . Gra cas de Bode del sistema antes de la compensacion por Adelantador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.11 Gra cas de Bode del sistema despues de la compensacion por Adelantador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.12 Gra cas de Bode del sistema antes de la compensacion por Atrasador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.13 Gra cas de Bode del sistema despues de la compensacion por Atrasador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

INDICE DE FIGURAS

7

6.14 Gra cas de Bode del sistema antes de la compensacion por AtrasadorAdelantador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 6.15 Gra cas de Bode del sistema despues de la compensacion por Atrasador-Adelantador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6.16 Gra cas de Bode del sistema antes de la compensacion por AtrasadorAdelantador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 6.17 Gra cas de Bode del sistema despues de la compensacion por Atrasador-Adelantador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 7.1 Respuesta a Escalon del Sistema con Realimentacion de Estado . 121 7.2 Estados del Sistema Ampliado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 7.3 Respuesta a Escalon del Sistema Ampliado . . . . . . . . . . . . 122 A.1 Representacion del reloj de Ktesibios . . . . . . . . . . . . . . . . 126 A.2 Diagrama del regulador de Watt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Indice de Tablas1.1 Cuadro sinoptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Relacion de algunas Transformadas de Laplace . . . . . . . . . . 25 2.1 Tabla de calculo de Routh-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Tabla de calculo para el ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5.1 Parametros Ziegler-Nichols Lazo Abierto . . . . . . . . . . . . . . 87 5.2 Parametros Ziegler-Nichols Lazo Cerrado . . . . . . . . . . . . . 88

8

Cap tulo 1

Introduccion a la Regulacion Automatica1.1 Breve Rese~a Historica nLa regulacion como ciencia con cuerpo organico independiente, es relativamente joven, con apenas poco mas de un siglo de existencia. Los primeros dispositivos de los que se tiene noticia remontan al a~o 300 A.E. en el ingenioso reloj de n agua de Ktesibios A]. Ya en nuestra era se registran : Cornelius Drebbel Dennis Papin James Watt A] J. C. Maxwell 1572 - 1633 1647 - 1712 1769 1868 reg. temperatura reg. presion reg. vel. maq. vapor "On governors"

Tabla 1.1: Cuadro sinoptico En los ultimos 50 a~os, con la industrializacion y las guerras calientes y fr as, n hubo un sensible incremento en el desarrollo de las tecnicas de control ahora dentro de un cuerpo teorico que se encauzo en dos vertientes principales, a saber: Las aplicaciones principales se hicieron dentro de la telefon a lineal dando enfasis a los metodos frecuenciales, con aportaciones importantes de guras como: Bode (1964), Nyquist (1932), Black (1977), R. Bellman (1960), Kalmann (1970).

1.1.1 Escuela Americana (EEUU)

9

CAPITULO 1. INTRODUCCION A LA REGULACION AUTOMATICA 10El enfoque t pico se efectua a traves de ecuaciones diferenciales lo que redunda en una metodolog a temporal. Esta escuela se caracteriza por su profunda base teorica siendo su enfoque amplio y general tanto para sistemas lineales como para sistemas nolineales. Son guras de destaque Liapounov, Minorski, L. S. Pontriaguin, Popov, Utkin.

1.1.2 Escuela Rusa (Antigua URSS)

1.2 Glosario de ControlEn el desarrollo de la teor a, algunas palabras adquieren sentido mas tecnico dentro del contexto. Regulacion debe entenderse como imposicion de un comportamiento predeterminado sobre un paciente. En el contexto presente, el paciente se designara por el nombre de Planta.

1.2.1 Regulacion

1.2.2 Sistema

El concepto de Sistema esta asociado a una vision utilitaria segun un determinado interes sobre una parte del entorno en que se quiere ejercer la actividad de regulacion. Hacen parte y de nen un sistema sus componentes que se relacionan entre s y la frontera con su entorno.

1.2.3 Variable 1.2.4 Estado

Cualquier efecto capaz de medirse o con sentido f sico, que describa la forma de interaccion entre dos o mas subsistemas. El conjunto m nimo de variables que con sus interrelaciones describen el comportamiento de un sistema determinado.

1.2.5 Modelo

El ejercicio de abstraccion que a sla aspectos peculiares de un sistema de acuerdo con nuestro interes, conlleva a un conjunto de reglas que relacionan un conjunto de variables que pueden describir cualitativa o cuantitativamente el comportamiento de este sistema cuando es sometido a determinados est mulos.

CAPITULO 1. INTRODUCCION A LA REGULACION AUTOMATICA 11

1.2.6 Lazo Abierto Lazo Cerrado

El control en su acepcion moderna esta ntimamente asociado al concepto de lazo cerrado. El control moderno se basa en la actuacion sobre el error existente entre lo deseado (consigna) y lo realizado (salida actual). Para saber el valor de lo realizado es necesario incluir lo que se entiende como observador. La regulacion en lazo abierto no cuenta con el recurso de observacion de la salida actual. Como ejemplo de lazo abierto podr a pensarse en mantener la temperatura en un valor determinado en el aula a lo largo del d a, por fuerza de inyectar calor a traves de uno o mas radiadores. Sabiendose que la temperatura ambiente cambia de acuerdo con un per l determinado a lo largo del d a, se podr a establecer una tabla de caudal de vapor caliente para los radiadores de forma a complementar el calor actual en el aula y as alcanzar el per l deseado de temperatura. Esta estrategia estar a condenada al fracaso, ya que a cualquier cambio en el ambiente (abrir una ventana) o en el sistema de liberacion de vapor (perdidas de vapor en las ca~er as) conllevar a a errores que podr an ser acumulativos. n La realizacion de esta misma regulacion en lazo cerrado se efectuar a sencillamente incorporando la observacion de la temperatura realizada y actuando no de acuerdo con una tabla temporal pero s en funcion del error existente entre la temperatura realizada y la temperatura deseada. En la gura 1.2.6] puede observarse el lazo cerrado por excelencia. Dependiendo del valor de la temperatura de salida y su valor en relacion a la temperatura deseada, el operador actua en la valvula de vapor abriendola o cerrandola de acuerdo con esta diferencia (error). Aqu Te es la temperatura del agua que entra en la caldera, Ts la temperatura alcanzada y se hace necesario el mezclador para que la temperatura a la salida sea la temperatura homogenea del tanque. El elemento esencial en el cierre del lazo es la observacion efectuada por el operador sobre la temperatura medida (observada) por el termometro ubicado a la salida. La ley de control o regulacion es la estrategia de accion a seguir, dependiente de los valores de las grandezas a regular, y eventualmente de su historia reciente. En el caso del regulador de temperatura en que se debe mantener una temperatura constante del agua a la salida, una estrategia sencilla ser a: Si la temperatura de salida supera a la temperatura de referencia, cerrar el vapor. En caso contrario, si la temperatura a la salida alcanza un valor m nimo establecido se

1.2.7 Ley de Control o Regulacion

CAPITULO 1. INTRODUCCION A LA REGULACION AUTOMATICA 12Termometro

Ts

Temperatura de Salida

Vapor

u

Serpentina

Tanque de Agua Operador T e

Mezclador

Figura 1.1: Regulacion en Lazo Cerrado abre el vapor. Esta estrategia permitir a, desde que se contase con volumen de vapor su ciente, mantener la temperatura a la salida oscilando entre los valores de referencia y el m nimo establecido. En la practica se sabe que la temperatura en su oscilacion supera a la temperatura de referencia y baja mas que la temperatura m nima. Cada estrategia con gura un controlador o regulador. Para tratar los aspectos espec cos de regulacion se utiliza le tecnica de los diagramas de bloques que consiste en reducir cada subsistema considerado a una caja caracterizada por su dinamica, las variables de entrada y las variables de salida. Es una tecnica que cuida de la representacion de las se~ales que n circundan en el lazo de control y sus interacciones.

1.2.8 Diagrama de Bloques

T

Ts ref

Te

Q PLANTA

Ts

CONTROLADOR

Figura 1.2: Diagrama de Bloques

CAPITULO 1. INTRODUCCION A LA REGULACION AUTOMATICA 13En la gura 1.2] la caja denominada PLANTA representa la caldera y su modelo dinamico descriptivo del proceso termico que en ella se desarrolla. En la planta entran las variables Te y Q y sale Ts . Te es considerada como una perturbacion independiente que entra en el proceso termico, Q es la cantidad de calor inyectada en la caldera y Ts es la temperatura de salida del agua de la caldera, o temperatura realizada. La caja denominada CONTROLADOR representativa del sistema de regulacion o control, recibe como entradas Tref y Ts teniendo como salida Q. Aqu Tref es la temperatura de referencia a mantener, Ts es la temperatura realizada por el proceso y Q la cantidad de calor proporcionada por el controlador. La ley de control comprende la actuacion experta del operador. Generalizando un poco mas esta representacion se llega al diagrama de bloques que describe el lazo cerrado conforme se puede observar en la gura 1.3]Perturbacion

Referencia CONTROL

Actuacion PLANTA

Valor Realizado

OBSERVA Salida Observada

Figura 1.3: Lazo Cerrado T pico

1.3 Modelado de Sistemas T picosSiguen algunos ejemplos sencillos de plantas t picas en el ambito lineal. Tales ejemplos pueden servir para dar una idea cualitativa de sus comportamientos. Las plantas reales suelen ser bastante mas complejas y con caracter sticas n tidamente nolineales (saturaciones por ejemplo.) El modelo termico simpli cado de una caldera de calentamiento de agua efectuado de acuerdo con el diagrama de la gura 1.4] resulta de la aplicacion de la ley de conservacion de la cantidad de calor. Sea: Te Temperatura del l quido que entra en la caldera. Ts Temperatura del l quido que sale de la caldera.

1.3.1 Caldera

CAPITULO 1. INTRODUCCION A LA REGULACION AUTOMATICA 14c Calor espec co del l quido. V Caudal de entrada del l quido. m Masa de l quido en el volumen de control de la caldera. Q Flujo de calor aplicado en la caldera. t Variable tiempo.Ts Vapor Q Serpentina

Volumen de Control Te

Mezclador

Figura 1.4: Caldera En estas condiciones se tiene:

mc Ts = (Q + V c(Te ; Ts )) ty haciendo el l mite t ! 0

(1.1) (1.2) (1.3) (1.4) (1.5)

mc Tts = Q + V c(Te ; Ts ) mc dTs = Q + V c(Te ; Ts ) dt

mc dTs + V cTs = Q + V cTe dtSiendo la incognita Ts se puede por lo menos formalmente efectuar:

d mc dt + V c Ts = Q + V cTe

CAPITULO 1. INTRODUCCION A LA REGULACION AUTOMATICA 15;1 d Ts = mc dt + V c (Q + V cTe )

(1.6)

Aqu ; d se trata de poder efectuar la inversion del operador diferencial D(t) = mc dt + V c para poder poner en evidencia la incognita. En el diagrama de la gura 1.5] puede observarse una planta sencilla de ndole mecanica que consiste en una masa m acoplada a un muelle de constante k apoyada en una super cie con la cual tiene rozamiento viscoso proporcional a la velocidad con constante , solicitada por una fuerza F . Se desea saber el comportamiento x(t) cuando a partir del reposo, se aplica la fuerza F (t). Aplicando la primera ley de Newton se llega a: O tambien:

1.3.2 Masa-Muelle-Rozamiento

mx = F (t) ; x ; kx _ d2 d x(t) = (m dt2 + dt + k);1 F (t)x k m v

(1.7) (1.8)

F

Figura 1.5: Masa-muelle-rozamiento viscoso

1.4 Inversion del Operador DiferencialLos operadores diferenciales que surgen en ecuaciones diferenciales lineales ordinarias a coe cientes constantes son facilmente inversibles utilizando la transformada de Laplace. Esta transformada lleva una funcion real de variable real a una funcion compleja de variable compleja que se llama su transformada. Para una cierta categor a de funciones esta transformacion posee inversa unica siendo entonces que se puede establecer una correspondencia biun voca entre funciones reales de variable real de este conjunto, y sus transformadas complejas de variable compleja.

