Aritmética5tosec ib[2]

7 8

Quinto Año Quinto Año

TEMA: TEORÍA DE CONJUNTOS

CONCEPTOSe entiende como una colección de objetos bien definidos, llamados

elementos y pueden ser de posibilidades reales, abstractas o imaginarias. Los conjuntos se representan con letras mayúsculas: A, B, C ....... etc, o entre llaves { } y sus integrantes generales separados con comas ( , ) o punto y coma ( ; )

Ejemplos:A = {1; 4; 6; 8; 10; 12}B = {a; e; i; o; u}C = (x/x3 – 3x2 + 2x – 1 =0)

RELACIÓN DE PERTENENCIA (∈)Un elemento pertenece a un conjunto cuando forma parte o es

agregado de dicho conjunto. La pertenencia (∈) es un vinculo que va de elemento al conjunto al cual pertenece, más no así entre elementos o entre conjunto.

(elemento) ∈ (conjunto)

OBSERVACIÓN:∉ “NO PERTENECE a”

Ejemplo:Sea A = {a; φ; {a; b}; {4; 5}}

• a ∈ A ∧ b ∉ A• {4} ∉ A• φ ∈ A• {φ} ∉ A• {a; b} ∈ A

OJO:EN EL CASO DE QUE A = {a, b, {a}, {a, b}}, ENTONCES:LA PROPOSICIÓN a ∈ {a} ES UNA VERDAD ABSOLUTA INDEPENDIENTE DEL CONJUNTO A, SIN EMBARGO TENIENDO EN CUENTA AL CONJUNTO A, LA PROPOSICIÓN a ∈ {a} ES FALSO PUES “a” Y {a} SON ELEMENTOS DEL CONJUNTO A (DE MANERA SIMILAR OCURRE EN EL CASO b ∈ {a, b}. ESTAS SON PUES, LAS FAMOSAS “PARADOJAS” O AMBIGÜEDADES CONJUNTISTAS.

DIAGRAMAS DE VENNSon regiones planas limitadas por curvas cerradas, que se usan

generalmente para representar a un conjunto y visualizar que elementos están o no en él. Por ejemplo:

Conjunto Universal o Referencial

U = {1; 2; 3; 4; 5, 6; 7, 8; ), 10; 11; 12}A = {2; 3, 4; 5}B = {3; 4, 5; 6; 7; 8; 9}C = {8; 9; 10; 11; 12}

NOTA:n(A) = # (A) SE LEE “NÚMERO DE ELEMENTOS O CARDINALES DE A, ASÍ DE LOS EJEMPLOS ANTERIORES:n(A) = 5; # (B) = 7; # (C) = 5; n(U) = 12

Aritmética Aritmética

9 10


DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO

Por ComprensiónResulta cuando se da a conocer una característica común a todos los

elementos que forman un conjunto:

Ejemplo:

A = {3x ∈ N/ x < 2}

<∈∈−

= sCondicione

elementoslosdeForma

2

9x,Nx/Z2

1xB

Por extensiónResulta cuando se nombre explícitamente a cada uno los elementos que

forman un conjunto.De los ejemplos anteriores:

Para A:x < 2 → 3x < 6

Como: 3x ∈ N:3x = 1, 2, 3, 4, 5A = {1; 2; 3, 4; 5}

Para B: Tabulando

x 1 2 3 4 5 6 7 8

21x2 − 0

32 4

215 12

235 2

263

⇒ B = {0; 4; 12; 24}RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

Inclusión o SubconjuntoEl conjunto A está incluido en B, cuando todos, los elementos de A son

también elementos de B; es decir:

A ⊂ B ⇔ ∀ x ∈ A → x ∈ B

Notas1. A ⊂ A, ∀ A2. φ ⊂ A φ = “Conjunto vacío o nulo”3. Si A = B y además A ≠ B entonces A es subconjunto propio de B.

4. Si n(A) = ik entonces el número de subconjuntos de A: 2n(A) = 2k

Ejemplo: Sea A = {2; 4; 6}

Subconjuntos:φ: {2}; {4}; {6}; {2; 4}; {2; 6}; {4; 6}; {2; 4; 6}

Se observa 23 = 8 elementos.


11


• Para determinar la cantidad de subconjuntos “n” arios (binarios ternarios, etc) de un conjunto que tiene “k” elementos, se tiene:

. n

− ariosn

oSubconjunt= k

nC .

Propiedades:• Propiedades Reflexivas: A ⊂ A

• Propiedad Antisimétrica:Si: A ⊂ B ∧ B ⊂ A ⇒ A = B

• Propiedad Transitiva:Si: A ⊂ B ∧ B ⊂ C ⇒ A ⊂ C

Conjuntos IgualesDos conjuntos A y B son iguales cuando tiene los mismos elementos, es

decir:A = B ⇔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A

OBSERVACIÓN:{2; 5} = {5; 2} ; {a; b} = {a; b; b}

Relaciones de Coordinabilidad de ConjuntosDos conjuntos A y B son coordinables cuando entre sus elementos

puede establecer una correspondencia biunívoca.Cuando dos conjuntos son coordinales tienen el mismo número de

elementos.

escoordinablSonu}o;i;e;{a;B

}10;8;6;4;2{A

=↑↑↑↑↑

=

Graficando:

Conjunto ComparablesDos conjuntos A y B son comparables cuando por lo menos uno de ellos

está incluido en el otro.A y B comparables ⇔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A

No Comparables

CONJUNTO ESPECIALES Conjunto Universal o Referencial U

Dados dos o más conjuntos, se llama conjunto Universal o Referencial de ellos, a otro conjunto que contiene a los conjuntos dados:


12

13 14


El conjunto universal se puede elegir de acuerdo al estudio particular que se quiera analizar con algún conjunto.

El conjunto universal se representa gráficamente por el rectángulo y simbólicamente por un U.

Conjunto Vacío:Llamado también conjunto nulo, se le denota con ∅ o { } se le considera

incluido en cualquier otro conjunto.

∅ ⊂ A ; ∀ A

Conjunto UnitarioLlamado singletón, tiene un solo elemento:

Ejemplo:A = {m} ; B = {{{a}}} ;C = {x ∈ N / 3 < x < 5}

OJO:EN EL CASO DE A = {∅}, DONDE ∅ ES EL CONJUNTO VACÍO, ENTONCES A REPRESENTA UNA FAMILIA DE CONJUNTOS UNITARIOS. CONVIENE ACLARAR QUE ESTE CONJUNTO {∅} UNITARIOS ES DIFERENTE DE ∅

(QUE ES SU ELEMENTO) OSEA; {∅} ≠ ∅. SIN EMBARGO LA RIGUROSIDAD MATEMÁTICA NO EXIGE ANALIZAR, PUES ES FÁCIL DISTINGUIR QUE ∅ ∈ A Y ∅ ⊂ A (PROPIEDAD), ESTA CONCLUSIÓN ES “PARADÓJICA” PUES “∅” NO PUEDE TENER EL DOBLE DE COMPORTAMIENTO, QUE VIENE PUES DE DEFINIR A = {∅}, ESTA ES UNA DE LAS TANTAS “PARADOJAS DE RUSSELL”

Conjunto Potencia (P(A)):

El conjunto formado por todos los subconjuntos que tiene A, se le denota con P(A) y tiene 2n elementos donde, “n” es el número de elementos de A.

Ejemplo:Si A = {m, n}

Entonces:P(A) = {∅}: {m}; {n}; {m; n}

Nota1. Si A ⊂ B → P(A) ⊂ P (B)2. Si x ∈ P(A) → x ⊂ A3. Del ejemplo podemos deducir que el número de subconjunto propios de

A es 2n(A) – 1. en conclusión A tienen tres subconjuntos propios.OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSReunión ∪

La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que perteneces a A ó B ó a ambos.

A ∪ B = {x/x ∈ A ó x ∈ B}

Gráficamente:

A ∪ B A ∪ B A ∪ B

• A ∪ B = B ∪ A


15


• A ∪ A = A• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C• A ∪ ∅ = A

Intersección ∩Se define la intersección de dos elementos A y B al conjunto de

elementos que son comunes a A y B.

