MODELADO DE UN CONVERTIDOR CUADRÁTICO ELEVADOR ......instituto potosino de investigaciÓn...

INSTITUTO POTOSINO DE INVESTIGACIÓN

CIENTÍFICA Y TECNOLÓGICA A.C.

POSGRADO EN CIENCIAS APLICADAS

MODELADO DE UN CONVERTIDOR CUADRÁTICO ELEVADOR CONSIDERANDO EL EFECTO DEL ESR DE

LOS CAPACITORES

TESIS QUE PRESENTA:

I. M. E. JUAN MANUEL GARCIA IBARRA

PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRO EN CIENCIAS APLICADAS

EN LA OPCIÓN DE:

CONTROL Y SISTEMAS DINÁMICOS

DIRECTOR DE TESIS:

DR. JESÚS LEYVA RAMOS SAN LUIS POTOSÍ, S.L.P. JUNIO DEL 2008

Esta tesis fue elaborada en el Laboratorio de Electrónica de Potencia y Sistemas

de Control de la División de Matemáticas Aplicadas del Instituto Potosino de Investigación Científica y Tecnológica, A.C. bajo la dirección del Dr. Jesús Leyva

Ramos. Durante la realización del trabajo el autor recibió una beca académica del Consejo

Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT - 202455) y del Instituto Potosino de Investigación Científica y Tecnológica A.C.

iii

A mi madre, padre y hermanas por su apoyo incondicional.

iv

AGRADECIMIENTOS

A Dios por permitirme alcanzar esta meta.

A mi familia por su apoyo incondicional.

Al Dr. Jesús Leyva Ramos, por aceptar ser mi director de tesis, por su

conocimiento y apoyo brindado.

Al Dr. Alejandro Ricardo Femat Flores, Dr. Jesús Leyva Ramos, Dra. Ilse

Cervantes Camacho y Dr. Jorge Morales Saldaña, por participar y evaluar mi

trabajo de tesis, por sus recomendaciones y sugerencias para mejorar este

trabajo.

A CONACYT por la beca de maestría otorgada.

Al M. en C. Luis Humberto Diaz Saldierna, encargado del laboratorio de

Electrónica de Potencia, por su experiencia brindada en la obtención de

resultados experimentales y a la Dra. Ma. Guadalupe Ortiz y el Dr. E. Enrique

Carbajal G. por los conocimientos y experiencia compartidos.

A los profesores investigadores de las clases de Maestría, Dr. Jesús Leyva

Ramos, Dr. Ricardo Femat Flores, Dr. David Lizárraga, Dra. Ilse Cervantes, Dr.

Gerardo Escobar, Dr. Daniel Melchor, Dr. Hugo Cabrera, Dr. Arturo Zavala, Dra.

Elisabeth Huber – Sanwald y al Dr. Fernando Jaime Rodríguez Macías por los

conocimientos brindados. A mis amigos Felipe, José, Josué, Pedro, Jorge, Sosa, Bety, Gris, Aurora, Perla,

César, Chen, Nayeli, Daniela, Andrés, Ruby Angélica, Claudia, Frank, Olga,

Jaime, Misael, Tello, Ray, Gerson, Víctor Mata, Clara, Margarita.

v

Glosario de símbolos y acrónimos

u Ciclo de trabajo del convertidor conmutado

CA Corriente alterna

CD Corriente directa

CD-CD Conversión de corriente directa a corriente directa

LVK Ley de voltajes de Kirchhoff

LCK Ley de corrientes de Kirchhoff

MCC Modo de conducción continua

∏ Producto

LiIΔ Rizo en la corriente del i-ésimo inductor

CiVΔ Rizo en el voltaje del i-ésimo capacitor

MOSFET Transistor de efecto de campo con tecnología MOS

ESR Resistencia equivalente serie (por sus siglas en inglés)

vi

RReessuummeenn

Nuevos desarrollos tecnológicos requieren de fuentes de poder con relaciones

de conversión más amplias para la elevación de voltajes. Este requerimiento

puede ser resultado de una variación muy amplia en el voltaje de suministro. Un

convertidor conmutado CD-CD cuadrático elevador provee una relación de

conversión más alta que el convertidor convencional.

Un paso importante en el proceso de diseño de un controlador para un sistema

es obtener el modelo correcto. El modelo incorrecto puede afectar adversamente

el desempeño de un regulador conmutado, cuando esté operando el controlador,

inclusive hasta el punto de causar inestabilidad. Los modelos existentes no

consideran los efectos parásitos de los elementos pasivos, i. e. capacitores e

inductores; sin embargo, estos parásitos son inherentes en estos elementos y su

valor depende de los materiales usados para su construcción. En esta tesis se

obtienen, para el convertidor cuadrático elevador con un sólo interruptor activo,

los modelos: lineal conmutado, no lineal promediado y lineal promediado. Los

modelos obtenidos consideran la resistencia equivalente en serie de los

capacitores (ESR por sus siglas en inglés) y desprecian la resistencia equivalente

en serie de los inductores. Lo anterior se debe a que la ESR de los capacitores

tiene un mayor efecto.

Se muestra que la ESR de los capacitores tiene un gran efecto en las

características dinámicas produciendo un amortiguamiento parcial en el primer

pico de resonancia y un amortiguamiento casi total en el segundo pico de

resonancia. Por otra parte, en las funciones de transferencia correspondientes

existe un cambio en el número de ceros en el lado derecho del plano-s ya que

algunos se localizan realmente en el lado izquierdo del plano-s, lo anterior resulta

importante ya que puede facilitar el diseño de los controladores respectivos. Los

resultados teóricos obtenidos son verificados con resultados experimentales

usando un analizador de respuesta en frecuencia sobre un convertidor prototipo

construido en el Laboratorio de Electrónica de Potencia y Sistemas de Control.

vii

AAbbssttrraacctt

New technological developments require power supplies with wide DC

conversion ratios to produce step-up voltages. This requirement may result from a

wide variation of the input voltage. A switch-mode DC-DC quadratic boost

converter with a single switch provides a wider DC conversion ratio than the

conventional converter.

An important step in the controller design for a system is to use the right model.

Using the incorrect model can adversely affect the operation of the switching

regulator, when the controller is installed, even to the point of causing instability.

The available models in the technical literature do not consider the parasitic effects

of the passive elements, i.e. capacitor and inductors; however, the parasitics are

present and they are inherent to these elements and their values depend on the

materials used in their construction. In this thesis, switched linear, linear averaged

and nonlinear averaged models are derived for a quadratic boost converter. In

these models, the equivalent series resistance (ESR) of the capacitors is included;

however, the ESR of the inductors is neglected because they do not affect very

much the dynamic behavior.

The ESR of the capacitors produces some damping to the first resonant peak of

the corresponding transfer functions and the second resonant peak is completely

damped. On the other hand, in some of the transfer functions exist a change in the

number right-hand zeros of the s-plane as some of them changes to the left-hand

side. The above results are important because the procedure for controller design

can be simplified. A quadratic boost converter was built in the Laboratory of Power

Electronics & Control Systems where theoretical results are compared with

experimental results using a frequency response analyzer.

viii

IInnddiiccee

Constancia de aprobación de la tesis

Créditos institucionales

Dedicatorias

Agradecimientos

Glosario

Resumen

Abstract

CAPÍTULO 1 Introducción …………………………………………………………………………. 1.1 EL CONVERTIDOR CD-CD CONMUTADO………………………………... 1.2 EL CONVERTIDOR ELEVADOR CONMUTADO CD-CD………………… 1.3 PROPUESTA DEL PRESENTE TRABAJO………………………………… CAPÍTULO 2 Operación del convertidor cuadrático elevador……………………………… 2.1 PARÁSITOS DE LOS ELEMENTOS ELECTRICOS………................ 2.1.1 Elementos parásitos de los inductores…………………………………. 2.1.2 Elementos parásitos de los capacitores………………………….......... 2.2 OPERACIÓN DEL CONVERTIDOR EN MODO DE CONDUCCIÓN

CONTINUA………………………………………................................... 2.3 VALORES EN ESTADO ESTABLE……………………………………. 2.4 RESULTADOS EXPERIMENTALES…………………………………… CAPÍTULO 3 Descripción de la dinámica del convertidor……………………………………. 3.1 MODELADO EN ESPACIO DE ESTADOS CONMUTADO…………… 3.1.1 Modelo conmutado del convertidor cuadrático elevador………........... 3.2 MODELADO PROMEDIO DE CONVERTIDORES……………………. 3.2.1 Modelo promedio del convertidor cuadrático elevador………………… 3.3 MODELOS LINEALES PARA CONVERTIDORES……………………. 3.3.1 Modelo lineal del convertidor cuadrático elevador…………………….. 3.4 FUNCIONES DE TRANSFERENCIA…………………………………… 3.4.1 Convertidor cuadrático elevador sin elementos parásitos……………. 3.4.2 Funciones de transferencia del convertidor prototipo………………….

ii

iii

iv

v

vi

vii

viii

1 1 4 8

10 10 10 11

13 16 18

22 22 23 25 27 28 29 31 33 36

CAPÍTULO 4 Validación experimental del modelo……………………………………............. 4.1 DESCRIPCION DEL ANALIZADOR DE RESPUESTA EN

FRECUENCIA………………………………………………………............ 4.2 USO DEL ANALIZADOR DE RESPUESTA EN FRECUENCIA……….. 4.3 RESULTADOS EXPERIMENTALES DEL CONVERTIDOR

PROTOTIPO………………………………………………………………... 4.4 DISCUSION DE RESULTADOS EXPERIMENTALES…………………. CAPÍTULO 5 Conclusiones………………………………………………………………………… 5.1 CONCLUSIONES…………………………………………………………. 5.2 TRABAJO A FUTURO……………………………………………………. BIBLIOGRAFÍA……………………………………………………………………….

42

42 44

48 50

53 53 55

56

CCaappííttuulloo 11 IInnttrroodduucccciióónn

La electrónica de potencia tiene como objetivo principal el estudio de circuitos

electrónicos orientados al control del flujo de energía eléctrica. Los flujos de

energía manejados por estos circuitos, corresponden a niveles mucho más altos

a los manejados por un dispositivo individual [1].

El convertidor es un elemento importante de los sistemas electrónicos de

potencia. Un convertidor es un módulo básico que utiliza dispositivos

semiconductores de potencia, en algunos casos controlados por señales

externas, y puede incluir además elementos que almacenan energía tales como

inductores y capacitores [2]. Los convertidores se dividen en las siguientes

categorías: a) convertidores de CA a CD (rectificadores), b) convertidores de CD

a CA (inversores), c) convertidores de CD a CD (convertidores conmutados,

convertidores con aislamiento, convertidores resonantes), y d) convertidores de

CA a CA.

1.1 El CONVERTIDOR CD-CD CONMUTADO Una de las razones principales por la cual la electricidad de corriente alterna

(CA) fue aceptada en los sistemas de potencia eléctrica moderna es la

capacidad de variación de los niveles de voltaje manejados en un circuito,

mediante el uso de un transformador. La incapacidad de variar

convenientemente dichos niveles de voltaje es una de las principales

desventajas de los sistemas de corriente directa (CD) propuesto por Edison.

