CEP Santa Mara de la Providencia

QU ES DIVISIBILIDAD?

Es una parte de la TEORIA DE NUMEROS que analiza las condiciones que debe tener un nmero para que sea DIVISIBLE por otro.

CUANDO UN NUMERO ES DIVISIBLE POR OTRO?

Un numero A es divisible entre otro nmero B, cuando A contiene a B exactamente un nmero entero de veces.

Es decir: Si dividimos A entre B, el COCIENTE debe ser:

EXACTO

NUMERO ENTERO

Adems, el RESIDUO debe ser cero.

( Ejemplos: 114 es divisible entre 19

Porque al dividir 114(19 , el cociente resulta ser 6 que es un nmero entero y el RESIDUO resulta ser cero. 27 es divisible entre 3

Porque al dividir 27(3 el cociente resulta ser 9 que es un nmero entero y el residuo resulta ser cero. 87 no es divisible entre 2Porque al dividir 87(2 el cociente es exacto pero NO ES UN NUMERO EXACTO.

Criterios de Divisibilidad

Para saber en forma inmediata si un nmero es divisible entre otro, en algunos casos no es necesario efectuar la divisin correspondiente., porque bastar conocer algunas caractersticas de tal situacin de divisibilidad; a estas caractersticas las conoceremos como CRITERIOS DE DIVISBILIDAD que son los siguientes:

DIVISIBILIDAD POR 2

Un nmero ser divisible por 2 si termina en cero o un nmero par.

Ejemplo: 16 ; 30 ; 46 ; etc.

DIVISIBILIDAD POR 4

Un nmero ser divisible por 4 si termina en dos ceros las dos ltimas cifras es un nmero divisible por 4.

Ejemplo:

120 ............... ( 20 es mltiplo de 4.

498 700 ........ ( termina en dos ceros

34 344 ........... ( 44 es mltiplo de 4

1 208 ............. ( 08 es mltiplo de 4

23 416 ........... (16 es mltiplo de 4

DIVISIBILIDAD POR 8

Un nmero ser divisible por 8 si termina en tres ceros las tres ltimas cifras es un nmero divisible por 8.

Ejemplo:

5008 ............... ( 008 es mltiplo de 8.

498 016 ........ ( 016 es mltiplo de 8

343 080 ........... ( 080 es mltiplo de 8

124 000 ............( termina en 3 ceros

234 024 ............ (024 es mltiplo de 8

DIVISIBILIDAD POR 5

Un nmero ser divisible por 5 si termina en cinco cero.

Ejemplo:

135 , 40 , 635 , 120 , 235

DIVISIBILIDAD POR 25

Un nmero ser divisible por 25 si las dos ltimas cifras son ceros o forman un nmero divisible por 5.

Ejemplo:

8 350 , 400 , 6 355 , 1 225 , 2300

DIVISIBILIDAD POR 3

Un nmero es divisible por 3 , si la SUMA DE SUS CIFRAS da un nmero mltiplo de 3.

Ejemplos:

a) 178 407

(Sumando las cifras: 1+7+8+4+0+7 = 27 que es mltiplo de 3.

Luego 178 407 es divisible por 3.

b) 1101 111

(Sumando las cifras: 1+1+0+1+1+1+1 = 6 que es mltiplo de 3.

DIVISIBILIDAD POR 9

Un nmero es divisible por 9 , si la SUMA DE SUS CIFRAS da un nmero mltiplo de 9.

Ejemplos:

a) 57 231

( Sumando cifras: 5+7+2+3+1 = 18 que es mltiplo de 9.

b) 707 454

( Sumando cifras: 7+0+7+4+5+4=27 que es mltiplo de 9

DIVISIBILIDAD POR 6

Un nmero es divisible por 6, lo es tambin por 2 y por 3 simultneamente.

Ejemplos:a) 1 068

( Es divisible por 2? .....S, porque termina en cifra par.

( Es divisible por 3? ....Veamos: 1+0+6+8 = 15 que es mltiplo de 3.

( Luego el nmero 1 068 es divisible por 6.

b) 53 670

( Es divisible por 2? .....S, porque termina en cero.

( Es divisible por 3? ....Veamos: 5+3+6+7+0 = 21 que es mltiplo de 3.

( Luego el nmero 53 670 es divisible por 6.

DIVISIBILIDAD POR 7

Un nmero ser divisible por 7 si cumple con la siguiente regla:

Multiplicamos cada una de las cifras del nmero dado de derecha a izquierda por los siguientes factores:

1 ; 3 ; 2 ; -1 ; -3 ; -2 ; 1 ; 3 ; 2 ; -1 ; -3 ; -2 ; 1 ; 3 ; 2 ; .... etc

Sumamos los nmeros enteros obtenidos. Si el resultado final es CERO o mltiplo de 7 el nmero dado ser entonces divisible por 7.

Ejemplo: Es 626 934 divisible por 7?

Veamos:

Sumando los enteros obtenidos:

12 6 6 + 18 + 9 + 4 = 7

Luego 626 934 es divisible por 7.

