Topología Básica

8/18/2019 Topología Básica

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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE TLAXCALA

FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS, INGENIERÍA

Y TECNOLOGÍA

“”

TESIS

PARA OBTENER EL TÍTULO DE:

APLICADAS

P R E S E N T A:

GUILLEN

DIRECTORA DE TESIS:

M. C. SARA

ASESORA DE TESIS:

DRA. ROSA MARÍA

APIZACO, TLAXCALA. JUNIO 201


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Índice general

1. La categorı́a de de espacios topológicos y funciones continuas T OP 31.1. Espacios Topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Bases y Sub-bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. Continuidad y Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. Topoloǵıas Iniciales Respecto a una Función. Enca jes. . . . . . . . . . . . . . . . 121.5. Fuentes Iniciales. Productos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.6. Topoloǵıas Finales. Identificaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.7. Pozos Finales. Coproductos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2. La categoŕıa de homotoṕıas H -T OP 25

3. fibraciones y cofibraciones 313.1. Cocilindros equivariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

i


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Dedicatoria

ii


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Introducción

Los conceptos de ĺımite y coĺımite se pueden definir para cada diagrama en cualquier categoŕıa([HS ]), mientras que en la topoloǵıa algebraica este concepto surge en consideraciones de sistemasinversos y sistemas directos, respectivamente en categoŕıas tales como Grp de grupos, Ab degrupos abelianos, R − M od de R − módulos y T op de espacios topológicos. Hablando con ellenguaje de la teoŕıa de las categoŕıas se sabe que estos conceptos son duales. Además de queen muchas áreas de la Topoloǵıa estos conceptos son herramientas de gran utilidad, por ejemploen la Topoloǵıa algebraica estudiando los funtores derivados del funtor Hom([R]), en la Teoŕıade homotopı́as estudiando algunas funciones continuas que se pueden aproximar por medio deuna sucesión de funciones que tienen la propiedad de levantamiento de homotoṕıas, ([T ]), y en

la Teoŕıa de Grupos topológicos en la prueba del hecho que cada grupo compacto metrizable esĺımite de una sucesión inversa de grupos de compactos de Lie.

Para concluir con esta introducción, queremos hacer algunos comentarios respecto al desarro-llo del trabajo. Si bien es cierto que; en la actualidad, se conoce mucho acerca de esta monograf́ıa,la información recabáda al respecto se encuentra dispersa a lo largo de los textos de espaciosquasi-semimétricos y, de algunos art́ıculos, lo cual hace dif́ıcil al lector asimilar esto de mane-ra unificada. Por lo que, a quien leyére, ponemos a disposición este trabajo y motivarlo a queprofundice más en el tema.

Una vez planteado nuestro objetivo, pasamos a exponer nuestros resultados, dando algunosejemplos de Lı́mites y Coĺımites en Topologı́a, ası́ como algunas caracterizaciones de estos mismos.

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Justificación

El objetivo de este trabajo es dar con todo detalle los ejemplos , las construcciones y lasaplicaciones en donde a parecen estos conceptos que son de nuestro interés, cabe mencionar quecomo estos conceptos son conceptos categóricos, estos ejemplos no aparecen de forma expĺıcita enla literatura, por lo tanto, consideramos que este trabajo puede servir de referencia para aquellosestudiantes que estén interesados en estudiar los conceptos de ĺımite y coĺımite en la topoloǵıa yen sus intersecciones con otras teoŕıas.

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Caṕıtulo 1

La categoŕıa de de espacios

topológicos y funciones continuas

TOP

1.1. Espacios Topoĺogicos

Definición 1.1.1. Sea X un conjunto y τ una familia de subconjuntos de X . Decimos que τ es una topologı́a en X si satisface:

1. ∅ ∈ τ y X ∈ τ .

2. Si A1, A2 ∈ τ , entonces A1

A2 ∈ τ .

3. Si {Aα}α∈I ⊆ τ , entonces

α∈I Aα ∈ τ .

.Si τ es una topoloǵıa en X , entonces a la pareja (X, T ), le llamaremos espacio topol´ ogico.

Los elementos de X se llaman puntos y los elementos de τ son los abiertos de (X, τ ).

Ejemplo 1.1.1. Sea X cualquier conjunto. La colecci´ on de todos los conjuntos de X , P (X ),satisfacen los axiomas que definen una topoloǵıa. A esta topoloǵıa le llamaremos la topoloǵıa discreta y al conjunto X con esta topoloǵıa, espacio discreto.

Ejemplo 1.1.2. Otra topologı́a para X , es la colecci´ on {∅, X }. A esta le llamaremos la topoloǵıa indiscreta y al conjunto X con esta topoloǵıa lo l lamaremos espacio indiscreto.

Ejemplo 1.1.3. Topologı́a cofinita:Sea X un conjunto cualquiera y τ = {∅, X }

{E ⊆ X : X − E esfinito}. Tenemos que τ es una

topologı́a para X .

Ejemplo 1.1.4. Sea (X, d) un espacio métrico. Podemos generar con la métrica d una topologı́a

en X de la siguiente forma: para cada punto x ∈ X y r > 0 definimos la bola abierta con centroen x y radio r > 0 como

Br(x) = {y ∈ X : d(x, y) < r}.

T d = {∅}

{E ⊆ X : E es uni´ on de bolas abiertas }, es una topoloǵıa en X que llamaremos la topologı́a de X inducida por la métrica d.Demostración:

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Figura 1.1: Bola abierta

1. ∅ ∈ τ d por definici´ on, nos resta probar que X ∈ τ d. Sea x ∈ X , entonces para r > 0Br(x) ⊆ X ahora bien como lo podemos hacer para cada x ∈ X entonces Br(x) = X para cada x ∈ X .

2. Sean E 1, E 2 ∈ T d por demostrar que E 1

E 2 ∈ T d.

En efecto, sea x ∈ E 1

E 2 entonces existen Br1 y Br2 tales que x ∈ Br1

Br2 con Br1 ⊆ E 1y Br2 ⊆ E 2.

Sea rx = min{r1 − d(x, x1), r2 − d(x, x2)}, se sigue que x ∈ Brx(x) ⊆ E 1

E 2.

En efecto, si y ∈ Brx, entonces d(xi, y) ≤ d(xi, x) + d(x, y) ≤ d(xi, x) + rx ≤ d(xi, x) + ri −d(xi, x) = ri, para i = 1, 2 (Esto sucede usando la propiedad de la desigualdad triangular y el hecho de que rx = min{r1 − d(x, x1), r2 − d(x, x2)}).

Como esto sucede para cada x ∈ E 1E 2, entonces resulta que E 1E 2 = {Brx(x) : x ∈E 1

E 2} y por lo tanto E 1

E 2 ∈ τ d.

3. Sea {E α}α∈I ⊆ τ d por demostrar que

E α ∈ τ d para cada α ∈ I .

En efecto, ya que E α =

Br(x) para cada α ∈ I y cada x ∈ E α, entonces

E α =(

Br(x)) para cada α ∈ I y cada x ∈ E α, pero sabemos que la uni´ on de bolas abiertas es una bola abierta, asi tenemos lo siguiente

α∈I

E α =

x∈E α

Br(x) ∈ τ d.

Ejemplo 1.1.5. En el conjunto de los n´ umeros reales, R, hay una topoloǵıa de gran importancia:a saber la topoloǵıa usual, τ R, definida como:

τ R = {∅}

{E ⊆ R : E es uni´ on de intervalos abiertos }

Esta es precisamente la topoloǵıa inducida por la métrica d(x, y) = |x − y|.

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Ejemplo 1.1.6. En general para los espacios Euclidianos Rn, podemos generar la topoloǵıa inducida por la métrica:

d((x1,...,xn), (y1,...,yn)) = ((x1 − y1)2 + ... + (xn − yn)2)1/2. A esta topoloǵıa le llamaremos la topologı́a usual en Rn y la denotamos por τ Rn

τ Rn = {∅}

{E ⊆ Rn : E es uni´ on de bolas abiertas }

Teorema 1.1.1. Sean (X, τ ) un espacio topol´ ogico y A ⊆ X . Decimos que A es abierto si y solo

si para cada x ∈ A existe Bx ∈ τ tal que x ∈ Bx ⊆ A.

Demostración: Supongamos que si A es abierto, entonces A ∈ τ , se sigue que A =

Bα(x)para cada α ∈ I y cada x ∈ A, de aqui que existe α0 ∈ I tal que x ∈ Bα0 ⊆ A.

Rećıprocamente, sea x ∈ A, entonces existe Bx ∈ τ tal que x ∈ Bx, se sigue que x ∈

Bxpara cada x ∈ A, de aqui que A ⊆ Bx para cada x ∈ A. Por otro lado Bx ⊆ A y por ser para cada x ∈ A se tiene que

Bx ⊆ A para cada x ∈ A, asi tenemos que A =

Bx para cada x ∈ A,

por lo tanto A ∈ τ .

1.2. Bases y Sub-bases

Teorema 1.2.1. Consideremos una colecci´ on β de subconjuntos de X que satisfaga:

1. X =

{B : B ∈ β }

2. Si B1, B2 ∈ β y x ∈ B1

B2, entonces existe B ∈ β tal que x ∈ B ⊆ B1

B2. Adem´ as

τ β = {∅}

{E ⊆ X : E es union de elementos de β }

es una topologı́a en X .

Demostración:

1. ∅ ∈ τ por la forma en que esta contruida τ β y por hip´ otesis (1), X ∈ τ β.

2. Sean E 1, E 2 ∈ τ β, por demostrar que E 1

E 2 ∈ τ β. Si E 1, E 2 ∈ τ β, entonces para todox ∈ E 1

E 2, existen B1, B2 ∈ β , con B1 ⊆ E 1 y B2 ⊆ E 2, tales que x ∈ B1

B2. Por

hip´ otesis (2), existe Bx tal que x ∈ Bx ⊆ B1

B2 ⊆ β . Como x ∈ E 1

E 2 es arbitrario,se tiene que E 1

E 2 =

{Bx : x ∈ E 1

E 2}. Es decir E 1

E 2 ∈ τ β.

3. Sea {E α}α∈I ⊆ τ β, por demostrar que

α∈I E α ∈ τ β.

Por definici´ on E α =

α∈I Bα tales que Bα ∈ β , de aqui que

α∈I E α =

α∈I (

α∈I Bα) =

Bα con Bα∈β, luego E α es uni´ on de elementos de β , por lo que α∈I E α ∈ τ .

Definición 1.2.1. Sea (X, τ ) un espacio topol´ ogico. Una colecci´ on β ⊆ τ es una base en X para la topologı́a τ si cualquier elemento de τ diferente del vacio, es uni´ on de elementos que pertenecen a β .

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Observación 1. (a) De la definici´ on anterior, resulta que cualquier colecci´ on β que satisface las condiciones del Teorema 1.2.1, es una base para la topoloǵıa τ β.

