APUNTESvalor del dinero en el tiempo.usm concepcion.doc

RAMO: INGENIERIA ECONOMICA FORMULACION DE PROYECTOPROFESOR: REINALDO IRRIBARRA T

EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

El valor del dinero en el tiempo se denomina interés y constituye un elemento de juicio para decidir entre alternativas de proyectos.

INTERES = TOTAL ACUMULADO - INVERSION ORIGINAL

Ej. 20 = 120 - 100

TASA DE INTERES = INTERES * 100 INVERSION ORIGINAL Ej. 20 % = 20 * 100 100

1.- INTERES SIMPLE

Sea:

P = Valor o inversión original (Presente)F = Valor o inversión FuturaA = Serie de cantidades periódicas e iguales de dineron = Número de períodos de interésr,i = Tasa de interésI = Interés

El interés simple es el dinero generado sobre el capital original, sin considerar el interés sobre el dinero generado.

Sea:

I = P * i * n

F = P * (1 + i * n)

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2.- INTERES COMPUESTO

El interés compuesto es el dinero generado sobre el interés.

Sea el siguiente ejemplo:

P = 100i = 6 %n = 3 años

F1 = 100,00 + 100,00 * 0,06 * 1 => F1 = 106,00F2 = 106,00 + 106,00 * 0,06 * 1 => F2 = 112,36 F3 = 112,36 + 112,36 * 0,06 * 1 => F3 = 119,10

F1 = P1 + P1 * iF2 = F1 + F1 * i => F2 = P1 + P1 * i + (P1 + P1 * i) * iF3 = F2 + F2 * i => F3 = F2 + (P1 * i + (P1 + P1 * i) * i)*i

Por lo tanto, el flujo futuro de una cantidad inicialserá:

Fn = P ( 1 + i ) n

FLUJOS DE CAJA

Veamos un ejemplo de flujo de caja.

Usted compra un televisor en $ 150.000. La mantiene durante 3 años con un costo anual de $ 10.000. Luego la vende en $ 50.000.

Tabulemos el flujo de caja.

FECHA INGRESO DESEMBOLSO FLUJO DE CAJA

95 - 150.000 - 150.000 96 - 10.000 - 10.000 97 - 10.000 - 10.000 98 50.000 10.000 40.000

Para representar gráficamente los flujos, debe indicarse claramente la opción de trabajar los flujos al principio o al fin de cada periodo. La representación gráfica más usual es al final de cada período.

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Ej.

95 96 97 98 ^ $ 50.000 │ ^ │ │ │ INGRESOS ┌─────────┬─────────┬─────────┤ │ │ │ │ │ │ │ │ DESEMBOLSOS │ v v v │ │ $ 10.000 $ 10.000 $ 10.000 │ v v $ 150.000

INVERSION CUOTA UNIFORME VALOR FUTURO

FORMULAS PARA CALCULAR EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

1.) F = P * (1 + i)n

2.) P = F

(1+i)n

3.) P = A * [(1 + i) n - 1] 4.) A = P * [i * (1 + i)

n ]

[i * (1 + i)n] [(1 + i)

n - 1]

5.) F = A * [(1 + i) n - 1] 6.) A = F * [ i ]

[ i ] [(1 + i)n - 1]

Para abreviación escribiremos:

(VALOR DESEADO/VALOR ORIGINAL, INTERES, TIEMPO)

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Ejemplo:

Una mujer deposita 600 dólares hoy, 300 dólares dos años más tarde y 400 dólares de aquí a 5 años. ¿Cuánto tendrá en su cuenta dentro de 10 años, si la tasa de interés es de 10 %?

(La exclusión significa interés compuesto)

600 * 2,5937 + 300 * 2,1436 + 400 * 1,6105 = 2843,52

600 * (F/P,10%,10) + 300 * (F/P,10%,8) + 400 * (F/P,10%,5) = F

Existen tablas señalando los valores para cada factor.

INDICADORES PARA DECIDIR ALTERNATIVAS DE PROYECTOS

Cuando existe un sólo proyecto, debemos decidir su realización. Para ello utilizamos indicadores obtenidos por los flujos de caja con proyecto y flujo de caja sin proyecto, es decir, en la situación actual.

Para decidir entre varias alternativas de proyectos, bajo restricciones de capital, estos deben listarse en forma jerarquizada (ranking). Cuando el capital disponible alcanza para más de un proyecto, debemos agruparlos, formando conjunto de alternativas, para luego compararlos entre ellos.

INDICADORES

1.- PERIODO DE RECUPERACION

Es el período de pago o de retorno del capital invertido. Dicho de otra forma, es el lapso requerido para que las corrientes de ingresos igualen a los flujos de salidas por inversión.

Si = período de recuperación

Yt = t=0

donde:

Yt = flujo netos de caja para los momentos t = 0,1,2,...,

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CRITERIO DE USO

Se aceptan los proyectos con período de recuperación menor al definido por el inversionista.

si < Z => el proyecto se realiza; Z es definido por el inversionista

si > Z => el proyecto no se realiza

CRITICA

1.- No permite discriminar proyectos con ingresos más allá del período de recuperación.

