AyME_02_Modelado y An+ílisis en el Espacio de Estado_V0

8/20/2019 AyME_02_Modelado y An+ílisis en el Espacio de Estado_V0

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Unidad 2:

Modelado y Análisis en Espacio de Estadode Sists. Dinámicos Eléctricos y Mecánicos

20/08/2015 UNCUYO / Ing. Mecatrónica: AUTOMÁTICA Y MÁQUINAS ELÉCTRICAS Gabriel L. Julián

UNCUYO / Facultad de Ingeniería – Carrera de Ingeniería en Mecatrónica


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2

Plan General:1. Introducción: Conversión de energía y Control

• Aplicaciones y Fundamentos. Conversión de energía eléctrica y eléctrica-mecánica.

2. Modelado y Análisis en Espacio de Estado• Modelos lineales. Respuesta dinámica. Estabilidad. Controlabilidad y Observabilidad.

3. Control en Espacio de Estado• Realimentación de Estado. Observadores. Control óptimo.

4. Control de Accionamientos de CC• Modelado, simulación. Control de velocidad, control de corriente / torque.

5. Control de Accionamientos de CA• Modelado, simulación. Control de velocidad, control escalar / vectorial de corriente /

torque.

Modelado y Análisis

en Espacio de Estado (SS)

2. Modelado y Análisis - Espacio Estado


0. PLAN


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3

Plan de la Unidad 2: A. Sistemas Dinámicos Físicos. Variables de Estado

– Concepto. Estado interno; entradas y salidas. Sistemas SISO vs. MIMO (MV).

– Representación en Espacio de Estados. Ecuación de Estado, diagr. de bloques de estado.

B. Modelos Lineales Invariantes (LTI). Aplicación – Propiedades. Solución. Función de transferencia. Modelos para sistemas interconectados.

– Aplicación a sistemas eléctricos y mecánicos de 1° y 2° orden.

C. Respuesta Dinámica. Estabilidad – Respuesta natural y forzada. Simulación numérica. Análisis en el Espacio de Estado.

D. Formas o Realizaciones Canónicas – Transformación de cambio de base en SS. Formas diagonal, controlable, observable.

E. Controlabilidad y Observabilidad – Conceptos. Criterios: Gilbert, Kalman. Subsistemas Controlable y Observable.

– Resumen y Consultas.

– Próximos Pasos...





0. PLAN


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4

Sistema mecánico 1 g.d.l.: Masa-Resorte-Fricción (lineal)

Modelo físico idealizado • Sistema Dinámico Físico: energía en juego

– Almacenamiento interno:• Energía Cinética (en masa): () = 12 .. [()]2 • Energía Potencial elástica (en resorte): () = 12 . . [()]2 • Nota: no consideramos la fuerza de gravedad

=

.

(perturb. c

onst.)

– Intercambio de energía:• Interno: entre componentes o subsistemas.

• Externo: con medioambiente

– Excitación: trabajo externo sobre sistema

– Fricción: disipación de energía térmica al ambiente

– etc.

•

NO Instantáneo: Retardos (constantes de tiempo) = dinám.

• Definimos: (Sist. SISO) – Entrada (excitación o var. manipulada): Fuerza externa u(t) – Salida (respuesta medida): Desplazamiento de masa (respecto a equilibrio) y(t)

• Equilibrio: – u(t)=0 (excitación nula); v(t)=dy/dt=0 (energía cinética nula)

Motivación:2. Modelado y Análisis - Espacio Estado


A. SISTS. DINÁMICOS. VAR. ESTADO


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5


Modelo físico idealizado • Ecuación de Movimiento: 2° Ley de Newton (cuerpo “

libre”)

. = . . = ̇ ; = ̈ () . ̈ + . ̇ + . = Sist. 2° orden LTI (E.D.O. Lineal de parám. const. 2° orden)

• Función de Transferencia: Modelo externo (Entr./Salida)(Cond. Iniciales nulas)

≡ ()

(

)

=

.

+

.

+

• Propiedades dinámicas: – Ganancia estática: = – Polos: , = . ± . Respuesta dinám.: oscilator ia (b=0), subamortiguada,

amortiguam. crítico, sobreamortiguada.