(b) Si τ es una topologı́a en X , siempre podemos hallar una subcolecci´ on β ⊆ τ , tal que β es una base para la topologı́a τ . En particular τ es una base de ella misma.

(c) Del teorema 1.1.1 y de la definici´ on anterior tenemos que A ⊆ X es abierto si y s´ olo si para cada x ∈ A existe Bx ∈ β tal que x ∈ Bx ⊆ A.

Este ´ ultimo es claro desde que β ⊆ τ , entonces tendriagos la siguiente relaci´ on Bx ∈ β ⊆ τ ,entonces se tiene que Bx ∈ τ . En particular podemos tomar β = τ .

Teorema 1.2.2. Sea (X, τ ) un espacio topol´ ogico y β ⊆ τ , entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

1. β es una base de τ

2. Para todo x ∈ X y A ∈ τ con x ∈ A, existe B ∈ β tal que x ∈ B ⊆ A.

Demostración: (1) ⇒ (2). Sea x ∈ X y A ∈ T con x ∈ A, como β es una base de τ , resulta que existe β

⊆ β tal que A =

{B : B ∈ β

}. Por lo tanto existe B0 ∈ β

tal que x ∈ B0 ⊆ A.(2) ⇒ (1). Vamos a demostrar ahora que si β es una colecci´ on de subconjuntos de X que

satisface la propiedad (2), entonces para cada A ∈ τ , A es uni ̃ A3ndeelementosdeβ .

Sea A ∈ τ .Para cada x ∈ X existe Bx ∈ β tal que x ∈ Bx ⊆ A. Ası́ resulta que A = x∈A Bx.Por lo tanto β es una base de τ .

Ejemplo 1.2.1. Una base para el espacio discreto X es la colecci´ on {{x} : x ∈ X }. Para la topoloǵıa indiscreta existe una ´ unica base: β = {X }.

Ejemplo 1.2.2. En los ejemplos 1.1.4, 1.1.5 y 1.1.6 la colecci´ on de bolas abiertas (intervalos abiertos en el caso de X = R, discos abiertos en el caso de X = R2), resulta ser una base para las topoloǵıas ahi definidas.

Si (X, d) es un espacio métrico y β es la colecci´ on de bolas abiertas, entonces la topoloǵıa inducida por la métrica d coincide con la topoloǵıa generada por β , es decir τ d = τ β.

Dada una colecci´ on δ de subconjuntos de X podemos generar siempre una topoloǵıa en X de la siguiente forma: Consideremos la familia β de intersecciones de subcolecciones finitas de δ , e incluimos como elemento de β al conjunto X . Resulta ahora que las uniones arbitrarias de elementos de β uni´ on {∅}, forma una topoloǵıa τ δ. Aqui β forma una base para τ δ. Lo anterior podemos escribirlo en la siguiente forma:

δ ⊆ P (X ),

Para cada n ∈ N, consideremos δ = {S i}ni=1, S i ∈ δ, δ n ⊆ δ ,

β = {

δ n | δ n = {S i}ni=1, δ n ⊆ δ }

{X },

τ δ = {E ⊆ X | E =

(

δ n)α | δ n ⊆ δ , con α ∈ I }

{∅}.

Definición 1.2.2. Si (X, τ ) es un espacio topol´ ogico, una subcolecci´ on δ ⊆ τ , es una sub-base para τ si la familia de intersecciones de subcolecciones finitas de δ uni´ on {X } forma una base para τ . Aśı resulta que, dada cualquier colecci´ on δ de subconjuntos de X , δ es sub-base de la topoloǵıa τ δ.

Teorema 1.2.3. Si X es un conjunto y δ es una familia de subconjuntos de X entonces δ es subbase de τ 0, donde τ 0 = inf {τ | τ es topologı́a en X y δ ⊂ τ }. τ 0 le llamaremos la topoloǵıa generada por δ .

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Ejemplo 1.2.3. Si (X, τ ) es un espacio topol´ ogico con τ la topologı́a cofinita, δ = {X − {x} |x ∈ X } es subbase de τ .

Definición 1.2.3. Si (X, τ ) es un espacio topol´ ogico y x ∈ X , una vecindad de x en (X, τ ) es un subconjunto N ⊂ X para el cual existe U ∈ τ tal que x ∈ U ⊂ N . La familia de vecindades de x la denotaremos por N x.

Ejemplo 1.2.4. Dado (X, τ ) un espacio topol´ ogico, la topologı́a τ , ella misma, es una sub-base de τ , y si β es una base de τ , entonces también es sub-base de τ .

Ejemplo 1.2.5. Si τ R es la topoloǵıa usual en R, entonces la colecci´ on de todas las semirectas {x ∈ R : x < a} y {x ∈ R : x > a}, forman una sub-base para τ R, ya que las intersecciones finitas de conjuntos de esta forma generan todos los intervalos abiertos que generan una base para τ R.

Ejemplo 1.2.6. Una base para la topoloǵıa usual en R2 est ˜ A¡ dada por los rect´ angulos abiertos,es decir, por la colecci´ on de subconjuntos, de R2 de la forma

{(x, y) : a1 < x < a2 y b1 < y < b2},

de tal manera que una sub-base para la topoloǵıa usual en R2 est´ a dada por los conjuntos de la forma {(x, y) : a1 < x < a2, y ∈ R} y {(x, y) : x ∈ R, b1 < y < b2}. Para verificar estorecordemos lo siguiente.

Sean τ 1 y τ 2 dos topolog ˜ Aas en X y β 1, β 2 bases para τ 1 y τ 2 respectivamente.

(a) Si para cada B2 ∈ β 2 y cada x ∈ B2 existe B1 ∈ β 1 tal que x ∈ B1 ⊆ B2, entonces τ 2 ≥ τ 1 y

(b) Para cada B1 ∈ β 1 y cada x ∈ B1 existe B2 ∈ β 2 tal que x ∈ B2 ⊆ B1, entonces τ 1 ≥ τ 2.

Es decir, dos bases generan la misma topoloǵıa si satisfacen (a) y (b).

Proposición 1.2.1. Utilizando lo anterior, mostraremos que la colecci´ on de subconjuntos de R2

de la forma {(x, y) : a1 < x < a2; b1 < y < b2}. es una base para la topoloǵıa usual de R2.

Demostración: Sean

β 1 = {Br(t) : t ∈ R2, r > 0} y β 2 = {(x, y) : a1 < x < a2; b1 < y < b2}.

(a) Sea B2 ∈ β 2 y t0 ∈ B2, por demostrar que existe B1 ∈ β 1 tal que t0 ∈ B1 ⊆ B2. Para hacerlo,definamos B2 = {(x

, y

) : a

1 < x

< a

2; b

1 < y

< b

2} y t0 ∈ B2. Observe que t0 = (x

1, y

1)y tomemos r1 = d((x

1, y

1), (a

1, y

1)), r2 = d((x

1, y

1), (a

2, y

1)), r3 = d((x

1, y

1), (x

1, b

1)) y r4 = d((x

1, y

1), (x

1, b

2)), y pongamos r < min{r1, r2, r3, r4}, se sigue que t0 ∈ Br(t0) ⊆ B2,luego τ 2 ≤ τ 1.

(b) Sea B1 = Br(x) y x ∈ B1, por demostrar que existe B2 ∈ β 2 tal que x ∈ B2 ⊆ B1, com Br(x)es la bola abierta con centro en x, entonces para todo x

∈ Br(x) existe Br (x

) ⊆ Br(x). Por otro lado tenemos el rectangulo B2 = {(x1, y1) : a1 < x1 < a2; b1 < y1 < b2} de tal manera que su centro sea precisamente el punto x

= (x

1, y

1) y tomemos d((ai, b j), (x

1, y

1)) < r

con i, j = 1, 2, asi

B2 = {(x1, y1) : a1 < x1 < a2; b1 < y1 < b2} ⊆ Br (x

).

con lo que x ∈ B2 ⊆ B1, entonces τ 1 ≤ τ 2.

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Figura 1.2: Mi Figura

1.3. Continuidad y Homeomorfismos

Definición 1.3.1. .Sean (X, τ ) y (Y, σ) espacios topol´ ogicos. Una funci´ on f : X → Y , es continua si y s´ olo si la

imagen inversa de todo abierto A en Y es un abierto B en X .Teorema 1.3.1. Sean (X, τ ), (Y, σ) espacios topologı́cos y f : (X, τ ) → (Y, σ) una funci´ on.Entonces las siguientes proposiciones son equivalentes:

i) - f es continua.

ii) - Para cualquier abierto U de Y , f −1(U ) es abierto en X .

iii) - Para cualquier cerrado F de Y , f −1(F ) es cerrado en X .

iv) - f (cx(A)) ⊆ cy(f (A)) para cualquier A ⊆ X , donde cx y cy son los operadores cerradura en X y Y respectivamente.

v) - cx(f −1(B)) ⊆ f −1(cy(B)) para cualquier B ⊆ Y .

Demostración:

(i) ⇒ (ii) Supóngase que f es continua en un punto x. Sea U un abierto en Y con f (x) ∈ U ,demostraremos que f −1(U ) es abierto en X . Se sigue que x ∈ f −1(U ) y por hipótesis, existeun abierto V x con x ∈ V x tal que f (V x) ⊆ U . Por lo tanto V x ⊆ f −1(U ), como esto es paracada x ∈ f −1(U ) resulta que f −1(U ) =

x∈f −1(U ) V x. Es decir, f

−1(U ) es abierto, ya que

es uniÃ3ndeabiertos.

(ii) ⇒ (iii) Sea F ⊆ Y un cerrado, entonces Y − F es abierto en Y y por hipótesis f −1(Y − F )es abierto en X . Como f −1(Y − F ) = f −1(Y ) −f −1(F ) = X −f −1(F ), se sigue que f −1(F )

es cerrado en X.

(iii) ⇒ (iv) Sea A ⊆ X . Por definición cY (f (A)) es un conjnto cerrado en Y . Ası́, por hipótesis,f −1(cY (f (A))) es cerrado en X y A ⊆ f −

1(cY (f (A))). Por definiciÃ3ncX (A) es el menor

de los cerrados que contiene a A, tenemos que cX (A) ⊆ f −1(cY (f (A))). De aqui que

f (cX (A)) ⊆ cY (f (A)).

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(iv) ⇒ (v) Sea B ⊆ Y y tomemos A = f −1(B). De (iv) tenemos que

f (cX (A)) ⊆ cY (f (A)) ⊆ cY (B),

esto implica que cX (A) ⊆ f −1(cY (B)). Es decir cX (f

−1(B)) ⊆ f −1(cY (B)).