A ∩ B = {X/X ∈ A Y X ∈ B}

Gráficamente:

A ∩ B A ∩ B = ∅ A ∩ B• A ∩ B = B ∩A• A ∩ ∅ = ∅• A ∩ (A ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C• A ∩ A = A

DiferenciaSe denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por

todos los elementos de A pero no pertenecen a B. Ola diferencia se denota por: A – B que se lee. A diferencia B ó A menos B. Se define a la diferencia de dos conjuntos también como:

A – B = {x/x ∈ A y x ∉ B}

Gráficamente:

A – B A – B A – B

A – B = ∩ BC

Complemento de ANotación:

CUA = A = AC = A´= U – A

AC = {x/x ∈ U ∧ x ∉ A}

Gráficamente:

• AC ∪ A = U• AC ∩ A = ∅• (AC)C = A

• MorganBA)BA(BA)BA(

CCC

CCC

=

=

Diferencia Simétrica (∆)

A ∆ B = (A – B) ∪ (B - A)


16

17 18


NOTA:PUEDE DECIRSE TAMBIÉN QUE “A ∆ B” ES EL CONJUNTO DE TODOS LOS ELEMENTOS DE A ∪ B QUE NO PERTENECEN AL CONJUNTO A ∩ B. EN OTRAS PALABRAS “A ∆ B” ES EL CONJUNTO FORMADO POR LOS ELEMENTOS “EXCLUSIVOS” DE A O DE B.

Gráficamente:

A ∆ B A ∆ B A ∆ B

• A ∆ B = (A ∪ B) – (A ∩ B) • A ∆ B = AC ∆ BC

Aplicación:Sean los conjuntos:

A = {7; 8; 2; 3}B = {2; 3; 9}U = {2; 3; 4; 7; 8; 9}

Calcular:i. A ∪ B ii. A ∩ B iii. A – Biv. B – A v. A ∆ B vi. A´vii. B' viii. (A ∆ B)'

Resolución

i. A ∪ B = {2, 3, 7, 8, 9}ii. A ∩ B = {2, 3}iii. A – B = {7, 8}iv. B – A 0 {9}v. A ∆ B = {7, 8, 9}vi. A' = {4, 9}vii. B' = {4, 7, 8}viii. (A ∆ B)´= {2, 3, 4}

RELACIONES CON CARDINALES1. Para dos conjuntos cualesquiera A y B

. n(A ∪B) = n(A) + (B) – n(A ∩ B) .

. n(A ∩ B) = n(A) + n(B) – n(A ∪ B) .

. n(A - B) = n(A) – n(A ∩ B) .LEYES Y PROPIEDADES DE ÁLGEBRA DE CONJUNTOS

I) Reflexiva:• A ∪ A = A• A ∩ A = A• A ∆ A = ∅


19


II) Asociativa:• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C• A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ A• A ∆ (B ∆ C) = (A ∆ B) ∆ C

III) Conmutativa:• A ∪ B = B ∪ A• A ∩ B = B ∩ A• A ∆ B = B ∆ A

IV) Distributiva:• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ B)• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B ∪ (A ∩ C)• (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)• (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

V) De la Inclusión:

Si: A ⊂ B ⇒

−=∆∅=−

==

ABBABA

ABABBA

VI) Elemento Neutro:• A ∪ ∅ = A• A ∩ ∅ = ∅• A ∪ U = U• A ∩ U = A

VII) De la Diferencia:• A – B = A ∩ B'• A – B = B'- A'

VIII) Del Conjunto Producto:• n(A x B) = n(A) x n(B)• A x (A ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C)• A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)

IX) De la Exclusión:

Si A y B son disjuntos

=∆=−

∅=

BABAABA

BA

X) Del Complemento:• (A')'= A• A ∪ A' = U• A ∩ A´= ∅• ∅' = u• U' = ∅

XI) Leyes de Morgan:• (A ∪ B)'= A' ∩ B'• A ∩ (A ∪ B) = A• A ∪ (A' ∩ B) = A ∪ B• A ∩ (A' ∪ B) = A ∩ B

XII) De Absorción:• A ∪ (A ∩ B) = A• A ∩ (A ∪ B) = A• A ∪ (A' ∩ B) = A ∪ B• A ∩ (A' ∪ B) = A ∩ B

INTERPRETACIONES DE ALGUNAS REGIONALES SOMBREADAS


2021


“Solo A”, “Exclusivamente A”, “únicamente A”, “A – B”

“Ocurre A o B”, “A ∪ B”, “al menos uno de ellos” o “por lo menos uno de ellos”

“A ∩ B”, “Ocurre A y B”, “Ocurre ambos sucesos a la vez” “Ocurre sólo uno de ellos”,

“Únicamente uno de ellos, “Exactamente uno de ellos”

“Ocurre exactamente dos de ellos”, “Sucede únicamente dos de ellos”

(B ∪ C) – A“Ocurre B o C pero no A”

“Ocurre al menos dos de ellos”, “Ocurre por lo menos dos de ellos”

“Ocurre a lo más dos de ellos”

APLICACIÓNSe encuentra a cierto número de personas sobre la presencia de tres periodos A, B y C.

• ¿Cuántas personas leen sólo un periódico? {1; 2; 3}• ¿Cuántas personas leen dos periódicos solamente? {4; 5; 6}• ¿Cuántas personas leen los tres periodos? {7}• ¿Cuántas personas leen el periódico A? {1, 4, 5, 7}• ¿ Cuántas personas leen sólo A? {1}• ¿ Cuántas personas leen A y B pero no C?{5}• ¿ Cuántas personas leen A o B pero no C? {1, 5, 2}• ¿ Cuántas personas no leen ninguno de los periódicos? {8}• ¿ Cuántas personas leen como mínimo dos periódicos? {4, 5, 6, 7}• ¿ Cuántas personas leen como máximo dos periódicos? {1, 2,3, 4, 5, 6}• ¿ Cuántas personas leen B pero no A ó C? {2}


22


PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. Si: A = {5, {2}, 9}; señale la expresión falsaa)

{a} ∈ Ab)

{12} ⊂ Ac)

9 ∈ Ad)

{5 ,9} ∈ Ae)

{5, {2}} ⊂ A

2. De las siguientes. notaciones determinar cuál de ellas es falsa:a) {2, 5, 3} = {3,

5, 2}b) {4} ∈ {{14}, 5}c) {3} ⊂ {2, 3, 4}d) ∅ ∈ {3, {4} 2}e) ∅ ⊂ {3. {4}, 2}

3. Si U ={x/x ∈ z ∧ 0 ≤ x < 10}(A ∪ B)' = {0, 6, 9} ;A ∩ B = {1, 2, 7}A – B = {3, 5}¿Cuál es la suma de los elementos de B – A?

Rpta. 12

4. Dado A ={∅; {∅}} . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

5. En una entrevista realizada en el aeropuerto se determino que 49 viajaban al Cuzco, 43 a Tacna, 39 a Arequipa, 19 sólo a Tacna y 21 sólo a Arequipa. Si 16 viajan a Tacna y Arequipa y 5 de ellos viajaban también al Cuzco, determinar cuántas personas viajaban sólo al Cuzco.

Rpta. 34

6. Se selecciona al azar a 43 alumnos de la Academia. Luego se observa que:- Son 5 las

mujeres que estudian aritmética

- El número de hombres es 28

- El número es el doble que no estudian aritmética es el doble del número de mujeres que no estudian aritmética.

¿Cuántos hombres estudian aritmética?

Rpta. 8

a)

∅ ∈ Ab)

∅ ⊂ Ac)

{∅} ⊄ Ad)

{{∅}} ⊂ Ae)

{{∅}} ∈ A

7. Si el conjunto e es unitario hallar “a . b” e = {a + 2b; 3b – a + 2; 11}

Rpta. 12

8. ¿Que representa el gráfico?

a) (A ∩ B) ∪ C

b) (C ∪ B) – (B – A)

c) (B ∪ C) – (A – B)

10.Si: A ={1, 2, 3,5} B ={2, 3, 4,5}Hallar:[(A ∩ B ) ∪ (A ∆ B)] - B

Rpta. {1}

11. Para dos conjuntos A y B se cumple que n(A ∪B) = 6n[P(A)] + n[P(B)] = 40Hallar: n[P(A ∩ B)]

Rpta. 4

13.De un grupo de 105 deportistas se observo que:- 15 son atletas, que

practican el fútbol y la natación

- 52 son atletas- 55 son nadadores- todos son

futbolistas, son atletas y 12 son deportistas que sólo practican el atletismo

- 15 deportistas no


23

24


d) (A ∪ C) – (A ∩ B)

e) N.A.

9. A = {a, o, i}; B = {a, o, u} el número de su subconjunto propios tiene A ∪ B

Rpta. 15

practican ninguno de los deportes mencionados

¿Cuántos deportistas son atletas y nadadores, pero no futbolistas?

Rpta. 2

14.De un grupo de postulantes a universidades, se sabe que:• 16% postulan a la UNI• 42% postulan a San Marcos• 58% postulan a Católica• 8% postulan a las 3

Universidades• El 5% no postulan a ninguna

de estas 3 UniversidadesSi 390 estudiantes postularon a por lo menos 2 universidades, diga ¿Cuántos postulantes hubieron en total?