CAPITULO 1. INTRODUCCION A LA REGULACION AUTOMATICA 16La transformada de Laplace denotada por L ] se de ne como:

L x] L x + n y] f L d n] dt L f (t ; t0 )] L f (t= )] L f g]

Z1 e;st x(t)dt = X (s)0

y entre otras, goza de las propiedades: = L x] + L y ] = sn F (s) ; sn;1 f (0) ; sn;2 f 0 (0) ; ; f (n;1) (0) = e;t0 s F (s) = F ( s) = F (s)G(s) (1.9) Aplicando estas propiedades a un operador diferencial lineal a coe cientes constantes generico se obtiene: (1.10) donde P n (s) es un polinomio del mismo orden del operador diferencial. Si ademas se exige que las condiciones iniciales sean nulas se obtendra:

L Dn (t)x(t)] = P n (s)X (s)

De esta forma una ecuacion diferencial t pica surgida del modelado de una planta generica con una entrada u(t) y una salida y(t) bajo la hipotesis de condiciones iniciales nulas tendr a como solucion:

d d L (an dtn + an;1 dtn;1 + + a0 )x(t)] = (an sn + an;1sn;1 + a0 )X (s) (1.11)

n

n;1

(1.12) m. La fraccion P m (s)=P n (s) recibe el nombre de funcion de transferencia entre U (s) e Y (s) siendo que gra camente se representa de acuerdo con la gura 1.6] Para grafos mas complejos se puede obtener la funcion de transferencia global, aplicando una regla bastante sencilla. As , para el sistema presentado en la gura 1.7] se puede obtener y para que L;1 Y (s)] tenga sentido f sico es necesario que se veri que n aplicando la regla: el numerador se compone por la suma algebraica de los caminos independientes en la direccion entrada-salida. Ya el denominador se compone por la unidad restada algebraicamente de los diversos lazos de realimentacion independientes.

Dn (t)y(t) = Dm (t)u(s) s Y (s) = P m((s)) U (s) Pn P n (s) = an sn + an;1 sn;1 + + a0 P m (s) = bmsm + bm;1sm;1 + + b0

G(s) = 1 ; G G G ; G G1 G2 G3 G4 G G ; G G G 1 2 5 3 G8 ; G1 G2 5 7 1 2 3

CAPITULO 1. INTRODUCCION A LA REGULACION AUTOMATICA 17U(s) P (s) m P(s) n Y(s)

Figura 1.6: Representacion de una funcion de transferenciaG5

+

G1

G2

+

G3

G4

G6

G8

G7

+

Figura 1.7: Grafo de transferencia Se entiende por retardo puro el tiempo de propagacion de una se~al entre dos n puntos de medida. En la gra ca 1.8] se representa la se~al u(t) y su version n u(t ; T ) retardada de un tiempo T . La transformada de Laplace de u(t ; T ) se obtiene facilmente a partir de u(t) pues:

1.4.1 Retardos Puros

L u(t ; T )] = e;sT L u(t)] = e;sT U (s)

1.4.2 Controlador Lineal

La dinamica de los controladores lineales se puede describir a traves de la ecuaciion diferencial

Dp (t)u(t) = Dq1 (t)yref (t) + Dq2 (t)y(t)siendo que la ecuacion transformada queda:

CAPITULO 1. INTRODUCCION A LA REGULACION AUTOMATICA 18u(t-T) u(t)

T

Figura 1.8: Retardo puro T de u(t)

s s U (s) = P q1((s)) Yref (s) + P q2((s)) Y (s) P Pp p

d PID u(t) = kc e(t) + ki 0t e( )d + kd dt e(t) o controlador PID.

Normalmente se utilizara la version particular P U (s) = P q (s) E (s) p (s) donde E (s) = Yref (s) ; Y (s) Los controladores deben ser propios o sea deben obedecer q1 q2 p. Ademas deben poseer sus ceros y polos en C ; f0g. Los controladores mas usuales son: P u(t) = kc e(t) conocido como controlador proporcional. R I u(t) = ki 0t e( )d o controlador integral. d D u(t) kd dt e(t) o controlador derivativo. Este ultimo se aproxima por la d d ecuacion diferencial b0 dt u(t)+b1 u(t) = a0 dt e(t)+a1 e(t) con b1 =b0 a1 =a0

R

s+z U (s) = kc s+p con 0 < z < p caracterizado como adelantador. s+z U (s) = kc s+p con 0 < p < z caracterizado como atrasador. s+z1 )(s+z U (s) = kc ((s+p1 )(s+p2 )) con 0 < p1 < z1 2

atrasador-adelantador

z2 < p2 caracterizado como

1.5 Representacion de Sistemas Lineales por Funciones de TransferenciaEn un problema t pico de regulacion estan envueltos por lo menos tres subsistemas a saber: Planta, Controlador y Observador. En el ciclo cerrado de

CAPITULO 1. INTRODUCCION A LA REGULACION AUTOMATICA 19regulacion ya presentado para la caldera de calentamiento de agua, el CONTROLADOR queda caracterizado por el operador que aqu actua sobre el error e(t) = yref (t) ; y(t), la PLANTA por la caldera y el OBSERVADOR por el termometro. Cada uno de estos subsistemas posee dinamica propia que puede describirse de modo general en la forma: PLANTA Dn (t)x(t) = Dm (t)u(t) CONTROLADOR Dq (t)u(t) = Dp (t)e(t) OBSERVADOR Ds (t)y(t) = Dr (t)x(t) y que para condiciones iniciales nulas despues de transformar segun Laplace pueden representarse como: PLANTA X (s) = (P m (s)=P n (s))U (s) CONTROLADOR U (s) = (P p (s)=P q (s))E (s) OBSERVADOR Y (s) = (P r (s)=P s (s))X (s) y el diagrama de bloques resultante tendr a el aspecto:E(s) P p P q U(s) P m P n X(s)

Y(s)

Pr Ps

Figura 1.9: Representacion de subsistemas de transferencia como resultado directo se tiene:

s (s) (s) Y (s) = P r (s) P m((s)) P p(s) E (s) P P Ps n q

como E (s) = Yref (s) ; Y (s) se puede obtener nalmente

Y (s) = G(s)E (s) = G(s)(Yref (s) ; Y (s)) G ) = 1 + (s(s) Yref (s) G

(1.13)

(s) (s) siendo G(s) = P r (s) P m((ss)) P p(s) Esta expresion obtenida para Y (s) viene a ser Ps Pn Pq la funcion de transferencia en lazo cerrado entre la consigna Yref (s) y la salida Y (s). Esta version entre las posibles presentaciones para un sistema lineal se conoce por el nombre de presentacion en la forma entrada-salida

CAPITULO 1. INTRODUCCION A LA REGULACION AUTOMATICA 20

1.6 LinealizacionEl arsenal de herramientas disponible para sistemas lineales puede usarse tambien para localmente, estudiar el comportamiento de sistemas nolineales. Para ello es necesario efectuar una linealizacion que valga en un entorno del punto nominal de funcionamiento. En el proceso de linealizacion se representa el comportamiento de una funcion continua de derivada continua a traves de su plano tangente en un entorno del punto de contacto. Sea f : 0 para k = 1

n1 n2 n3

Estas condiciones su cientes podr an resumirse a tres a saber: 1. X (s) debe veri car grado(numerador(X (s))) < grado(denominador(X (s))). 2. X (s) debe poseer como maximo un cero en el origen. 3. Las ra ces del polinomio del denominador de Gp (s) deben estar situadas en el semiplano complejo negativo. Si por otro lado se sabe que u(t) es limitada entonces las condiciones anteriores para salida limitada cambian ligeramente para:

CAPITULO 2. ESTABILIDAD

29

1. grado(numerador(Gp (s))) grado(denominador(Gp (s))) 2. Gp (s) no puede poseer ceros en el origen. 3. Las ra ces del polinomio del denominador de Gp (s) deben estar situadas en el semiplano complejo negativo. Para un sistema lineal en version de estado, por la equivalencia~ ~ (sI ; A);1 = det(sA;A) donde A es la transpuesta de la matriz de cofactores de I A la segunda condicion se entiende equivalente a: det(sI ; A) = 0 debe poseer todas las ra ces ubicadas en el semiplano complejo negativo, o tambien que los autovalores de la matriz A esten situados en el semiplano complejo negativo.

