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COMISSÃO DE VALORES IMOBOLIÁRIOS Matemática Financeira

Marcos Luciano

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OBSERVE O SEGUINTE PROBLEMA: 01. (AUDITOR PÚBLICO EXTERNO TCE MT FMP 2011) Um loja financia a compra de um eletrodoméstico no valor à vista de R$ 1.300,00, em três prestações mensais iguais, sem entrada, isto é, a primeira das prestações com vencimento um mês após a compra. Sabendo-se que a taxa de juros utilizada é de 5% ao mês o valor da prestação é:

a) R$ 454,63. b) R$ 477,36. c) R$ 498,33. d) R$ 501,63. e) R$ 3.540,16.

RESOLUÇÃO: RESOLUÇÃO:

SÉRIE DE PAGAMENTOS UNIFORMES E PERIÓDICOS (AMORTIZAÇÕES)

Existem três tipos de Amortizações (Rendas Certas): Classificação das Amortizações:

I. Postecipadas; II. Antecipadas;

III. Diferidas ou com carência. Observação: quando não for informado o modelo de Amortização, deve-se considerar a Amortização Postecipada. Características das amortizações:

Parcelas de mesmo valor (Sistema de Amortização Francês - Tabela Price);

Mesmo intervalo de tempo entre as parcelas;

Taxa de juros compostos (Desconto composto racional).

Elementos das amortizações:

A: valor atual (presente);

P: valor da prestação (renda);

i: taxa de juros compostos;

n: número de prestações.

I. AMORTIZAÇÃO POSTECIPADA (MODELO PRICE) É a renda em que o primeiro pagamento ocorre um período após a realização do negócio. Assim sendo o nº de prestações é igual a n, a primeira prestação será paga no final do primeiro período (data 1) e a última prestação será paga na data n. Fórmula para o cálculo do Valor Atual (Presente): sendo P o valor das prestações, A o valor presente (valor atual) e i a taxa de juros compostos, assim a fórmula para o cálculo de A é:

𝑨 = 𝑷 ∙(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏

𝒊 ∙ (𝟏 + 𝒊)𝒏

Importante: O fator:

(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏

𝒊 ∙ (𝟏 + 𝒊)𝒏

é denominado de FATOR DE VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS e pode ser indicado pela seguinte notação:

𝒂𝒏¬𝒊 Assim, a fórmula acima pode ser escrita da seguinte forma:

𝑨 = 𝑷 ∙ 𝒂𝒏¬𝒊 (𝑨𝒕𝒖𝒂𝒍 = 𝑷𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂çõ𝒆𝒔 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒊𝒔 ∙ 𝑭𝒂𝒕𝒐𝒓)

Para cada valor de i e n, se obtém um valor diferente para tal fator. Dessa forma, o mesmo pode ser obtido em uma tabela. Segue a tabela para sua visualização:

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Tabela II - Fator de Valor Atual de uma Série

de Pagamentos 𝒂𝒏¬𝒊 =(𝟏+𝒊)𝒏−𝟏

(𝟏+𝒊)𝒏×𝒊

Assim, a fórmula acima pode ser escrita da seguinte forma:

𝑨 = 𝑷 ∙ 𝒂𝒏¬𝒊 (𝑨𝒕𝒖𝒂𝒍 = 𝑷𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂çõ𝒆𝒔 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒊𝒔 ∙ 𝑭𝒂𝒕𝒐𝒓)

Para cada valor de i e n, se obtém um valor diferente para tal fator. Dessa forma, o mesmo pode ser obtido em uma tabela. Segue a tabela para sua visualização:

EXERCÍCIOS EM AULA: 01. (AUDITOR PÚBLICO EXTERNO TCE MT FMP 2011) Um loja financia a compra de um eletrodoméstico no valor à vista de R$ 1.300,00, em três prestações mensais iguais, sem entrada, isto é, a primeira das prestações com vencimento um mês após a compra. Sabendo-se que a taxa de juros utilizada é de 5% ao mês o valor da prestação é:

a) R$ 454,63. b) R$ 477,36. c) R$ 498,33. d) R$ 501,63. e) R$ 3.540,16.

RESOLUÇÃO:

02. (AFRF ESAF) Uma pessoa faz uma compra financiada em doze prestações mensais e iguais de R$ 210,00. Obtenha o valor financiado, desprezando os centavos, a uma taxa de juros compostos de 4% ao mês, considerando que o financiamento equivale a uma anuidade e que a primeira prestação vence um mês depois de efetuada a compra.

(A) R$ 3.155,00 (B) R$ 2.048,00 (C) R$ 1.970,00 (D) R$ 2.530,00 (E) R$ 2.423,00

RESOLUÇÃO: RESOLUÇÃO: 03. (SUSEP ESAF) Um consumidor comprou um automóvel no valor de R$ 25.000,00 pagou uma entrada à vista de R$ 5.000,00 e financiou o restante em doze prestações mensais de R$ 2.009,24, vencendo a primeira ao fim do primeiro mês e assim sucessivamente. Indique a taxa de juros mensal do financiamento.

