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FRACCIONES PARCIALES Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones más simples. Hay cuatro casos:
1) Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal. 2) Descomposición en fracciones parciales con un factor lineal repetido. 3) Descomposición en fracciones parciales con un factor cuadrático irreducible. 4) Descomposición en fracciones parciales con factor cuadrático repetido. Procedimiento para:
Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal. Paso 1: Siempre me debo de fijar si el grado de la función del numerador es menor que la del denominador. Si es mayor debo realizar una división larga para bajar el grado de la función del numerador. Paso 2: Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores lineales, px +q, o factores cuadráticos irreductibles, cbxax ++2 , y agrupar los factores repetidos para que la función del denominador sea un producto de factores diferentes de la forma ( )mqpx + , donde 1≥m o ( )ncbxax ++2 los números m y n no pueden ser negativos. Paso 3: Si son Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador es lineal o fracciones parciales con un factor lineal repetido.
...factor factor
++segundo
Bprimer
A
Ejemplo 1: Determinar la descomposición en fracciones parciales de:
xxxxx329134
23
2
−+
−+
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado 3 por lo tanto no tengo que hacer una división larga. Segundo: factorizo el denominador
( ) ( )( )133232 223 −+=−+=−+ xxxxxxxxx Tercero: coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
13329134
23
2
−+
++=
−+−+
xC
xB
xA
xxxxx
Obtengo el mínimo común denominador, lo opero y lo igualo al numerador.
( )( ) ( )( ) ( )( )31139134 2 ++−+−+=−+ xxCxxBxxAxx Podemos resolverlo por matrices o por el método que más nos convenga: Opero los paréntesis
( ) ( ) ( )xxCxxBxxAxx 3329134 2222 ++−+−+=−+ Ahora formo mi primera ecuación con los términos al cuadrado asi
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ACBAxCBAxxxACxBxAxCxBxAxxxCxCxBxBxAAxAxxxCxCxBxBxAAxAxxx
xxCxxBxxAxx
3329134332913433291343329134
3329134
22
2222
2222
2222
2222
−+−+++=−+
−+−+++=−+
++−+−+=−+
++−+−+=−+
++−+−+=−+
Mis tres ecuaciones son:
4111 =+++ CBA 13312 +=+− CBA
A39 −=− Tomo la tercera ecuación y encuentro el valor de A
A39 −=−
A
A
=
=−−
339
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
( )( )
13443413
4111
=+
−=+
=++
=++
=+++
CBCBCBCB
CBA
( )( )
736133
133613332
13312
=+−
−=+−
=+−
=+−
+=+−
CBCBCB
CBCBA
Multiplico las letras en los paréntesis
Quito los paréntesis
Los ordeno
Factorizo asi
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
731 =+−
=+
CBCB
2C 84
=
=C
121121
−=
−=
=+
=+
BBBCB
Coloco las respuestas en la letra correspondiente
12
313
13329134
23
2
−+
+−=
−+
++=
−+−+
xxxxC
xB
xA
xxxxx
Hay otro sistema que se puede usar únicamente cuando los términos son lineales y no repetidos que es mucho mas fácil.
1332
913423
2
−+
++=
−+−+
xC
xB
xA
xxxxx
Obtengo el mínimo común denominador, lo opero y lo igualo al numerador.
( )( ) ( )( ) ( )( )31139134 2 ++−+−+=−+ xxCxxBxxAxx Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fracción parcial
0=x 303
−=
=+
xx
101
=
=−
xx
Ahora sustituyo los valores de x x = 0
( )( ) ( )( ) ( )( )31139134 2 ++−+−+=−+ xxCxxBxxAxx ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )
AA
CBACBA
=
−=−
++−=−+
++−+−+=−+
339
00139003001001030901304 2
x = -3
( )( ) ( )( ) ( )( )31139134 2 ++−+−+=−+ xxCxxBxxAxx
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )
BB
CBACBA
=−
=−
−+−−+−=−−
+−−+−−−+−−+−=−−+−
11212
034340939363331331333931334 2
x = 1 ( )( ) ( )( ) ( )( )31139134 2 ++−+−+=−+ xxCxxBxxAxx
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )
CC
CBACBA
=
=
++=−+
++−+−+=−+
248
41010491343111111131911314 2
Respuesta:
12
313
13329134
23
2
−+
+−=
−+
++=
−+−+
xxxxC
xB
xA
xxxxx
EJERCICIOS
1) ( )( )32
18+−
−xx
x 2) ( )( )14
29+−
−xx
x 3) 124
342 −−
+xx
x
4) xx
x4125
2 −− 5)
( )( )( )3211154 2
−+−−−xxxxx 6)
( )( )5220192
−+++xxxxx
7) xxx
xx541554
23
2
−−−− 8)
( )( )6511137
2 +−+−
xxx
Descomposición en fracciones parciales con un factor lineal repetido. Ejemplo:
( )22
33610
−
−+
xxxx
Notamos en el ejercicio que hay un término lineal repetido que es ( )23−x Entonces lo colocamos asi:
( )233 −+
−+
xC
xB
xA
Si fuera al cubo el término repetido ( )33−x lo pondríamos:
( ) ( )32 333 −+
−+
−+
xD
xC
xB
xA
Ejemplo resuelto por pasos:
( )22
33610
−
−+
xxxx
Primero escribimos en el denominador del término lineal x, luego escribimos en el denominador el término repetido elevado a la 1 y por último escribimos en el denominador el término repetido elevado al cuadrado así:
( ) ( )22
2
3333610
−+
−+=
−
−+
xC
xB
xA
xxxx
Como tenemos término repetido ya no podemos usar la forma fácil de resolver únicamente por sistemas de ecuaciones. Pasos operamos el mínimo común denominador y lo igualamos al numerador.
