1

Aristotelesen Analitikoak eta Euklidesen Elementuak: Froga eta Ezagutza

Zientifikoa1

Agustin Arrieta Urtizberea (www.ehu.es/aarrieta)

Logika eta Zientziaren Filosofia saila (www.ehu.es/logika)

------------------------------------------------------------------------------------------------

1. Sarrera

2. Jakintza, zientzia eta froga

3. Argudioak eta silogismoak

4. Froga eta silogismo dialektikoa. Zientzia eta dialektika

5. Jakintza zientifikoaren alderdi logikoa eta epistemologikoa

6. Analitikoak eta Elementuak

Bibliografia

----------------------------------------------------------------------------------------

1. SARRERA

Aristotelesen Analitikoak eta Euklidesen Elementuak elkarrekin aipatzen

direnean ohikoa da honakoa pentsatzea:

(1) Batetik, Aristotelesek Analitikoaken ezagutza zientifikoari buruzko

proposamena egiten du, alegia, ezagutza zientifikoaren ezaugarri orokorrak zehazten

ditu. Zer da zientifikoki jakitea? Zer da teoria zientifiko bat? Zein da teoria zientifiko

1 Testu hau www.ehu.es/euklides web gunean eskura daiteke. Testu honetan oinarritu da Euklides-en

‘Elementuak’ euskaratzearen inguruko jardunaldian emandako hitzaldia. Eskerrak eman nahi dizkiet

jardunaldiaren antolatzaileei -batez ere, Yosu Yurramendiri- eta ‘Elementuak’ itzuli duen Patxi Angulori.

Lan hau 1/UPV 00003.230-H-15890/2004 EHU-ko ikerkuntza proiektuaren babesean egin da.

3. eta 4. atalak ‘Aristoteles: logika’ izeneko nire idazkitik aterata daude (testu hori www.ehu.es/aarrieta

web orrian, irakaskuntza ataletik eskuratzea badago)

2

baten egitura? Horiek dira, besteak beste, Aristotelesek jorratzen dituen galderak aipatu

testuan.

(2) Bestetik, Euklidesek Elementuaken Aristotelesen proiektu edo proposamen

orokorra esparru zehatz batean gauzatzen du, geometriaren esparruan, hain zuzen ere.

Bi klausula horiek jasotzen dute ‘ikuspegi estandarra’ deituko duguna. Ikuspegi

estandar hori nagusia izan bada ere, azkeneko urteetan zalantzan jarri da. Testuinguru

edo eztabaida horretan kokatu nahiko nuke lan hau. Halere, lan honetan urrats bat baino

ez dut emango. Saiatuko naiz azaltzen Aristotelesen Analitikoaken proposatzen diren

ideiak modurik ahalik eta koherenteenean. Horrela, baliabide bat izango dugu ikuspegi

estandarra ebaluatzeko. Jakina, baliabide hori ez da nahikoa izango. Esaterako,

garrantzitsua da aztertzea garai hartako tradizio matematikoak Euklidesengan izan zuen

eragina; izan ere, ikuspegi estandarrean eragin hori gutxietsia izan da gehienetan. Ezin

da ahaztu tradizio horrek berak Aristotelesen ideietan izan zezakeen eragina. Alderdi

horietan guztietan arakatzeak seguru asko ikuspegi zehatzago batera eramango gintuzke,

eta nire susmoa da ikuspegi estandarra ahulduko litzatekeela. Dena dela, eginkizun hori

handiegia da guretzat. Esan bezala, guk harritxo bat baino ez dugu jarriko. Euklidesen

Elementuak euskaratu dela aprobetxatuz, guk geuk ontzat hartu izan dugun ikuspegi

estandarra berbisitatzeko parada ikusi dugu, eta abiapuntu egokiena, filosofiaz

arduratzen garen heinean, Euklidesen Elementuaken itzalpean Aristotelesen

Analitikoaken arakatzea dela pentsatu dugu.2

2 Iruzkinduko ditugun testuak Aristotelesen Organonekoak dira. Organonen biltzen

diren testuak hauek dira: Kategoriak (Kat), Topikoak (Top), Errefutazio Sofistikoak (ES.

Topikoaken eranskina), Interpretazioari Buruz (IB), Aurreneko Analitikoak (AA) eta

Ondorengo Analitikoak (OA). Ez da erraza lan horiek denboran kokatzea. Bi taldetan bana

ditzakegu. Lehenengoan, Kategoriak, Topikoak (Errefutazio Sofistikoak) eta Interpretazioari

Buruz testuak sar ditzakegu, denboran aurrenekoak direnak. Bestean, ordea, helduagoak

direnak, Aurreneko Analitikoak eta Ondorengo Analitikoak, hain zuzen ere.

3

Ikusiko dugun bezala, frogaren kontzeptuaren inguruan ibiliko gara biraka.

Kontzeptu hori dela-eta, bi alderdi bereiziko ditugu. Batetik, alderdi logikoa eta,

bestetik, alderdi epistemologikoa. Lehenengoa batik bat Aurreneko Analitikoaken

agertzen zaigu; bigarrena, ordea, Ondorengo Analitikoaken. Bi alderdi horiek estu

loturik egon arren, bereizketa horretaz baliatuko gara gure diskurtsoa antolatzeko eta

iruteko. Dena den, aldez aurretik, ikus ditzagun zenbait ideia orokor ezagutza

zientifikoaren ingurukoak, beti Aristotelesen filosofiaren testuinguruan.

2. JAKINTZA, ZIENTZIA ETA FROGA

OAn Aristotelesen helburu nagusia da zertan datzan frogazko jakintza edo

jakintza zientifikoa argitzea. Helburu horri begira, eta modu nahasian bada ere, urratsez

urrats egiten du bidea. Jakintza zertan den definituko du lehendabizi. Berak dioenez,

benetako jakintza zertan den definitu nahi du. Antza, badago jakintzatzat hartzen dugun

zerbait, baina azken buruan sasijakintza dena edo, bere hitzetan, jakintza sofistikoa.