Rpta. 3000

12. En un salón de las clases 65 alumnos se observo 30 son hombre, 40 son de ciclo semianual, hay 10 señoritas que son del ciclo semianual. ¿Cuántos son hombres

15.¿Cuál de las siguientes relaciones expresa mejor de la región achurada?

a) (A ∪ B) ∆ C

b) (A ∆ B) ∪ C

que no estudian en el ciclo semianual?

Rpta. 0

c) A ∆ (B ∪ C)

d) (A ∆ B) – (A ∩ B ∩ C)

e) N.A.

NO INTERRUMPAS UN TRABAJO PARA INICIAR OTRO, SI LO HACES ES MUY PROBABLE QUE AMBOS QUEDEN SIN TERMINAR CUANDO EL SEGUNDO TRABAJO SEA INTERRUMPIDO POR UN TERCERO.

K. GLEESON

PROBLEMAS PARA LA CASA

1. La región sombreada en el diagrama

Representa la operación:

A) (A - B) ∩ (C ∪ B)

B) (B - A) ∪(C ∪ B)-(C ∩ D)

C) A y B son

3. De 40 alumnos de una sección, 15 aprobaron física, 6 probaron física y química. ¿Cuántos alumnos desaprobaron los dos cursos mencionados, si los que aprobaron química fueron 7?

A) 18 B) 15 C) 12D) 10 E) 6

4. Si: n(A ∆ B) = 8 n(A ∩ B) =2Hallar: n(A ∪ B)


25 26


correctasD) (B – A) ∪

(C - D) ∪ (D – C)E) B y D son

correctas

2. De un grupo de 100 universitarios, 49 no estudian Lengua y 53 no estudian Matemáticas. Si 27 no estudian ninguno de ninguno de los cursos mencionados, ¿Cuántos estudian sólo un curso?

A) 28 B) 38 C) 48D) 58 E) 18

A) 8 B) 9 C) 10D) 11 E) NA

5. Determine el conjunto “B”:B = {x/x2 – 5x + 6 = 0}

A) {2; 1} B) {2, 5} C) {2, 3}D) {1,4} E) {3,4}

6. Si: a = {3, {5}} ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

A) {3, 5} ⊂ A B) {5} ⊂ AC) 5 ∈ A D) {{5}} ⊂ AE) {{{5}}} ⊂ A

7. Del gráfico: ¿Cuál de las siguientes relaciones expresa mejor la siguiente región sombreada achurada?

9. ¿Cual es la alternativa que representa la región achurada?

A) (A ∩ B) – C

B) (A ∩ C) - B

C) (A ∩ B) ∩ C

D) (A ∩ C) ∪ {B – (A ∪ C)}

A) (A - B) ∪ {A ∪ B}B) (A ∆ B) ∪ CC) {(A - C) ∩ (B - C)} ∪ CD) {(A ∩ B) – C } ∪ {C – (A ∪ B)}E) N. A

8. Hallar ”x” si el conjunto es unitario:A = {2x – 3, x +2}

A) 1 B) 3 C) 5D) 7 E) N.A

E) N.A

10.Si A tiene 3 elementos. Hallar n[P(A)]

A) 2 B) 4 C) 8

D) 16 E) N.A

CLAVES

1. E

2. C

6. D

7. D


27

28

29 30


3. A

4. C

5. C

8. C

9. C

10. C

¿SABÍAS QUÉ...

INGENIERÍA INDUSTRIAL

El ingeniero industrial diseña, mejora y administra sistemas de producción que integran recursos humanos, materiales y financieros para generar bienes y servicios, de calidad y costos competitivos, consciente de preservar el medio ambiente en el cual desarrolla sus actividades.

El ámbito de trabajo:En empresas del sector público o privado que diseñan,

planean, operan y dan mantenimiento a sistemas productivos de bienes o de servicios.

TEMA: NUMERACIÓN

NUMERACIÓNEs la parte de la aritmética que estudia la formación, escritura y la

lectura de los números.



La numeración puede ser:

Escritura o simbólicaEs aquella que emplea símbolos llamados cifras, guarismo o caracteres.

Oral o HabladaEs aquella que emplea VOCABLOS o PALABRAS

SISTEMA DE NUMERACIÓNEs el conjunto de reglas y principios que rigen la formación, escritura y

lectura de los números, mediante la adecuada combinación de un grupo reducido de símbolos y palabras.

Base de un Sistema de NumeraciónEs aquel número que nos indica la cantidad de unidades de un orden

cualquiera que se quieren para formar una unidad de orden superior.

Ejemplos:1. Sistema de Base 10:

Diez unidades 1 decena (unidad de segundo orden)Diez decenas forman 1 centena (unidad de tercer orden), etc

2. Sistema de Base 4:Cuatro unidades de primer orden forman 1 unidad de segundo orden.Cuatro unidades de segundo orden forman 1 unidad de tercer ordenCuatro unidades de tercer orden forman 1 unidad de cuatro orden, etc.

3. Contar en Base 4:

Base 10: 14 Base 4: 324 “Se lee: tres dos en base 4”

4. Contar en Base 3:

Base 10: 23 Base 3: 212(3) “ Se lee: dos en base tres”

Características de un Sistema de Numeracióna) En cualquier Sistema de Numeración existen tantas cifras como el valor

de base y con las combinaciones de ellas pueden formar todos los números posibles de dicho sistema.

b) El Mínimo valor que puede tomar una cifra en cualquier sistema es el cero y el máximo es una unidad menos que el valor de la base.

c) La base de un Sistema de Numeración es un número entero positivo mayor que 1.

d) La base de un Sistema de Numeración siempre es mayor que cualquiera de las cifras que se usan en dicho sistema.

Ejemplo:4271(5) : numeral mal escrito314(7) : numeral bien escrito1358(6) : numeral mal escrito64103(8) : numeral bien escrito

Nomenclatura de los Sistema d Numeración

Base Nombre del Sistema Cifras utilizadas

234

BinarioTernario

Cuaternario

0,10,1,2

0,1,2,3


31

32


56789101112..n

QuinarioSenario

HeptaniarioOctanario y octalNonario o nonal

DecimalUndecimalDuodecimal

.

.Enesimal

0,1,2,3,40,1,2,3,4,5

0,1,2,3,4,5,60,1,2,3,4,5,6,7

0,1,2,3,4,5,6,7,80,1,2,3,4,5,6,7,8,9

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,α0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,α,β

.

.0,1,2,3,4, . . ., n – 2, n – 1

NOTA:PARA BASES MAYORES QUE DIEZ MAYORES SE USAN LOS SÍMBOLOS α, β, γ, ETC. QUE REPRESENTAN LAS CIFRAS DIEZ, ONCE, DOCE, ETC, RESPECTIVAMENTE, TAMBIÉN SE PUEDEN LAS LETRAS DEL ABECEDARIOCIFRAS DIEZ : α = a = ACIFRAS ONCE : β = b = BCIFRAS DOCE : γ = c = CCIFRAS TRECE : φ = d = DEJEMPLOS:• 34A5(DOCE) “SE LEE: TRES CUATRO A CINCO EN BASE DOCE”• 62B7C(QUINCE) “SE LEE: SEIS DOS B SIETE C EN BASE QUINCE”

VALORES DE UNA CIFRA:Valor Relativo o Posicional: (V. R)

Es el valor que representa la cifra por la posición que ocupa dentro del número.

Valor Absoluto o por su Forma (V.A)Es el valor que representa la cifra por la forma que tiene.

Ejemplo:

Descomposición PolinómicaEn todo sistema de Numeración, cualquier número se puede escribir

como la suma los valores relativos a sus cifras.632 = 600 + 30 + 2 [BASE 10] 5479 = 5 . 103 + 4 . 102 + 7 . 10 + 9 [BASE 10]235(7) = 2 . 72 3 .7 + 5 [BASE 7]4523(8) = 4 . 83 + 5 . 82 + 2 . 8 + 3 [BASE 8]

Orden de una CifraEs un lugar que ocupará una cifra empezando de derecha a izquierda.Ejemplo:


33 34


En cualquier Sistema de Numeración, la cifra de primer orden, es la de las unidades.