DIVISIBILIDAD POR 11

Un nmero ser divisible por 11 si la suma de sus cifras de orden impar (empezando por la derecha) menos la suma de las cifras de orden par, resulta ser CERO mltiplo de 11.

Ejemplo: Es 9873 226 divisible por 11? Sumamos primero las cifras de orden impar a partir de la cifra de las unidades: 6+2+7+9 = 24 .................... (1)

Sumemos luego las cifras de orden par a partir de la cifra de las decenas: 2+3+8 = 13 .........................(2)

Restemos ahora (1) (2) : 24 13 = 11

Luego 9 873 226 es mltiplo de 11.

PROBLEMAS

01.- Hallar la suma de valores de "a", si el nmero es divisible por 4.

a) 2b) 4c) 6d) 8e) 1002.- Calcular el valor de "m", si el nmero es divisible por 8.

a) 5b) 2c) 4d) 0 e) 603.- Hallar "a" para que el nmero sea mltiplo de 9.

a) 7b) 6c) 5d) 4e) 304.- Calcular la suma de valores de "m", si: es divisible por 3.

a) 7b) 9c) 10d) 5e) 1505.- Hallar "m", si: es divisible por 11.

a) 1b) 9c) 10d) 5e) 1506.- Si: es divisible por 7, hallar la suma de valores de "a".

a) 8b) 9c) 10d) 15e) 1107.- Si: , es mltiplo de 25, hallar la suma de valores que puede tomar "b". a) 9b) 6c) 12d) 10e) 8

08.- Hallar a.b.c ; si: y

a) 135b) 180c) 210d) 240e) 22509.- Hallar a.b, si: es divisible por 72.

a) 6b) 10c) 14d) 15e) 1210.- Hallar a+b, si: es mltiplo de 56.

a) 6b) 10c) 14d) 15e) 1211.- Calcular m2+p2 , si: es divisible por 72.

a) 17b) 26c) 37d) 29e) 4012.- Cuntas cifras 5 como mnimo es necesario agregar a 7327 para que el nuevo nmero formados sea divisible por 9?

a) 3b) 4c) 5d) 6e) 713.- Cuntas cifras como mnimo debe tener el nmero 777...7; para que sea mltiplo de 9?

a) 7b) 4c) 5d) 6e) 914.- Si el nmero esta formado por 87 cifras 4, cul ser su residuo al dividirse entre 7?

a) 3b) 5c) 6d) 1e) 215.- Hallar a.b, si se cumple:

y

a) 3b) 4c) 12d) 6e) 7

PROBLEMAS

01.- Hallar el residuo de dividir: entre 11

a) 4b) 5c) 12d) 6e) 7

02.- Hallar a+b+c, si: es divisible de 1125.

a) 16b) 8c) 10d) 13e) 1403.- Hallar a+b+c, si : es divisible por 875.

a) 13b) 15c) 10d) 12e) 904.- Calcular el residuo de dividir entre 7, si: es mltiplo de 1125.a) 3b) 4c) 5d) 6e) 005.- Hallar el mayor valor de a+b, que cumpla:

=

a) 18b) 15c) 17d) 12e) 1606.- Si "x" representa una cifra, hallar el valor o valores de "x" en cada caso:i) 4x + 2 =

ii) 2x + 1 =

iii) 3x + 7 =

07.- Calcular x, si: 4x + 5x +....+ 9x = 7

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 308.- Hallar "m", si:

=

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 509.- Hallar "x", si se cumple:

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 610.- La suma de un nmero de 4 cifras con el que resulta de invertir el orden de sus cifras es siempre mltiplo de:

a) 2b) 3c) 7d) 9e) 1111.- Cuntos nmeros de 4 cifras son mltiplos de 7 y terminan en 1?

a) 120b) 126c) 128d) 129e) 140 12.- Hallar "a", si:

=

a) 2b) 3e) 4d) 6e) 813.- Hallar (a - b), si:

a) 2b) 3c) 4d) 5e) 614.- En un saln de 50 alumnos, se observa que la stima parte de las mujeres son rubias y la onceava parte de los hombres usan lentes. Cuntos hombres no usan lentes?

a) 22b) 28c) 2d) 20e) 4

15.- Hallar el valor de a, si :

a) 4b) 5c) 6d) 7e) 8

16.- Sea: N = + 3 , hallar el residuo de:

37N = + r

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 0

17.- Cuntos valores toma a para que se cumpla la igualdad: ?

a) 2b) 1c) 3d) 4e) 5

18.- La diferencia entre un nmero de 2 cifras y otro obtenido escribiendo el anterior con las cifras en orden invertido siempre es mltiplo de :

a) 4b) 5c) 6d) 7e) 8

19.- Hallar a , si:

a) 4b) 6d) 8d) 9e) 7

20.- Hallar a+b ; si:

a) 4b) 5c) 6d) 7e) 8

Definicin:

Se llama nmero primo a todo nmero entero positivo mayor que la unidad que es nicamente divisible por la unidad y por si mismo.