(v) ⇒ (i) Sean x ∈ X y N un abierto en Y con f (x) ⊂ N . Se sigue que Y − N = B es cerradoen Y y de (v), tenemos que cX (f

−1(B)) ⊆ f −1(cY (B)) = f −1(B). Por lo tanto f −1(B) escerrado en X y M = X − f −1(B) es un abierto en X que contiene a x. Además f (M ) ⊆ N.

Por lo tanto, f es continua en x, y dado que x es arbitartio, se sigue que f es continua.

Observación 2. Como f −1(

Bα) =

f −1(Bα) y f −1(

α∈I Bα) =

α∈I f −1(Bα), enton-

ces es facil ver que una funci´ on es continua si y s´ olo si la imagen inversa de cualquier b´ asico(sub−b´ asico)es un abierto.Demostración: En efecto, f es continua si y s´ olo si para cualquier abierto A ∈ Y , f −1(A) es un abierto en X . Por otro lado A =

B para cada B ∈ β donde β es una base para τ Y , entonces

f −1(B∈β B) ∈ τ X , pero por hip´ otesis f −1(B∈β B) = B∈β f

−1(B).

Ejemplo 1.3.1. Sean (X, τ ), (Y, σ) dos espacios topol´ ogicos. Sean y0 ∈ (Y, σ) y f : (X, τ ) →(Y, σ) desfinida como f (x) = y0 para toda x ∈ (X, τ ). f es continua, ya que si A ⊆ (Y, σ),entonces

f −1(A) =

∅, si y0 /∈ A,

X, si y0 ∈ A.

En cualquier caso f −1(A) ∈ τ X , por lo tanto f es continua. Es decir , cualquier funci´ on constante es continua.

Ejemplo 1.3.2. Si X tiene la topoloǵıa discreta, entonces cualquier funci´ on f : X → Y es continua.

Definición 1.3.2. Sean (X, τ ) y (Y, σ) dos espacios topol´ ogicos, una funcí on biyectiva h :(X, τ → (Y, σ) es un homeomorfismo, si y s´ olo si h y h−1 son continuas.

Si h : (X, τ ) → (Y, σ) es un homeomorfismo, entonces diremos que (X, τ ) y (Y, σ) son dos espacios homeomorfos.

Ejemplo 1.3.3. Para cada (X, τ ) espacio topol´ ogico, 1X : (X, τ ) → (X, τ ) es homeomorfismo.

Definición 1.3.3. (a) Una funci´ on f : (X, τ ) → (Y, σ), donde (X, τ ) y (Y, σ) son espacios topol´ ogicos es una funci´ on abierta si la imagen bajo f de cualquier conjunto abierto en X es un conjunto abierto en Y .

(b) Si en la definici´ on anterior cambiamos ”conjunto abierto” por ”conjunto cerrado”, entonces a la funci´ on le llamaremos funci´ on cerrada.

Es posible encontrar funciones que son abiertas y no son cerradas y viceversa. incluso fun-ciones continuas. Como por ejemplo:

Ejemplo 1.3.4. Cualquier funci´ on f : R → R constante, es una funci´ on continua y cerrada perono abierta, ya que para cualquier valor c ∈ R el conjunto {c} es cerrado pero no es abierto.

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Ejemplo 1.3.5. Es posible tener funciones cerradas y abiertas, pero no continuas (incluso fun-ciones biyectivas):

Sea X un conjunto cualquiera; X 1 el conjunto X con la topologı́a indiscreta; X 2 el conjuntoX con la topolog ˜ Aa discreta. Resulta que la funci´ on identidad id : X 1 → X 2, es una funci´ on abierta y cerrada, sin embargo no es una funci´ on continua, ya que para culaquier subconjuntopropio E de X 2, E es abierto en X 2 pero id

−1(E ) = E no lo es en X 1.

Teorema 1.3.2. Sean (X, τ ), (Y, σ) dos espacios topol´ ogicos y f : (X, τ ) → (Y, σ) una funci´ on

biyectiva. Las siguientes proposiciones son equivalentes:

(a) f −1 es continua.

(b) f es abierta.

(c) f es cerrada.

Corolario 1.3.1. Una funci´ on f : (X, τ ) → (Y, σ) biyectiva y continua es un homeomorfismo si satisface las condiciones equivalentes (a), (b) y (c) del Teorema anterior.

Demostración: (Teorema)1.3.2

(a) ⇒ (b) Sean A un abierto en X y f −1 continua. Si f (A) = (f −1)−1(A), entonces f (A) es

abierto en Y , ya que f −1 es continua. Por lo tanto f es una funci´ on abierta.

(b) ⇒ (c) Por hip´ otesis f es biyectiva f (X − E ) = Y − f (E ) para cualquier E ⊆ X. Si F es un subconjunto cerrado en X , entonces F es de la forma X − E donde E es abierto, de aqui que f (F ) = f (X − E ) = Y − f (E ). Por lo tanto f (F ) es cerrado, ya que f (E ) es abierto.

(c) ⇒ (a) Sea F ⊆ X un conjunto cerrado. Por hip´ otesis f es biyectiva, entonces (f −1)−1(F ) =f (F ), de aqui que (f −1)−1(F ) es un conjunto cerrado. Por lo tanto f −1 es una funci´ on continua.

Ejemplo 1.3.6. Sea f : R → (−1, 1) la funci´ on dada por f (x) = x1+|x| para cada x ∈ R. Tenemos que f es un homeomorfismo.

Como f es un cociente de polinomios, entonces es continua, falta demostrar que es biyectiva,para hacerlo.

(inyectividad) Sean x1, x2 ∈ R, tales que x1 = x2, por demostrar que f (x1) = f (x2). Para hacerlo supongamos que x1 = x2 y f (x1) = f (x2). Entonces

x11+|x1|

= x21+|x2| , de aqui que

0 = x1

1 + |x1| −

x21 + |x2|

= x1(1 + |x2|) − x2(1 + |x1|)

(1 + |x2|)(1 + |x1|) .

Es decir x1(1 + |x2|) − x2(1 + |x1|) = 0, de aqui que

0 = x1 + x1|x2| − x2 − x2|x1|.

Tenemos los siguientes casos

1. x1, x2 ≥ 0. Para este primer caso,

0 = x1 + x1|x2| − x2 − x2|x1| = x1 + x1x2 − x2 − x2x1 = x1 − x2.

Se sigue que x1 = x2, lo cual es una contradicci´ on. Por lo tanto f (x1) = f (x2).

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2. x1 ≥ 0 y x2 < 0. Para este otro caso, tenemos

x1 + x1|x2| − x2 − x2|x1| = x1 − x1x2 − x2 − x2x1 = x1 − x2 − 2x2x1 = 0,

es decir, x1 − x2 = 2x2x1 o equivalentemente x12x1+1

= x2. Pero esto es una contradicci´ on,ya que x12x1+1 ≥ 0 y x2 < 0. Por lo tanto f (x1) = f (x2).

Los casos x1, x2 ≤ 0 y x1 < 0, x2 ≥ 0 se demuestran de forma similar.

(sobreyectiva) Afirmamos que f es sobreyectiva. Para comprobar esto, sea y ∈ (−1, 1), que-remos encontrar x ∈ R tal que f (x) = y, o equivalentemente

x

1 + |x| = y.

De esta ´ ultima ecuaci´ on podemos ver que x debe satisfacer que

x =

y

1+y , si x


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1.4. Topoloǵıas Iniciales Respecto a una Función. Encajes.

Definición 1.4.1. Sean X cualquier conjunto, (Y, σ) un espacio topol´ ogico, f : X → Y una funci´ on y A = {αi}i∈I la familia de todas las topoloǵıas en X que hace continua a f : (X, αi) →(X, σ). La topologı́a inicial de X (0 topoloǵıa fuente) respecto a (f, σ) est´ a dada por τ = infA.

Teorema 1.4.1. El conjunto τ = {f −1(A) : A ∈ σ} es una topologı́a en X .

Demostración:

i) Como f −1(∅) = ∅ se sigue que ∅ ∈ τ . Adem´ as, dado que f −1(Y ) = X , entonces X ∈ τ .

ii) Sean E 1, E 2 ∈ τ , vamos a demostrar que E 1

E 2 ∈ τ . Como E 1, E 2 ∈ τ , existen A1, A2 ∈ σtales que E 1 = f

−1(A1) y E 2 = f −1(A2), de aqui que

E 1

E 2 = f −1(A1)

f −1(A2) = f

−1(A1

A2), con A1

A2 ∈ σ.

Por lo que E 1

E 2 ∈ τ .

iii) Sea {E α}α∈I ⊆ τ , por demostrar que

α∈I E α ∈ τ . Dado que, {E α}α∈I ⊆ τ , entonces existen Aα ∈ σ para α ∈ I tales que E α = f −1(Aα). Ahora bien

α∈I E α = α∈I f −1(Aα) = f −1 α∈I Aα con α∈I Aα ∈ σ,por lo que

α∈I E α ∈ τ .

Como los elementos de τ son precisamente las imagenes inversas de los abiertos en Y resulta claro que f : (X, τ ) → (Y, σ) es continua.

τ tiene adem´ as otra propiedad: Resulta que si τ es una topoloǵıa en X , tal que f : (X, τ ) →(Y, σ) es continua, entonces si A ∈ σ, f −1(A) ∈ τ , eso significa que τ ⊆ τ . Es decir:

Teorema 1.4.2. La topologı́a τ es la menor topologı́a (la topologı́a m ́as gruesa) que hace continua a la funci´ on f .

Teorema 1.4.3. τ es la ´ unica topologı́a en X que satisface:Para cualquier espacio topol´ ogico (Z, ξ ) y cualquier funci´ on g : (Z, ξ → (X, τ ) se cumple que:

g es continua si y s´ olo si f ◦ g lo es.

Demostración:

Supongamos que g continua. Como f es continua, entonces f ◦ g es continua.Reciprocamente supongamos que f ◦ g es continua, vamos a demostar que g es continua.

Sea A un abierto en X , entonces existe un abierto B en Y tal que A = f −1(B). De aquı́ que g−1(A) = g−1(f −1(A)) = (f ◦ g)−1(B). Como f ◦ g es continua y B es un abierto en Y , entonces g−1(A) = (f ◦ g)−1(B) es un abierto en Z ; es decir, g es continua.

Veamos la unicidad de τ . Sea τ otra topologı́a en X que satisface la misma propiedad que τ ,entonces en particular id : (X, τ ) → (X, τ ) es continua y por lo tanto

f = f ◦ id : (X, τ ) → (Y, σ)

es continua y del Teorema 1.4.2 τ ⊆ τ .Por otro lado, sea id : (X, τ ) → (X, τ ), de aqui que f ◦ id = f es continua, aśı por la

propiedad de (X, τ ), id es continua, esto implica que τ ⊆ τ . Con todo τ = τ , por lo tanto τ es ´ unica.

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Teorema 1.4.4. Si β = {Bi}i∈I es base de σ entonces f −1β := {f −1Bi}i∈I es base de τ

Teorema 1.4.5. Si δ = {Gi}i∈I es subbase de σ entonces f −1δ := {f −1Gi}i∈I es subbase de τ .

