TRANSFORMADA DE LAPLACE

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Definicin:F(s) = F(s) = L {}Ejemplo: =1NOTAS:

1) para t < 0.2)La Transformada de Laplace est definida por una integral impropia por tanto no existir para cada funcin f(t).3) La Transformada de Laplace es lineal: Ldonde a y b son constantes y son dos funciones de t.PRUEBA:

4) El operador Transformada de Laplace transforma una funcin de la variable t a una funcin de la variable s. La variable t es eliminada por la integracin.

Transformada de funciones simples:

1. La funcin escaln: f(t) = 0 t < 0 1 u(t)

1 t > 0

2. La funcin exponencial:

f(t) = 0 t < 0 1 e-at t > 0

donde u(t) es la funcin escaln unitario:

considerando que s + a > 0, esto es s > -a. La convergencia de la integral depende de una seleccin adecuada de s. Si s es un nmero complejo, puede mostrarse que esta condicin llega a ser Re (s) > -a.3. La funcin rampa:

0 t < 0 f(t) = t t > 0

4. Funcin seno

0 t < 0 f(t) = = u(t) sen kt sen kt t > 0

Agrupando las dos integrales del lado izquierdo y las dos funciones trigonomtricas del lado derecho, se tiene:

OTRAS FUNCIONES UTILES:

u(t) cos Kt

u(t) senh Kt

u(t) cosh Kt

sen Kt u(t)

cos Kt u(t)

s(t), impulso unitario

Transformadas de Derivadas

La Transformada de Laplace tiene la propiedad de transformar la operacin de diferenciacin con respecto a t, a la de multiplicacin por s.

Prueba:

Segunda Derivada:

n-sima Derivada: donde, f i(0) es la i-sima derivada de f (t) respecto a t, en t = 0.

Solucin de Ecuaciones Diferenciales con Transformadas de Laplace.Resumen: (EDO con coeficientes constantes).1. Tomar la Transformada de Laplace de ambos lados de la ecuacin e incorporar las condiciones iniciales.2. Resolver la ecuacin resultante para la Transformada de Laplace de la funcin desconocida.3. Encontrar la funcin de t que tiene la Transformada de Laplace obtenida en el paso 2 (inversin de la transformada).

Ejemplo: Resolver

Ejemplo: Condiciones iniciales:

Donde,

Expansin en fracciones parciales

INVERSION POR FRACCIONES PARCIALES.

Sea la EDO siguiente: x(t) es una funcin desconocida que depende del tiempo; son constantes; f(t) es la funcin de fuerza. Condiciones iniciales dadas: los valores de son especificados al tiempo zero.

El problema es determinar x(t) para toda t 0. Mtodos de Solucin.

Transformada de Laplace. Fracciones parciales (Factores parciales reales en el denominador de X(s))

Ejemplo 3.1:

T. de Laplace Expansin en fracciones parciales (3.1) donde A y B son constantes.Tabla de Transformadas de Laplace (3.2)con Ay B conocidas se tiene la solucin.

Las condiciones sobre A y B se seleccionan para hacer de (3.1) una identidad en s.Para A: multiplicar (3.1) por (s), (3.3)haciendo s = 0 se tiene que A = 1Para B: multiplicar (3.1) por (s + 1), (3.4)haciendo s = -1 se tiene que B = -1Aqu, y por lo tanto (3.6)

Ejemplo 3.2 :

T. de la Laplace: Resolviendo para X(s):

Expansin en Fracciones Parciales:

Para A: multiplicar X(s) por (s), y hacer s = 0

Para B: multiplicar X(s) por (s - 2), y hacer s = 2 Para C: multiplicar X(s) por (s +1), y hacer s = -1

Para D: multiplicar X(s) por (s +2), y hacer s = -2

Para E: multiplicar X(s) por (s - 1), y hacer s = 1 As, Tomando la transformada inversa de Laplace de X(s), se tiene la solucin:SOLUCION :

Mtodo Clsico: Sea la ED del ejemplo 3.2, Considere inicialmente el caso homogneo:

Funcin caracterstica de la ecuacin homognea: s3 + 2s2 s 2 = 0

Factorizacin: (s + 1)(s + 2)(s - 1)

Solucin complementaria: xC(t) = C1e-t + C2e-2t + C3et

Caso No homogneoSolucin particular (depende de la funcin de fuerza, lado derecho de la ED):

xP(t) = A + Be2t

A y B se determinan por sustitucin en la ED de xP(t) y sus derivadas.