Gp (s) C (sI ; A);1 B + D

2.3.1 Criterio de Routh-Hurwitz

Las condiciones necesarias y su cientes para estabilidad en un sistema lineal propio estan asociadas a la traza del polinomio caracter stico o denominador de su funcion de transferencia. Si la traza del denominador (o lo que es lo mismo sus ra ces) esta contenida en el semiplano complejo negativo, el sistema sera considerado estable a condiciones iniciales. Independientemente Routh (1874) y Hurwitz (1895) desarrollaron una condicion necesaria para la estabilidad de sistemas lineales, que consiste en el calculo de un arreglo sobre los coe cientes del polinomio caracter stico (fak g). La condicion su ciente es que se veri que fak > 0g8k. O sea: si en la ecuacion + a0 (2.4) ; entonces necesariamente tendremos que fak gk=n;1 > 0. se veri ca que sk 2 C k=0 (s + 2)(s2 ; s + 4) = s3 + s2 + 2s + 8 posee ra ces en C +k=n (s + sk ) = sn + an;1 sn;1 + k=1

Ocurre que esta condicion no es su ciente ya que por ejemplo, el polinomio

n n;1 n;2 n;3.. . 0

an an;1 bn;1 cn;1.. .

an;2 an;3 bn;3 cn;3

an;4 an;5 bn;5 cn;5

hn;1

Tabla 2.1: Tabla de calculo de Routh-Hurwitz

CAPITULO 2. ESTABILIDAD

30

En el arreglo de Routh-Hurwitz se disponen en las dos primeras l neas los coecientes del polinomio

pn (s) = an sn + an;1 sn;1 +

+ a0

las l neas siguientes (totalizando n + 1 para el arreglo completo) se calculan de acuerdo con el procedimiento: b = ; 1 an an;2

an;1 an;1 an;3 bn;3 = ; a 1 aan an;4 n;1 n;1 an;5 cn;1 = ; b 1 an;1 an;3 n;1 bn;1 bn;3

n;1

Segun el resultado de este arreglo, habra tantas ra ces en el semiplano C + como cambios de signo entre los elementos de la segunda columna del arreglo. o sea en: an an;1 bn;1 hn;1 . Hay una serie de casos particulares de detallado del metodo que vienen en la literatura de control. En este caso apenas nos interesa la existencia o no de ra ces inestables. A t tulo de ejemplo supongamos que se necesita controlar una planta con funcion de transferencia

kp Gp (s) = s(s + 2)(s + 3)

utilizando para ello un controlador que posee dinamica de acuerdo con Gc (s) = kc s + a s+1 Utilizando la estructura de lazo cerrado se tiene:

X (s) U (s) Y (s) E (s)y por tanto

= = = =

Gp (s)U (s) planta Gc (s)E (s) controlador X (s) observador Yref (s) ; Y (s)

G ( )G G(s) = 1 + G c ssG p (s) (s) c ( ) p (s)Golo que conlleva a un polinomio caracter stico

CAPITULO 2. ESTABILIDAD4 3 2 1 0 1 6

31

b3 c3 Ka

K +6 Ka

11

Ka

Tabla 2.2: Tabla de calculo para el ejemplo

1 + Gc (s)Gp (s)Go (s) = 0 ) s(s + 1)(s + 2)(s + 3) + kc kp (s + a) = 0 Llamando K = kc kp y efectuando el calculo del arreglo se llega a: donde b3 = (60 ; K )=6 y c3 = K + 6 ; 6Ka=b3 imponiendo ahora que no haya cambios de signo en la primera columna del arreglo se obtiene la condicion: 0 < a < (60 ; K )(K + 6) 36K los valores de a y kc kp que cumplan esta condicion conllevan necesariamente a estabilidad. Escogiendo valores convenientes de a y kc kp puede amoldarse dentro de ciertos l mites, el desempe~o del sistema en lazo cerrado. n

Cap tulo 3

Tecnicas Temporales3.1 Desempe~o Temporal en Sistemas Lineales nDesempe~o implica necesariamente en estabilidad. Para los sistemas lineales n ademas de estabilidad, se exige muchas veces estabilidad asintotica y la observancia de ciertos ndices en la respuesta a escalon unitario. Entre los ndices mas usuales se cuentan:

ts Tiempo de subida. Tiempo necesario para alcanzar el nivel del escalon de ta SO e(1)

referencia. Tiempo de asentamiento. Tiempo a partir del cual la respuesta a escalon di ere de la unidad en menos de 1% de la amplitud del escalon. Sobreoscilacion. Maxima excursion porcentual de la se~al en la fase inicial n del transitorio, en relacion a la amplitud del escalon de referencia. Error nulo en regimen permanente para cambio en escalon en la referencia.

3.1.1 Polos Dominantes

La respuesta transitoria de un sistema lineal a entrada a escalon, caracteriza el comportamiento dinamico en relacion a cualquier otra entrada por compleja que pueda ser. La respuesta transitoria en la mayor a de los casos practicos se puede asociar a la fraccion poseyendo denominador con ra ces mas proximas al eje imaginario. Siendo atenuadas por un factor exponencial, su amortiguamiento para 1 > 2 > 0 cumple 0 < e; 1 t < e; 2 t y si por ejemplo 2 = 0:1 y 1 = 0:8 entonces la atenuacion relativa valdr a e;0:7 0:5 o sea que despues del primer segundo t 1 la componente afectada por e;0:8t esta por lo menos atenuada el doble de la componente afectada por e;0:1t por tanto entre las dos, la dominante es la afectada por el factor e;0:1t. Siguiendo esta l nea de raciocinio, el desempe~o de los sistemas lineales sera estudiado apenas para su n par dominante de polos. Se supondra que de modo general se pueda hacer: 32

CAPITULO 3. TECNICAS TEMPORALES

33

Cs + Gp (s) (s + )2 D 2 + Inicialmente se estudiara el caso en que C = 0. En estas condiciones 2 D D n = !2 s2 + 2 !! + !2 (s + )2 + 2 n n n 2 con !n = 2 + 2 , = =( 2 + 2 ). Suponiendo sin perdida de generalidad que 2 = 1 la respuesta a escalon unitario queda en la forma: D=!n X (s) = (s=! )2 + 21 (s=! ) + 1 1 s n n supondremos apenas el caso en que 0 < < 1. p estas condiciones las ra ces En del denominador de Gp (s) son: s = !n (; j 1 ; 2 ) o de acuerdo con otra lectura s = ; j y la respuesta temporal x(t) viene dada por: ! p 2 2 + e; t sin( t ; ) 1(t) x(t) = 1 +o en otra lectura

e; !nt sin(! p1 ; 2 t ; ) x(t) = 1 + p n 21;

!

1(

t)

con = arctan (; = ). Los s mbolos utilizados se llaman:

!n Frecuencia natural no amortiguada.Razon de amortiguacion. Para el caso sencillo de un par de polos dominantes conforme el presentado, se puede hacer una correspondencia entre ndices f1 ( !n ) f2 ( !n ) f3 ( !n ) y el aspecto de x(t) como respuesta a escalon unitario. La condicion de tiempo de asentamiento j x(t) ; 1(t) j< 0:01 nos da aproximadamente:

e; !nta = 0:01 de donde se saca: ; !n ta = ln 0:01 y por ende ta = 4:6=( !n) = 4:6= = f1 ( !n ).La maxima sobreoscilacion se veri ca para: max x(t) t

CAPITULO 3. TECNICAS TEMPORALESx(t) SO 0.1

34

0.1 ts ta

t

Figura 3.1: Respuesta a escalon unitario lo que ocurre para x(tSO ) = 0 donde tSO es el instante en que ocurre el primer _ maximo en x(t). Derivando se tiene la condicion: 0 = ; e; t sin( t ; ) + e; t cos( t ; ) sin( = cos( t ; ) t; ) tan( t ; ) = arctan( ) = t ; t = k

k

(3.1)

Escogiendo para k = 1 se llega a tSO = . Evaluando x(tSO ) se llega a:

x(tSO ) = 1 + SO ;p = 1 + e 1; 2y por ende SO = e; p1; 2

(3.2)

= f2 ( !n ) para 0 < < 1.

La condicion de tiempo de subida se efectua sobre el comportamiento medio de las respuestas a escalon y adoptando la curva relativa a = 0:5 como representante media. Se obtiene as el tiempo que tarda la respuesta desde el valor 0.1 asta 0.9 del escalon: ts = 1:8=!n = f3 ( !n ). Para el caso C 6= 0 apenas se veri ca la relacion f1 ( !n ) siendo las otras a depender de los valores de C y D de poca ayuda. En este caso la representacion normalizada para el par de polos dominantes viene a ser:


35

= sin( ) n

n 2 Figura 3.2: Especi caciones sobre s2 +2 !!n+!n2

Cs + D s=( !n ) + 1 (s + )2 + 2 = (s=!n )2 + 2 (s=!n) + 1donde

!n = D=C =3

2.5

2Amplitud

1.5

1

0.5

0 0

2

4

6 8 Tiempo (segs)

10

12

14

s=( )+1 Figura 3.3: Respuesta a escalon unitario de (s=!n )2 +2!ns=!n )+1 (

En la gura 3.3] se puede observar el comportamiento de la respuesta a escalon unitario para 0:5 < < 4 y para = 0:5 y !n = 1. Las sobreoscilaciones y el tiempo de subida son sensibles a valores peque~os de y para valores grandes de n los resultados coinciden con los del caso en que no existe cero en el numerador.

CAPITULO 3. TECNICAS TEMPORALESEl programa en MATLAB para obtener estas gra cas sigue:lambda n zeta omega_n zetaomega_n den = = = = = = 0.5:0.1:4 length(lambda) 0.5 1 zeta*omega_n 1/omega_n^2 2*zeta/omega_n 1]

36

for k = 1:n num = 1/(lambda(k)*zetas^{k}omega_n) 1] step(num,den) if k == 1 hold on end end grid

Si se desea limt!1 e(t) = 0 para cambio de referencia en escalon se debe tener:

E (s) = Yref (s) ; Y (s) = Yref (s)(1 ; G(s))si ahora Yref = 1 se tendra: s

Para que limt!1 e(t) = 0 es necesario que la expansion de (1 ; G(s))=s no posea terminos del tipo A0 A1 =s Ak =sk lo que conlleva a 1 ; G(s) = s G0 (s) y 0 (s) sea estable. En el caso del lazo cerrado se tiene: que G ) G c N() G(s) = 1 + G c (s)Gp (s) (s) = D (s)D (sND(s()s) p+sND(os()sN (s)N (s) c (s)Gp (s)Go c p ) o c p o donde se puede veri car que los ceros de lazo cerrado son los de Nc (s)Np (s)Do (s) y tambien (s (s N ) 1)N 1 ; G(s) = Dc(s)DpD )DoD )(+)(+ o (s(s;N (sc(s)Np (s) D (s) (s) s N ) )N (s)c p o c p o

G E (s) = 1 ; s (s)

por tanto s tiene que ser uno de los factores de

Dc(s)Dp (s)Do (s) + (No (s) ; 1)Nc(s)Np (s)Si Go (s) = 1 entonces es necesario que s sea factor de Dc (s)Dp (s) y por tanto se puede concluir:


37

Cuando le falten factores s a la planta en su denominador, el controlador puede prestarselos de modo a cumplir la condicion limt!1 e(t) = 0.

o su corolarioNo se puede alcanzar la condicion limt!1 e(t) = 0 en sistemas realimentados con Go (0) 6= 1 donde3 Go (s) = numo(s)=deno (s). Cuando el par de polos dominantes se presenten en la forma s=( !n ) + 1 (s=!n )2 + 2 (s=!n) + 1

puede a~adirse un compensador Gc (s) en serie con la planta de forma a eliminar n por cancelacion, el efecto del cero en !n pues: Y (s) = s=( !n ) + 1 Yref (s) (s=!n)2 + 2 (s=!n ) + 1 Gc (s) con: Gc (s) = s=(s= !+)1+ 1 n donde !n . As , a sabiendas de que esta incorporado Gc (s) se puede efectuar el desarrollo del controlador con las condiciones ts ta SO relativas a 1 (s=!n )2 +2 (s=!n )+1 . De todos modos, estas consideraciones ense~an que para atender especi cacion nes temporales salvo en sistemas extremadamente sencillos, debe utilizarse la simulacion del resultado completo obtenido, ya que las simpli caciones pueden conllevar a errores substanciales. Este metodo desarrollado por W. R. Evans (1948) permite veri car el lugar geometrico en el plano complejo, de los ceros del polinomio caracter stico en funcion de un parametro. Esto conlleva a poder veri car el desempe~o de un n controlador de lazo cerrado cuando se pueda elegir un parametro de sinton a. Sea el polinomio pn (s) = sn an + sn;1 an;1 + + sk + sk;1 ak;1 + + a0 Se llama Lugar de las Ra ces en funcion del parametro al lugar construido con3

3.1.2 Lugar de las Ra ces

Se dice que un observador es justo cuando ocurre: Es estable. Go (0) = 1. Tiempo de subida ts de la planta en respuesta a escalon mucho menor que el tiempo de subida de la planta tambien en respuesta a escalon.