Teorema 1.4.6. Si f : (X, τ ) → (Y, σ) es continua y, si conmuta el siguiente diagrama con hbiyectiva y continua y g continua, entonces h es homeomorfismo

(X, τ ) (Y, σ)

(Z, ξ )

f

h

g

Definición 1.4.2. Una funci´ on f : (X, τ ) → (Y, σ) se llama encaje (o inmersión) si f es inyectiva y la topoloǵıa τ es inicial respecto a (f, σ).

Definición 1.4.3. Se dice que un espacio topol´ ogico (A, α) es subespacio de (X, τ ) si A ⊂ X y α es la topoloǵıa inicial de A respecto a (i, τ ) donde i : A → X es la inclusi´ on.

Proposición 1.4.1. Sean f : (X, τ ) → (Y, σ) encaje y g : (Z, ξ ) → (Y, σ) es una funci´ on continua tal que g(Z ) ⊂ f (X ). Entonces existe una ´ unica funci´ on ḡ : (Z, ξ ) → (X, τ ) continua,

tal que el diagrama conmuta:

(Z, ξ ) (Y, σ)

(X, τ )

g

ḡ

f

Ejemplo 1.4.1. Si (Y, σ) es indiscreto y f : X → Y es una funci´ on, la topoloǵıa inicial de X respecto a (f, σ) es la indiscreta.

Ejemplo 1.4.2. Sea (S, σ) el espacio de Sierpinski y sean a = 0, b = 1. Dado X un conjuntoy A un subconjunto no vaćıo y propio de X entonces, si f : X → S dada por f (A) = {a} y f (X − A) = {b}, la topoloǵıa inicial de X respecto a (f, σ) es {X, ∅, A}.

Definición 1.4.4. Sea f : (X, τ ) → (Y, σ) una funci´ on continua. Decimos que (g, h) es una factorización de f si g : (X, τ ) → (Z, ξ ) y h : (Z, ξ ) → (Y, σ) son funciones continuas tales que f = h ◦ g.

Teorema 1.4.7. Sea f : (X, τ ) → (Y, σ) una funci´ on continua. Entonces existe (e, i) factori-zac´ on tal que i es encaje y e es epimorfismo. Si adem´ as existe (e, i) otra factorizaci´ on de f con las mismas caracteristicas de (e, i), entonces existe h homemorfismo, tal que h ◦ e = e.

Demostración: Sean (f X,σfX ), subespacio de (Y, σ), y el encaje i : (f X,σfX ) → (Y, σ). Por la Proposici´ on 1.4.1, existe e : (X, τ ) → (f X,σfX ) continua tal que el diagrama:

(X, τ ) (Y, σ)

(f X,σfX )

f

e

i

conmuta.

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Luego e es suprayectiva ya que, para cada y ∈ f X , existe x ∈ X tal que y = f (x) =i−1(f (x)) = e(x), por lo tanto e es epimorfismo. Por otra parte, sean (e, i) otra factorizaci´ on de f con i encaje y e epimorfismo. Consideremos el siguiente diagrama, en el cual

i(f X ) = i(eX ) = i(eX ) = iX

(X, τ ) (f X,σfX )

(A, α) (Y, σ)

e

e

i

i

De la Proposici´ on 1.4.1, existe h : (f X,σfX ) → (A, α) contniua, tal que i ◦ h = i, por lo tanto

ihe = ie = ie y, dado que i es inyectiva, se sigue que h ◦ e = e, por lo tanto h es suprayectiva.Puesto que h es inyectiva, se sigue que i ◦ h = i. Concluimos que h es homeomorfismo.

Corolario 1.4.1. Sea f : (X, τ ) → (Y, σ) una funci´ on continua y (e, i) la factorizaci´ on de f con

e : (X, τ ) → (f X,σfX )

i : (f X,σfX ) → (Y, σ).

Entonces son equivalentes

a. f es encaje.

b. e es homeomorfismo.

Demostración: pag 42 Introducci´ on a la Topologı́a.

1.5. Fuentes Iniciales. Productos

Definición 1.5.1. Una fuente de funciones es una clase de funciones con dominio com´ un {f i :X → Y i}i∈I donde I es una clase. Si {f i : X → Y i}i∈I es una fuente y (Y i, σi)i∈I es una clase de espacios topol´ ogicos, la topologı́a inicial de X respecto a (f i, σi)i∈I est´ a dada por τ = inf {α | αes una topologı́a en X y f i : (X, α) → (Y i, σi) es continua para cada i ∈ I }.

Teorema 1.5.1. Si {f i : (X, τ ) → (Y i, σi)}i∈I es una fuente de funciones entre espacios to-pol´ ogicos, entonces se tienen las siguientes equivalencias

a. τ es inicial respecto a (f i, σi)i∈I .

b.

i∈I f −1i σi := {f

−1i U | i ∈ I y U ∈ σi} es subbase de τ .

c. Si para toda i ∈ I , γ iessubbasedeσi, entonces U i∈I f −1i γ i es subbase de τ .

d. para toda i ∈ I , f i es continua y, si g : (Z, ξ ) → (X, τ ) es una funci´ on tal que f i◦g es continua para cada i ∈ I , entonces g es continua.

e. Para toda i ∈ I , f i es continua y, si conmuta el siguiente diagrama para cada i ∈ I , con hbiyectiva y continua y gi continua, entonces h es homeomorfismo

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(X, τ ) (Y i, σi)

(Z, ξ )

f i

h

gi

Demostración: Pag. 46 Introducci´ on a la Topologı́a.

Ejemplo 1.5.1. Si (Y i, σi)i∈I es una clase de espacios topol´ ogicos y (f i : X → Y i)i∈I una fuente tal que f i es constante para toda i ∈ I entonces la topoloǵıa inicial de X respecto a (f i, σi)i∈I es la discreta.

Ejemplo 1.5.2. Si (Y i, σi)i∈I es una clase de espacios indiscretos y (f i : X → Y i)i∈I es una fuente, entonces la topoloǵıa inicial de X respecto a (f i, σi)i∈I es la indiscreta.

Ejemplo 1.5.3. Si (Y i, σi)I =∅ es la clase vaćıa de espacios topol´ ogicos y (f i : X → Y i)i∈∅ es la fuente vaćıa con dominio X , entonces la topoloǵıa inicial de X respecto a (f i, σi)I =∅ es la topoloǵıa indiscreta.

Ejemplo 1.5.4. Sean (S, σ) el espacio de Sierpinski, X un conjunto y, para toda x ∈ X , defi-

nimos f x : X → S tal que f x(y) = b si y = X , f x(y) = a si y = x. La topoloǵıa inicial de X respecto a (f x, σ)x∈X es la topoloǵıa cofinita.

Ejemplo 1.5.5. Si (X, τ ) es el espacio topol´ ogico y, para toda U ∈ τ , f U : X → S es tal que f U (U ) = {a} y f U (X − U ) = {b}, entonces τ es la topoloǵıa inicial de X respecto a (f U , σ)U ∈τ .

Proposición 1.5.1. Si {f i : (X, τ ) → (Y i, σi)}I es una fuente de funciones continuas, entonces son equivalentes

a.

i∈I f −1i σi es base de τ .

b. (f i)I separa puntos de cerrados.

Demostración:

(a) ⇒ (b) Sean C ⊂ X un cerrado en (X, τ ) y x ∈ (X − C ) por lo que existen i ∈ I y W ∈ σitales que x ∈ f −1i (W ) ⊂ (X − C ) de aqui que

f i(x) ∈ f if −1i W ⊂ W ⊂ (Y i − f iC )

por lo tantof i(x) ∈ Int(Y i − f iC ) = Y i − f iC.

(b) ⇒ (a) Dado que f i es continua para cada i ∈ I , se tiene que

i∈I f −1i σi ⊂ τ . Sea U ∈ τ . Si

U = ∅, entonces U ∈

i∈I f −1i σi. Por otra parte si U = ∅, entonces sea x ∈ U de aqui que

x ∈ X − (X − U ). Por hip´ otesis (b) existe i ∈ I tal que f i(x) ∈ Y i − f i(X − U ). Por lotanto

x ∈ f −1i (Y i − f i(X − U )) = X − f −1i f i(X − U ) ⊂ X − f

−1i f i(X − U ) ⊂ X − (X − U ) = U

por lo tanto U i∈I f −1i σi es base de τ .

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Ejemplo 1.5.6. Sean R y R2 con la topoloǵıa usual y ( pi : R2 → R)i∈{1,2} la fuente de las pro-

yecciones en R2 en R. Entonces R2 tiene la topoloǵıa inicial respecto a ( pi)i∈{1,2} pero ( pi)i∈{1,2}no separa puntos de cerrados.

Teorema 1.5.2. Sean {f i : (X, τ ) → (Y i, σi)}I y {gi : (Z, ξ ) → (Y i, σi)}I dos fuentes de funciones

continuas y f : (X, τ ) → (Z, ξ ) una funci´ on continua tal que, para cada i ∈ I , el diagrama conmuta:

(X, τ )

(Y i, σi)

(Z, ξ )

f i

f

gi

Entonces se satisfacen:

a. Si τ es inicial respecto a (f i, σi)I , entonces τ es inicial respecto a (f, ξ ).

b. Si τ es inicial respecto a (f, ξ ) y ξ es inicial respecto a (gi, σi)I , entonces τ es inicial respectoa (f i, σi)I .

Demostración:

(a) : Si g : (A, α) → (X, τ ) es tal que f ◦ g es continua, entonces gif g = f ig es continua para toda i ∈ I y por consiguiente g es continua.

(b) : Si f ig es continua para cada i ∈ I , entonces también gif g lo es, luego f g es continua y por lo tanto g es continua.

Proposición 1.5.2. Una fuente de funciones separa puntos si y s´ olo si, es monofuente.

Definición 1.5.2. Sea (X µ)µ∈M una familia de conjuntos. Definimos el producto cartesiano de (X µ)µ∈M como:

µ∈M

X µ := {x : M →µ∈M

X µ | x(µ) ∈ X µ}

para cada µ ∈ M .

Si x ∈ M X µ entonces, para cada µ ∈ M , x(µ) se llama la µ−ésima coordenada de x y la denotaremos por xµ. Para cada µ ∈ M la funci´ on pµ :

M X µ → X µ tal que pµ(x) = xµ para

cada x ∈

M X µ la llamaremos la µ−ésima proyecci ́on del producto

M X µ. Si existe µ ∈ M tal que X µ = ∅ entonces,

M X µ = ∅.

El axioma de elecci´ on es equivalente al enunciado inverso: Si M = ∅ y X µ = ∅ para cada µ ∈ M , entonces

M X µ = ∅. En particular para este caso, se sigue que pµ es suprayectiva para

cada µ ∈ M .