Aristotelesek OAn azaltzen du zertan den zerbait jakitea.3 Eman dezagun p dela

proposizio bat:

p dakigu baldin eta bakarrik baldin p-ren zergatia ezagutzen baldin badugu, eta

p ezinbestekoa (edo beharrezkoa) bada

Jakintzaren gaineko ikuspuntu aristotelikoak, beraz, bi kontzeptu ekartzen

dizkigu gogora (alde batera utzita definizioak bere baitan izan ditzakeen arazo

formalak): batetik, zergatiaren kontzeptua eta, bestetik, beharrezkotasunarena. Hasiera

3 Iruzkin hauek OAko 1. liburuko 2. kapituluan oinarritzen dira, OA I 2.

4

batean behintzat, definizio horrek badu izaera harrigarria, ez baitator bat ‘jakintza’

hitzak duen ohiko esanahiarekin edo esanahi intuitiboarekin. Areago, badirudi

intuizioaren edo sen onaren aurka doala. Hipotesi gisa, ezin da baztertu Aristotelesek

jakintzaren esanahi teknikoa definitu nahi izatea. ‘Jakintza’ hitzari (eta hitz horretatik

eratorritako hitzei) egotzi nahi dio esanahi gogor eta nagusi bat, eta gainerako jakintza

motak esanahi nagusi horretara hurbiltzen diren heinean bakarrik har daitezke

jakintzatzat.

Kontuak kontu, zergatiaren eta beharrezkotasunaren kontzeptuak mahai

gainean jartzen ditu Aristotelesek. Zer esan nahi du horrek? Nola interpretatu behar

ditugu bi kontzeptu horiek? Jakina, zergatiaren kontzeptua interpretatzen baldin bada

egun egiten den eran, Aristotelesen proposamena guztiz problematikoa da. Izan ere,

matematikaren kasuan zein da zergatiaren kontzeptuaren zeregina? Horrek esan nahi al

du matematika jakintzaren esparrutik kanpo geratzen dela? Garbi dago Aristotelesen

erantzuna bigarren galderari ezezkoa dela. Zergatiaren kontzeptua zentzu aristotelikoan

ulertu behar da, eta agian ‘azalpen’ hitza egokiagoa da ‘aitia’ hitz grekoaren ordain

gisa.4 Hortaz, p jakitea azken buruan da p-ren azalpena edo esplikazioa edukitzea.

Azalpenik gabeko ezer ezin da jakin. Jakitea azaltzea da. P jakitea “zergatik P?”

galderari erantzutea da.

Bestalde, beharrezkotasunaren kontzeptua aipatu dugu. Hemen ere, kontuz ibili

behar dugu. Beharrezkotasunaz ulertzen baldin badugu, esaterako, beharrezkotasun

logikoa, orduan berriro ere jakitearen esparrua murriztuko dugu. Baina garbi dago

Aristotelesen filosofian ‘beharrezkotasun’ hitza zentzu zabalago batean ulertzen dela:

beharrezkotasun aristotelikoa ez da de dicto, de re baizik. Zentzu zabalago hori

berreskuratua izan da egungo filosofian Kripke filosofoaren eskutik. Kripkek

4 Ik. Barnes (1999), 90.

5

aldarrikatzen du ‘ura H2O da’ edo ‘baleak ugaztunak dira’ bezalako esaldiak

beharrezkoak direla, nahiz eta logikoki beharrezkoak ez izan. Ildo horretatik,

beharrezkotasunaren eta esentziaren kontzeptuak estu loturik agertzen zaizkigu, bai

Aristotelesen filosofian bai, esaterako, Kripkerenean. Kontingentea den-a jakiterik ez

dago Aristotelesentzat. Dakizkigun edo ezagutzen ditugun proposizioen bitartez gauzen

esentziaren inguruko kontuak adierazten dira, beharrezkoak diren kontuak, hain zuzen

ere. Esentziaren eta beharrezkotasunaren inguruan mugitzen da jakintza.

Dena den, gorago esan dugun bezala, Aristotelesek definitzen duen jakintza

mota hori jakintza mota nagusitzat edo gorentzat har dezakegu. Zenbait lekutan ikuspegi

ahulago proposatzen du. Esaterako, beharrezkoa dena, zorizkoa dena eta gehienetan

gertatzen dena bereizten ditu.5 Aristotelesek adierazten du gehienetan gertatzen denaren

jakintza ere eskura dezakegula, eta, jakina, gehienetan gertatzen denak ez du zertan

beharrezkoa izan. Gertakari horrek baiezta dezake, bada, jakintza gorenaren

definizioaren aurrean gaudelako hipotesia. Agian beste modu honetan adieraz dezakegu

ideia bera: ‘jakintza’ hitza zenbait eratan uler daiteke, baina badago bat lehentasuna

duena. Lehentasuna duen zentzu hori da Aristotelesek definitzen duena.

Aristotelesen ustez, egon badago bide bat jakintza eskuratzeko, alegia, gorago

aipatu ditugun baldintzak asebetetzeko. Bide hori, hain zuzen ere, frogatzea da. Areago,

bide horri ‘zientifiko’ deritzo. Ondorioz, ezagutza zientifikoa frogaren bidetik

eskuratzen den ezagutza da. Frogatzea da zientziaren eginkizun nagusia. Baina, zertan

da frogatzea? Hori da hurrengo atalean garatuko dugun kontzeptua.

Aldez aurretik, ohartxo bat. Aristotelesen garairako Grezian bazegoen tradizio

bat –batez ere, tradizio matematikoa- frogaren esparruan. Aristotelesek berak ematen

5 OA I 30, 87b 20-25.

6

dizkigu zenbait adibide hori erakusten dutenak. Bestalde, hizkuntza idatziaren

garrantzia gero eta handiagoa zen Aristotelesen garaian. Aristotelesek berak, Platonen

aldean, hizkuntza idatziaren garrantzia azpimarratzen du. Horrela, ezagutzaren

transmisio egonkorrago bat bermatzen zen, baita idazkiak zuzentzeko eta hobetzeko

ahalmena ere. Gertakari horrek badu bere garrantzia Aristotelesen ekarpena uler

dezagun. Aristotelesek bere garaian egiten ziren dedukzioak eta frogak konstatatzeaz

gain, haien gaineko gogoeta sistematikoak jartzen ditu abian, Platonen irakaspenei

helduz eta haiek garatuz. Testuinguru horretan ulertu behar dira Analitikoak.

Aristotelesen helburua ez da frogak egitea bakarrik, frogaren beraren gaineko teoria

eraikitzea baizik. Aristotelesen helburua ez da zientzia egitea bakarrik (biologian,

adibidez, ekarpenak egin zituen), zientziaren beraren gaineko teoria eraikitzea baizik.

Lehenengo eginkizunaren ildotik, Aristoteles Logikaren sortzailea dugu; bigarrenaren

ildotik, ordea, Zientziaren Teoriaren sortzailea. Ikusiko dugun bezala Frogaren

kontzeptuaren barruan arakatzeko bai Logikan (Aurreneko Analitikoaken) bai

Zientziaren Teorian (Ondorengo Analitikoaken) murgildu beharko dugu.