38

las soluciones de pn (s) = 0 para cada en un intervalo de interes. Se obtiene as s( ).

rn;k (s)sk + sk + tk;1 (s) = 0 k (3.3) + rn;k (s)s sk+ tk;1 (s) = 0 Llamando ahora K = y G(s) = sk =(rn;k (s)sk +tk;1 (s)) tendremos la relacion:1 + KG(s) = 0 (3.4) La ecuacion compleja (3.4) en coordenadas polares es equivalente a las dos ecuaciones: 1 j G(s) j = K

\G(s) = 180 + k 360 (k = 0 1 2

)

(3.5)

utilizando los comportamientos asintoticos de estas ecuaciones se pueden elaborar gra cas que estimen la evolucion de s(K ). Examinando la ecuacion (3.4) y haciendo G(s) = num(s)=den(s) tendremos otra lectura en la forma:

den(s) + K num(s) = 0de donde se concluye que el lugar de las s(K ) sale de los ceros de den(s) para K = 0 y se acaba en los ceros de num(s) para K ! 1. Habra un numero de ramas en esta gra ca igual al numero de ceros de den(s). Los ceros de G(s) estan formados por los ceros propios que son las soluciones de num(s) = 0 y por los ceros impropios o ceros asintoticos. Estos ultimos son en numero de n ; m donde n es el grado del denominador de G(s) y m el grado del denominador. Los ceros impropios o asintoticos poseen ramas ilimitadas que se dirigen en direcciones asintoticas bien determinadas. As para valores de j s j muy grandes se veri ca: (s + )m;n bm =an \(s + )m;n m;n = (m ; n)\(s + ) \(s + ) (m ; n)\(s + ) = 180 + k360

G(s) \G(s)

(3.6) )

(se supone que an bm > 0) y entonces se concluye que: \(s(K ) + ) = ; 180n + k360 (k = 0 1 2 ;m

Ya el centro de as ntotas se calcula de acuerdo con la misma idea:

CAPITULO 3. TECNICAS TEMPORALESG(s) (s + )m;n bm =an n;m num(s) (s + ) X den(s)bm =an X (s + )n;m b s = ( aj sj )bm =an jigualando 4 ahora los coe cientes en ambos lados se llega a: =

39

(3.7)

P

donde fp g son los ceros del denominador de G(s) y fzj g son los ceros del numerador de G(s). Hay una serie de propiedades 5 que facilitan la elaboracion de un boceto rapido del lugar de ra ces. 1. A la izquierda de un numero impar de polos o/y ceros, el lugar de las ra ces pertenece al eje real. 2. En caso de que el lugar de ra ces cruce el eje imaginario los puntos de cruce estan entre las soluciones de: 1 + KG(j!) = 0. 3. El lugar de ra ces es simetrico con respecto al real. 4. Las ramas del lugar nunca se cruzan. El programa MATLAB que dibuja el lugar de las ra ces de la gura 3.4] se presenta en seguida:4

P p ; zj n;m

Asintoticamente vale:

X (s + )n;m b0 s = X (sn;m + (n ; m) sn;m;1 + + n;m ) b0 s = ; (sn + b0m;1 + (n ; m) sn;1 + + b00 + n;m ) =m ;1 = P zj y a0 = P pj

X0j aj s j X0 aj j X0jj

aj s

(3.8)

y as se llega a:

pero se sabe que b0m;1 n;1 5 Estas propiedades sirven para sistemas cuyos polinomios del numerador y denominador poseen coe cientes de orden maximo con el mismo signo. En caso contrario debe efectuarse una multiplicacion previa por (;1) para corregir este detalle. En este caso las formulas cambian un poco pues (n ; m)\(s + ) = k360 y consecuentemente \(s + ) = k n360m ; lo que cambia las direcciones de las as ntotas.

b0

+ (n ; m) = a0n;1

CAPITULO 3. TECNICAS TEMPORALES8

40

6

4

Eje Imaginario

2

0

2

4

6

8 8

6

4

2

0 Eje Real

2

4

6

8

Figura 3.4: Lugar de las ra ces para s(s+4)((s1+4)2 +42 )num = 1] den = conv(conv( 1 0], 1 4]), 1 8 32]) rlocus(num,den) grid hold on ro = 10 conv = pi/180 n = 4 m = 0 sp = -4-2*4 sz = 0 alfa = (sp-sz)/(n-m) fi1 = -(180+0*360)/(n-m) fi2 = -(180+1*360)/(n-m) fi3 = -(180+2*360)/(n-m) fi4 = -(180+3*360)/(n-m) plot plot plot plot hold ( alfa ( alfa ( alfa ( alfa off

% % % % % % %

Suma de los polos Suma de los ceros Centro de asintotas Direccion asintota 1 Direccion asintota 2 Direccion asintota 3 Direccion asintota 4 0 0 0 0 ro*sin(conv*fi1)],':r') ro*sin(conv*fi2)],':b') ro*sin(conv*fi3)],':g') ro*sin(conv*fi4)],':y')

alfa+ro*cos(conv*fi1)], alfa+ro*cos(conv*fi2)], alfa+ro*cos(conv*fi3)], alfa+ro*cos(conv*fi4)],

El lugar de las ra ces es por tanto una parametrizacion unidimensional de las ra ces de la ecuacion (3.4). La utilidad estriba en la formulacion del lazo cerrado de una planta que se intenta controlar utilizando apenas un controlador de accion proporcional: Consideremos como ejemplo la caldera que posee como funcion de transferencia Gp (s) para entrada en ujo de calor y salida en temperatura. La temperatura sera medida por un termometro que tiene como entrada ujo

CAPITULO 3. TECNICAS TEMPORALESde calor y salida temperatura, con funcion de transferencia Go (s).

41

Gp (s) Go (s) Gc (s) o (s) U (s) (s) E (s)

= = = = = = =

kp =(s + ) caldera Ko=(s + ) termometro kc E (s) controlador Go (s) (s) Gc (s)E (s) Gp (s)U (s) ref (s) ; o (s)

(3.9)

Calculando la funcion de transferencia de lazo cerrado entre ref (s) y (s) se obtiene: G ( )G G(s) = 1 + G c ssG p (s) (s) c ( ) p (s)Go Efectuando las simpli caciones se llega a: (s) = 1 + kkc Gp (s) (s) ref (s) c Gp (s)Go sabiendose que la estabilidad de (t) depende de la ubicacion de las soluciones de 1+ kcGp (s)Go (s) = 0 si se efectua el lugar de las ra ces de esta ecuacion se podra saber para que valores de kc sus ra ces estan ubicadas en C ; y escogiendo uno de estos valores (si existen) obtener un regulador de lazo cerrado que estabilice el sistema. En este caso particular tendremos:

KGp (s)Go (s) = (s + Ks + ) )(y por tanto la ecuacion caracter stica queda: (s + )(s + ) + K = 0 y por ende ( + )2 ; ( + K ) s(K ) = ; ( + ) 2 4 para 0 < K < ( =2)2 + ( =2)2 las ra ces s(K ) son reales y distintas. Se dirigen de s(0) que corresponde al inicio de las dos ramas respectivamente ; + j 0 y ; + j 0 hasta s(K ) donde las dos ramas alcanzan el valor de ;( + )=2 + j 0. Para K > K las ra ces de s(K ) son complejas y conjugadas, manteniendo el valor de la parte real constante en ;( + )=2. En este ejemplo se caracteriza perfectamente la parametrizacion de las ramas del lugar de las ra ces como funcion del valor del parametro K .

r


42

Esta tecnica se utilizo bastante hasta un pasado reciente, para efectuar la s ntesis de controladores con exigencias de desempe~o temporal. Es esencialmente una n tecnica gra ca en que se intenta alterar el lugar de las ra ces original de la planta, bajo in uencia de un controlador, de modo que los polos de lazo cerrado parametrizados a traves de un parametro que normalmente es una ganancia, se situen en una region determinada del semiplano C ; , de modo a tener garant a de desempe~o temporal (basicamente respuesta a escalon). As caso se desee n que el lugar pase por el punto sd para un valor determinado del parametro que parametriza el lugar, normalmente una ganancia, se hace: 1 + Gc (sd )Gp (sd ) = 0 donde Gc (s ) es la funcion de transferencia del compensador con indicando el conjunto de parametros de proyecto del compensador y Gp (s) representa la planta. Se obtienen as las condiciones:

\Gc (sd )Gp (sd ) = 180 y entonces se sacan las relaciones:

j Gc (sd )Gp (sd ) j = 1

j Gc (sd ) j = j G 1s ) j p( d \Gc (sd ) = 180 ; \Gp (sd )Debe notarse que el hecho de que el lugar de ra ces pase o realice en lazo cerrado el valor escogido sd no es condicion su ciente de exito ya que al introducir la dinamica del compensador el lugar de ra ces ahora posee mas ramas y en cada una de ellas aparecera para el valor parametrico estipulado, un polo en lazo cerrado. Si estos polos se encuentran fuera de la region sensible de C ; el problema de compensacion queda resuelto. Caso contrario se tendra que buscar otra solucion. Para el pendulo invertido con torque aplicado en su v nculo vale la ecuacion diferencial: Jo = (t) + lmg sin efectuando la linealizacion del operador diferencial en un entorno de la vertical = 0, se llega a:

Ejemplo

Jo ; lmg2

(t )

d (Jo dt2 ; lmg) = (t)


43

de donde se obtiene la ecuacion de transferencia del sistema linealizado que vale en un entorno j j< " del punto vertical. 1 T (s) (s) =

Jo s2 ; lmg

Se desea estabilizar el pendulo en la vertical con el desempe~o m nimo exigido n de: 1. Error nulo en regimen permanente para entrada en escalon. 2. Tiempo de acomodamiento o asentamiento m nimo de ta Suponiendo que el controlador viene dado por Gc (s) haciendo la funcion de transferencia del lazo cerrado con Go (s) = 1 se obtiene:p 1 ; G(s) = N (s)ND(cs()s)DD(s) )D (s) c p + c (s p