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Definición 1.5.3. Sea F = {(X µ, τ µ)}µ∈M una familia de espacios topol´ ogicos. Consideremos la fuente de funciones { pµ :

M X µ → (X µ, τ µ)}µ∈M y sea τ la topologı́a inicial de

M X µ respecto

a ( pµ, τ µ)µ∈M . Designamos el espacio topol´ ogico (

M X µ, τ ) como el producto topol´ ogico de F .

Ejemplo 1.5.7. Rn con la topoloǵıa usual es el producto topol´ ogico de {(Ri, τ i) | i ∈ {1, . . . , n}}con Ri = R y τ i la topoloǵıa usual de R para cada i ∈ {1, . . . , n}.

Teorema 1.5.3. Sea (

M X µ, τ ) el producto topol´ ogico de la familia F = {(X µ, τ µ)}M . Entonces

se satisfacen:

a. La fuente { pµ : (

M X µ, τ ) → (X µ, τ µ)}M es monofuente inicial.

b. Para cada µ ∈ M , pµ es abierta.

c. Si {f µ : (Y, σ) → (X µ, τ µ)}M una fuente de funciones continuas, entonces existe una ´ unica funci´ on continua f : (Y, σ) → (

M X µ, τ )} tal que, para cada µ ∈ M el diagrama conmuta:

(Y, σ) (

X µ, τ )

(X µ, τ µ)

f

f µ

pµ

Demostración:

(a) : Sean x, y ∈

X µ con x = y, por lo tanto existe µ ∈ M tal que pµ(x) = pµ(y). Por la Proposici´ on 1.5.2, ( pµ)M es monofuente y por consiguiente inicial.

(b) : Por Teorema 1.5.1 inciso (b), el conjunto γ = { p−1µ U | U ∈ τ µ, µ ∈ M } es subbase de

X µ,por lo que una base es el conjunto β = {

µ∈J p

−1µ U µ | J ⊂ M finito y U µ ∈ τ µ}. Pero

µ∈J p−1µ U µ = {x ∈ X µ | xµ ∈ U µ}

para cada µ ∈ J . Por lo tanto si X µ = ∅ para toda µ ∈ J ,

pv(µ∈J

p−1µ U µ) =

U v, si v ∈ J,

X v, si v = J

y, si existe v ∈ M tal que X v = ∅, entonces

X µ = ∅, por lo tanto pµ es abierta para cada µ ∈ M .

(c) : Sea f : Y →

X µ tal que pµ ◦ f = f µ para cada µ ∈ M , de manera que el diagrama

conmuta. Por Teorema 1.5.3 inciso (a), pµM

es monofuente y por lo tanto f es la ´ unica funci´ on con esta propiedad. Por ´ ultimo por 1.5.1 inciso (d), se tiene que f es continua.

Proposición 1.5.3. Si F = {(X µ, τ µ)}M es una familia de espacios topol´ ogicos, (

X µ, τ ) el producto topol´ ogico de F y (Y, σ) un espacio topol´ ogico, entonces son equivalentes:

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a. Existe h : (

X µ, τ ) → (Y, σ) homeomorfismos.

b. Existe una familia de funciones continuas {q µ : (Y, σ) → (X µ, τ µ)}M tal que, si {gµ : (Z, ξ ) →(X µ, τ )}M es cualquier otra familia de funciones continuas, entonces existe una ´ unica fun-ci´ on continua g : (Z, ξ ) → (Y, σ) tal que, para cada µ ∈ M , el siguiente diagrama conmuta:

(Z, ξ ) (Y, σ)

(X µ, τ µ)

g

gµ

qµ

Demostración:

(a) ⇒ (b) : Sea h : (

X µ, τ ) → (Y, σ) un homeomorfismo, luego el siguiente diagrama conmuta:

(Y, σ) (

X µ, τ )

(X µ, τ µ)

h−1

pµh−1

pµ

Definimos, para cada µ ∈ M , q µ = pµ ◦ h−1. Sea {gµ : (Z, ξ ) → (X µ, τ µ)}M una familia de funciones continuas, por 1.5.3 inciso c, existe una ´ unica funci´ on continua k tal que el siguiente diagrama conmura:

(Z, ξ ) (

X µ, τ )

(X µ, τ µ)

k

gµ

pµ

Ahora definimos, g = k ◦ k : (Z, ξ ) → (Y, σ) y por lo tanto gµ = pµk = q µhk = q µg y el diagrama del inciso (b) conmuta. Resta demostrara que g es ´ unica. Para esto, supongamos

que existe g

: (Z, ξ ) → (Y, σ) continua y que hace conmutar el digrama de (b). Dado que ( pµ)M es monofuente y h−1 es monomorfismo, se sigue que (q µ)M es monofuente y por lo

tanto g = g .

(b) ⇒ (a) : Por hip´ otesis existe dos funciones ´ unicas continuas, h y f , tales que q µ ◦ h = pµ y pµ ◦ f = q µ y por lo tanto h ◦ f = 1(Y,σ) y similarmente f ◦ h = 1(

X µ,τ ). Por lo tanto h

es homeomorfismo.

Definición 1.5.4. Si {f µ : (X µ, τ ) → (Y µ, σµ)}µ∈M es una familia de funciones continuas, el producto de {f µ}µ∈M , que denotaremos por µ∈M f µ, es la ´ unica funci´ on continua tal que, para cada µ ∈ M el diagrama es conmutativo:

(

X µ, τ ) (

Y µ, σ)

(X µ, τ µ) (Y µ, σµ)

f µ

pµ

qµ

f µ

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1.6. Topologı́as Finales. Identificaciones

Definición 1.6.1. Sean (X, τ ) un espacio ropol´ ogico y f : X → Y una funci´ on. La topologı́afinal de Y respecto a (τ, f ) est´ a dada por σ = sup{α | α es topologı́a en Y y f : (X, τ ) → (Y, α)es continua }.

Teorema 1.6.1. Si f : (X, τ ) → (Y, α) es una funci´ on entre espacios topol´ ogicos entonces son equivalentes:

a. σ es final respecto a (τ, f ).

b. σ = {W ⊂ Y | f −1W ∈ τ }

c. C ⊂ Y es cerrado en (Y, σ) si, y s´ olo si f −1C es cerrdado en (X, τ ).

d. f es continua y, si g : (Y, σ)Z, ξ ) es tal que g ◦ f es continua, entonces g es continua.

e. f es continua y, si conmuta el siguiente diagrama de funciones continuas con h biyectiva,entonces h es homeomorfismo.

(X, τ ) (Y, σ)

(Z, ξ )

f

g

h

Demostración:

(a) ⇒ (b) : Sea σ0 = {W ⊂ Y | f −1W ∈ τ }. Si {W i}i∈I ⊂ τ 0, entonces f −1

i∈I W i =i∈I f

−1W i ∈ τ . Por definici´ on

i∈I W i ∈ σ0. Ahora, si I es finito, entonces f −1

i∈I W i =i∈I f

−1W i ∈ τ y por lo tanto

i∈I W i ∈ τ 0 por lo tanto σ0 es una topoloǵıa en Y y f : (X, τ ) → (Y, σ0) es continua. Supongamos que α es una topoloǵıa en Y para la cual f : (X, τ ) → (Y, α) es continua. Entonces, dado U ∈ α, se tiene que f −1U ∈ τ luego Uσ0de aqui que α ⊂ σ0 por lo tanto σ0 = σ.

(b) ⇒ (c) : C ⊂ Y es cerrado en (Y, σ) ⇔ (Y − C ) ∈ σ ⇔ f −1(Y − C ) = X − f −1C ∈ τ ⇔ f −1C

es cerrado en (X, τ ).

(c) ⇒ (d) : Si C es cerrado en (Y, σ), entonces (por inciso (c)) f −1C es cerrado en (X, τ ), por lo tanto f es continua. Por otra parte, si D es cerrado en (Z, ξ ) entonces, por ser g ◦ f continua, se tiene que (g ◦ f )−1D = f −1g−1D es cerrdao en (X, τ ), luego (por (c)) g−1Des cerrado en (Y, σ) y por lo tanto g es continua.

(d) ⇒ (e) : Como h es biyectiva, se tiene que h−1 ◦ f = g y por lo tanto h−1 ◦ f es continua.Luego (por (d)) h−1 es continua y por lo tanto h es homeomorfismo.

(e) ⇒ (a) : Sea σo la topoloǵıa final de Y respecto a (τ, f ). Luego (por (d)) f : (X, τ ) → (Y, σ0)es continua, por otro lado f : (X, τ ) → (Y, σ) también es continua, entonces σ ⊂ σ0, de aqui que 1Y : (Y, σ0) → (Y, σ) es continua y, como el diagrama conmuta:

(X, τ ) (Y, σ)

(Y, σ0)

f

f

1Y

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luego (por (e)) 1Y es homeomorfismo, por lo tanto σ0 = σ.

Definición 1.6.2. Una funci´ on suprayectiva p : (X, τ ) → (Y, σ) se llama identificación si σ es la topologı́a final de Y respecto a (τ, p). Si ∼ es una relaci´ on de equivalencia en un conjunto X ,q : (X, τ ) → (X/ ∼, σ) la proyecci´ on natural y σ la topologı́a final de (X/ ∼) respecto a (τ, q ),

entonces (X/ ∼, σ) se llama el espacio cociente de (X, τ ).

Ejemplo 1.6.1. Sea I = [0, 1] con la topologı́a usual.

1. Todo homeomorfismo es identificaci´ on.

2. Si f : (X, τ ) → (Y, σ) es constante y Y es singular, entonces f es identificaci´ on.

3. Si ∼ es la relaci´ on de equivalencia en I × I generada por γ = {( (0, t), (1, 1 − t)) | t ∈ I }, el espacio cociente (I × I )/ ∼ es la banda de Mbius y se denota por M .

4. Si ∼ es la relaci´ on de equivalencia de I × I generada por

γ = {( (0, t), (1, t)) | t ∈ I }{( (t, o), (t, 1)) | t ∈ I },(I × I )/ ∼ es el toro y se denota por T 2.

5. Si ∼ es la relaci´ on de equivalencia en I × I generada por

γ = {( (0, t), (1, 1 − t)) | t ∈ I }

{( (t, o), (t, 1)) | t ∈ I },

(I × I )/ ∼ es la botella de Klein y se denota por K .

Proposición 1.6.1. Sean p : (X, τ ) → (Q, ξ ) una identificaci´ on y f : (X, τ ) → (Y, σ) una funci´ on continua. Si para cada x, x en X se tiene que px = px ⇒ f x = f x, entonces existe un ´ unica funci´ on continua g : (Q, ξ ) → (Y, σ) que hace conmutativo:

(X, τ ) (Y, σ)

(Q, ξ )

f

p

g

Demostración: Sea g : (Q, ξ ) → (Y, σ) tal que g(q ) = f ( p−1(q )) para cada q ∈ Q. g esta bien definida ya que, si x, x ∈ p−1{q }, entonces f x = f x. Por definici´ on de g , se tiene que g ◦ p = f y, por ser p suprayectiva, entonces g es la ´ unica funci´ on con esta propiedad. Por ´ ultimo, dadoque ξ es la topoloǵıa final de Q respecto a (τ, p), g es continua.