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6


Modelo físico idealizado • Ecuación de Movimiento: 2° Ley de Newton (cuerpo “

libre”)

. = . . = ̇ ; = ̈ () . ̈ + . ̇ + . = • Modelo de Estado: Modelo interno (Espacio de Estado)

(Cond. Iniciales NO nulas en gral. = ESTADO INICIAL)

– Estado: () ≡ ; () ≡ = ̇ → – Ecuación de Estado:� ̇ = (). ̇ = . . + () – Estado Inicial: () ≡ ; () ≡ (resume historia anterior ) – Ecuación de Salida:

=




Á


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7


Modelo físico idealizado • Modelo de Estado: Modelo interno (Espacio de Estado)

(cond. Iniciales NO nulas en gral. = ESTADO INICIAL)

– Ecuación de Estado:� ̇ = ()

.

̇ =

.

.

+

(

)

– Estado Inicial: () ≡ ; () ≡ (resume historia anterior ) – Ecuación de Salida: =

• Diagrama de Bloques de Estado




Á


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8





.

̇ =

.

.

+

(

)


• Forma MATRICIAL:

̇ ̇ = . () + . ; () ≡ = . ()

Autovalores

,

de matriz de Sistema A:

.

=

→ ,

= ? (hacer)





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9

a) Espacio de ESTADO (Dominio del Tiempo)

� ̇ = . + . ; 0 = = . +. Donde:

×

1,

×

1,

×

1 ×,×,×,× Concepto de ESTADO: Espacio Vectorial de EstadoEstado de un Sist. Dinámico:

menor conjunto de variables {xi(t)} (“var. de estado”) tales queel conocimiento de sus valores {xi0} en un instante inicial t0 (“estado inicial”),

junto con el conocimiento de la entrada u(t) para todo t> t0,

determina completamente el comportamiento posterior del sistema

para cualquier instante de tiempo t> t0.

Representación de Sistemas Lineales IT 2. Modelado y Análisis - Espacio Estado


B. MODELOS LTI. ESPACIO ESTADO


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10


� ̇ = . + . ; 0 = = . +. Donde:

×

1,

×

1,

×

1 ×,×,×,× Otras formas Forma estándar o fundamental en Espacio Vectorial Estado

.

̇ =

.

+

.

(

),

×

no singular (ej.SD mec./el.)

̇ = −1. .+ −1. .()





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11


� ̇ = . + . ; 0 = = . +. Donde:

×

1,

×

1,

×

1 ×,×,×,× Diagrama de Bloques de Estado Matricial:




2 M d l d A áli i E i E t d B MODELOS LTI TRANSFERENCIA


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12


� ̇ = . + . ; 0 = = . +. Donde:

×

1,

×

1,

×

1 × , × , × ,× b) Transferencia Entrada-Salida (Laplace)

= . | ≡ Donde: ×1, ×1

×

, = . [ . ]−. +



B. MODELOS LTI. TRANSFERENCIA

2 M d l d A áli i E i E t d B MODELOS LTI TRANSFERENCIA


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13





.

̇ =

.

.

+

(

)


• Forma MATRICIAL:

̇ ̇ = . () + . ; () ≡ = . ()

Función de Transferencia:

=

. [

.

]

−.

+

= ? (hacer)




2 M d l d A áli i E i E t d B MODELOS LTI EJERCICIOS


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14

Ejercicios: Representar en Espacio de Estados Matriz de Transferencia

1. [Circuito LR pasabajos: ei il vs. ei vr]2. [Circuito RC pasabajos: ei ic vs. ei vc]3. Ogata 5th Ed., Section 3-3 (pág. 72) [Circuito RLC]

4. Ogata 5

th

Ed., Section 2-5 (pág. 36) [E.D.O. orden n ]5. Ogata 5th Ed., Section 2-6 (pág. 39) [Matlab tf2ss, ss2tf ]6. Ogata 5th Ed., Ej. A-2-6 (pág. 51) hasta A-2-12 (pág. 58)

7. Inercia rotante con fricción(modelo mecánico 1 g.d.l. de accionamiento).

8. Ogata 5th Ed., Probl. B-3-13 (pág. 99)[servomotor CC c/control armadura]

9. Filtro cuña 2° orden: ≡ ++2.+



B. MODELOS LTI. EJERCICIOS

2 M d l d A áli i E i E t d B SIST NO LINEALES M d LTI / LPV


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15

Espacio de ESTADO (Dominio del Tiempo)