3. ARGUDIOAK ETA SILOGISMOAK

Aurreneko Analitikoak izeneko testuko lehenengo lerroetan,

Aristotelesek esaten digu zein den bere ikerkuntzaren helburua nagusia.

Helburu nagusia frogaren kontzeptua zehaztea da. Haren hitzetan, frogazko

zientzia aztertzea da helburu nagusia. Baina kontzeptu horretan arakatu

aurretik, silogismo bat zer den zehaztu behar dugula esaten digu. Hortaz, abia

gaitezen bide horretatik.

7

Aristotelesek dioen eran,6 zer edo zer (berria) ikas edo irakats

dezagun aldez aurretik dakigun zerbaitetatik abiatu behar da. Argudioetan

gauza bera gertatzen da. Argudiatzearen funtsa horixe da, zerbaitetatik

abiatzea berria den beste zerbait finkatzeko, hain zuzen ere. Hori gertatzen da

argudiatzen dugun bakoitzean, premisa batzuk ezartzen ditugu ondorio batera

heltzeko asmotan. Azken buruan, argudio bat bi alderdi dituen esaldi-egitura

bat da. Lehenengo alderdian premisak kokatzen ditugu, eta bigarrenean, ordea,

ondorioa den esaldia.7

Aristotelesek zenbait argudio-mota bereiziko ditu.8 Besteak beste,

argudio batzuk silogismoak dira eta beste batzuk indukzioak

(epagogês).9Argudio erretorikoak ere aipatzen ditu. Argudio erretorikoetan

adibideak erabiltzen diren heinean, indukzioaren antzekoak dira; alabaina,

argudio erretorikoek entimemak10

erabiltzen dituztenean, silogismoen

antzekoak bihurtzen dira.

Hortaz, laburpen gisa eta xehetasun batzuk alde batera utziz, esan

dezakegu argudioak edo indukzioak edo silogismoak direla.

6 Ik. OA I 1, 71a 1-6.

7 Hortaz, argudio bat honela irudika dezakegu: P1,P2,...Pn :: O, non Pi horiek premisak baitira eta O

ondorioa.

Argudiatze batek, ordea, hiru alderdi ditu: premisak, ondorioa, eta premisak eta ondorioa lotzen dituen

esaldi-kate bat. Esaldi-kate horrek argi eta garbi erakusten digu nola lortu den ondorioa premisa horietatik

abiatuz. Hau da, kate horrek esaten digu zein izan den premisetatik ondoriorako arrazoibidea.

Bereizketa horietaz, ikus. Boger (1998), 192 eta Boger (2005), 115-117. 8 Ik. OA I 1, 71a 5-12; Top I 12, 105a 10-20. Azkeneko erreferentzia honetan (Topikoaken alegia),

Aristotelesek esaten digu silogismoak eta indukzioak argudio dialektikoen espezieak edo motak direla.

Hortaz, silogismoak argudio dialektikoak dira. Tesi horrek Aristotelesek beste zenbait lekutan

aldarrikatutakoari kontra egiten dio. Geroago ikusiko dugun bezala, erlazioa alderantzizkoa da, hau da,

argudio dialektikoak silogismoak dira.

Ik. indukzioari buruz, OA II 7, 92a 35-40. 9 ‘Silogismo’ hitza ‘sullogizesthai’ aditzetik dator. Aditz horrek adierazten du kalkulu matematikoa.

Ingelesez, ‘silogismo’ hitza erabili beharrean, zenbaitetan ‘dedukzio’ hitza erabili dute. Beraz,

Aristotelesen silogistika (edo teoria logikoa) dedukziozko argudioei buruzkoa da. Indukzioa, hortaz,

silogistikatik at geratzen da. 10

Entimema subjektiboa den zerbaitetan oinarritzen den argudioa da. Erdi Aroan hitz horren

erabilera teknikoa egingo dute. Entimema bat premisa baten bat faltan daukan silogismoa

izango da. Erabilera tekniko hori ez da Aristotelesena.

8

argudioak

silogismoak indukzioak erretorikoak

Baina, zein da silogismoen eta indukzioen arteko bereizgarria?

Indukziozko argudioetan, abiapuntua singularrak diren gauzek

osatzen dute, alegia, esaldi singularrek (‘bele hori beltza da’, ‘bele hura beltza

da’,...). Ondorioa, ordea, unibertsala da (‘bele guztiak beltzak dira’). Hori da

indukzioaren ezaugarririk berezkoena. Horretaz gain, Aristotelesek ezaugarri

bereziak lotzen ditu indukziozko argudioekin: indukzioek konbentzitzeko

gaitasun berezia dute, indukzioak argudio argiak eta ulergarriak dira.11

Silogismoak direla eta, Aristotelesek hauxe esaten digu: silogismoak

argudioak dira, zeinetan, premisak finkatuta, premisetatik desberdina den

ondorioa ezinbestekoa baita.12

Silogismoaren definizio hori kontuan hartuz, hauxe ondoriozta

dezakegu. Indukzioen eta silogismoen arteko aldea edo desberdintasuna

ondorioaren ezinbestekotasunean datza. Indukzioaren kasuan, hainbat bele

beltz ikusi ondoren, bele guztiak beltzak direla finkatzen dugu. Baina, hasiera

batean bederen, litekeena da bele guztiak beltzak ez izatea, nahiz eta premisek

diotena egiazkoa izan. Hortaz, ondorioa ez da ezinbestekoa. Hala ere,

indukzioz, ondorio hori finkatu dugu, eta induktiboki zuzen jokatu dugu.

11

Top I 12. 12

Ik. Top I 1, 100a 25-27 eta AA I 1, 24b 17-23

9

Silogismoaren kasuan hori ezin da gertatu, hau da, silogismo batean ezin da

gertatu premisak egiazkoak eta ondorioa faltsua izatea. Gure terminologian,

‘silogismo’ hitzaren ordaina ‘dedukziozko argudio zuzen’ adierazpena jarri

beharko genuke, eta dedukziozko argudio zuzen baten kasuan ez da posible

premisak egiazkoak eta ondorioa faltsua izatea.

Ikus dezagun zehatzago Aristotelesek dioena silogismoei buruz. Bai

Topikoaken bai Aurreneko Analitikoaken, Aristotelesek silogismo bat zer den

definitzen du. Definizioak oso antzekoak dira, baina badago desberdintasun

bat.