Corolario 1.6.1. Supongamos que p : (X, τ ) → (Q, ξ ) y q : (X, τ ) → (Y, σ) son identificaciones tales que px = px si, y s´ olo si qx = qx. Entonces existe un homeomorfismo h : (Q, ξ ) → (Y, σ)tal que conmuta:

(X, τ ) (Y, σ)

(Q, ξ )

q

p

h

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Demostración: De la Proposici´ on 1.6.1 se tiene que existe h : (Q, ξ ) → (Y, σ) continua y biyectiva tal que h ◦ p = q . Luego, por Teorema 1.6.1 inciso (e), h es homeomorfismo.

Corolario 1.6.2. Toda identificaci´ on es la composici´ on de un cociente con un homeomorfismo.

Demostración: Sean p : (X, τ ) → (Y, σ) una identificaci´ on y ∼ la relaci´ on x ∼ x si, y s´ olo si px = px y consideremos el cociente q : (X, τ ) → (X/ ∼, α). Por el Corolario 1.6.1 existe h un homeomorfismo tal que conmuta el diagrama:

(X, τ ) (Y, σ)

(X/ ∼, α)

p

q

h

Teorema 1.6.2. Toda funci´ on continua f : (X, τ ) → (Y, σ) posee una ´ unica factorizaci´ on ( p, m),salvo por un homeomorfismo, donde p es identificaci´ on y m es continua e inyectiva.

Demostración: Sean ∼ la relaci´ on de equivalencia en X tal que x ∼ x si, y s´ olo si f x = f x,

Q = X/ ∼ y p : (X, τ ) → (Q, ξ ) la identificaci´ on can´ onica. Por la Proposici´ on 1.6.1 existe una ´ unica funci´ on continua m : (Q, ξ ) → (Y, σ) tal que m ◦ p = f . Observemos que m es inyectiva ya que

mq = mq ⇔ f p−1q = f p−1q ⇔ p−1q = p−1q ⇔ q = q .

Ahora, si f = m ◦ p con p idenrtificaci´ on y m continua e inyectiva, entonces conmuta el diagrama:

(X, τ ) (Q, ξ )

(Q, ξ ) (Y, σ)

p

p

f

m

m

por lo tanto px = px ⇔ mpx = mpx ⇔ m px = m px ⇔ px = px.

Por el Corolario 1.6.1 existe un homeomorfismo h tal que

h ◦ p = p ∴ mhp = m p = mp

por lo tanto m ◦ h = m.

1.7. Pozos Finales. Coproductos

Definición 1.7.1. Un pozo de funciones es una clase de funciones (f i : Y i → X )i∈I . Si {f i :(Y i, σi) → (X, τ )}i∈I es un pozo de funciones entre espacios topol´ ogicos, la topoloǵıa final de X respecto a (σi, f i)i∈I est´ a dada por τ = sup{α | α es topologı́a en X y f i : (Y i, σi) → (X, α) es continua para cada i ∈ I }.

Teorema 1.7.1. Si {f i : (Y i, σi) → (X, τ )}i∈I es un pozo de funciones entre espacios topol´ ogicos,entonces son equivalentes:

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a. τ es final respecto a (σi, f i)i∈I .

b. τ = {W ⊂ τ | f −1i W ∈ σi para cada i ∈ I }.

c. C ⊂ X es cerrado en (X, τ ) si, y s´ olo si f −1i C es cerrado en (Y i, σi) para cada i ∈ I .

d. Para cada i ∈ I , f i es continua y, si g : (X, τ ) → (Z, ξ ) es una funci´ on tal que g ◦ f i es continua para cada i ∈ I , entonces g es continua.

e. Para cada i ∈ I , f i es continua y, si conmuta el siguiente diagrama de funciones continuas para cada i ∈ I , con h biyectiva y continua, entonces h es homeomorfismo:

(Y i, σi) (X, τ )

(Z, ξ )

f i

gi

h

Definición 1.7.2. Se dice que un pozo de funciones (f i : Y i → X )i∈I

a. Cubre puntos, si X =

i∈I f iY i.

b. Es un epipozo si, para cualesquiera dos funciones g, h : X → Z tales que h ◦ f i = g ◦ f i para cada i ∈ I , se tiene que h = g.

Proposición 1.7.1. Si {f i : (Y i, σi) → (X, τ )}i∈I es un epipozo de funciones continuas, entonces τ es final respecto a (σi, f i)i∈I si se satisface una de las siguientes condiciones:

a. Para cada i ∈ I , f i es abierta.

b. Para cada i ∈ I , f i es cerrada y (f iY i)i∈I es localmente finita en (X, τ ).

Definición 1.7.3. Si (X, τ ) es un espacio topol´ ogico y {Ai}i∈I es una cubierta de X , i.e.,X =

i∈I Ai, entonces {Ai}i∈I es cerrada (o abierta) si Ai es abierto (o cerrado) en (X, τ ) para

cada i ∈ I .

Corolario 1.7.1. Sean (X, τ ) y (Y, σ) espacios topol´ ogicos y {Ai}i∈I una cubierta de X . Con-sideremos las siguientes condiciones:

a. {Ai}I es abierta.

b. {Ai}I es cerrada y localmente finita.

Si {Ai}I satisface (a) o (b) entonces una funci´ on f : (X, τ ) → (Y, σ) es continua si, y s´ olo si,f |Ai es continua para cada i ∈ I .

Definición 1.7.4. Si (X µ)µ∈M es una familia de conjuntos, el coproducto o suma ajena de (X µ)µ∈M est´ a dado por X µ :=

µ∈M

(X µ × {µ}).

la funci´ on iµ : X µ →

X µ tal que iµ(x) = (x, µ) para cada x ∈ X µ se llama, la inclusi´ on de X µen

X µ. Obsérvese que, para cada µ ∈ M , iµ es inyectiva y que (iµ)µ∈M es epipozo.Si (X µ, τ µ)µ∈M es una familia de espacios topol´ ogicos, el coproducto topol´ ogico o suma to-

pol´ ogica ajena de (X µ, τ µ)µ∈M es (

X µ, τ ), donde τ es la topoloǵıa final de

X µ respecto a (τ µ, iµ)µ∈M .

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Teorema 1.7.2. Si (

X µ, τ ) es el coproducto topol´ ogico de (X µ, τ µ)µ∈M con las inclusiones iµ : ((X µ, τ µ) → (

X µ, τ ), entonces se satisfacen:

a. (iµ)µ∈M es epipozo final.

b. para cada µ ∈ M , iµ es encaje abierto y cerrado.

c. Si {f µ : (X µ, τ µ) → (Y, σ)}µ∈M es un pozo de funciones continuas entonces existe una ´ unica

funci´ on continua f : (X µ, τ ) → (Y, σ) tal que , para cada µ ∈ M , el diagrama conmuta:(X µ, τ µ) (Y, σ)

(

X µ, τ )

f µ

iµ

f

Demostración:

(a) : Por como est´ a definida τ .

(b) : Sean µ, v ∈ M y U ∈ τ v, por lo tanto i−1µ ivU = U si v = µ y i

−1µ iµU = ∅ si v = µ. Por

Teorema 1.7.1 inciso (b), ivU ∈ τ y por lo tanto iv es abiera. La demostraci´ on de que iv es cerrada, es an´ aloga por Teorema 1.7.1 inciso (c) y por lo tanto iµ es continua, inyectiva,abierta y cerrada para toda µ ∈ M , por lo tanto iµ es encaje por la Proposici´ on ??.

(c) : Sea f :

X µ → Y tal que f (x, µ) = f µ(x). La funci´ on f est´ a bien definida y, para cada µ ∈ M , gf ◦ iµ = f µ y puesto que (iµ)µ∈M es final, se sigue que f es continua y, por ser (iµ)µ∈M epipozo, se tiene que f es la ´ unica funci´ on para la cual f ◦ iµ = f µ para cada µ ∈ M .

Proposición 1.7.2. Si (

X µ, τ ) es el coproducto topol´ ogico de (X µ, τ µ)µ∈M y (Y, σ) es un espacio topol´ ogico, entonces son equivalentes:

a. Existe h : (Y, σ) → (

X µ, τ ) homeomorfismo.

b. Existe un pozo de funciones continuas { jµ : (X µ, τ µ) → (Y, σ)}µ∈M tal que, dado un pozode funciones continuas {f µ : (X µ, τ µ) → (Z, ξ )}µ∈M , existe un ´ unica funci´ on continua f : (Y, σ) → (Z, ξ ), tal que, para cada µ ∈ M , el siguiente diagrama conmuta:

(X µ, τ µ) (Z, ξ )

(Y, σ)

f µ

jµ

f

Proposición 1.7.3. Si (

X µ, τ ) es el coproducto de la familia (X µ, τ µ)µ∈M , {M i}i∈I es una par-tici´ on de M y, para toda i ∈ I , (

X µi , τ i) es el coproducto de (X µ, τ µ)µ∈M i, entonces (

X µ, τ )

es homeomorfo a (

(

X µi), τ 0), el coproducto de (

X µi , τ i)i∈I .

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Definición 1.7.5. Si {f µ : (X µ) → (Y µ, σµ)} es una familia de funciones continuas, el copro-ducto de {f µ}µ∈M , que denotaremos por

µ∈M f µ, es la funci´ on continuque hace conmutativo el

diagrama:

(X µ, τ µ) (Y µ, στ )

(X µ,τ ) (Y µ, σ)

f µ

iµ

jµ

f µ

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Caṕıtulo 2

La categoŕıa de homotoṕıas H -TOP

Definición 2.0.6. Si f, g : (X, τ ) → (Y, σ) funciones continuas, se dice que f es homot´ opica a g si existe H : (X × I ) → Y continua tal que para cada x ∈ X , H (x, 0) = f (x) y H (x, 1) = g(x).En este caso diremos que H es una homot´ opia que empieza en f y termina en g.

