OCTAVO AÑO:

Denominación de los ángulos

• Ángulos adyacentes : Si un lado es común y sus otros dos lados son semirrectas opuestas.

Son ángulos adyacentes los siguientes pares de ángulos: a,b; c,d; a,c; b,d; e,f; g,h; e,g; f,h.

Los ángulos adyacentes son suplementarios.

• Ángulos opuestos por el vértice : Si los lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro.

Son ángulos opuestos por el vértice los siguientes pares de ángulos: a,d; b,c; e,h; f,g.

Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.

• Ángulos alternos internos : Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona interior de las rectas paralelas.

Son ángulos alternos internos los siguientes pares de ángulos: c,f; d,e.

Los ángulos alternos internos son congruentes.

• Ángulos alternos externos : Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona externa de las rectas paralelas.

Son ángulos alternos externos los siguientes pares de ángulos: a,h; b,g.

Los ángulos alternos externos son congruentes.

• Ángulos colaterales internos : que se encuentran del mismo lado de la secante y dentro de las rectas.

Son ángulos colaterales internos los siguientes pares de ángulos: c,e; d,f.

Los ángulos colaterales internos son suplementarios.

• Ángulos colaterales externos : que se encuentran en uno y otro lado de la secante.

Son ángulos colaterales externos los siguientes pares de ángulos: a,g; b,h.

Los ángulos colaterales externos son suplementarios.

• Ángulos correspondientes u homólogos: Son los que se encuentran en el mismo lado de la secante, un ángulo en la parte interior y otro en el exterior de las paralelas.

Son ángulos correspondientes los siguientes pares de ángulos: a,e; b,f; c,g; d,h.

Los ángulos correspondientes son congruentes.

ngulos colaterales externos: son aquellos que se encuentran del mismo lado de la secante y fuera de las rectas.

Los �ngulos colaterales externos, son:

3. �ngulos correspondientes: son los �ngulos que se encuentran en un mismo lado de la secante, formando parejas, un interno con un externo.

Los �ngulos correspondientes son:

NOVENO AÑO:

DIVISION DE UN POLINOMIO POR UN MONOMIO

Recuerda que Ia ley de exponentes para division de potencias de Ia misma base se expresa por Ia

siguiente ecuación:

xm

= x~, siempre que x sea distinto de cero.

x

Aprovechamos esta propiedad de los exponentes para dividir un polinomio por un monomio.

Ejemplo: Dividir

(4x3~12x2+8 )±2x

En este caso, usamos Ia siguiente regla: para dividir un polinomio por un monomio, se divide cada término del polinomio por el monomio. En nuestro caso, resulta lo siguiente:

4x 3 —12x 2 +8 _ 4x3 12x 2 8

2x 2x 2x 2x

Ahora dividimos los coeficientes numéricos y usamos Ia regla mencionada pam simplificar Ia variable.

Resulta lo siguiente:

4x 3 —12x 2 +8 _ 2x 2 6x422 4

2x 1 1 x x

4

El resultado de La división es 2x2 — 6x + —

x

Ahora vas a practicar con los ejercicios siguientes:

1) Efectuar las siguientes divisiones:

a) (5x4 +75x3 —30x2 +125x):(5x2)

b) (1—x2—x3—x4):(x)

DECIMO AÑO:

División polinomial

En álgebra, la división polinomial es un algoritmo que permite dividir un polinomio por otro polinomio que no sea nulo.

El algoritmo es una versión generalizada de la técnica aritmética de división larga. Es fácilmente realizable a mano, porque separa un problema de división complejo, en otros más pequeños.

Sean los polinomios f(x) y g(x), donde g(x) no es el polinomio nulo, entonces existe un único par de polinomios q(x) y r(x) tal que:

con el grado de r(x) menor que el grado de g(x).

La división sintética permite obtener el cociente q(x) y el resto r(x) dado un dividendo f(x) y un divisor g(x). El problema es expresado como un problema de división no algebraico:[cita requerida]

;

Todos los términos con exponentes menores que el mayor deben ser escritos explícitamente, aún si sus coeficientes son cero.