� ̇ = , , ; 0 = = , , SIMULACIÓN Numérica!Donde:

×1,

×1,

×1 (,, ), ,, ×1: () Diagrama de Bloques de Estado Matricial: ? (hacer)

equilibrios:

̇ ≡0 =

,

=

,

Puntos de Operación

,

Aproximación LINEAL: para toda variable , asumir ≡ + ∆() PEQUEÑA SEÑAL = PERTURBACIÓN alrededor de PUNTOS de OPERACIÓN expansión serie de Taylor truncada a 1° orden (despreciar términos orden superior)

Modelo dinámico Global NL ~ Espacio de Operación NL (cuasi-estacionario)

+ Modelo dinámico Local LTI / Global LPV

Representación de Sistemas No Lineales 2. Modelado y Análisis - Espacio Estado


B. SIST. NO LINEALES Mod. LTI / LPV

2 M d l d A áli i E i E t d B SIST NO LINEALES M d LTI / LPV


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16

Espacio de ESTADO (Dominio del Tiempo)

� ̇ = , , ; 0 = = , , SIMULACIÓN Numérica! Aprox. LINEAL: PEQUEÑAS PERTURBACIONES en PUNTOS de OPERACIÓN expansión serie de Taylor truncada a 1° orden (despreciar términos orden superior)

Representación de Sistemas No Lineales 2. Modelado y Análisis - Espacio Estado



2 Modelado y Análisis Espacio Estado B SIST NO LINEALES Mod LTI / LPV


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Péndulo rígido actuado = 1 Art iculación robótica rotativa

con base inercial y estructura rígida, bajo efecto externo: acel. gravedadPéndulo 1 g.d.l. en coord. generalizada θ( t ) ODE NLModelo dinámico Global NL :

Sistemas NO Lineales (NLDS): Ejemplo 2. Modelado y Análisis - Espacio Estado



2 Modelado y Análisis Espacio Estado B SIST NO LINEALES Mod LTI / LPV


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Péndulo rígido actuado = 1 Art iculación robótica rotativa

con base inercial y estructura rígida, bajo efecto externo: acel. gravedadPéndulo 1 g.d.l. en coord. generalizada θ( t ) ODE NL

Modelo dinámico Global NL

Espacio de Operación

NL (cuasi-estacionario)

+

Modelo dinámicoLocal LTI / Global LPV

(depende de

Parámetro variable Θ o (t)= Punto instantáneo

de Operación

Análisis Lineal : autovalores, estabilidad, función de transferencia, etc. depende de Θo( t )

Sistemas NO Lineales (NLDS): Ejemplo 2. Modelado y Análisis - Espacio Estado




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Unidad 2:




2 Modelado y Análisis Espacio Estado

0 PLAN


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20















0. PLAN

2 Modelado y Análisis Espacio Estado B MODELOS LTI TRANSFERENCIA


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21


� ̇ = . + . ; 0 = = . +. Donde:

×

1,

×

1,

×

1 × , × , × ,× b) Transferencia Entrada-Salida (Laplace Dominio Frec.)

= . | ≡

Donde: ×1, ×1

×

, = . [ . ]−. +




2 Modelado y Análisis Espacio Estado B MODELOS LTI INTERCONEXIÓN


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22



B. MODELOS LTI. INTERCONEXIÓN

Interconexión Estructuras compuestas • Sistemas dinámicos complejos: compuestos por subsistemas

más simples interconectados entre sí.

• Salidas de un subsistema actúan como entradas a otrossubsistemas en forma directa o mediante operaciones algebraicas.

• Conjunto de variables de estado del sistema global = unión deconjuntos de variables de estado de los subsistemas.

=

1 ∪ 2

• Ecuación de estado del sistema global: eliminar variablesintermedias.

Sean 2 subsistemas:

1: ̇ 1 = 1. 1 + 1.1 ; 1 0 = 11 = 1.1 + 1.1 1 = 1 .1

2:

̇ 2 = 2.2 + 2.2 ; 2(0) = 22

=

2.

2 +

2.

2

2=

2.