Definición 2.0.7. Si I = [0, 1] y X ∈ |T op|, entonces:

a. El cilindro sobre X es el espacio X × I .

b. Dado X ∈ |T op| y t ∈ I , denotamos por hX t , o simplemente por ht cuando no haya peligro de confuci´ on

hX t : X → X × I

tal que para cada x ∈ X hX t = (x, t).

c. Diremos que una homot´ opia H : X × I → Y comienza en f y termina en g, si H ◦ hX 0 = f y H ◦ hX 1 = g.

d. la Proposici´ on f es homot´ opica a g ´ o H es una homot´ opia que empieza en f y termina en g ,

se denotara como f g ´ o f H

g.Observación 1. Las funciones hX t son inmerciones. de hecho, ”meten” al espacio X dentro del espacio X × I , en el ”nivel” t

Observación 2. Si H : X × I → Y es una homot´ opia que empiza en f y termina en g, se puede interpretar como que H ”restringida a la tapa de abajo del cilindro”, se comporta comola funci´ on f y H ”restringida a la tapa de arriba”, se comporta como la funci´ on g

H ◦ hX 0 (x) =: H (x, 0) = f (x)

y H ◦ hX 1 (x) =: H (x, 0) = g(x)

Ejemplo 2.0.1. Si Y es un espacio indiscreto y f, g : X → Y son continuas, entonces f g.Sea H : X × I → Y tal que para cada x ∈ X

H ◦ ht =

f, si t = 0,

g, si t = 0.

o sea, para cada (x, t) ∈ X × I

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H (x, t) =

f (x), si t = 0,

g(x), si t = 0.

H es continua por ser Y indiscreto, luego H ◦ h0 = f y H ◦ h1 = g, por lo tanto f g.

Ejemplo 2.0.2. Si Y es un subconjunto convexo de Rn y f, g : X → Y son continuas, entonces f g, pues si H : X × I → Y es la funci´ on tal que

H (x, t) = (1 − t)f (x) + g(x)

H es entonces una homot´ opia que empieza en f y termina en g.

Teorema 2.0.3. La relaci´ on es de equivalencia.

Demostración:

i) Si f : (X, τ ) → (Y, σ) es continua, sea pX : X × I → X la proyecci´ on. Definimos H = f ◦ pX :X × I → Y , entonces f f , ya que H (x, 0) = f pX (x, 0) = f (x) y H (x, 1) = f pX (x, 1) =f (x) para toda x ∈ X .

ii) Si f H g, sea H la composición H ◦ h donde h : X × I → X × I tal que h(x, t) = (x, 1 − t).Por lo tanto H es continua y

(H ◦ h) ◦ hX 0 = H (h(x, 0)) = H (x, 1) = g(x)

(H ◦ h) ◦ hX 1 = H (h(x, 1)) = H (x, 0) = f (x).

Por lo tanto g H

f

iii) Supongamos que f H g y g G h, sea K : X × I → Y tal que

K (x, t) = H (x, 2t), si 0 ≤ t ≤ 12 ,

G(x, 2t − 1), si 12 ≤ t ≤ 1.

Por lo tanto K es continua y

K (x, 0) = H (x, 0) = f (x)

K (x, 1) = H (x, 1) = h(x)

para toda x ∈ X por lo tanto f J h.

Definición 2.0.8. a) Si f ∈ homTop(X, Y ), a su clase de equivalencia seg´ un la relaci´ on se llamar´ a la clase de homot´ opia de f y se denotar´ a por [F ].

b) Al conjunto de las clases de homot´ opia de elementos de homTop(X, Y ) se le denotar´ a por [X, Y ]. Ası́ pues

[X, Y ] = homTop(X, Y )

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Teorema 2.0.4. Si r : Z → X , f, g : X → Y y s : Y → W son funciones continuas y f g ,entonces f ◦ r g ◦ r y s ◦ f s ◦ g.

Demostración: Supongamos que f H g. Sea G : Z × I → Y la composici´ on H ◦ r × 1I ,claramente G es continua pues H y r × 1I lo son. Luego

G ◦ hZ 0 (z) = G(z, 0) = H ◦ (r × 1I )(z, 0) = H (r(z), 0) = f (r(z)) = f ◦ (r(z))

G ◦ hZ

1

(z) = G(z, 1) = H ◦ (r × 1I )(z, 1) = H (r(z), 1) = g(r(z)) = g ◦ (r(z)).

para cada z ∈ Z , por lo tanto f ◦ r G g ◦ r.Por otro lado, sea K := s ◦ H : X × W , claramente K es continua, luego

K ◦ hX 0 = K (x, 0) = s ◦ H (x, 0) = s ◦ f

K ◦ hX 1 = K (x, 1) = s ◦ H (x, 1) = s ◦ g.

Para cada x ∈ X , por lo tanto s ◦ f K s ◦ g

Corolario 2.0.2. Si f f : X → Y y g g : Y → Z , entonces g ◦ f g ◦ f .

Demostración: Dado que f : X → Y es continua y g g : Y → Z , entonces por el Teorema 2.0.4 se tiene que g ◦ f g ◦ f .

Luego g : Y → Z es continua y f f : X → Y , entonces por el Teorema 2.0.4 se tiene que g ◦ f g ◦ f , de aqui que g ◦ f g ◦ f = g ◦ f g ◦ f , por lo tanto g ◦ f g ◦ f .

Definición 2.0.9. Si f ∈ homTop(X, Y ) y g ∈ homTop(Y, Z ), se define la composici´ on de las clases de homot´ opia [f ] y [g] como [g] ◦ [f ] := [g ◦ f ].

Proposición 2.0.4. Si f µ, gµ : (X µ, τ µ) → (Y µ, σµ)µ∈M es un conjunto de funciones continuas tales que, para cada µ ∈ M , f µ H µ gµ, entonces

f µ gµ : (X µ, τ µ) → (Y µ,σµ).Demostración: Sea H la ´ unica funci´ on continua que hace conmutativo el diagrama:

(

X µ × I,

τ µ × I ) (

Y µ,

στ )

(X µ × I, τ µ × I ) (Y µ, σµ)

H

pµ×1I

qµ

H µ

donde pµ y q µ son proyecciones para cada µ ∈ M .

q µH (x, 0) = H µ( pµ × 1)(x, 0) = H µ(xµ, 0) = f µ(xµ)

por lo tanto H (x, 0) =

f µ(xµ) para cada x ∈

X µ. Luego

q µH (x, 1) = H µ( pµ × 1)(x, 1) = H µ(xµ, 1) = gµ(xµ)

por lo tanto H (x, 1) =

gµ(x) para cada x ∈

X µ.

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Observación 3. Si (X, τ ) ∼= (Y, σ), entonces (X, τ ) (Y, σ). El caso contrario no siempre se cumple.

Definición 2.0.10. Se dice que un espacio topol´ ogico (X, τ ) es contráıble si 1X constante.

Proposición 2.0.5. Si (X, τ ) es un espacio topol´ ogico, entonces son equivalentes:

a. Para cada k : (X, τ ) → (X, τ ) constante, k 1X .

b. (X, τ ) es contraible.

c. (X, τ ) tiene el tipo de homotoṕıa de los espacios singulares.

d. Si f, g : (Y, σ) → (X, τ ) son continuas, entonces f g.

Demostración:

(a) ⇒ (b) : Es claro, por la misma definici´ on.

(b) ⇒ (c) : Sea k : (X, τ ) → (X, τ ) constante tal que k 1X . Sean x = k(X ), i : ({x}, τ {x}) →(X, τ ) la inclusi´ on y k : (X, τ ) → ({x}, τ {x}) la ´ unica funci´ on de X en {x}, por lo tantoki = 1x, ik

= k 1X de aqui que (X, τ ) ({x}, τ {x}

).

(c) ⇒ (d) : Sea k : (X, τ ) → ({ p}, σ) una equivalencia homot´ opica con inverso k : ({ p}, σ) →(X, τ ). Por lo tanto f = 1X f kkf = k kg 1X g = g.

(d) ⇒ (a) : Es claro.

Ejemplo 2.0.3. Rn es contráıble para cada n = 1, 2 . . . ya que H : Rn × I → Rn tal que H (x, t) = x(1 − t) es continua y, para cada y, para cada x ∈ Rn se tiene que H (x, 0) = x y H (x, 1) = 0.

Definición 2.0.11. Sean (X, τ ) un espacio topol´ ogico y (A, τ A) ⊂ (X, τ ). Diremos que (A, τ A)es:

1. Retracto de (X, τ ) si existe r : (X, τ ) → (A, τ A) continua, tal que ri = 1A con i : (A, τ A) →(X, τ ) la inclusi´ on.

2. Retracto débil de (X, τ ) si existe r : (X, τ ) → (A, τ A) continua tal que ri = 1A.

3. Retracto por deformaci´ on de (X, τ ) si existe r : (X, τ ) → (A, τ A) continua tal que ri = 1Ae ir = 1X .

4. Retracto débil por deformaci´ on si existe r : (X, τ ) → (A, τ A) continua tal que ri = 1A e ir = 1X , es decir, si (X, τ ) y (A, τ A) son del mismo tipo de homotoṕıa.

5. Retracto fuerte por deformaci´ on de de (X, τ ) si existe r : (X, τ ) → (A, τ A) continua tal que ri = 1A, ir

H 1X y H (a, t) = a para cada t ∈ I y cada a ∈ A.

Proposición 2.0.6. Si (X, τ ) es un espacio topol´ ogico, entonces son equivalentes:

a. (X, τ ) es contráıble.

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b. Para cada x ∈ X , ({x}, τ {x}) es retracto por deformaci´ on de (X, τ ).

Demostración:

(a) ⇒ (b) : Sean k : (X, τ ) → (X, τ ) la funci´ on constante con valor {x}, k : (X, τ ) → ({x}, τ {x})la ´ unica funci´ on de (X, τ ) en {x} e i : ({x}, τ {x}) → (X, τ ) la inclusi´ on. Luego, por hip´ otesis, ik = k 1X y ki = 1{x}.

(a) ⇒ (b) : Sean x ∈ X , i : ({x}, τ {x}) → (X, τ ) la inclusi´ on y r : (X, τ ) → ({x}, τ {x}) tal que ir 1X . Como ir = constante, se tiene que 1X = constante.

Proposición 2.0.7. Si (X, τ ) es un espacio topol´ ogico y (A, τ A) ⊂ (X, τ ) es tal que (A, τ A) es retracto débil por deformaci´ on de (X, τ ), entonces (A, τ A) (X, τ ).

Demostración: Existe r : (X, τ ) → (A, τ A) continua tal que ri 1A, entonces ir 1X por lotanto i es equivalencia homot´ opica.

Definición 2.0.12. Si f, g : (X, τ ) → (Y, σ) son continuas y A ⊂ X , decimos que f es ho-mot´ opica a g relativamente a A, si existe H : (X, τ ) × I → (Y, σ) continua tal que para cada x ∈ X H (x, 0) = f (x) y H (x, 1) = g(x), y H (a, t) = f (a) = g(a) para cada a ∈ A y t ∈ I . En esre caso, escribimos f H g rel A.

Ejemplo 2.0.4. .

1. Sea

P := {0} × I ∪ I × {0} ∪

∞n=1

1

n × I

⊂ I 2 ⊂ R2

con la topoloǵıa inducida por la usual de R2. P es llamado el espacio de peine .

a. I 2 y P son contraı́bles. Sea H : I 2 × I → I 2 tal que

H (t,s,s) =

(t, (1 − 2s)s), si 0 ≤ s ≤ 12 ,

((2 − 2s)t, 0), si 12 ≤ s ≤ 1.