Topikoaken proposatzen den definizioan silogismoen bi ezaugarri

aipatzen dira:

(a) Silogismoa gerta dadin aldez aurretik zerbait finkatu beharra dago,

premisak hain zuzen ere. Aristotelesek plurala erabiltzen du premisei buruz

aritzean. Badirudi Aristotelesek ez duela onartzen premisa bakarreko

silogismorik.

(b) Premisak finkatuta, premisetatik ezberdina den ondorioa

ezinbestekoa da. Beraz, ondorioaren ezberdintasuna eta, lehen esan bezala,

premisak eta ondorioaren arteko erlazio ezinbestekoa aipatzen dira.

Ondorioaren ezberdintasunari dagokionez, antza, Aristotelesek ez du onartzen

silogismorik non ondorioa premisaren baten berdina den. Esaterako, ‘Euria ari

du. Beraz, euria ari du’ ez da silogismo bat Aristotelesen ikuspegian.

Baina Analitikoaken berria den zerbait eransten zaio definizioari:

10

(c) premisei ez zaie ezer erantsi beharrik ondorioa ezinbestekoa izan

dadin

Horiek dira orokorrean silogismoaren ezaugarri nagusiak. Guri (b)

interesatzen zaigu, eta (b)-ren barruan, esan bezala, ezinbestekotasunaren edo

beharrezkotasunaren ideia.

Aristotelesek, silogismoa zer den definitzeaz gain, silogismo mota

desberdinak bereiziko ditu.

Premisen izaera funtsezkoa izango da silogismo motak bereizteko.

Aristotelesek silogismoen artean frogak, silogismo dialektikoak, silogismo

eristikoak (eristikoí)13

eta desbideratuak (paralogismoí) bereiziko ditu.14

silogismoa

froga dialektikoa eristikoa desbideratua

Alde batera utziko ditugu silogismo eristikoak eta desbideratuak.

Hemendik aurrera, gure begirada frogazko silogismo eta silogismo

dialektikoetara lerratuko da.

Ondorio gisa hauxe esan dezakegu: froga guztiak silogismoak dira,

eta gogoratu behar da ‘silogismo’ hitza, egungo terminologian adierazita,

13

Literalki, “eztabaidatzeagatik eztabaidatzeko egindakoak”. 14

Ik. Top I 1, 100a 25-101a 25. Pasarte horretan Aristotelesek silogismoak sailkatzen ditu nahiko modu

osoan eta argian. Aurreneko Analitikoaken ere badago sailkapen bat askoz mugatuagoa eta ilunagoa dena.

Ik. AA I 1 24a 22-24b 15.

11

‘dedukziozko argudio baliozko’ hitzaren sinonimotzat har dezakegula. Hauxe

da Aristotelesen ikuspegiaren oinarrizko ideia frogaren kontzeptua kokatze

aldera.

Esan beharra dago filosofo estoikoen ikuspegian oinarrizko ideia hori

ez dela aldatzen. Estoikoek baliozko argudioen artean egiazko argudioak

bereizi zituzten, eta azken horien artean frogazko argudioak.15

4. FROGA ETA SILOGISMO DIALEKTIKOA. ZIENTZIA

ETA DIALEKTIKA

Frogak argudioak dira. Aristotelesen ikuspegian, frogatzea

argudiatzeko modu bat da. Hortaz, froga batek argudioek dituzten ezaugarriak

asebetetzen ditu (ik. gorago (a), (b) eta (c)). Frogari buruz arestian esandakoa

argudio dialektikoari ere aplika dakioke. Baina, zein da frogaren bere-berezko

ezaugarria? Zein da argudio dialektikoaren bere-berezko ezaugarria?

Topikoaken modu laburrean adierazten dira frogaren eta argudio

dialektikoaren bere-berezko ezaugarriak.16

Frogak premisa egiazkoak (eta

funtsezkoak) dituzten silogismoak dira. Silogismo dialektikoaren kasuan,

aitzitik, premisak onargarriak baino ez dira. Beraz, silogismo mota horiek (hau

da, frogak eta silogismo dialektikoak) premisen izaeraren arabera bereizten

dira. Frogaren bidea (edo zientziarena) egiari lotzen zaio; dialektikarena,

berriz, ez. Hortaz, egiaren eta onargarritasunaren arteko muga zientziaren eta

dialektikaren artekoa da.

15

Ik. Sextus Empiricus II, 134-144. 16

Top I 1, 100a 28-100b 20.

12

Geroago izango dugu aukera frogaren kontzeptuaren barnean

sakonkiago arakatzeko. Oraingoz saia gaitezen azaltzen Aristotelesek frogaren

eta silogismo dialektikoaren arteko bereizketaren bitartez adierazi nahi diguna.

Garbi dago Aristotelesentzat bereizketa horrek beste bereizketa bat ekartzen

duela gogora, zientziaren eta dialektikaren arteko bereizketa, hain zuzen ere.

Froga silogismo zientifikoa (epistemonikos) da. Frogak dira jarduera

zientifikoan gauzatzen diren silogismoak. Beraz, P frogatzea hauxe da:

ezaugarri berezi batzuk dituen silogismo bat eraikitzea, non P silogismo

horren ondorioa den.

Silogismo dialektikoak, hau da, premisa onargarriak dituzten

silogismoak dialektikaren barruan gauzatzen dira. Baina zer da dialektika? Ez

da erraza galdera horri erantzutea.

Ikus dezagun Aristotelesek une desberdinetan dialektikari buruz

esaten duena:

(i) Zientzia bakoitza esparru edo genero batez arduratzen da.

Esaterako, biologia bizidunaz, zoologia animaliaz, antropologia gizakiaz.

Zientziak, beraz, mugatuak dira. Dialektikaren kasuan egoera bestelakoa da.

Dialektikaren ardura ez da genero edo esparru zehatz bat. Ezaugarri hori dela-

eta, Aristotelesek parekatzen ditu dialektika eta erretorika, baita dialektika eta

filosofia bera ere.17

Geroago ikusi dugun arrazoiengatik, dialektika ez da

zientzia bat, zorrotz mintzatuz gero.18

Badakigu zer ez den dialektika,

badakigu zertaz ez den arduratzen, baina, zer da? Zertaz arduratzen da?

Zientzia guztiek printzipio batzuk onartzen dituzte eta dialektika printzipio

horietaz arduratzen da. Beraz, dialektika, zientzia izan gabe, zientzia guztiekin

17

‘Izan ere, Sofistika eta Dialektika Filosofia mugitzen den genero beraren inguruan mugitzen dira.’

Metafisika G, 2, 1004b 22-25. 18

OA I 11, 77a 25-35. ES 172a 12.