Condiciones de divisibilidad

Si A es un anillo, la división polinomial en A[X] no es siempre posible. Por ejemplo, en Z[X], los polinomios con coeficientes enteros, no es posible dividir X² por 2X + 3, porque el cociente (trabajando en R[X]) es: X/2, y no pertenece a Z[X].

La única condición para que sea posible es que coeficiente dominante (el del monomio de mayor grado) sea inversible. En el ejemplo de abajo, la división por X - 1 (1X - 1) no causa problemas porque el coeficiente dominante es 1, que inversible en Z.

División por un binomioArtículo principal: Regla de Ruffini

El cociente y el resto de una división de un polinomio con coeficiones enteros en x entre x+a se pueden hallar usando la división larga, o utilizando la regla de Ruffini. Tiene la propiedad de que el cociente de esta división será un polinomio en x cuyo grado es una unidad menor que el grado del dividendo y cuyo coeficiente del término general del cociente es igual al coeficiente del término general del dividendo.

Ejemplo

Encontrar:

Se escribe el problema de la siguiente forma (notar que tal como se explicó previamente, se incluye explícitamente el término x, aunque su coeficiente sea cero):

1. Dividir el primer término del dividendo por el término de mayor grado del divisor. Poner el resultado arriba de la línea horizontal (x3 ÷ x = x2).

2. Multiplicar el divisor por el resultado obtenido en el paso previo (el primer término del eventual cociente). Escribir el resultado debajo de los primeros dos términos del dividendo (x2 * (x-3) = x3 - 3x2).

3. Restar el producto obtenido en el paso previo de los términos correspondientes del dividendo original, y escribir el resultado debajo. Tener cuidado al realizar esta operación de colocar el signo que corresponda. ((x3-12x2) - (x3-3x2) = -12x2 + 3x2 = -9x2) Luego, "desplazar hacia abajo" el próximo término del dividendo.

4. Repetir los tres pasos previos, excepto que esta vez utilizar los dos términos que se acaban de escribir en el dividendo.

5. Repetir el paso 4. Esta vez, no hay nada para "desplazar hacia abajo".

El polinomio arriba de la línea horizontal es el cociente, y el número que queda (-123) es el resto.

Este método es una reminiscencia de los métodos de división utilizados en clases elementales de aritmética.

División según las potencias crecientes

En algunos casos es interesante considerar que X es pequeño frente a 1 y hacer las divisiones al revés, empezando por las constantes (que son los términos mayores) y terminando por los Xn, con n grande. Formalmente, se modifica la definición del grado: d o (Xn) = - n. La diferencia es que ya no hay unicidad, y es necesario fijarse por antelación una precisión, es decir un grado máximo al resto.

Por ejemplo, dividamos por al orden 3: el resto deber haber como término más fuerte (aquí el monomio de menor exponente) a lo mejor X4. La igualdad obtenida (en azul) equivale a:

lo que, además de ser cierta, es un caso especial de la suma de términos de una sucesión geométrica:

y cada valor de n corresponde a una división euclidiana con una precisión distinta.

Otro punto de vista es considerar a como el inicio del

desarrollo de en serie de Taylor.

Más generalmente, la serie de Taylor de una función racional se obtiene mediante la división euclidiana de la serie de Taylor del numerador por la del denominador. Por

ejemplo, consideremos la función trigonométrica tangente: , y busquemos su desarrollo alrededor de 0 al orden 5. Hay que conocer las series al orden 5 (por lo menos) del seno y del coseno, y dividirlas descartando sistemáticamente los términos de orden mayor que aparecen en el cálculo. Como la función tangente es par, sólo hay tres monomios (en X, X³ y X5) que buscar. El resultado es

La división euclidiana también existe en los anillos de polinomios de múltiples variable K[X,Y,Z...], donde hay varias maneras de definir el grado (parcial, total...) y otras tantas de proceder a la división.

PRIMERO BGU:

La Media Aritmética ():

La medida de tendencia central más ampliamente usada es la media aritmética, usualmente abreviada como la media y denotada por (léase como "X barra").