NUMEROS PESI

Los nmeros que tan slo tienen la unidad como divisor comn, se dice que son primos entre s. (Obs: sus divisores N)

Ejemplo: 4 y el 15 ; 9 y el 20

Tabla de los nmeros primos

Menores que 100

Hallar los nmeros primos menores que 100.

12345678910

11121314151617181920

21222324252627282930

31323334353637383940

41424344454647484950

51525354555657585960

61626364656667686970

71727374757677787980

81828384858687888990

919293949596979899100

Para construir una tabla de nmeros primos se procede de la siguiente manera:

1. Se escribe todos los nmeros del 1 al nmero deseado, en este caso hasta el nmero 100.

2. A partir del 2 que se deja, se tacha su cuadrado 4 y a partir de 4 se van tachando de dos en dos lugares los siguientes nmeros o mltiplos de 2

3. A partir del 3, que se deja, se tacha su cuadrado 9 y luego se tachan de tres lugares los nmeros siguientes o mltiplos de 3.

4. A partir de 5,7,11 y los siguientes nmeros primos, se procede de la misma manera: se dejan esos nmeros, se tachan sus cuadrados y a partir de stos se tachan los nmeros siguientes de tantos en tantos lugares como unidades tenga el nmero primo que se tache.

5. La operacin termina al llegar a nmero primo cuyo cuadrado queda fuera del lmite o nmero mayor de la tabla.

6. Los nmeros primos son los que quedan sin tachar.

Procedimiento para Conocer si un Nmero es Primo o No:

Regla:

Para conocer si un nmero es primo, se le divide sucesivamente por los nmeros primos: 2,3,5,7,11,13 y los siguientes, hasta que el cociente llegue a ser igual o empiece a ser menor que el divisor, adems el residuo tiene que ser diferente de cero.

Ejemplo 1: El nmero 23 es nmero primo?

Resolucin: El nmero 23 lo dividimos sucesivamente por los nmeros primos: 2,3,5,7,11,.... etc.

As:

En esta divisin se ha conseguido que el cociente sea menor que el divisor y el residuo diferente de cero; por lo tanto 23 es un nmero primo.

Ejemplo 2: El nmero 127 es nmero primo?

Resolucin:

El nmero 127 lo dividimos sucesivamente por los nmeros primos: 2,3,5,7,11,.... etc.

En la ltima divisin se ha conseguido que el divisor y el cociente son iguales y el residuo es diferente de cero, por lo tanto 127 es un nmero primo.

Divisin de un nmero en sus factores primos

Cuando un nmero no es primo, puede descomponerse en una serie de factores primos.

Ejemplo:

408 = 23 x 3 x 17

Ejemplo:

252 = 22 x 32 x 7

Nmero Total de Divisores de un nmero

Para hallar el total de divisores de un nmero, se aumenta en 1 a los exponentes de sus factores primos y se halla el producto de los exponentes as modificado.

Ejemplo:

Hallar el nmero de divisores de 180

Descomponiendo en sus factores primos:

180 = 22 x 32 x 51( (2+1)(2+1)(1+1) = 18 ( 180 tiene 18 divisores

Formula

Si un nmero N se descompone en sus factores primos, quedara representada as:

N = ax.by.cz

donde a;b y c son los factores primos , entonces el nmero de divisores esta dado por la siguiente frmula:

Nmero de divisores = (x+1)(y+1)(z+1)

PROBLEMAS01.- Seale la proposicin verdadera: I. 377 es un nmero primo.II. 281 es un nmero primo. III. 240 tiene 20 divisores.a) Slo IIb) l y llc) I y IId) Slo IIIe) II y III

02.- La cantidad de divisores del nmero 7 920 es:a) 30b) 40c) 54d) 60e) 9003.- Determine el nmero de divisores compuestos que tiene 68000.

a) 48b) 44c) 45d) 36e) 3704.- Si: 10x.21 ; tiene 100 divisores, el valor de "x" es:a) 3b) 4c) 5d) 6e) 705.- Si: 15x.33.29 ; tiene 700 divisores, dara) 4b) 5c) 6d) 7e) 806.- Cuntos divisores impares tiene 720 a) 4b) 6c) 8d) 15e) 3007.- Cul es el nmero de divisores, del nmero de divisores de 4 500?

a) 9b) 12c) 18d) 10e) 608.- El nmero de divisores divisibles entre 20 que tiene 11 880 es:

a) 10b) 12c) 16d) 18e) 20

09.- Cul es el menor nmero de trminos que debe tener la siguiente serie para que su suma tenga 6 divisores?

S = 91 + 91 + 91 + ...........a) 5b) 6c) 7d) 8e) 1310.- Entre los nmeros 180, 756 y 900. Cul es el que tiene tantos divisores como 360?a) 900b) 180c) 756d) Todose) Ninguno11.- Si: 422n tiene 81 divisores. Hallar n. a) 20b) 10c) 15d) 25e) 3012.- Hallar el valor de 2n, sabiendo que: 15n.75 tiene (7n + 30) divisores.a) 10b) 12c) 15d) 25e) 3013.- Calcular la cantidad de divisores de: 142.153.

a) 300b) 144c) 408d) 60e) 12014.- Cuntos divisores compuestos tiene: 102.123.154?

a) 700b) 600c) 500d) 400e) 30015.- Hallar el valor de n, si: 45.60n ; tiene 100 divisores.