13

erlazionatzen da. Baina dialektikaren helburua ezin da izan printzipio komun

horien froga, dialektikan, Aristotelesen ikuspegian, ez baita frogatzen.

Geroago ikusiko dugun bezala, printzipio horiek ezin dira frogatu, edozein

gauza frogatzeko ezinbestekoak diren arren. Hau da, printzipio horien gaineko

ezagutza ez da frogazkoa, ez da zientifikoa, nahiz eta printzipio horiek

ezinbestekoak izan frogazko ezagutza lor dezagun.

(ii) Frogazko proposizioa (protasis) eta proposizio dialektikoa

ezberdinak dira. Frogatzen duenak kontraesanaren alde bat onartzen du

egiarekin konpromisoa duelako. Aldiz, dialektikak kontraesanaren bi alde

jartzen ditu mahai gainean, galdera gisa, ebaluatzeko asmotan. Abiapuntuaren

izaeran ezberdintzen dira silogismo dialektikoa eta froga, biak silogismoak

badira ere.19

Badirudi Aristotelesek Sokratesen eta Platonen jarrerak ekartzen

dizkigula gogora hemen. Dialektikan, elkarrizketan, batek galdetu eta besteak

erantzuten du. Hasieran tesia jartzen da mahai gainean eta ikusten da ea bat

datorren, hau da, ea koherentea den beste tesiekin. Ondoren, kontrako tesia

planteatzen da, eta ariketa dialektiko bera egiten da. Antza denez, horrelako

ariketa eginez, dialektikoak zientzialariari bere jakintzaren muga erakuts

diezaioke. Galde-erantzute horretan ez da lortzen jakintza zientifikorik, ez

baita frogatzen, baina dialektikak bere eginkizun kritikoa burutzen du,

eginkizun sokratikoa. Aristotelesek nahiz Platonek, jakintza zientifikoaz

aparte, beste jakintza mota bat planteatzen dute, jakintza dialektikoa, hain

zuzen ere.

(iii) Esan dugun bezala, silogismo dialektikoaren premisak

plausibleak edo onargarriak dira. Aristotelesek zeozer plausiblea edo

19

AA. I 1, 24a20-30.

14

onargarria dela esaten digu gehiengoarentzat edo jakitunentzat (denentzat ez

bada, ospetsuenentzat bederen) horrela baldin bada. Irizpide pragmatikoetara

jo behar du silogismo dialektikoaren premisen ezaugarria deskribatzeko.

Behin baino gehiagotan halako ezaugarriak egokitu dizkio Aristotelesek

erretorikari. Zientziaren premisak, ordea, egiazkoak dira, eta egia,

Aristotelesen ikuspegian, errealitate baten mendean dago. Proposizio baten

egiari dagokionez, nolabait esanda, errealitateak agintzen du.

Onargarritasunaren kasuan, ordea, egoera bestelakoa da. Onargarria dena

faltsua izan daiteke. Hortaz, dialektika beste maila batean murgiltzen da.

Alabaina, nola da posible dialektika zientziaren printzipioez arduratzea, alegia,

egiazkoak diren printzipioez arduratzea?

5. JAKINTZA ZIENTIFIKOAREN ALDERDI LOGIKOA ETA

EPISTEMOLOGIKOA

2. atalean jakintza zientifikoaren ezaugarri epistemologikoak aipatu

ditut. Jakintza zientifikoa azaltzailea da, eta zientziaren bitartez dakiguna

beharrezkoa da. Frogak ematen digu bidea ezaugarri epistemologiko horiek

asebetetzeko. 3. eta 4. ataletan frogaren kontzeptua kokatu dugu Aristotelesen

ikuspegi logiko orokorrean: frogak (berariazko ezaugarriak dituzten)

dedukziozko argudio baliozkoak dira. Nola lotzen dira ezagutza zientifikoaren

bi alderdi horiek?

Eman dezagun P dela esplikatu edo azaldu nahi dugun proposizio

beharrezkoa (eta, beraz, egiazkoa). Horretarako, P frogatu behar dugu, hau da,

dedukziozko argudio bat eraiki behar dugu non P ondorioa den. Beraz, ustez

15

frogatu dugun P egiazko ondorio hori premisa batzuetan oinarritzen da. Froga

eta azalpena gauza daitezen, premisak ere azaldu eta frogatu behar dira.

Premisek azaltzeko gaitasuna behar dute, eta horregatik egiazkoak eta

beharrezkoak dira. Horrela, prozesu bat abian jartzen da. Prozesu horren forma

soilik kontuan hartuz, honakoa galde dezakegu: nola amaitzen da prozesu

hori? Suposa dezagun P frogatu nahi dugula, eta horretarako P1 eta P2

premisak erabiltzen ditugula. Bi aukera baino ez daude.

(i) P1 eta P2 P-tik desberdina dira. Hortaz, orain galde dezakegu, zein

da, esaterako, P1-en froga? Orain P3 eta P4 premisak dauzkagu esku artean.

Eman dezagun, premisa horiek ere P1-etik desberdinak direla. Gertakari hori

P3, P4, P5, eta abarrekin errepikatzen bada, prozesuak ez du etenik izango. P-

ren frogak ez du amaierarik izango.

(ii) P1 (edo P2 edo P3 edo…) P-ren berdina da. Orduan, P-ren

ustezko froga zirkularra da.

Aristotelesek ez ditu onartzen ez (i) ez (ii). Aristotelesen irtenbidea

(i)-en ildotik doa, baina prozesuari amaiera ezarriko dio. Izan ere, une batean

frogatu ezin diren proposizioetara edo premisetara iritsiko gara, hau da,

frogatzearen mugan izango gara: frogaren printzipioetara iritsi gara.20

Froga

guztiak frogaezinetan oinarritzen dira. Frogaezinak ere jakintzaren objektuak

dira, baina kasu horretan froga ez da bidea: dena ezin da frogatu.21

Hortaz,

aipatu ditugun arrazoi logikoek (hau da, etenik gabeko prozesuari edo azalpen

zirkularrari aurre egiteak) behartzen dute Aristoteles sistema axiomatikoaren

kontzeptuaren aitzindaria izan daitekeena mahai gainean jartzera, hau da,

20

OA I 3. 21

OA II 19. Kapitulu ospetsu horretan Aristoteles printzipioen gaineko ezagutzaz edo jakintzaz

arduratzen da.

16

printzipioetan oinarritutako frogazko sistemaren kontzeptua proposatzera:

sistema axiomatikoaren kontzeptua frogaren kontzeptutik eratortzen da, hain

zuzen ere, frogaren kontzeptuaren egitura formaletik eratortzen da.