Representación Literal de un NúmeroCada cifra de un número puede ser representado por una letra del

abecedario y todas ellas cubiertas por una barra horizontal, para distinguirlos de las expresiones algebraicas.ab (n) : Representa cualquier número de dos cifras de la base n.abc : Representa cualquier número de tres cifras de la base 10, puede

ser:{100, 101, 102, 103, ........, 998, 999}

37ab : Representa cualquier número de cuatro cifras de la base 10, que termina en 37, puede ser:

{1037; 1137; 1237; .......; 9837; 9937}4ab (6) : Representa cualquier número de 3 cifras de la base seis; que

termina en 4, puede ser{104(6); 114(6); 124(6); ..........; 544(6); 554(6)}

b)a2(a (5): Representa cualquier número de 3 cifras de la base cinco, donde la cifra de segundo orden es el doble de la cifra de tercer orden puede ser:

{120(5); 121(5); 122(5); ..........; 244(5)}Número Capicúa

Es aquel número que se lee igual de derecha a izquierda o de izquierda a derechas, también se dice es aquel número cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales.

414(7)

7557(9)

53235 (8)

abccba(7)

Conversión de un Número de una Base a otraSe representa tres casos• Caso I: De base “n” a base 10:

En este caso se calcula el número de unidades que posee dicho número, para esto es suficiente aplicar la “descomposición polinómica” del número y efectuar las operaciones indicadas.

Ejemplo:Convertir 324(7) a la base 10324(7) = 3 . 72+ 2 . 7 + 4 = 165⇒ 324(7) = 165

• Caso II: De base 10 a base “n”Se efectúa empleando el método de “divisiones sucesivas”, para lo cual se divide el número dado “n” (base del sistema al cual se desea pasar). Si el cociente es igual o mayor que “n” se divide este nuevamente entre “n” y así sucesivamente hasta obtener un cociente menor que “n”. El nuevo número estará formado por el último cociente y todos los residuos obtenidos de derecha a izquierda.

Ejemplo: Convertir 328 a la base 6

328 = 1304(6)

• Caso III.: De base “n” a base “m”(n, m ≠ 10)En este caso primero se convierte el número de base “n” a la base 10 y el resultado se convierta a la base “m”


35 36


Ejemplo: Convertir 413(8) a la base 5Primero: 413(8) a la base 10413(8) = 4 . 82 + 1 . 8 + 3 = 267Luego: 267 a la base 5

413(8) = 2032(5)

Propiedad:Si un numero es expresado en dos sistemas de numeración se cumple que: “a mayor representación aparente le corresponde menor base y viceversa”Ejemplo:

i. Si: UNMSM (x) = UNFVComo: UNMSM > UNFVSe cumple: x < y

ii. Sea:

cifras"n"

)1k)(1k...().........1k)(1k( −−−−(k) = kn – 1

iii.

“k” veces = n + a . k


1. Hallar el valor de “n”: si401(n) = 203(n + 2)

6. Hallar “m + n” sabiendo que es lo menor posible y que:

Rpta. 5

2. Hallar el valor de “n”, si:102(n) = 234(7)

Rpta. 11

3. Hallar el valor de “a + b”, si )6()9( bbaabb =

Rpta. 7

4. Si: “a” es menor que 3, cómo se expresa 33a (9) en el sistema de base 3. Dar como respuesta la suma de sus cifras

Rpta. a + 2

5. Hallar: “a + x + y”; si: 8xyaaaa )5( =

Rpta. 13

66(m) = 88(n)

Rpta. 26

7. Hallar: “a + b” si: )7()9()8( ba1baab =+

Rpta. 7

8. Calcular: “x + y” si; )7()9( xyxy =

Rpta. 7

9. Calcular: “a + n”; si ( )a

2)12( 10n)n(aaa =

Rpta. 8

10.Escribir el sistema de base 9 el número: )2x(3x(x +− (6)

Rpta. 135(9)

11.Sabiendo que los numerales: )p()m()4( nnynp2;m10

Están bien escritos. Hallar

14.Si:

)4()6( xyyz)4a(a)4a( =−−

Hallar: x + y + z


37

38


“m+n+p”

Rpta. 6

12.Si: )8()6( ba5abbb − .Hallar (a + b)

Rpta. 4

13.Un numeral de dos dígitos es “n” veces la suma de sus cifras. El numeral que se obtiene al intercambiar los dígitos resulta la suma de sus cifras multiplicando por:

Rpta. 11 – n

Rpta. 4

15.¿Cuántas cifras tiene 128200 al ser expresado en base 8?

Rpta. 467

“LA PACIENCIA ES LA PARTE MÁS DELICADA, DIGNA DE LA GRANDEZA DEL ALMA, Y TAMBIÉN LA MÁS ESCASA. LA PACIENCIA ESTÁ EN LA RAÍZ DE TODO. LA MISMA ESPERANZA DEJA DE SER FELICIDAD CUANDO VA ACOMPAÑADA DE LA IMPACIENCIA...”

RUSKIN


1. Expresar 2aaaa en base 10:

A) 16a B) 31a C) 15D) 16 E) 30

2. Si: 1122(3) = abcdef (x)

Hallar: a + b + c + d + e + f + x

A) 3 B) 2 C) 5 D) 6 E) 4

3. Determinar: (a + b + c) en:abab 5 = bcb

A) 12 B) 13 C) 14D) 18 E) 16

4. Hallar E = aab - 110a – b

A) a B) b C) 10aD) 0 E) 1

5. Hallar “a”, si )8(75aa25 =

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

6. Si: )8()x( m47n62 = . Hallar: “n - m”

A) -6 B) 6 C) 7D) –7 E) 4

7. Calcular “a + b”; si: )5()9( ab0ab0aaa =

A) 4 B) 5 C) 6D) 3 E) 8

8. Si: )n(abab = 221. Hallar el valor de: (3a + b + 2n)

A) 17 B) 13 C) 18D) 15 E) 21

9. Hallar “n”, si: 1331(n) = 260(9)

A) 4 B) 5 C) 8D) 9 E) 10

10.Dar “n” en: n)1n)(1n)(1n( −−− = 511

A) 6 B) 5 C) 8D) 7 E) 9


39 40


CLAVES

1. C

2. C

3. E

4. D

5. B

6. E

7. B

8. C

9. B

10. C

¿SABÍAS QUÉ...

INGENIERÍA METALÚRGICA

El ingeniero metalúrgico se desempeña profesionalmente en la creación, diseño y dirección de operaciones y procesos relacionados con la obtención de metales a partir de minerales y en la adaptación de estos últimos a usos industriales. El ingeniero metalúrgico requiere especiales habilidades para relacionar conocimientos de matemática, física y química con los principios de ingeniería de procesos, orientadas a la obtención de bienes primarios y manufacturados. Estudia, elabora, proyecta, diseña y supervisa la transformación de los minerales metálicos y no metálicos, equipos y plantas metalúrgicas; analiza las propiedades y tecnología de metales y aleaciones.


41 42


TEMA: CUATRO OPERACIONES

ADICIÓNOperación binaria, cuyo objeto es reunir varias cantidades homogéneas (de una

misma especie), en una sola llamada suma total.

Adición en Otros Sistemas de NumeraciónEjemplo:Calcular:

123(5) + 244(5) + 104(5) + 131(5)

Resolución:

Colocando verticalmente los sumandos, considerando el orden(como el sistema decimal eran las unidades, decenas, ........... etc)

123(5) + 244(5) + 104(5) + 131(5)= 1212(5)

Otro Ejemplo: 4 7 (9) + 1ra columna 8 0 (9) 7 + 1 = 8 1 0 (9) 2da. Columna 5 1 (9) 4 + 8 + 1 + 5 = 18 = 2(9) + 0 2 0 8 (9) Se lleva

Queda

Ejemplo:Calcular: “n” ; en:

( )8)8()8( 7650n432325a =+

Resolucióncolocando verticalmente

n 3 2 5(8) +4 3 2 n(8)

7 6 5 0(8)

• De la 1era Columna, se tendrá que:5 (8) + n (8) = 10 (8)

• Llevando a base decimal, se tiene:5 + n = 8 → n = 3

SUSTRACCIÓNOperación inversa a la adición, consiste en que dada 2 cantidades llamadas

minuendo y sustraendo, hallar una cantidad llamada sustraendo.Ejemplo:


43


Ejemplo:Calcular:

237 – 128

Resolución:

OJO:EN BASE 10, “1 UNIDADES DE UNA ORDEN CUALQUIERA ES 10 UNIDADES ORDEN CUALQUIERA ES 10 UNIDADES DEL ORDEN INMEDIATO INFERIOR”

Sustracción en Otras BasesEjemplo ilustraciones:Calcular: 432(5) – 143 (5)

ResoluciónRecordando que en base 5, “1” unidades de orden cualquiera es 5 unidades del orden del orden inmediato inferior.

Explicación• 1ra Columna:

Como a “2” no se lee puede ser restar 3, entonces lo que se hace es prestar una base a “2”, es decir:

5 + 2 = 7→ 7 – 3 = 4

queda.