El término transformador comúnmente es utilizado para referirse a un

dispositivo magnético, él que debido a su principio de operación, está restringido

1

IInnttrroodduucccciióónn

a manejar exclusivamente señales de CA. De manera general puede utilizarse

para realizar una conversión entre niveles de voltaje de entrada y voltaje de

salida en una red de dos puertos. En electrónica de potencia, un convertidor

conmutado CD-CD puede ser visto como un transformador de CD ya que

transfiere energía entre dos circuitos operados en diferentes niveles de voltaje y

corriente [1]. El esquema general de este tipo de convertidor se muestra en la

Figura 1.1

Fuente de energÍa eléctrica

CargaConvertidorconmutado

Circuito de control

Figura. 1.1. Esquema de un convertidor conmutado.

Como puede observarse en la Figura 1.1, la función del convertidor

conmutado es controlar el flujo de energía entre una fuente eléctrica y una carga

dada. El convertidor debe manipular el flujo de energía, pero no debe

consumirla, ya que la energía utilizada en el convertidor es una pérdida para el

sistema. Por lo tanto, para que sea útil un convertidor, debe tener una eficiencia

alta, siendo este su primer objetivo de diseño. Un segundo objetivo, no menos

importante, es la confiabilidad del convertidor. Un convertidor es confiable

cuando no presenta fallas en aplicaciones a lo largo del tiempo [1].

El circuito de control es determinante para el buen funcionamiento de un

convertidor conmutado. Mediante este circuito se toma información de la fuente,

del circuito del convertidor y de la carga para decidir como y en que tiempo debe

operar el interruptor activo para obtener el rango de conversión deseado.

2


La operación de los convertidores conmutados se basa en la conmutación del

interruptor del estado encendido al estado apagado y viceversa, permitiendo la

carga de un capacitor y aprovechando el efecto del inductor de oponerse al

cambio rápido de la corriente, lo cual permite manipular el voltaje de salida en

función del ciclo de trabajo de la señal de conmutación.

Las configuraciones básicas de los convertidores conmutados son: a)

convertidor reductor, b) convertidor elevador y c) convertidor reductor-elevador.

Estos circuitos son muestrados en la Figura 1.2. Algunas variantes pueden

obtenerse a partir de estas configuraciones; por ejemplo, el convertidor elevador-

reductor o Cûk y el SEPIC [3].

U+

1L

E 1C R

OV UE=

S

D −

(a)

U+−

1L

E 1C R( )O

EV1 U

=−

S

D

(b)

( )OUEV

1 U= −

−

(c)

Figura 1.2 Configuraciones básicas de convertidores CD-CD: (a) Reductor, (b)

Elevador, y (c) Reductor-elevador.

3


Las tres configuraciones básicas antes mencionadas utilizan un interruptor

activo S (MOSFET), un interruptor pasivo D (diodo de conmutación rápida), y un

arreglo de inductor L y capacitor C. La carga a la cual alimenta el convertidor se

modela por medio de una resistencia R. El interruptor S está conmutando

mediante una señal cuadrada con frecuencia definida en base al ciclo de trabajo

U. La alimentación principal proviene de la fuente E y la salida de voltaje es

representado como . OV

El ciclo de trabajo U de la señal de conmutación se define como la

proporción de tiempo en estado encendido en un periodo de conmutación

completo, donde 0 < U < 1. Una ventaja importante es que al aumentar la

frecuencia de conmutación es posible diseñar un regulador con elementos más

pequeños y de menor costo; sin embargo, es necesario considerar los efectos

limitantes como la resistencia equivalente en serie (ESR por sus siglas en inglés)

del capacitor en la carga, presentada en alta frecuencia y la amplificación de

armónicos no deseables.

1.2 EL CONVERTIDOR ELEVADOR CONMUTADO CD-CD

Como su nombre lo indica, en este convertidor, el voltaje de salida es mayor

al voltaje de entrada. Los convertidores elevadores se utilizan ampliamente en

motores de tracción de automóviles eléctricos, tranvías eléctricos, grúas marinas,

montacargas y elevadores de minas, también tienen amplia aplicación en

sistemas de video, discos duros de computadoras y equipos de comunicación.

El uso de un convertidor elevador CD-CD, también se ha propuesto para elevar

el voltaje en un módulo de celdas fotovoltaicas [4], como se muestra en la figura

1.3.

Las aplicaciones antes mencionadas han evolucionado en los últimos años,

surgiendo requerimientos de reguladores CD-CD con relaciones de conversión

más amplías para la elevación de los voltajes. Tal es el caso de los equipos de

comunicación portátil, que han incrementado el nivel de voltaje demandado a la

4


batería (Niquel-Cadmio, Litio), que produce normalmente 1.2 V o 2.4 V, a niveles

de voltaje de 12 V o más, al incluir correo electrónico, GPS, comunicación de dos

vías, entre otros, presentando un interesante desafío [5]. Igualmente los arreglos

serie-paralelo de celdas de voltaje producido por fuentes alternativas de

generación eléctrica tales como las de tipo fotovoltaica o de combustible [6, 7], que

forman un módulo en el que se debe garantizar por medio de un convertidor que

cada elemento provea el mismo valor de voltaje de salida.

+−Celda

FV

+

− Celda FV

+

+

+

−

−

−

Convertidor elevador

Convertidor elevadorVoltaje de salida CD

Figura 1.3. Módulo de celdas fotovoltaicas y convertidores elevadores

Debido a que es más conveniente convertir energía de una sola fuente que

tratar de distribuir energía proveniente de varios suministros diferentes se han

propuesto diferentes enfoques para solucionar el problema.

Un primer enfoque para resolver este problema sugiere el uso de un

convertidor conmutado elevador básico operando con un ciclo de trabajo

extremadamente alto. En teoría, un amplio rango de conversión puede

obtenerse ajustando la señal de control del modulador del convertidor, pero en la

5


práctica los rangos mínimos y máximos de ciclo de trabajo que un convertidor

convencional pueden alcanzar están limitados por las características de

operación de los elementos de conmutación. Por esta razón, los tiempos de

encendido y apagado del elemento activo de conmutación juegan una papel muy

importante en el ciclo de trabajo y consecuentemente en la relación de

conversión. Cuando el ciclo de trabajo es muy cercano a 0 o a 1, existe un gran

deterioro en las señales del voltaje de salida y corriente del inductor; y por

consecuencia, en la señal de control.

Otra solución propone el uso de transformadores dentro de la configuración

elevadora del convertidor [3]. En este caso, se producen grandes picos de

elevación en el voltaje aplicado a los elementos de conmutación, los cuales se

ven sometidos a grandes esfuerzos, con el consecuente daño a los mismos.

Igualmente estas estructuras emplean circuitos de control bastante complicados.

Una configuración que proporciona un amplio rango de conversión, sin usar

un transformador, es aquella formada a partir de n-convertidores convencionales

conectados en cascada [8]. En la figura 1.4 se presenta el circuito de un

convertidor elevador en cascada de dos etapas, es decir, cada una de sus

etapas se encuentra conectada entre sí y adicionalmente el ciclo de trabajo de

cada una de las etapas es el mismo. La relación de conversión de voltaje está

dada por . ( )(O 1V E / 1 U 1 U= − − )2

E

2D1D1L

1C1S2C

2L

R ( )( )O1 2

EV1 U 1 U

=− −

U+ +− −

2S

U

Figura 1.4. Convertidor elevador en cascada de 2 etapas.

Como puede observarse esta configuración tiene dos interruptores activos, la

cual presenta dos desventajas. La primera es que al existir dos interruptores

6


activos se incrementan las pérdidas debidas a los elementos activos de

conmutación y se afecta la eficiencia del convertidor. La segunda, es que al

existir dos interruptores activos, se hace más complejo el circuito de control

requerido.

Una alternativa atractiva es una configuración en la que se utiliza un sólo

interruptor activo [9, 10], de manera que las pérdidas producidas en los

elementos activos de conmutación se ven considerablemente reducidas; y

además, el diseño del controlador se simplifica. La relación de conversión de

voltaje está dada por ( )2OV E / 1 U= − y el circuito del convertidor se presenta en

la Figura 1.5.

E

2D1D

1L

1C 1S

3D

2C

2L

R ( )O 2

EV1 U

=−

U

+ +− −

Figura 1.5. Convertidor cuadrático elevador con un sólo interruptor activo.

Como puede observarse en la Figura 1.5, la etapa de salida es un convertidor

elevador convencional. La etapa de entrada está compuesta por un inductor, un

capacitor y un diodo, que utilizan como interruptor activo un arreglo formado por

el diodo y el interruptor activo de la etapa final, con lo que se consigue que

ambos convertidores queden conectados en cascada. En este convertidor se

utilizan por lo tanto dos inductores ( y ), dos capacitores ( y ), y tres

diodos ( , y D

1L 2L 1C 2C

1D 2D 3).

Para la configuración antes mostrada, a la fecha, se ha realizado tanto el

análisis de corriente directa como el de condiciones de continuidad [9, 10]. Se

ha obtenido el modelo promedio de dicha configuración por medio de la técnica

7


de promediado del interruptor PWM y, con base en este modelo, se ha obtenido

igualmente una representación de tipo lineal [11]. Así mismo, con base en esta

configuración se han construido controladores en modo-corriente promedio con

buenos resultados [12, 13].

1.3 PROPUESTA DEL PRESENTE TRABAJO. El convertidor cuadrático elevador con un sólo interruptor activo presenta

características tanto físicas como desde el punto de vista de control que lo hacen

una configuración atractiva para la implantación de reguladores conmutados.

Por esta razón es importante ampliar el conocimiento de su comportamiento

dinámico real.

Hasta la fecha, la configuración del convertidor se ha analizado suponiendo

que no existen elementos parásitos dentro del circuito, lo cual no sucede en la

realidad. En el trabajo presentado en [14] se desarrollaron modelos para un

convertidor elevador en cascada de n etapas, en este trabajo se consideró el

efecto de la resistencia equivalente serie del capacitor ni se obtuvieron

resultados experimentales que validaran esos modelos. Se analiza el efecto de

la resistencia serie equivalente del capacitor (ESR) [1, 2], la cual provoca una

caída de voltaje conocida como pérdida por ESR y está relacionada

directamente con la falla de los convertidores conmutados [15, 16]. Esta

resistencia se incrementa conforme pasan las horas de trabajo del capacitor.

El objetivo del presente trabajo es la obtención de modelos del convertidor

cuadrático elevador con un sólo interruptor activo que describan el

comportamiento dinámico mostrado por los resultados experimentales.