2.- No permite discriminar el momento en el cual se reciben los ingresos.

3.- No considera el valor del dinero en el tiempo.

Se mantiene en uso porque

1.- Es fácil de usar.

2.- Es fácil de interpretar, ya que 1/ = rentabilidad.

3.- Los flujos más allá de Z son inciertos y se tratan de eliminar.

PERIODO DE RECUPERACION CON VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

Existe un periodo de recuperación modificado que incluye el valor del dinero en el tiempo.

Sea

P = Inversión en el periodo t = 0.R = Valor residual en el período t = N.N = vida del proyecto.i = tasa de interés anual.t = momento o períodos (t = 0,1,2,3,...,N).Y = flujo de caja de cada fin de año.Ft= retorno exigido a la inversión por año.

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Sea :

Y = (P - R) * [i * (1 + i) n ] + Ft

[(1 + i)n -1]

Si

R aproximado a 0Ft aproximado a 0

entonces:

Y = P * [i * (1 + i) n ]

[(1 + i)n -1]

además:

= P/Y

luego se concluye que:

= [(1 + i) n -1] => tasa efectiva de recuperación

[i * (1 + i)n]

Ejemplo:

Un proyecto requiere una inversión de MU$ 10.000 y se estiman flujos anuales de MMU$ 2,5 por 10 años. El costo de capital de la empresa es 15%.

MU$ = miles de dólaresMMU$ = millones de dólares

a) Cuál es el período de recuperación ?

= 10/2,5 => = 4 años.

b) Cuál es la tasa de interés asociado a ?

1/ = 1/4 => tasa interés = 25 %.

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c) Cuál es la tasa efectiva de retorno ?

= [(1 + i) 10 -1] => = 4

[i * (1 + i)10

]

probando con diversos i se tiene que :

i = 21,5 %.

d) Se debe realizar el proyecto ?

i > 15 % => el proyecto se hace !

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VALOR ACTUAL NETO (VAN)

forma fundamental N

VAN = t Yt t=0 (1 +ij) j=0

donde:

ij = tasa de interés anualYt = flujo de caja anualesN = vida del proyectot = momento considerado (0,..,N)

en el caso de:

i1 = i2 = i3 = ........iN

N

VAN = Yt

t=0 (1 +ij)

Cómo se utiliza ?

Si el VAN >= 0 => el proyecto se hace.

Si el VAN < 0 => el proyecto no se realiza.

Usualmente el flujo de caja es tal :

Yo < 0 (inversión en el año 0) casi siempreYt > 0 (t = 1,2,...N) se dá en los

proyectos, pero no siempre.

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Si analizamos la forma de la curva del VAN tenemos que:

La 1a derivada es:

d(VAN) = - Y1 - 2*Y1 - 3*Y1 -.... - N*Y1 < 0

d(1+i) (1+i)2 (1+i)

3 (1+i)

4 (1+i)

N+1

y la 2a derivada es:

d 2 (VAN) = 2*Y1 + 6*Y1 +....+ N*(N+1)*YN > 0

d(1+i)2 (1+i)

3 (1+i)

4 (1+i)

N+2

entonces la forma es:

oo VAN función monótona decreciente -1 i -Yo

lim VAN = - Yo i -> oo

lim VAN = oo i -> -1

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Ejemplo de dos momentos de inversión t Yt (MUS$) 0 - 1,00 perfil de un proyecto 1 + 0,80 petrolífero 2 + 0,80 3 - 0,20 4 + 0,35 5 - 0,10

El VAN se hace 0 par dos valores de i

VAN -0,72 0,38 i

0 < im < 38%

VAN > 0 => SE ACEPTA EL PROYECTO

im > 38% => NO SE ACEPTA EL PROYECTO

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RAZON BENEFICIO COSTO

Existen 2 formas:

1.- Razón de beneficio costo común:

R(B/C) = BENEFICIOS ACTUALIZADOS COSTOS ACTUALIZADOS

N Bt

R(B/C) = (1+i)t

t=0 ───── N Ct

(1+i)t

t=0

Criterio de uso:

R(B/C) > 1 SE ACEPTA EL PROYECTO

R(B/C) < 1 SE RECHAZA EL PROYECTO

2.- Razón beneficio costo neto: IVAN

VAN

N(B/C) = ───────────────

N

Ct

(1+i)t

t=0

Este indicador nos entrega información respecto a la riqueza actual conseguida por cada unidad monetaria de costo.

A este indicador también se le conoce con el nombre de IVAN.Utilizado para comparar tamaños de proyectos.

Criterio de uso:

N(B/C) > 0 SE ACEPTA EL PROYECTO.

N(B/C) > 0 SE RECHAZA EL PROYECTO.

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LA TASA INTERNA DE RETORNO (TIR)

El VAN, R(B/C) se definen a partir de una tasa de interés externa.

