Funciones cuadráticas

¿Qué es una Función Cuadrática?

• Es una función cuya regla de correspondencia está dada por un polinomio cuadrático, tal como

• Es una función cuya regla puede escribirse en la forma general

para 𝑎, 𝑏, 𝑐, coeficientes reales donde a ≠ 0.

Ejemplo

La función 𝑔(𝑥) = 2 𝑥 − 3 2 + 1 es cuadrática

porque su regla de correspondencia puede

escribirse en la forma general:

Características generales

• Gráfica: tiene la forma de ∪ o ∩, llamada

parábola.

• Dominio: todos los Reales, −∞, ∞ .

• Vertice: punto donde la función cuadrática

alcanza su valor mínimo o máximo.

• Intercepto en y: (0, c)

• Intercepto en x: valores donde f(x) = 0. (a lo

más 2 interceptos en x)

Funciones cuadráticas de la forma

f(x) = ax2 • Si b = 0 y c = 0 , entonces f(x) = ax2 .

o La gráfica es una parábola con con intercepto en

y en (0, 0) .

o Su vértice está en el eje de y.

Funciones cuadráticas de la forma

f(x) = ax2 + c Si b = 0 y c ≠ 0 , entonces

f(x) = ax2 + c .

o La gráfica es una parábola con intercepto

en y en (0, c) .

o Su vértice está en el eje de y.

Ejemplo

vértice (0,0) intercepto en y = intercepto en x = 0 creciente en el intervalo decreciente en

Observemos las caraterísticas de 𝑓 𝑥 = −1

2𝑥2

(−∞, 0)

(0, ∞)

• f(0) =

• f(-2)=

• f(2)=

• vértice:

• intercepto en y:

• interceptos en x:

Ejemplo Observemos las características de

f(x) = - ½ x2 + 4

Forma General • La forma general de una función

cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c , nos permite

ver :

o el intercepto en y: (0,c)

o coeficiente principal: a

• a >0 gráfica abre hacia arriba (U), la

función tiene un valor mínimo.

• si a<0 la gráfica está invertida ∩

(abre hacia abajo). La función tiene

un valor máximo.

Ejemplo • Dado f(x) = 2x2 – 6x + 4 determinar

o si la gráfica de f abre hacia arriba () o hacia

abajo ()

o si f tiene un máximo o un mínimo

o el intercepto en y

o el (los) intercepto(s) en x

continúa

Ejemplo • Para f(x) = -(6 - 3x + 4x2) determinar lo siguiente:

• forma general:

o el intercepto en y

• f(0)=

• f(0) =

o ¿abre hacia arriba? ¿abre hacia abajo?

o ¿f tiene un máximo o un mínimo?

o determinar el (los) intercepto(s) en x requiere resolver

Teorema para hallar el vértice

El vértice de la gráfica de una función cuadrática

f(x) = ax2 + bx + c,

tiene coordenada de x igual a

𝑥 = −

𝑏

2𝑎

y coordenada de y igual a

y= 𝑓(−𝑏

2𝑎)

Ejemplo

Determine el vértice de la gráfica de

f(x) = 2x2 + 10x - 12

𝑥 = −𝑏

2𝑎 y= 𝑓(−

𝑏

2𝑎)

Coordenada de x: Coordenada de y:

Ejemplo

Encuentre el dominio y el campo de valores. Identifique los interceptos. Identifique el vértice. Identifique el valor máximo o mínimo. Encuentre los intervalos sobre los cuales f es creciente y decreciente.

Observe la gráfica de f(x) = −𝟏

𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟔.

dom: −∞, ∞

cam

po

de

val

ore

s: [

𝟒,∞

)

Ejemplo (cont.) Dado f(x) = -3x2 – 6x + 4 determinar si el vértice es un

máximo o un mínimo de f

o Ya determinamos que el vértice es −1,7 .

o como a < 0, la parábola abre hacia abajo y la

función tiene un máximo.