La organización de este documento es la siguiente. En el Capítulo 2, se

presenta el circuito del convertidor cuadrático elevador con un sólo interruptor

activo incluyendo el elemento parásito antes indicado. Se estudia las relaciones

en CD para el voltaje de salida, las corrientes en los inductores, los voltajes en

los capacitores y los rizos tanto en la corriente de los inductores como en el

8


voltaje de los capacitores. Además, se encuentra la relación del valor de los

inductores usados para garantizar conducción continua. Así mismo, y usando

las relaciones encontradas en el capítulo, se propone y construye un convertidor

cuadrático elevador prototipo, del cual inicialmente se obtienen las formas de

onda de los voltajes de los capacitores.

En el Capítulo 3, se derivan el modelo en espacio de estados conmutado

lineal, promedio no lineal y promedio lineal del convertidor. Se analiza, por medio

de las funciones de transferencia con respecto al ciclo de trabajo de las

corrientes de los inductores y de los voltajes de los capacitores, la estabilidad de

un convertidor cuadrático elevador tanto para el caso en el que no existen

elementos parásitos, como para el caso en el que si se consideran.

En el Capítulo 4 se estudia la respuesta en frecuencia experimental del

convertidor prototipo propuesto por medio de un analizador de respuesta en

frecuencia, encontrando interesantes resultados.

Finalmente en el Capítulo 5 se dan las conclusiones a las que se llega en el

presente trabajo sobre el efecto de los elementos parásitos sobre los

convertidores cuadráticos elevadores, así como algunos trabajos que en el futuro

sobre la misma línea son interesantes de desarrollar.

9

CCaappííttuulloo 22

OOppeerraacciióónn ddeell ccoonnvveerrttiiddoorr ccuuaaddrrááttiiccoo eelleevvaaddoorr

La representación de los elementos eléctricos utilizada en el análisis del

circuito de un convertidor se hace, en la mayoría de los casos, bajo la suposición

que estos elementos tienen propiedades ideales. Por ejemplo, se considera que

tanto los capacitores como los inductores presentan un comportamiento de tipo

derivativo puro de los voltajes o de las corrientes. Sin embargo en la práctica los

componentes reales presentan efectos conocidos como parásitos que ocasionan

pérdidas y modifican el comportamiento esperado.

2.1 ELEMENTOS PARÁSITOS DE LOS COMPONENTES ELÉCTRICOS. 2.1.1 Elementos parásitos de los inductores.

El problema principal que presentan los inductores se refiere a la linealidad de

su comportamiento. Cuando se utilizan como núcleos del inductor aire o

materiales no ferromagnéticos, se garantiza esta linealidad. Sin embargo, los

valores de los inductores deben ser bajos.

Otros efectos que presentan las bobinas de alambre se refieren a la

capacitancia entre vueltas adyacentes y la resistencia debida al alambre de

cobre usado en su construcción. Esta resistencia ocasiona pérdidas de potencia

al circular una corriente a través de ella y queda determinada por el producto de

la resistencia del alambre usado por metro, la longitud de cada vuelta y el

número de vueltas de la bobina [1].


2.1.2. Elementos parásitos de los capacitores. En cuanto a los capacitores, en los alambres y placas se tiene tanto

resistencia como inductancia, y además debido a que el aislamiento no es

perfecto, existe una resistencia por fugas. Debido a estas características se

tienen las siguientes propiedades en un capacitor real: La corriente no sigue

exactamente la relación =i Cdv dt ; y existe flujo de corriente aún cuando el

voltaje aplicado sea de CD. La combinación de inductancia y capacitancia crea

una resonancia, que ocasiona que por encima de la frecuencia de resonancia el

capacitor se comporte como un inductor y existen pérdidas de potencia. Por sus

características el capacitor puede modelarse según el circuito que se muestra en

la Figura 2.l [7].

C PR

AL AR

Figura 2.1 Modelo de un capacitor real.

En este circuito, representan a la resistencia y la inductancia debida

al alambre usado en las terminales de conexión y quedan determinadas por el

tipo y tamaño de las mismas. El valor de inductancia, conocida como inductancia

serie, varia entre l0 nH para capacitores de terminal radial hasta 200 nH para

capacitores de terminal axial. La resistencia modela a la resistencia

equivalente paralela y representa la oposición que presenta el capacitor a la

corriente de fuga. El valor de esta resistencia aumenta con el tiempo y disminuye

al aumentar la capacitancia, la temperatura y el rango de voltaje de trabajo. Un

valor normal de ella estará dado por la relación l00/C ΜΩ, donde el valor del

capacitor C esta en μF.

AR y AL

PR

11


Es posible obtener un modelo simplificado a partir del modelo de un capacitor

real calculando la relación conocida como ESR dada por

= = + ω2c A PESR R R 1 R C2 , en que ω representa la frecuencia de trabajo del

capacitor [1]. Debido a que tanto el término como quedan determinados

por la longitud de las terminales del capacitor, que en el caso de fuentes

conmutadas que trabajan a muy alta frecuencia son muy cortas, el valor de

dichos elementos es muy pequeño y el modelo puede ser simplificado al que se

muestra la Figura 2.2.

AR AL

CCR

Figura 2.2 Modelo simplificado del capacitor.

En esta figura el término representa a la ESR del capacitor. El valor típico

de esta resistencia depende de la frecuencia y varía entre l0 mΩ y l Ω, siendo su

valor inversamente proporcional al valor de la capacitancia para un mismo voltaje

de trabajo. De manera general los fabricantes especifican su valor en las hojas

de datos del capacitor considerando frecuencia de 120 Hz.

CR

Adicionalmente es importante indicar que en el capacitor electrolítico, tipo

generalmente utilizado en las fuentes conmutadas, se presenta una modificación

en su desempeño al manejarse altas frecuencias debido a que se producen

efectos de resonancia interna del capacitor o bien entre este y otros

componentes del circuito. Existen varios modelos para representar este efecto

como los propuestos por Siami, Joubert y Glaize [15].

Debido a la naturaleza del ESR del capacitor, este incrementa su valor al

producirse un aumento de la temperatura tanto interna como externa de este.

Mientras que la temperatura externa del capacitor depende sólo del medio

ambiente que lo rodea, la interna se presenta a consecuencia del incremento del

rizo de corriente que circula dentro del capacitor. Este incremento se presenta

12


tanto por el deterioro normal de la vida de trabajo del capacitor como por aquel

que se produce al someterlo a un sobrevoltaje.

Si bien el modelo de la Figura 2.2 parece representar solamente a una simple

combinación RC, el efecto de dicho circuito en los convertidores conmutados es

muy interesante de analizar y conlleva a importantes conclusiones. De manera

normal en un convertidor conmutado, el capacitor es sometido a una onda

cuadrada de corriente que, idealmente, produce un voltaje de forma triangular a

través de éste. Cuando se reemplaza el capacitor por la combinación RC,

aparece en serie con la onda triangular una pequeña onda cuadrada. Esto crea

un cambio abrupto en el voltaje que suele ser denominado salto por ESR. Este

efecto, al incrementarse el valor del ESR, por las causas anteriormente

indicadas, está directamente relacionado con la falla del capacitor y

posteriormente de la fuente conmutada. Según datos estadísticos, de acuerdo al

MIL-HDBK-217-F [16], al menos un 60% de las fallas en una fuente conmutada

se originan por fallas en el capacitor. Adicionalmente el efecto que el ESR tiene

tanto en el comportamiento dinámico de los convertidores como en su

estabilidad [17, 18], también se ha analizado teniendo una relación directa con el

amortiguamiento de los picos de resonancia de la respuesta en frecuencia del

convertidor. El efecto del ESR de los capacitores puede ser evaluado usando la

función de sensibilidad S [19]. Esta función nos indicaría que tan sensibles son

las corrientes de los inductores y los voltajes de los capacitores cuando está

cambiando el ESR de los capacitores. Este estudio es interesante ya que nos

puede dar una idea de cómo se afectan las características del convertidor

cuando existe un deterioro en los capacitores que aparece reflejado en un

aumento de su ESR.

2.2 OPERACIÓN DEL CONVERTIDOR EN MODO DE CONDUCCIÓN CONTINUA.

13


Como se mencionó anteriormente, el objetivo del presente trabajo es

proporcionar un modelo que incluya los principales efectos parásitos que se

presentan en los convertidores, los cuales modifican su comportamiento

dinámico. Sin embargo, es necesario también que el modelo propuesto no sea

demasiado complejo y permita identificar fácilmente a los nuevos factores que

aparecen en las expresiones matemáticas de modelo; por lo tanto y basados en

el impacto que los efectos parásitos presentan, se elige incluir en el modelo

solamente a la ESR del capacitor. La ESR del inductor se despreciará debido a

que es muy pequeña, y que a través de la vida del inductor permanece más o

menos constante a diferencia de la ESR del capacitor que aumenta debido al

deterioro del capacitor. La configuración propuesta del convertidor cuadrático

elevador se muestra en la Figura 2.3.

E

2D1D

1L

1C1S

3D

2C

2L

ROV

U+ +− −

C1R C2

R

Figura 2.3. Circuito del convertidor elevador incluyendo efectos parásitos.

Este convertidor se basa en el principio del convertidor cuadrático elevador

que se indica en la sección 1.2. La etapa de salida es un convertidor elevador

convencional, mientras que la primera etapa está compuesta por un inductor, un

capacitor y un diodo, utilizando como interruptor activo un arreglo formado por un

diodo y el interruptor activo de la etapa final, con lo que se consigue que ambos

convertidores queden en cascada. Los inductores están representados por y

, los capacitores por y , los diodos por , y , y el interruptor activo

por S. El voltaje de entrada se representa por E, el voltaje de salida como , la

frecuencia de conmutación del interruptor está dada por , la carga es

1L

2L 1C 2C 1D 2D 3D

OV

Sf

14


modelada como R y las resistencias parásitas de los capacitores como y

, respectivamente. El ciclo de trabajo nominal está dado por U e indica la

proporción de tiempo que el elemento activo se encuentra encendido en un ciclo

de conmutación completo; y por lo tanto, tiene un valor entre 0 < U < 1.

C1R

C2R

La relación de conversión del convertidor se deriva asumiendo que éste opera

en modo de conducción continua (MCC), es decir, la corriente en los inductores

siempre tiene el mismo sentido; y que los tiempos de encendido y apagado de

los diodos están sincronizados con el tiempo de encendido y apagado del

MOSFET. Además, tanto en este circuito como en los que se muestran en lo

sucesivo, se asume que tanto el MOSFET como los diodos son interruptores

ideales; es decir, no presentan pérdidas de potencia y sólo abren o cierran el

circuito.

En el convertidor de la Figura 2.3 cuando el MOSFET está encendido durante

la fracción del ciclo de trabajo U simultáneamente está encendido el diodo ,

por lo que proporciona una trayectoria para la corriente. Los diodos y en

ese instante de tiempo están apagados, por lo que no permiten el paso de

corriente. El circuito se muestra en la Figura 2.4.

1D

2D 3D

E

2L

1CR

2C1D

1L

SS

C2RC1

R

Figura 2.4. Convertidor cuadrático elevador con el interruptor activo cerrado.