2

2 Modelado y Análisis Espacio Estado B MODELOS LTI INTERCONEXIÓN


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23




Interconexión en SERIE (o Cascada)Relación estructural:

2 ≡ 1 ;

=

1 ;

=

2

Restricción: (2) = (1) Estado: = 1 2 Operando:

̇1 = 1.1 + 1.1 ̇ 2 = 2.2 +2. (1.1 +1.1 )2 = 2.2 +2. (1.1 +1.1 )

: ̇ = 1 2 .1 2 . + 12.1 . ; 0 = = 2.1 2 . + 2.1 . Transferencia:

=

.

=

2 .

1 .

|

2 Modelado y Análisis - Espacio Estado B MODELOS LTI INTERCONEXIÓN


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24




Interconexión en PARALELORelación estructural:

≡ 1 +

2 ;

=

1 =

2 ;

Restricción : (2) = (1);(2) = (1) Estado: = 1 2 Operando:

̇ 1 = 1.1 +1.1 ̇ 2 = 2.2 +2.2 = 1.1 +1.1 + 2.2 +2.2

: ̇ = 1 2 . + 12 . ; 0 = = 1 2 . + 1 + 2 . Transferencia: =

. =

1 +

2 . |



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25




REALIMENTACIÓN Constante de Salida Relación estructural:

1 ≡ 2 ;

2 =

1 ;

Restricción : (2) = 1 = ();(2) = (1) Asumimos:a) Realim. Constante: 2 = . 1 b) Transmisión directa nula:

1 ≡

Estado: = 1 Operando: ̇1 = 1.1 +1. .1.1 1

=

1.

1

: � ̇ = 1 1..1 . + 1 . ; 0 = = 1 . Transferencia: = . =

1. + .

1 −1.



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26




REALIMENTACIÓN de EstadoRelación estructural: Realim. ESTADO:

≡ .

;

Restricción: (.) = = (); Asumimos:

Realim. Constante: . (Ley de Control)

Estado: = 1 Operando:

̇ = . +. . = . +. .

:

� ̇ = . . + . ; 0 =

=

.

.

+

.

K

2 Modelado y Análisis - Espacio Estado B INTERCONEXIÓN: EJEMPLO


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Control de velocidad en accionamiento 2. Modelado y Análisis Espacio Estado


B. INTERCONEXIÓN: EJEMPLO

• Sistema conceptual idealizado: compuesto por algunos subsistemas mássimples interconectados entre sí.

• Salidas de un subsistema actúan como entradas a otros subsistemas en formadirecta o mediante operaciones algebraicas.

• Conjunto de variables de estado del sistema global = unión de conjuntos devariables de estado de los subsistemas.

• Ecuación de estado del sistema global: eliminar variables intermedias.



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28




Subsistemas: () , (. ) (inicialmente no consideramos carga Tl) agregar carga Tl 1: � ̇1

=

1.

1 +

1.

1 1 = 1. 1 + 1.1 ̇1 =

→(

1= 0;

1= 1)

∗ = .1 + . → (1 = ; 1= ) 2: � ̇ 2 = 2. 2 + 2.2 2 = 2.2 + 2.2 ̇2 =

. 2 + 1 . = 2

→(

2 =

;

2 = 1

;

2 = 1;

2= 0)



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29




Interconexión: () , (. ) Cascada Realimentación const. de Salida (HACER ) 1: � ̇1

=

1.

1 +

1.

1 1 = 1. 1 + 1.1 ̇1 =

→(

1= 0;

1= 1)

∗ = .1 + . → (1 = ; 1= ) 2: � ̇ 2 = 2. 2 + 2.2 2 = 2.2 + 2.2 ̇2 =

. 2 + 1 . = 2

→(

2 =

;

2 = 1

;

2 = 1;

2= 0)

2 Modelado y Análisis - Espacio Estado C RESPUESTA DINÁMICA


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30

1. Solución Analítica: ANÁLISIS – DISEÑO Conceptual Caso Escalar : ej. 1 modo de forma canónica diagonal exp(p.t)

a) Ec. Homogénea Rta. Natural

b) Ec. Forzada Rta. Forzada (convolución)

Caso Vectorial: cualquier realización o forma acoplada exp(A.t)a) Ec. Homogénea Rta. Natural (a estado inicial)b) Ec. Forzada Rta. Forzada (a entradas) [convolución] (+ Rta. Natural)

- Métodos: deducción a) y b) en páginas siguientes

1) Desarrollo en serie de potencias en DT vs.