Hala, justifikazioari dagokionez, eta egungo terminologia erabiliz,

Aristoteles fundazionalista da: edozein uste zientifiko justifikatzeko bere froga

aurkeztea nahikoa da. Baina uste zientifikoen artean, batzuk bereziak dira,

bestelako justifikazioa dutelako. Kontua da uste berezi horietan oinarritzen

dela gainerako uste zientifikoen justifikazioa. Horregatik, Aristoteles

fundazionalista da: printzipioek eraikin zientifikoaren funtsa osatzen dute.

Esan bezala, printzipio horiek egiazkoak behar dute, eta

beharrezkoak, eta frogaezinak. Baina, orduan, nola ezagutzen ditugu? Nola

justifikatzen ditugu? Zerk egiten du printzipioa printzipio? Zeintzuk dira haien

ezaugarriak?

Galdera horiek guztiak zailak dira, eta haiei erantzuteak gure gaitik

urrunduko gintuzke. Halere, eta hasteko, kontsidera dezagun azkeneko

galdera: zeintzuk dira printzipioen ezaugarriak?

Aristotelesek 6 ezaugarri bereizten ditu: egiazkoak, jatorrizkoak,

bitartekorik gabekoak, azaltzaileak, lehentasuna dutenak eta ezagunagoak

dira.22

Luís Vegak bi taldetan banatzen ditu sei ezaugarri horiek.23

Batetik,

ezaugarri absolutuak (egiazkoak, jatorrizkoak eta bitartekorik gabekoa) eta,

bestetik, ezaugarri erlatiboak (azaltzaileak, lehentasuna dutenak eta

ezagunagoak).

22

OA I 2. Interpretazio asko eta asko proposatu dira ezaugarri horien inguruan. Ik. Aristotle (1999), 94-

96 eta Vega (1990), 136-137. 23

Vega (1990), 136.

17

(1) Printzipioak egiazkoak dira. Proposizio bat frogatzea da haren

azalpena ezagutzea. Azalpena ezagutzen dugu proposizio horren frogaren

premisak ezagutzen ditugunean. Muturrera eramanez gero, proposizio bat

frogatzeak eskatzen du, baldintza beharrezko gisa, printzipioak ezagutzea, eta

ezagutzen duguna beharrezkoa denez, egiazkoa ere bai.

(2) Printzipioak jatorrizkoak eta bitartekorik gabekoak dira. Badirudi

Aristotelesek sinonimoak balira bezala erabiltzen dituela hiru hitz:

‘jatorrizko’, ‘bitartekorik gabeko’ eta ‘frogaezin’. Azken buruan, frogaren

prozesuaren gailurrean dauden proposizioak printzipioak dira, eta, horregatik,

ezin dira frogatu. Bestalde, p frogagarria denean, aurki daitezke q eta r

premisak, eta bi proposizio horietan, silogistikaren arabera, bitarteko termino

bat agertzen da p-n agertzen ez dena. Frogaezinak, aitzitik, ez dute onartzen

bitarteko termino hori, alegia, jatorrizkoak eta bitartekorik gabekoak dira.

(3) Printzipioak proposizio azaltzaileak dira. P frogatzen dugunean,

P1 eta P2 premisak dituen dedukziozko argudio baliozko bat eraiki behar

dugu. Gorago ikusi bezala, premisa horiek P azaldu behar dute. Hortaz, froga

erabat gauzatzen denean, hau da, printzipioetara iritsi garenean, printzipioek P

proposizioa azaltzen dute.

(4) Printzipioak ondorioak baino ezagunagoak dira eta ondorioekiko

lehentasuna dute. Hemen ere, Aristotelesek bi ezaugarri aipatzen ditu, baina

gero zenbait tokitan ezaugarri bera balira bezala mintzatzen da. Ideia nagusia

hauxe da: ezagutzaren edo jakintzaren esparruan ez dago ondorio bat jakiterik

(edo ezagutzerik) printzipioak jakin (edo ezagutu) gabe; aitzitik, printzipioak

ezagut daitezke ondorioak ezagutu gabe. Ondorioaren eta printzipioaren arteko

asimetria bat badago, eta asimetria hori ez da konbentzionala. Egun, logikaren

18

barruan esaterako, guztiz baliokideak diren sistema axiomatiko desberdinak

proposa ditzakezu. Horrenbestez, sistema batean ondorioa dena beste batean

axioma izan daiteke (edo alderantziz). Kontua da azkenean bi sistema horiek

teoremen multzo bera ematen dutela. Zentzu horretan, baliokidetzat har

ditzakegu sistema horiek, eta sistema baten barruan axiomen eta teoremen

(hau da, axiomak ez diren teoremen) arteko asimetria egon arren, berori

konbentzionala da baliokidetasunaren kariaz. Aristotelesen kasuan egoera

bestelakoa da. Printzipioen eta teoremen arteko asimetria ez da

konbentzionala, naturala baizik. Frogazko eraikinaren antolamendua natura-

ordenamenduari dagokio, eta hor ez dago alternatibentzako paradarik.24

Horiek dira printzipioen ezaugarri orokorrak.

Aristotelesek printzipioen arteko bereizketak egiten ditu.25

Aristotelesen diskurtsoa katramilatsua bihurtzen zaigu.26

Oro har,

Aristotelesek printzipioen artean axiomak eta tesiak bereizten ditu. Tesien

artean definizioak eta hipotesiak bereizten ditu.

(1) Axiomak

Barnesen arabera,27

axioma/tesi dikotomia bat dator Aristotelesek

egiten duen beste bereizketa batekin, hain zuzen ere, printzipio komunen eta

berezko printzipioen arteko bereizketarekin.28

Printzipio komunak zientzia bat

baino gehiagotan erabil daitezke. Adibide gisa, Aristotelesek hauxe

24

Irwin (1988), 122-124. 25

Printzipioen sailkapena dela-eta, erreferentzia nagusiak hauek dira: OA I 2, 72a14-22 eta OA I 10. 26

Ik. Aristotle (1999)-an, Barnesek egiten dituen iruzkinak (143. or.). Hemen interpretazio-zailtasun

horiek saihesten edo minimizatzen saiatuko gara. 27

Aristotle (1999), 99. 28

OA 10, 76a37-76b.

19

proposatzen du: gauza berdinei zati berdinak kenduz gero, gelditzen diren

zatiak ere berdinak dira.29

Eztabaidagarria da ‘komun’ hitzaren irismena edo

helmena zenbaterainokoa den. Metafisikan, IV. liburuan, ez-kontraesanaren

printzipioaz aritzen denean, badirudi printzipio horren helmena ezin zabalagoa

dela, alegia, ez da bakarrik zientzia bat baino gehiagoren printzipio bat,

edozein diskurtso razionalen printzipioa baizik.