• 2da Columna:Como se presto una base del 3, ahora será: luego le prestaremos al 2 una base, es decir:

5 + 2 = 7→ 7 – 4 = 3

Queda.

• 3ra Columna:Como se prestó una base de 4, entonces ahora será: 4 – 3 , y a este “3” si le puede restar 1, con lo que necesario prestarle una base.

→ 3 – 1 = 2 Queda.

∴ 432(5) – 143(5) = 234(5)

Otros Ejemplos:5 1 3 (8) - 6 2 3 1 (7) – 3 1 5 (8) 3 6 5 4 (7)

1 7 6 2 2 4 4 (7)

Propiedades:I) Dado:

)n(

)n(

)c(

zyx

abc

cba −

−=+−=

>

1nzx)21ny)1entonces,caSi

II) En Base 10:


44

45


zyx

abccba −

=+=>

9zx)29y)1

entonces,caSi

Ejemplo:Si: 7nmabccba =−Calcular: m2 + n2

Resolución:Aplicando directamente la propiedad, se tendrá que:I) n = 9II) m + 7 = 9 → m = 2

Piden 22 + 92 = 85

Complemento Aritmético CA(N)Es lo que falta a u número “N”, para ser igual a la unidad de orden inmediato

superior, es decir lo que le falta para ser igual a un número formado por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene “N”Ejemplo:• CA (7) = 101 – 7 = 10 - 7 = 3• CA (341) = 103 – 341 = 1000 – 341 = 659

En general:Sea “N” número de “k” cifras, luego:C A (N) = 10K – N

Forma Práctica:A la primera cifra (diferente de cero) o menor orden se le resta de 10 y a

todas las restantes se restan de 9. si hay ceros en las menores ordenes estos permanecen en el complemento, es decir:

C A = ( ) )d10)(c9)(b9)(a9(abcd −−−−=

Ejemplos:

•

•

•

Complementos Aritméticos en Otras Bases• C A(34(7)) = 72 – 34(7)

• C A (429(11)) = 113 – 429(11)

• C A (7251(8)) = 84 – 7251(8)

Método Práctico:

En General:

C A (N(B)) = )B(K

)B( N10 −

K: números de cifras de “N”

Forma Practica para Calcular el CA en Otras BasesA partir del menor orden se observa la primera cifra significativa, la cuál va a

disminuir a la base y las demás cifras disminuyen a la base menos 1.Ejemplos:

•


46

47


•

•

MULTIPLICACIÓNEs una operación binaria, donde dados dos elementos M y m llamados

multiplicando y multiplicador se le hace corresponder un tercer elemento P llamado producto.

Origen:PMMMM

vecesm=++++ .........

. M . m = P .

Donde:

factordormultiplicamndomultiplicaM

::

P: producto

Notas:1. Si se multiplica:

2 43 x 65 1215 → 1er producto parcial

1458 → 2do producto parcial 15795 → Producto Total

2. Si: abc . 7 = .......... 6 → c = 8 3

3. Si: abc . 4 = .......... 2 → c = 84. Se cumple:

(# impar) (.... 5) = ..... 5(# par) (... 5) = .......0

5. Se cumple: ........ 0

n(n + 1) = ....... 2 ........ 6

DIVISIÓNEs una operación binaria que consiste en que dados dos enteros, el primero

llamado dividendo y el segundo llamado divisor, encontrar un tercero llamado cociente.

. D ÷ d = q . D = d . q

D : dividendod : divisor; d ≠ 0q : cociente

División Entera:Es un caso particular de la división en la que el dividendo, divisor y cociente son número enteros; en este caso se recurre a un cuarto términos llamado residuo.

D d r : residuor q

puede ser:1. Exacta (residuo = 0)

Ejemplo: 45 9 → = 9(5)0 5

En generalD d → D = dq0 q

2. Inexacta (residuo > 0)a) Por defecto Ejemplo: 67 9 → 67 = 9(7) + 4


4849


4 7 En general

D d → D = dq + r d ∈ Z r q

Donde: 0 < r < dq : cociente por defector : residuo por defecto b) Por exceso

Ejemplo: 67 9 → 67 = 9(8) – 5 5 8

En general: D d → D = dqe – re d∈Z+

Re qe

Donde: 0 < re < dqe : cociente por excesore : residuo por exceso

Propiedades de la división inexacta1. qe = q + 1

2. rmin = d – 1

3. r +re = d

Alteración de la división por multiplicaciónEjemplo:

D x 367 9 d x 3 201 274 7 12 7

x 3En generalSi: D d → Dn dn

r q rn q

EN LOS MOMENTOS DE CRISIS SÓLO LA IMAGINACIÓN ES MÁS IMPORTANTE QUE EL CONOCIMIENTO

ALBERT EINSTEIN


1. Dar (a – b + c), si:=+bcab 89 ∧ (a + b + c)2 =

144

Rpta. 2

2. Dar (a + b) en:aabbb9a.........b5ab4ab3a =++++

Rpta. 6

3. Dar (a + b + c) en:3246 + 3546 + 5356 = abcd 6

Rpta. 3

4. La suma de los 3 términos de una sustracción es 1440. hallar el sustraendo si es 1/3 del minuendo.

Rpta. 240

6. Sabiendo que:CA [CA aabc = 174] = 25.Hallar a + b + c

Rpta. 16

7. Hallar la suma de cifras del producto: P = 2003

cifras70

)99.......99(

Rpta. 630

8. Hallar la suma de cifras del producto abc . 27, sabiendo que los productos parciales suman 2862.

Rpta. 27

9. En una multiplicación la suma de sus 3 términos es 149, si al


50

51 52


5. Si: cbanm2abc =− . Calcular (a – c + n + m)

Rpta. 19

multiplicando se le multiplica por 3. La suma de sus 3 nuevos términos es 429. hallar el multiplicador

Rpta. 9

11.En una división entera, la suma del dividendo, divisor y cociente es 984. Hallar el cociente si el residuo por defecto es 31 y el residuo por exceso es 21.

Rpta. 17

12.¿Cuántos numerales de la forma 5ab5 son tales que al ser dividido entre otro entero positivo, se obtiene otro cociente 17 y por residuo el máximo posible?

Rpta. 11

13.Al dividir abc entre bc se obtuvo 11 de cociente y 80 de residuo. Hallar abc

Rpta. 982

14.Hallar “E” si E = 3 + 33 + 333 + 3333 +...... +

"cifrasn"

3......33

Rpta. 27

10n910 1n −−+

15.Hallar “E” si :

E = 3 + 33 + 333 +...+ cifras"n"

3...33

Rpta. 27

10n910 1n −−+

16.Si: 43. N = 672)2( ba + ;28 . N = 6)2(72 +baCalcular la suma de cifras de “N”

Rpta. 12

DPTO. DE PUBLICACIONES

“Manuel Scorza”V.L.E.B.


1. Si: 3. cbabc = .... 262. Hallar “a”

A) 1 B) 2 C) 4D) 6 E) 9

2. El dividendo es 5 veces el divisor en una división exacta. Si la suma de sus términos es 185. el dividendo es: A) 150 B) 200 C) 180D) 120 E) 140

3. Hallar el número )1( −aa si si CA es )3)(5( +− bb

A) 43 B) 54 C) 65D) 76 E) 87

5. Hallar la suma de las cifras del producto:

P = 438 . CIFRAS40

99........9999

A) 360 B) 270 C) 180D) 90 E) 450

6. Si: a + b + c = 14. hallar: cabbcaabc ++

A) 1554 B) 1545 C) 1525D) 1555 E) N.A

7. Hallar: cdu ; si c + d + u = 13 y cd +du = 97

A) 436 B) 634 C) 546D) 543 E) 765


53


4. Hallar: A + B + C + D si JCDDDABCD =7.

A) 20 B) 23 C) 15D) 16 E) 14

8. Si: 2xycbaabc =− . Hallar: x2 + y2

A) 110 B) 120 C) 130D) 140 E) 150

9. El producto de 2 números es 588 y el cociente entre ellos es 4 dando como residuo 1. ¿cuál es el menor número?

A) 14 B) 21 C) 28D) 12 E) 7

10.Si: bbaa . = 3388. Hallar “ a + b”

A) 9 B) 10 C) 11D) 13 E) 13

CLAVES

1. D

2. A

3. C

4. D

5. A

6. A

7. B

8. C

9. D

10. B

PRACTICA DEPORTE

TEMA: DIVISIBILIDAD

Son reglas que al aplicarlos a los números naturales, nos permiten determinar si son divisibles por cierto divisores. Si no fueran divisibles, con dichas reglas se podrían determinar los residuos.