(A) 1% (B) 2% (C) 3% (D) 4% (E) 5%

RESOLUÇÃO:

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04. (AFRF ESAF) Uma compra no valor de R$ 10.000,00 deve ser paga com uma entrada de 20% e o saldo devedor financiado em doze prestações mensais iguais, vencendo a primeira prestação ao fim de um mês, a uma taxa de 4% ao mês. Considerando que este sistema de amortização corresponde a uma anuidade ou renda certa, em que o valor atual da anuidade corresponde ao saldo devedor e que os termos da anuidade correspondem às prestações, calcule a prestação mensal, desprezando os centavos:

(A) R$ 986,00 (B) R$ 852,00 (C) R$ 923,00 (D) R$ 900,00 (E) R$ 1.065,00

RESOLUÇÃO: RESOLUÇÃO: 05. (AFRF ESAF) Na compra de um carro em uma concessionária no valor de R$ 25.000,00, uma pessoa dá uma entrada de 50% e financia o saldo devedor em doze prestações mensais a uma taxa de 2% ao mês. Considerando que a pessoa consegue financiar ainda o valor do seguro do carro e a taxa de abertura de crédito, que custam R$ 2.300,00 e R$ 200,00, respectivamente, nas mesmas condições, isto é, em doze meses e a 2% ao mês, indique o valor que mais se aproxima da prestação mensal do financiamento global.

(A) R$ 1.405,51 (B) R$ 1.418,39 (C) R$ 1.500,00 (D) R$ 1.512,44 (E) R$ 1.550,00

RESOLUÇÃO: RESOLUÇÃO: 06. (ANALISTA CMV ESAF 2010) Pretende-se trocar uma série de oito pagamentos mensais iguais de R$ 1.000,00, vencendo o primeiro pagamento ao fim de um mês, por outra série equivalente de doze pagamentos iguais, vencendo o primeiro pagamento também ao fim de um mês. Calcule o valor mais próximo do pagamento da segunda série considerando a taxa de juros compostos de 2% ao mês.

(A) R$ 750,00 (B) R$ 693,00 (C) R$ 647,00 (D) R$ 783,00 (E) R$ 716,00

RESOLUÇÃO: RESOLUÇÃO: II. RENDA (AMORTIZAÇÃO) ANTECIPADA É a renda em que o primeiro pagamento ocorre ato da realização do negócio. Assim sendo o nº de prestações é igual a n, a primeira prestação será paga no início do primeiro período (data zero) e a última prestação será paga na data n – 1.

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Fórmula para o cálculo do Valor Atual (Presente): sendo P o valor das prestações, A o valor presente (valor atual) e i a taxa de juros compostos, assim a fórmula para o cálculo de A é:

• Com tabela: 𝑨 = 𝑷[𝟏 + 𝒂𝒏−𝟏¬𝒊]

• Sem tabela ou com a tabela do fator de acumulação de capital (𝟏 + 𝒊)𝒏:

𝑨 = 𝑷 ∙(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏

𝒊 ∙ (𝟏 + 𝒊)𝒏−𝟏

EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 01. (TCM ESAF RJ) Uma compra foi paga com 5 cheques pré-datados no valor de R$ 5.000,00 cada, com vencimentos mensais e consecutivos, o primeiro na data da compra. Qual o valor da compra se a taxa de juros efetiva composta cobrada pelo financiamento é de 3% ao mês?

(A) R$ 19.275,25 (B) R$ 21.432,50 (C) R$ 22.575,00 (D) R$ 23.585,50 (E) R$ 27.000,00

RESOLUÇÃO: RESOLUÇÃO: 02. (AFRFB ESAF) Uma casa pode ser financiada em dois pagamentos. Uma entrada de R$ 150.000,00 e uma parcela de R$ 200.000,00 seis meses após a entrada. Um comprador propõe mudar o esquema de pagamento para seis parcelas iguais, sendo a primeira parcela paga no ato da compra e as demais vencíveis a cada trimestre. Sabendo-se que a taxa contratada é de 6% ao trimestre, sem considerar os centavos, o valor de cada uma das parcelas será igual a:

(A) R$ 66.131,00. (B) R$ 64.708,00. (C) R$ 62.927,00. (D) R$ 70.240,00. (E) R$ 70.140,00.

RESOLUÇÃO: III. AMORTIZAÇÃO DIFERIDA (COM CARÊNCIA) É a renda em que o primeiro pagamento ocorre p períodos após a realização do negócio. Assim sendo o nº de prestações é igual a n, a primeira prestação será paga na data p + 1 e a última prestação será quitada na data n + p. Fórmula para o cálculo do Valor Atual (Presente): sendo P o valor das prestações, A o valor presente (valor atual) e i a taxa de juros compostos, assim a fórmula para o cálculo de A é:

• Com tabela:

𝑨 = 𝑷[𝒂𝒏+𝒑¬𝒊 − 𝒂𝒑¬𝒊]

• Sem tabela ou com a tabela do fator de acumulação de capital (𝟏 + 𝒊)𝒏:

𝑨 = 𝑷 ∙(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏

𝒊 ∙ (𝟏 + 𝒊)𝒏+𝒑

EXERCÍCIOS EM AULA: 01. (TCE PI ESAF) Uma operação de financiamento de capital de giro no valor de R$ 50.000,00 deverá ser liquidada em doze prestações mensais e iguais com carência de quatro meses, ou seja, o primeiro pagamento só será efetuado ao final do quarto mês. Sabendo que foi contratada uma taxa de juros de 4% ao mês, então o valor de cada uma das prestações será igual a:

(A) R$ 5.856,23 (B) R$ 5.992,83 (C) R$ 6.230,00

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(D) R$ 6.540,00 (E) R$ 7.200,00

RESOLUÇÃO: RESOLUÇÃO: