Geometría topología--------------------arq Liliana Pedicone. M3 2014

La Topología es la rama de las matemáticas que se dedica al estudio de aquellas propiedades de los

cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas. O sea estudia las

propiedades de figuras y/o cuerpos geométricos al ser sometidos a deformaciones por doblamientos,

estiramiento. y estrujamientos, verificando la capacidad elástica de su geometría para retener propiedades

generales, las cuales solo se pierden por rompimiento o desgarramiento.

La Geometría Topológica se interesa por lo tanto en conceptos como proximidad, número de agujeros y

tipo de consistencia (o textura) que presenta un objeto. Otros atributos que se estudian son la

conectividad, la compacidad, y la metricidad o metrizabilidad.

La palabra Topología deriva del griego “lugar”y “estudio” y fue G. Leibniz el primer matemático en

llamarla “Geometría de la Posición.” Ya que la geometría Topológica se ocupa de las

propiedades cualitativas de los objetos geométricos y no tiene en cuenta aspectos relacionados

con magnitudes ni cantidades, por lo que se los llama espacios homeomorfos ( o sea que la

transformación de un cuerpo y su inversa sean ambas continuas| transformaciones continuas). Los matemáticos usan la palabra transformación para describir cambios de posición, tamaño o

Ejemplos: En topología un circulo y un triangulo

son topológicamente figuras iguales ya que

cualquiera de ellas deviene en la otra por

estiramiento y /o estrujamiento de su contorno.

Un cubo puede transformarse en una esfera, sin

embargo no es posible transformar una esfera en

un toro anular, en este caso se necesitaría una

deformación por rompimiento mediante la

aplicación de un punzamiento que atravesara su

superficie de lado a lado.

La esfera y el cubo son topológicamente

equivalentes y su transformación es Homeomorfa.

forma, y la palabra invariante para describir las propiedades que no son afectadas por estos

cambios.

La topología se ocupa de aquellas propiedades de las figuras que permanecen invariantes,

cuando dichas figuras son plegadas, dilatadas, contraídas o deformadas, de modo que no

aparezcan nuevos puntos. La transformación permitida presupone, que hay una

correspondencia biunívoca entre los puntos de la figura original y los de la transformada, y que

la deformación hace corresponder puntos próximos a otros puntos próximos. Esta propiedad se

llama continuidad.

El topologo considera los mismos objetos que el geómetra, pero de modo distinto: no se fija en

las distancias ni de las magnitudes. Para el topólogo un círculo es equivalente a una elipse; una

bola no se distingue de un cubo: Se dice que la bola y el cubo son objetos topológicamente

equivalentes, porque se pasa de uno al otro mediante una transformación continua y reversible.

Es popular un dicho, que un topólogo no distingue entre una rosquilla y una taza de té, como si

objetos de goma elástica se tratase, donde se puede doblar, estirarlos o encogerlos para pasar de

uno a otro. Si un objeto puede ser manipulado y deformado sin romperse hasta convertirse en otro objeto, entonces se dice que ambos son topológicamente equivalentes.

Teorías topológicas: • La teoría de grafos, el problema de los siete puentes de Könisbergy, y el teorema de los cuatro colores. • La teoría de nudos, • La teoría de superficies, apartado desarrollado con más rigor matemático que los anteriores: se trata aquí de clasificar todas las superficies compactas y no compactas y clasificarlas.

La teoría de grafos (también llamada teoría de las gráficas) es un campo de estudio de las matemáticas. Los grafos son estructuras que constan de dos partes: A-el conjunto de vértices o puntos; y el conjunto de aristas, B- líneas o lados que pueden ser orientados o no. El origen de la teoría de grafos se remonta al siglo XVIII cuando el matemático Euler resuelve el problema llamado “los 7 puentes de Königsberg,” el cual consistía en encontrar un camino que recorriera los siete puentes del río Pregel de modo que se recorrieran todos los puentes pasando una sola vez por cada uno de ellos. La teoría de los grafos se utiliza hoy para diseñar redes eléctricas, sistemas de computación , y diseñar recorridos de subterráneos.

La teoría de nudos es la rama de la topología que se encarga de estudiar el objeto

matemático que abstrae la noción cotidiana de nudo.

Al escuchar la palabra nudo vienen a nuestra mente imágenes como la de los cordones de unos

zapatos, las sogas de los marineros o una extensión eléctrica difícil de desanudar. Todas esas

imágenes son ejemplos de nudos que difieren por muy poco del concepto matemático de nudo.

Un nudo se describirá generalmente por medio de su diagrama, que representa su proyección

sobre el plano, destacando en cada cruce la diferencia entre el tramo que está encima y el que

está debajo (que normalmente aparece marcado con una interrupción).

Diagrama de un nudo

Clasificación de nudos

Para el matemático, un nudo es una curva continua, cerrada y sin puntos dobles. Esta curva está

situada en un espacio de dimensión tres y se admite que pueda ser deformada, estirada,

comprimida, pero está prohibido hacer cortes. Cuando se puede, a través de manipulaciones de

este tipo (es decir, por medio un homeomorfismo) pasar de un nudo a otro, se dice que son

equivalentes.