N

Yt = 0 => i* = TIR

t=0 (1+i*)t

Criterio de uso:

i* > i => aceptamos el proyecto.

i* < i => no aceptamos el proyecto

El calculo de i* se realiza a través de iteraciones sucesivas.

Yo + Y1 + Y2 +......+ YN = 0

(1+i*) (1+i*)2 (1+i*)

N

Este forma pertenece a un polinomio que genera N soluciones

i* = reales

i* = imaginarias

Ejemplo:

Sea A un proyecto con el siguiente flujo de caja

Momento │ M$ ──────────┼─────────

0 │ -101 │ + 22 │ + 4 ==> i* = 28,35%3 │ + 74 │ + 55 │ + 3

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Cuál es el significado de i*?

No sólo es la tasa de interés que hace 0 los flujos, también es la tasa que hace recuperar de manera exacta todas las inversiones y costos involucrados en la vida del proyecto.

Volviendo al polinomio y usando un ejemplo de reemplazo de una bomba de extracción de petróleo, tenemos:

Período Flujo de Caja Flujo de caja Flujo incrementalen la bomba en la bombaactual nueva

0 0 - 1.600 - 1.6001 + 10.000 + 20.000 + 10.0002 + 10.000 0 - 10.000

2 soluciones

TIR = 25%TIR = 400%

Cuál es la verdadera?

i está dentro o afuera de ambos?

Para la respuesta , se debe hacer un análisis gráfico.

VAN posibilidad 1

│ │ │

i

25 400 posibilidad 2 Costo de

Capital 10%

Cuando existe más de una solución debemos graficar para confirmar el verdadero valor.

.

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MULTIPLE PROYECTOS Y RESTRICCIONES PRESUPUESTARIAS

a)- PROYECTOS ECONOMICAMENTE INDEPENDIENTES

Si al existir un conjunto de proyectos, la aceptación o rechazo de uno, no altera de manera cuantificable los flujos de caja de los restantes, por lo tanto no modifican la aceptación o rechazo de ellos.

b)- PROYECTOS DEPENDIENTES

Si la aceptación o rechazo de un proyecto, modifica los flujos de caja de los restantes, alterando la aceptación o rechazo de ellos.

Entre estos están los mutuamente excluyentes, aquí la aceptación de uno significa el rechazo de los demás. En otras palabras, un Proyecto Mutuamente excluyente es un Proyecto Sustituto.

Existen puntos intermedios de dependencia de 2 proyectos, A y B que están relacionados en flujos en forma asimétrica, esto es: A modifica a B pero B no modifica a A.

c)- PROYECTOS COMPLEMENTARIOS

Modificación de los flujos de modo que la aceptación de uno lleva a la aceptación del otro.

PROBLEMAS PRESENTADOS EN LA SELECCION DE PROYECTOS

i)- RACIONAMIENTO DE CAPITAL

Una disposición de dinero inferior al conjunto global del conjunto de proyectos que se poseen, los cuales pueden ser:

Externos -> Si no se dispone de nuevas fuentes de fondos prestados.

Internos -> Si se ha establecido una tasa de corte mínimo.

ii)- INDIVISIBILIDAD DE PROYECTOS

Son proyectos completos o enteros sin posibilidad de realizar una parte de ellos. O se realiza completos o no se realiza.

Estos dos problemas llevan a la selección de Proyectos, que pueden ser:

Selección de proyectos sobre la base de:

- Ranking de proyectos.

- Programación matemática.

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Veamos en un ejemplo Ranking de proyectos.

Sean 5 proyectos:

PROYECTOS INVERSIONES FLUJO ANUAL VIDA DEL PROYECTO

A -12.000 4.281 5B -17.000 5.802 10C - 5.000 1.866 15D -14.000 2.745 20E - 9.000 5.544 20

CALCULANDO:

PROYECTO TIR % NIVEL VAN NIVELB/C NIVEL

A 23 4 2.050 5 1.195 5B 32 2 12.120 2 1.713 3C 37 1 5.910 3 2.182 1D 19 5 3.181 4 1.227 4E 29 3 15.700 1 1.826 2

CUANDO LOS PROYECTOS SON PUROS NO TIENEN PROBLEMAS CON AL TIR.

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Las diferencias surgen de los supuestos de reinversión.

a)- La TIR supone que la reinversión se hace a una tasa tal que los proyectos que se reinvierten también tienen tasa TIR*.

b)- VAN supone la reinversión de los flujos a la tasa de costo de capital a la tasa de descuento.

- Si los proyectos son repetitivos implica que se pueden reinvertir en proyectos cuyo TIR es la misma original.

- Si no son repetitivos los proyectos se reinvertirán en proyectos cuya tasa de rentabilidad es, a lo menos, la de descuento.

La selección de proyectos a través de programación matemática se resuelve mediante la formulación de un modelo y mediante técnicas de resolución de problemas de programación lineal se obtiene un resultado óptimo.

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