0 Se puede observar que necesariamente Dc(s) = sDc (s). El lugar de las ra ces parametrizadas ahora por la ganancia del compensador kc tendra que modi carse por la inclusion del controlador. El lugar de las ra ces se dirige de las ra ces del denominador del conjunto planta-compensador, para las ra ces del numerador del conjunto planta-controlador. Ya que la planta no posee ceros propios, el controlador le puede prestar los que necesite desde que se mantenga como un controlador realizable (n m) . Siguiendo esta l nea de raciocinio se llega a una propuesta de estructura para el controlador conforme a:2 1 Gc (s) = kc s s+sb+sa+)b0 ( 1

Suponiendo que se exija del sistema controlado una dinamica mas rapida que lap la planta, los polos de lazo cerrado deberan situarse a la izquierda de de ; lmg=Jo + j 0. Esto se arregla haciendo conp el controlador contribuya que al lazo cerrado con ceros a la izquierda de ; lmg=Jo + j 0. El polinomio caracter stico del lazo cerrado con el controlador a~adido queda: n

donde = lmg=Jo. En este punto se puede optar por: Colocar un par p ceros complejos conjugados en el numerador a la izde quierda de = lmg=Jo. Colocar dos cerosp reales uno cancelando 6 el polo (s + ) y el otro a la izquierda de = lmg=Jo.

p

2 1 1 + Gc (s)Gp (s) = kc s s+sb+sa+)b0 (s2 kp 2 ) ( ; 1

CAPITULO 3. TECNICAS TEMPORALES6

44

4

2Eje Imaginario

0

2

4

6 10

8

6

4 Eje Real

2

0

2

Figura 3.5: Compensador con ceros reales6

4

2Eje Imaginario

0

2

4

6 10

8

6

4 Eje Real

2

0

2

Figura 3.6: Compensador con ceros complejos


45

Si se busca un desempe~o en lazo cerrado lo mas parecido con un factor del tipo n 2 (Cs + D)=((s + o )2 + o ) lo logico es que a1 se haga lo su ciente grande como para que su aportacion dinamica no inter era en la respuesta deseada. Los programas MATLAB que siguen, describen la compensacion en ambos casos.%------------------% % ceros reales % %------------------% alfa k_p num_p den_p num_c den_c = = = = = = 1 1 k_p] 1 0 -alfa^2] conv( 1 alfa], 1 2*alfa]) conv( 1 0], 1 15*alfa])

num = conv(num_c,num_p) den = conv(den_c,den_p) rlocus(num,den) grid sgrid axis( -10 2 -6 6]) K,polos] = rlocfind(num,den) %---------------------% % ceros complejos % %---------------------% alfa beta k_p num_p den_p num_c den_c = = = = = = = 1 2 1 k_p] 1 0 -alfa^2] 1 2*(2*alfa) (2*alfa)^2+beta^2] conv( 1 0], 1 15*alfa])

num = conv(num_c,num_p) den = conv(den_c,den_p) rlocus(num,den) grid sgrid

La cancelacion propuesta nunca es perfecta pues de modo general, la planta se conoce dentro de determinada incertidumbre. De cualquier forma, el factor (s + a + ")=(s + a) contribuye en una respuesta a escalon con los factores: a Y (s) = s + + + " 1 = A1 + sA2a s a s s + con A1 = 1 + "=a y A2 = ;"=a lo que conlleva a una participacion en la respuesta " " y(t) = (1 + a )1(t) ; a e;at 1(t) 1(t)6

lo que suele ser despreciado desde que la cancelacion se veri que sobre polos estables.

CAPITULO 3. TECNICAS TEMPORALESaxis( -10 2 -6 6]) K,polos] = rlocfind(num,den)

46

En primer caso se puede imponer una respuesta a escalon de acuerdo con un 2 2 factor del tipo !n =(s2 + 2 !ns + !n). Ya en el segundo, debido a la proximidad del duplo par de polos que surge en el lazo cerrado, las especi caciones efec2 2 tuadas sobre !n =(s2 + 2 !n s + !n ) no necesariamente se veri can. El comando rlocfind se utiliza para determinar el valor de kc que conlleva a ubicar los polos indicados con el signo + en las gra cas del lugar de las ra ces.

Obtencion del par de polos dominantes

Si una funcion de transferencia puede aproximarse por un par de polos dominantes vale la aproximacion:

A A s+ +j + s+ ;jy por tanto ~ A = G (; ; j )

G(s)

~ donde G representa la funcion G despues de habersele retirado el factor s+ +j en el denominador. Entonces se obtiene

C = 2 ! 0

Este criterio puede aplicarse a sistemas que poseen funciones de transferencia irracionales o a sistemas que sufren de retardos puros.

Ejemplo de Planta Irracional

Un sistema de calor radiante posee como funcion de transferencia el controlador posee la funcion de transferencia

k Gp (s) = pps

kc Gc (s) = ( s + 1)( s + 1) 1 2 se pide determinar los valores de kc que proporcionan estabilidad en lazo cerrado. Con el programa MATLAB se determina que ;1=kc ;0:1 y por tanto, se obtiene que kc kp 10 es el l mite de estabilidad. Si kc > 10 el sistema queda inestable pues pasar a a circundar el punto ;1 + j 0. El resultado puede observarse en lagura 4.2].tau_1 = 1 tau_2 = 2 jw = sqrt(-1)*logspace(-0.1,2,100) den1 = sqrt(jw) den = polyval(conv( tau_1 1], tau_2 1]),jw) .* den1 L_nyq = 1./ den plot(L_nyq) grid

CAPITULO 4. TECNICAS DE FRECUENCIA0.05

52

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3 0.4

0.35

0.3

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0

Figura 4.2: Gra ca de Gp (j!)

Ejemplo de Planta con Retardo Puro

Una planta tiene como funcion de transferencia en lazo abierto a: El controlador con un retardo puro de segundos, posee funcion de transferencia s Gc (s) = kc 2 s + 1 e; s 3 +1 siendo que la observacion posee funcion de transferencia Go (s) = 1. Se desea saber para que gama de ganancias kc la planta puede estabilizarse en lazo cerrado.tau = 0.1 tau_1 = 1 tau_2 = 2 tau_3 = 0.1 jw = sqrt(-1)*logspace(-1,3,300) num = polyval( tau_2 1],jw) den = polyval(conv( tau_1 1], tau_3 1]),jw) L_nyq = num ./ den .* exp(-tau*jw) plot(L_nyq) grid

k Gp (s) = s p 1 1 +

CAPITULO 4. TECNICAS DE FRECUENCIA

53

Conforme puede observarse por la gra ca 4.3] producida por el programa MATLAB la circunvalacion del punto (;1=kc + j 0) ocurre en ;0:82. As , se concluye que para obtener estabilidad en lazo cerrado es necesario que kc < 1=0:821

0.5

0

0.5

1

1.5

2 1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

Figura 4.3: Gra ca de Gp (j!) con retardo El metodo o criterio de Nyquist es el mas general y se aplica incluso en los casos en que se conocen apenas datos experimentales. La respuesta en frecuencia 88 Un sistema lineal estable caracterizado por una funcion de transferencia hipotetica llamada Gp (s) cuando sometida en lazo abierto a est mulos sinusoidales responde dando los elementos para poder construir numericamente la funcion de transferencia en la forma Gp (j!) pues:

y la respuesta temporal tendra la estructura: rD ! C 2 y(t) = yh (t) + ! C + ! sin(!t + ) donde con el tiempo limt!1 = 0 y tambien = arctan(!=(D=C )). O sea que haciendo este ensayo para un !k determinado se obtendra con respuesta forzada

(s) Gp (s) = Y (s) U Y (s) = Gp (s)U (s) Y (s) = Gp (s) s2 + 2 Cs + D n0 Y (s) = den(s) ) + s2 + !2 (sp


54

es un metodo t pico utilizado para identi car sistemas lineales de modo no parametrico. Teniendo los datos de los ensayos efectuados se puede contestar sobre la estabilidad en lazo cerrado de la planta identi cada en lazo abierto.

4.2 Medida de la RobustezEl criterio de Nyquist permite veri car cuanto margen de estabilidad posee un sistema determinado. Para esto se de ne margen de ganancia y margen deCk !k

s

con

Dk + !2 sin(! t + ) k k Ck k

!

k = arctan(!k =(Dk =Ck )) Se puede entonces construir una tabla con los valores f!k Yk k g donde

yk (t) = Yk sin(!k t + k ) Despues de haber cesado la componente transitoria de la respuesta. La relacion de fYk k g con la funcion de transferencia Gp (j!k ) es directa pues considerando el regimen permanente, Cs + D A1 A2 s2 + !2 = s + j! +!s ; j! = Gp (s) 2 2 s +! limj!(s + j!)Y (s) = A1 s!; lim s!+j!(s ; j!)Y (s) = A2 ; A1 = ; Gp (2jj!) (j! A2 = Gp2j ) (;j! Y (s) = 21j Gp (j!) ; Gsp+ j! ) s ; j! Gp (j!) = j Gp (j!) j \fGp (j!)g = j Gp (j!) j \fGp (j!)g ! = !k Yk = j Gp (j!k ) j k = \fGp (j!k )g ;j k j k Y (s) = Yk s e j! + se+ j! ; k k ! ej(!k t+ k ) ; e;j(!k t+ k ) y(t) = Yk 2j = Yk sin(!k t + k ) y consecuentemente Yk = j Gp (j!k ) j k = \fGp (j!k )g


55

fase que miden cuanto le falta a un sistema para circundar el punto fat dico ;1 + j 0 o tambien equivalentemente el punto ;1=kc + j 0. Para ello, se dibuja una circunferencia de radio 1 o equivalentemente de radio 1=kc con centro en el punto origen de coordinadas. A seguir se observan los puntos:

MF Interseccion del lugar kc Gp (j!) con el lugar j z j= 1 o equivalentemente Gp (j!) con j z j= 1=kc: Supondremos que este punto sea unico. MG Interseccion del lugar kc Gp (j!) con el lugar j! = 0 o equivalentemente Gp (j!) con el lugar j! = 0. Tomaremos el valor cuya interseccion este mas alejada del eje imaginario. En la gura 4.4] aparecen los puntos que de nen el margen de fase y el margen de ganancia para el sistema que posee en lazo abierto la funcion de transferencia s+ Gp (s) = ( s +21)( 1s + 1) e; s 1 31

0.5

0

0.5

1

1.5

2 1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

Figura 4.4: Puntos de margen de fase y margen de gananciatau tau_1 tau_2 tau_3 jw = = = = = 0.1 1 2 0.1 sqrt(-1)*logspace(-1,3,300)