Entonces, la solucin general es la suma de la solucin complementaria y la solucin particular: C1 , C2 , C3 se determinan por las tres condiciones iniciales

La transformada de Laplace tiene sistematizada la evaluacin de estas constantes, evitando la solucin de tres ecuaciones simultneas.

OBSERVACIONES:

1) En ambos mtodos, uno debe encontrar las races de la ecuacin caracterstica. Las races originan trminos en la solucin cuya forma es independiente de la funcin de fuerza. Estos trminos dan la solucin complementaria.2) La funcin de fuerza origina trminos en la solucin cuya forma depende de la forma de la funcin de fuerza y es independiente del lado izquierdo de la ecuacin. Estos trminos comprenden la solucin particular.3) La nica interaccin entre estos conjuntos de trminos, i.e., entre el lado izquierdo y el lado derecho de la ED, ocurre en la evaluacin de las constantes involucradas.4) El nico efecto de las condiciones iniciales es en la evaluacin de las constantes. Esto es debido a que las condiciones iniciales afectan nicamente al numerador de X(s), como puede verse de la solucin de este ejemplo.

(Factores complejos en el denominador de X(s))

Ejemplo 3.3: T. de Laplace: Factorizacin: Para A: multiplicar X(s) por (s), y hacer s = 0

Para B: multiplicar X(s) por (s + 1 + j), y hacer s = -1 - j

Para C: multiplicar X(s) por (s + 1 - j), y hacer s = -1 + j

Por lo tanto:

Para invertir X(s), se usa el hecho de que es la transformada de . Aunque a es complejo, no se invlida este resultado, como puede verse regresando a la derivacin de la transformada de .

El resultado es Con la identidad Se tiene que:

sumando los dos ltimos trminos +

que es igual a

Entonces, las solucin es:

Discusin General:

Las races complejas conjugadas del denominador de X(s) originan un par de trminos complejos en la expansin por fracciones parciales. Las constantes en estos trminos, B y C, prueban ser complejos conjugados . Cuando estos trminos se combinan a travs de identidades trigonomtricas se encuentra que los trminos complejos se cancelan, dando un resultado real para X(t). De hecho, es necesario que X(t) sea real, puesto que la ecuacin diferencial original y las condiciones iniciales son reales.

El caso general de races complejas conjugadas surge en la forma (3.9)

donde F(s) es alguna funcin real de s.

En el caso del ejemplo 3.3, se tiene: (3.10)

donde a1, a2, b1, b2 son constantes a ser evaluadas en la expansin por fracciones parciales y f(s) es una serie de fracciones que surgen de F(s).

el lado izquierdo de (3.10) es real en s, el lado derecho debe ser real tambin para todo real s. Dos nmeros complejos formarn un nmero real si son complejos conjugados, se ve que el lado derecho ser real para todo real s si y solo s los dos trminos son complejos conjugados. Puesto que los denominadores de los trminos son conjugados, esto significa que los numeradores deben ser tambin conjugados o a2 = a1, b2 = -b1 y la ecuacin (3.10) ser (3.11)

Los trminos en la transformacin inversa que surgen de las races complejas conjugadas pueden escribirse en la forma: Con la identidad se tiene, (3.12)

Mtodo Alterno usando trminos cuadrticos.Con el ejemplo 3.3: Expansin en fracciones parciales: Para A: multiplicar X(s) por (s), y hacer s = 0 Para B y C: realizar la suma algebraica de las fracciones parciales del lado derecho de X(s)

igualando numeradores

igualando trminos semejantes:

de donde, entonces,

Transformada Inversa de Laplace:

de X(s), se puede ver que,

de la Tabla de Transformadas de Laplace se tiene:

finalmente, la solucin es:

Ejemplo 3.5

Para factorizar el trinomio cuadrado en el denominador, se utiliza la frmula general,

Tiene races complejas conjugadas, utilizar la expansin en fracciones parciales con trminos cuadrticos.Para A: multiplicar X(s) por (s), y hacer s = 0

Para B y C: realizar la suma algebraica de las fracciones parciales del lado derecho de X(s)

igualando numeradores

igualando trminos semejantes:

de donde, ; entonces,

Transformada inversa de Laplace:

de X(s), se puede ver que,

de la Tabla de Transformadas de Laplace se tiene:

arreglando el tercer trmino del lado derecho, se tiene

finalmente, la solucin es:

Ejemplo 3.6

Transformada de Laplace

Factorizando el denominador, y utilizando la Expansin en Fracciones Parciales

Para A: multiplicar X(s) por (s), y hacer s = 0

Para B: multiplicar X(s) por (s +1)3, y hacer s = -1

Para C y D: realizar la suma algebraica de las fracciones parciales del lado derecho de X(s)

igualando numeradores

igualando trminos semejantes:

igualando numeradores igualando trminos semejantes:

de donde, ; entonces,

Tomando la transformada inversa,

Naturaleza cualitativa de las soluciones Cmo es la solucin de x(t)? Localizacin de las races del denominador de X(s) en el plano complejo

s3(0,b3)

*s4(a4,b4)

s2(-a2, b2)

s5(a5,0)s1(-a1,0)

s6(0,0)RacesTrminos en x(t) para t > 0

***

s2(-a2, -b2)

s4(a4,-b4)

s3(0,-b3)

PROBLEMAS: (Coughanowr, 1991).

3.1 Resolver las ED siguientes usando transformadas de Laplace: a)

b)

c)

Esquematizar el comportamiento de estas soluciones en una grafica simple. Cul es el efecto del coeficiente de dx/dt?

3.2 Resolver las ED siguientes por transformadas de Laplace,

a)x(0) = x(0) = x(0) = 0;x(0) = 1

b)q(0) = 4; q(0) = -2

3.3 Invertir las transformadas siguientes:a)

b)

c)

3.4 Expandir las funciones siguientes por expansin en fracciones parciales. No evaluar los coeficientes ni las expresiones invertidas.a)

b)

c)

3.5 a) Invertir b) Resolver

3.6 Obtener y(t) paraa)

b)

c)

3.7a) Invertir la funcin siguiente: b) Graficar y vs t de 0 a 3

3.8Determinar f (t) para

Ejercicios Bequette Cap 7.1-5. Derivar la Transformada de Laplace para las funciones siguientes:

Sugerencia: aunque el problema 5 se puede resolver usando integracin por partes, tambin se puede resolver usando la identidad de Euler

6. Encontrar la transformada de Laplace de u(s), para la funcin de entrada siguiente:

7. Encontrar la Transformada de Laplace de la funcin y(t) que satisface la ecuacin diferencial y las condiciones siguientes:

8. Resolver la ecuacin diferencial:

9. Una entrada de proceso tiene la transformada de Laplace siguiente:10.

Cul es la entrada, u(t), en el dominio del tiempo? Encontrar esto en forma analtica. Esquematizar la entrada en el dominio del tiempo.

10. Encontrar la solucin en el dominio del tiempo y(t) para la funcin de transferencia en el dominio de Laplace, con < 1:

11. Derivar la solucin en el dominio del tiempo y(t) para la funcin de transferencia en el dominio de Laplace:

12. Derivar la solucin en el dominio del tiempo y(t) para la funcin de transferencia en el dominio de Laplace:

13. Considere el ejemplo 7.5, que involucra la funcin de transferencia siguiente con races reales repetidas:

encontrar un denominador comn para el lado derecho:

despus expandir el numerador y resolver para los coeficientes A, B y C, tal que el lado izquierdo es igual al lado derecho.