MúltiploUn número A es múltiplo de otro B cuando A contiene a B cierto número

entero y exacto de veces.

DivisoresSe dice que un número B es divisor o divide a A, cuando está contenido

un número entero y exacto de veces.

Si: A Bo k

Donde k ∈ Z.Se dice que A es múltiplo de B.

⇒ A = BK: A = ºB

Operaciones con los Múltiplos

1. ººººaaaa =++

2. ºa - º

a = ºa


5455


3. ºa . º

a = ºa

4. ºa . K = º

a5. ( º

a )k = ºa

6. Si 5a = º7 , como 5 no tiene ningún factor común que 7 aparte de la

unidad, entonces “a” tiene que ser múltiplo de 7.7. Todo número es múltiplo de la base en la cual está escrito, más la última

cifra abcde n = 0n + e

8. ( 0a + b)k = 0

a + bk

0a + bk (k es par)

También: (a - b)k = 0a - bk (k es impar)

Criterios DivisibilidadSon las condiciones que debe reunir un número para asegurar que es

divisible por otro, sin que sea necesario efectuar la división y también para encontrar los residuos.

Divisibilidad por 2Un número es divisible por 2 cuando termina en cero o cifra par.

abcd = 02 ⇒ d = 0, 2, 4, 6, 8

Divisibilidad por 5Un número es divisible por 5 cuando termina en cero o cinco

abcd = 05 ⇒ d = 0, 5

Divisibilidad por 3 ó 9Un número es divisible por 3 ó 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de

3 ó 9.

abcd = 03 ⇒ a + b + c + d = 0

3abcd = 0

9 ⇒ a +b c + d = 09

Divisibilidad por 11

Si: +−+−+−fedcba

= 011

Entonces: (f + d + b) – (e + c + a) = 011

Divisibilidad por 7

+−+

=23113213

7cdefghkba0

Entonces: 3a + b – 2c – 3d – e + 2f + 3g+ h = 07

Divisibilidad por 13

+−+−

=114334143

13kfghedcba0

Entonces: –4a – 3b + c + 4d + 3e – f + 4g – 3 h + k = 013

OBSERVACIONES:SI AUN NÚMERO SE LE APLICA EL CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR “a” Y ESTA APLICACIÓN NO RESULTA EXACTA, ENTONCES SE OBTENDRÁ UNA CANTIDAD QUE SERÁ EL RESIDUO DE DIVIDIR N ENTRE “a”

Divisibilidad por 2n ó 5n

Un número es divisible por 2n o 5n si sus últimas “n” cifras son ceros o forman un número que sea divisible por 2n o 5n respectivamente.


56

57



1. Hallar de “a + b”, si:

60ab30 = 099

Rpta. 9

2. Hallar “b” si: b89152 = 091

Rpta. 7

3. Si: abba = 063 (b ≠ 0)

Hallar: “a + b”

Rpta. 9

6. En un barco iban 100 personas ocurrió un naufragio un se sabe que los 2/7 de los sobrevivientes son peruanos y los 5/9 de los sobrevivientes son casados. ¿Cuántas personas murieron?

Rpta. 37

7. Hallar: “a . b”, si: 07=+ aaba

011=+ babb

Rpta. 18

8. Hallar “a” sabiendo que: 366

4342a 8 = 07 + 2

4. Hallar “a - b”0

441 =baab

Rpta. 5

5. Si: 072=abba . Hallar “a . b”

Rpta. 18

Rpta. 3

9. Hallar “a” si:

+

+

+

=

125

49

34

0

0

0

abbc

Rpta. 2

13.Hallar “x” si: 01778x2 =

Rpta. 2

14.¿Cuántos números de 3 cifras son múltiplos de 13 más 8?

Rpta. 69

15.Simplificar:

( 09 +1)2 +( 0

9 +2)2 + ( 09 + 3)2 + . .

. . . . +( 09 +51)2

Rpta. 09 - 1

16.¿Qué numero natural debemos quietar a 21019 para que el

resultado sea 015 ?

Rpta. 8


58

59



1. Hallar “a”, si 486a = 011

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

2. Hallar “a”, si 45a = 04

A) 0 B) 3 C) 5D) 7 E) Hay 2 res puestas

3. ¿Cuántas cifras como mínimo debe tener el número

6. ¿Cuántos números de 4 cifras consecutivas, sin importar el orden de ellas, son divisibles por 9?

A) 6 B) 12 C) 18D) 24 E) 256

7. Hallar el residuo de dividir

cifras77

7.......777 por 9

A) 8 B) 7 C) 6D) 5 E) 4

222........222 para ser 099 ?

A) 6 B) 12 C) 18D) 24 E) 9

4. Hallar “a” si 532 aa = 07 + 6

A) 2 B) 5 C) 4D) 6 E) 6

5. Hallar ab si: 0995322 =ab

A) 42 B) 24 C) 32D) 23 E) N. A

8. Hallar “a”si: 09737 =aa

A) 1 B) 3 C) 5D) 6 E) 7

9. ¿Cuántos números de la forma aaa777 son divisibles por

4?

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

10. Si 064157 =aa , Dar la suma

de valores que forma “a”

A) 3 B) 5 C) 7D) 10 E) 15

CLAVES


6061


1. B

2. E

3. C

4. C

5. B

6. D

7. A

8. C

9. C

10. E

TEMA: NÚMEROS PRIMOS

Estudia los posibles divisores de un número (N). Esta división debe ser por lo general exacta.

Un número es PRIMO ABSOLUTO, cuando tiene sólo dos divisores que son el mismo número y la unidad

Ejemplo:1 1 1 1 1

2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 23 ; etc.2 3 5 7 23

Un NUMERO COMPUESTO, cuando tiene más de dos divisores

Ejemplo:6 sus divisores son: 1, 2, 3, 615 sus divisores son: 1, 3, 5, 1520 sus divisores son:1, 2, 4, 5, 10, 20

Los Números Primos Entre Sí (PESI)Llamado también relativos, se denomina así al conjunto de números que

tiene como único divisor común a la unidad.

Métodos para Reconocer si un número es o no Primo• Se tiene la raíz cuadrada por exceso del número• Se divide el número entre todos los números primos. Menores o iguales que

su raíz cuadrada por exceso y sin ninguna de las divisiones resulta exacta, el número es primoAplicación – Determine si 97 es o no número primo

– Determinar si 173 es o no número primoFormulas Usuales• Número de Divisiones: (N°D)

Sea N = aα . bβ . cλ ........Entonces

. N°DN = (α + 1)(β + 1)(λ + 1) ......... .

Ejemplos: 1. ¿Cuántos divisores tiene 540?2. Hallar el número de divisores de 588 000

• Suma de Divisiones de un número: (SD)Sea N = aα . bβ . cλ ........Entonces:

. SDN = ......1

11

11

1 111

−

−

−

−

−

− +++

cc

bb

aa λβα

.


62 63


Ejemplos:1. Hallar la suma de divisores de 5402. La suma de todos los divisores de 2160 es:

• Producto de los divisores de un número:SeaN = aα . bβ . cλ ........Entonces: PD(N) = ).....1)(1)(1( +++ λβαNO También: PD(N) = )(NDNN °

. ( )

( )2

NDºN

N NPD = .

Ejemplos:1. Hallar el producto de los divisores2. Hallar el producto de todos los divisores de 36.

• Suma de las inversas de los divisores de un número “N”: (SIN)

. SI(N) = N

SDN .

Ejemplos:Determinar la Suma de las Inversas de los divisores de 540

• El indicador de un número “N”(ϕ(N)); son indica la cantidad de números menores enteros que N que son primos con N.Sea N = aα . bβ . cλ ........Entonces:

. ϕ(N) = aα - 1 . bβ - 1 .cλ - 1 ...............(a – 1)(b - 1)(c - 1) .

Ejemplos:1. Sea el número 180 ¿Cuántos números con primos con el y son también

menores que él?

Conceptos Adicionales:• Divisor propio: Son todos aquellos divisores menores que él mismo

Ejemplo: 12, divisores propios {1; 2; 3; 4; 6}

• Números perfectos: Son aquellos números cuya suma de sus divisores es igual a él mismoEjemplo:: 6 ∧ 28

• Número defectuoso: Son aquellos números que cumplen con la condición que las sumas de sus divisores son propios son menores que él mismo.Ejemplo: 35

• Números abundantes: Llamados también, son aquellos cuya suma de divisores propios es mayor que él mismo.Ejemplo: 20

• Número amigos: Sea N1 ∧ N2 los números. Serán amigos si la suma de divisores propios de N1 es igual a N2 y viceversa.Ejemplo: 220 ∧ 284


1. Si: ab es un número primo ¿Cuántos divisores tiene el número ababab ?

Rpta. 32

2. Al dividir el mayor número de la forma bbb que tiene 12 divisores entre 5, se obtiene de residuo:

6. Hallar el número de 3 cifras, cuyos factores primos son sus 3 cifras. Dar el valor de la cifra de las centenas.

Rpta. 3

7. Si: mm m tiene 16 divisores,

“m” vale lo menos “”


64 65


Rpta. 4

3. ¿Cuántos divisores 15 tiene 453?

Rpta. 18

4. Hallar la suma de las cifras del menor número impar de 20 divisores

Rpta. 18

5. ¿Cuál es el menor número por el cual hay que multiplicar a 120, para que el producto tenga 30 divisores?

Rpta. 6

Rpta. 3

8. Hallar a + b, si ab tiene 12 divisores y (ab )2 tiene 33.

Rpta. 15

9. Si 6n tiene 30 divisores más que 7n. ¿Cuantos tendrá 8n?

Rpta. 16

10.¿Por cuánto números compuestos es divisible el número 8200?

Rpta. 20

11. Si: N = 10α .15β tiene 385 divisores. Hallar α + β

Rpta. 10

12.¿Cuántos divisores tiene la suma de todos los números de 3 cifras?

Rpta. 72

14.Si: 4a 3b tiene aa divisores. ¿Cuántos divisores tiene abba ?

Rpta. 18

15.Si: P = 4n + 1 + 4n + 4n, tienen 36 divisores, hallar el valor de “n”

Rpta. 8

13.Si: aaa tiene 8 divisores dar la suma de todos los valores de “a”

Rpta. 23


1. ¿Cuántas veces hay que multiplicar a 40 por 50 para que tenga 64 divisores más? A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 6

2. Si: N = 13n + 2 – 13n tiene 75

5. Determinar el número de divisores pares del numeral 360

A) 45 B) 40 C) 18D) 65 E) 70

6. Calcular la cantidad de divisores impares del numeral 54000


66

67


divisores compuestos, hallar el valor de n

A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 7

3. Indicar la suma de cifras del número de divisores de 600

A) 6 B) 3 C) 9D) 12 E) 15

4. ¿Cuántos divisores compuestos tienen el número 360?

A) 20 B) 21 C) 22D) 18 E) 19

A) 12 B) 9 C) 15D) 16 E) 18

7. Si el numeral a4 es PESI con 30; calcular la suma de valores de a:

A) 19 B) 20 C) 25D) 30 E) N.A

8. Si: A = 9 . 10n; tiene 27 divisores, hallar cuantas cifras tiene A3

A) 9 B) 7 C) 10D) 12 E) 13

9. ¿Cuál es el valor de “a” si el número 24 . 49ª tiene 68 divisores compuestos?

A) 2 B) 8 C) 4D) 5 E) 9

10. 2k + 2k + 2 + 2k + 2 tiene 9 divisores. Determinar el valor de K

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6

CLAVES

1. B

2. B

3. A

4. A

5. C

6. D

7. B

8. A

9. C

10. A

TEMA: MCD, MCM

Mínimo y Múltiplo (MCM)El MCM de varios enteros es el menor número entero positivo que sea

divisible entera cada uno de ellos.

Máximo Común Divisor (MCD)El MCD de varios enteros positivos, el menor entero que sea divisor de

cada uno de ellos.


6869


Ejemplo:

Divisores Números Múltiplos 1; 2; 4 ; 8 8 a; 16; 24; 32; ....

1; 2; 4 ; 6; 12 12 12; 24; 36 ........

MCD(8; 12) MCM(8, 12)

Métodos par hallar el MCD y MCMa) Por Descomposición Canónica

• El MCM es igual al producto de los factores primos comunes y no comunes con mayor exponente

• El MCD es igual al producto de los factores comunes extraídos de menor exponenteEjemplo:Dados los númerosA = 25 . 34 . 72

B = 24 . 36 . 76 . 5MCM(A, B) = 25 . 36 . 76 . 5MCD(A, B) = 24 . 34 . 72

b) Por Descomposición Simultanea

• El MCD es igual al producto de los factores comunes

• El MCM es igual al producto de los factores comunes y no comunes

extraídos

Ejemplo:

Hallar el MC-------m, Y MCD de 45; 150 y 120

45 – 120 – 15015 – 40 – 503 – 8 – 103 – 4 – 53 – 1 – 51 – 1 – 51 – 1 – . . . . . 51 – 1 – . . . . . 1

3522235

18005.3.2MCM

155.3MCD

223 ==

==

c) Métodos de Divisiones Sucesivas o Algoritmo de Euclides

No permite calcular el MCD de dos números

Sean los números A y b (A > B)

Ejemplo:Hallar el MCD de 125 y 13

Propiedades:


70 71


1. Si: A = 0B

MCD (A, B) = Número MenorMCM (A, B) = Número Mayor

2. Si: A y B son PESIMCD (A, B) = 1MCM (A, B) = A . B

3. Si MCM (a, b, c) = MEntonces:MCM(ak; bk; ck) = MkMCM(a/k; b/k; c/k) = M/k

4. Si: MCD (a, b, c) = NEntonces:MCD(ak; bk; ck) = NkMCD(a/k; b/k; c/k) = N/k

5. Si: MCD (A, B) = dA/d = q1 ∧ B/d = q2

Donde: q1 ∧ q2 son PESIEntonces: A = d91

B = dq2

6. Para dos números A y B MCM (A, B), MCD (A, B) = A . B

7. Para dos números A y BMCM(A, B) = MCD (A, B) . q1 . q2

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D)Condiciones:1° Es divisor común a los números dados2° Es el mayor posible

• Ejemplos: 1. Sean los números: 30 y 45

30 → , 3, 5, 6, 10, 15, 3045 → 1, 3, 5, 9, 15, 451° Divisores comunes: 1; 3; 5; 152° El mayor es 15 ⇒ MCD (30, 45) = 15

2. Sean los números: 24 y 4024 → 1, 2,3, 4, 6, 8, 12, 2440 →1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 401° Divisores comunes: 1, 2, 4, 82° El mayor es 8 ⇒ MCD (24, 40) = 8

Propiedad“Todos los divisores comunes de los números dados son también

divisores del M.C.D de estos números”

Determinación de MCD1° Por Factorización Individual

De cada número dado a realizar su descomposición canónica y tomar únicamente los factores comunes con su MENOR EXPONENTEEjemplo:Sean A, B y c descompuestos en sus factores primos.

A = 23 . 32 . 53 . 7B = 24 . 52 . 73 . 11 ⇒ MCD = 23 . 52 . 78

C = 25. 54 . 72 . 132

2º Por Factorización SimultaneaEjemplo:Hallar MCD de 2100, 2520 y 840.

3º Por Divisiones Sucesivas: (Algoritmo de Euclides)


72 73


Ejemplo:Calcule el MCD de 611 y 1821° Se divide el mayor entre el menor y se colocan en el gráfico

siguiente:

Se sigue con este proceso hasta que la división sea exacta (r = 0)

OBSERVACIÓN:LOS DIVISORES SE P PEDEN REALIZAR POR DEFECTO O EXCESO.

Ejemplo: Hallar el MCD de 1534 y 403

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.)Condiciones1° Es el múltiplo común a los números dados2° Es el menor posible

• Ejemplos:1. Sean los números 9 y 6

9 → 9, 18, 27, 36, 45, 54, .....................6 → 6, 12, 18, 24, 30, 36, ......................1° Múltiplo comunes: 18, 36, ....................

2° El menor es 18 ⇒ MCM (9 y 6) = 18

2. Sean los números 6, 12 y 186 → 6, 12, 18, 24, 36, 42, ..................12 → 12, 24, 48, 60, 72, 84, ................18 → 18, 36, 54, 72, 90, 108, ................1° Múltiplos comunes: 36, 72, 108 ................2° el menor es 36 ⇒ MCM (6, 12, 18) = 36

Propiedades “Todos los múltiplos comunes de los números dados son también

múltiplos del mcm de esos números”

Determinación de MCM1° Por Factorización Individual

Luego de realizar la descomposición canónica, se toman todos los factores pero con su MAYOR EXPONENTE.Ejemplo : Sean los números A, B y y C descompuestos en sus factores primos.