2) Transformada de Laplace en DF

- Justificación de la definición de estado / Matriz de Transición de Estado- Transferencia = Transformada de Rta. Impulsional (estado inicial nulo)

2. Solución Numérica: SIMULACIÓN de Respuesta Dinámica (step/lsim)

Ej. 9-5, 9-6 Ogata p. 665-668) Resolver analíticam. y luego mediante simulación

Hacer !

Solución de la Ecuación de Estado LTI 2. Modelado y Análisis Espacio Estado


C. RESPUESTA DINÁMICA

2. Modelado y Análisis - Espacio Estado C. RESPUESTA DINÁMICA


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31

1. Solución Analítica: ANÁLISIS – DISEÑO Conceptual Caso Vectorial: cualquier realización o forma acoplada exp(A.t)a) Ec. Homogénea

Rta. Natural(a estado inicial)

Matriz de Transiciónde Estado






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32

1. Solución Analítica: ANÁLISIS – DISEÑO Conceptual Caso Vectorial: cualquier realización o forma acoplada exp(A.t)b) Ec. Forzada

Rta. Natural(a estado in icial)

+

Rta. Forzada(a entradas)

[Integral de

Convolución]






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33

Sist. LTI en Espacio de ESTADO (Dominio del Tiempo)

: ̇ = . + . ; 0 = = . + . Donde:

×

1,

×

1,

×

1 × ,× ,×,× Respuesta Dinámica , > 0: Natural [ ≡ 0, ] vs. Forzada [ ].Estabilidad (Sists. LTI):

estable si, para toda excitación

acotada en

>

0 todos sus

estados toman valores acotados;si desaparece la excitación, ≡ 0 (rta. Natural) el estado tiende al origendel espacio de estado x=0.Criterio de Estabilidad (en Espacio de Estados):

estable todos los autovalores de A tienen parte real NEGATIVA

Respuesta Dinámica. Estabilidad2. Modelado y Análisis Espacio Estado




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35

Control de velocidad en accionamiento y p


1: ̇1 =

∗

=

.

1 +

.

2: ̇2 = . 2 + 1 .

=

2

→ ( 1= 0; 1 = 1;1 = ; 1= ) → ( 2 = ; 2 = 1 ; 2 = 1; 2= 0) • Ecuación de Estado completo

en lazo cerrado

: (HACER )

• Análisis de Estabil idad (Subsistema mecánico 2 Sistema completo de control realimentado):condiciones: (HACER ) •

SIMULACIÓN (Simulink) (HACER )

•Diseño: Asignación de autovalores en lazo cerrado para rta. Dinámica definida

(

,

)

→(

,

) (HACER )

UNCUYO / Facultad de Ingeniería Carrera de Ingeniería en Mecatrónica


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Unidad 2:





0. PLAN


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37











Modelado y Análisisen Espacio de Estado (SS)

y p



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2. Modelado y Análisis - Espacio Estado D. REALIZACIONES CANÓNICAS


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39

:

� ̇ =

.

+

.

;

0 =

= . +. ,

×1,

×1,

×1

×, ×, ×, × Cambio de Base en Espacio de Estado (Transform. Lineal): = . , ∃ −1 ⟺ = −1. : ̇ = −1. . . + −1. . ; . = . (0) = . . +.

:

̇ = . + . ; (0) =

=

.

+

.

= −1. . ; = −1.

=

.

;

=

−1.

Formas o Realizaciones Canónicas:• Diagonal (o Normal de Jordan si autovalores repetidos)

• Controlable

• Observable (DUALIDAD)

Cambio de variables de estado y p




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40

Ejemplo:

: (vale para Orden n, Polos o Autovalores NO REPETIDOS)

⃛ + 1. ̈ + 2. ̇ + 3. = 0.⃛ + 1. ̈ + 2. ̇ + 3. = ()() = .+.+.++.+.+ = 0 + (−.).+(−.).+(−.)− . − . (−) ⇒ = 0.() + − + − + − .() Desacoplamiento MODAL +Interconex. PARALELO

Definir: , ̇ = . + ()

≡

1

2 3 ⇒

= 1 0 00 2 0

0 0

3; = 11

1

;

= 1 2 3 ; = 0;: � ̇ = . + . ; 0 = = . + 0. diagrama de bloques(HACER!)