CAPITULO 4. TECNICAS DE FRECUENCIAnum = polyval( tau_2 1],jw) den = polyval(conv( tau_1 1], tau_3 1]),jw) L_nyq = num ./ den .* exp(-tau*jw) plot(L_nyq) hold on teta = -pi:0.01:pi plot(cos(teta),sin(teta),':') grid %--------------% margen de fase %--------------atemp = abs(L_nyq(10:200)) temp = atemp-ones(size(atemp)) r_min = min(abs(temp)) ind = find(abs(temp) == r_min) plot(L_nyq(ind+10-1),'or') plot( real(L_nyq(ind+10-1)) 0], imag(L_nyq(ind+10-1)) 0],':r') %------------------% margen de ganancia %------------------itemp = imag(L_nyq(ind+10:200)) i_min = min(abs(itemp)) indi = find(abs(itemp) == i_min) plot(L_nyq(ind+indi+10-1),'or') hold off

56

Es el angulo entre la semirrecta que con origen en 0 + j 0 describe el eje real negativo y la semirecta que saliendo del punto (0 + j 0) pasa por la interseccion Gp (j!) \ (j z j= 1). Este angulo mide cuanto le falta en fase sobre el lugar (j z j= 1), a la funcion de transferencia Gp (j!) para llegar al l mite de estabilidad. El sistema sera en principio tanto mas estable cuanto mas grande y positivo sea este margen. Son valores usuales 30 MF 45 . El margen de ganancia viene dado en decibelios y se calcula como sigue: MG = 20 log j G (1 ) j p j! donde ! es la frecuencia para la que se veri ca la interseccion Gp (j!)\(j! = 0). Normalmente se considera un MG adecuado para los valores 8db MG 12db

Margen de Fase (MF)

Margen de Ganancia (MG)


57

El criterio de Nyquist en una forma mas general puede enunciarse como sigue: 1. El numero total de circunvalaciones en el sentido horario efectuadas por F (j!) en torno al punto origen de coordinadas es igual al total de sus zeros Z + situados en el semiplano derecho. 2. El numero total de circunvalaciones en el sentido anti horario efectuadas por F (j!) en torno al punto origen de coordinadas es igual al total de sus polos P + situados en el semiplano derecho. 3. El total neto N de circunvalaciones efectuadas por F (j!) en torno al punto origen de coordenadas es igual al numero de polos inestables en lazo abierto P + , menos el numero de ceros inestables en lazo abierto Z + . N puede ser positivo (sentido anti horario) negativo (sentido horario) o nulo.

N = P + ; Z+Los margenes de ganancia y de fase considerados anteriormente son concluyentes apenas en sistemas con dinamica relativamente sencilla: Para sistemas de dinamica elevada son frecuentes los ejemplos en que se obedecen los margenes conforme fueron de nidos y aun as , estan proximos a la inestabilidad 4.5]1/MG

4.2.1 Nota Importante

-1

MF

Figura 4.5: Gra ca de Nyquist para sistema de orden elevado

CAPITULO 4. TECNICAS DE FRECUENCIAA

58

E

D

C

B

Figura 4.6: Interior

Exterior

Los margenes de ganancia y de fase fueron de nidos teniendo como base un sistema cuya region de estabilidad se encuentra en el exterior de la curva-frontera de Nyquist. Para sistemas en que las regiones de estabilidad son interiores a la frontera (sistemas con polos y/o ceros de lazo abierto inestables) estos conceptos conforme de nidos, no son mas correctos. El concepto de interior-exterior a una curva cerrada simetrica en relacion al eje real (ramas auto-conjugadas) se traduce en que las sub trayectorias cerradas que coincidan en orientacion con la trayectoria mas externa, envuelven a la region que contienen. Las de sentido contrario no envuelven. As , en la gura 4.6] las trayectorias B y D y E contienen a su interior y C no lo contiene.

4.2.2 Ejemplos%-----------------------------------------------------------------% % verificar margen de ganancia, margen de fase con y sin retardos % % interpretar las regiones de estabilidad % %-----------------------------------------------------------------% T w_0 zeta w_min w_max = = = = = 0.4 % duracion del retardo puro 1 0.1 0.01 100

%--------------- caso 1 %num = 3 1] %den = 1 -1 0] %rho = 0.5

CAPITULO 4. TECNICAS DE FRECUENCIA%--------------- caso 2 %num = 1] %den = 1 1 0] %rho = 0.5 %--------------- caso 3 num = 1] den = conv( 1 5],conv( 1 0], 1 1])) rho = 0.1 %--------------- caso 4 %num = 1] %den = conv( 1 0], 1/w_0^2 2*zeta/w_0 1]) %rho = 1 %--------------- caso 5 %num = 1 1] %den = conv( 1 0], 1/w_0^2 2*zeta/w_0 1]) %rho = 2 %--------------- caso 6 %num = 1 1] %den = conv( 1 0 0], 1/w_0^2 2*zeta/w_0 1]) %rho = 1.5 %--------------sgrid('new') w = logspace(log10(w_min),log10(w_max),1000) jw = sqrt(-1)*w num_w = polyval(num,jw) den_w = polyval(den,jw) G_w = num_w ./ den_w if T > 0 linea_roja linea_azul else linea_roja linea_azul end

59

= ':r' = ':b' = '-r' = '-b'

plot(G_w,linea_roja) hold on plot(conj(G_w),linea_azul) if T > 0 linea_roja = '-r' linea_azul = '-b' eTjw = exp(-T*jw) G_w = G_w .* eTjw plot(G_w,linea_roja) plot(conj(G_w),linea_azul) end axis(rho* -9 1 -5 5])


60

2

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5 4.5

4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

0.5

Figura 4.7: caso 1 Gra ca de Nyquist sin retardo% sgrid grid hold off num_r,den_r] = pade(T,4) if T == 0 figure(gcf+1) axis normal rlocus(num,den) k_c = rlocfind(num,den) num_r = 1 den_r = 1 end

caso 1s+1 Gp (s) = s3s ; 1) ( ni = 1 veces por la gra ca quedando as estipulado el l mite de estabilidad para el compensador proporcional en kc = 0:33 conforme se puede rati car en lagura 4.8]. En la gura 4.9] se puede observar el efecto de un retardo puro de despues inestable. En la gura 4.7], se puede observar que la region de estabilidad esta envuelta

T = 0:4 s]. De acuerdo con la interpretacion correcta, se puede observar una region de estabilidad que va desde ;1=kc ;2:4 hasta ;1=kc ;1 haciendose


61

1 0.8 0.6 0.4 Kc = 0.33 0.2Imag Axis

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 0.2 Real Axis

0.4

0.6

0.8

1

Figura 4.8: caso 1 Lugar de las Ra ces sin retardo

: sin retardo retardo T = 0.4 s 2.5

2

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5 4.5

4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

0.5

0

0.5

Figura 4.9: caso 1 Gra ca de Nyquist con retardo T = 0:4 s]


62

1

0.5

0

0.5

1

1.5 2

1.5

1

0.5

0

0.5

1

Figura 4.10: caso 2 Gra ca de Nyquist sin retardo

caso 2Gp (s) = s(s 1 1) +En la gura 4.10], se puede observar que la region de estabilidad es todo semiplano real negativo ya que ni = 0. El lugar de las ra ces as lo con rma siendo que 4.11] el compensador proporcional estabiliza la planta en lazo cerrado para cualquier valor real positivo. En la gura 4.12] puede observarse el efecto de un retardo de T = 0:4 s] reduciendo el rango del controlador proporcional hasta ;1=kc ;0:4.

caso 31 Gp (s) = s(s + 1)(s + 5) En la gura 4.13] podemos observar la region de estabilidad en todo eje real negativo a la izquierda de ;1=kc ;0:03 lo que es rati cado por la gra ca 4.14] del lugar de las ra ces. En la gura 4.15] puede observarse el efecto de un retardo puro de T = 0:4 s]. Conforme se puede observar la estabilidad ahora esta a la izquierda de ;1=kc ;0:11

caso 4Gp (s) = s((s=w )2 + 21 (s=w ) + 1) k k k


63

1.5

1

0.5

Imag Axis

0

0.5

1

1.5 2

1.5

1

0.5 Real Axis

0

0.5

1


: sin retardo retardo T = 0.4 s 1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5 2

1.5

1

0.5

0

0.5

1

Figura 4.12: caso 2 Gra ca de Nyquist con retardo T = 0:4 s]


64

0.15

0.1

0.05

0

0.05

0.1

0.2

0.15

0.1

0.05

0

0.05


8

6 Kc = 30.35 4

2Imag Axis

0

2

4

6

8 7

6

5

4

3

2 Real Axis

1

0

1

2



65

0.1

0.05

0

0.05

0.1

0.2

0.15

0.1

0.05

0

0.05

Figura 4.15: caso 3 Gra ca de Nyquist con retardo T = 0:4 s] Con k = 0:1 y !k = 1 se puede observar en la gura 4.16] que el l mite de estabilidad queda a la izquierda de ;1=kc ;5 lo que viene rati cado por la gra ca 4.17] del lugar de las ra ces. Este caso es curioso puesto que la presencia de un retardo T = 2 s] ampl a la region de estabilidad hasta ;1=kc ;2:2 conforme se puede observar en la gura 4.18].

caso 5s+ Gp (s) = s((s=w )2 + 2 1(s=w ) + 1) k k kCon k = 0:1 y !k = 1 se puede observar en la gura 4.19] que el l mite de estabilidad queda a la izquierda de ;1=kc ;4 lo que es rati cado por la gra ca del lugar de las ra ces conforme gura 4.20]. La inclusion de un retardo de T = 1 s] rebaja la estabilidad, ahora a la izquierda del punto ;1=kc ;7 conforme puede observarse en la gura 4.21].

caso 6s Gp (s) = s2 ((s=w )2 + + 1 (s=w ) + 1) 2k k kCon k = 0:1 y !k = 1 se puede observar en la gura 4.22] que la region de estabilidad esta a la izquierda de ;1=kc ;6:5 lo que es rati cado por la gra ca del lugar de las ra ces en la gura 4.23]. La introduccion de un retardo de T = 0:6 s] curiosamente ampl a la region de estabilidad. Aleja la region de estabilidad ahora a la izquierda de ;1=kc ;5. Ya el margen de fase empeora considerablemente, conforme puede observarse en la gura 4.24].