Kontuak kontu, Aristotelesek kokapen berezia eskaintzen die

axiomei. Axiomak frogazko zientziaren printzipioak dira, printzipio komunak,

eta, antza, filosofoari dagokio haietaz arduratzea, printzipio horiek zientzia

espezifikoen mugak gainditzen dituztelako. Aristotelesek zenbaitetan

‘dedukziozko argudio baliozkoen (edo silogismoen) printzipioak’ deitzen die,

baita ‘izaki guztien oinarrizko printzipioak’ ere.30

Ondorengo Analitikoaken,

axiomei edo printzipio komunei buruz ari denean, Aristotelesek, filosofoa

aipatu beharrean, dialektikoa aipatzen du. Printzipio komunen haritik, filosofia

eta dialektika lotzen dira.

(2) Tesiak: hipotesiak eta definizioak

Esan bezala, tesiak zientzia partikular baten printzipioak dira.

Alabaina, Aristotelesek bereizketa korapilatsu bat egingo du tesien artean:

batzuk hipotesiak (edo suposizioak) dira, bestetzuk, ordea, definizioak. Zein

da bereizketa horren funtsa? Badago interpretazio estandar bat: hipotesi batek

esaten digu zerbait gertatzen dela, edo zerbait badela. Hortaz, hipotesiak

proposizioak dira, zerbait gertatzen dela edo zerbait badela dioten

29

OA I 10, 76a42-44. 30

Metafísika IV, 1005b5-11. Testu horren gaineko iruzkin interesgarriak Boger (2005), 110-111.

20

proposizioak, hain zuzen ere. Definizioak, ordea, zer den zerbait adierazten

du. Interpretatzaile batzuen arabera, definizioak ez dira frogetan ager

daitezkeen proposizioak, ez baitira ez esaldi unibertsalak ez partikularrak.31

Interpretazio horrek badu arazo latz bat, definizioak printzipioak baitira

Aristotelesen ikuspegian, eta printzipio guztiek badute zeregina frogetan.

Beste interpretatzaile batzuen arabera, definizioak proposizio unibertsalak

dira; hortaz, ez dago arazorik frogetan erabiltzeko.32

Agian Aristotelesek bi

zentzutan erabiltzen du ‘definizio’ hitza. Dena dela, ez da hori guk argi

dezakegun kontua. Azken buruan, definizio batek esaten digu, esaterako, zer

den unitatea; hipotesiak, ordea, unitatea existitzen dela esaten digu.33

Ondorengo Analitikoaken, II. liburuaren hasieran, Aristotelesek

adierazten digu lau ikerkuntza mota dagoela:

(i) P gertatzen den edo ez ikertzen dugu

(ii) P gertakariaren zergatia edo kausa ikertzen dugu

(iii) S (subjektu bat) baden ikertzen dugu

(iv) zer den S ikertzen dugu

Era desberdinetan interpretatu ohi da Analitikoaken hasiera hori.

Hipotesien eta definizioen arteko bereizketari helduz, honakoa esatera

ausartuko nintzateke. Ikerkuntza zientifikoaren abiapuntua da gertakari bat,

azaldu nahi den gertakaria. Hortaz, lehenengo urratsa da, nolabait esanda,

gertakari hori mahai gainean jartzea, eta hori ere ikerkuntza mota bat da ((i)

ikerkuntza mota). Bigarren eginkizuna gertakari hori azaltzea da, hau da,

gertakaria frogatzea haren zergatia emanez ((ii) ikerkuntza mota). Baina

31

OA I 10, 77a3-4 testua da interpretatzaile horien oinarria. 32

OA II 3, 90b3-4. Aristotelesek definizioak proposizio unibertsalak direla esaten digu. 33

OA I 2, 72a20-25.

21

frogaren prozesuan zenbait gauzatara jo beharko dugu ikerkuntza-esparruaren

barruan. Definizioek esaten digute zer diren gauza horiek ((iv) ikerkuntza

mota) eta hipotesiek gauza horiek diren edo ez diren ((iii) ikerkuntza mota).

6. ANALITIKOAK eta ELEMENTUAK

Aristotelesen ideiak jorratu ondoren, zer esan dezakegu Analitikoaken

eta Elementuaken arteko erlazioari buruz?

(1) Aristotelesek proiektu metazientifiko bat jarri zuen mahai

gainean. Proiektu metazientifiko horretan frogaren kontzeptua erdigunean

dago. Frogatzeak berak antolaketa axiomatiko bat eskatzen du Aristotelesen

ikuspegian. Kontuan izanik Aristotelesek sarri askotan ematen dizkigun

adibideak, ez da harrigarria pentsatzea proiektu metazientifiko horren azpian

matematika bera egotea eredu gisa. Aristotelesen garairako matematikaren

esparruan bazegoen tradizio nabarmen bat frogetan. Matematika zen frogaren

eta elementuen erresumarik nabarmenena.34

Dena dela, badirudi Aristotelesen

ekarpena izan dela frogaren kontzeptua sistematizatzea eta zabaltzea.

Kontzeptu horren aplikazio eremua, teorikoki bederen, matematikaren

esparrutik harantzago zabaldu zuen. Eginkizun horretan, frogaren kontzeptuak

bereganatuko ditu zenbait ezaugarri epistemologiko tradizio matematikotik

kanpo daudenak eta erabat aristotelikoak direnak. Beharrezkotasunaren eta

azalpenaren kontzeptuak besterik ez ditugu gogora ekarri behar.

34

Elementuak (stoikheîa) frogazko eraikinean funtsezko zeregina duten proposizioak dira, edo

beste proposizio bat frogatzeko erabiltzen ditugulako edo, zentzu orokorrago batean, eraikin osoaren

oinarrian daudelako.

22

(2) Frogaren printzipioei dagokienez, ez dago batere garbi

Aristotelesen sailkapenak aurrekariak izan zituen edo ez. Aristotelesen

sailkapena zein den ere eztabaidagarria izan daiteke. Kontuak kontu, printzipio

komun batzuk aipatzen ditu. Gero, zientzia bakoitzak berezko printzipioak

ditu. Printzipio komunak teoria guztiak (edo batzuk) elkartzen dituztenak dira.

Printzipio espezifikoek, ordea, zientzia guztiak elkarrengandik bereizten

dituzte. Printzipio horiek teoria zientifikoaren abiapuntuan daude, eta teoriaren

muga zehazten dute. Antza, zientzialariek printzipio horiek onartzen dituzte,

frogatu gabe. Printzipio horietan arakatzen dute filosofiak eta dialektikak.