Los nudos están catalogados teniendo en cuenta su complejidad. Una medida de la complejidad

es el número de cruces, es decir, el número de puntos dobles en la proyección plana más simple

del nudo. El nudo trivial tiene número de cruce cero. El trébol y la figura de ocho son los únicos

nudos con número de cruce tres y cuatro, respectivamente.

Un primer método para clasificar nudos consiste en calcular el “orden” del nudo, que es el

número de veces que la cuerda se cruza consigo misma. Por este sistema se ha llegado a saber

que sólo hay un nudo con 3 cruces, 2 con 5, 3 con 6, 7 con 7, 21 con 8, 49 con 9 y 165 con 10.

En 1998 se determinó, con la ayuda de potentes ordenadores, que existen un total de 1.701.936

nudos con 16 cruces o menos.

El matemático alemán Kurt F. Reidemeister (1893-1971) clasificó los nudos de forma muy

ingeniosa. Lo primero que hizo fue establecer tres operaciones básicas o tres movimientos,

mediante los cuales se puede hacer o deshacer un nudo, que son la torsión, la superposición y el

deslizamiento y, naturalmente, los movimientos inversos de estos tres.

Se dice que dos nudos son “equivalentes” si y sólo si se puede pasar de uno a otro mediante una

deformación continua, doblando, estirando, etc., pero nunca cortando.

NUDO EQUIVALENTE

De hecho, a los nudos a los que se les ha conseguido aplicar algún tipo de técnica matemática

para clasificarlos se les suele llamar coloquialmente domesticados, a los demás, que son muchos,

se les da el nombre de salvajes. El nudo puede complicarse tanto como se quiera.Los

1- TORSIÓN

2- SUPERPOSICIÓN

3- DESLIZAMIENTO

matemáticos tratan de clasificar todos los nudos y enlaces según el número de cruces, empleando

invariantes de tipo numérico o polinómico (entre otros) y técnicas cada vez más sofisticadas.

Nudo de Borromeo Nudo de Trébol

Dato (En el estudio de la replicación del ADN celular, se encuentran sacos de nudos.

El ADN está más o menos enrollado sobre si mismo y en el momento de la replicación se forman

nudos que están controlados por proteinas que se llaman topoisomerasas. Conociendo mejor

estas proteinas y su interacción con el ADN, se abren nuevas perspectivas en la lucha contra las

enfermedades genéticas, los virus, las bacterias o el cáncer.)

Clasificación topológica de superficies compactas

Una variedad topológica de dimensión n es un espacio topológico Hausdorff, donde cada punto posee un entorno homeomorfo a R(equivalentemente, a una bola abierta euclidea de dimensión n). Es decir, se trata de un espacio modelado por el espacio euclideo R.

La demostración de que toda superficie es triangulable utiliza una versión fuerte (debida a A.

Schönflies) del teorema de la curva de Jordan. En su versión más básica este teorema lo enunció

Camille Jordan en 1887 y dice que:

"Toda curva cerrada simple separa al plano en dos regiones, una interior y otra exterior "

Para visualizarlo, pensar primero en pegar las aristas izquierda y derecha para formar un cilindro, y después pasar la tapa superior del cilindro a traves de su pared, con el fin de pegar el círculo superior con el inferior desde dentro. Desde luego, esto no puede realizarse con un modelo físico; de hecho la superficie de Klein no es un sub espacio de R sino una superficie.

El prototipo es el toroT, que se define como el cociente de un cuadrado en R identificando

aristas por pares de una determinada manera, como se muestra en la figura.

Toro anular

Número de agujeros. simple-

doble- triple.

Un toro topológico es una

superficie de revolución

engendrada por la rotación de

una circunferencia en torno a un

eje que no la toque en ninguno

de sus puntos.

La banda o cinta de Möbius es una superficie con una sola cara y un solo borde. Tiene la propiedad

matemática de ser un objeto no orientable. También es una superficie reglada. Fue descubierta en

forma independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict

Listing en 1858.

Construcción de la Cinta de Moebius

La primera superficie es el plano proyectivo, que tiene género 1, la segunda es la botella de Klein

que tiene género 2, etc. Esta clasificación fue anunciada en 1888 por W. von Dyck, aunque

dando una prueba incompleta. En 1907, M. Dehn y P. Heegard demuestran esta clasificación,

bajo la hipótesis de que todas las superficies se pueden triangular. Y finalmente T. Rado prueba

en 1925 que toda superficie es triangulable, lo que completa el teorema de clasificación.

BIBLIOGRAFIA

1- Macho Stadler Marta “Topologia algebraica homotopia” Superficies compactas. 2010|2011.

http://www.ehu.es/~mtwmastm/FT1011.pdf

2- Garro Moreno David. Historia de la Topología. Historia de las matemáticas. Universidad

Autónoma de Madrid

.http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/ezuazua/informweb/trabajosdehistoria/HISTORIADE

LATOPOLOGIA.pdf

3- Macho Stadler Marta. ¿Qué es la Topología? 2002.

http://www.google.com.ar/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=4&ved=0CDoQFjAD&url=

http%3A%2F%2Fwww.researchgate.net%2Fpublication%2F28067216_Qu_es_la_topologa%2Ffile

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