• y = 7 es el valor máximo

o simplemente, el

máximo de f

• El máximo de f ocurre en

x = -1.

Ejemplo Para f(x) = – x2 – 2x + 8 , determinar los interceptos.

Solución:

• intercepto en y:

o f(0) = – (0)2 – 2(0) + 8

o El int-y es (0, 8).

• interceptos en x:

– x2 – 2x + 8 = 0

– (x2 + 2x – 8) = 0

x2 + 2x – 8 = 0

(x + 4) (x – 2) = 0

x = -4 x = 2

Los int-x son (-4, 0)

y (2,0).

𝑥 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

a =-1, b = -2, c = 8

𝑥 =2 ± (−2)2−4(−1)(8)

2(−1)

𝑥 =2 ± 36

−2

𝑥 = −4, 𝑥 = 2

Como alternativa pueden utilizar la fórmula cuadrática.

Forma Estándar Una ecuación cuadrática está en la forma estándar

f(x) = a(x – h)2 + k .

• La forma estándar nos permite ver

características útiles de la gráfica de f :

o (h,k) es el vértice de la gráfica

o a es coeficiente principal:

• a >0 gráfica abre hacia arriba (U), f tiene un

mínimo

• a<0 la gráfica abre hacia abajo , f tiene un

máximo

Ejemplo Determinar las coordenadas del vértice

a) f(x) = -2(x – 5)2 + 4

Solución:

Ejemplo Determinar las coordenadas del vértice

b) g(x) = 3(x + 2)2 + 1

Solución:

Ejemplo

Determinar las coordenadas del vértice

c) h(x) = -(x + 4)2 – 7

Solución:

Ejemplo

1) f(x) = -3x2 – 6x + 4

2) f(x) = 2x2 + 12x + 22

Escribir las funciones en forma estándar.

Ejemplo Hallar la ecuación de una función cuadrática,

f(x) = ax2 + bx + c , que tiene vértice V(2, 3) y

que pasa por (5, -15) .

Solución:

Ejemplo Hallar la ecuación (en

forma general) de una

función cuadrática

cuya gráfica se

muestra.

Solución:

Aplicaciones Pag. 187

Aplicaciones Pag. 188

Ejemplos adicionales

Ejemplo

Determinar interceptos en x y el vértice con TI-84. .

Usando la TI 84 𝐷𝑎𝑑𝑜 𝑓 𝑥 = 2𝑥2 − 3𝑥 − 5

• Complete la tabla de valores:

X Y

-2

0

1

3

15

Entrar la función bajo “Y= “ luego ir a “TBLSET” Para llenar la tabla de la derecha • comenzar la tabla en

-2 • indicar el incremento

en las x • oprimir <ENTER> e

ir a <TABLE>

X Y

-2 9

-1 0

1 -5

3 4

4 15

Usando la TI 84 Determine los interceptos en x 𝑑𝑒 𝑓 𝑥 = 2𝑥2 − 3𝑥 − 5.

• Obtener la gráfica de la

función.

• Oprimir <CALC>

• Elegir “Zero” que es para hallar

los ceros de la función.

• Colocar el cursor en un valor

más pequeño que el

intercepto, oprimir enter

• Colocar el cursor en un valor

más grande que el intercepto,

oprimir enter

• Coloque el cursor cerca del

intercepto, oprima enter

Usando la TI 84 Determine el máximo o mínimo 𝑑𝑒 𝑓 𝑥 = 2𝑥2 − 3𝑥 − 5.

• Obtener la gráfica de la

función.

• Observe la gráfica y determine

si tiene un máximo o mínimo.

• Oprimir <CALC>

• Elegir “minimum” o “maximum”

• Colocar el cursor en un valor

de x más pequeño que la

coordenada en x del vértice

• Colocar el cursor en un valor

de x más grande que la

coordenada en x del vértice

• Coloque el cursor cerca la

coordenada en x del vértice,

oprima enter

El vértice es (0.75, - 6.125)