Aritmetica modular. Teoremas de Euler y Fermat. Teorema chino delos restos. Restos potenciales. Criterios de divisibilidad.

Contenidos:

Congruencias.

Enteros modulo m.

Operaciones con congruencias.

Ecuaciones de congruencias.

Teoremas de Euler y Fermat.

Teorema chino de los restos.

Restos potenciales.

Criterios de divisibilidad.

M.A.Galan, CURSO 08-09

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Congruencias

Definicion. Sean a, b Z y m un entero positivo. Decimos que a y b soncongruentes respecto del modulo m, cuando divididos por el producen elmismo resto. Es decir, (a b) es multiplo de m.

a b (mod m)Propiedades

a a (mod m) (propiedad reflexiva)

Si a b (mod m), entonces b a (mod m) (propiedad simetrica)

Si a b (mod m) y b c (mod m), entonces a c (mod m) (propiedadtransitiva)

Si a es primo con m, todo b a (mod m) sera tambien primo con m.

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Definicion. Para cada entero x y cada entero positivo m, llamaremos clasede x modulo m, [x]m, al conjunto de numeros enteros congruentes con xmodulo m.

Ejemplo: La clase de congruencia modulo 3, realiza una particion de Z entres clases:[0] = {. . . ,3, 0, 3, 6, 9, . . .}[1] = {. . . ,2, 1, 4, 7, 10, . . .}[2] = {. . . ,1, 2, 5, 8, 11, . . .}

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Enteros modulo m

Definicion. Llamaremos conjunto de enteros modulo m, y escribiremos Zm,al conjunto de las clases modulo m. Es decir,

Zm = {[0]m, [1]m, . . . , [m 1]m}

Definicion. En Zm definimos una suma y un producto de la siguiente forma:

[x]m + [y]m = [x+ y]m

[x]m [y]m = [x y]mDefinicion. [r]m elemento de Zm se dice que es inversible si existe un elementox de Zm tal que [r]m [x]m = [1]m.Teorema. [r]m Zm es inversible si, y solo si, r y m son primos entre s.

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Operaciones con congruencias

Sean a, b, c, d Z y m un entero positivo.

Si a b (mod m) y c d (mod m), entonces (a+c) (b+d) (mod m)

Si a b (mod m) y c d (mod m), entonces (a c) (b d) (mod m)

En particular, si se trata de multiplicar una sola congruencia, a b (mod m)por s misma n veces, tedramos: an bn (mod m)

Combinando los resultados anteriores, si a b (mod m) y ai Z, coni = 0, 1, . . . , n, entonces

a0an+a1a

n1+. . .+an1a+an a0bn+a1bn1+. . .+an1b+an (mod m)

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Los cocientes de dividir dos numeros congruentes entre s respecto delmodulo m, entre un divisor comun a ambos y primo con m, son con-gruentes respecto de dicho modulo. Es decir, si ah bh (mod m), conmcd(m,h) = 1, entonces a b (mod m).

Sea h un divisor comun a los dos miembros de una congruencia y a sumodulo. En dicho caso podemos simplificar la congruencia de la siguientemanera: si ah bh (mod mh), entonces a b (mod m).

Si a b (mod k m), conm, k enteros positivos, entonces a b (mod m)y a b (mod k).

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Inverso modulo m

Definicion. Dados varios numeros se dice que forman un sitema de numerosincongruentes respecto del modulo m, cuando los restos de la division decada uno de ellos por m son todos distintos.

Definicion. Dado a Z, decimos que a es el inverso de a modulo m, siaa 1 (mod m)Teorema. La condicion necesaria y suficiente para que un entero a poseaun inverso modulo m, m > 1, es que mcd(a,m) = 1. Ademas ese inverso esunico modulo m.

Teorema. Existe un entero positivo unico a menor que m que es un inversode a modulo m y cualquier otro inverso de a modulo m sera congruente cona modulo m.

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Ecuaciones de Congruencia

Definicion. Dados a, b Z, un entero positivo m y una variable incognita x,la relacion:

ax b (mod m)recibe el nombre de ecuacion de congruencia lineal.

Teorema. La ecuacion de congruencia ax b (mod m)

Tiene solucion unica si d = mcd(a,m) = 1.

Tiene un total de d = mcd(a,m) soluciones si d|b

Ninguna solucion si d no divide a b

Cuando d | b, siendo xo una solucion, las d soluciones distintas respecto delmodulo m seran

[xo + (m

d) i] (mod m)i = 0, 1, . . . , d 1

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Funcion de Euler

Definicion. Sea n un numero entero mayor o igual que 1. La funcion deEuler, (n), es el numero de enteros x (1 x < n), tales que x y n sonprimos entre s.

Teorema. Sea n Z, n 2. Sea n = pe11 pe22 . . . perr su descomposicion enfactores primos. Entonces:

(n) = n(1 1p1)(1 1

p2) . . . (1 1

pr)

Observese que si p es primo, entonces (p) = p 1.Consecuencia: El numero de elementos inversibles de Zm es (m).

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Teoremas de Euler y Fermat

Teorema (Euler). Sean y,m enteros con m 2 y tales que mcd(y,m) = 1.Entonces

y(m) 1 (mod m)

Teorema (Fermat). Es el caso particular en el que m es un primo p ytendramos: Si p no divide a y, entonces

yp1 1 (mod p)

Corolario. Si p es un numero primo y a Z, entonces ap a (mod p)Ejemplo: Calcular el resto de dividir 347 entre 23.

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Teorema chino de los restos.

Teorema (chino de los restos). Sean m1,m2, . . .mn enteros positivos, pri-mos dos a dos. El sistema

x a1 ( mod m1)x a2 ( mod m2)

. . .

x an ( mod mn)tiene una unica solucion modulo m = m1 m2 . . . mn, es decir, existe unasolucion x, 0 x < m y cualquier otra sera congruente modulo m con ella.

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Teorema (chino de los restos generalizado). Sean m1,m2, . . .mn enterospositivos, y a1, a2, . . . , an Z. El sistema de congruencias:

x a1 ( mod m1). . .

x an ( mod mn)tiene solucion si y solo si, mcd(mi,mj) divide a (ai aj) para cualesquierai 6= j.En dicho caso, la solucion general es unica modulo mcm(m1,m2, . . . ,mn).

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Restos potenciales

Definicion. Dado n Z, llamamos restos potenciales de n respecto al modulom, los restos respecto de ese mismo modulo de las potencias sucesivas

n0, n1, n2, . . . , nh, . . .

Ejemplo: Restos modulo 12 de las potencias sucesivas de 5:

5 5 ( mod 12)52 = 25 1 ( mod 12)53 = 525 5 ( mod 12)54 = 5252 1 ( mod 12)

. . .

Los distintos restos 5, 1, 5, 1, . . . se obtienen de forma periodica.

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Criterios de divisibilidad

Teorema. Sea P (x) un polinomio con coeficientes enteros y sea n 1. Sia b ( mod m) entonces P (a) P (b) ( mod m).Criterios de divisibilidad. Sea N = anan1 . . . a1a0 con 0 ai 9 la expresiondecimal de un entero N . Si consideramos P (x) = anx

n + . . . + a1x + a0tenemos que N = an10

n + . . .+ a110 + a0 = P (10).

Criterio de divisibilidad por 3

10 1 (mod 3) N = P (10) P (1) = ni=0 ai (mod 3)Criterio de divisibilidad por 9

10 1 (mod 9) N = P (10) P (1) = ni=0 ai (mod 9)Criterio de divisibilidad por 11

10 1 (mod 11) N P (1) = a0 a1 + . . .+ (1)nan (mod 11)

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