66

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5 9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

1


2.5

2

1.5

1

0.5Imag Axis

Kc = 0.2

0

0.5

1

1.5

2

2.5 1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 Real Axis

0.2

0.4

0.6

0.8

1



67

: sin retardo retardo de T = 2 s 8

6

4

2

0

2

4

6

8 8

6

4

2

0

2

4

6

8

Figura 4.18: caso 4 Gra ca de Nyquist con retardo T = 2 s]

10

8

6

4

2

0

2

4

6

8

10 18

16

14

12

10

8

6

4

2

0

2



68

5

4

3

2

1Imag Axis

Kc = 0.287

0

1

2

3

4

5 2

1.5

1

0.5 Real Axis

0

0.5

1


10

8

6

4

2

0

2

4

6

8

10 18

16

14

12

10

8

6

4

2

0

2

Figura 4.21: caso 5 Gra ca de Nyquist con retardo T = 1 s]


69

6

4

2

0

2

4

6

12

10

8

6

4

2

0


2

1.5

1

0.5Imag Axis

Kc = 0.165 0

0.5

1

1.5

2 2

1.5

1

0.5 Real Axis

0

0.5

1


CAPITULO 4. TECNICAS DE FRECUENCIAT = 0.6 seg

70

6

4

2

0

2

4

6

12

10

8

6

4

2

0

Figura 4.24: caso 6 Gra ca de Nyquist con retardo T = 0:6seg:

4.3 Gra cas de BodeH. W. Bode publico en 1945 Network Analysis and Feedback Ampli er Design un libro considerado como un marco en las tecnicas de compensacion en frecuencia. Basicamente sus tecnicas de compensacion consisten en utilizar una representacion logar tmica del criterio de Nyquist sacando partido de la sencillez de representacion a traves de versiones asintoticas de los elementos basicos utilizados en la composicion de una funcion de transferencia racional. Esta metodolog a posee todas las ventajas del metodo de Nyquist ya que se puede utilizar con funciones de transferencia obtenidas experimentalmente. Consideremos una funcion de transferencia de una planta en lazo abierto a traves de su representacion racional, y suponiendo que posee ceros y polos simples, salvo los polos en el origen que pueden ser multiplos. Esto para facilitar las operaciones algebraicas y no representa perdida de generalidad en los resultados. Sea por tanto i=m1 k=m2 ( 2 2) Gp (s) = bmn0i=1=n(1s + zi ) k=1 n2 s 2+ 2 k !k s + !k2 l (s + pl ) = (s + 2 ! s + ! ) an s l=1 =1 con m = m1 + 2m2 y n = n0 + n1 + 2n2 . Ahora normalizando los factores del numerador y denominador se obtiene: i=m1 k=m2 2 Gp (s) = Knp0 il=1n1 (s=zi + 1) k=1 2 ((s=!k )2 + 2 k (s=!k ) + 1) s l= (s=pl + 1) =n ((s=! ) + 2 (s=! ) + 1) =1 =1 siendo quei=m1 Kp = bm il=1n1 zi an l= pl =1 k=m2 ! 2 k=1 k =n2 !2 =1


71

haciendo ahora s = j! y efectuando la transformacion logar tmica preconizada log Gp (j!) = log j Gp (j!) j +j \fGp (j!)g La tecnica de Bode consiste en representar bajo una misma ordenada (log !) las gra cas de log j Gp (j!) j y \fGp (j!)g. Para sistemas de fase m nima 9 la representacion es un voca y tambien se veri ca:

donde T 1 y T 2 son transformaciones integrales. La representacion dilogar tmica para j Gp (j!) j y mono logar tmica para \fGp (j!)g evidencian propiedades asintoticas de los elementos (j!)n0 ,(j!=!0 +1) y (2j 0 (!=!0)+1 ; (!=!0 )2 ) que pueden utilizarse en la representacion gra ca de las funciones de transferencia.

T 1 (\fGp (j!)g) = j Gp (j!) j T 2 (j Gp (j!) j) = \fGp (j!)g

Gp (j!) =

9 Un sistema se dice de fase m nima cuando todos sus ceros y polos se encuentran en C ; . Los sistemas (s + ) y (s ; ) tienen mismo modulo o sea j (j! + ) j=j (j! ; ) j pero las fases son distintas siendo que \f(j! + )g < \f(j! ; )g. Para un modulo determinado existe una unica realizacion de fase m nima, e in nitas de fase no m nima.Para las funciones de fase m nima vale un resultado obtenido por Hilbert (1862-1943) que a rma: Sea F (j!) = 0 i0 = ii(length(ii)) at_s = mod_k_c(i0) w_s = w(i0) z_c = 0.1*w_s p_c = z_c*10^(-at_s/20) num_c = 1/z_c 1] den_c = 1/p_c 1] modc,fasc] = bodeast( z_c], p_c],w) moduc,fasec] = bode(k_c*num_c,den_c,w) moduc_dB = 20*log10(moduc) subplot(211),semilogx(w,modc,':b') subplot(211),semilogx( w(1) w_s], at_s at_s],':r') subplot(211),semilogx( w_s w_s], at_s 0],':r') subplot(212),semilogx(w,fasc,':b') % aprox. asintotica subplot(212),semilogx(w,fasec,':b') % fase real subplot(212),semilogx( w(1) w_s], mf_d-180 mf_d-180],':r') subplot(212),semilogx( w_s w_s], mf_d-180 0],':r') figure(2) Kc = 20*log10(k_c*p_c/z_c)*ones(size(w)) subplot(211),semilogx(w,mod+modc+Kc,':b'),grid,hold on subplot(211),semilogx(w,modu_dB+moduc_dB,'-r'),ylabel('Modulo') barrera_inf(gama_min,w_min,w,'211') subplot(212),semilogx(w,fas+fasc,':b'),grid,hold on subplot(212),semilogx(w,fase+fasec,'-r'),ylabel('Fase') mf,w_c] = marfas(modu_dB+moduc_dB,fase+fasec,w,'211','212') end

Las funciones requeridas para completar el procedimiento se encuentran en el apendice.

CAPITULO 6. COMPENSACION100

107

50Modulo (dB)

0

50

100 3 10

10

2

10

1

10

0

10

1

10

2

0 50 100Fase

150 200 250 300 3 102 1 0 1 2

10

10

10

10

10

Figura 6.12: Gra cas de Bode del sistema antes de la compensacion por Atrasador100

50Modulo

0

50

100 3 10

10

2

10

1

10

0

10

1

10

2

50 100 150 200 250 300 3 10

Fase

10

2

10

1

10

0

10

1

10

2

Figura 6.13: Gra cas de Bode del sistema despues de la compensacion por Atrasador

CAPITULO 6. COMPENSACION

108

La compensacion con el atrasador-adelantador se efectua utilizando en serie un atrasador y un adelantador con la relacion 0 < p1 < z1 z2 < p2 entre polos y ceros: (s=z + 1)(s=z Gc (s) = kc (s=p1 + 1)(s=p2 + 1) 1 1 + 1) Consideremos la planta:

6.3.5 Compensacion con Atrasador-Adelantador

kp Gp (s) = s(s=100 + 1)Debe compensarse de forma que en lazo cerrado se veri que: 1. Margen de fase MF = 45 2. El seguimiento de referencias con contenido frecuencial hasta !min = 10 red=seg] debe efectuarse con error porcentual menor o igual a 2% ( min 0:02). 3. Perturbaciones con contenido de frecuencias mas grandes que !max = 1000 rad=seg] deben ser amortiguadas a la salida por un factor de por lo menos 20 veces ( max 1=20). Conforme puede veri carse facilmente, esta planta no puede compensarse con apenas un adelantador o con apenas un atrasador pues en ambos casos, por lo menos deja de cumplirse una de las especi caciones de desempe~o. n La utilizacion de un atrasador adelantador se hace necesaria pues el efecto en modulo y en fase del compensador, en este caso, queda limitado a un rango de frecuencias entre 0:1p1 < ! < 10p2.

j Gc (j!) j 1.

Si el atrasador-adelantador es balanceado para ! < 0:1p1 y ! > 10p2 se tendra

En el presente problema utilizaremos dos tecnicas para compensacion con atrasadoradelantador a saber:

Tecnica del AdelantadorEl procedimiento sigue: 1. Inicialmente se dibujan las barreras que de nen las condiciones de acompa~amiento de consigna y de atenuacion de perturbaciones a la salida. n 2. Se elude la barrera en las frecuencias bajas utilizando la parte proporcional kc .

CAPITULO 6. COMPENSACION100 50Modulo [dB]

109

0 50 100 150 200 0 101 2 3 4

10

10 Frecuencia [rad/seg]

10

10

50 0 50 100 150 200 0 10

Fase

10

1


2

10

3

10

4

Figura 6.14: Gra cas de Bode del sistema antes de la compensacion por Atrasador-Adelantador 3. Si el margen deseado no es alcanzado, se veri ca entonces cual es la fase adicional requerida m = (mfd ; mf ) 1:1 a mayores en el 10%. Acto seguido se calculan. La relacion p2 =z2 La atenuacion media atm (en dB) del adelantador. La frecuencia !m para ubicacion del adelantador. 4. Gra camente se obtiene !m y acto seguido se obtienen z2 y p2 . 5. Debe tenerse en cualquier caso !min < p1 < z1 z2 < p2 . Caso sea necesario eludir la barrera superior puede utilizarse el hecho de que la ganancia del compensador viene dada por 20 log10 ((p1 p2 )=(z1 z2 ))w_inf = 1 % ambito de las frecuencias w_sup = 10000 % ambito de las frecuencias w = logspace(log10(w_inf),log10(w_sup),300) p_0 = 0 % polos de la planta p_1 = 100 % polos de la planta k_p = 1 mf_d = 45 % margen de fase deseado gama_min = 0.02 % seguimiento de consigna w_min = 10 % seguimiento de consigna


110

50Modulo [dB]

0

50

100 0 10

10

1


2

10

3

10

4

80 100 120 140 160 180 0 10

Fase

10

1


2

10

3

10

4

Figura 6.15: Gra cas de Bode del sistema despues de la compensacion por Atrasador-Adelantadorgama_max = 1/20 % rechazo de perturbaciones a la salida w_max = 1000 % seguimiento de consigna num_p = k_p] % planta den_p = conv( 1 p_0], 1 p_1]) % planta mod,fas] = bodeast( ], p_0 p_1],w) modu,fase] = bode(num_p,den_p,w) modu_dB = 20*log10(modu) figure(1) subplot(211),semilogx(w,mod,':b'),grid,hold on subplot(211),semilogx(w,modu_dB,'-r') barrera_inf(gama_min,w_min,w,'211') barrera_sup(gama_max,w_max,w,'211') ii = inter(w,w_min) k_c_dB =-20*log10(gama_min) - mod(ii(1)) k_c = 10^(k_c_dB/20) mod_k_c = 20*log10(k_c*modu) subplot(211),semilogx(w,mod_k_c,'-b'),ylabel('Modulo dB]'), xlabel('Frecuencia rad/seg]') subplot(212),semilogx(w,fas,':b'),grid,hold on subplot(212),semilogx(w,fase,'-r'),ylabel('Fase'), xlabel('Frecuencia rad/seg]') mf,w_c] = marfas(mod_k_c,fase,w,'211','212')