A = 23 . 35 . 54

B = 22 . 33 . 55 . 72 ⇒ MCD (A, B Y C )= 24 . 35 . 55 . 72 . 113

C = 24. 53 . 113

2° Por Descomposición SimultaneaEjemplo:Hallar el MCM de 2100, 2520 y 420

PROPIEDADES GENERALES

1. Si: A = 0B ⇒ MCD (A, B) = B

MCD (A, B) = A


74

75


Ejemplo:

24 = 06 ⇒MCD (24, 6) = 6

MCM (24, 6) = 24

2. Si A y B son números PESI- MCD (A, B) = 1- MCM(A,B) = A . B

OBSERVACIÓN:[MCM (A, B) = A . B . C]↔ [A, B, C son PESI 2 a2]

Ejemplo: Calcule “a + b” si el MCM de )1( +bayab es 992

Resolución)1( +bayab por ser números consecutivos son PESI luego:

MCM ( ))1(; +baab = ( ))1(. +baab = 992 ⇓ (31 . 32)

3. Si en varios números se les divide a cada uno entre su MCM, los cocientes que se obtienen son números PESI.MCD(A, B, C) = d

rdCq

dBp

dA === ;;

son PESI

OBSERVACIÓN:SI SE DIVIDE MCM DE VARIOS NÚMEROS ENTRE CADA UNO DE ELLOS, LOS COCIENTES OBTENIDOS SON NÚMEROS PESI

4. Dados 2 números A y B se cumple que:

. MCD (A, B) . MCM (A .B) = A . B .

5. Si a varios números se les multiplica o divide por una misma cantidad, entonces el MCD y MCM de dichos números quedad multiplicado o dividido por dicha cantidad.

- MCD(A, B, C) = d

=

=

kd

kC

kB

kAMCD

dkCKBkAkMCD

,,

),,(

- MCM(A, B, C) = m

=

=

km

kC

kB

kAMCD

mkCKBkAkMCD

,,

),,(


1. La suma de los residuos que se obtienen al calcular el MCD de

4. Hallar 2 números cuyo MCD es 18 y que tienen 21 y 10 divisores


76

77 78


924 y 548 por método de las divisiones sucesivas es:

Rpta. 604

2. Se dispone de ladrillos cuyas dimensiones son 16, 14 y 12cm. ¿Cuántos de éstos ladrillos serán necesarios para formar el cubo compacto mas pequeño posible?:

Rpta. 14112

3. Se tiene un terreno de forma rectangular cuyas dimensiones son 360m y 280m, se debe parcelarlo en terrenos cuadrados e iguales de tal manera que no sobre ni falte terreno. El número de parcelas que se obtendrán como mínimo es:

Rpta. 63

respectivamente. Dar como respuesta la suma de dichos números.

Rpta. 738

5. Si el MCD de A y B es 74 y MCD de 7A y 5B es 2590, calcule B si la suma de A y B es 888.

Rpta. 518

6. Hallar el valor de dos números sabiendo que están en la relación de 5/16 y que su MCD es 21.

Rpta. 105 y 336

7. En la determinación del MCD de un par de números por el método de Algoritmo de Euclides, se obtuvo los cocientes sucesivos: 1; 3; 2 y 4. Si el MCD es 7; el número mayor es:

Rpta. 280

8. Si: MCD de 3cb1y7ab1 es 99. Hallar (a + b + c)

Rpta. 16

13.Determinar el MCM de dos números, cuya diferencia es mínima y tiene por MCD a 55. siendo su suma 990.

9. A = 4n . 5n . y B = 12n . 15n y MCD (A, B) tiene 15 divisores, calcular “n”

Rpta. 2

10. Determinar el MCD de 227 y 2125 por el método de Algoritmo de Euclides e indicar la suma de los residuos obtenidos.

Rpta. 37

11. El valor de MCM de 20n y 152n es:

Rpta. 900n

12. El producto y el cociente de MCM y el MCD de dos números son 1620 y 45 respectivamente. El mayor de dichos números será:

Rpta. 54

Rpta. 4235

14.Hallar el menor de dos números tales que su MCD sea 36 y su MCD sea 5148

Rpta. 36

15.El MCD de los números 36k; 54k y 92k es 1620. hallar el menor de los números:

Rpta. 3240

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1. Determinar el MCD es 1240 y 980 por el método de

4. El MCD de dos números es 9. ¿Cuál es su MCM, si el


79


Algoritmo de Euclides. La suma de los cocientes que se obtienen en el proceso A) 9 B) 10 C) 11D) 12 E) 13

2. Se tiene tres cajas de galletas y granel y se desea empaquetarlas en bolsas plásticas de manera que no sobren de las 270, 390 y 450 galletas que respectivamente hay en las cajas. ¿Cuántas bolsas plásticas como mínimo se necesitan?

A) 74 B) 38 C) 66D) 37 E) 84

3. El MCD de dos números es 18 y su MCM es 108. si un o de los números es 36. ¿Cuál es el otro números?

A) 60 B) 58 C) 56D) 54 E) 52

producto de dichos números es 1620?

A) 180 B) 190 C) 45D) 58 E) 135

5. N representa un número entre 50 y 60. el MCD de N y 16 es 8. ¿Cuál es el valor de N?

A) 52 B) 54 C) 56D) 58 E) 59

6. El MCD de 2 números es 8 y los cocientes de las divisiones sucesivas para obtener dicho MCD son 2, 2, 1, 1 y 7. Hallar los números

A) 136 y 184 B) 248 y 326C) 296 y 736 D) 304 y 728E) 312 y 744

7. El MCM de dos números es 630 si su producto es 3780. ¿Cuál es su MCD?

9. Sean A y B dos números primos entre sí, ¿cuál será su MCD y cuál su MCM?

A) 15 B) 12 C) 6D) 10 E) 9

8. Hallar el MCD de 168; 248 y 360

A) 4 B) 8 C) 16D) 12 E) 24

A) A . B; A - B B) A + B, A – BC) AB; 1 D) 1; A . BE) No se puede determinar

10. Hallar el valor de “k” si:MCD (5A; 5B) = 20KMCD(A, B) ) 5K - 10

A) 6 B) 8 C) 10D) 12 E) 16

CLAVES

1. A

2. D

3. D

4. A

5. C

6. D

7. C

8. B

9. D

10.C


8080

80


ÍNDICE

PÁG.

TEORÍA DE CONJUNTOS.............................................................................................. 7

NUMERACIÓN................................................................................................................ 29

CUATRO OPERACIONES................................................................................................ 41

DIVISIBILIDAD............................................................................................................. 54

NÚMEROS PRIMOS........................................................................................................ 61

M.C.D. Y M.C.M............................................................................................................ 68

1) Si a una cantidad se le aumenta su 20% y a la nueva cantidad se le disminuye su 20%, se puede afirmar, con respecto a la cantidad inicial, que:

a) Aumenta 10%b) Disminuye 10%c) No variad) Disminuye 4%e) Disminuye 8%

2) Si en una reunión social, el 75% de los hombres es igual al 45% de las mujeres. ¿Qué porcentaje del total de personas son mujeres?

a) 37,5% b) 62,5%c) 56,5% d) 43%e) 36%

3) En un corral, el 40% son patos; el 35% son conejos y el resto, pavos. Si el número de patos se triplica y se duplica el de los otros 2. ¿Que porcentaje del nuevo total son patos?

a) 20,83% b) 40,6%c) 29,16% d) 50%e) N.A.

4) Si un lado de un cuadrado aumenta en 20%. ¿En que porcentaje aumenta su área?

a) 20% b) 30%c) 36% d) 44%e) 48%

5) Si la base de un triángulo se triplica y su altura se duplica. ¡En que porcentaje aumenta su área?

a) 200% b) 300%c) 400% d) 500%e) 900%

6) Si el largo y el ancho de un rectángulo aumentan en 20% y 25% respectivamente su área aumenta en 2400 m2. hallar el área inicial del rectángulo.

a) 3600 m2 b) 4800c) 3200 d) 4500e) 7200



7) Hallar el 25% del 120% del 60% del 15 por 45 de 1500.

a) 150 b) 120c) 80 d) 60e) 90

8) Al sueldo de un empleado se le hace un aumento del 20% al comenzar el año y en el mes de julio, un aumento del 10% sobre el total. ¿Qué porcentaje de su sueldo del año anterior estará recibiendo en Agosto?

a) 128% b) 130%c) 103% d) 125%e) 132%

9) Si gastara el 30% del dinero que tengo y ganara el 28% de lo que me quedaría. Perdería S/. 156. ¿Qué cantidad de dinero tengo?

a) 3500 b) 2000c) 1500 d) 1560e) 1800

10) Se estima que una mezcladora de concreto sufre un depreciación del 10% por cada año de uso, respecto al precio que tuvo al comenzar el año. Si al cabo de 4 años su precio es de S/. 131 220. entonces el costo original de la mezcladora es:

a) 200 mil b) 150 milc) 170 mil d) 250 mile) 300 mil


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