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5PROBLEMAS

01.- Hallar el menor nmero mltiplo de 12 que tenga 20 divisores. Dar la suma de sus cifras.a) 6b) 7c) 9d) 18e) 2702.- Hallar el menor nmero mltiplo de cinco que tenga 10 divisores. Dar su mayor cifra.

a) 8b) 6c) 4d) 2e) 503.- Si el nmero: 40.10n ; tiene 24 divisores. Hallar el valor de "n".

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 504.- Cuntos divisores primos tiene: 104.1442 ? a) 1b) 2c) 3d) 4e) 505.- Hallar la suma de los divisores simples del nmero 18440.

a) 468b) 93c) 42d) 17e) 19

06.- Si: 44k+2 . 4k tiene 203 divisores, hallar el valor de k1.

a) 3b) 10c) 1d) 2e) NA

07.- Hallar un nmero N = 12n.15n sabiendo que tiene 75 divisores. Dar como respuesta la suma de las cifras de "N".

a) 18b) 15c) 9d) 27e) 21

08.- Si: N = 15 x 30n tiene 900 divisores, hallar el valor de n.

a) 3b) 4c) 5d) 8e) NA

09.- Hallar el valor de n sabiendo que 15n x 75 tiene (7n+174) divisores.

a) 11b) 12c) 13d) 14e) NA

10.- Si: N = 42.3n tiene tres divisores menos que 900, hallar dicho nmero y dar como respuesta la suma de sus cifras.

a) 27b) 24c) 9d) 8e) NA

11.- Si: M = 12 x 20n tiene 24 divisores ms que 672 280, hallar el valor de n.

a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6

12.- Si: A = 12 x 30n tiene el doble de la cantidad de divisores que B = 12n.30; hallar el valor de n.

a) 3b) 4c) 5d) 6e) NA

13.- En las siguientes alternativas existe un nmero que es primo absoluto, cul es?

a) 39b) 51c) 91d) 103e) 100114.- Al invertirse el nmero 13 sigue siendo como primo. Cul de lo siguientes nmeros primos tienen la misma propiedad?

a) 41b) 23c) 17d) 43e) 29

15.- El producto de dos nmeros es 143. Si la diferencia de ellos es 2, halle el mayor, si se sabe que es primo.

Consideremos los divisores de 30 y 45

( Los divisores de 30 son: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

( Los divisores de 45 son: 1, 3, 5, 9, 15, 45

Cules son los divisores comunes?

Pues claramente se nota que son: 1, 3, 5, 15

Se llaman divisores comunes pues lo dividen exactamente a ambos.

D 30 ( D 45 = { 1, 3 , 5 , 15 }

Ahora al mayor de los divisores se le denomina MAXIMO COMUN DIVISOR

MTODO PARA HALLAR EL M.C.D.

Para hallar el M.C.D. de varios nmeros, puede emplearse el mtodo abreviado que consiste en dividir todos los nmeros por el menor factor primo hasta que los cocientes sean primos entre s. Si el producto de los diversos factores primos empleados ser el M.C.D.

Ejemplo: Hallar el M.C.D. de 60 y 90

( M.C.D. ( 60 ; 90 ) = 30

Por descomposicin simultnea

Hallar el MCD(60;90)

60 = 22 x 3 x 5

90 = 32 x 2 x 5

El MCD est dado por los factores COMUNES elevados a su MENOR exponente.

( MCD(60;90) = 2 x 3 x 5 = 30

Ejemplo 1:

Cul es el mayor nmero de nios entre los cuales hay que repartir 12; 24 y 60 panes simultneamente para que, en cualquier de los casos cada uno reciba una misma cantidad. Cuntos panes toca por nio en cada caso?

Solucin:

Para hallar el mayor nmero de nios se calcula el MCD de 12, 24 y 60

Luego: el mayor nmero de nios entre los cuales hay que repartir 12; 24 y 60 panes simultneamente es : 12.

Cunto le toca a cada nio?

De los 12 panes cada uno recibe 12/ 12 = 1

De los 24 panes cada uno recibe: 24/12 = 2

De los 60 panes cada uno recibe: 60/12 = 5

Respuesta: el mayor nmero de nios es 12 y en cada caso toca por nio 1 ; 2 y 5 panes.

Ejemplo 2:

Manuel camina un nmero exacto de pasos avanzando 700cm; 800cm y 950cm. Cul es la mayor longitud posible de cada paso? Cuntos pasos dio en total?