CAPITULO 6. COMPENSACIONif mf_d > mf % la compensacion es necesaria si MF deseada > MF fi_m = (mf_d - mf) as = sin(pi/180*fi_m) pz = (1+as)/(1-as) at_m = 20*log10(pz)/2 % ahora la interseccion se hace por arriba ii = inter(mod_k_c,at_m) w_m = w(ii(1)) p_2 = w_m*sqrt(pz) z_2 = p_2/pz num_2 = 1/z_2 1] den_2 = 1/p_2 1] p_1 = 1.3*w_min % asi no se altera el modulo para w < w_min z_1 = p_1*p_2/z_2 % se escoge compensador balanceado num_1 = 1/z_1 1] den_1 = 1/p_1 1] num_c = conv(num_1,num_2) den_c = conv(den_1,den_2) = bodeast( z_1 z_2], p_1 p_2],w) modc,fasc] moduc,fasec] = bode(k_c*num_c,den_c,w) moduc_dB = 20*log10(moduc) subplot(211),semilogx(w,modc,':b') subplot(212),semilogx(w,fasc,':b') % aprox. asintotica subplot(212),semilogx(w,fasec,':b') % fase real subplot(211),semilogx( w(1) w_m], at_m at_m],':r') figure(2) Kc = 20*log10(k_c*p_1*p_2/(z_1*z_2))*ones(size(w)) subplot(211),semilogx(w,mod+modc+Kc,':b'),grid,hold on subplot(211),semilogx(w,modu_dB+moduc_dB,'-r'),ylabel('Modulo xlabel('Frecuencia rad/seg]') barrera_inf(gama_min,w_min,w,'211') barrera_sup(gama_max,w_max,w,'211') subplot(212),semilogx(w,fas+fasc,':b'),grid,hold on subplot(212),semilogx(w,fase+fasec,'-r'),ylabel('Fase'), xlabel('Frecuencia rad/seg]') mf,w_c] = marfas(modu_dB+moduc_dB,fase+fasec,w,'211','212') end

111

dB]'),

Tecnica del Atrasador

El procedimiento sigue: 1. Inicialmente se dibujan las barreras que de nen las condiciones de acompa~amiento de consigna y de atenuacion de perturbaciones a la salida. n 2. Se elude la barrera en las frecuencias bajas utilizando la parte proporcional kc . 3. Si el margen deseado no es alcanzado, se veri ca entonces en que punto el sistema tiene fase igual al deseado y se guarda !a

CAPITULO 6. COMPENSACION100 50Modulo [dB]

112

0 50 100 150 200 0 101 2 3 4

10


10

10

50 0 50 100 150 200 0 10

Fase

10

1


2

10

3

10

4

Figura 6.16: Gra cas de Bode del sistema antes de la compensacion por Atrasador-Adelantador 4. Se veri ca cual es la atenuacion necesaria para hacer que el punto de cruce del modulo ocurra en !a . 5. Se hace j kc Gp (j!a ) jdB = 20 log10 (p1 =z1 ) 6. Se escoge z2 simetrico de z1 en relacion a !a en escala logar tmica. 7. En este proceso debe veri carse p2 < !max . Conforme puede veri carse, la tecnica del Adelantador mantiene un ancho de banda mas grande que la tecnica del atrasador, siendo por otro lado esta ultima mas sencilla de implementar.w_inf = 1 % ambito de las frecuencias w_sup = 10000 % ambito de las frecuencias w = logspace(log10(w_inf),log10(w_sup),300) p_0 = 0 % polos de la planta p_1 = 100 % polos de la planta k_p = 1 mf_d = 45 % margen de fase deseado gama_min = 0.02 % seguimiento de consigna w_min = 10 % seguimiento de consigna gama_max = 1/20 % rechazo de perturbaciones a la salida w_max = 1000 % seguimiento de consigna num_p = k_p] % planta


113

50Modulo [dB]

0

50

100 0 10

10

1


2

10

3

10

4

80 100 120 140 160 180 0 10

Fase

10

1


2

10

3

10

4

Figura 6.17: Gra cas de Bode del sistema despues de la compensacion por Atrasador-Adelantadorden_p = conv( mod,fas] = modu,fase] = modu_dB = 1 p_0], 1 p_1]) % planta bodeast( ], p_0 p_1],w) bode(num_p,den_p,w) 20*log10(modu)

figure(1) subplot(211),semilogx(w,mod,':b'),grid,hold on subplot(211),semilogx(w,modu_dB,'-r') barrera_inf(gama_min,w_min,w,'211') barrera_sup(gama_max,w_max,w,'211') ii = inter(w,w_min) k_c_dB =-20*log10(gama_min) - mod(ii(1)) k_c = 10^(k_c_dB/20) mod_k_c = 20*log10(k_c*modu) subplot(211),semilogx(w,mod_k_c,'-b'),ylabel('Modulo xlabel('Frecuencia rad/seg]') subplot(212),semilogx(w,fas,':b'),grid,hold on subplot(212),semilogx(w,fase,'-r'),ylabel('Fase'), xlabel('Frecuencia rad/seg]') mf,w_c] = marfas(mod_k_c,fase,w,'211','212') ii = inter(fase,mf_d-180) if length(ii) > 0 i0 = ii(length(ii))

dB]'),

CAPITULO 6. COMPENSACIONat_s = mod_k_c(i0) w_s = w(i0) p_1 = 1.3*w_min z_1 = p_1*10^(at_s/20) num_1 = 1/z_1 1] den_1 = 1/p_1 1] z_2 = w_s^2/z_1 p_2 = z_1*z_2/p_1 num_2 = 1/z_2 1] den_2 = 1/p_2 1] num_c = conv(num_1,num_2) den_c = conv(den_1,den_2) modc,fasc] = bodeast( z_1 z_2], p_1 p_2],w) moduc,fasec] = bode(k_c*num_c,den_c,w) moduc_dB = 20*log10(moduc) subplot(211),semilogx(w,modc,':b') subplot(212),semilogx(w,fasc,':b') % aprox. asintotica subplot(212),semilogx(w,fasec,':b') % fase real subplot(211),semilogx( w(1) w_s], at_s at_s],':r') figure(2) Kc = 20*log10(k_c*p_1*p_2/(z_1*z_2))*ones(size(w)) subplot(211),semilogx(w,mod+modc+Kc,':b'),grid,hold on subplot(211),semilogx(w,modu_dB+moduc_dB,'-r'),ylabel('Modulo xlabel('Frecuencia rad/seg]') barrera_inf(gama_min,w_min,w,'211') barrera_sup(gama_max,w_max,w,'211') subplot(212),semilogx(w,fas+fasc,':b'),grid,hold on subplot(212),semilogx(w,fase+fasec,'-r'),ylabel('Fase'), xlabel('Frecuencia rad/seg]') mf,w_c] = marfas(modu_dB+moduc_dB,fase+fasec,w,'211','212') end

114

dB]'),

La tecnica de las gra cas de Bode puede aplicarse tambien a los sistemas con polos o ceros inestables. La fase debe calcularse de acuerdo. As

Observacion Importante

j! ; = ;(;j! + ) \f;(;j! + )g = + arctan(;!) = ; arctan(!)

(6.3)

Para fase positiva, el margen se debe considerar como lo que exceda a 180

Cap tulo 7

Elementos de la Representacion de Estado7.1 IntroduccionEl atractivo principal de la formulacion de estado consiste en efectuar la descripcion de sistemas dinamicos en que cada variable tenga sentido f sico. Es muy popular su aplicacion al estudio y representacion de sistemas electromecanicos, hidraulicos y termicos as como sus interdependencias. Por otro lado, la version entrada-salida para un sistema dinamico determinado, re eja apenas su parcela controlable y observable. Para efectuar estudios sobre la ubicacion de sensores y actuadores es adecuado hacerlo sobre una formulacion de estado. Los estados estan normalmente asociados a variables con sentido f sico como por ejemplo, a posiciones, velocidades, tensiones, temperaturas, etc. Los estados son normalmente accesibles a traves de sensores que son sistemas dinamicos estables, con la caracter stica Go (0) = 1 y con tiempo de respuesta mas rapido que el del estado que se quiere observar.

7.2 ControlabilidadUn sistema dinamico se dice controlable cuando con actuacion adecuada puede efectuarse cualquier transicion de estados en un tiempo nito. Para los sistemas lineales esta es una propiedad global o sea, si se veri ca en un abierto de una con guracion de estados determinada, entonces se veri ca para todo el espacio de fases. El sistema (7.1) es controlable si y solo si el rango de la matriz P construida como sigue, tiene rango maximo.

P = B AB A2B

An;1B ]

115

CAPITULO 7. ELEMENTOS DE LA REPRESENTACION DE ESTADO116

7.3 ObservabilidadUn sistema dinamico se dice observable cuando a partir de las medidas de las entradas y salidas durante un horizonte nito de tiempo, se puede reconstruir el estado actual del sistema. Para los sistemas lineales esta propiedad tambien es global. El sistema (7.1) es observable si y solo si el rango de la matriz Q construida como sigue, tiene rango maximo.

2 C 3 6 CA 7 6 Q = 6 CA2 7 6 .. 7 4 . 7 5

CAn;1

7.4 Descomposicion de KalmanTodo sistema dinamico lineal puede descomponerse en cuatro subsistemas con las propiedades: S oc Subsistema Observable y Controlable. S oc Subsistema Observable y no Controlable. ~ S oc Subsistema no Observable y Controlable ~ S oc Subsistema no Observable y no Controlable. ~~ como ejemplo se puede presentar el sistema a traves de la tabla 2 3 . ;1 0 0 0 .. 1 7 6 6 0 ;2 0 0 ... 0 7 6 7 6 6 0 0 ;3 0 ... 1 7 7 7 S=6 6 6 0 0 0 ;4 ... 0 7 7 6 7 6 7 4 5 .. 0 1 1 0 . 0 donde se tiene: S oc El subsistema asociado al estado x3 . S oc El subsistema asociado al estado x2 . ~ S oc El subsistema asociado al estado x1 . ~ S oc El subsistema asociado al estado x4 . ~~ La funcion de transferencia se construye sobre el subsistema S oc y vale

Gp (s) = 1=(s + 3)

CAPITULO 7. ELEMENTOS DE LA REPRESENTACION DE ESTADO117

7.5 Control por Realimentacion de EstadosUna vez conocidos los estados de un sistema dinamico puede proponerse un controlador por realimentacion ponderada de los mismos. Sea el sistema _ x = Ax + B u y = Cx + Du (7.1)

Puede proponerse un controlador con la estructura (7.2) y entonces al cerrar el lazo, se obtiene el sistema dinamico en lazo cerrado _ x = Ax ; BKx + BKxref = (A ; BK )x + BKxref (7.3)

u = K (xref ; x)

La formulacion de estado posee algunas caracter sticas 12 peculiares. En la forma canonica de control, el sistema (7.1) puede ponerse bajo la forma:

2 6 6 A=6 6 4

;a0 ;a1 ;a2

0 0 .. . 0

1 0 .. . 0

0 1 .. . 0

.. .

;an;1

0 0 .. . 1

3 7 7 7 7 5

12 supongamos que para este sistema se requiera un controlador cuya consigna venga dada _ por yref = Cxref . El punto de equilibrio en lazo cerrado se obtiene cuando x = 0 (A ; BK )x0 + BKxref = 0 de donde se saca que x0 = ;(A ; BK );1 BKxref lo que signi ca que el punto de equilibrio x0 apenas coincidira con xref cuando se

Apuntes Regulacion Automatica

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