Alternativa: Definir :

,

̇ =

.

+

.

⇒ = [1 1 1] … (HACER!)

Forma canónica DIAGONALy p




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41

Ejemplo:

: (vale para Orden n, Polos o Autovalores REPETIDOS o

múltiples) ej. p 1 =p 2

⃛ + 1. ̈ + 2. ̇ + 3. = 0.⃛ + 1. ̈ + 2. ̇ + 3. = ()() = .+.+.++.+.+ = 0 + (−.).+(−.).+(−.)− . (−)

⇒ =

0.

(

) +

−

+ −

+ −

.

(

) Desacoplamiento

MODAL (Bloques de Jordan)

Definir: 1 , ̇1 = 1. 1 + 2 2 , ̇2 = 1. 2 + ()

≡ 1 2 3 ⇒ =

1 1 00

10

0 0 3;

=

0

1

1

;

= 1 2 3 ; = 0;: � ̇ = . + . ; 0 = =

.

+

0.

diagrama de bloques

(HACER!)

Forma canónica JORDAN (gralización.)




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42

Ejemplo:

: (vale para Orden n)

⃛ + 1. ̈ + 2. ̇ + 3. = 0.⃛ + 1. ̈ + 2. ̇ + 3. = ()() = .+.+.++.+.+ = 0 + (−.).+(−.).+(−.)+.+.+ ⇒ = 0.() + .() Facilidad p/ CONTROL (Asignación de Polos): Var.Aux.: estado controlable ≡ 1 . → = 0.() + . + 1. ̈ + 2. ̇ + 3. = A

c

: M. Compañera (inferior) = 0.() + (1 1. 0). ̈ + (2 2. 0). ̇ + (3 3. 0).

≡ ̇ ̈ ⇒ =0 1 0

0 0 13 2 1 ; =0

01

; = 0; = (3 3. 0) (2 2. 0) (1 1. 0)

:

� ̇ = . + . ; 0 =

=

.

+

0.

diagrama de bloques (HACER!)

Forma canónica CONTROLABLE




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43

Ejemplo:


Diagrama de bloques

⇒ = 0.() + .() Facilidad p/ CONTROL (Asignación de Polos): Var.Aux.: estado controlable ≡ 1 . → = 0.() + . + 1. ̈ + 2. ̇ + 3. = A

c

: M. Compañera (inferior) = 0.() + (1 1. 0). ̈ + (2 2. 0). ̇ + (3 3. 0). ≡ ̇ ̈ ⇒

=

0 1 0

0 0 13 2 1 ; =0

01

; = 0; = (3 3. 0) (2 2. 0) (1 1. 0)

:

� ̇ = . + . ; 0 =

=

.

+

0.

Invertir orden

(HACER!)





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44

Ejemplo:


⃛ + 1. ̈ + 2. ̇ + 3. = 0.⃛ + 1. ̈ + 2. ̇ + 3. = ()() = .+.+.++.+.+ = 0 + (−.).+(−.).+(−.)+.+.+ ⇒ = 0.() + .() Facilidad p/ Diseño OBSERVADOR: Var.Aux.: « estado observable ≡ . → = 0.() + 1 . ̇1 = 3 3. 0 . 3. = + 1. ̈ + 2. ̇ (1 1. 0). ̈ +

(2 2.0). ̇ Integrar 1() reordenar / despejar ̇2 = ⋯

≡ 1(

)

2()3 ≡ ⇒ =0 0

31 0 20 1 1 ; =(

3 3.

0)

(2 2. 0)(1 1. 0) ; = 0 0 1 ; = 0

:

� ̇ = . + . ; 0 =

=

.

+

0.

diagrama de bloques (HACER!)

Forma canónica OBSERVABLE




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45





46/51

46

Ejemplo:


Diagrama de bloques

⇒ = 0.() + .() Facilidad p/ Diseño OBSERVADOR: Var.Aux.: « estado observable ≡ . → = 0.() + 1 . ̇1 = 3 3. 0 . 3. = + 1. ̈ + 2. ̇ (1 1. 0). ̈ +

(2 2.0). ̇ Integrar 1() reordenar / despejar ̇2 = ⋯

≡ 1(

)

2()3 ≡ ⇒ =0 0

31 0 20 1 1 ; =(

3 3.