( ) ( )( ) ( )xCxxBxAxx +−+−=−+ 333610 22 Operamos los paréntesis
( ) ( ) ( )xCxxBxxAxx +−++−=−+ 3963610 222
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ACBAxBAxxxACxBxAxBxAxxxCxBxBxAAxAxxxCxBxBxAAxAxxx
93636109363610
39636103963610
22
222
222
222
++−−++=−+
++−−+=−+
+−++−=−+
+−++−=−+
Formo mis 3 ecuaciones
3691036
1
−=
=+−−
=+
ACBA
BA
Resolviendo me queda:
4369
−=
−=
AA
Sustituyo valores en la primera ecuación:
514141
=
+=
=+−
=+
BB
BBA
Multiplico las letras en los paréntesis
Quito los paréntesis
Los ordeno
Factorizo asi
Sustituyo valores en la segunda ecuación
1910109
1015241036
=
−=
=+
=+−
=+−−
CCC
CCBA
respuesta
( ) ( )22
2
31
354
33610
−+
−+
−=
−
−+
xxxxxxx
EJERCICIOS
9) ( )21
32−
+
xx 10)
( )245
2
2
+−xxx 11) 23
2
53255019
xxxx
−
−+
12) 2510
102 ++
−xxx 13)
( )( )12262
−+−xx
x 14) ( ) ( )22
2
112
+−
+
xxxx
Descomposición de una fracción parcial que contiene un factor cuadrático irreducible.
48229154
23
23
−+−−+−xxxxxx
Primero observo que el grado del numerador y denominador son iguales por lo que tengo que realizar una división larga. 2
482 23 −+− xxx 2915 4 23 −+− xxx 8 1624 23 +−+− xxx 2x x− 21−
482212
48229154
23
2
23
23
−+−−−
+=−+−−+−
xxxxx
xxxxxx
Factorizo el denominador:
( ) ( ) ( )( )12412412482 2223 −+=−+−=−+− xxxxxxxx
42 +x es un término cuadrático irreducible por lo que ahora opero asi:
12448221
223
2
−+
+
+=
−+−
−−
xC
xBAx
xxxxx
Operamos el mínimo común denominador
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )CBBAxCAxxxCBBxAxCxAxxxCCxBBxAxAxxx
xCxBAxxx
422214222142221
41221
22
222
222
22
+−++−++=−−
+−+−+=−−
++−+−=−−
++−+=−−
Formar las ecuaciones:
21412
12
−=+−
−=+−
=+
CBBA
CA
Puedes resolverlo por el método que quieras, en este caso seguiremos practicando la resolución por matices
2141010211102
−−
−+−
+++
Multiplico las letras en los paréntesis
Quito los paréntesis
Los ordeno
Factorizo asi
1102214101021
+++
−−+
+−+
1140214101021
−++
−−+
+−+
851700214 101 0 21
−++
−−+
+−+
58517
−=
−=
CC
12021214
=
+−=−
−=+−
BB
CB
3212112
=
+=
+=
=−
AA
BABA
RESPUESTA:
125
4132
1242
482212
48229154
2223
2
23
23
−−
+++
+=−
+++
+=−+−
−−+=
−+−−+−
xxx
xC
xBAx
xxxxx
xxxxxx
11 RR =−
3312 RRR =+−
114011022042
−++
+++
−+−
3324 RRR =+
8517001 140
841640
−+
−++
−−