Solucin:

Para saber cual es la mayor longitud posible de cada paso, hallaremos el M.C.D. de (700, 800 y 950); as:

Luego:

La mayor longitud posible de cada paso de 50 cm

Ahora, llamamos el nmero de pasos:

EJERCICIOS

Hallar el MCD de los siguientes nmeros1. 54; 80 y 64

2. 6 y 3

3. 18 y 6

4. 16; 30; 64 y 72

5. 240 ; 360 y 480

6. 135 y 245

7. 12; 60 y 72

8. 32; 40 y 50

9. 25; 40; 15 y 80

10. 30 y 24

11. 16 y 14

12. 60 y 90

13. 272 y 288

14. 1200 ; 1800 y 2200

15. 294 ; 98 ; 392 y 1176

Problemas

01.- El MCD de 420; 360 y 1260 es:

a) 40b) 60c) 80d) 90e) 30

02.- Hallar la suma de las cifras del MCD de los nmeros 1872; 2520 y 2808

a) 6b) 9c) 12d) 15e) 1803.- Sean los nmeros

A = 218 . 312 . 58; B = 215 . 316 . 510 . 720Si el MCD(A; B) = 2x . 3y . 5zHallar x + y + z

a) 25b) 30c) 35d) 40e) 4504.- Cuntos divisores tiene el MCD (A y B) si:

A = 48 . 32 . 73 y B = 83 . 27 . 49?

a) 60b) 120c) 180d) 90e) 36

05.- Cuntos divisores en comn tiene los nmeros 360; 480 y 540?

a) 8b) 12c) 16d) 18e) 15

06.- Hallar el MCD (720 , 1080 , 2160)

a) 180b) 90c) 120d) 360e) 300

07.- Cuantos valores toma N, MCD(N;80) = 40 ? a) 10b) 11c) 22d) 23e) 21

08.- Si:

MCD( ; 7 ) = 7

MCD( a ; ) = a

Halle a+ba) 7b) 10c) 9d) 14e) 809.- Un negociante tiene tres barriles de vino, cuyas capacidades son 36, 48 y 60 litros. Si desea vender todo el contenido en recipientes pequeos de mxima capacidad, de modo que no sobre vino en ninguno de los barriles, Cuntos recipientes necesita?

a) 10b) 12c) 15d) 24e) 30

10.- Se tiene 3 varillas metlicas de 72; 108 y 120cm. Se desea tener la menor cantidad de varillas iguales ms pequeas (cuya cantidad de centmetros sea entera) cortando todas las anteriores. Cuntas varillas se obtendrn?

a) 20b) 24c) 25d) 30e) 42

11.- Andrea tiene una cartulina que mide 24cm de ancho por 36cm de largo y quiere cortarla en trozos cuadrados de manera que no sobre material. Cuntos trozos obtendr, si el lado de cada uno mide una cantidad entera comprendida entre 5 y 10m?

a) 10b) 6c) 24d) 12e) 18

12.- El MCD de 2 nmeros es 15. Hallar el mayor de ellos, si la suma de sus cuadrados es 2925

a) 15b) 30c) 45d) 60e) 75

13.- La diferencia de los cuadrados de 2 nmeros es 1088 y su MCD es 8. Hallar el nmero menor

a) 60b) 64c) 68d) 72e) 7614.- Se tiene 3 cajas de galletas sueltas con 288; 360 y 408 unidades; desea venderse en paquetes pequeos de igual cantidad, que estn contenidas exactamente en cada una de las cajas. cul es el menor nmero de paquetes que se obtiene, sin desperdiciar galletas?

a) 24b) 32c) 44d) 47e) 5015.- Un terreno de forma rectangular cuyos lados miden 144 m y 252 m est sembrado con rboles equidistantes y separados lo ms posible si se observa que hay un rbol en cada vrtice y uno en el centro del terreno Cuntos rboles hay en total?

a) 112b) 56c) 40d) 135e) 14016.- La diferencia de cuadrados de dos nmeros es 396 y su MCD es 6. Dar como respuesta la suma de dichos nmeros

a) 300b) 330c) 60d) 66e) 7217.- Un padre de a uno da sus hijos 60 soles a otro 75 y a otro 90, para repartirlos entre los pobres, de modo que todos den a cada pobre la misma cantidad. Cul es la mayor cantidad que podran dar a cada pobre y cuntos los pobres socorridos?

a) 15 soles y 15

b) 15 soles y 12

c) 5 soles y 45

d) 5 soles y 30

e) 15 soles y 10

El mnimo comn mltiplo (m.c.m) de dos nmeros es el menor nmero (distinto de cero) que es mltiplo comn de ambos nmeros. Este concepto se aplica, en la suma o resta de nmeros racionales, al tener que buscar un denominador comn para dos o ms fracciones.

DETERMINACIN DEL M.C.M.

a) Por descomposicin simultneaHallar el MCM ( 120 ; 200 )

Todos los factores:

MCM(120;200) = 23 . 3 . 52

MCM(120;200) = 600

b) Por descomposicin cannicaHallar el MCM ( 120 ; 200 )

120 = 23 . 3 . 5

200 = 23 . 52Para hallar le MCM se toma TODOS los factores con sus MAYORES exponentes

Problemas

I.- Hallar el MCM de

a) 16 y 14

b) 60 y 90

c) 54; 80 y 64

d) 6 y 3

e) 18 y 6

f) 16; 30; 64 y 72g) 12; 60 y 72

h) 32; 40 y 50

i) 25; 40; 15 y 80

j) 30 y 24

II.- Resolver:

01.- Hallar el MCM de 90; 588 y 420

a) 8820b) 4410c) 2205d) 1260e) 3780

02.- Cuntos divisores tiene el MCM de 180 y 240?

a) 15b) 18c) 24d) 30e) 45

03.- Sean los nmeros:

A = 218 . 312 . 58 B = 215 . 316 . 510 .720Si el MCM(A y B) es 2m . 3n . 5p . 7q ; hallar m + n + p +q

a) 15b) 18c) 24d) 30e) 45

04.- Cuntos divisores tiene el MCM(A y B) si

A = 43 . 27 . 49 y B = 32 . 34 . 7

a) 100b) 105c) 108d) 115e) 12005.- Hallar le MCM de: ; ;

a) 6/150b) 20c) 12d) 4/5e) 6

06.- Por una ruta circulan varias lneas de colectivos cuyo terminal est en el km 0. Si la lnea A tiene paradas cada 5 km y la B cada 12 km, cada cuntos km coinciden las paradas?

a) 12 kmb) 18 kmc) 24 kmd) 36 kme) 48 km 07.- El 3 de abril de 1995 se encuentran en la guardia de un hospital tres visitadores mdicos. El del laboratorio A va a ese hospital cada 7 das, el del B cada 10 das y el de C cada 15 das. En qu fecha se volvern a encontrar?

a) 30 setb) 30 agoc) 31 octd) 25 octe) 30 oct

08.- En el ao 2004 se realizaron elecciones para Presidente y para Intendente. El periodo presidencial es de 6 aos y el de Intendente, de 4 aos.

A qu ao corresponde la primera vez que volvern a coincidir las 2 elecciones?

a) 2012b) 2016c) 2014d) 2015c) 2020

09.- Dos mviles juntos del punto de partida de una pista circular. Si el primero completa 3 vueltas en 36 minutos y el segundo 5 vueltas en 90 minutos despus de cuntos minutos de haber partido vuelven a estar juntos en el punto de partida.

a) 24b) 36c) 48d) 60e) 72

10.- Cuntos ladrillos se necesitan para construir un cubo compacto, sabiendo que su arista est entre 2 y 3 metros y que las dimensiones de los ladrillos a usarse son de 20cm, 15cm y 8cm?

a) 5760b) 2880c) 1920d) 1440e) 1152

11.- Cuatro barcos de una empresa naviera salen al mismo tiempo del callao y se sabe que el primero de ellos tarda 25 das en regresar y pertenece anclado 3 das; el segundo 45 y5 das y el tercero 32 y 3 das y el cuarto 60 y 10 das despectivamente. Cada cuanto tiempo zarpan los cuatro barcos a la vez?

a) 700b) 770c) 840d) 910e) 720

12.- El MCM de 2 nmeros A y B es 168. Adems; la suma de cuadrados de dichos nmeros es 7632. Hallar la suma de los nmeros

a) 63b) 84c) 108d) 132e) 180

El producto del MCD y MCM de dos nmeros enteros positivos es igual al producto de dichos nmeros

13.- El producto de dos nmeros es 768; si su MCM es 96, hallar su MCD

a) 6b) 8c) 12d) 16e) 24

14.- La suma de dos nmeros es 30, si su MCD es 6 y su MCM es 36, hallar la diferencia de dichos nmeros

a) 4b) 5c) 6d) 8e) 9

15.- La suma de dos nmeros es 667 y el cociente del MCM entre su MCD es 120. Dar el mayor de ellos

a) 232b) 435c) 572d) 115e) 552

1. Nociones Preliminares1. Introduccin:La palabra Estadstica deriva de la palabra latina status que significa estado. Al comienzo, las primeras estadsticas se referan a cosas propias del Estado; de ah proviene su nombre.

En la actualidad, la compleja y abundante informacin que se requiere transmitir, exige ser presentada ordenadamente, de modo que sea posible usarla en la toma de decisiones. La importancia de la Estadstica radica precisamente en que facilita la obtencin, ordenacin y presentacin de una gran cantidad de datos, en forma simple y prctica.2. ConceptoLa Estadstica es el conjunto de tcnicas y procedimiento que permiten recoger datos, presentarlos, ordenarlos y analizarlos, de manera que a partir de ellos se puedan inferir conclusiones.

En un sentido elemental, la palabra Estadstica se usa para referirse a los datos mismos o a nmeros que se obtienen a partir de ellos. As, hablamos de estadstica de empleo, estadstica de salarios, estadsticas de pesos promedio de estudiantes, etc.

La estadstica tiene dos ramas diferentes: Estadstica descriptiva y Estadstica Inferencia1

La Estadstica Descriptiva, es la que empleamos en la descripcin y anlisis de conjuntos de datos.

DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS

Toma de datos

La toma de datos es la obtencin de una coleccin de los mismos a travs de una Encuesta. Una encuesta es un instrumento que puede contener una o ms preguntas para recoger informacin sobre un determinado asunto.

Ejemplo: Para obtener informacin sobre la edad que tienen los alumnos del segundo ao de secundaria de un distrito, se ha encuestado a 50 alumnos de segundo ao a quienes se le ha entregado un papel como el que se muestra en el recuadro.

Encuesta para alumnos

de 1er. Ao

11 aos

12 aos

13 aos

14 aos

Al nmero de veces que se repite un dato se llama frecuencia absoluta o simplemente frecuencia y se representa por la letra f.

DISTRIBUCIN DE FRECUENCIAS

Se le llama tambin tabla de frecuencias. Es la presentacin resumida y ordenada de los datos de la variable estadstica y las frecuencias (absoluta y relativa).

La frecuencia relativa es el cociente que se obtiene al dividir la frecuencia entre el tamao de la muestra (n); se representa por la letra h.

As datos recogidos de la encuesta anterior se presentan en la siguiente tabla de frecuencias.

Edad (x)Conteo de datosFrecuencias (f)Frecuencia relativa (h)

11101/5

12202/5

13153/10

1451/10

TOTAL501

La suma de las frecuencias relativas siempre es igual a 1. La frecuencia relativa, la tabla usualmente se expresa en porcentajes, para lo cual se multiplica la frecuencia relativa por el 100%

Luego la tabla sera:

Edad (x)Conteo de datosFrecuencias (f)Frecuencia relativa (h)Frecuencia

Relativa

Porcentual

(hx100%)

11101/520%

12202/540%

13153/1030%

1451/1010%

TOTAL501100%

Representacin:

Frecuencia

F1 = 10 ( hay 10 alumnos que tienen 11 aos

F3 = 15 ( hay 15 alumnos que tienen 13 aosFrecuencia relativa:

h1 = ( 1 de cada 5 alumnos tienen 11 aos

h3 = ( 3 de cada 10 alumnos tienen 13 aos

Frecuencia porcentual:

h1 x 100 = 20% ( el 20% de los encuestados tiene 11 aos

h3 x 100 = 30% ( el 30% de los encuestados tiene 13 aos

EJERCICIOS

Para cada uno de los siguientes ejercicios construir una tabla de frecuencias, indicando:

i) variable estadstica

ii) conteo de datos

iii) frecuencia

iv) frecuencia relativa

v) frecuencia relativa porcentual

01.- Los nmeros del recuadro representan la edad de 30 nios que participan en un concurso de matemtica.

11109131310

13912131311

12101310129

101313131213

1391012119

a) Cuntos alumnos tiene 12 aos?

b) Qu porcentaje del total de alumnos encuestados tiene 11 aos?

02.- Las notas que obtuvieron 25 alumnos en este curso son:

1516141315

1018131016

1216121113

1312181310

1515161112

a) Cuntos alumnos obtuvieron nota 14?

b) Que porcentaje de alumnos obtuvo nota 16?

03.- Las edades que tienen 40 alumnos en un aula son:

101213109131210

121310111013109

101091211121110

131111910111012

1110121012101110

a) Qu porcentaje de alumnos tiene 10 aos?

b) Qu porcentaje de alumnos tiene ms de 10 aos?

04.- Nmero de hijos por familia:

41614342

30733335

35623236

10532423

21541144

a) Cuntas familias no tienen hijos?

b) Cuntas familias tienen 2 hijos?

c) Qu porcentaje del total de familias tiene 3 hijos?

GRFICOS

01.- Grfico de Barras

Tabla de datos

EdadCantidad de

alumnos

1110

1220

1315

145

02.- Grfico de Lneas

Dia del mes1234567

Grados de temperatura10152025103015

03.- Grficos Circulares

DasCajas de lapiceros

Lunes 20

Martes15

Mircoles10

Jueves8

Viernes25

Sbado12

Total = 90 cajas

Vamos a representar estos datos en forma de una grfica circular. A 90 cajas le corresponde toda la circunferencia: 360

A una caja le corresponde: = 4

A 20 cajas le corresponde 20 x (4) = 80A 15 cajas le corresponde 15 x (4) = 60A 10 cajas le corresponde 10 x (4) = 40A 8 cajas le corresponde 8 x (4) = 32A 25 cajas le corresponde 25 x (4) = 100A 12 cajas le corresponde 12 x (4) = 48

EJERCICIOS

01.- Observa en este grfico de barras la cantidad de animales de cada especie que hay en un zoolgico.

Responde:a) Cuntos anfibios hay en el zoolgico?.b) Cul es la especie que tiene mayor nmero de animales?c) Cuntos mamferos ms que peces hay en el zoolgico?d) Cuntos animales hay en total?

02.- Observa este grfico que representa el nmero de personas que visitaron un museo los diferentes das de la semana.

Responde:

a) Qu da tuvo el museo la mayor asistencia? b) Qu das hubo igual nmero de visitantes al museo?c) Cuntas personas visitaron el museo durante toda la semana? ............................................. d) Qu diferencia de visitantes hubo en el museo entre los das de menor y mayor asistencia?

03.- Observa esta tabla de datos que registra la clasificacin y el nmero de libros que hay en una biblioteca.ClasificacinNmero de libros

Matemtica50

Historia30

Lenguaje20

Ciencias Naturales10

Realiza el grfico de barras y de lneas segn los datos de la tabla anterior.

04.- Observa esta tabla que registra la cantidad de espectadores que asistieron a una funcin de cine en un fin de semana.

Fjate en la clave.CLAVE: ( ( 150 espectadores

Das de la semanaNmero de espectadores que hubo

Viernes ( (

Sbado ( ( ( (

Domingo ( ( (

Realiza el grfico de barras y de lneas segn los datos de la tabla anterior.

05.- Observa esta tabla de datos que registra la clasificacin y el nmero de cuadros que hay en un Museo Europeo de obras de Arte (Pinacoteca).PintorNmero de cuadros

Da Vinci (D)50

Miguel Angel (M)30

Rafael Sanzio (R)20

Van Gogh (V)40

Picasso (P)10

Escribe el conjunto de los pares ordenados que corresponden a la tabla dada.

Fjate en la clave. Clave:

- En la 1ra. componente se ubica la letra inicial del Pintor - En la 2da componente se ubica el nmero de cuadros.

Marca los puntos que corresponden a los pares ordenados anteriores y nelos por segmentos para obtener un grfico de lneas.

6.- Escribe el conjunto de los divisores de cada uno de estos nmeros.

D(9) = {.............}D(21) = {............ } D(15) ={.... ......... }D(40) = {.......... ..}

D(18) = {.............}D(55) = {........ .... }

NmeroCantidad

Divisores

9

15

18

21

40

55

Cuenta la cantidad de divisores que tiene cada uno de los nmeros anteriores. Completa la tabla y representa los datos obtenidos en un grfico de lneas.07.- Los alumnos del segundo ao de secundaria de un colegio hicieron una votacin para elegir el color rojo de los plumeros de su barra en una competencia deportiva.- 9 alumnos votaron por el color blanco.- Por el color rojo votaron el triple de los que votaron por el color blanco.

- Por el azul, 3 alumnos menos de los que votaron por el rojo.

- Por el verde, 2 alumnos ms de los que votaron por el azul.- Por el color amarillo votaron la mitad de los que eligieron el color verde.- Con los datos anteriores construye en tu cuaderno un grfico de lneas.Responde:

a) Cuntos alumnos prefirieron el color verde? b) Cul fue el color preferido por la mayora de los alumnos?c) Cul fue el color menos elegido?d) Cuntos alumnos participaron en la votacin?

08.- Construye un grfico circular con los siguientes datos:

EdadesNmero de alumnos

1225

1310

145

09.- Construye un grfico circular con los siguientes datos:NotasNmero de alumnos

1115

1220

1325

1440

10.- Construye un grfico circular con los siguientes datos: Mi profesor de Matemtica gasta 45% de su sueldo en alimentos; 25% en alquiler; 8% en ropas; 10% en diversiones; 5% en otras necesidades y ahorra el resto.

11.- La siguiente tabla muestra las temperaturas ms altas en grados Celsius registradas durante los das del mes de febrero en una ciudad.

Temperaturas (x)ConteoFrecuencia (f)Frecuencia relativa

25f1h1

26 f2h2

27f3h3

29f4h4

30f5h5

33f6h6

a) Hallar la frecuencia de la mayor temperatura registrada

b) Hallar la frecuencia de la menor temperatura registrada

c) Hallar f2 + f3 + f4d) Hallar la frecuencia relativa del dato x4 = 29

e) Qu porcentaje del total de das de febrero, registr la temperatura ms alta?

12.- El grfico muestra la distribucin de los gastos mensuales de un hogar. Qu tanto por ciento del gasto total corresponde a la alimentacin?

13.- Una encuesta a 100 alumnos del primer ao sobre su deporte favorito revel los siguientes datos:

Variable

EstadsticaFrecuencia

Ftbol 40

Voley 25

Natacin 15

Tenis 8

Otros 12

a) realizar un grfico de lneas

b) realizar un grafico circular

EMBED PBrush

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Captulo 1

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Captulo 5

Captulo 4

Captulo 3

Captulo 2

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EMBED PBrush

EMBED PBrush

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C.E.P. Santa Mara de la Providencia

160

Cuarto Periodo 3ero. de Secundaria

_1164526877.unknown

_1164527122.unknown

_1164527398.unknown

_1164527473.unknown

_1164547335.unknown

_1164549708.unknown

_1164549722.unknown

_1164549694.unknown

_1164530538.unknown

_1164527413.unknown

_1164527235.unknown

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_1164527007.unknown

_1164527084.unknown

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_1164526483.unknown

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