Posteriormente, al apagarse el elemento activo S, durante la fracción del ciclo

de trabajo correspondiente a ( )1 U− , se apagará de manera simultánea el diodo

, encendiéndose los diodos y , que permitirán una nueva trayectoria de

corriente, tal como se muestra en la Figura 2.5.

1D 2D 3D

15


E

2L

1CR

2D 3D

2C

1L

C2RC1

R

Figura 2.5. Circuito convertidor cuadrático elevador con el interruptor activo

abierto.

2.3 VALORES EN ESTADO ESTABLE A partir del estudio de la respuesta en estado estable de los circuitos

anteriormente mostrados, por medio de técnicas empleadas en convertidores de

una sola etapa las cuales pueden extenderse a dos-etapas [1], se encuentra que

el voltaje en los capacitores está dado por:

( ) ⎡ ⎤−= −⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎣ ⎦C1

C2

E 1 U R URV 1J R R

(2.1)

( )−= =O C2

E 1 U RV V

J (2.2)

y la corriente en los inductores en función de la corriente de salida del

convertidor por: OI

OL 21

II

(1 U)=

− (2.3)

OL2

II

(1 U)=

− (2.4)

en donde: ( ) ( )2

21

2

1 1 CC

C

U R U R RJ U

R R− − +⎡ ⎤⎣ ⎦= +

+R

Así mismo, al diseñarse un convertidor, éste debe cumplir algunas

especificaciones en cuanto a los valores del rizo del voltaje en los capacitores

así como de rizo en la corriente en los inductores, dicha especificación se

16


expresa por medio de un porcentaje. El porcentaje de rizo de voltaje con

respecto al voltaje de los capacitores está dado por la relación CV 2Vε = Δ C con

un valor típico en un convertidor convencional [1] entre el 1% y el 2%, y el

porcentaje de rizo de los inductores con respecto a la corriente que circula por

ellos por LI 2 I ε = Δ L con un valor típico entre el 10% y el 20%. Igualmente, es

interesante analizar que los rizos antes mencionados se modifican al

considerarse elementos parásitos. Los rizos para las corrientes de los inductores

quedan dados por:

( )⎛ ⎞⎡ ⎤− ⎛ ⎞Δ = − + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎜⎜ ⎟− + ⎟

⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎝ ⎠

C1L1

1 s C2

1 UUREU 1 URI 1 1L f J 1 U R R R

(2.5)

( )( )( ) ( )( )

⎡ ⎤⎡ ⎤+ − + − −⎣ ⎦⎢ ⎥Δ = −− +⎢ ⎥⎣ ⎦

22C2 C2C1

L22 S C2 C1

R R R UR 1 U 1 UEU RI 1L J 1 U f R R R UR

(2.6)

y los voltajes de los capacitores por:

( )Δ =

−C11

EUV1 U JC

(2.7)

( )( )( )− −

Δ =+

22

C22 C

E R 1 UV

JRC R R 2

0

2

. (2.8)

Además, como se indicó en la sección 2.2, el estudio del convertidor

cuadrático elevador se realizará en MCC, por lo que las corrientes de los

inductores del convertidor deben cumplir con . Como se indicó

anteriormente por la construcción del convertidor ; y por tanto, sólo debe

asegurarse que cada inductor cumpla con

L L1 2i i> >

L L1i i>

L Li iI I 2 0+ Δ > y también con que

L Li iI I 2− Δ > 0 . El valor de los inductores en el convertidor elevador debe cumplir

con las desigualdades que a continuación se muestran para asegurar que el

convertidor opere en MCC:

17


( ) ( )C1

C21

S

1 UUR1 URU 1 1 1 U JJ 1 U R R R

L2f

⎡ ⎤⎡ ⎤− ⎛ ⎞− + − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟− +⎢ ⎥⎝ ⎠⎣⎣ ⎦> ⎦ (2.9)

( )( ) ( )( )

( )

⎡ ⎤⎡ ⎤+ − + − −⎣ ⎦⎢ ⎥−+⎢ ⎥⎣ ⎦>

−

2C2 C22

C1C2 C1

2S

R R R UR 1 U 1 UU R 1

R R R URL

2 1 U f (2.10)

2.4. RESULTADOS EXPERIMENTALES Para la realización de pruebas experimentales, se implantó el convertidor

cuadrático elevador, según el circuito que se muestra en la Figura 2.3 y cuyas

características principales se muestran en la Tabla 2.1.

Tabla 2.1 Características de un convertidor elevador cuadrático prototipo.

Parámetro Valor

Voltaje de entrada 9 V

Voltaje de salida 48 V

Ciclo de trabajo 0.566

Carga nominal 46 Ω

Potencia 50 W

Frecuencia de conmutación 50 KHz.

Rizo máximo en la corriente de los inductores 15 %

Rizo máximo en el voltaje de los capacitores 1 %

El interruptor PWM del convertidor está formado por un MOSFET IRF740

cuyas características principales son las siguientes: voltaje de fuente a drenado

V, resistencia fuente a drenando encendido , voltaje de

drenado a compuerta

DSSV 40= 0 ΩDSR 0.55 =

DGRV 400= V, voltaje de fuente a compuerta

V, corriente de drenado GSV 2= ± 0 0DI 1= A, tiempo de encendido dont 14 s= η ,

18


tiempo de apagado ; mientras que en su parte pasiva utiliza un diodo

de recuperación rápida MUR 1560 con las siguientes características: voltaje pico

inverso repetitivo V, corriente

dofft 50 = ηs

± 5RRMV 600= OI 1= A y tiempo de recuperación

. Las gráficas de voltajes a considerar se obtienen mediante un

osciloscopio Tektronics TDS 3034B.

rrt 35 = ηs

En la Figura 2.6 se muestra el convertidor cuadrático elevador prototipo que

se construyó en el laboratorio de electrónica de potencia. Inicialmente se

obtuvieron las gráficas de las corrientes de los dos inductores y de los voltajes

en los dos capacitores del convertidor cuadrático elevador.

Figura 2.6. Convertidor cuadrático elevador prototipo.

En la Figura 2.7 se observan las formas de onda de la corriente de los

inductores. Para el primer inductor, la corriente promedio tiene un valor de 6.24

A, el valor pico superior es de 6.96 A y el valor pico inferior de 5.44 A, por lo que

se tiene un porcentaje de rizo de 12.1 %. Para el segundo inductor, la corriente

tiene un valor promedio de 2.39 A, el valor pico superior es de 2.88 A y el valor

pico inferior de 2.08 A, por lo que tiene un porcentaje de rizo de 16.7 %.

19


Figura 2.7 Corriente de los inductores del convertidor cuadrático elevador

prototipo: (Superior a inferior) Corriente del primer inductor y corriente del

segundo inductor (200 mA/div) (Tiempo 20 ms).

En la Figura 2.8 se muestra únicamente a detalle la onda del rizo en el voltaje

de los capacitores, y por está razón, se ha retirado el valor de CD de los mismos.

Figura 2.8 Rizos de voltaje de los capacitores del convertidor cuadrático elevador

prototipo: (Superior a inferior) Rizo segundo capacitor y rizo primer capacitor

(500 mV/div) (Tiempo 10 ms).

20


Para el primer capacitor el valor promedio del voltaje es de 18.3 V con un

valor pico superior de 170 mV con respecto a la referencia y un valor pico inferior

de -220 mV, con respecto a la misma referencia, por lo que se tiene un

porcentaje de rizo en el voltaje de primer capacitor de 1.06 %. Para el segundo

capacitor el valor promedio del voltaje es de 48.1 V, con un valor pico superior de

200 mV con respecto a la referencia y un valor pico inferior -260 mV con

respecto a la misma referencia, por lo que se tiene un porcentaje de rizo en el

voltaje del capacitor de salida de 0.47 %.

21


DDeessccrriippcciióónn ddee llaa ddiinnáámmiiccaa ddeell ccoonnvveerrttiiddoorr

Los convertidores conmutados, por sí mismos, no pueden suministrar un

voltaje regulado sin un sistema de control que ajuste su operación. Su voltaje de

salida es dependiente del voltaje de entrada; así como de la caída en los

elementos de almacenamiento de energía eléctrica, e interruptores activos y

pasivos que lo forman.

Esta clase de convertidores, no obstante, puede mantener una operación

adecuada a las necesidades de regulación que presenta la carga alimentada por

el voltaje de salida, por medio de una acción de control automática mediante la

variación continua de la función de conmutación. Por esta razón es muy

importante analizar las características dinámicas de los modelos del convertidor

cuadrático elevador.

3.1 MODELADO EN ESPACIO DE ESTADOS CONMUTADO. Los convertidores en cascada CD-CD deben modelarse, como se mencionó

anteriormente, para realizar el análisis y el diseño del sistema de control. En este

trabajo se desarrolla inicialmente el modelado en espacio de estados

conmutado, el cual genera una representación conmutada de tipo lineal.

Una característica del modelado en variables de estado es que permite

obtener una representación para todo tipo de sistemas, ya sean lineales, no

lineales, de una variable, multivariables, invariantes o variantes en el tiempo,

tomando en cuenta las variables internas, las de entrada y las de salida.

Además, permite tener una representación compacta del sistema, mediante su


descripción en una estructura independientemente de la complejidad del

sistema. Esta representación matricial puede posteriormente transformarse en

un sistema de entradas-salidas mediante métodos frecuenciales.

El modelado conmutado de las ecuaciones de estado produce un modelo

detallado en tiempo donde los efectos de alta frecuencia pueden ser incluidos,

además permite analizar los efectos transitorios en el encendido y apagado de la

fuente y permite realizar un mejor análisis de robustez a variación de

parámetros.

En el modelo conmutado se analizan las ecuaciones de primer orden en

variables de estados de cada uno de los circuitos que se forman al abrir o cerrar

los interruptores, las cuales son de tipo lineal. Finalmente al considerar la suma

de sus efectos se tendrá una representación matricial general del tipo:

[ ]MO O i i ii 1

x F x G u q (x) Fx G u=

= + + +∑& (3.1)

en donde son las matrices del circuito en el cual todos los interruptores

están apagados, M son las posibles combinaciones de interruptores abiertos y

cerrados, y son las matrices de los circuitos formados, es el vector de

estados, el vector de entradas y para i

OF y OG

iF iG x(t)

u(t) iq 1, ,M= L la función de conmutación

la cual depende tanto del tiempo como de los estados.