0)

(2 2. 0)(1 1. 0) ; = 0 0 1 ; = 0

:

� ̇ = . + . ; 0 =

=

.

+

0.

Invertir orden

(HACER!)





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47


: � ̇ = . + . ; 0 = = . + 0. ≡ ̇

̈ ⇒ =

0 1 0

0 0 13 2 1 ; =0

0

1

; = 0;

= (

3 3.

0) (

2 2.

0) (

1 1.

0)


: � ̇ = . + . ; 0 = = . + 0. ≡ 1()2()3 ≡ ⇒

= 0 0 31 0 20 1 1 ; =

(3 3.0)(2 2.0)(1 1.0) ; = 0 0 1 ; = 0

=

;

=

;

=

;

DUALIDAD: F. Controlable / Observable


2. Modelado y Análisis - Espacio Estado D. REALIZACIONES CANÓNICAS Ej.


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48

Ejercicios:

Obtener las formas canónicas diagonal, controlable y observable

1. Ogata 5th Ed., Section 9-2 Ejemplo 9-1 (pág. 652) [Sist. orden 2 c/1 cero]

2. Ogata 5th Ed., Ej. A-9-1 (pág. 688) hasta A-9-5 (pág. 699)

3. Filtro cuña 2° orden: ≡ ++2.+ Diagonalizar:

1. Ogata 5th Ed., Section 9-2 Ejemplo 9-2 (pág. 654-655) [Sist. orden 3]

Transformar: SS TF (c/Matlab)

1. Ogata 5th Ed., Section 9-3 Ejemplo Progr. 9-1 (pág. 656-657) [Sist. orden 3]

2. Ogata 5th Ed., Section 9-3 Ejemplo 9-3 (pág. 658) y 9-4 (pág. 659)

Formas o Realizaciones Canónicas / TF


2. Modelado y Análisis - Espacio Estado E. CONTROLABILIDAD - OBSERVAB.


49/51

49

:

� ̇ =

.

+

.

;

0 =

= . +. , ×1, ×1, ×1

×,

×,

×,

×

Sist. CONTROLABLE (controlabilidad completa de estado)

CONTROLABLE en t0 si se puede transferir desde cualquier estado inicial

(

0) a cualquier otro estado, mediante un vector de control

no

restringido, en un intervalo de tiempo finito.

Criterio de Controlabilidad Completa de Estado en el Espacio de Estado (Kalman) CONTROLABLE ⟺ . … −1. ⟺

=

.

…

−1.

=

(Matriz de Controlabilidad)

Existe alguna ley de control que permite ubicar polos

Criterio de Controlabilidad de Salida CONTROLABLE ⟺ . . . … . −1.

=

.

.

.

…

.

−1.

= (Matriz de Controlab.

Salida)

Controlabilidad




50/51

50

:

� ̇ =

.

+

.

;

0 =

=

.

+

.

, ×1, ×1, ×1

×,

×,

×,

×

Sist. OBSERVABLE (consid. Sist. NO Forzado: u(t)=0)

OBSERVABLE en t0 si, con el sistema en el estado inicial 0 , es posibledeterminar este estado a partir de la observación de la salida durante un

intervalo de tiempo finito.

cada transición de estado afecta a cada elem. del vector de salida

Criterio de Observabilidad en el Espacio de Estado (Kalman)

Completamente OBSERVABLE ⟺ . … . −1 ⟺ = . …. −1 = (Matriz de Observabilidad)Existe observador que permite reconstruir estado a partir de salida

Observabilidad




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51

Ejercicios: Evaluar la controlabilidad y observabilidad de los sigs. Sistemas:

1. Ogata 5th Ed., Section 9-6 Ejemplo 9-10 y 9-11 (pág. 677-678)

2. Ogata 5th Ed., Section 9-7 Ejemplo 9-14 y 9-15 (pág. 684-685)

3. Ogata 5th Ed., Ej. A-9-16 (pág. 716) hasta A-9-17 (pág. 717)

Controlabilidad y Observabilidad

AyME_02_Modelado y An+ílisis en el Espacio de Estado_V0

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