Puesto que {I 2 × [0, 1/2], I 2 × [1/2, 1]} es cubierta finita cerrada de I 2 × I , enton-ces H |I 2×[0,1/2] y H |I 2×[1/2,1] son continuas y compatibles, entonces H es continua.adem´ as, para cada (t, s) ∈ I 2 se tiene que H (t,s, 0) = (t, s) y H (ts, 1) = (0, 0) por lotanto I 2 es contraı́ble.

Ahora, como H (P × I ) = P y H |P P ×I es una homotoṕıa que empieza en 1P y termina

en la constante (0, 0), entonces P es contráıble.b. P es retracto débil por deformaci´ on de I 2. Ya que, siendo abos contráıbles, tienen el

mismo tipo de homotoṕıa (que el de un punto).

c. P no es retracto de I 2. Para demostrar esto, supongamos que P es retracto de I 2 por lo tanto existe r : I 2 → P continua tal que ri = 1P de aqui que r es identificaci´ on.Pero I 2 es localmente conexo y por lo tanto P es localmente conexo, lo cu´ al es una contradicci´ on. Por lo tanto P no es retracto de I 2.

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Observación 4. Retracto débil por deformaci´ on retracto por deformaci´ on; retractodébil retracto.

d. El punto (0, 1) es retracto por deformaci´ on de P (por la Proposici´ on 2.0.6).

e. (0, 1) no es retracto por deformaci´ on de P . Para esto, supongamos que śı lo es, por lotanto existe una homotoṕıa H : P × I → P tal que H ( p, 0) = p y H ( p, 1) = (0, 1)para cada p ∈ P , entonces H ((0, 1), t) = (0, 1) para cada t ∈ I . Sean 0 < < 1 y N = D((0, 1), ) ∩ P , de aqui que H −1N es un subespacio abierto de P × I tal que

{(0, 1)} × I ⊂ H −1N

luego, por ser {(0, 1)} × I compacto, existe δ > 0 tal que

D((0, 1), δ ) ∩ P × I ⊂ H −1N.

Sea n ∈ N tal que 1n < δ , por lo tanto

d((0, 1), (1

n, 1)) =

1

n < δ

de aqui que

( 1n

, 1) ∈ V := D((0, 1), δ ) ∴ ( 1n

, 1) × I ⊂ H −1N.

Sea ω la composici´ on

I V × I N s

H |N V ×I

donde s(t) = ((1/n, 1), t) para cada t ∈ I por lo tanto ω es continua y

ω(0) = H ((1/n, 1), 0) = (1/n, 1)

y

ω(1) = H ((1/n, 1), 1) = (0, 1)por lo tanto (0, 1) y (1/n, 1) es t´ an en la misma componente por trayectorias de N locual es falso, ya que


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Caṕıtulo 3

fibraciones y cofibraciones

En esta secci´ on presentamos las principales definiciones y resultados que utilizaremos para probar los resultados ya mencionados anteriormente.

Definición 3.0.13. Decimos que una funci´ on equivariante p : E → B tiene la propiedad de levantamiento de homotoṕıas, que abreviaremos P LH , respecto a un espacio X si para toda funci´ on h : X → E y toda homotoṕıa H : X × I → B tal que H (x, 0) = p ◦ h(x) para cada x ∈ X ,

existe una homotopı́a ¯H : X × I → E tal que hace conmutativo el siguiente diagrama:

X E

X × I B

∂ 0

h

p

H

H̄

donde ∂ 0(x) = (x, 0).Una funci´ on p : E → B se llama fibraci´ on de Hurewicz de Hurewicz si p tiene la P LH respectoa todo espacio X .

Definición 3.0.14. Un par (X, A) tiene la propiedad de extenci´ on de homotoṕıa equivariante

respecto a un espacio Y si dadas una funci´ on F : X → Y y una homotoṕıa A × I → Y , tales que H 0 = f |A, existe una homotoṕıa equivariante H̄ : X × I → Y tal que H̄ (a, t) = H (a, t) y H̄ (x, 0) = f (x). Esto es equivalente a la existencia de H̄ para el cual el siguiente diagrama es conmutativo:

A X

A × I X × I

Y

∂ 0

∂ 0

f

H

H̄

donde las flechas horizontales y verticales son inclusiones. Sea (X, A) un par. se dice que la funci´ on j : A → X es una cofibraci´ on si tiene la propiedad de extenci´ on de homotoṕıas respectoa todo espacio Y , diremos simplemente que (X, A) tiene la propiedad de extenci´ on de homotoṕıas equivariante, que abreviaremos como P EH .

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Proposición 3.0.8. sea (X, A) un par. La inclusi´ on equivariante i : A → X es una cofibraci´ on,si y s´ olo si, X × 0 ∪ A × I es un retracto de X × I .

Teorema 3.0.5. Sea (X, A) un par. Entonces i : A → X es una cofibraci´ on, si y s´ olo si existen:

i) una vecindad (invariante) U de A que es deformable en X a A rel(A) (es decir, existe una homotopı́a H : U × I → X tal que H (x, 0) = x, H (a, t) = a, y H (x, 1) ∈ A para toda x ∈ U , a ∈ A, t ∈ I ), y

ii) una funci´ on continua ϕ : X → I tal que A = ϕ−1(0) y ϕ(x) = 1 para cada x ∈ X

.

Demostración: Supongamos que i es una cofibraci´ on, entonces existe una retracci´ on r : X ×I →X × 0 ∪ A × I . Luego U , H , y ϕ se pueden tomar como sigue:

U = {x ∈ X | pr1 ◦ r(x, 1) ∈ A}, H = pr1 ◦ r|U ×I , y ϕ : X → I definida como ϕ(X ) =sup |t − pr2 ◦ r(x, t)|, donde pr1 : X × 0 ∪ A × I → X , (x, t) → x y pr2 : X × 0 ∪ A × I → I ,(x, t) → t. Ahora supongamos que U, H y ϕ satisfacen las condiciones del teorema. Como A es cerrado basta probar la existencia de una retracci´ on r : X × I → X × 0 ∪ A × I . La retracci´ on se construye como sigue:

i) Si ϕ(x) = 1, r(x, t) = (x, 0).

ii) Si 1/2 ≤ ϕ(x) < 1, r(x, t) = (H (x, 2(1 − ϕ(x))t), 0).

iii) 0 < ϕ(x) ≤ 1/2 y 0 ≤ t ≤ 2ϕ(x), r(x, t) = (H (x,t/(2ϕ(x))), 0).

iv) 0 < ϕ(x) ≤ 1/2, y 2ϕ(x) ≤ t ≤ 1, r(x, t) = (H (x, 1), t − 2ϕ(x)).

v) ϕ(x) = 0, r(x, t) = (x, t).

Lema 3.0.1. Sea (X, A) un par, si la iclusi´ on i : A → X es una cofibraci´ on, entonces (X × 0) ∪(A × I ) es un retracto fuerte por deformac´ on de X × I .

Demostración: Sea j : (X ×0)∪(A×I ) → X ×I la inclusi´ on y sea r : X ×I → (X ×0)∪(A×I )una retracci´ on. La homotopı́a tal que D : i ◦ r 1X ×I rel(X × 0) ∪ (A × I ) est´ a dada por

D((x, t), s) = ( pr1 ◦ r(x, (1 − s)t), (1 − s) pr2 ◦ r(x, t) + st),

donde pr1 : X × 0 ∪ A × I → X , (x, t) → x y pr2 : X × 0 ∪ A × I → I , (x, t) → t.

Teorema 3.0.6. Sea p : E → B una G-fibraci´ on, A ⊆ X un G-retracto fuerte por deformaci´ on de X y supongamos que existe una funci´ on continua ϕ : X → I tal que A = ϕ−1(0). Entonces

para cada diagrama conmutativo de espacios y funciones:

A E

X B

i

f

p

f

f

existe una funci´ on tal que p ◦ f = f y f ◦ i = f

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Demostración: Por hipotésis existe una retracci´ on r : X → A y una G-homotopı́a D : i◦r 1X rel(A).Ahora modifiquemos la homotoṕıa D como sigue:

D(x, t) =

D(x, t/ϕ(x)), t < ϕ;D(x, 1), t ≥ ϕ.

D es continua y equivariante. Se tiene el siguiente diagrama conmutativo de espacios y funciones:

X E

X × I B

∂ 0

f ◦r

p

f ◦D

f

En efecto, sea x ∈ X ,

(f ◦ D) ◦ ∂ 0(x) = f ◦ D(x, 0) = f ◦ D(x, 0) = f (a) = f (i(a)) = p ◦ f (a) = p ◦ (f ◦ r(x)),

donde a = r(x). Como p es una fibrací on, existe una homotoṕıa D̄ : X × I → E tal que

p ◦ D̄ = f ◦ D ◦ ∂ 0 y D̄ ◦ ∂ 0 = f ◦ r. Luego f : X → E est´ a dada por f (x) = D̄(x, ϕ(x)). Veamos que esta es la funci´ on deseada.

i) Sea x ∈ X , p ◦ f (x) = p ◦ D̄(x, ϕ(x)) = f ◦ D(x, ϕ(x)) = f ◦ D(x, 1) = f (x).

ii) Sea a ∈ A, f ◦ i(a) = D̄ ◦ i(a) = D̄(i(a), ϕ(i(a))) = D̄(a, 0) (pues a ∈ ϕ−1(0)) = D̄ ◦ ∂ 0(a) =f ◦ r(a) = f (a).

El siguiente resultado ser´ a crucial para probar uno de nuestros resultados.

Teorema 3.0.7. Sea P : E → B una fibraci´ on y A → X una cofibraci´ on, donde A es un subespacio cerrado invariante de X . Entonces cada diagrama conmutativo:

(X × 0) ∪ (A × I ) E

X × I B

f

p

F

F̄

se puede l lenar con una homotoṕıa F̄ : X × I → E tal que p ◦ F̄ = F y F̄ |(X ×0)∪(A×I ) = f .

Demostración:

De acuerdo con el Lema 0.1.5, (X × 0) ∪ (A × I ) es un retracto fuerte por deformaci´ on de X × I y por el Teorema 0.1.4 existe una funci´ on continua ψ : X → I tal que A = ψ−1(0). Definamos ϕ : X × I → I por ϕ(x, t) = tψ(x). Luego ϕ−1(0) = (X × 0) ∪ (A × I ) y aplicando el Teorema 0.1.6, nos asegura la existencia de la homotoṕıa F̄ : X × I → E .

Presentamos la siguiente definici´ on la cual proporcionar´ a un lenguaje m´ as econ´ omico.

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Definición 3.0.15. Si i : A → X y p : E → B son funciones.

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