Elementuakeko portikoari erreparatuz gero, zalantzarik gabe,

Euklidesen printzipioen eta Aristotelesenen arteko korrespondentzia bat

ikusten dugu:

Aristoteles Euklides

Axiomak nozio komunak

Hipotesiak postulatuak

Definizioak definizioak

Ordurako matematikaren historian elementuetan tradizio bat izan

arren, badirudi Euklidesen portikoa, hau da, printzipioen banaketa orijinala

dela tradizio horren barruan, eta ez da hipotesi arriskutsua Aristotelesen eta

aristotelikoen testuetan kokatzea Euklidesen portikoaren jatorria.

23

Dena dela, korrespondentzia hori tituluetatik eta printzipioen

banaketatik harantzago eraman nahi dugunean, edo sakonagoa egin nahi

dugunean, arazoak hasten dira.

Oro har, ideia bat badago bietan errespetatzen dena: postulatuak (eta

definizioak) geometriari buruzkoak dira; nozio komunak, ordea, orokorragoak

dira (Vegak adierazten du 4. nozio komuna ez dela orokorra erabileran).35

Alabaina, eta ezaugarri orokor horretaz aparte, Elementuaken barruan

postulatu bat postulatu eta nozio komun bat nozio komun izateko irizpidea

zein den ez dago hain garbi. Ez dago garbi zein den haien forma gramatikala

edo logikoa. Esaterako, postulatu batzuek teorema itxura edo forma dute (4.a,

kasu). Beste batzuek, ordea, problema itxura dute (1.a, kasu).

Teorema/problema bereizketa, nik ezagutzen dudan heinean, ez da agertzen

Aristotelesenean, eta Elementuaken, zalantzarik gabe, garrantzitsua da.

Gertakari horren harira tradizio matematikoak zeresana dauka. Garbi dagoena

hauxe da: Euklidesen geometriako ‘axiomen’ forma (logikoa edo gramatikala)

ez dator bat Aristotelesek bere silogistikan (eta ondorioz, frogari buruzko bere

teorian) proposatutakoarekin.

Arazoak arazo, badirudi Aristotelesen paradigma metazientifikoak

bazuela garrantzi aipagarria Euklidesen garaian, eta Euklidesek geometria

paradigma horretara egokitzen du nola edo hala, baina portikoari dagokionez

nagusiki, azalari dagokionez nagusiki.

Esaterako, badago alderdi sintomatiko bat nabarmen bereizten

dituena Aristotelesen paradigma eta Euklidesen ustezko gauzapena: alderdi

logikoa. Aristotelesek, logikari handia izan arren, logikaren eta frogaren

35

Vega (1991), 115.

24

ikuspegi silogistiko mugatua zuen, hau da, S P da proposizioa frogatzeko, beti

aurkitu behar dira ezaugarri epistemologikoak errespetatzen dituzten bi

premisa eta bitarteko terminoa. Hori da frogaren estrategia orokorra

Aristotelesen ikuspegian. Haatik, Euklidesen geometrian erabiltzen diren

frogatzeko estrategiak ezin dira errepresentatu ikuspegi silogistikoan, tradizio

aristotelikoan saiatu ziren arren. Desbiderapen horrek badu hasiera batean

dirudiena baino garrantzi handiagoa, Aristotelesen ikuspegia eta ideiak

zenbaitetan ikuspuntu silogistiko horren inguruan dabiltzalako. Ildo horretatik

ulertu behar dira frogaren kontzeptuaren ezaugarri epistemologikoak.

Desbiderapen hori gertakari sakonago baten isla baino ez da.

Euklidesen argudiatzeko edo frogatzeko estrategiak tradizio

matematikotik eskuratuak dira. Halaber, Elementuaken egiten diren

bereizketei eta aukerei dagokienez, Aristotelesen ideiek ez zuten gehiegi

lagundu. Hipotesia hauxe da: ziur aski, Aristotelesen ekarpenik gabe, agian

Euklidesen geometria ez zen funtsean gehiegi aldatuko, aipatutako

salbuespenak salbu.

Baina hori, sen onaren ikuspegitik, ez da batere harrigarria.

Euklidesen lan mardul, zehatz eta zientifiko hori ezin da oinarritu Aristotelesen

ideia filosofikoetan, aintzat hartzen baldin badugu Aristotelesen eta

Euklidesen helburuak oso bestelakoak direla. Lan honen sarreran aipatu dugun

ikuspegi estandarraren arabera, filosofiak (teoria filosofiko batek) gehiegizko

eragina du zientziaren (teoria zientifiko baten) baitan. Gehiegizkoa da

aintzakotzat hartzen baldin badugu garai haietan matematikak ibilbide luze bat

egina zeukala. Izan ere, gehiegizkoa da, tradizio sendoko teoria zientifiko

baten baitan teoria filosofiko batek ezin duelako eragin handirik izan. Teoria

25

estandarrak filosofiaren eta zientziaren arteko erlazio mota bat

aurresuposatzen du, eta ziur aski horretan oker dago.

BIBLIOGRAFIA

Aristotle (1989), Prior Analytics. Indianapolis: Hackett Publishing

Company. (R. Smith-en itzulpena eta iruzkinak)

Aristotle (1999), Posterior Analytics. Oxford: Clarendon Press.

(Jonathan Barnes-en itzulpena eta iruzkinak)

Aristoteles, Tratados de Lógica (I, II). Madril: Gredos. (Miguel

Cándel-en itzulpena)

Aristoteles, Metafisika. Bilbo: Klasikoak. (Cristina Lasaren eta Javier

Agirreren itzulpena)

Boger, G. (2005), Aristotle’s Underlying Logic. In Gabbay, Dov M.

and Woods, J. (eds.) Handbook of the History of Logic. Volume 1, 101-246.

Euklides (2005), Elementuak. Usurbil: Elhuyar. (Patxi Anguloren

itzulpena eta iruzkinak)

Irwing, T.H. (1988), Aristotle’s First Principles. Oxford: Clarendon.

Sextus Empiricus, Outlines of Pyrrhonism. In Mates, B. (1996), The

Skeptic Way. Oxford: Oxford University Press. (Benson Mates-en itzulpena

eta iruzkinak)

Vega, L. (1990), La trama de la demostración. Madril: Alianza.

Vega, L. (1991), Introducción, 7-184 ork., in Euclides (1991),

Elementos (libros I-IV). Madril: Gredos.