3.1.1 Modelo conmutado del convertidor cuadrático elevador. A partir de las configuraciones mostradas en las Figuras 2.4 y 2.5, por medio

de la ley de voltajes de Kirchoff (LVK) y de la ley de corrientes de Kirchoff (LCK),

se obtienen las siguientes ecuaciones para el convertidor cuadrático elevador:

Interruptor activo cerrado:

23


( )

eL

vvii

RRC

C

LLR

vvii

C

C

L

L

C

C

C

C

L

L

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+⋅−

−

−

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

000

1

1000

0010

010

0000

1

2

1

22

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

&

&

&

&

(3.2)

Interruptor activo abierto:

( )

( ) ( )

1 1

11 1 2

1

22 2 2

11

22

2 2

1 1 1

12 2 2 2

1 1

2 2

1 0

11 1

01 1 00 0

010 0

C C

LL C CC

LL C C

CC

CC

C C

R RL L L

ii R R R RR Lii L L R R L L R Rvv

C C vvR

C R R C R R

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⋅ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ − ⋅ + − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟= ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟⋅ + ⋅ +⎝ ⎠

&

&

&

&

e+ ⋅ (3.3)

Una vez obtenidas las ecuaciones de estado para cada configuración es

necesario definir la denominada función de conmutación representada por la

variable q, la cual toma un valor binario [0, 1] para este convertidor. El valor de q

es 1 cuando el interruptor al que representa está encendido y 0 cuando el

interruptor está apagado. Por lo tanto, para el convertidor elevador de n-etapas

se tiene una función de conmutación q correspondiente al interruptor activo

encendido y una función de conmutación correspondiente al interruptor activo

apagado, las cuales estarán relacionadas por la expresión .

q'

q' 1 q= −

A partir de (3.2) y (3.3), utilizando las funciones de conmutación

anteriormente definidas, se encuentra que el modelo lineal conmutado del

convertidor cuadrático elevador queda dado por:

24


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )

( )( ) ( )

1 1

11 1 2

1

2 22 2

11

22

2 2

1 1 1

2 2 2 2

1 1

2 2

1 1 10

1 1 11 1

1 1 0 0

1 10 0

C C

LL C CC

C LL C

CC

CC

C C

q R q R qL L L

ii q R q R R q RR

L L R R L ii L R Rvv qvv C C

q RC R R C R R

⎛ − − ⋅ − ⋅ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞⎛ ⎞ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⎛ ⎞− ⋅⎜ ⎟− ⋅ + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⋅ +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠⎜ ⎟= ⋅⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜−⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟− ⋅⎜ ⎟−⎜ ⎟⋅ + ⋅ +⎝ ⎠

&

&

&

&

1

1

000

Le

⎛ ⎞⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟+ ⋅⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.4)

Esta representación matricial tiene la forma x F(q)x G(q)e= +& donde

son los estados, e(( )∈ 4x t R t) R∈ es el voltaje de entrada; F es una matriz de

dimensión y G un vector columna de dimensión 4. (4 4)×

3.2 MODELADO PROMEDIO DE CONVERTIDORES La técnica de modelado promedio es una de las herramientas más

importantes para el análisis de convertidores en electrónica de potencia [3]. El

comportamiento promedio de una configuración proporciona información

importante sobre el funcionamiento de un convertidor tanto en CD como en baja

frecuencia, ignorando el rizo, conmutación y cualquier otro efecto rápido. Aún

cuando el rizo no está presente en la salida promediada, este promedio es muy

útil para determinar la respuesta transitoria y regulación en estado estable. El

modelo promedio permite igualmente el seguimiento de cambios a gran escala

en los voltajes y corrientes de la fuente y la carga, cambios en las entradas de

control y estudios de robustez ante variación de parámetros de los

componentes. Adicionalmente, permite considerar el efecto del rizo al final del

proceso de modelado.

El objetivo principal de la técnica de promediado es encontrar un circuito

aproximado que permita analizar el comportamiento promedio local de las

variables del circuito, aún durante un transitorio, el cual es una condición con

características no periódicas [20].

25


El promedio local de una variable queda definido por:

( )i S

i

t T

S t

1x x T

+

d= τ∫ τ (3.5)

donde es un valor fijo que representa el periodo de la función ST x( )τ y

representa el tiempo en el cual el proceso de promediado comienza. Es muy

importante elegir un valor apropiado de , según el caso en el que se aplica,

para obtener resultados correctos.

it

ST

Para el caso de los convertidores conmutados, el valor de es igual al

inverso de la frecuencia de conmutación del convertidor y coincide con el inicio

de periodo de conmutación. La función toma el valor binario uno en el

periodo de tiempo comprendido entre y

ST

it

q(t)

it it uTS+ y el valor binario cero en el

periodo de tiempo comprendido entre i St uT+ y it TS+ , tal como muestra la

Figura 3.1.

sTit

( )q t

q

tsuT

1

Figura 3.1. Promedio de la función de conmutación q.

El valor promedio de la función de conmutación; por lo tanto, queda dado por:

( ) ( )i S S

i i S

t uT T

S t t uT

1q 1 dt 0 dtT

+

+

⎡ ⎤= +⎢

⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ u=⎥ (3.6)

El modelo promedio del convertidor puede obtenerse a partir de las

ecuaciones de estado para cada configuración producida por la conmutación de

26


los interruptores activos y pasivos, utilizando el ciclo de trabajo en lugar de la

función de conmutación [1]. Este modelo proporciona un circuito promedio que

genera las mismas entradas o salidas promedio del modelo original debido a que

la secuencia de circuitos de un convertidor añade o disminuye energía para

producir resultados promedio bien definidos a la entrada o la salida.

El sistema para el convertidor cuadrático elevador tiene una representación

de la forma:

= +&x F(u)x G(u)u (3.7)

donde ∈ 4x R son los estados y ∈e R es el voltaje de entrada. La matriz F es de

dimensión y (4 4)× G un vector columna de dimensión 4.

Es importante mencionar que en el caso de convertidores conmutados con

interruptor de tipo PWM, es utilizada en muchas ocasiones la técnica de

promediado del interruptor. En esta técnica el interruptor activo y pasivo se

consideran como una red de tres terminales que puede remplazase por una

fuente de voltaje y una fuente de corriente promedio. Esta técnica se ha aplicado

en el caso de convertidores de dos etapas con éxito; sin embargo, tiene como

restricción el manejo de rizos pequeños tanto en los voltajes como en las

corrientes del convertidor. En el caso estudiado, el capacitor tiene una

resistencia significativa por lo que la anterior restricción no se satisface y,

aunque es posible obtener una aproximación por medio de factores de

corrección, se considera más conveniente el uso del promediado en espacio de

estados [20].

3.2.1 Modelo promedio del convertidor cuadrático elevador

Para el caso del convertidor cuadrático elevador, el interruptor activo está

encendido una fracción de tiempo u igual al ciclo de trabajo, mientras que está

apagado una fracción de tiempo ( )1 u− . Utilizando el procedimiento descrito en

27


la sección 3.2 se tiene que el modelo promedio del convertidor cuadrático

elevador queda dado por:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )

( )( ) ( )

1 1

1 11 2

1

2 222

11

22

2 2

1 1 1

2 2 2 2

1 1

2 2

1 1 10

1 1 11 1

1 1 0 0

1 10 0

C C

L LC CC

C LCL

CC

CC

C C

u R u R uL L L

i iu R u R R u RR

L L R R L iL R RivuvvC Cv

u RC R R C R R

⎛ − − ⋅ − ⋅ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ − ⋅ + −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎜ ⎟+⎜ ⎟ ⋅ + ⎜⎝ ⎠⎜ ⎟= ⋅⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜−⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎝ ⎠ ⎜ ⎟− ⋅⎜ ⎟−⎜ ⎟⋅ + ⋅ +⎝ ⎠

&

&

&

&

1

1

000

Le

⎛ ⎞⎞ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎟⎜ ⎟+ ⋅⎟ ⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎝ ⎠

(3.8)

Esta representación es de tipo no lineal ya que tanto la matriz F como el

vector G dependen del ciclo de trabajo u R∈ .

3.3 MODELOS LINEALES PARA CONVERTIDORES Como se indicó en la sección anterior, el modelo promedio obtenido es de

tipo no lineal, ya que el ciclo de trabajo aparece en forma de producto con

algunas de las variables de estado.

Las ecuaciones no lineales son de difícil solución y por razones prácticas se

hacen suposiciones y aproximaciones, dentro de lo posible, sobre los sistemas

físicos a quienes representan, de tal manera que estos sistemas pueden ser

analizados utilizando teoría de sistemas lineales.

Al obtener una representación lineal de los convertidores conmutados es

posible utilizar herramientas del control lineal tan importantes como la

transformada de Laplace y las representaciones en el dominio de la frecuencia.

Igualmente, permite utilizar conceptos de diseño bien definidos tales como los

márgenes de ganancia y fase o las interpretaciones bien establecidas de los

polos y ceros de las funciones de transferencia.

El proceso de linealización es una expansión de la serie de Taylor alrededor

de un punto de operación o equilibrio ( )O Ox ,u , mediante el cual un sistema es

28


aproximado a uno de primer orden. Por lo tanto, un modelo linealizado describe

el comportamiento de un sistema ante pequeñas perturbaciones alrededor de un

punto de operación.

En el caso de convertidores conmutados, el modelo linealizado es conocido

como modelo de señal pequeña. Este modelo sólo representa al sistema dentro

de un rango limitado de operación, pero permite conocer a fondo las

propiedades dinámicas de las variables de un convertidor. El rango de

frecuencias en que es válido este modelo, en el caso de los convertidores

conmutados, se ubica por abajo de la mitad de la frecuencia de conmutación del

convertidor; y por lo tanto, no es válido para predecir oscilaciones subarmónicas

debidas a inestabilidades del rizo de voltajes y corrientes.

Para llevar a cabo la linealización del modelo, el procedimiento a seguir es el

siguiente [1]:

1. Reemplazar los parámetros de control y las variables de estado por

cantidades perturbadas. Para cada variable se tendrá; por lo tanto, una cantidad

nominal más una componente pequeña variable en el tiempo.

2. Rescribir las ecuaciones en términos de las variables perturbadas. No se

consideran los productos de perturbaciones, ya que estos son de segundo

orden.

3. Sustituir en estas ecuaciones los valores de los parámetros constantes los

cuales pueden obtenerse en base a los valores nominales de las variables.

3.3.1 Modelo lineal del convertidor cuadrático elevador. Para llevar a cabo la linealización del modelo promediado, según el

procedimiento descrito anteriormente, se sustituyen las variables por

expresiones en donde las variables con tilde indican variaciones pequeñas de la

variable con respecto al valor nominal y la letra mayúscula representa el valor en

estado estable de la variable; esto es u U u= + % , e E e= + % , y

para .

i iC Cv V v= + %iC

iLi iL Li I i= + % = 1 y 2i

29


Para el convertidor cuadrático elevador incluyendo parásitos del capacitor se

tiene la siguiente representación lineal :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )

( )( ) ( )

1 1

1 11 2

1

2 222

11

2

2 2

1 1 1

2 2 2 2

1 1

2 2

1 1 10

1 1 11 1

1 1 0 0

1 10 0

C C

L LC CC

C LCL

CC

CC

C C

U R U R UL L L

i iU R U R R U RR

L L R R L iL R RivUv

C C vvU R

C R R C R R

⎛ − − ⋅ − ⋅ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ − ⋅ + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+⎜ ⎟ ⋅ +⎝ ⎠⎜ ⎟= ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ −

−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟− ⋅⎜ ⎟−⎜ ⎟⋅ + ⋅ +⎝ ⎠

&% %

%&%

%&%

%&% 2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

( )( )

( )( ) ( )

( )

( )

12

1 2

2 12

2 2

1

2 2

1 111

11 0

1 1

01

0

C

C

C C

C

C

E U R R RUJL R R LR U

E U R R RRuJL R R U R R Ue

EJ U C

ERJ R R C

⎛ ⎞⎡ ⎤⎛ ⎞−⎜ ⎟⎢ ⎥− +⎜ ⎟⎜ ⎟+⎜ ⎟−⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎜ ⎟

⎜ ⎟⎛ ⎞⎛ ⎞−⎜ ⎟+ −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟+ −⎜ ⎟−+ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟−⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟+⎝ ⎠

%

%

1

(3.9)

donde ( ) ( )2

21

2

1 1 CC

C

U R U R RJ U

R R− − +⎡ ⎤⎣ ⎦= +

+R .