• La media aritmética para datos no agrupados

Si se dispone de un conjunto de n números, tales como X1, X2, X3,…,Xn, la media aritmética de este conjunto de datos se define como "la suma de los valores de los ni números , divididos entre n", lo que usando los símbolos explicados anteriormente , puede escribirse como:

Ejemplo:

Se tienen las edades de cinco estudiantes universitarios de Ier año, a saber: 18,23, 27,34 y 25., para calcular la media aritmética (promedio de las edades, se tiene que:

•

La Mediana (X0.5):

Cuando una serie de datos contiene uno o dos valores muy grandes o muy pequeños, la media aritmética no es representativa. El valor central en tales problemas puede ser mejor descrito usando una medida de tendencia central llamada mediana., y denotada por X0.5

La mediana es una medida de posición y se define como la posición central en el arreglo ordenado de la siguiente manera:

Dado un conjunto de números agrupados en orden creciente de magnitud, la mediana es el número colocado en el centro del arreglo, de tal forma que una mitad de las observaciones está por encima y la otra por debajo de dicho valor. Si el número de observaciones es par, la mediana es la media de los dos valores que se hallan en el medio del arreglo, de donde se concluye en la siguiente definición:

Mediana. Es el punto medio de los valores de una serie de datos después de haber sido ordenados de acuerdo a su magnitud. Hay tantos valores antes que la mediana como posteriores en el arreglo de datos

• La Mediana para datos no agrupados.

Sea X1, X2; X3; … ; Xn; una sucesión de datos, la mediana denotada por X0.5 se calcula de la siguiente manera:

X0.5 = X (n+1)/2 si n es par

Xn/2 + X(n/2)+1

X0.5= ---------------------- si n es impar

2

Nota: El resultado obtenido en la formula corresponde al número de la observación en el arreglo, por tanto debe reemplazarse por el valor de dicha variable en el arreglo.

Ejemplo: (n es impar)

Se tienen las edades de cinco estudiantes universitarios de I año, a saber: 18,23,25.27 y 35. Obsérvese que los datos deben estar ordenados en un arreglo ascendente o descendente.

Por cuanto que el número de datos es cinco (n=5) y es impar, entonces

X0.5 = Xn+1/2 = X(5+1)/2 = X6/2 = X3 = 25 años

Nota: obsérvese que se obtuvo el número de la variable mediana (X3) que en el arreglo de edades ordenado en forma ascendente corresponde a 25 años (X3=25)

Continuación del ejemplo…(n es par)

Si el número de estudiantes hubiere sido par, suponga que se adiciona un estudiante con 31 años, entonces el arreglo ascendente consecuente sería 18, 23, 25, 27, 31 y 35, entonces la mediana se calcula asi:

•

La Moda (Mo.):

A veces es importante conocer cuál es el valor que más prevalece en el conjunto de datos. El valor que ocurre con más frecuencia se le conoce como moda. La moda es la medida de tendencia central especialmente útil para describir mediciones de tipo ordinal, de intervalos y nominal.

En un conjunto de números la moda se define como el valor ó número que ocurre con más frecuencia

Ejemplo:

En el siguiente conjunto de números 1, 5, 5, 9, 12, 12, 12, 14. La moda es igual a 12, por cuanto que es el número que más se repite (tres veces)

SEGUNDO BGU:

Ejercicios de identidades trigonométricas

Comprobar las identidades trigonométricas:

1

2

3

4

5

6

7

Simplificar las fracciones:

1

2

3

TERCERO BGU:

Listado de ejercicios propuestos:

•

¿Cuál es el seno de ?

•

¿Cuál es el coseno de ?

•

¿Cuál es el seno de ?

•

¿Cuál es el coseno de ?

•

¿Cuál es la tangente de ?

•

Indicar el resultado para la siguiente operación

•

Indicar el resultado para la siguiente operación

•

Indicar el resultado para la siguiente operación

•

¿Cuál es el resultado para la siguiente operación ?

•

¿Cuál es el resultado para la siguiente operación ?