Es interesante observar que si en (3.4), (3.8) y (3.9) el valor de las

resistencias parásitas y es igual a cero, entonces se obtienen las

representaciones en espacio de estados respectivas para un convertidor

cuadrático elevador convencional [14], las cuales se muestran en la Tabla 3.1.

C1R C2

R

30


Tabla 3.1 Compendio de modelos para el convertidor cuadrático elevador sin

parásitos.

Espacio de

estados

conmutado

( )

( )

( )

( )

11

22

11

22

1

12 2

1 1

2 2

10 0 0

1110 0

01 1 00 0

01 10 0

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

&

&

&

&

LL

LL

CC

CC

qL

ii qLii L L

evv q

C C vvq

C RC

+ ⋅

Espacio de

estados

promediado

( )

( )

( )

( )

11

22

11

22

1

12 2

1 1

2 2

10 0 0

1110 0

01 1 00 0

01 10 0

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟

−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

&

&

&

&

LL

LL

CC

CC

uL

ii uLii L L

evv u

C C vvu

C RC

+ ⋅

Espacio de

estados

promediado

linealizado

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1 1

22

11

22

1 11

222 2

411 1

322 2

110 0 0 1

11 00 0 1

1 1 00 01

1 1 00 01

⎛ ⎞− −⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ −−⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎜ ⎟⎜ ⎟ −−⎜ ⎟ ⎜ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

&% %

%&%

%&%

%&%

L L

LL

CC

CC

EUU L LL

i i EUU LiL Li

EvUvU RCC C vv

EUU RCC RC

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎟

%

%

ue

3.4 FUNCIONES DE TRANSFERENCIA

El estudio de la dinámica del convertidor cuadrático elevador se realiza

mediante el análisis de las funciones de transferencia, las cuales se obtienen a

partir del modelo linealizado del convertidor cuadrático elevador.

31


Para obtener las funciones de transferencia, primeramente, se debe

determinar que variable o variables son las más adecuadas para detectar y

posteriormente retroalimentar al sistema de control. De manera general el

convertidor cuadrático elevador está representando por un sistema de

ecuaciones del tipo:

x Fx Gv= +& (3.10)

y Hx= (3.11)

donde es el vector de estados, el vector de entradas,

el vector de salidas. F es la matriz constante del sistema de

dimensión(4 , G la matriz constante de entradas de dimensión y H la

matriz constante de salida de dimensión

4x(t) R∈ 4v(t) R∈

4y(t) R∈

4)× (4 2)×

4 4× . La función de transferencia entre

(3.10) y (3.11) está dada por la expresión:

1Y(s) H(sI F) GV(s)−= − (3.12)

en donde y son las transformadas de Laplace de y

respectivamente.

Y(s) V(s) y(t) v(t)

En el caso de convertidores cuadráticos, la representación contiene ocho

funciones de transferencia escalares y puede catalogarse como un sistema

multivariable bastante complejo de controlar. Por lo tanto, se estudian algunas

alternativas convenientes para encontrar un sistema más sencillo y práctico. La

primera de ellas se relaciona con las variables a detectar, las cuales determinan

la forma de la matriz H. Algunas posibles opciones acerca de la selección de H

son las siguientes:

1. Si se detectan las corrientes de los dos inductores y los voltajes de los dos

capacitores se obtendrá una matriz identidad 4 4H I ×= .

2. Si se detectan sólo los voltajes de los capacitores se obtendrá una matriz

[ ]2 2 2 2H 0 I× ×=

32


3. El voltaje en el segundo capacitor es igual al voltaje de salida por lo que si se

detecta solamente este voltaje se tendrá 1 4H [0 0 0× 1]= .

Como conclusión encontramos que la forma de H quedará determinada por

los sensores usados; y por consecuencia, del tipo de esquema de control que se

utilice.

La segunda consideración a hacer está relacionada con el vector de

entradas. Si las desviaciones en el voltaje de entrada e( no son consideradas,

la segunda columna de la matriz G de la ecuación (3.10) puede ser eliminada.

t)

Por aspectos de diseño del controlador es necesario conocer el efecto de la

señal de control sobre cada una de las variables de estado del sistema, por lo

que se elige la matriz de salida 4 4H I ×= . Además, debido a que de momento no

se consideran los efectos de variaciones en el voltaje de entrada, la matriz G

consta de una sola columna. Por lo tanto, las funciones de transferencia a

analizar son: ( ) ( )L1i s u s% % , ( ) ( )L2

i s u s% % , ( ) ( )C1v s u s% % y ( ) ( ) ( ) ( )C O2

v s u s v s u s=% % % % .

3.4.1 Convertidor cuadrático elevador sin elementos parásitos. Partiendo del modelo linealizado para el convertidor cuadrático elevador,

mostrado en la tabla 3.1, se obtienen las siguientes funciones de transferencia

con respecto al ciclo de trabajo de las corrientes de los inductores y los voltajes

de los capacitores :

( )3 2

L 2 1 011 4 3 2

1 3 2 1

i (s) s b s b s bEP(s)u(s) 1 U L s a s a s a s a

+ + += = ×

− + + + +

%

%0

(3.13)

( )

3 2L 2 1 02

2 2 4 3 23 2 12

i (s) s c s c s cEP (s)u(s) s a s a s a s a1 U L

+ + += = ×

0+ + + +−

%

% (3.14)

( )

3 2C 2 1 01

3 4 4 3 23 2 11

v (s) s d s d s dEP (s)u(s) s a s a s a s a1 U RC

+ + += = − ×

+ + + +−

%

%0

(3.15)

( )

3 2C 2 1 02

4 3 4 3 23 2 12

v (s) s e s e s eEP (s)u(s) s a s a s a s a1 U RC

+ + += = − ×

+ + + +−

%

%0

(3.16)

33


en donde:

( ) ( )2 2

3 22 1 1 2 1 2 2

,1 U 1 U1 1a , a

C R L C L C L C− −

= = + +( ) ( )2 4

1 01 1 2 2 1 2 1 2 1 2

1 U 1 U1a , aL C C R L C C R L L C C

− −= + =

( )( )2

2 1 022 1 2 1 2 2 21 2

1 U1 1 2 1 4b , b , bC R 1 U C R L C L C L C C RC C R

−= + = + + =

− 1 2

( )( )

( )( )2 2

2 1 02 2 22 1 11 1 2

2 1 U 3 1 U2 1 1c , c , cC R L C L C C R1 U C R 1 U C C R

− −= − = − =

− −

(1 1 2

) ( ) ( ) ( ) ( )2 4

2 11 2 2 1 2 2 2

1 U R 1 U R 1 U 3 1 U1d , dL L C R L C L C

− − − −= − + + = − + = −

( )

2 6

01 2 2

1 U R, d

L L C−

( ) ( )2 2 4

2 0 02 2 1 1 1 1 2 1

1 U R 1 U 2 1 U R2e , e , eL L C L C L L C− − −

= − = + = −

Como puede observarse las cuatro funciones de transferencia tienen el

mismo denominador.

El análisis clásico de estabilidad del sistema se basa en el análisis del

polinomio característico del mismo. En este enfoque es condición necesaria y

suficiente para estabilidad asintótica local, que el polinomio característico tenga

raíces con partes reales negativas. La anterior condición se verifica por medio

del método de Routh-Hurwitz.

El arreglo generado por este método en el caso del convertidor elevador sin

elementos parásitos queda dado por:

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

2 24

1 1 2 2 2 1 1 2 1 22

3

2 1 1 2 2 1 22 4

2

2 2 1 2 1 2

1

2 1 24

0

1 2 1 2

1 U 1 U 1 U1s 1L C L C L C L L C C

1 U1 1s 0RC L C C R L C C R

1 U 1 Us 0

L C L L C C1s 0

L C C R

1 Us

L L C C

− − −+ +

−+

− −

−

4

0

34


Debido a que todos los elementos de la primera columna del anterior arreglo

son positivos es posible concluir que el denominador es estable, porque para

todos los valores de elementos del circuito y ciclo de trabajo, las raíces están

localizadas en el lado izquierdo del plano-s.

Los numeradores de las funciones de transferencia (3.13) a (3.16) se

analizan igualmente. Analizando el arreglo generado mediante el método de

Routh-Hurwitz para encontrar si existen cambios de signo que indiquen la

existencia de ceros en el lado derecho del plano para la función de transferencia

del convertidor elevador se obtiene: ( ) ( ) ( )11 /LP s i s u s= % %

( )( )

( )

( ) ( ) ( )( )

23

2 22 1 2 2 1 2

22

2 2 11

12 4 22 2 3 2 3

1 2 1 2 1 2

2

22 2 2 1 2

0

2 1 2

12 111

1 1 41

2 1 1 01 1 1

1 1

4

Us

L C C L U C C R

sRC L C C RU C R

sU C L R U C C R U C C R

UC L R L C C R

sL C C R

−+ +

−

+−

+ +− − −

−+ −

2

Analizando la columna izquierda se encuentra que un posible cambio de

signo se produce si no se cumple la desigualdad

( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 22 21 2 2 2 2 1 2 2 11 / / 2 / 1 / 1U C C L C R C C U L C C R U− + + + − > −

2 . Pero debido

a los valores de los elementos utilizados típicamente en el circuito, la anterior

condición siempre se cumple, con lo cual concluye que no hay posibilidad de

existencia de ceros en el lado derecho del plano-s. Esta función será, en todos

los casos, una función de transferencia de fase mínima , esto es, todos los ceros

están localizados en el lado izquierdo del plano-s.

35


En cuanto a las funciones de transferencia ( ) ( ) ( )22 /LP s i s u s= % % ,

y ( ) ( ) ( )13 /CP s v s u s= % % ( ) ( ) ( )

24 /CP s v s u s= % % analizando las características de los

coeficientes del numerador de cada una de ellas, se encuentra que presentan

alternancia de signo; y por lo tanto, al menos una de sus raíces se localiza en el

lado derecho del plano-s. Por esta razón las tres funciones de transferencia son

de fase no mínima.

Para el caso del convertidor cuadrático elevador es posible también obtener

las funciones de transferencia equivalentes a las ya mostradas, sin embargo,

debido a la complejidad de las expresiones se considera más conveniente

realizar el análisis de respuesta en frecuencia de las funciones de transferencia

de manera numérica por medio de instrucciones de Matlab para sistemas

multivariable.

3.4.2 Funciones de transferencia del convertidor prototipo. Para el convertidor cuadrático elevador prototipo mostrado en la Figura 2.3 se

determinó inicialmente el valor del ESR de los capacitores utilizados por medio

de su medición directa en un medidor de impedancias GW Instek modelo

LCR821. Para esta medición se realizó a una frecuencia de 50 KHz, debido a

que esta es la frecuencia del rizo del voltaje del capacitor, la cual está

determinada por la frecuencia de conmutación del convertidor.

Tabla 3.2 Valores del ESR de los capacitores utilizados.

Parámetro Valor

Capacitor 47 μf 492 Ωm

Capacitor 100 μf 192 Ωm

En las Figuras 3.2, 3.3, 3.4 y 3.5 se muestra la respuesta en frecuencia

comparativa de las funciones de transferencia ( ) ( ) ( )11 /LP s i s u s= % % ,

36


( ) ( ) ( )22 /LP s i s u s= % % , ( ) ( ) ( )

13 /CP s v s u s= % % y ( ) ( ) (24 /CP s v s u s= % % ) del convertidor

cuadrático elevador tanto con ESR como sin ESR del capacitor, así mismo como

la localización de sus polos y ceros.

101

102

103

104-20

0

20

40

60Diagrama de Bode IL1/U

Frecuencia (Hz)

Mag

nitu

d (d

B)

con ESRsin ESR

101

102

103

104-300

-200

-100

0

100

Frecuencia (Hz)

Fase

(gra

dos)

con ESRsin ESR

a)

2500

7500

500−1000− 500 1000 20002500

5000

7500

j

j−

X

X

1500−2000−X

X

X ceros sin ESR

ceros con ESR polos sin ESR

polos con ESR

5000

1500

1000

1000

b)

Figura 3.2 Función de transferencia ( ) ( ) ( )11 /LP s i s u s= % % : a) Respuesta en

frecuencia, b) localización de polos y ceros.

37


101 102 103 104-20

0

20

40

60Diagrama de Bode IL2/U

Frecuencia (Hz)

Mag

nitu

d (d

B)

con ESRsin ESR

101 102 103 104-600

-400

-200

0

200

Frecuencia (Hz)

Fase

(gra

dos)

con ESRsin ESR

a)

2500

7500

500−1000− 1000 20002500

5000

7500

j

j−

X

X

1500−2000−X

X

X ceros sin ESR


polos con ESR

5000

500 1500

b)

Figura 3.3 Función de transferencia ( ) ( ) ( )22 /LP s i s u s= % % : a) Respuesta en

frecuencia, y b) localización de polos y ceros.

38


101 102 103 104-20

0

20

40

60Diagrama de Bode VC1/U

Frecuencia (Hz)

Mag

nitu

d (d

B)

con ESRsin ESR

101 102 103 104-400

-300

-200

-100

0

Frecuencia (Hz)

Fase

(gra

dos)

con ESRsin ESR

a)

2500

7500

1000−2000− 1000 2000 40002500

5000

7500

j

j−

X

X

3000−4000−X

X

X ceros sin ESR


polos con ESR

5000

3000

b)

Figura 3.4 Función de transferencia ( ) ( ) ( )13 /CP s v s u s= % % : a) Respuesta en


39


101 102 103 104-20

0

20

40


Frecuencia (Hz)

Mag

nitu

d (d

B)

con ESRsin ESR

101

102

103

104-800

-600

-400

-200

0

Frecuencia (Hz)

Fase

(gra

dos)

con ESRsin ESR

a)

2500

7500

1000−2000− 1000 2000 200002500

5000

7500

j

j−

X

X

3000−4000−X

X

Xceros sin ESR


polos con ESR

5000

b)

Figura 3.5 Función de transferencia ( ) ( ) ( )24 /CP s v s u s= % % : a) Respuesta en


40


En las Figuras 3.2 a 3.5 es muy interesante observar que el efecto directo del

ESR de los capacitores es amortiguar los picos de resonancia de la función de

transferencia, por lo que se tiene una función prácticamente de segundo orden.

También es importante notar que el ESR influye favorablemente en la estabilidad

del convertidor, ya que al aumentar su valor los polos tienden a localizarse más

a la izquierda del plano-s. Estas funciones de transferencia son estables en lazo

abierto; sin embargo, cuando se cierra el lazo pueden ser inestables. Los

márgenes en ganancia y fase [21] son dos criterios comunes para el diseño de

un sistema retroalimentado desde la respuesta en frecuencia. En lazo cerrado se

requiere que la ganancia sea menor que uno cuando la fase cruza por -180°. En

las gráficas 3.2 y 3.3 se observa un mayor margen de estabilidad en las

respuestas cuando se considera el efecto del ESR comparado con la respuesta

sin considerar el efecto ESR de los capacitores. Así mismo, en las funciones

y ( ) ( ) ( )22 /LP s i s u s= % % ( ) ( ) ( )

24 /CP s v s u s= % % , que presentan sin considerar el ESR

tres ceros localizados en el lado derecho del plano s, por efecto del ESR en la

realidad dos de estos ceros están localizados en el lado izquierdo del plano-s.

Esta última característica es importante debido a que al construirse reguladores

utilizando convertidores conmutados, el voltaje de salida es utilizado

generalmente como variable de control; y por lo tanto, en la práctica esta señal

presenta mejores características dinámicas que las mostradas por el modelo sin

la ESR.

41


VVaalliiddaacciióónn eexxppeerriimmeennttaall ddeell mmooddeelloo

Desde el punto de vista de la teoría de control es muy importante obtener el

modelo correcto de un sistema. En el presente trabajo, se realiza un análisis del

convertidor cuadrático elevador, basado en el estudio de las funciones de

transferencia entre las variables de estado (corrientes de los inductores y

voltajes de los capacitores) y el ciclo de trabajo, las cuales se obtienen al

expresar el modelo en espacio de estados linealizado por medio de la

transformada de Laplace. En el presente capítulo se obtiene la respuesta en

frecuencia de las funciones de transferencia del convertidor cuadrático elevador

de manera experimental mediante un barrido de frecuencias. Posteriormente, se

comparan los resultados teóricos anteriormente encontrados con aquellos que el

convertidor presenta en la práctica, lo que permite asegurar que al utilizarse los

modelos propuestos para construir un regulador conmutado, el diseño del control

realmente provea de buenas características de regulación y desempeño. 4.1 DESCRIPCION DEL ANALIZADOR DE RESPUESTA EN FRECUENCIA

El analizador de respuesta en frecuencia modelo 300 de la compañía AP

Instruments Inc., el cual se muestra en la Figura 4.1, es un aparato muy útil para

realizar mediciones en respuesta en frecuencia de funciones de transferencia e

impedancia, además cuenta con la capacidad de medir la distorsión armónica

presente en la red eléctrica, información muy necesaria en el estudio de la

calidad de la energía.


Figura 4.1. Analizador de respuesta en frecuencia de AP Instruments Inc.,

modelo 300.

El analizador está integrado por una fuente, la cual inyecta la señal al circuito

a analizar, dos canales utilizados para medir la respuesta en frecuencia del

circuito, y una interfase USB 2.0 a una computadora. Cuenta también con el

software requerido para manejar el analizador desde una computadora en forma

visual, el cual se muestra en la Figura 4.2. El analizador maneja un ancho de

banda de frecuencia muy amplio que va de 0.01 Hz a 30 MHz por lo que una

gran cantidad de circuitos electrónicos pueden ser probados. En la tabla 4.1 se

muestran las especificaciones de la fuente del analizador.

Tabla 4.1 Especificaciones de la fuente del analizador modelo 300.

Parámetro Valor

Resolución 0.01 Hz

Niveles de la señal de salida de C A 1.25 m a 1.77 RMSV RMSV

Rango de desplazamiento en C D -10 a +10 PV PV

Pico máximo en la corriente de salida 500 mA

Impedancia de salida 50 Ω

43


Las especificaciones correspondientes a los canales se muestran en la Tabla

4.2.

Tabla 4.2 Especificaciones de los canales del analizador modelo 300.

Parámetro Valor

Resolución 0.01 Hz

Rango de la señal de entrada C A 17.7 μ RMSV a 1.77 RMSV

Rango de la señal de entrada (C A + C D) -8 a +8 PV PV

Aislamiento A-B 115 dB

Impedancia de entrada x 1 1 ΩM

Impedancia de entrada x 1 10 ΩM

Voltaje máximo de entrada -15 a + 15 PV PV

Figura 4.2. Pantalla del software para manejar el analizador. 4.2 USO DEL ANALIZADOR DE RESPUESTA EN FRECUENCIA.

Para mostrar el funcionamiento de analizador se presenta el ejemplo de la

medición de respuesta en frecuencia de un circuito eléctrico RLC que produce

44


un sistema de segundo orden, el cual incluyendo el diagrama de conexiones del

analizador se muestra en la Figura 4.3.

AnalizadorFuente A B

208 uH

22 uF 100 Ω

Figura 4.3. Esquema para obtener la respuesta en frecuencia de un circuito

pasivo.

Al realizar el barrido de frecuencias del circuito por medio del analizador

modelo 300 se obtiene la gráfica mostrada en la Figura 4.4. Se observa que la

respuesta en frecuencia presenta un pico de resonancia con mayor atenuación

al que teóricamente se esperaría. Está variación se produce debido a que los

inductores y capacitores actuales son diferentes a los nominales y

adicionalmente contienen resistencias parásitas asociadas; lo que afecta

directamente al comportamiento del circuito.

Utilizando el medidor de impedancias GW Instek modelo LCR821 se obtienen

los valores reales de los elementos del circuito así como las resistencias

parásitas asociadas a los elementos, teniendo como resultado el circuito de la

Figura 4.5.

45


Figura 4.4. Respuesta en frecuencia experimental del circuito RLC propuesto.

19.6 uF

100 Ω

207 uH

Ventrada

+

-

0.0867 Ω

0.82 Ω

Figura 4.5. Circuito de segundo orden incluyendo elementos parásitos.

La función de transferencia del voltaje de salida al voltaje de entrada está

dada por:

⋅ +=

⋅ + ⋅ ⋅

-40

-8 2 -4in

v .16072 10 s 10.9991v .408692 10 s 0.1983 10 s 1+

(4.1)

en donde: k = 0.9991, 0ω = 13696.35 rad/seg, Q = 3.567 .

Las Figuras 4.6 y 4.7 muestran las gráficas obtenidas en simulación numérica

para la respuesta en frecuencia del circuito ideal (línea punteada) y el circuito

46


real considerando primeramente como parásitos la resistencia serie de la

inductancia y la resistencia serie del capacitor (línea sólida) y posteriormente

sólo la resistencia serie del capacitor (línea punteada). Como puede observarse,

tal como se mencionó en el Capítulo 2, el efecto de la resistencia parásita del

inductor es prácticamente insignificante. Además, se observa que la gráfica

incluyendo parásitos es similar a la que se obtuvo a través del analizador tanto

en magnitud como en frecuencia.

101

102

103

104-60

-40

-20

0

20

40

Frecuencia (Hz)

Mag

nitu

d (d

B)

Diagrama de Bode V0/Vin

Rc=0, RL=0Rc=0.82, RL=0Rc=0.82, RL=0.0867

101

102

103

104-200

-150

-100

-50

0

Frecuencia (Hz)

Fase

(gra

dos)

Rc=0, RL=0Rc=0.82, RL=0Rc=0.82, RL=0.0867

Figura 4.6. Respuesta en frecuencia del circuito RLC considerando: a) CR =0,

0, b) LR = CR ≠ 0, LR =0, y c) CR ≠ 0 y LR ≠0.

47


1995 2511.85

10

15

20

25

30

Frecuencia (Hz)

Mag

nitu

d (d

B)

Diagrama de Bode V0/Vin

Rc=0, RL=0Rc=0.82, RL=0Rc=0.82, RL=0.0867

1995 2511.8-200

-150

-100

-50

0

Frecuencia (Hz)

Fase

(gra

dos)

Rc=0, RL=0Rc=0.82, RL=0Rc=0.82, RL=0.0867

Figura 4.7 Detalle respuesta en frecuencia del circuito RLC.

4.3 RESULTADOS EXPERIMENTALES DEL CONVERTIDOR PROTOTIPO.

El convertidor cuadrático elevador prototipo en conjunto con el medidor de

respuesta en frecuencia modelo 300 se muestra en la fotografía de la Figura 4.8.

Figura 4.8. Convertidor cuadrático elevador prototipo construido en el

laboratorio.

48


A fin de obtener la respuesta en frecuencia de la función de transferencia

del convertidor prototipo, se realizan las conexiones que se

muestran en diagrama de Figura 4.9. En este caso, debido a que se analiza la

función de transferencia entre el voltaje de salida al ciclo de trabajo, es

necesario sumar la señal proveniente del analizador con una señal de voltaje de

CD de 1.25 V. Posteriormente la señal resultante se alimenta a la entrada

positiva de un comparador LM311, en donde se produce el pulso que activa al

MOSFET al comparar la entrada positiva contra una señal diente de sierra con

un valor de pico a pico de 2.5 V y una frecuencia de 50 KHz. Este valor es

importante de considerar, ya que multiplica a la función de transferencia

obtenida por un factor cuyo efecto se refleja como una caída en la

ganancia de CD de dicha función.

( ) ( ) ( )24 /CP s v s u s= % %

P1/ V

E

2D1D

1L

1C1S

3D

2C

2L

ROV

U+ +− −

C1R C2

R

Fuente A B

Analizador

+

Comparador =PV 2.5v

=CDV 1.25v+

-

LM311 ++

Figura 4.9. Esquema de conexiones para realizar la medición experimental del

convertidor prototipo.

Como se puede ver en la Figura 4.9, no se agregó una red snubber que suele

agregarse en la operación de estos circuitos para proteger al interruptor de algún

49


daño por sobrevoltajes. El agregar esta red podría alterar su respuesta en

frecuencia.

4.4 DISCUSIÓN DE RESULTADOS EXPERIMENTALES. La respuesta en frecuencia para la función de transferencia

obtenida experimentalmente se muestra en la Figura 4.10. ( ) ( ) ( )24 /CP s v s u s= % %

Figura 4.10. Respuesta en frecuencia experimental del convertidor cuadrático

elevador prototipo.

En la gráfica se muestra la respuesta en frecuencia de la función de

transferencia que se obtiene por medio del analizador modelo 300. Puede

observarse que efectivamente los elementos parásitos, en especial de los

capacitores, amortiguan de manera significativa a los picos de resonancia. El

primer pico de resonancia tiene un valor de aproximadamente 1.25 dB a una

frecuencia de 280 hz, valor bastante similar al encontrado en el caso teórico

incluyendo los efectos parásitos mostrados en la sección 3.4. El valor del pico

50


de resonancia para el modelo sin parásitos nos da una magnitud menor a 13 dB.

En cuanto al segundo pico de resonancia es muy interesante observar que de

manera experimental aproximadamente presenta un valor menor a 1 dB y una

localización a una frecuencia de 850 Hz, valores bastante similares a los

obtenidos de manera teórica para el modelo considerando parásitos mostrados

en gráfica de la Figura 3.5. El valor encontrado es menor al correspondiente

para el modelo sin considerar parásitos en 23 dB y nos muestra, que en la

realidad y por efecto de los elementos parásitos, el segundo pico de resonancia

es prácticamente inexistente. La función presenta una caída de -40 dB por

década, y posteriormente debido a la presencia del cero a alta frecuencia

presenta una elevación.

Con respecto a la fase observamos un comportamiento similar al mostrado

por la función de transferencia correspondiente al modelo considerando la ESR

de los capacitores. Debido a los dos polos de baja frecuencia la gráfica de fase

presenta un cambio de 180°. Posteriormente la presencia de un cero en el lado

derecho del plano-s a alta frecuencia nos dará un cambio adicional de 90°.

Por lo anterior se puede concluir que la respuesta en frecuencia de la función

de transferencia de voltaje de salida / ciclo de trabajo presenta características

similares a las de un convertidor elevador de una sola etapa. Esta función

puede aproximarse por medio de la relación:

0 2

0 0

1( )

1

Z

s

G s Gs s

Q

ω

ω ω

−≈

⎛ ⎞+ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

(4.2)

En la Figura 4.11 se muestra un comparativo entre los diagramas de Bode de

la función de transferencia voltaje de salida /ciclo de trabajo del modelo teórico

con ESR y la aproximación que se obtiene a partir de la gráfica experimental de

51


la Figura 4.10. Para este caso 0 42.16, 3000 rad/s, Q=1.1oG ω= = y

Z 175000 rad/sω = .

101

102

103

104-40

-20

0

20

40


Frecuencia (Hz)

Mag

nitu

d (d

B)

TeóricoAproximado

101

102

103

104-300

-200

-100

0

Frecuencia (Hz)

Fase

(gra

dos)

TeóricoAproximado

Figura 4.11. Comparativo entre diagramas de Bode teórico y la aproximación

de la experimental.

52


CCoonncclluussiioonneess

5.1 CONCLUSIONES Actualmente existen necesidades de amplios rangos de conversión para

elevación de voltaje en reguladores conmutados. Un enfoque para resolver este

problema propone el uso de ciclos de trabajo extremadamente altos; sin

embargo, presentan múltiples problemas por operar con tiempos de apagado

muy pequeños en los elementos de conmutación. También se propone como

solución el uso de transformadores dentro de las configuraciones, pero estos

producen grandes picos en el voltaje aplicado a los elementos de conmutación

así como el uso de circuitos de control mucho más complicados.

Otra posible solución al problema de amplio rango de conversión la ofrece el

uso de dos convertidores convencionales conectados en cascada, siendo su

principal inconveniente la complejidad del sistema de control utilizado al construir

el regulador conmutado, así como las pérdidas de potencia que se incrementan

al tenerse dos interruptores activos. Para evitar estos problemas se ha

propuesto una configuración que utiliza un sólo interruptor activo, la cual

presenta una eficiencia ligeramente superior a la que utiliza dos interruptores

activos, pero al tener un sólo interruptor activo su sistema de control es mucho

más sencillo.

La representación de los elementos eléctricos utilizada en el análisis del

circuito de un convertidor se hace, en la mayoría de los casos, asumiendo que

estos elementos tienen propiedades ideales. Sin embargo, en la práctica los

componentes reales no siguen estos modelos simples sino que presentan

efectos conocidos como parásitos que ocasionan pérdidas y modifican el


comportamiento esperado, lo cual se ve reflejado en la dinámica del convertidor

conmutado.

El principal efecto parásito considerado en este trabajo es el ESR del

capacitor, por lo que aplicando técnicas convencionales de análisis de circuitos,

se encuentran las relaciones de rizos en la corriente de los inductores, rizos en

los voltajes de los capacitores y valores de los inductores para condiciones de

conducción continua. Así mismo, se aplican técnicas de modelado en espacio

de estados obteniendo un modelo conmutado lineal y uno de tipo promedio no

lineal para las configuraciones propuestas. Adicionalmente, se encuentra el

modelo promedio lineal o de señal pequeña de las mismas, el cual es válido

únicamente para frecuencias menores a la mitad de la frecuencia de

conmutación del elemento activo.

Por medio del análisis de las funciones de transferencia del convertidor se

encuentra que el principal efecto de los elementos parásitos del capacitor es

amortiguar sus picos de resonancia, especialmente el segundo pico, por lo que

se obtienen funciones de transferencia con denominadores prácticamente de la

forma cuadrática. El efecto parásito también influye en la estabilidad del

convertidor, ya que al aumentar su valor los polos tienden a localizarse más a la

izquierda del plano s. Lo anterior ayuda a mejorar la estabilidad del sistema en

lazo cerrado cuando se diseña un controlador. Así mismo, en las funciones de

transferencia corriente del segundo inductor a ciclo de trabajo y voltaje del

segundo capacitor a ciclo de trabajo, presentan sin considerar el ESR tres ceros

localizados en el lado derecho del plano-s, por efecto del ESR en la realidad dos

de estos ceros están localizados en el lado izquierdo del plano s. Esta última

característica es importante debido a que al construirse reguladores utilizando

convertidores conmutados, el voltaje de salida es utilizado generalmente como

variable de control; y por lo tanto, en la práctica esta señal presenta mejores

características que las mostradas por el modelo sin ESR.

54


5.2 TRABAJO A FUTURO En el presente trabajo se realizaron exclusivamente mediciones en lazo

abierto, por lo que será muy interesante realizar mediciones en lazo cerrado de

un regulador conmutado construido utilizando el convertidor prototipo.

Queda también como otro punto importante realizar un estudio más amplio

sobre las características específicas que debe reunir un capacitor para utilizarse

en una fuente conmutada, determinando que clase de capacitores existentes en

el mercado la cumplen.

Resulta también interesante, con propósitos de análisis, realizar un estudio

entre las eficiencias que presenta un convertidor cuadrático con dos

interruptores activos y un convertidor como el propuesto en este trabajo que

tiene un sólo interruptor activo. Con respecto también al tema de eficiencia es

necesario determinar de una manera más clara, como afectan a la ganancia en

CD del convertidor las pérdidas tanto del MOSFET como en los diodos del

convertidor. Por otra parte, estas pérdidas se disminuyen si se utilizan nuevos

dispositivos activos de conmutación tales como MOSFETs y SBDs de SiC. Un

aumento en la eficiencia de este tipo de convertidores incrementaría el atractivo

de usar convertidores cuadráticos para construir reguladores conmutados.

55

BBiibblliiooggrraaffííaa

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